Teste de Matemática CURSO: Ergonomia e Reabilitação Psicomotora 10/I/12 Duração: 2h Justifique cuidadosamente todas as suas respostas.

Teste de Matem´

atica

CURSO: Ergonomia e Reabilita¸c˜ao Psicomotora 10/I/12 Dura¸c˜ao: 2h

Justifique cuidadosamente todas as suas respostas.

I – (12 valores)

(a) Resolva o seguinte sistema pelo m´etodo de elimina¸c˜ao de Gauss        y − z = 2 −x + y + 2z − w = 0 x + 2y − z − w = 0 −x + y − z + w = 6 (b) Sendo A =   −4_{−2 −2 2}2 0 0 −2 2   _{e B =}   −1₋₁ 1 0_{0 1} 0 −1 2   ,

determine AB2_{. Com base neste resultado, calcule, justificando,}

A−1_.

(c) Determine os vectores de R4 _{com norma 2 cuja projec¸c˜ao sobre}

o vector u = (0, 1, −1, 0) ´e u e que s˜ao perpendiculares aos vectores (1, 0, 0, −1) e (1, 0, −1, 0).

(d) Determine o ponto sobre a recta definida por 2x + 3y = 1 mais pr´oximo da origem.

(e) Estude as seguintes s´eries quanto `a convergˆencia, calculando a sua soma num dos casos.

i) ∞ X n=1 3n+1 22n ii) ∞ X n=1 11n n!

(f) Calcule uma primitiva de cada uma das seguintes fun¸c˜oes: i) 2x8/5_{+ xe}−2x2

+ 1

i) Z _π 0 4 sin ³ 3 2x ´ + 5 cos(3x) dx ii) Z _+∞ 0 4e−3x_{− 3e}−4x _dx

(b) Considere as regi˜oes do plano definidas por Xβ = © (x, y) ∈ R2 _{: 0 < y < e}−3x_{∧ 0 < x < β}ª_, e Yβ = © (x, y) ∈ R2 _{: 0 < y < e}−3x_{∧ β < x}ª_,

onde β ´e um n´umero real positivo. Determine β por forma a que as ´areas de Xβ e Yβ sejam iguais.

III – (1.5 valores) Calcule os seguintes limites

i) lim x→0 e−x2 − 1 + x2 x4 ii) limx→0 Z _2x 0 sin(t2_{) dt} x3 .

IV – (2 valores) Sejam u1 e u2 dois vectores de Rn tais que α1u1+

α2u2 6= 0, quaisquer que sejam os n´umeros reais α1 e α2 n˜ao

simula-taneamente nulos. Defina os vectores v1 e v2 por

v1 = u1 e v2 = u2− Pv1u2,

onde Pv1u2 denota a projec¸c˜ao do vector u2 sobre o vector v1.

(a) Mostre que os vectores v1 e v2 s˜ao perpendiculares.

(b) Sendo w = β1v1 + β2v2, mostre que se tem

βi =

w.vi

kvik2

Teste de Matem´

atica

CURSO: Ergonomia e Reabilita¸c˜ao Psicomotora 10/I/12 Dura¸c˜ao: 2h

Justifique cuidadosamente todas as suas respostas.

I – (12 valores)

(a) Resolva o seguinte sistema pelo m´etodo de elimina¸c˜ao de Gauss        y − z = 2 −x + y − z + w = 6 x + 2y − z − w = 0 −x + y + 2z − w = 0 (b) Sendo A =   2 0 −4_{4 2 −8} 4 2 −6   _{e B =}   −1_{0 −1 2}1 0 −1 0 1   ,

determine AB2_{. Com base neste resultado, calcule, justificando,}

A−1_.

(c) Determine o ponto sobre a recta definida por 3x + 2y = 1 mais pr´oximo da origem.

(d) Determine os vectores de R4 _{com norma 2 cuja projec¸c˜ao sobre}

o vector u = (0, 1, −1, 0) ´e u e que s˜ao perpendiculares aos vectores (1, 0, 0, −1) e (1, 0, −1, 0).

(e) Estude as seguintes s´eries quanto `a convergˆencia, calculando a sua soma num dos casos.

i) ∞ X n=1 4n+1 32n ii) ∞ X n=1 7n n!

