Informa. Quântica. com. Protegendo Informação com Mecânica Quântica

(1)

In

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Q

_Q

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_uântica

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Á

tomos e F

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tons

Protegendo Informação com Mecânica Quântica

Prof. Marcelo Martinelli Laboratório de Manipulação

Coerente de Átomos e Luz

PADCT

http://axpfep1.if.usp.br/~mmartine A página:

(2)

Conte

ú

do

• 1

a

_{Aula – Princípios de Criptografia.}

Computação “Clássica”

Computação Quântica.

Aplicações

Sistemas experimentais

• 2

a

_{Aula – Princípios de Criptografia Quântica}

Criptografia com um fóton

Emaranhamento

(3)

Introdu

ç

ão

• Vimos que computadores quânticos podem revolucionar a teoria da informação. Se praticáveis, podem levar a modelos

híbridos de computação, ou a novos conceitos na arquitetura de computadores.

• Entre outras consequências, tornam obsoleto o sistema mais seguro (e prático) de criptografia.

• É possível empregar a MQ para proteger a informação transmitida entre dois pontos?

(4)

Criptografia com chave sim

Criptografia com chave siméétrica: trica: a chave

a chave éé comum comum ààs duas estas duas estaççõesões

Para lembrar... criptografia...

(5)

(6)

Bloco de cifras de utilização única (1918)

Se a chave é aleatória, é usada apenas uma vez e tem o mesmo tamanho da mensagem, oferece segurança absoluta. MAS,

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Medidas em MQ - um pouco de formalismo

• Ouvimos falar muito que o observador perturba a medida em MQ. Como isso acontece?

•Função de onda ψ → VETOR DE ESTADO | ψ >

OBSERVÁVEIS → OPERADORES (matrizes)

• Exemplos com estados de polarização da luz (sistemas de dois níveis em geral). POLARIZADOR: filtro de polarização, só permite a passagem de uma

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Medidas de Polarização

• Polarizador serve como instrumento de medida. Como representar medida de polarização H? observável 0 0 0 1 A _⎟⎟ → ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = H Autovalores e autovetores ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = 1 0 : 0 ; 0 1 : 1 H V • REGRAS QUÂNTICAS

1) Resultado de uma medida é NECESSARIAMENTE um AUTOVALOR do observável (operador) sendo medido.

2) Medida é equivalente a PREPARAR um estado: após a medida de um autovalor, o estado do sistema é o autovetor (auto-estado) correspondente.

• PRINCÍPIO DE INCERTEZA DE HEISENBERG

→ impossibilidade de se medir, com precisão absoluta, simultaneamente duas grandezas cujos OPERADORES NÃO COMUTAM

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Criptografia quântica

Bennett e Brassard em 1984 (BB84)

Artur Ekert em 1991 (emaranhamento)

(10)

(11)

Aparato para BB84

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É possível construir uma “copiadora” quântica?

| ψ > | ψ >

?

| ψ > | s > U U( | ψ > ⊗ | s > ) = | ψ > ⊗ | ψ > U( | φ > ⊗ | s > ) = | φ > ⊗ | φ > ⇒ < φ | ψ > < s | s > = ( < φ | ψ > )2 ⇒ < φ | ψ > = ( < φ | ψ > )2 ⇒ < φ | ψ > = 0 ou 1 Clássico Quântico?

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• Impossibilidade de “clonar” um bit é um resultado fundamental da Mecânica Quântica e uma das diferenças em relação à

Mecânica Clássica. Resultado é consistente com o princípio de incerteza (noção de que a medida introduz, em geral, uma

perturbação no sistema). É um dos ingredientes essenciais para o aumento de segurança na criptografia quântica.

• A Mecânica Quântica tem outro “recurso” que não está disponível na Mecânica Clássica: a possibilidade de haver

emaranhamento entre partículas distintas, gerando correlações

não-locais. A inexistência desse recurso no “mundo” clássico é demonstrada pela violação de desigualdades de Bell.

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EPR e Desigualdade de Bell

Anybody who is not shocked by quantum theory has not understood it.

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O exemplo de EPR

|ψ〉 ≅ δ(x₁ – x₂ – L)δ(p₁ + p₂) (localizada em x₁ – x₂ e p₁ + p₂)

Uma medida de x₁ fornece x₂, assim como uma medida de p₁ fornece p₂. Mas x₂ e p₂ não comutam! ↔ [x, p] = i ħ

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A conclusão de EPR

Se (1) é falso, então (2) também é falso! Portanto, (1) deve ser verdadeiro: a teoria quântica, embora forneça previsões corretas, deve ser incompleta. As medidas devem apenas revelar estados já pré-existentes, ainda não descritos pela teoria.

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A resposta de Bohr

Bohr introduz a noção de complementaridade, mas sua resposta não contém elementos que permitam descartar o programa proposto por EPR.

