COLEÇÃO ESCOLA DE CÁLCULO FUN
CÁLCULO
TEORIA DAS FUNÇÕES POLINOMIAIS
JOÃO CARLOS MOREIRA
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CÁLCULO
TEORIA DAS FUNÇÕES POLINOMIAIS
COLEÇÃO ESCOLA DE CÁLCULO
JOÃO CARLOS MOREIRA
Professor do Instituto de Ciências Exatas e Naturais - ICENP
Universidade Federal de Uberlândia
COLEÇÃO ESCOLA DE CÁLCULO
Copyright © 2019 by João Carlos Moreira
CAPA: JOÃO CARLOS MOREIRA
EDITOR: JOÃO CARLOS MOREIRA
DIAGRAMAÇÃO: JOÃO CARLOS MOREIRA
DISTRIBUIÇÃO:
EDITORA LIVRARIA MOREIRA S.A.COLEÇÃO ESCOLA DE CÁLCULO
Todos os direitos reservados. Nenhuma parte desta obra poderá
ser reproduzida sejam quais forem os meios empregados sem a
permissão expressa da Editora. Aos infratores aplicam-se as
sanções previstas nos artigos 102, 104, 106 e 107 da Lei n
o9.610,
de 19 de fevereiro de 1988.
Impresso no Brasil / Printed in Brazil
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Para todos os meus alunos, com carinho.
João Carlos Moreira
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Prefácio
Este livro é fruto de um projeto intitulado Escola de Cálculo, criado em 2013, com o intuito de colaborar na melhoria do ensino e do aprendizado de Cálculo e suas aplicações.
A metodologia de ensino é baseada na teoria de sistemas matemáticos e no desenvolvimento de algoritmos.
Esse material é inédito e propõe uma nova abordagem no ensino de matemática no Brasil.
Agradeço a Deus pela missão educacional confiada a mim.
Ituiutaba, janeiro de 2019.
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Símbolos
Símbolo Lê-se Exemplo Lê-se
∈ pertence 2 ∈ A O número dois pertence ao conjunto A.
∀ para todo (∀ a)(a ∈ ℕ) Para todo a, a pertencente a ℕ.
∃ existe (∃ x)(x ∈ A) Existe x, x pertencente ao conjunto A.
∃! existe um único (∃! x∗)(x∗∈ ℕ) Existe um único sucessor
de x pertencente ao conjunto dos números naturais.
∧ e x ∧ y x e y ∨ ou (inclusivo) x ∨ y x ou y ∨ ou (exclusivo) x ∨ y x ou y
¬ não ¬(2 ∈ A) 2 não pertence ao conjunto A
→ implica 𝑃 → 𝑄 P implica Q ↔ se, e somente se 𝑃 ↔ 𝑄 P se, e somente se, Q
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CÁLCULO
TEORIA DAS FUNÇÕES POLINOMIAIS
ORGANIZAÇÃO DA APRENDIZAGEM
Sumário
1 Abordagem Histórica 00
2 Abordagem Algébrica 00
2.1 Sistema matemático das funções polinomiais 00
2.1.1 Representação das funções polinomiais 00
2.1.2 As operações 00
2.1.3 As relações 00
2.1.4 Os axiomas 00
2.2 Teoria do cálculo infinitesimal 00
2.3 Teoria do cálculo diferencial 00
2.4 Teoria do Cálculo integral 00
3 Abordagem Geométrica 00
3.1 Representação das funções polinomiais 00
3.2 Cálculo de perímetro 00
3.3 Cálculo de área 00
3.4 Cálculo de volume 00
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4.1 Representação das funções polinomiais 00
4.2 Algoritmos 00 5 Abordagem Avançada 00 5.1 Teoremas 00 5.2 Conjecturas 00 5.3 Paradoxos 00 6 Resolução de Problemas 00 6.1 Abordagem histórica 00 6.2 Abordagem algébrica 00
6.2.1 Conceitos primitivos e derivados 00
6.2.2 Prática intuitiva 00
6.2.3 Prática formal 00
6.3 Abordagem geométrica 00
6.3.1 Conceitos primitivos e derivados 00
6.3.2 Prática intuitiva 00
6.3.3 Prática formal 00
6.4 Abordagem Computacional 00
6.4.1 Conceitos primitivos e derivados 00
6.4.2 Prática intuitiva 00
6.4.3 Prática formal 00
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1 A palavra cálculo deriva do latim, e significa pequena pedra, como a usada em um ábaco.
2 As origens do cálculo e as polinomiais, remontam as civilizações babilônica e egípcia, notadamente em problemas envolvendo cálculos de áreas e de volumes, mas sem destacar um método efetivo.