(f) Calcule uma primitiva de cada uma das seguintes fun¸c˜oes: i) 3x9/5_{+ xe}−3x2

+ 1

i) Z _π 0 4 sin ³ 5 3x ´ + 5 cos(5x) dx ii) Z _+∞ 0 4e−2x_{− 2e}−4x _dx

(b) Considere as regi˜oes do plano definidas por Xβ = © (x, y) ∈ R2 _{: 0 < y < e}−2x_{∧ 0 < x < β}ª_, e Yβ = © (x, y) ∈ R2 _{: 0 < y < e}−2x_{∧ β < x}ª_,

onde β ´e um n´umero real positivo. Determine β por forma a que as ´areas de Xβ e Yβ sejam iguais.

III – (1.5 valores) Calcule os seguintes limites

i) lim x→0 e−x2 − 1 + x2 x4 ii) limx→0 Z _3x 0 sin(t2_{) dt} x3 .

IV – (2 valores) Sejam u1 e u2 dois vectores de Rn tais que α1u1+

α2u2 6= 0, quaisquer que sejam os n´umeros reais α1 e α2 n˜ao

simula-taneamente nulos. Defina os vectores v1 e v2 por

v1 = u1 e v2 = u2− Pv1u2,

onde Pv1u2 denota a projec¸c˜ao do vector u2 sobre o vector v1.

(a) Mostre que os vectores v1 e v2 s˜ao perpendiculares.

(b) Sendo w = β1v1 + β2v2, mostre que se tem

βi =

w.vi

kvik2

Exame de Matem´

atica

CURSO: Ergonomia e Reabilita¸c˜ao Psicomotora 10/I/12 Dura¸c˜ao: 2h

Justifique cuidadosamente todas as suas respostas.

I – (12 valores)

(a) Determine os valores de α para os quais o sistema        y − z = 2 x + 2y − z − w = 0 −x + y − z + w = 6 −x + y + 2z + αw = 0

´e poss´ıvel e determinado. Determine a solu¸c˜ao quando α = −1.

(b) Sendo A =   ₋₃0 −3 3_{0 3} −6 3 0   _{e B =}   0₁ 1 −1_{0 −1} 2 −1 0   ,

determine AB2_{. Com base neste resultado, calcule, justificando,}

A−1_.

(c) Determine os vectores de R4 _{com norma 2 cuja projec¸c˜ao sobre}

o vector u = (0, 1, −1, 0) ´e u e que s˜ao perpendiculares aos vectores (1, 0, 0, −1) e (1, 0, −1, 0).

(d) Determine o ponto sobre a recta definida por 4x + 5y = 1 mais pr´oximo da origem.

(e) Estude as seguintes s´eries quanto `a convergˆencia, calculando a sua soma num dos casos.

i) ∞ X n=2 4n−1 32n ii) ∞ X n=1 9n n!

(f) Calcule uma primitiva de cada uma das seguintes fun¸c˜oes: i) 3x9/5_{+ xe}−5x2

+ 1

i) Z _π 0 4 sin ³ 3 2x ´ + 5 cos(2x) dx ii) Z _+∞ 0 2e−3x_{− 3e}−2x _dx

(b) Considere as regi˜oes do plano definidas por Xβ = © (x, y) ∈ R2 : 0 < y < e−4x∧ 0 < x < βª, e Yβ = © (x, y) ∈ R2 _{: 0 < y < e}−4x_{∧ β < x}ª_,

onde β ´e um n´umero real positivo. Determine β por forma a que as ´areas de Xβ e Yβ sejam iguais.

III – (1.5 valores) Calcule os seguintes limites

i) lim x→0 e−x2 − 1 + x2 x4 ii) lim_x→0 Z _2x 0 sin(t2_{) dt} x3 .

IV – (2 valores) Sejam u1 e u2 dois vectores de Rn tais que α1u1+

α2u2 6= 0, quaisquer que sejam os n´umeros reais α1 e α2 n˜ao

simula-taneamente nulos. Defina os vectores v1 e v2 por

v1 = u1 e v2 = u2− Pv1u2,

onde Pv1u2 denota a projec¸c˜ao do vector u2 sobre o vector v1.

(a) Mostre que os vectores v1 e v2 s˜ao perpendiculares.

(b) Sendo w = β1v1 + β2v2, mostre que se tem

βi =

w.vi

kvik2