Anais do XX Congresso Brasileiro de Automática Belo Horizonte, MG, 20 a 24 de Setembro de 2014

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EQUIVALENTE OBTIDO DE SISTEMAS DE POTÊNCIA CONTENDO COMPONENTES COM PAR ÂMETROS DISTRIBUÍDOS

Tito Ricardo V. Costa∗ Francisco Damasceno Freitas†

∗_Agˆ_{encia Nacional de Energia El´}_{etrica - SGAN 603 m´}_{odulo J}

Bras´ılia, DF, Brasil - CEP: 70830-110

†_{Departamento de Engenharia El´}_{etrica - Campus Darcy Ribeiro, Universidade de Bras´ılia}

Bras´ılia, DF, Brasil - CEP:70910-900

Email: titoricardo@aneel.gov.br, ffreitas@ene.unb.br

Abstract— This paper presents a methodology for the calculation of three-phase dynamic equivalent in elec-trical power systems. The technique is based on the representation of the system in the frequency domain. The problem consists in identifying transfer functions as impedances (or admittances) and connecting them in the form of a three-phase electric circuit. This process is carried out by using the Vector Fitting method. Each transfer function is identified considering discrete data in the frequency domain. To evaluate the proposed methodology, tests on a 9-bus and 3-generator power system were performed. For all tests, the transmission lines were modeled by distributed parameters. The identification technique allows to obtain curve parameters which are used to adjust the three-phase equivalent. The curves obtained from this process are practically identical, demonstrating the effectiveness of the technique.

Keywords— Three-phase dynamic equivalent, concentrated parameter devices, poles and redidues, electro-magnetic transient, Vector Fitting.

Resumo— Este artigo apresenta uma metodologia para o cálculo de equivalente dinâmico trifásico em sistemas elétricos de potência. A técnica empregada tem como base a representa¸cão do sistema no dom´ınio da frequência. O problema consiste em se identificar fun¸cões de transferência no formato de impedâncias (ou admitâncias) e então conectá-las, formando um circuito elétrico trifásico. Com este propósito, utiliza-se o método Vector Fitting. A determina¸cão de cada fun¸cão de transferência é feita com base em ajuste de curva levando em conta dados discretos no dom´ınio da frequência. Para avalia¸cão da metodologia proposta, foram realizados testes em um sistema com nove barras e três geradores. Nos testes considerados, as linhas de transmissão foram modeladas a parâmetros distribu´ıdos. Os parâmetros obtidos no processo de identifica¸cão permitem o cálculo de curvas praticamente coincidentes com rela¸cão aos dados que lhes deram origem.

Palavras-chave— Equivalente dinâmico trifásico, dispositivos a parâmetros distribu´ıdos, polos e res´ıduos, transitórios eletromagnéticos, Vector Fitting.

1 Introdu¸c˜ao

Técnicas de identifica¸cão de modelos associ-ados a fenômenos em sistemas elétricos de potˆ en-cia são aplicadas, em geral, para a obten¸cão de modelo reduzido de sistema (Freitas et al., 2008). Ilustra¸cões desse tipo incluem a determina¸cão de modelos de máquinas s´ıncronas, de reguladores de tensão, de velocidade, de controladores suple-mentares (Kundur, 1994). Outros estudos objeti-vam a determina¸cão de equivalentes dinâmicos e de parâmetros de curvas, como de corrente, de tensão, de frequência. Destaca-se ainda o c´ al-culo de parâmetros, como impedâncias (admitˆ an-cias) equivalentes, os quais podem ser de interesse tanto para estudos envolvendo transitórios eletro-mecânicos (Kundur, 1994), quanto eletromagn´ eti-cos (Greenwood, 1991).

