Física Geral 3001 Cap 8 Campo Magnético

Física Geral 3001

Cap 8 – Campo Magnético

20ª _Aula

Sumário

8.1 – O Campo Magnético - Introdução

8.2 – Definição de 𝐵

8.3 – A Descoberta do elétron

8.4 – Efeito Hall

8.5 – Movimento Circular

8.6 – Força magnética sobre um fio transportando

corrente

8.7 –Torque sobre uma bobina de corrente

Neste capítulo introduziremos o conceito de Campo magnético

Definição: região do espaço ao redor de um imã ou de um condutor percorrido por uma corrente elétrica, na qual o ocorrem interações magnéticas

8.1 – O Campo Magnético - Introdução

O campo magnético

𝑩 surge de

cargas em movimento

* Imãs Permanentes: neste caso, o campo surge devido ao

movimento de carga (corrente) existente no material

Movimento dos elétrons ao redor dos núcleos e do seu próprio eixo de rotação (Spin)

O efeito global deste movimento no interior do imã, corresponde a uma corrente sobre a superfície do material, produzindo o campo do imã

Imã é Análogo a um

fio transportando

* Fios transportando corrente: no fio, a existência de

corrente, implica em cargas em movimento, criando o campo magnético

𝐸 → 𝑖 → 𝐵

Fora do fio Dentro do fio

* Condições a respeito do campo magnético:

A – os efeitos mais pronunciados são nas proximidades de suas extremidades

B – NÃO EXISTEM MONOPOLOS MAGNÉTICOS: quando

um imã é dividido, os mesmos efeitos magnéticos surgem em cada pedaço restante, devido as correntes superficiais, fazendo com que cada um adquira um polo norte e outro sul

C – Linhas de campo magnético nos fornecem:

i-direção de 𝐵 - tangente a linha de campo magnético em um ponto;

ii – Modulo de 𝐵 - espaçamento entre linhas; iii – Sentido de 𝐵 - norte/sul

D – Experimentalmente observa-se: polos opostos se atraem e iguais se repelem

E – Terra e polos magnéticas

A agulha de um bússola alinha-se com os polos geográficos norte e sul

Em função da regra de atração e repulsão, conclui-se que o polo geográfico sul corresponde ao polo norte magnético e, o norte geográfico ao sul magnético

𝐵_𝑇 ≅ 10−4𝑇

Eixo da Terra sofre alterações quando ocorrem grandes terremotos:

Chile (2010) diminuição do dia em 1,6𝜇𝑠 Japão (2011) diminuição do dia em 1,26𝜇𝑠

8.2 – Definição de 𝐵

Como não existem monopolos magnéticos, temos que definimos 𝐵 em termos da força magnética exercida sobre uma carga em movimento

𝐹 _𝐵 = 𝑞𝑣 × 𝐵 𝐴 = 𝐴_𝑥𝑖 + 𝐴_𝑦𝑗 + 𝐴_𝑍𝑘 𝐵 = 𝐵_𝑥𝑖 + 𝐵_𝑦𝑗 + 𝐵_𝑍𝑘 𝐴 × 𝐵 = 𝑖 𝑗 𝑘 𝐴_𝑥 𝐴_𝑦 𝐴_𝑧 𝐵_𝑥 𝐵_𝑦 𝐵_𝑧 = 𝐴_𝑦𝐵_𝑍 − 𝐵_𝑦𝐴_𝑧 𝑖 + 𝐵_𝑥𝐴_𝑍 − 𝐴_𝑥𝐵_𝑍 𝑗 + 𝐴_𝑥𝐵_𝑦 − 𝐵_𝑥𝐴_𝑦 𝑘 𝐴 ∙ 𝐵 = 𝐴_𝑥𝐵_𝑋 + 𝐴_𝑦𝐵_𝑦 + 𝐴_𝑧𝐵_𝑧

Lembrete: sejam os vetores, * Produto vetorial

* Como temos um produto vetorial, podemos determinar a direção da força através da regra da mão direita: 𝑣 𝑣𝑎𝑟𝑟𝑖𝑑𝑜 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝐵

Unidades de 𝐵 (SI) – TESLA: 1𝑇 = _𝐶1𝑁𝑚 𝑠 = _𝐴𝑚1𝑁 = 104𝐺𝑎𝑢𝑠𝑠 𝐹 _𝐵 = 𝑞𝑣 × 𝐵 𝐹 _𝐵 = 𝑞𝑣𝐵𝑠𝑒𝑛𝜃 𝜃 0° 180° ⇒ 𝐹𝐵 = 0 𝜃 = 90° ⇒ 𝐹_𝐵 ≡ 𝑚𝑎𝑥 Se 𝑞 = 0 ou 𝑣 = 0, 𝐹_𝐵 = 0

Se 𝐵 é uniforme e constante, 𝐹_𝐵 só varia a trajetória da partícula

Quando um campo 𝐸 e um campo 𝐵 atuam sobre a mesma partícula de carga 𝑞 e velocidade 𝑣

8.3 – A Descoberta do elétron

J.J. Thomson (1887) mediu a razão q/m do elétron (descoberta do elétron)

* Fazendo 𝐸 = 𝐵 = 0 o feixe não é defletido e atinge o ponto A na tela fosforescente

A B

* Fazendo 𝐸 ≠ 0, 𝐵 = 0 o feixe é defletido e atinge o ponto B na tela fosforescente

* Sendo assim vamos tratar o movimento dos elétrons em duas dimensões. Em módulo, temos:

𝐹_𝐸 = 𝐹_𝐸 = 𝑚𝑎_𝑦

𝑎

𝑦

=

𝐹_𝑚𝐸

=

𝑞𝐸_𝑚

(1) * Movimento em y: _{𝑌 =} 1 2 𝑎𝑦𝑡2 = 1 2 𝑞𝐸 𝑚 𝑡2 (2) * Movimento em x: _{𝐿 = 𝑣} 𝑥𝑡 → 𝑡 = 𝐿 𝑣_𝑥 (3) Aplicando (3) em (2): 𝑦 = 1 2 𝑞𝐸 𝑚 𝐿2 𝑣2 → 𝑞 𝑚 = 2𝑣2𝑦 𝐸𝐿2 (4)

Mantendo-se 𝐸 e aplicando 𝐵 de tal forma se anular a deflexão: 𝐹_𝐸 = 𝐹_𝐵 ⇒ 𝑞𝐸 = 𝑞𝑣𝐵 ∴ 𝑣 = 𝐸 𝐵 (5) Aplicando (5) em (4): 𝑞 𝑚 = 2𝑦 𝐸𝐿2 𝐸2 𝐵2 ⇒ 𝒒 𝒎 = 𝟐𝒚𝑬 𝑳𝟐_𝑩𝟐

8.4 – Efeito Hall

* Efeito devido ao desvio de carga em um fio de condução quando aplicado um campo magnético, surgindo uma

diferença de potencial _{* Tomando o caso (b):}

a b 𝑉_𝑎 > 𝑉_𝑏 𝑉_𝑎 − 𝑉_𝑏 ≡ 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛ç𝑎 𝑑𝑒 𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙 𝐻𝑎𝑙𝑙 No equilíbrio (modulo): 𝐹_𝐸 = 𝐹_𝐵 −𝑒𝐸 = −𝑒𝑣_𝑑𝐵 𝑣_𝑑 = 𝐸 𝐵 (6)

Por sua vez: _𝑣 𝑑 = 𝐽 𝑛𝑒 = 𝑖 𝑛𝑒𝐴 (7) Escrevendo: 𝐸 = 𝑉 𝑑 (8) Aplicando (7), (8) em (6): 𝑖 𝑛𝑒𝐴 = 𝐸 𝐵 = 𝑉 𝐵𝑑 (9)

Colocando em termos da densidade de carga n _{𝑛 =} 𝑖𝐵𝑑

𝑒𝑉𝐴

Escrevendo em termos do inverso da espessura da fita de cobre: 1 𝑙 = 𝑑 𝐴 𝑛 = 𝑖𝐵 𝑒𝑙𝑉 (10) Ou de outra forma: 𝐵 = 𝐶 𝑉 𝑖 (11) na qual

