HOLOMORFAS SINGULARES
MAURÍCIO BARROS CORRÊA JÚNIOR
PROJETO DE PESQUISA E PLANO DE TRABALHO
Contents
1. Introdução 3
2. Resíduos e localização de classes características de folheações holomorfas 3
2.1. Objetivos 3
2.2. Justificativa e relevância 3
2.3. Resíduos de folheações holomorfas hermitianas 4 2.4. Resíduos de flags de folheações holomorfas 4 2.5. Resíduos de Baum-Bott via resíduos de Coleff-Herrera 5
2.6. Resíduos de folheações logarítmicas 5
2.7. Localização de classes características para Lie Algebroids Holomorfos 6
3. Distribuições holomorfas não-integráveis 6
3.1. Objetivo 6
3.2. Justificativa e relevância 6
3.3. Classificação de distribuições em espaços projetivos 7
3.4. Distribuições Fano 7
3.5. Objetivo 7
3.6. Justificativa e relevância 8
3.7. Distribuições com feixe tangente localmente livre 8
3.8. Objetivo 8
3.9. Justificativa e relevância 8
4. Caracterização de fibrados de co-Higgs 8
4.1. Objetivo 8
4.2. Justificativa e relevância 8
1. Introdução
O projeto terá como áreas temáticas Geometria algébrica, Geometria complexa e teoria geométrica de folheações. A principal linha de pesquisa é o estudo da geometria global das folheações e distribuições holomorfas e suas interações com geometria complexa.
2. Resíduos e localização de classes características de folheações holomorfas
2.1. Objetivos. Encontrar resultados sobre existência de resíduos e localização de classes características para classes especiais de folheações holomorfas singulares em variedades complexas, com o intuito de obter informações sobre o comportamento geométrica das mesmas.
2.2. Justificativa e relevância. O Teorema de Gauss-Bonnet para superfícies é um dos teoremas mais importante da matemática, dando uma conexão entre a geometria diferencial e topologia. Por outro lado, tal teorema é equivalente ao teorema de Poincaré-Hopf para campos de vetores sobre superfícies. Tais resulta-dos constituem parte importante resulta-dos primórdios da teoria de obstrução e classes características. Em [34] S.S Chern provou uma generalização do teorema de Gauss-Bonnet para variedades riemannianas, dando portanto uma obstrução topológica para a existência de campos de vetores sem singularidades. O teorema de Chern possui diversas generalizações dentre essas é importante mencionar o Teorema do índice de Atiyah-Singer e Teorema de resíduos de Baum-Bott, sendo este último a inspiração para este projeto pesquisa.
A seguir, faremos um breve comentário sobre essas generalizações. Teorema do índice de Atiyah-Singer :
M. Atiyah e I. Singer em [5] obteram na década de sessenta do século passado o chamado teorema do índice de Atiyah-Singer que diz que o índice de operadores elíp-ticos é determinados por certas classes características da variedade. Estas classes são invariantes topológicos de fibrados vetoriais em que o operador elíptico age na classe de holomogia do símbolo principal do operador. Além disso, eles provaram que para entender o problema do índice para um operador elíptico arbitrário é sufi-ciente entender tal problema para uma classe muito especial de operadores elípticos de primeira ordem, conhecidos como operadores elípticos do tipo Dirac. O teorema do índice para esses operadores contém como casos particulares o teorema de Gauss-Bonnet, dentre outros tais como: Teorema de assinatura de Hirzebruch e o Teorema de Hirzebruch-Riemann-Roch [47]. Vale a pena mencionar que o teorema do índice de Atiyah-Singer tem consequências profundas nos fundamentos e desenvolvimento da teoria das cordas e mecânica quântica supersimétrica. A relação entre mecânica quântica supersimétrica e o teorema do índice foi proposto originalmente em [72] pelo conceituado físico matemático Edward Witten.