Nos estudos visando o cálculo de equivalentes dinâmicos, costuma-se dividir um sistema elétrico de potência (SEP) em duas partes: rede interna e rede externa. A rede interna é caracterizada como a parte que se deseja preservar, pois é o lo-cal, onde, geralmente, busca-se avaliar o impacto de perturba¸cões e(ou) estudar análise de sensibi-lidade paramétrica. Portanto, nesse subsistema

justifica-se modelagem mais detalhada. Por outro lado, não sendo o foco do estudo, a rede externa, em geral, pode ser substitu´ıda por um equivalente, preferencialmente, de baixa ordem. Uma aplica-¸cão prática é a substitui¸cão por um circuito equi-valente de Thévenin (Johnson et al., 1994). Sabe-se que neste tipo de equivalente, a finalidade é o cálculo de uma tensão e de uma impedância equi-valentes em um dado ponto da rede. Em alguns estudos, apenas a impedância é de interesse pr´ a-tico, pois o efeito de fontes é desprez´ıvel (Freitas et al., 2011). Este será o foco da aplica¸cão que será estudada neste artigo.

Existem diferentes abordagens para o cálculo de equivalentes dinâmicos, as quais podem ser di-vididas em métodos no dom´ınio do tempo e no dom´ınio da frequência. Os métodos no dom´ınio do tempo requerem procedimentos matemáticos sofisticados, o que leva ao uso de complexas t´ ec-nicas de otimiza¸cão (Azevedo et al., 2010). Esta complexidade é verificada mesmo na obten¸cão de resultados para modelo de equivalente de siste-mas de pequeno porte. Por sua vez, há vários métodos de identifica¸cão no dom´ınio da frequˆ en-cia. Entre estes, destaca-se o denominado Vector Fitting (Gustavsen and Semlyen, 1999;

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Gustav-sen, 2006; Costa, 2013). Esta técnica permite a identifica¸cão de fun¸cão de transferência na forma de um somatório de fra¸cões parciais, em que os parâmetros são os res´ıduos e os polos. A determi-na¸cão de cada fun¸cão de transferência é feita com base em ajuste de curva levando em conta dados discretos no dom´ınio da frequência. O processo de cálculo é realizado numericamente, de forma ite-rativa, partindo-se de polos complexos conjugados como estimativas iniciais.

Neste trabalho determina-se um modelo de equivalente dinâmico trifásico. O objetivo é cal-cular parâmetros de um circuito a partir de cur-vas de resposta em frequência obtidas na entrada de um sistema trifásico que representa a rede de potência a ser substitu´ıda. Por isso, os elementos são obtidos com base em ajustes efetuados via m´ e-todo Vector Fitting. O equivalente tem três nós, representando as três fases do sistema trifásico e é formado apenas por impedâncias (ou admitˆ an-cias) próprias e acopladas.

O artigo está estruturado da seguinte forma: na Se¸cão 2, é feita uma breve descri¸cão sobre o método Vector Fitting. O modelo de equivalente trifásico é apresentado na Se¸cão 3. A Se¸cão 4 des-creve testes e resultados da metodologia proposta. Por fim, as conclusões sobre o trabalho integram a Se¸cão 5.

2 O m´etodo Vector Fitting

A metodologia adotada é a proposta em (Gustavsen and Semlyen, 1999) e apresentada com melhoramentos em (Gustavsen, 2006). O pro-blema consiste em se determinar por meio de iden-tifica¸cão de processo todos os parâmetros da fun-¸

c˜ao de transferˆencia do tipo

b G(s) = d + sh + n X m=1 cm s − am (1) em que os parˆametros s˜ao os res´ıduos cm∈ C, os

polos am ∈ C e os termos d e h ∈ R, dos canais de

transmissão direto e derivativo, respectivamente. A ordem do modelo é fixa e igual a n. Para efetuar a identifica¸cão dos parâmetros, são necessários os dados de valores discretos G(sk) ≈ bG(sk) ∈ C,

definidos para N + 1 pontos de frequˆencia com-plexa sk = jωk, s = sk, k = 0, 1, 2, ..., N . A

so-lu¸cão é obtida da aproxima¸cão da fun¸cão bG(s), considerando-se valores G(sk) e por meio do m´

e-todo de m´ınimos quadrados dentro da faixa de frequˆencia de interesse.

O formato de fun¸cão de transferência apre-sentado em (1) requer a resolu¸cão de um sistema não-linear, uma vez que a incógnita amfaz parte

do denominador da fra¸cão racional. Constata-se, então, que uma solu¸cão anal´ıtica para esse pro-blema torna-se inviável. Diante disso, uma alter-nativa na resolu¸cão desse problema é utilizar t´

ec-nicas iterativas baseadas na solu¸c˜ao de sistemas lineares.