(18)

As desigualdades de Bell

Somente em 1964/1966 o “paradoxo” de EPR se tornou mais interessante para a comunidade de físicos. O irlandês John Bell conseguiu demonstrar uma desigualdade que deveria ser satisfeita por teorias de variáveis ocultas que respeitassem a condição de localidade. Seria possível realizar testes

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1 2 3

(a) 11, 22, ou 33: RR e GG com mesma freqüência; jamais RG ou GR

(b) 12, 13, 21, 23, 31, 32: RR e GG com mesma freqüência, ¼

do total; ¾ do tempo RG ou GR (com mesma freqüência)

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(a) Partículas têm instrução do tipo: RRR, RRG, RGR, RGG, GRR, GRG, GGR, GGG. Para explicar o caso (a), basta supor que as partículas emitidas são sempre idênticas.

(b) Vamos analisar o caso (b) de acordo com essa hipótese. Suponhamos que as partículas tenham a instrução RRG. Dos seis arranjos possíveis, só nos casos 12 e 21 lâmpadas de mesma cor acenderão. Como todos os arranjos são supostos aleatórios, o mesmo vale para as instruções RGR, RGG, GRR, GRG e GGR. Nos casos RRR e GGG, as lâmpadas sempre acenderão com a mesma cor. Portanto, a probabilidade de termos lâmpadas de mesma cor no caso (b) deveria ser superior a um terço, enquanto os resultados fornecem apenas um quarto!

Conclusão: experiência é incompatível com descrição em termos de conjunto de instruções bem definidas a priori.

(21)

Como fazer isso na prática? Podemos, por exemplo, fazê-lo com partículas de spin meio, num estado do tipo

2 ↑↓ − ↓↑

Os detetores são dispositivos tipo Stern-Gerlach com três posições possíveis: alinhados, ou a ± 120o_{. A probabilidade de medir spins opostos}

vale cos2(θ/2). Os detetores são codificados com cores invertidas.

Desigualdades foram obtidas por J. S. Bell, Physics 1, 195 (1964). Medidas foram feitas por: S. J. Freedman and J. S. Clauser, Phys. Rev. Lett. 28, 938 (1972) e A. Aspect, J. Dalibard, and G. Roger, Phys. Rev. Lett. 47, 1804 (1982).

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Clauser, Horne, Shimony e Holt (CHSH)

Desigualdades em forma mais apropriada para teste experimental

Freedman e Clauser (PRL, 1972)

Fótons têm mesma polarização, embora a polarização de cada um não esteja bem definida. ⇒ estado emaranhado.

Einstein: conceito de quanta de luz é difícil.

Anton Zeilinger: “photons are clicks on photodetectors”.

(23)

(24)

Experiências mais recentes nos grupos de

Anton Zeilinger e Nicolas Gisin

Geração de Fótons Gêmeos por PDC (tipo II)

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Criptografia Quântica com fótons emaranhados

Alice e Bob recebem fótons de pares emaranhados em estados do tipo Eles fazem medidas de polarização variando aleatoriamente o eixo do

polarizador. Comparando as direções por um canal clássico, conseguem extrair a “chave”.

Finalmente, Alice manda uma mensagem codificada a Bob através de um canal clássico: só ele pode ler, pois é o único a possuir a chave.

2 0 1 1

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“Venus von Willendorf ”

T. Jennewein, C. Simon, G. Weihs, H. Weinfurter, and A. Zeilinger, Phys. Rev. Lett. 84, 4729 (2000)

(27)

www.idquantique.com

•Main features

• First commercial quantum key distribution system • Key distribution distance: up to 60 km

• Key distribution rate: up to 1000 bits/s • Compact and reliable

(28)

(29)

Mas a proposta original de EPR envolvia variáveis contínuas, posição e momento.

Variáveis contínuas do campo EM

E(t)=X cos(ωt)+ Y sen(ωt)

E(t)=Re[α exp(iωt)]

X Y p q

φ

|

α

| observáveis

∆

2

_X∆

2

_Y=∆

2

_p∆

2

_q>1

Heisenberg

α = X + i Y

(30)

Vantagens de variáveis contínuas

• Preparação “incondicional” de estados (a cada inverso

de largura de banda).

• Medidas com alta eficiência de detecção (eficiência

maior que 95%).

• “Complete Bell detection” com detecção homodina e

beamsplitters.

• “Drawbacks”: estados não são perfeitos, dependem do

grau de squeezing; maioria dos experimentos envolvem

estados gaussianos, com função de Wigner ≥ 0.

(31)

Como medir emaranhamento?

• Critério “EPR” [M. D. Reid, PRA 40, 913 (1989), M. D. Reid and P. D. Drummond, PRL 60, 2731 (1988) & PRA 40, 4493 (1989)]

Separability ⇒

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Como gerar emaranhamento?

Estados comprimidos

a

b

d

(33)

α₁out_(t)

α₂out_(t)

α₀in_(t)

O bombeio gera pares de fótons (sinal e complementar) no interior da cavidade.

A correlação é medida pela subtração das fotocorrentes dos detetores.