Para uma classe especial de variedades complexas, chamadas variedades Kähler, os campos holomorfos globais (mesmo singulares) são raros. Porém campos mero-romorfos são abundantes. Seguindo Chern, em [8] P. Baum e R. Bott provaram um teorema do tipo Gauss-Bonnet para campos meromorfos e em [9] exibiram uma generalização deste resultado para folheações holomorfas singulares, de dimensão arbitraria, em variedades complexas. Tais resultados são hoje conhecidos como Teorema de resíduos de Baum-Bott. Essencialmente, o teorema diz que as classes características do feixe normal da folheação se localizam no conjunto singular da mesma. Outro resultado dessa natureza é o chamado Teorema de Camacho-Sad [30] [53] que diz que sobre uma subvariedade invariante por uma folheação (uma variedade saturada pelas folhas da folheação) as classes características do seu fi-brado normal se localizam na sua interseção com o conjunto singular da folheação. Tambem existem versoes desses teoremas de residuos para variedades singulares [6]. Recentemente mostramos em [27] uma versão intrinseca do teorema de Baum-Bott para orbifolds complexas.
Esta parte do projeto será composta por cinco subprojetos: 1- Resíduos de folheações holomorfas hermitianas. 2- Resíduos de flags de folheações holomorfas.
3- Resíduos de Baum-Bott via resíduos de Coleff-Herrera. 4- Resíduos de folheações logarítmicas.
5- Localização de classes características para Lie Algebroids Holomorfos 2.3. Resíduos de folheações holomorfas hermitianas. Seja F uma folheação holomorfa sobre uma variedade complexa M. Dizemnos que F é hermitiana se existe uma métrica hermitiana h ; i definida no fibrado normal NM {Sing(F)} de
F (fora do seu conjunto singular) tal que
Xh s; ti = h rXs; ti
para todo X germe de campo holomorfo tangente a F , para todo s e t germes de seções NM {Sing(F)}, onde r denota a conexão de Bott de NM {Sing(F)}.
As classes characterísticas de Bott-Chern são classes de cohomologia que refi-nam as classes de Chern e detectam a compatibilidade com métricas hermitinas. O objetivo é o estudo conciso de classes de Bott-Chern do feixe normal de fol-heações hermitinas em variedades não necessariamente Kählerianas. A espectativa é a potencial aplicação no estudo da classificação de folheações em superficies não-Kählerianas iniciada por Marco Brunella em [10], [13] e [14].
2.4. Resíduos de flags de folheações holomorfas. Um flag de folheações holo-morfas é uma sequencia de folheações F1⇢ F2⇢ · · · ⇢ Fs⇢ T M. Nosso intuito
será encontrar um teorema de resíduos do tipo Baum-Bott para flags de folheações holomorfas singulares e um teorema do tipo Camacho-Sad [30] para subvariedades invariantes por tais flags. O conceito de flag de folheações não singulares surgiu em 1975 em [37], onde B.L. Feigin investiga a obstrução para a existencia de frags de distribuições homotopicamentes integráveis. Recentemente, R. Mol em [57] estudou o comportamento das singularidades de flags de folheações holomorfas singulares e suas variedades polares.
Uma conjectura devido a Marco Brunella prediz que uma folheação de dimensão dois sobre o espaço projetivo complexo de dimensão três ou possui uma superfície algébrica invariante ou é um flag de folheações holomorfas, onde neste caso sua
subfolheação de dimensão um é por folhas algébricas. Acreditamos que um teo-rema de resíduos para flag de folheações possa dar importantes informações sobre a existencia de tais estruturas.
No trabalho, em andamento , com a colaboração com F. Lourenço e J-P. Bras-selet [7] encontramos alguns resultados parciais. Exibimos os resíduos no caso de subfolheações de dimensão um de uma folheação de codimensão um.
2.5. Resíduos de Baum-Bott via resíduos de Coleff-Herrera. Os resíduos de Baum-Bott para folheações de dimensão um e conjunto singular de dimensão zero são expressos em termos dos resíduos de Grothendieck [9]. Porém, sabe-se pouco como expressar tais resíduos para folheações em dimensões arbitrárias e com conjunto singular de dimensão qualquer . Apenas para um tipo de singularidades genéricas, conhecidas como do tipo Baum-Kupka, conhece-se uma expressão dos resíduos de Baum-Bott, veja [9].
Considere uma folheação F de dimensão k sobre uma variedade complexa X de dimensão n. Suponha que o conjunto singular de F é uma interseção completa local reduzida , ou seja, dado localmente Z = {f1 = · · · = fp}, onde f1, . . . , fp
são germes de funções holomorfas. O residuo de Coleff-Herrera [35] associado a (f1, . . . , fp)(que coincide com o residuo de Grothendieck quando n = p) é a (n p)
corrente residual @ 1 f1 ^ · · · ^ @ 1 fp .