O problema básico na técnica Vector Fitting consiste em resolver o problema de identifica¸cão (1), sequencialmente, em dois estágios. Em ambos os estágios, trabalha-se com estimativas de polos. Com esta finalidade, utiliza-se a seguinte expres-são para a estimativa da fun¸cão de transferência (1):

b

G(s) ≈ σ(s)G(s) (2)

em que σ(s) ´e uma fun¸c˜ao peso definida da se-guinte forma: σ(s) = 1 + n X m=1 b cm s − am (3) ´

E poss´ıvel demonstrar (Gustavsen and Semlyen, 1999; Costa, 2013) que os polos de G(s) correspondem aos zeros de σ(s) e o sistema a ser resolvido no primeiro est´agio transforma-se em linear.

Os valores discretos de G(s) podem ser ob-tidos experimentalmente. Contudo, o objetivo neste trabalho é o cálculo de um modelo dinâmico para substituir a parte externa de um sistema por um equivalente. Neste sentido, a obten¸cão das informa¸cões a partir de simula¸cão de uma parte do sistema é um procedimento válido. Com este propósito, obtêm-se os dados para identifica¸cão a partir de simula¸cão numérica, como em um soft-ware de transitórios eletromagnéticos. Com esta finalidade, é necessário efetuar a devida modela-gem do sistema e localizar a região de fronteira e ´

area que deve ser substitu´ıda pelo equivalente. 2.1 Estimativa de polos iniciais

A eficácia de convergência do método Vector Fitting depende de algumas condi¸cões. Uma delas está associada à resolu¸cão com precisão suficiente do problema linear associado ao cálculo dos polos. Consequentemente, a escolha inadequada de polos iniciais poderá causar impacto negativo sobre o processo de convergência.

O problema linear (2) poderá se tornar mal condicionado na situa¸cão em que os polos da es-timativa inicial são reais. Para contornar este in-conveniente, é sugerida a utiliza¸cão de estimati-vas de polos iniciais complexos (Gustavsen and Semlyen, 1999; Gustavsen, 2006). Uma consider´ a-vel diferen¸ca entre os polos iniciais e os corretos, obtidos após o fim da itera¸cão, pode resultar em uma significativa varia¸cão entre os valores de σ(s) e σ(s) bG(s). Isto se verifica, porque o problema de m´ınimos quadrados é formulado para a solu¸cão de (2). Este problema é melhorado com a introdu-¸

cão de uma adequada aloca¸cão de polos inicias e com o uso dos polos calculados em uma itera¸cão subsequente, até se ter uma defini¸cão do status de

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convergˆencia do processo, limitado a uma quanti-dade de itera¸c˜oes.

Tendo em vista que os res´ıduos são calcula-dos com base na resolu¸cão de um único sistema li-near, após a determina¸cão final dos polos, conclui-se que no processo de identifica¸cão são necess´ a-rias estimativas apenas dos polos. Valores de esti-mativas sugeridas no software Vector Fitting são escolhidos (Gustavsen and Semlyen, 1999; Gus-tavsen, 2006), assumindo-se valores complexos da forma:

am= −αm+ jβm, am+1= −αm− jβm (4)

em que αm = 1/100 e βm ´e uma frequˆencia

dis-creta em rad/s.

O procedimento (4) é um artif´ıcio direto, po-dendo a aloca¸cão de polos ocorrer em escala linear ou logar´ıtmica de frequência. Porém, nem sempre esta estratégia proporciona desejável condiciona-mento numérico na resolu¸cão de (2), demandando do usuário a introdu¸cão de outros artif´ıcios. Um deles, consiste na utiliza¸cão de frequências de pico da resposta em frequência de curvas de magni-tude de fun¸cão de transferência. Neste caso, a precisão do resultado pode ser sensivelmente me-lhorada (Azevedo et al., 2010).