3 Cálculos de áreas e volumes envolvendo solução de equações polinomiais de segundo e terceiro graus, apareceram pela primeira vez na Mesopotâmia. Sabemos que esses povos já tinham o conhecimento do teorema de Pitágoras, conforme
CAPÍTULO 1
ABORDAGEM HISTÓRICA
Isaac Newton (1643 – 1727) foi o maior matemático inglês de sua geração. Dentre suas contribuições, destacamos o cálculo diferencial e integral, seus trabalhos em óptica e gravitação.
Gottfried Wilhelm von Leibniz (1646-1716), foi um matemático alemão. Dentre suas contribuições, destacamos o cálculo diferencial e integral e trabalhos sobre a álgebra do pensamento.
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observado em tabletes de argila.
Fig.1. Yale Collection #7289
4 As civilizações egípcia e grega também contribuíram com o desenvolvimento de métodos de solução para as equações polinomiais.
5 Na Grécia antiga, Eudoxus (c. 408-355 a.C) desenvolve o método da exaustão, que foi descoberto mais tarde (século III) na China por Liu Hui (c. 220-280), o mesmo aproximava uma determinada área por uma sequência de áreas de regiões poligonais e prefigura os conceitos de limite e integral da era moderna. Os gregos foram os primeiros a introduzir a ideia de prova, embora ainda vinculada a geometria.
6 Com o domínio da civilização arábica, os métodos algébricos proposto por Al-Khowarizmi, descritos em al-jabr w´al
Muqabala, para determinar a solução geral de equações
polinomiais de primeiro e segundo grau, contribuíram significativamente para o desenvolvimento de algoritmos para as soluções dessas equações. Foi nesse período que as palavras álgebra e algoritmo surgiram.
7 O próximo passo, foi desenvolver um algoritmo para a solução geral das equações polinomiais de terceiro e quarto grau. No entanto, essa tarefa não foi nada fácil. Os babilônicos, egípcios, gregos e árabes conseguiram resolver algumas equações polinomiais de terceiro grau, muito particulares. Vários matemáticos como Wang Xiatong (580-640), Omar Khayyam (1048-1131), Leonardo de Pisa (1170-1240), Luca Pacioli (1415-1492), contribuíram para resolver as equações polinomiais de terceiro e quarto grau.
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Girolamo Cardano (1501-1576) e Ludovico Ferrari (1522-1565), deram contribuições efetivas para se obter a solução geral das equações polinomiais de terceiro e quarto grau.
9 Rafael Bombelli (1526-1572), François Viète (1540-1603), Albert Girard (1595-1632) e René Descartes (1596-1650) contribuíram para a descoberta da solução geral, incluindo as complexas, das equações polinomiais.
10 Em paralelo, Isaac Newton (1643 – 1727) e Gottfried Wilhelm von Leibniz (1646-1716) criam a teoria do cálculo diferencial e integral.
11 Leonhard Euler (1707-1783) em 1742 enunciou que uma expressão polinomial com coeficientes reais pode ser fatorada como um produto de fatores lineares e fatores quadráticos, mas não conseguiu uma prova completa deste fato. Euler provou que toda função polinomial de grau 𝑛 ≤ 6, possui exatamente 𝑛 raízes complexas.
12 Em 1746, Jean d’Alembert (1717-1783) pesquisando um método para integrar uma função racional com coeficientes reais (o hoje denominado Método das Frações Parciais), encontra uma demonstração difícil do TFA e que continha um erro que só em 1851 seria corrigido, por V. Puiseux (1820-1883). Devido a tal demonstração, na literatura francesa, o Teorema Fundamental da Álgebra (TFA) é chamado Teorema de
d’Alembert.
13 O Teorema Fundamental da Álgebra (TFA), é considerado por muitos o início da álgebra moderna.
14 Car Friedrich Gauss (1777-1855), em sua tese de doutorado de 1799, apresenta uma prova do TFA que é considerada por muitos realmente a primeira. O argumento principal usado, que difere das demais provas, era o fato de que era sempre suposta a existência das raízes e em seguida deduzia-se algumas de suas propriedades. Outras demonstrações surgiram mais tarde, inclusive do próprio Gauss.
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15 Paolo Ruffini (1765-1822), Niels Abel (1802-1829) e Évariste Galois (1811-1832), foram grandes colaboradores para provar que não há uma solução geral, através de radicais, para as equações de grau cinco e superiores. Nestes casos, torna-se necessário recorrermos a métodos numéricos para encontrarmos as soluções.
16 Atualmente, supercomputadores utilizam algoritmos para encontrar soluções de equações polinomiais com alta precisão.
UMA NOVA ABORDAGEM NO ENSINO DA MATEMÁTICA
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