Métodos Diretos. Análise de Estabilidade Transitória. Prof. Luís Fernando Costa Alberto Escola de Engenharia de São Carlos Universidade de São Paulo

(1)

Métodos Diretos

Análise de Estabilidade

Transitória

(2)

Estabilidade Transitória - Grandes

Perturbações

Exemplo Simples:

















D

P

M



_m _e

(

)



 







_sen

x

V

P

_e G

Pêndulo com Torque cte aplicado al eixo

Função de Lyapunov ou Função Energia:

 

(

)

2 ,

2













M

V

_p

V

(3)

Divisão do Problema:

















D

P

M



_m _epr

(

)



















D

P

M



_m _ef

(

)



















D

P

M



_m _epf

(

)



Pré-Falta:

• Situação de Equilíbrio

Falta:

• Curto-Circuito

• 0t t

ab Pós-Falta:

• Disjuntor Aberto

• t

ab

t

Temp o

Estabilidade Transitória - Grandes

Perturbações

(4)

Estabilidade Transitória - Grandes

Perturbações

tab=0,30s

(5)

Estabilidade Transitória - Grandes

Perturbações

tab=0,37s

(6)

Motivação para o Desenvolvimento

de Métodos Diretos

• Necessidade de Monitoramento e

Avaliação de Segurança Dinâmica em

Tempo Real

– Incertezas:

• Gerações Intermitentes

Motivação Normal Emergência Alerta Restaurativo Blecaute

(7)

Análise de Segurança Dinâmica em

Tempo Real

• Número de Contingências Elevado

• Método Clássico não atende os requisitos de

tempo para avaliação de estabilidade em tempo

real.

Dimensão do Problema: Sistema 1000 barras, 3000 linhas de

transmissão e 100 geradores:

Curto em barra + elimina linha: 6000 contingências a serem analisadas

para cada ponto de operação.

Método Clássico (Integração Numérica): 1 min. p/ cada contingência:

100 horas (Inapropriado p/ aplicações em tempo real).

(8)

Motivação para o Desenvolvimento

de Métodos Diretos

• Informações de

Estabilidade s/ a Resolução

das Equações Diferenciais

(Velocidade)

• Métodos Baseados em

Função Energia

(9)

Motivação para o Desenvolvimento

de Métodos Diretos

• Método Clássico

 Não há limite de

modelagem (Exato);

 Esforço Computacional

Elevado;

• Métodos Diretos

 Modelagem -> Existência

de Função Energia

 Esforço Computacional

Baixo a Médio

 Energia (Medida de

Margem)

Classificação

Controle

Funções Energia Generalizadas

(10)

Classificação e Filtragem de

Contingências

Modelo Simples Métodos Rápidos Modelos Detalhados Métodos Lentos

Relação Custo - Benefício:

Custo Computacional x Detalhes do Modelo

(11)

11

Métodos para Avaliação da Margem de Estabilidade

 Integração Numérica

Não há limite de modelagem (Precisão); Esforço Computacional Elevado;

Última Etapa de Filtragem

Sistemas Inteligentes, Redes Neurais

Esforço Computacional Pequeno;

Requer retreinamento em caso de Mudança de Topologia

Métodos Diretos

Energia (Medida de Margem Indireta) Esforço Computacional Baixo a Médio Primeiras etapas de filtragem

(12)

12

Requisitos de Filtros Classificadores:

1. Confiabilidade

2. Eficiência

3. Adaptabilidade en tempo real

4. Velocidade

5. Robustez

Métodos para Avaliação da Margem de Estabilidade

 Integração Numérica

Não há limite de modelagem (Precisão); Esforço Computacional Elevado;

Última Etapa de Filtragem



×

(13)

13

Sistemas Inteligentes, Redes Neurais

Esforço Computacional Pequeno;

Requer retreinamento em caso de Mudança de Topologia

Requisitos de Filtros Classificadores:

1. Confiabilidade

2. Eficiência

3. Adaptabilidade em tempo real

4. Velocidade

5. Robustez



×

Métodos para Avaliação da Margem de Estabilidade

(14)

14

Métodos Diretos

Energia (Medida de Margem Indireta) Esforço Computacional Baixo a Médio Primeiras etapas de filtragem

Requisitos de Filtros Classificadores:

1. Confiabilidade

2. Eficiência

3. Adaptabilidade em tempo real

4. Velocidade

5. Robustez



×

Métodos para Avaliação da Margem de Estabilidade

(15)

Fundamentos dos Métodos Diretos

• Apoiam-se na teoria da

região de estabilidade

de sistemas dinâmicos

não lineares

Fundamentos

• Histórico:

– (1947) Magnusson; (1958) Aylett

• Aplicação dos resultados de Lyapunov em SEP

• Critério das Áreas Iguais – (Década de 60)

• Busca por Funções de Lyapunov – (1978~1984) Naoto Kakimoto

• PEBS, Ponto de Equilíbrio de Controle – (Anos 90) H.-D. Chiang

• Fundamentos dos Métodos Diretos • Caracterização da Região de

(16)

Pontos de equilíbrio assintoticamente estáveis de

sistemas não lineares não são, em geral,

globalmente assintoticamente estáveis.

Região de Estabilidade

(17)

Região de Estabilidade

(18)

 

1 x

R

f

C

x

f

x







n



s

x

ponto de eq. assint. estável

Região de estabilidade:

)

(

)

(

x

A

R

A

s



n







Aberto, conexo e invariante

Fechado e invariante

Fronteira da Região de Estabilidade:













x

R

t

x

t

x

A

(

s

)

n

:



(

,

)

s

as

Fundamentos

Região de Estabilidade

(19)

Região de Estabilidade

• Região de Estabilidade

– Área de Atração

– Bacia de Atração

– Região de Atração

• Fronteira da Região de Estabilidade

– Separatriz

(20)

Região de Estabilidade e o Problema

de Estabilidade Transitória

Algoritmo Conceitual:

• Verificar a existência de um ponto de equilíbrio assintoticamente estável xs _do

sistema pós-falta.

• Calcular/Estimar a região de estabilidade

A(xs_{) do p.e. x}s _{do sistema pós-falta.}

• Verificar se a trajetória do sistema em falta, no tempo de abertura t_ab, x_f(t_ab)

pertence a A(xs_). ab ab

t

)

(

t

0 )

(

0 t

)

(















x

f

x

f

x

f

x

pos f pre



Para cada contingência:

(21)

21

Função Energia

Estimativa da Região de Estabilidade

(22)

22

Função Energia

Estimativa da Região de Estabilidade

Algoritmo Numérico

Calcular a Energia Crítica

Vcr;

Integrar numericamente o

sistema em falta, xf(t);

Se V(x

_f

(t

_ab

))<Vcr , então

o sistema é estável;

Algoritmo Conceitual

Calcular/Estimar a Região

de Estabilidade A(xs);

Integrar numericamente o

sistema em falta, xf(t);

Se x

_f

(t

_ab

) pertence à região

de estabilidade A(xs),

então o sistema é estável;

Como calcular a Energia Crítica Vcr?

(23)

23

Caracterização da Fronteira da Região de Estabilidade

Pontos de Equilíbrio Hiperbólicos:

x



Ax

x



f x

( ), (

f x

_o

)



0

(24)

24

Suposições:

 Os Pontos de Equilíbrio são hiperbólicos;

 Condição de Transversalidade;

 Todas as Trajetórias na fronteira da região de estabilidade

convergem para um ponto de equilíbrio.

( )

i s s s i x A x

A x

W

x







Caracterização da Fronteira da Região de Estabilidade

(25)

25 ( )

( )

i s s s i x A x

A x

W

x







Pontos de Eq. Hiperb. Do Tipo 1

Caracterização da Fronteira da Região de Estabilidade

(26)

26

Função Energia e a Fronteira da Região de Estabilidade

( ) 0

V x 

V(x(t)) limitado para t>0

x(t) é limitado para t>0

( ( )) 0

V x t 

Se em um intervalo de tempo, então x(t)=x

_eq

Os pontos de equilíbrio hiperbólicos do tipo 1 são mínimos locais

da função energia na fronteira.