3 Simula¸cões no aplicativo ATP O ponto chave na defini¸cão do problema de identifica¸cão de sistemas neste trabalho recai na defini¸cão de curvas de resposta em frequência G(s). Este procedimento faz-se necessário, uma vez que o objetivo é a identifica¸cão de fun¸cões de transferência via método Vector Fitting, cuja metodologia é baseada em dados no dom´ınio da frequência. A fun¸cão de transferência G(s) é cal-culada em pontos discretos sk= jωk.

Os dados no dom´ınio da frequência são ob-tidos do sistema ilustrado no diagrama unifi-lar da Figura 1. Com esta finalidade, utiliza-se o aplicativo ATP (alternative transient pro-gram) (Dommel, 1992). O sistema é composto de nove barras, três geradores, três transforma-dores, seis linhas de transmissão e três cargas (Carramaschi, 2010). E destacado no diagrama´ a divisão do sistema em rede interna e externa. A rede interna corresponde à área mais escura do de-senho. O objetivo nos estudos que se seguem é cal-cular um modelo reduzido para a área externa que seja capaz de reproduzir adequadamente o com-portamento do sistema como um todo, dentro de uma faixa limitada de frequência.

No sistema da Figura 1, são observados n´ı-veis de tensão fase-fase estendendo-se de 13,8 kV a 230 kV. Os outros dados no diagrama são im-pedâncias e susceptâncias de sequência positiva, em pu da base 100 MVA e tensão nominal do barramento associado. As linhas de transmissão, de comprimento `, são assumidas completamente

Figura 1: Sistema de nove barras dividido em re-des interna e externa

transpostas e modeladas a parâmetros concentra-dos. Os parâmetros à frequência industrial de 60 Hz e invariantes são dispostos nas Tabelas 1 e 2. Nestas tabelas as resistências e reatâncias estão em (mΩ/km) e as capacitâncias, em (µF/km).

Efetuou-se a representa¸cão das linhas de transmissão com base no modelo do ATP caracte-rizado pela rotina LIN EZT 3 (linha transposta de Clarke). Em fun¸cão disto, a linha é modelada por parâmetros distribu´ıdos. Resutados de estudo si-milar envolvendo parâmetros concentrados foram apresentados em (Freitas and Costa, 2013), re-for¸cando a necessidade de investiga¸cão mais de-talhada envolvendo uma faixa de frequência mais ampla.

Tabela 1: Resistˆencias e reatˆancias indutivas das linhas Lig. R0 R1 X0 X1 4 − 5 0,1587 0,0529 1,349 0,4497 4 − 6 0,2698 0,08993 1,4660 0,4867 5 − 7 0,5078 0,1693 2,555 0,8517 6 − 9 0,6189 0,2063 2,698 0,8993 7 − 8 0,1686 0,0562 1,428 0,4761 8 − 9 0,1889 0,0629 1,600 0,5332 4 − 5 0,1587 0,0529 1,349 0,4497

Tabela 2: Capacitˆancias e comprimento de linha

Lig. C0 C1 ` (km) 4 − 5 0,02648 0,00883 100 4 − 6 0,02377 0,00792 100 5 − 7 0,04603 0,01534 100 6 − 9 0,05385 0,01795 100 7 − 8 0,02802 0,00934 80 8 − 9 0,03144 0,01048 100 4 − 5 0,02648 0,00883 100

As trˆes cargas trif´asicas foram modeladas de forma equilibrada, contendo em cada fase, uma

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impedância série constitu´ıda de uma resistência e de uma reatância à frequência industrial. Os dados das cargas são apresentados na Tabela 3 (ver também Figura 1).

Tabela 3: Parâmetros à frequência industrial das cargas

Carga Z (pu) Z (Ω)

A 0,68+j0,27 361,91+j144,76 B 1,03+j0,34 542,84+j180,95 C 0,92+j0,32 486,47+j170,20 As impedâncias dos transformadores foram representadas assumindo-se somente contribui¸cão das indutâncias de dispersão. Portanto, efeitos de satura¸cão, acoplamento de indutâncias, não linearidade e perdas no material ferromagnético são desprezados. Todos os transformadores têm a parte de baixa tensão ligada em delta e a parte de alta, em estrela aterrada. Para complementar essas informa¸cões, apresentam-se os dados da Ta-bela 4.