O objetivo principal deste subprojeto será expressar os residuos de Baum-Bott de folheações em termos de resíduos de Coleff-Herrera .
2.6. Resíduos de folheações logarítmicas. Baum e Bott desenvolvem a teoria de residuos de singularidades de uma folheação holomorfa F sobre uma variedade complexa X, relacionando a soma tais resíduos com as classes características do feixe normal da folheação quando X é compacta. Uma questão emerge natural-mente: se X é não compacta como expressar a soma dos resíduos de Baum-Bott em termos das classes características do feixe normal da folheação?
Para dar uma resposta satisfatória para tal questão podemos considerar o caso não compacto no sentido de Iitaka [49], ou seja, consideramos variedades que podem ser compactificadas com a adição de um divisor. Este é o caso de variedades quase-projetivas. Deixaremos isto mais claro como segue.
Um divisor D sobre uma variedade complexa ¯Xé dito ter singularidades do tipo cruzamento normal se para todo ponto x 2 X existe um sistema de coordenadas z1, . . . , zn e um número k 2 {0, . . . n} tal que numa vizinhança de x o divisor D é
dado pelo conjunto de zeros da função holomorfa ⇧k i=1zi.
Seja D é um divisor efetivo numa variedade complexa compacta ¯X. Então o feixe ⌦1(log D) de 1-formas logaritmicas com respeito a D é definido como o subfeixe
do feixe de 1-formas meromorfas em ¯X que é localmente gerado por df/f, onde f é uma seção de OX¯(D). Este feixe é localmente livre se D tem singularidades do
tipo cruzamento normal. De fato, se D = {z1· · · zd = 0}, então ⌦1(log D) é
local-mente livre e gerado por dz1/z1, . . . , dzd/zd, dzd+1, . . . , dzn. O dual de ⌦1(log D)é
chamado feixe tangente logaritmico TX¯( log D). Uma folheação F em ¯X é dita
do tipo logaritmica se seu feixe tangente é um subfeixe de TX¯( log D). A descrição
dos residuos de F em termos de D é uma boa alternativa para uma abordagem que responda a questão sobre resíduos de folheações em variedade não compactas.
Seja X = ¯X D. Uma das principais motivações para este projeto é a seguinte fórmula [2] devido a P. Aluffi
(1) cSM(11X) = c(TX¯( log D))\ [ ¯X],
onde o lado esquerdo é a classe de Chern-Schwartz-MacPherson class da subvar-iedade aberta X e o lado direito é a classe de Chern total TX¯( log D).
O objetivo é encontrar um teorema que expresse a soma dos resíduos de Baum-Bott de uma folheação numa variedade complexa não compacta em termo das classes características de sua compactificação e do divisor D. Considere X = ¯X D, onde ¯Xé uma variedade projetiva e D é um divisor reduzido. Se F é uma folheação do tipo logaritmica em ¯X, queremos encontrar condições para que seja verdadeira a igualdade
cSM(NF|X) = c(TX¯( log D)/F ).
2.7. Localização de classes características para Lie Algebroids Holomor-fos. Bruzzo e Rubtsov em [16] provam um teorema de localização de classes carac-terísticas para fibrados equinvariantes munido de uma ação com singularidades isol-das, generalizando os teoremas de localização de Baum-Bott, Carrell-Liebermann, Feng-Ma. Neste trabalho, surge um Lie algebroide chamado Atiyah algebroid as-sociado a um fibrado.
Alguns Lie Algebroides holomorfos já apareceram na literatura. Por exemplo, no trabalho de Abate-Bracci-Tovena nas generalizações do Camacho-Sad [1].
A ideia será usar a estratégia de localização de classes características de Lehmann-Suwam, entretanto via cohomologia induzida pelo Lie Algebroide.