• Quanto maior o tempo de integração, maior a correlação. • Se este for muito inferior ao tempo de vida do fóton na cavidade, não observamos correlações quânticas.

i₂∝|α₂out_|2

-Analisador de Espectro i₁∝|α₁out_|2 PBS

(34)

Compressão de Ruído em Feixes Gêmeos

0,0 22,5 45,0 67,5 90,0 112,5 135,0 157,5 180,0 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 S = 0,609 ± 0,016 R u ído N o rm al iz ado

Ângulo de Rotação (graus)

(35)

Compressão de Ruído em Feixes Gêmeos

0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 0,65 0,70 0,75 0,80 0,85 0,90 0,95 1,00

Para rotação de 100 graus: N= 0,666 ± 0,028 Ruído Nor m aliz ado Transmitância

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X Y p₁ q₁

φ

|

α

| X Y p₂ q₂

φ

|

α

| Signal _Idler Signal - Idler p -q -X Y p₊ q₊

_φ

+ |

α

₊| Signal + Idler

(37)

b_in (vacuum) b_out (transmission) a_in(input) a_out (reflexion) Fabry-Perot Cavity

Medindo a quadratura fase do feixe

Flutuações de fase Æ intensidade X Y p₊ q₊

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Montagem

PBS λ/2 OPOOPO λ/2

Lock-in Analysis Cavity 2

Doubled Nd:YAG Laser Photodetection and Data Analysis Filter Cavity KTP Demodulating Chain Analysis Cavity 1

(39)

(40)

(41)

-3 -2 -1 0 1 2 0.50 0.75 1.00 1.25 1.50 1.75 2.00 2.25 (a) Q ua dr atu re N ois e ( rel at iv e to SQ L )

Analysis Cavities' Detuning (relative to bandwidth)

(42)

-0.75 -0.50 -0.25 0.00 0.25 0.50 0.75 1.00 0.75 1.00 1.25 1.50 1.75 2.00 (b)

Analysis Cavities' Detuning (relative to bandwidth)

Quadr atur e No is e ( relat ive to SQL ) Resultados – 27MHz Low DC

(43)

EPR

Duan

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PBS λ/2 OPOOPO λ/2 Lock-in Analysis Cavity 2 Doubled Nd:YAG Laser Filter Cavity KTP Analysis Cavity 1 Correlation? Yes/No Photocurrent

Quantum Key Distribution

(45)

Conclusão

oDemonstramos o OPO como uma fonte de feixes

EMARANHADOS, INTENSOS, e de CORES DISTINTAS ! oPrevisto desde 1987!

oConsequências:

¾Criptografia em redes de fibra ótica.

¾Teleportação de estados quânticos entre diferentes regiões do espectro.

¾Problemas abertos em Ótica Quântica e Não-Linear! Emaranhamento de três corpos!

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Conclusão

9Manipulação dos estados quânticos do campo eletromagnético. 9Aprisionamento de átomos pelo campo EM, controle do estado vibracional dos átomos nas armadilhas.

9Controle do estado atômico por campo EM. Emaranhamento átomo-campo.

9Testes fundamentais em Mecânica Quântica:

“gedankenexperiment”Æ laboratório! 9Aplicações em Computação e Criptografia Quânticas.

(47)

Para Saber Mais:

O Livro dos Códigos (The Code Book); Simon Singh.

Quantum Information and Quantum Computation; Nielsen and Chuang Quantum Cryptography, N. Gisin, R. W. Tittel, H. Zbinden (Rev.

Mod. Phys, 74, 145 (2002).

SSH Comunications Secutiry

(http://www.ssh.com/support/cryptography/introduction/) Seminários do Convite à Física (http://fma.if.usp.br/convite/)

Paulo Teotônio (Computação); Luis Davidovich (Descoerência);

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Laboratório de Manipulação Coerente de Átomos e Luz

http://axpfep1.if.usp.br/~lmcal

Paulo A. Nussenzveig – MS5 Marcelo Martinelli – MS3

Paulo Valente – Pos-Doc

Alessandro de Sousa Villar – Dr Katiúscia Nadyne Cassemiro – Dr Hélio Zhang He – MSc

José Gabriel Aguirre Gómez ÆUn. de Concepción Carlos Leonardo Garrido Alzar ÆUn. Paris-Nord Luciano Soares da Cruz ÆUnicamp

Clodoaldo José da Silva - IC Márcio Lopes - IC

Fábio Moreira da Silva – IC Vitor Manfrinato - IC

Douglas Canducci – IC

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Antônio Z. Khoury, Kaled Dechoum (IF - UFF)

Arturo Lezama (Universidad de la República, Uruguai) M. Carolina Nemes, Carlos H. Monken,

Sebastião de Pádua, Marcelo França (DF - UFMG) Flávio Caldas da Cruz, Luis de Araújo (IFGW - UNICAMP)

Maria Aparecida G. Martinez (Mackenzie) Paulo H. Souto Ribeiro (IF - UFRJ)

Sandra Sampaio Vianna (DF - UFPE) Lab. Kastler-Brossel - UPMC- Paris VI

Inst. of Optics – Un. Erlangen – Max Planck Research Group ICFO - Institut de Ciències Fotòniques

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PADCT

Com a

valio

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Projetos de auxílio individual

05/13587-0 (MM) e 04/07167-9 (PN) + bolsas Institutos do Milênio Informação Quântica

2001-2005 e 2006-2008

Capes-Cofecub (2003-2005) PROCAD

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