Tabela 4: Parˆametros dos transformadores Lig. Zt (pu) VBT (kV ) VAT (kV )

1 − 4 j0,0576 16,5 132,8

2 − 7 j0,0625 18,0 132,8

3 − 9 j0,0585 13,8 132,8

3.1 Circuito equivalente proposto

A aplica¸cão a ser vista mais à frente neste artigo tem o objetivo de mostrar o impacto da inje¸cão de harmônico na rede interna. Por isso, apenas nesta ´

area será considerada a existência de fonte com frequência diferente da industrial. Consequente-mente, assumindo-se somente elementos passivos na rede externa, propôs-se a topologia de circuito trifásico ilustrada na Figura 2 para substitu´ı-la, como equivalente dinâmico.

Figura 2: Circuito equivalente trif´asico acoplado

Os terminais do circuito trifásico equivalente correspondem às fases a, b e c, além do nó de re-ferência (terra). Mas, para efeito de nota¸cão, estes terminais são considerados como uma única barra no diagrama unifilar da Figura 1. Neste equiva-lente, as impedâncias Za, Zb, Zc, Zab, Zac e Zbc

são os parâmetros a serem identificados. Note-se que o circuito assemelha-se a uma carga trifásica contendo impedâncias para a terra e entre fases.

A diferen¸ca entre a representa¸cão de linhas a parâmetros distribu´ıdos e concentrados reflete-se no espectro de frequência. Enquanto na repre-senta¸cão por parâmetros distribu´ıdos o espectro é caracterizado por infinitas frequências de resso-nância, na abordagem por parâmetros concentra-dos, as frequências de ressonância são dependentes da quantidade de circuitos PI que a linha for mo-delada. Portanto, a identifica¸cão de equivalente trifásico considerando parâmetros distribu´ıdos de linha introduz um desafio a mais.

3.2 Gera¸cão de dados para cálculo do equivalente Para cálculo dos parâmetros do equivalente, desconectou-se a rede externa da rede elétrica ilus-trada na Figura 1. Em seguida, a ela, conectou-se uma fonte de tensão senoidal va(t) à fase a,

com amplitude igual a 1 V, fase zero, e frequˆencia vari´avel, mas em valores discretos ωk ∈ [ω0, ωf].

O procedimento é similar a se considerar uma fonte de tensão no dom´ınio da frequência, repre-sentada pelo fasor de amplitude unitária e fase zero, Va(jω). As demais fases foram ligadas à

terra e medidas as correntes injetadas em cada n´o, ia, ib= −ibte ic= −ict. A Figura 3 ilustra

esque-maticamente o circuito no qual foi realizado o pro-cedimento. Como estratégia adotada para contor-nar problemas numéricos detectados durante esse procedimento, os terminais das fases b e c foram aterrados através de resistores fict´ıcios de 10−6Ω. Esses resistores fict´ıcios, no entanto, não são visu-alizados na Figura 3.

Figura 3: Circuito ilustrativo com fonte de tens˜ao conectada `a fase a e curto-circuito nas fases b e c

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Com base nos valores de tensão e de corren-tes obtidos nas simula¸cões para gerar os dados no dom´ınio da frequência, e para a situa¸cão ilustrada na Figura 3, calculam-se os valores

Za= Va Ia+ Ib+ Ic , Zab= −Va Ib , Zac= −Va Ic

A fim de se determinar as demais impedˆ an-cias, procedimento semelhante poder´a ser reali-zado, conectando-se a fonte de tens˜ao na fase b, e por fim, na fase c.

Por ser passivo, as impedˆancias Zab = Zba,

Zac = Zca e Zbc = Zcb. Al´em disso, em

fun-¸

cão dos componentes modelados na rede externa (cargas, linhas e transformadores) e do sistema ser equilibrado, todas essas impedâncias mútuas assu-mem um mesmo valor assim como Za= Zb= Zc.

Por consequência, no geral, apenas dois parˆ ame-tros precisam ser calculados. Em fun¸cão disso, somente são necessários os valores de corrente na fase a e em uma das outras fases. Conclui-se, por-tanto, que o experimento envolvendo o circuito na Figura 3 fornece as medi¸cões necessárias para os cálculos dos parâmetros do circuito trifásico.

