MODELO BASEADO EM INDIVÍDUOS PARA ESTUDO DE PROPAGAÇÃO DE VÍRUS DE COMPUTADOR EM METAPOPULAÇÕES COM CARACTERÍSTICAS

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MODELO BASEADO EM INDIVÍDUOS PARA ESTUDO DE PROPAGA ¸C ÃO DE VÍRUS DE COMPUTADOR EM METAPOPULA ¸C ÕES COM CARACTERÍSTICAS

HETEROG ˆENEAS

João Paulo Vieira∗, Márcio Júnior Lacerda†, Samir Angelo Milani Martins∗, Erivelton Geraldo Nepomuceno∗

∗_{Grupo de Controle e Modelagem, Departamento de Engenharia El´}_etrica

Universidade Federal de São João del-Rei, Pra¸ca Frei Orlando 170 - Centro, 36307-352 São João del-Rei, Minas Gerais, Brasil

†_{Faculdade de Engenharia El´}_{etrica e de Computa¸}_c˜_ao,

Universidade Estadual de Campinas – UNICAMP, 13083-852, Campinas, SP, Brasil. Emails: jpvieira66@yahoo.com.br, marciojlacerda@yahoo.com.br,

milani.martins@gmail.com, nepomuceno@ufsj.edu.br

Abstract— This paper presents a new approach to mathematical modeling of virus propagation in a computer

network. In this sense, the Individual Based Model - IBM is used. The IBM is composed by four compartiments: Suscetible (S), Antidote (A), Infected(I) and Removed (R). It Is showed an equivalence of the model purposed with the differential equation model SAIR. Furthermore, it is implemented an approach where it is considered a population divided into n distincts group. Each group is located in a different virtual space, with specific features. This approach is not possible in the continuous model SAIR and is the main focus of this work. In the purposed model is also applied a control action by mean of isolation of the individuals in each metapopulation. This control is efficient to the virus propagation control. To conclude, is important ressalt that consider the population heterogeneous become the model more real and allow the application of distribuited control actions, based on the metapopulation characteristics.

Keywords— Individual based model, computer virus, computers networks, SAIR model.

Resumo— Este artigo apresenta um novo modelo para representar a dinˆamica da propaga¸c˜ao de v´ırus em

redes de computadores. O Modelo Baseado em Indiv´ıduos (MBI) foi utilizado. O MBI apresentado neste artigo ´e

composto por quatro compartimentos: Suscet´ıveis (S), Ant´ıdotos (A), Infectados (I) e Removidos (R). ´E mostrada

a equivalência do modelo proposto com o modelo a equa¸cões diferenciais SAIR. Além disso é implementada uma

abordagem que considera a popula¸c˜ao dividida em n grupos, cada grupo est´a localizado em um espa¸co virtual

diferente, com caracter´ısticas espec´ıficas. Esta abordagem n˜ao ´e poss´ıvel no modelo SAIR, sendo o principal

foco deste trabalho. No modelo proposto também é aplicada uma a¸cão de controle por meio de isolamento de

indiv´ıduos de cada metapopula¸c˜ao, sendo a mesma eficiente para o controle da propaga¸c˜ao de v´ırus em uma

rede de computadores. Por fim, ressalta-se a importância de considerar a popula¸cão heterogênea, o que torna o

modelo mais real´ıstico e permite a aplica¸c˜ao de a¸c˜oes de controle distribu´ıdo, de acordo com as caracter´ısticas

da metapopula¸c˜ao.

Palavras-chave— Modelo baseado em indiv´ıduos, v´ırus de computador, redes de computadores, modelo

SAIR.

1 Introdu¸c˜ao

Um v´ırus de computador é definido como um software mintencionado capaz de danificar, al-terar o correto funcionamento do computador ou obter informa¸cões de maneira ilegal (Cheng e Hong, 2008; Balthrop et al., 2004; Lloyd e May, 2001) explorando alguma vulnerabilidade em segmentos ou aplica¸cões auxiliares do sistema ope-racional. Hoje com a existência de redes tecnol´ o-gicas que possibilitam o acesso à internet em n´ıvel global e a existência de inúmeras redes sociais, os mecanismos de propaga¸cão dos v´ırus tornaram-se cada vez mais complexos. O grande número e a complexidade dos códigos dos v´ırus fazem que sua deteçcão e remo¸cão por programas antiv´ırus seja cada vez mais problemática (Tippett, 1991).