Existe um mínimo global da função energia na fronteira

(27)

27

CLOSEST UNSTABLE EQUILIBRIUM POINT METHOD

Algoritmo Closest:

Calcular todos os

equilíbrios instáveis x

_i

,

i=1,2,....,n

_eq

na fronteira

da região de estabilidade;

Vcr=min V(x

_i

)

Integrar numericamente o

sistema em falta, x

_f

(t);

Se V(x

_f

(t

_ab

))<Vcr , então

o sistema é estável;

(28)

28

As Desvantagens do Closest Method:

Número de Equilíbrios Instáveis é

Muito Grande

Quantos equil. existem?

Qual é a localização aproximada

destes equilíbrios?

Resultados Muito Conservadores.

CLOSEST UNSTABLE EQUILIBRIUM POINT METHOD

(29)

29

Ponto de Equilíbrio Instável de Controle - CUEP

(30)

30

Ponto de Equilíbrio Instável de Controle - CUEP

(31)

31

Método BCU – Algoritmo para o Cálculo do CUEP

Algoritmo BCU:

Calcular o primeiro ponto de máxima energia potencial, x

_ex,

na

trajetória do sistema em falta;

Integrar numericamente o sistema gradiente com condição

inicial x

_ex;

Calcular uma aproximação do CUEP;

Calcular o CUEP, denotado x

_co;

Vcr=V(x

_co

)

Integrar numericamente o sistema em falta, x

_f

(t);

Se V(x

_f

(t

_ab

))<Vcr , então o sistema é estável;

(32)

32

Método BCU – Algoritmo para o Cálculo do CUEP

(33)

1

3

2

Pm1=2.49 Pm3=8.20 Pm2=4.21 j0.26 j0.0806 j0.46 j0.015 j0.088 j0.05 12.4+j2.5 1.0+j0.3 1.5+j0.45 1 0o 1 15o 1 15o M=0.318 M=0.079 M=0.053

Sistema 3 geradores:

(34)

34

PEBS – Potential Energy Boundary Surface

(35)

35

Bacia de Energia – Sistema 3 Geradores

(36)

36

Método PEBS – Potential Energy Boundary Surface

Algoritmo PEBS:

Calcular o primeiro ponto de máxima energia potencial x

_ex

na

trajetória do sistema em falta;

Vcr=V(x

_ex

)

Integrar numericamente o sistema em falta, x

_f

(t);

Se V(x

_f

(t

_ab

))<Vcr , entâo o sistema é estável;

(37)

37

Método PEBS – Potential Energy Boundary Surface

(38)

38

Dados em tempo real

Topologia da rede Lista de Contingências Estimador de Estados Filtros Preliminares Filtros PEBS e BCU Contingências estáveis Contingências instáveis Contingências instáveis e Casos incertos Simulação Computacional no domínio do tempo

Classificadores PEBS e BCU para Análise de Contingências

(39)

39

Sistema Sul Brasileiro - 45 barras, no qual 35 do tipo PQ, 9 do tipo PV e uma barra slack.

(40)

Divisão do Problema:

















D

P

M



_m _epr

(

)



















D

P

M



_m _ef

(

)



















D

P

M



_m _epf

(

)



Pré-Falta:

• Situação de Equilíbrio

Falta:

• Curto-Circuito

• 0t t

ab Pós-Falta:

• Disjuntor Aberto

• t

ab

t

T emp o Aplicações

Sistema de Uma Máquina versus

(41)

Aplicações

t_ab=300ms

Sistema de Uma Máquina versus

Barramento Infinito

(42)

Aplicações

t_ab=370ms

Sistema de Uma Máquina versus

Barramento Infinito

(43)