Seja os dois valores computados definidos como uma impedˆancia pr´opria Zp(jω) =

Va(jω)/Ia(jω) e uma impedˆancia m´utua

Zm(jω) = −Va(jω)/Ib(jω) = −Va(jω)/Ic(jω). A

partir destes valores, as impedˆancias do circuito trif´asico ficam completamente determinadas. Uma vez que Zab = Zbc = Zca = Zm, a

impe-dˆancia Za poder´a ser calculada, considerando-se

que Za(Ia+ Ib + Ic) = Va e as defini¸c˜oes para

os valores calculados de Zp e Zm. Desta forma,

demonstra-se que Za ₁ Zp − 2 Zm = 1 ⇒ Za= 1 Ya (5) em que Ya = Yp− 2Ym, Yp= 1/Zp e Ym= 1/Zm.

Na próxima se¸cão realizam-se testes visando demonstrar a valida¸cão da técnica. Com esta finalidade, foram utilizados os aplicativos ATP (Dommel, 1992) e Vector Fitting (Gustavsen, 2008).

4 Testes, resultados e discussões Nesta se¸cão, realizam-se cálculos de resposta em frequência para obten¸cão de equivalente dinˆ a-mico trifásico e estudo comparativo quando este é utilizado como substitui¸cão de rede externa.

O equivalente foi calculado a partir dos dados de tensão e de correntes no dom´ınio da frequência do sistema cujo diagrama unifilar é o da Figura 1. Foi empregado esquema de circuito equivalente ilustrado na Figura 3. Utilizam-se dados de tensão da fase a e de corrente nas fases a e b. Os dados no dom´ınio da frequência permitem identificar as impedâncias Zp(jω) = Va(jω)/Ia(jω) e Zm(jω) =

−Va(jω)/Ib(jω) = −Va(jω)/Ic(jω).

Foi utilizada a rotina FREQUENCY SCAN do ATP para levantamento das respostas em frequˆ en-cia correspondentes às tensões e as correntes no procedimento descrito na se¸cão anterior. Inicial-mente, considerou-se uma faixa de frequência com um conjunto de 3001 pontos para cada sinal, dis-tribu´ıdos uniformemente por década. Estes pon-tos compreendem uma banda de frequência entre 1 Hz e 1 GHz.

Ao invés de se trabalhar com valores de impe-dâncias, optou-se por usar admitâncias, conforme definido em (5). Desta forma, foram calculados os valores de admitâncias, Yp= 1/Zp e Ym= 1/Zm.

4.1 Dados e identifica¸c˜ao de curvas

A modelagem da linha com parâmetros distri-bu´ıdos demanda uma estrutura de equivalente di-nâmico, cuja fun¸cão de transferência deveria con-templar infinitos picos. No entanto, um equiva-lente, normalmente, assume a forma de um cir-cuito a parâmetros concentrados, com número fi-nito de componentes. Neste caso, o objetivo é calcular um equivalente que atenda especifica¸cões para uma faixa finita de frequência. A banda considerada com 3001 pontos, até 1 GHz, é aqui apresentada apenas para ilustrar a elevada quan-tidade de picos de ressonância em um modelo a parâmetros distribu´ıdos. Tendo em vista o es-pectro infinito de frequência do sistema original, propõe-se truncá-lo, mediante ajuste de um fil-tro passa-baixa, uma vez que aplica¸cões de inte-resse neste artigo compreendem frequências da or-dem de até alguns kHz. De modo que frequências acima de um dado limiar superior podem ser des-prezadas no novo conjunto de dados. Com esta fi-nalidade, projetou-se um filtro Butterworth passa-baixa, de quarta ordem (Willsky et al., 1996), com frequência de corte 2 kHz. Com este pro-cedimento, espera-se que abaixo de 2 kHz se te-nha dados originais e filtrados praticamente com os mesmos valores.

Utilizou-se o filtro diretamente para filtrar os dados originais de admitˆancia Yp e Ym,

gerando-se os respectivos dados filtrados Yp0 e Ym0. Estes

´

ultimos, portanto foram os dados finais utilizados para a identifica¸c˜ao de curvas.