O estudo da forma como estas epidemias se propagam ´e importante devido a necessidade de estabelecer estrat´egias que aumentem a seguran¸ca dos computadores e redes (Cheng e Hong, 2008;

Piqueira et al., 2005). A propaga¸cão de v´ırus em redes de computadores pode ser estudada de forma análoga às epidemias ocorridas em uma po-pula¸cão de seres humanos, uma vez que ambos sistemas são compostos por indiv´ıduos (computa-dores e seres humanos, respectivamente) e inter-a¸cões entre estes indiv´ıduos, compondo então um sistema complexo (Alvarenga et al., 2006). Dentre os modelos matemáticos desenvolvidos para repre-senta¸cão da propaga¸cão de epidemias, os mode-los compartimentais tem sido largamente utiliza-dos. No âmbito de sistemas informatizados, temse o modelo compartimental SAIR (Suscet´ıvel -Ant´ıdoto - Infectado - Removido), proposto por Piqueira et al. (2005), que representa a dinâmica da propaga¸cão de v´ırus em redes de computa-dores considerando-se indiv´ıduos com caracter´ıs-ticas homogêneas. Essa premissa de homogenei-dade, entretanto, não é observada em vários ti-pos de popula¸cões (Coutinho et al., 1999). Uma

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abordagem para lidar com a quest˜ao de popula-¸

cões heterogêneas, estudada em ecologia, os cha-mados Modelos Baseados em Indiv´ıduos, MBI (ou IBM, do inglês Individual Based Model ) (Grimm et al., 2006; Keeling e Grenfell, 2000; Grimm, 1999; Nepomuceno et al., 2006) estão em crescente estudo. Nestes modelos segundo Grimm et al. (2006), “cada indiv´ıduo é tratado como uma enti-dade única e discreta que possui idade e ao menos mais uma propriedade que muda ao longo do ci-clo da vida, tal como peso, posi¸cão social, entre outras”.

Alvarenga et al. (2006) propuseram uma abor-dagem baseada em indiv´ıduos, ou seja, uma re-presenta¸cão do modelo SAIR para o MBI, consi-derando cada indiv´ıduo como uma entidade única e discreta no tempo. Neste trabalho, apenas uma popula¸cão foi considerada. Esse é um outro pro-blema, pois as popula¸cões são normalmente subdi-vididas. Dada a coexistência de redes tecnológicas e sociais (Cheng e Hong, 2008) a complexidade dos mecanismos de intera¸cão entre os indiv´ıduos pre-sentes torna-se grande. O estudo de técnicas que possibilitem a incorpora¸cão de caracter´ısticas so-ciais e tecnológicas nos modelos se torna evidente. A divisão por grupos é uma forma de incorpo-rar as caracter´ısticas sociais. Esses grupos, tor-nam a popula¸cão uma metapopula¸cão (Alonso e McKane, 2002; Fulford et al., 2002; Keeling e Gil-ligan, 2000). Caracter´ısticas heterogêneas e meta-popula¸cão são os principais problemas investiga-dos nesse artigo relativos a propaga¸cão de v´ırus de computador.

O restante do artigo está organizado da se-guinte forma. Na se¸cão 2 são abordados os concei-tos preliminares . A se¸cão 3 apresenta a meto-dologia utilizada para a obten¸cão dos resultados. A análise e discussão dos resultados são tratados pela se¸cão 4. Na se¸cão 5 temos a conclusão e são apresentadas propostas para futuras pesquisas.

2 Conceitos Preliminares

Nesta se¸c˜ao s˜ao apresentados os conceitos funda-mentais do modelo SAIR e do MBI:

2.1 Descri¸c˜ao do SAIR

O modelo SAIR é uma modifica¸cão do mo-delo epidemiológico SIR (Suscet´ıvel - Infectado Recuperado) (Kermack e McKendrick, 1927), com a inclusão de um novo compartimento: o Ant´ı-doto, representando os computadores da rede que estão protegidos por um programa Antiv´ırus. O compartimento R do modelo SIR foi modificado para Removido, no caso do SAIR. No modelo SAIR, os quatro compartimentos considerados são:

• Suscet´ıveis: Computadores que não estão in-fectados, mas podem sofrer infeçcão;

• Infectados: Computadores que est˜ao infecta-dos e podem transmitir para outros indiv´ı-duos;

• Removidos: Computadores removidos da rede devido infec¸c˜ao por v´ırus;

• Ant´ıdotos : Computadores com antiv´ırus que fornecem uma capacidade efetiva de prote¸c˜ao aos v´ırus existentes;