8.5 – Movimento Circular

Quando 𝑣 ⊥ 𝐵 ⇒ movimento circular uniforme: MCU:

Tomando a força em módulo: 𝐹 = 𝐹_𝐵

𝑚 𝑣2

𝑟 = 𝑞𝑣𝐵 𝑟 =

𝑚𝑣

Tomando o período de uma volta: 2𝜋𝑟 = 𝑣𝑇 _{𝑇 =} 2𝜋𝑟 𝑣 (13) Aplicando (12) em (13): 𝑇 = 2𝜋 𝑣 𝑚𝑣 𝑞𝐵 = 2𝜋𝑚 𝑞𝐵 (14) Por sua vez

𝑓 = 1 𝑇 = 𝑞𝐵 2𝜋𝑚 (15) 𝜔 = 2𝜋𝑓 = 2𝜋 𝑞𝐵 2𝜋𝑚 𝜔 = 𝑞𝐵 𝑚 (16) Não depende de V

Observe: 𝑟 ↑ 𝑠𝑒 𝑣 ↑, porém partículas com a mesma razão _𝑚𝑞 levam o meso tempo T para executar uma volta completa

Uma partícula se move em torno do campo com trajetória helicoidal quando o ângulo entre 𝑣 𝑒 𝐵 for diferente de 90° _.

Teremos, então, componentes 𝑣 ∕∕ 𝐵 e 𝑣 ⊥ 𝐵

Componente 𝑣 ∕∕ 𝐵 : movimento

helicoidal - passo da hélice: 𝑣_∕∕ = 𝑣𝑐𝑜𝑠𝜃 Componente 𝑣 ⊥ 𝐵 : movimento de rotação: 𝑣_⊥ = 𝑣𝑠𝑒𝑛𝜃 Raio da hélice: 𝑟 = 𝑚𝑣⊥ 𝑞𝐵 Passo da hélice: 𝑃 = 𝑣_∕∕𝑇

8.6 – Força magnética sobre um fio transportando

corrente

Campo𝐵 perpendicular a 𝑣 :

𝐹 _𝐵 = 𝐹_𝐵 = 𝑞𝑣_𝑑𝐵𝑠𝑒𝑛𝜃 = 𝑞𝑣_𝑑𝐵 Por sua vez:

𝐿 = 𝑣_𝑑∆𝑡 _{∆𝑡 =} 𝐿 𝑣_𝑑 Lembrando que: 𝑞 = 𝑖∆𝑡 𝑞 = 𝑖𝐿 𝑣_𝑑 𝐹_𝐵 = 𝑖𝐿 𝑣_𝑑 𝑣𝑑𝐵 ⇒ 𝐹𝐵 = 𝑖𝐿𝐵

Quando o campo 𝐵 não for perpendicular ao fio, a força magnética será dada por :

𝐹 _𝐵 = 𝑖𝐿 × 𝐵

Na qual 𝐿 é um vetor ao longo do segmento do fio, no sentido da corrente.

Quando o fio não for retilíneo, divide-se o fio em pequenos segmentos de reta e, aplica-se:

𝑑𝐹 _𝐵 = 𝑖𝑑𝐿 × 𝐵

Considere o exemplo 30.7: Força magnética resultante sobre o fio.os

AS forças atuando em cada trecho tem módulo igual a: 𝑑𝐹_𝑥 = 𝑑𝐹𝑐𝑜𝑠𝜃

𝑑𝐹_𝑦 = 𝑑𝐹𝑠𝑒𝑛𝜃 𝐹₁ = 𝐹₃ = 𝑖𝐿𝐵

A força resultante será dada por: 𝐹_𝑇 = 𝐹₁ + 𝐹₂ + 𝐹₃ 𝐹₂ = 𝑑𝐹_𝑦 = 𝑑𝐹𝑠𝑒𝑛𝜃 Observe que os termos horizontais 𝑑𝐹𝑐𝑜𝑠𝜃 se anulam por simetria.