A Figura 4 fornece a resposta em frequˆ en-cia da magnitude de Yp e Yp0 para uma faixa de

frequência até 1 GHz. Para frequências acima da frequência de corte do filtro, observa-se significa-tiva diferen¸ca entre as curvas. Mas, com rela¸cão ao sinal filtrado, a atenua¸cão das altas frequências evidencia a seletividade em uma faixa finita.

Como se depreende, a identifica¸cão das admi-tâncias sem o filtro demandaria modelo com pi-cos ressonantes em toda faixa de simula¸cão. Este processo, evidentemente, demandaria uma quan-tidade proibitiva de polos, o que certamente nem fosse de impacto relevante para estudos

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detalha-Figura 4: Resposta em frequˆencia da magnitude de Yp e Yp0

dos na área interna do sistema elétrico global. Através da técnica Vector Fitting e a partir das curvas dos sinais filtrados no dom´ınio da frequˆ en-cia foram identificadas curvas em s, Y_p e Y_m.

As fun¸cões de transferência para admitância própria e mútua foram modeladas por 30 e 40 po-los, respectivamente. Ambas as fun¸cões de trans-ferência foram calculadas de forma independente, de modo que os polos dessas fun¸cões não são ne-cessariamente comuns. As estimativas iniciais dos polos foram estabelecidas considerando (4) e as frequências de alguns picos do gráfico de magni-tude.

Figura 5: Resposta em frequˆencia da magnitude das admitˆancias Y_p0 e Y_p

Em todas as situa¸cões para identifica¸cão, a janela de dados utilizados é a compreendida até 2 kHz. As Figuras 5, 6 e 7 ilustram gráficos das curvas identificadas e daquelas que lhes deram ori-gem. A curva designada por ’VF’ representa o ajuste realizado com o método Vector Fitting. A curva ’Original’ representa o sistema com dados do sistema original filtrado. A curva ’Desvio’

repre-Figura 6: Resposta em frequˆencia do ˆangulo de fase de Yp0 e Yp

Figura 7: Resposta em frequˆencia da magnitude das admitˆancias Ym0 e Ym

senta a diferen¸ca, ponto-a-ponto, das curvas ’VF’ e ’Original’. A curva de erro é mostrada apenas paras as magnitudes, pois resultados similares são obtidos também para as fases. Essas figuras ilus-tram informa¸cões cuja ênfase confirma o adequado ajuste na banda de frequência escolhida para o fil-tro. Observa-se que em todos os casos a aderˆ en-cia entre as curvas originais e identificadas, visu-almente, é praticamente total.

4.2 Circuito equivalente

A valida¸cão do sistema equivalente foi feita comparando-se as curvas no dom´ınio da frequˆ en-cia das tensões nas três fases da barra de fronteira, obtidas por meio dos sistemas real e equivalente, na situa¸cão que rede interna e externa são conec-tadas.

A Figura 8 ilustra o circuito el´etrico contendo as ´areas interna e o equivalente da rede externa. O transformador entre as barras 2 e 7 do diagrama unifilar na Figura 1 foi substitu´ıdo por sua

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rea-tância equivalente refletida para o lado de AT. Da mesma forma, a fonte a ser conectada também é considerada refletida para o lado de AT. Este pro-cedimento facilita a simula¸cão no circuito elétrico e é adequado, uma vez que adota-se modelo linear para o transformador.

Na Figura 8, as barras 1, 2 e 3 representam, respectivamente, as fases a, b e c da barra 2 no diagrama unifilar da Figuara 1, respectivamente. Da mesma forma, as barras 4, 5 e 6 representam as fases a, b e c, mas da barra 7.

Figura 8: Sistema trifásico com representa¸cão da rede interna e do equivalente trifásico

Para avaliar as grandezas no sistema global, considerou-se a rela¸c˜ao entre corrente e tens˜ao re-lacionadas por:

[I] = [Y ][V ] (6)

em que [I] representa o vetor de correntes injeta-das nas barras, [V ] são tensões nodais nas barras e [Y ], a matriz de admitâncias de barra do sistema trifásico.