A Equa¸cão (1) mostra o sistema de equa¸cões diferenciais não-lineares que compõem o modelo de propaga¸cão de v´ırus de computadores SAIR:

dS dt = N − αSA − βSISI − µS + σIS+ σRSR dI dt = βSI+ βAIAI − σISI − δI − µI dR dt = δI − σRSR − µR (1) dA dt = αSA − µA − βAIAI ,

em que N representa a taxa de inclusão de no-vos computadores na rede; δ representa a taxa com que computadores infectados são retirados da rede; µ é a taxa de computadores inutilizados de-vido a infeçcão por v´ırus; βSI é a taxa de

infec-¸

c˜ao de computadores suscept´ıveis; βAI ´e a taxa

de infeçcão de computadores com antiv´ırus de-vido a novos v´ırus; σRSé a taxa com que

compu-tadores removidos s˜ao recuperados por interven-¸

c˜ao humana e tornam-se suscept´ıveis; σIS´e a taxa

com que computadores s˜ao recuperados e tornam-se suscept´ıveis; α ´e a taxa com que computadores suscept´ıveis tornam-se ant´ıdotos devido a instala-¸

c˜ao de anti-v´ırus.

Neste trabalho, será desconsiderada a inser¸cão de novos computadores na rede durante o processo de propaga¸cão (N = 0) e a inutiliza¸cão pela infec-¸

cão (µ = 0), uma vez que estes processos são de uma constante de tempo extremamente elevada, em rela¸cão ao tempo de propaga¸cão de um v´ırus de computador (Piqueira et al., 2005).

2.2 Modelo Baseado em Indiv´ıduos

Nepomuceno e colaboradores (Nepomuceno et al., 2006) expressaram o modelo compartimental SIR utilizando o Modelo Baseado em Indiv´ıduos -MBI, no qual um indiv´ıduo ´e representado por:

Im,t= [C1 C2 · · · Cn], (2)

em que m é o tamanho da popula¸cão, t é o ins-tante em que o indiv´ıduo apresenta um conjunto espec´ıfico de caracter´ısticas e Cn é uma

carac-ter´ıstica do indiv´ıduo. A primeira caraccarac-ter´ıstica ´e o seu estado do ponto de vista epidemiol´ogico, ou seja, suscet´ıvel, infectado, recuperado. Ou-tras caracter´ısticas podem ser a idade, o tempo

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de dura¸cão da infeçcão, o sexo, a localiza¸cão es-pacial ou quaisquer outras caracter´ısticas do in-div´ıduo consideradas relevantes. Mais detalhes acerca das caracter´ısticas podem ser encontrados em (Nepomuceno et al., 2006). Por sua vez, uma popula¸cão de indiv´ıduos é representada por:

Pt= [I1,t I2,t I3,t · · · Im,t]T, (3)

em que Im,t ´e um indiv´ıduo no instante t e P ´e

uma matriz m × n. Para a condu¸cão adequada do MBI, é necessário adotar algumas premissas listadas a seguir:

1. Popula¸cão constante. Neste trabalho, optou-se por utilizar a popula¸cão constante, uma vez que o per´ıodo de propaga¸cão de um v´ı-rus é extremamente rápido em compara¸cão a inser¸cão de novos computadores na rede. 2. Caracter´ısticas do indiv´ıduo. Um indiv´ıduo

´e caracterizado por um conjunto de n carac-ter´ısticas.

3. Categorias de indiv´ıduos. Existem quatro ca-tegorias para um indiv´ıduo: 0 (suscet´ıvel), 1 (infectado) e 2 (removido) e 3(ant´ıdoto). 4. Mudan¸ca de categoria. Uma vez em uma

ca-tegoria, o indiv´ıduo pode mudar para uma outra categoria em cada instante de tempo, de acordo com os parâmetros e distribui¸cões estocásticas.

5. Processo de infeçcão. Adotou-se que cada contato entre um indiv´ıduo suscet´ıvel e um infectado pode provocar um novo indiv´ı-duo infectado seguindo uma distribui¸cão uni-forme. Isso significa dizer que β% dos conta-tos tornarão os indiv´ıduos suscet´ıveis em in-fectados. A ado¸cão dessa premissa baseia-se no princ´ıpio da homogeneidade da popula-¸

c˜ao (Hethcote, 2000). O processo de transi-¸

cão dos indiv´ıduos, de suscet´ıvel para infec-tado, é estocástico ao invés de determin´ıstico, o que acredita-se ser mais adequado para o es-tudo da propaga¸cão de v´ırus de computador e doen¸cas infecciosas.