O objetivo será fornecer uma teoria geral de localização de classes característi-cas para lie algebroides holomorfos. Com esta abordagem geral de localização de classes características de Lie Algebroid obtemos varias aplicações e generalizações de importantes resultados . Como por exemplo, generalizações para teoremas de localização:
• de Baum-Bott, de Feng-Ma • de Carrell-Liebermann,
• Generalização do Camacho-Sad: de Lehmann-Suwa
e de Abate-Bracci-Tovena (para mapas holomorfos com subvariedades de pontos fixos)
• U. Bruzzo, L. Cirio, P. Rossi e V. Rubtsov
Além disso tal teoria de resíduos tem potenciais aplicações ao estudo de estruturas de Poisson holomorfas singulares. Isso tem sido considerado por B. Pym em [62] .
3. Distribuições holomorfas não-integráveis
3.1. Objetivo. Classificar distribuições não integráveis em variedades projetivas compactas.
3.2. Justificativa e relevância. Seja ! uma 1-forma holomorfa não-integrável e não singular em Cn. Definimos a classe de ! como o menor inteiro k tal que
!^ (d!)k
6= 0, ! ^ (d!)k+1= 0.
Também definimos o inteiro s por
Temos duas possibilidades ou k = s ou k = s + 1. No primeiro caso dizemos que a classe é par e no segundo dizemos que é ímpar. Seja ! é um germe de 1-forma holomorfa em Cn com !(0) = 0. Dizemos que 0 2 Cn é uma singularidade do tipo
Kupka para ! se (d!)k(0)6= 0.
Uma distribuição de codimensão um e classe k numa variedade complexa X é uma distribuição induzida por uma 1-forma holomorfa torcida ! 2 H0(X, ⌦1
X⌦ L),
onde L é um fibrado em retas, e com classe genérica k. Distribuições não-sigulares em variedades projeticas e com classe máxima são chamadas de distribuições de con-tato. Esse tipo de distribuições tenho sido estudado por Demailly [36] e Kebekus-Peternell-Sommese-Wisniewski [44].
3.3. Classificação de distribuições em espaços projetivos. A primeira parte será estudar o caso de distribuições não singulares em espaços projetivos complexos. Vejamos um exemplo.
Example 1. Seja F a distribuição não-integrável em Pn, de grau d, dada em
coordenadas homogêneas por
! =
k
X
i=1
(fidfi+k fi+kdfi)
tal que df1^ · · · ^ df2k(z)6= 0 . Portanto, podemos escrever localmente
! =
k
X
i=1
(xidxi+k xi+kdxi).
Neste caso, dizemos que ! tem um conjunto de Kupka do tipo contato. Recentemente em [25] provamos o seguinte resultado.
Theorem 3.1 (Corrêa-Calvo Andrade-Fernandez). Seja F uma distribuição não integrável em Pn de classe igual a k. Suponha que o conjunto singular de F é um
conjunto de Kupka do tipo contato e interseção completa de codimensão pura 2k. Então F é induzida, em coordenadas homogêneas, por uma 1-forma do tipo
k
X
i=1
(fidfi+k fi+kdfi).
Este resultado motiva o objetivo desta parte do projeto que será provar a seguinte conjectura.
Conjectura 1. Seja F uma distribuição não integrável em Pn de classe igual a k
e que cod[Sing(! ^ (d!)k)] 2. Então F é induzida, em coordenadas homogêneas,
por uma 1-forma do tipo
k
X
i=1
(difidfi+k di+kfi+kdfi),
onde dr denota o grau de fr.
3.4. Distribuições Fano.
3.5. Objetivo. Estamos interessados na classificação de distribuições de codimen-são um não integraveis e com fibrado anti-canônico KF amplo.
3.6. Justificativa e relevância. Considere uma folheação F ( TX numa
var-iedade complexa X e KF = c1(F )seu fibrado canonico. Os aspectos numéricos
de KF refletem a geometria da folheação F assim como no caso ordinário (X, KX).
No caso em que a variedade tem dimensão dois existe uma classificação birracional ( veja [12] ). Recentemente , Loray, Pereira and Touzet investigaram folheações de comdimensão 1 fcom K ⌘ 0 in [61].
C. Araujo e E. Druel estudaram as chamadas Folheações Fano em variedades projetivas. Estas são folheações F ( TX cuja a classe anti-canônica KF é
ampla. No caso em que a dimensão de F é igual a um, Wahl mostrou em [64] que (X, F )' Pn, O
Pn(1) . C. Araujo e E. Druel em [3] e [4] classificaram folheações
Fano com com índices altos, clamadas del Pezzo e Mukai. 3.7. Distribuições com feixe tangente localmente livre.