Supõe-se que o sistema possua uma fonte tri-fásica de corrente, equilibada, ligada à barra tri-fásica e, portanto, haja inje¸cão de correntes nas barras 1, 2 e 3. O vetor de correntes em (6) pode ser representado como:

[I] = [I1(jω) I2(jω) I3(jω) 0 0 0] T

(7) Para o sistema simplificado de seis barras em estudo, a matriz de admitâncias, [Y ], é montada da seguinte forma: [Y ] =         Yt 0 0 −Yt 0 0 0 Yt 0 0 −Yt 0 0 0 Yt 0 0 −Yt −Yt 0 0 Y44 _Z−1_ab _Z−1_ac 0 −Yt 0 _Z−1 ab Y55 −1 Zbc 0 0 −Yt _Z−1_ac _Z−1_bc Y66         (8) em que Zaa = Zbb = Zcc = Zp e Zab = Zac = Zbc = Zm, Yt = _jX_t1_(jω), Xt é a reatância em

ohms do transformador refletida para o lado de AT e: Y44= 1 jXt + 1 Zaa + 1 Zab + 1 Zac , Y55= 1 jXt + 1 Zbb + 1 Zab + 1 Zbc , Y66= 1 jXt + 1 Zcc + 1 Zac + 1 Zbc .

Busca-se calcular as tens˜oes nos n´os, de modo que

[V ] = [Y ]−1[I] (9) Note-se que os componentes da matriz [Y ] e dos vetores são variantes com a frequência (jω). Isto significa que para cada frequência discreta ωk

o problema linear (9) deve ser resolvido. Com isto, com as expressões Y_p(s) e Y_m(s) identificadas, é poss´ıvel se determinar os valores de tensão em qualquer frequência de interesse (faz-se s = jω), dentro da banda de frequência válida para o equi-valente.

Para avaliar o desempenho do equivalente, aplicou-se uma fonte independente de corrente trifásica e equilibrada conectada aos nós 1, 2 e 3, em liga¸cão estrela. Com este procedimento, calcularam-se as respostas em frequência da ten-são na barra trifásica 7 (três fases). Foram en-tão calculados os vetores V4(jω), V5(jω) e V6(jω),

correspondentes, respectivamente, às tensões nas fases a, b, e c do equivalente. Para compara¸cão com o sistema real, utilizou-se o resultado gerado diretamente a partir da rotina FREQUENCY SCAN do ATP para o sistema completo. As Figuras 9 e 10 exibem a magnitude e o ângulo de fase da tensão na barra 7, fase a. Resultados similares são obtidos nas demais fases, visto que o sistema é equilibrado.

Figura 9: Resposta em frequˆencia da magnitude de tens˜ao na fase a da barra 7

Nas Figuras 9 e 10, mais uma vez, constata-se a elevada precisão obtida para o modelo equiva-lente para toda a faixa de frequência avaliada, ao se calcular as respostas em frequência.

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Figura 10: Resposta em frequência do ângulo de fase da tensão na fase a da barra 7

5 Conclus˜oes

Este trabalho propôs o cálculo de um equiva-lente dinâmico trifásico, apropriado para substi-tui¸cão de uma parta da rede elétrica trifásica em um sistema elétrico de potência. O equivalente é válido para uma faixa de frequência ajustada a partir de filtro passa-baixa. A fun¸cão do filtro, neste caso, é expurgar os efeitos de altas frequˆ en-cias nas impedâncias devido à presen¸ca de linhas de transmissão modeladas a parâmetros distribu´ı-dos. A metodologia é apropriada para estudos que requeiram banda de frequências limitadas, mesmo se houver equipamentos com as caracter´ısticas das linhas mencionadas.

O equivalente foi obtido a partir de uma barra de fronteira, consistindo de impedâncias (admi-tâncias) acopladas a essa barra. A impedância do equivalente apresenta termos próprios e m´ u-tuos. Estes termos foram obtidos com o aux´ılio da metodologia Vector Fitting. As curvas foram ajustadas em termos de fun¸cões de transferência de admitâncias, com algumas dezenas de polos, e apresentaram excelente aderência quando com-paradas às curvas originais, obtidas por meio de simula¸cão no software ATP.

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