3 Metodologia

Dividiu-se a popula¸cão em n grupos, sendo estes grupos compostos por indiv´ıduos que possuem in-teresses em comum. Esta divisão pode ser feita de diversas maneiras, de acordo com as caracter´ıs-ticas do indiv´ıduo presentes no MBI. A escolha de quais individuos pertencem a quais grupos de-pende do v´ırus em estudo e é uma escolha subje-tiva, sendo que a mesma não é o objetivo de estudo deste artigo.

Dentro de uma popula¸cão, tem-se n grupos, a seguir descritos: G1_t = [I_1,t1 I_2,t1 I_3,t1 · · · I_m,t1 ]T G2t = [I 2 1,t I 2 2,t I 2 3,t · · · I 2 m,t] T .. . Gn_t = [I_1,tn I_2,tn I_3,tn · · · I_m,tn ]T (4) A taxa de infeçcão, fator de suma importância na transmissão de uma epidemia, pode ser distinta entre os grupos, uma vez que a intera¸cão inter-grupos se dá de maneira distintas. Além da taxa de infeçcão, outros parâmetros podem ser distin-tos, por se tratar de uma popula¸cão heterogênea. Dessa forma, é clara a importância da divisão por grupos na propaga¸cão de virus de computadores, bem como em epidemias, em geral.

No presente trabalho, a intera¸cão entre grupos distintos é dada pelo parâmetro χyz (taxa de

in-tera¸cão entre dois grupos distintos). Vale ressaltar que todos os grupos interagem entre si. Adotou-se uma popula¸cão de 100 computadores, divididos em dois grupos de 50 computadores cada. Como taxa de infeçcão intra-grupos, adotou-se β1= 0.4

para o grupo 1 e β2= 0.25 para o grupo 2.

Para todas as simula¸cões, tanto para o SAIR, como para o MBI, foram utilizados os parâmetros adotados em (Piqueira et al., 2005), sendo que para o SAIR adotou-se a taxa de infeçcão como β = 0,50.

• N = 0 - taxa de inclus˜ao de novos computa-dores na rede;

• δ = 0,50 - taxa com que computadores infec-tados s˜ao removidos da rede;

• µ = 0 - taxa de inutiliza¸c˜ao de computadores n˜ao causada por v´ırus;

• βAI = 0,002 - taxa de infec¸c˜ao de

computa-dores com antiv´ırus devido a novos v´ırus; • σRS = 0,50 - taxa com que computadores

re-movidos s˜ao recuperados por interven¸c˜ao hu-mana e tornam-se suscept´ıveis;

• σIS = 0,50 - taxa com que computadores s˜ao

recuperados e tornan-se suscept´ıveis;

• α = 0,10 - taxa com que computadores sus-cept´ıveis tornan-se ant´ıdotos devido a insta-la¸c˜ao de anti-v´ırus

• χ = 0,5 - taxa de infeçcão inter-grupos. Na Figura 1 é apresentado um diagrama em blocos que descreve a metodologia apresentada no modelo cont´ınuo SAIR. Estas mesmas regras fo-ram utilizadas para a constru¸cao do Modelo Ba-seado em Indiv´ıduos que tem como compartimen-tos indiv´ıduos suscet´ıveis, infectados, removidos e ant´ıdotos.

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I

S

A

R

_RS IS  SI AI     N 

Figura 1: Diagrama em blocos da abordagem pro-posta.

Nas Figuras 2 e 3, é apresentada a aborda-gem para popula¸cões heterogêneas, principal foco deste artigo. Neste caso, cada indiv´ıduo do grupo é tratado como uma entidade única, sendo que são consideradas a intera¸cão entre indiv´ıduos do mesmo grupo (ver Figura 2) e a intera¸cão entre div´ıduos de grupos distintos (ver Figura 3). A in-tera¸cão entre grupos distintos é quantificada pelo parâmetro χ, formando a heterogeneidade da po-pula¸cão como um todo.