Logo temos: _{𝑑𝐹 = 𝑖𝑏𝑑𝑙 = 𝑖𝐵𝑅𝑑𝜃} 𝐹₂ = 𝑖𝐵𝑅𝑠𝑒𝑛𝜃𝑑𝜃 = 𝑖𝐵𝑅 𝑠𝑒𝑛𝜃𝑑𝜃 𝜋 0 𝜋 0 𝐹₂ = 𝑖𝑅𝐵 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝜋 0 = 2𝑖𝐵𝑅

Substituindo na equação da força resultante temos: 𝐹_𝑇 = 𝐹₁ + 𝐹₂ + 𝐹₃

𝐹_𝑇 = 𝑖𝐿𝐵 + 2𝐼𝑅𝐵 + 𝑖𝐿𝐵 Colocando 2𝑖𝐵 em evidência:

8.7 –Torque sobre uma bobina de corrente

* Se colocarmos uma bobina condutora fechda num campo magnético externo e, ppor ela, passarmos corrente, um torque atuará sobre a bobina fazendo-a girar. Princípio básico do funcionamento do motor elétrico.

bobina condutora

fechada passar corrente na bobina campo magnético externo e 𝜏 = 𝑡𝑜𝑟𝑞𝑢𝑒

Considere o diagrama abaixo de uma bobina em um campo magnético:

Lados 2 e 4: ângulo entre 𝐿 e 𝐵: 𝜃 − 90 = 𝛼; 𝐿//𝐵

𝐹₂ = 𝑖𝑏𝐵𝑠𝑒𝑛𝛼 = 𝑖𝑏𝐵𝑠𝑒𝑛 90 − 𝜃 = 𝑖𝑏𝐵𝑐𝑜𝑠𝜃

𝐹₂ = 𝐹₄, porem em sentidos contrários, logo 𝐹_𝑅 = 0 e, como têm a mesma linha de ação, o torque resultante é zero.

Lados 1 e 3: 𝐹₁ = 𝐹₃ = 𝑖𝑎𝐵; têm sentidos opostos, porém diferentes linhas de ação, de modo, que formam um binário e tendem a girar a bobina

O torque resultante tende a girar a bobina de modo a alinhar 𝑛 e 𝐵. O Braço de alavanca deste torque é 𝑏₂.

𝜏 = 𝑟 × 𝐹 = 𝑟𝐹𝑠𝑒𝑛𝜃 = 𝐹 𝑏 2 𝑠𝑒𝑛𝜃 Referente as forças 𝐹₁ 𝑒 𝐹₃: 𝜏′ = 𝑖𝑎𝐵 𝑏 2 𝑠𝑒𝑛𝜃 + 𝑖𝑎𝐵 𝑏 2 𝑠𝑒𝑛𝜃 = 𝑖𝑎𝑏𝐵𝑠𝑒𝑛𝜃

Para N voltas da bobina

𝜏 = 𝑁𝜏′ = 𝑁𝑖𝑎𝑏𝐵𝑠𝑒𝑛𝜃 = 𝑖𝑁𝐴𝐵𝑠𝑒𝑛𝜃

Na qual A é a área da bobina. Seja 𝜇 = 𝑁𝐴𝑖 o momento de dipolo magnético:

𝜇 = 𝑁𝐴𝑖𝑛

𝜏 = 𝜇𝐵𝑠𝑒𝑛𝜃 𝜏 = 𝜇 × 𝐵

𝜇 = 𝐽

Observe que enquanto o campo magnético está exercendo um torque sobre o dipolo magnético, trabalho deve ser realizado para mudar a orientação do dipolo.

Assim, análogo ao campo elétrico, temos:

𝑈 𝜃 = −𝜇 ∙ 𝐵 Energia Potencial Magnética

∆𝑈 = 𝑈 180° − 𝑈(0°)

= −𝜇𝐵𝑠𝑒𝑛180 − (−𝜇𝐵𝑠𝑒𝑛0) = −𝜇𝐵 − (−𝜇𝐵)