1 3 2 Pm1=2.49 Pm3=8.20 Pm2=4.21 j0.26 j0.0806 j0.46 j0.015 j0.088 j0.05 12.4+j2.5 1.0+j0.3 1.5+j0.45 1 0o 1 15o 1 15o M=0.318 M=0.079 M=0.053 Ponto de Saída

Ponto Eq. de Controle

Método BCU

tca=197ms

Aplicações

Sistema de 3 Geradores

(44)

39 barras 10 geradores

46 linhas de transmissão 92 contingências

Aplicações

Sistema New England

Método Tempo (s)

Clássico (Int. Numérica) 324.942

Classificadores BCU 26.392

Software Desenvolvido no LACOSEP Edson Theodoro – Mestrado (2009) Raphael Fortulan – IC (Em andamento)

(45)

45

Referencias Bibliográficas

Livros:

N. G. Bretas, L. F. C. Alberto, “Estabilidade Transitória em Sistemas Eletroenergéticos”, Projeto Reenge, Escola de Engenharia de São Carlos - USP, 2000

H.-D. Chiang, “Direct Methods for Stability Analysis of Electric Power Systems: Theoretical Foundations, BCU Methodologies and Applications” Wiley, 2011 Teses:

L. F. C. Alberto, “O Princípio de Invariância de LaSalle Estendido Aplicado ao Estudo de Coerência de Geradores e à Análise de Estabilidade Transitória Multi-Swing”, Tese de Doutorado – Universidade de São Paulo – Escola de Engenharia de São Carlos, 2000

L. F. C. Alberto, “Characterization and Estimates of the Stability Region of Nonlinear Dynamical Systems (in portuguese)”, Livre-Docencia Thesis at EESC-University of Sao Paulo (USP), Brazil, 2006.

(46)

46

Referências Bibliográficas

Artigos na Área:

L. F. C. Alberto, H. D. Chiang, “Uniform Approach for Stability Analysis of Fast

Subsystem of Two-Time Scale Nonlinear Systems”, International Journal of Bifurcation and Chaos in Applied Sciences and Engineering. , v.17, p.4195 - 4203, 2007.

R. B. L. Guedes, L. F. C. Alberto, N. G. Bretas, “Power System Low-Voltage Solutions Using an Auxiliary Gradient System for Voltage Collapse Purposes”, IEEE Transactions on Power Systems. , v.20, p.1528 - 1537, 2005.

F. H. J. R. Silva, L. F. C. Alberto, J. B. A. London Jr, N. G. Bretas, “Smooth perturbation on a classical energy function for lossy power system stability analysis”, IEEE Transactions on Circuits and Systems I-Fundamental Theory and Applications. , v.52, p.222 - 229, 2005.

N. G. Bretas, L. F. C. Alberto, “Lyapunov Function for Power System with Transfer Conductances: Extension of the Invariance Principle”, IEEE Transactions on Power Systems. , v.18, p.769 - 777, 2003.

(47)

47

Papers Chiang:

 H. D. Chiang, M. W. Hirsch and F. F. Wu, “Stability region of nonlinear autonomous dynamical systems”, IEEE Trans. on Automatic Control, vol. 33, n. 1, pp. 16-27, Jan 1988.  H. D. Chiang, F. F. Wu and P. P. Varaya, “Foundations of direct methods for power system transient stability analysis”, IEEE Trans. on Circuits and Systems, vol. CAS-34, n.2, Feb 1987.

 H.-D. Chiang, F. F. Wu, and P. P. Varaiya, “A bcu method for direct analysis of power systems transient stability”, IEEE Trans. on Power Systems, 9(3):1194–1208, August 1994.

 H. D. Chiang, C. S. Wang, A. J. Flueck, “Look-Ahead Voltage and Look Margin Contingency Selection Function for Large Scale Power Systems”, IEEE Trans. on Power Systems, v.12, n.1, Feb. 1997

Referências Bibliográficas