POPULAÇÃO INICIAL GRUPO 1 + GRUPO 2 t >t f FIM POPULAÇÃO INDIVÍDUO(m) S A I ESTADO=3 ESTADO=1 A I ESTADO=1 R S ESTADO=0 I R S ESTADO=0 ESTADO=2 INTER-GRUPOS m = 1 SIM t = t + Δt

SIM SIM NÃO

NÃO NÃO NÃO SIM SIM SIM NÃO NÃO SIM NÃO NÃO SIM NÃO NÃO SIM SIM m = m + 1 m = m + 1 SIM SIM

Figura 2: Diagrama em blocos da intera¸c˜ao intra-grupos INTER-GRUPOS INDIVÍDUO “M” GRUPO “N” INFECTADO? INDIVÍDUO “P” GRUPO “K” S I ESTADO=1 A I ESTADO=1 R SIM NÃO SIM SIM NÃO NÃO SIM FIM I NÃO SIM NÃO NÃO SIM SIM

Figura 3: Diagrama em blocos da intera¸c˜ao inter-grupos

Como grupos heterogêneos, no caso da pro-paga¸cão virtual de v´ırus de computadores, pode-se ter, por exemplos, indiv´ıduos adolescentes for-mando um grupo, adultos forfor-mando outro, ao passo que idosos podem formar um terceiro grupo. A quantidade de grupos presentes é um objeto que depende do sistema e do v´ırus a ser modelado, e não é alvo deste trabalho. Como foco, tem-se a modelagem de v´ırus de computadores, utilizando o MBI, sendo considerada heterogênea a popula-¸

c˜ao.

4 Resultados e Discuss˜ao

A seguir apresentam-se os resultados obtidos pela simula¸c˜ao do MBI, considerando-se a popula-¸

cão heterogênea. Para todos os casos do MBI, considerou-se a popula¸cão dividida em 2 grupos, e além disso como o MBI é uma abordagem es-tocástica, realizou-se um total de 200 simula¸cões para cada caso. Os resultados apresentados consi-deram a média e o desvio padrão das simula¸cões realizadas.

Exemplo 1

Seja o grupo 1, com taxa de infeçcão β = 0.5 e as seguintes condi¸cões iniciais: S = 23, A = 25, I = 2 e R = 0. Seja o grupo 2, com taxa de infeçcão

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β = 0 e as seguintes condi¸c˜oes iniciais:S = 25, A = 25, I = 0 e R = 0.

As Figuras 4 e 5 apresentam o comportamento dos grupos, considerando-se χ = 0,5.

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 Suscetiveis 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 2 4 6 8 10 12 14 16 18 Infectados 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Removidos 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 Antídotos

Figura 4: Taxa de infeçcão intergrupos χ = 0,5, comportamento dinâmico do grupo 1.

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 Suscetiveis 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 0 2 4 6 8 10 12 Infectados 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Removidos 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 10 15 20 25 30 35 tempo Antídotos . Figura 5: Taxa de infeçcão intergrupos χ = 0,5, comportamento dinâmico do grupo 2.

Percebe-se neste caso que o contato entre os dois grupos, fez com que os individuos do grupo 2 se tornassem infectados, mesmo que a taxa de in-feçcão entre os integrantes seja igual a zero. Esse fato mostra que mesmo indiv´ıduos que participam de redes ”seguras”, estão sujeitos a interferências de outros grupos. O decaimento do número de ant´ıdotos quando χ = 0,5, como mostrado nas Figuras 4 e 5 , se deve ao contato entre grupos distintos, já que um ant´ıdoto pertencente a deter-minado grupo, não está imune a v´ırus de outros grupos.

Com as mesmas condi¸c˜os iniciais, a simula¸c˜ao

foi realizada, considerando-se χ = 0, o que é equi-valente a isolar os indiv´ıduos do grupo 1. O com-portamento dos grupos sob esta a¸cão de controle, é apresentada nas Figuras 6 e 7.

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 0 5 10 15 20 25 Suscetiveis 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 0 2 4 6 8 10 12 14 16 Infectados 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 0 1 2 3 4 5 6 7 Removidos 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 25 30 35 40 45 50 Antídotos

Figura 6: Taxa de infeçcão intergrupos χ = 0, comportamento dinâmico do grupo 1.

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 0 5 10 15 20 25 tempo Suscetiveis 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Infectados 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Removidos 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 25 30 35 40 45 50 tempo Antídotos . Figura 7: Taxa de infeçcão intergrupos χ = 0, comportamento dinâmico do grupo 2.

Fica claro, que uma a¸cão simples como o iso-lamento produz um resultado satisfatório, na me-dida em que os indiv´ıduos do grupo 2 deixaram de ser infectados, e além disso os indiv´ıduos infecta-dos do grupo 1 diminuiram consideravelmente em rela¸cão ao caso anterior.

Exemplo 2

Na Figura 8, tem-se a modelagem cont´ınua no tempo, considerando popula¸cões homogêneas, apresentada em (Piqueira et al., 2005), neste caso foram adotados os mesmos parâmetros do MBI.

