MATEMÁTICA I
© UNESP 6 Agosto 2008
Autor: Anibal Tavares de Azevedo
Limeira, 19 de Abril 2012
AULA 3 – Parte 2
2
LIMITES E DERIVADAS
Derivadas de funções polinomiais:
1. Derivada de Função Constante:
Seja f(x) = c, então: f’(x) = 0 Ou ainda:
) 0 ( ))
(
( = =
dx c d dx
x f d
dx dx
Prova:
0 0 lim ) lim
( )
lim ( )
(
' =
0+ − =
0− =
0=
→
→
→ h h
h
h
c c h
x f h x x f
f
Derivadas de funções polinomiais:
2. Derivada de Função Potência:
Seja f(x) = xn, onde n é um inteiro positivo. Então:
• Se n = 1: f(x) = x, então: ( ) 1 dx =
x d
© UNESP 6 Agosto 2008
• Se n = 2: f(x) = x2, então:
• Se n = 3: f(x) = x3, então:
• Logo:
dx x x
d( 2) 2
=
2 3
) 3
( x
dx x
d =
) 1
( −
= n
n
dx nx x d
4
Exemplo 1: Verificar para f(x) = x2 que
f’(x) = 2x usando a definição de derivada por limite.
LIMITES E DERIVADAS
x h) lim (x
h
f(x) h)
lim f(x (x)
f'
2 2
0 h
−
= +
−
= +
→
x
2h) (x
lim
h 2h) lim x(x
h
x h
2xh lim x
h x h) lim (x
0 h
0 h
2 2
2 0 h
2 2
0 h
=
+
=
= +
− +
= +
−
= +
→
→
→
→
Exercício 1: Calcular as derivadas (f’(x)) para:
(A)f(x) = x6
(B)f(t) = t4
5 6
dx 6x ) (x) d(x
f' = =
© UNESP 6 Agosto 2008
(B)f(t) = t4
3 4
dx 4t ) (t) d(t
f' = =
6
LIMITES E DERIVADAS
Exemplo 2: A regra anterior também é válida para os expoentes negativos ou fracionários:
(A)f(x) = (1/x)
2 2
- 1
- 1 - -1
x - 1 (-1)x
(-1)x dx
) d(x dx
d(1/x)
=
=
=
= (B)
dx x dx
x 2 (1/2)x 1
(1/2)x dx
) d(x dx
) x
d( 1/2 1/2-1 -1/2
=
=
=
=
x f(x) =
Assim, a regra da potência é válida também para qualquer n número real.
Exercício 2: Derive:
(A)f(x) = (1/x2)
(B)
3 3
- 1
- 2 - -2
x - 2 (-2)x
(-2)x dx
) d(x dx
d(f(x)) = = = =
3 2
x f(x) =
© UNESP 6 Agosto 2008
(B)
3 1/3
- 1
- 2/3 3 2 2/3
x 3 (2/3)x 2
(2/3)x dx
) d(x dx
) x
d( = = = =
3 2
x f(x) =
8
LIMITES E DERIVADAS
Novas Derivadas a partir de Antigas:
3.1 Multiplicação por uma constante:
Seja C um número real. Então:
dx x f c d dx
x cf
d( ( )) ( ( ))
=
Exemplo 3: Achar a derivada de f(x):
(A)f(x) = (3x4)
3 1
- 4 4
4
(12)x 3(4)x
dx ) 3d(x
dx ) d(3x dx
d(f(x)) = = = =
Novas Derivadas a partir de Antigas:
3.2 Soma e Subtração:
Sejam f(x) e g(x) funções deriváveis. Então:
dx x g d dx
x f d dx
x g x f
d( ( ) ( )) ( ( )) ( ( )) +
+ =
x g d x
f d x
g x f
d( ( )− ( )) ( ( )) ( ( ))
© UNESP 6 Agosto 2008
Exemplo 4: Achar a derivada de f(x):
(A)f(x) = (2x3+3x2-x)
1 6x dx 6x
d(x) dx
) 3d(x
dx ) 2 d(x
dx
d(f(x)) = 3 + 2 − = 2 + − dx
x g d dx
x f d dx
x g x f
d( ( ) ( )) ( ( )) ( ( ))
−
− =
10
LIMITES E DERIVADAS
Regras do Produto e Quociente:
3.3 Regra do Produto:
Sejam f(x) e g(x) funções diferenciáveis. Então:
dx x f x d dx g
x g x d dx f
x g x f
d ( ( ))
) )) (
( ) ( )) (
( ) (
( = +
Exemplo 5: Derivar : Exemplo 5: Derivar :
Sejam f(x) = (x)1/2 e g(x) = (ax + b), então:
(i)
(ii)
) (
)
(x = x a+bx h
x 2 (1/2)x 1
(1/2)x dx
) d(x dx
d(f(x)) (x)
f' 1/2 1 1/2
1/2 = = =
=
= − −
b b dx 0
d(bx) dx
d(a) dx
bx) d(a
dx d(g(x)) (x)
g' = = + = + = + =
x 2
bx a
2xb x
2 bx x a
b
2x bx)1 (a
b x
dx d(f(x)) dx g(x)
d(g(x)) f(x)
h(x)
1/2
+
= + + +
=
+ +
=
+
=
−
© UNESP 6 Agosto 2008
x 2
a 3xb
x 2 x
2
= +
12
LIMITES E DERIVADAS
Regras do Produto e Quociente:
3.4 Regra do Quociente:
Sejam f(x) e g(x) funções deriváveis. Então:
[
g(x)]
2 dxd(g(x)) dx f(x)
d(f(x)) g(x)
g(x) f(x) dx
d −
=
Exemplo 6: Derivar :
Sejam f(x) = (x2 + x - 2) e g(x) = (x3 + 6), então:
(i) (ii)
1 dx 2x
)) x (x) d(f(
f' = = +
[
g(x)]
2g(x)
dx
6 x
2 x y x 3
2
+
−
= +
3x2
dx d(g(x)) (x)
g' = =
[ ]
( )
[ ]
2 3
4 3
4
3 2
2 2
3
2
6x 3x
3x 6
12x x
2x
6 x
) (3x 2 x x
1) 6)(2x
(x
g(x)
dx d(g(x)) dx f(x)
d(f(x)) g(x)
g(x) f(x) dx
d dx
d(y)
+
−
− + +
+
+
− +
− +
= +
= −
=
© UNESP 6 Agosto 2008
[ ]
[
3]
22 3
4
3 2
2 3
4 3
4
6 x
6 12x 6x
2x x
6 x
6x 3x
3x 6
12x x
2x
+
+ +
+
−
= −
+
+
−
− + +
= +
14
Resumo de Regras de Derivação:
LIMITES E DERIVADAS
) 0
( =
dx c d
) 1
( −
= n
n
dx nx x d
(cf’) = c(f’)
(f+g)’ = (f’) + (g’) (f-g)’ = (f’) - (g’)
(fg)’ = (f)(g’) + (g)(f’) (f/g)’ = ((g)(f’)-(f)(g’))/g2
OBRIGADO !!!
© UNESP 6 Agosto 2008