3.8. Objetivo. Classificação de folheações em P3 com feixe tangente localmente
livre.
3.9. Justificativa e relevância. L. Giraldo and A. J. Pan-Collantes mostraram em [45] que o feixe tangente de uma folheacão de dimensão 2 em P3e decomponivel
se e somente se seu esquema singular é arithmetically Cohen Macaulay (ACM). Recentemente mostramos que:
Theorem 3.2. Seja distribuição localmente livre de codimensão um em Pn tal que
seu esquema singular tem codimensão pura igual a dois. Então F é decomponível se, e somente se, é arithmetically Cohen–Macaulay.
Além disso, no trabalho em colaboracão com C. Araujo [18], mostramos que esse tipo distribuições são unicamente determinadas pelo seu esquema singular.
Estamos interessados na classificação de distribuições singulares de codimensão um em P3com tangente indecomponivel. Mais precisamente , estamos interessados
na classificação de distribuições com tangente estáveis.
4. Caracterização de fibrados de co-Higgs
4.1. Objetivo. Caracterizar fibrados de co-Higgs, nilpotentes e semi-estáveis cujo posto é igual a dimensão da variedade.
4.2. Justificativa e relevância. Uma estrutura complexa generalizada numa var-iedade real X de dimensão 2n, como definida por Hitchin [41], é um subfibrado isotropico de posto 2n de E0,1
⇢ (TX TX⇤)Ctal que
i) E0,1 E0,1 = (T
X TX⇤)C
ii) C1(E0,1)é fechado pelo colchete de Courant.
Sobre uma variedade complexa generalizada M. Gualtieri em [38] introduziu o con-ceito de fibrado holomorfo generalizado. Mais precisamente, um fibrado holomorfo generalizado é um fibrado vetorial complexo E munido de um operador diferencial D : C1(E ) ! C1(E ⌦ E0,1) tal que para toda funcao diferencialvel f e toda
seção s 2 C1(E )valem:
i) D(fs) = @(fs) + fD(s) ii) D2= 0.
Suponha que X é uma variedade complexa. Considerando sua estrutura complexa ordinaria e operador induzido D = @ + , onde
@ : C1(E ) ! C1(E ⌦ T⇤ X)
e
: C1(E ) ! C1(E ⌦ TX).
O anulamento D2= 0significa que @2= 0, @ = 0 e ^ = 0. A equação @2= 0 implica que E é de fato holomorfo. por outro lado, @ = 0implica que é uma seção holomorfa global
2 H0(X, End(E )⌦ TX)
satisfazendo a condição ^ = 0.
Um feixe de co-Higgs sheaf sobre uma variedade complexa X é um feixe E junto com uma seção 2 H0(X, End(E )
⌦ TX)(chamada de Higgs fields) satisfazendo
^ = 0. Isto é uma adaptação do conceito fibrados de Higgs de de Simpson [69] [70], porém trocando o cotangente pelo tangente. Dizemos que (E , ) é semi-estável se vale a condição de semi-estabilidade no sentido de Munford-Takemoto para todo subfeixe livre de torção invariante por .
Propriedades gerais de fibrados de co-Higgs foram estudadas por Hitchin em [48], onde foi investigado a relação entre geometria complexa generalizada e B-field symmetry. Veja os artigos [39], [43] e [71] sobre essa relação com fisica matematica. Hitchin observou que não existem fibrados de co-higgs estáveis sobre curvas de g > 1. S. Rayan mostrou em [65] a não existência de fibrados de co-higgs estáveis em superfícies K3 e do tipo geral.
Recentemente, mostramos um resultado mais preciso que de Rayan:
Theorem 4.1. [23] Seja (E , ) um fibrado de co-Higgs de posto dois sobre uma superfície Kähler compacta X com 2 H0(X, End(E )
⌦ TX) nilpotente. Se E é
semi-estável então , a menos de recobrimento étale, valem: i) X é uniregrada;
ii) X é um toro e (E , ) é estritamente semi-estável;
iii) X é uma superfície propriamente elliptica e (E , ) é estritamente semi-estável.
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