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0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 Suscetiveis 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 0 5 10 15 20 25 Infectados 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Recuperados 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100 Antídotos . Figura 8: Modelo SAIR com os mesmos parˆ ame-tros do MBI.

As Figuras 6 e 7 apresentam a mesma dinˆ a-mica do modelo cont´ınuo SAIR, ou seja, quando não existe intera¸cão entre os grupos, a dinâmica de cada grupo, tende à dinâmica do modelo cont´ınuo (Piqueira et al., 2005). As Figuras 4 e 5, apresen-tam uma dinâmica distinta do modelo cont´ınuo, justamente pela considera¸cão de χ 6= 0.

Exemplo 3

Na Figura 9 tem-se os valores para os quais conver-gem o número de ant´ıdotos em fun¸cão da varia¸cão da taxa de infeçcão intergrupos χ.

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 30 40 50 60 70 80 90 100

Taxa de interação intergrupos

Antídotos

Figura 9: Convergência do número de ant´ıdotos em fun¸cão do parâmetro χ.

Como a taxa de infe¸cão χ torna-se um pa-râmetro de controle da propaga¸cão, a¸cões de controle simples que atuem de forma indireta sobre esse parâmetro podem ser elaboradas de modo que se limite os danos provocados pelos v´ı-rus. Leis de controle baseadas na limita¸cão de contato entre grupos, condicionadas por informa-¸

cões como número de infectados e de ant´ıdotos em cada grupo refletem condi¸cões reais de opera¸cão

de uma rede de computadores, uma vez que infor-ma¸cões como número de infectados ou de conte´ u-dos maliciosos provinu-dos de determinau-dos dom´ı-nios podem estar dispon´ıveis. A a¸cão de controle proposta baseia-se no seguinte algoritmo:

in´ıcio t ← 0 se I(t) < 10%N ou A(t) > 70%N Comunica¸cão liberada senão Bloqueia Comunica¸cão fim t ← t + 1 fim 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 15 20 25 30 35 40 45 50 Suscetiveis 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 0 5 10 15 20 Infectados 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Removidos 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 50 52 54 56 58 60 62 64 66 68 70 Antídotos

Figura 10: Atua¸c˜ao do controle por isolamento para χ = 0.5

Sendo que há um compromisso mútuo entre a confiabilidade dada pela atua¸cão do controle e os custos relativo às limita¸cões de comunica¸cão entre as redes. Na Figura 10 tem-se a atua¸cão do controle para caso em que χ = 0.5. A a¸cão de controle limita o número de infeçcões médio em 11 e o número de ant´ıdotos em 63. O número de intera¸cões entre os grupos foi quantificado de forma a verificar os custos da a¸cão de controle im-plementada relativo às limita¸cões de comunica¸cão impostas, o número de intera¸cões entre os grupos feitas com sucesso foi de 1675 e o número total de bloqueios de comunica¸cão foi de 4275. Estra-tégias de controle menos agressivas, (permitindo maior número de infectados por grupo para efe-tuar contato) levam a um aumento do número de infectados.

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5 Conclus˜oes

Foi proposta uma nova técnica para a represen-ta¸cão da dinâmica da propaga¸cão de v´ırus em redes de computadores, que permite que os in-div´ıduos sejam classificados em grupos de usu´ a-rios, de modo a facilitar o controle da propaga¸cão de um v´ırus. Observa-se que o modelo proposto contém a dinâmica do modelo cont´ınuo como um caso particular, bastando para isso fazer χ = 0. Isso confirma a potencialidade do modelo SAIR em representar a propaga¸cão de epidemias em gru-pos homogêneos. Quando χ 6= 0 observamos que a dinâmica da propaga¸cão é alterada e o modelo SAIR não é capaz de simular esse tipo de com-portamento, assim podemos dizer que o modelo aqui proposto é capaz de simular situa¸cões mais real´ısticas.

O modelo apresentado pode ser utilizado para estudo da propaga¸c˜ao de apenas um v´ırus, bas-tando para isso fazer βAI = 0.

Informa¸cões provenientes de reports de pro-gramas antiv´ırus e servidores podem possibilitar a aplica¸cão de técnicas de controle como a des-crita.

Pretende-se em trabalhos futuros, utilizar t´ ec-nicas de controle distribu´ıdo, fazendo uso das in-forma¸c˜oes dispon´ıveis no modelo.

Agradecimentos

Ao CNPq, Capes, Fapemig, UFSJ e Unicamp pelo apoio.

Referˆencias

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