Sistema de Energia Elétrica

(1)

Análilse Estática de Sistemas de Energia Elétrica

Eduardo N. Asada

SEL-EESC-USP

1.o Sem 2008

Eduardo N. Asada (SEL-EESC-USP) M´odulo 1 1.o Sem 2008 1 / 53

Fluxo de Potˆencia

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Introdu¸c˜ao Geral

Sistema de Energia El´etrica - SEE

Geradores Transformadores (345 kV, 500 kV) (138 kV, 69 kV) Consumidores Subtransmissão Transmissão Transmissão Transmissão Distribui¸cão outros sistemas Interconexão com

Eduardo N. Asada (SEL-EESC-USP) Módulo 1 1.o Sem 2008 3 / 53 Introdu¸cão Opera¸cão em Tempo-Real de Sistemas de Potência

Estados de Opera¸c˜ao do SEP

Ações de controle RESTAURATIVO NÃO CORRIGÍVEL EMERGÊNCIA EMERGÊNCIA CORRIGÍVEL SEGURO CORRETIVAMENTE ALERTA SEGURO

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Introdu¸c˜ao Vis˜ao Geral

Fun¸cões de um COS - Fun¸cões de Análise

Fluxo de Carga

Análise de Segurança Estática Fluxo de Carga Ótimo

Modelo Tempo−Real

Funções de Análise

Aquisição de dados

Equivalente Externo

Figura: Fun¸c˜oes de an´alise de rede

Eduardo N. Asada (SEL-EESC-USP) Módulo 1 1.o Sem 2008 5 / 53 Introdu¸cão Visão Geral

Fun¸c˜oes de um COS - Modelagem em tempo real

Configurador da Rede Análise de Observabilidade Estimador de Estado Processamento de Erros

PROCESSO DE ESTIMAÇÃO DE ESTADO Modelo Tempo−Real

Funções de Análise

Aquisição de dados

Equivalente Externo

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Esquema Geral de um Centro de Controle

A/D A/D Conversor Medidor Sistema de Potˆencia Centro de Controle P₁₂ = 15, 45 MW P

Vis˜ao Geral

MODELAGEM DA REDE ON−LINE ESTIMADOR DE ESTADO ACÕES DE CONTROLE FLUXO DE POTÊNCIA ÓTIMO MODELAGEM DA REDE EXTERNA FLUXO DE POTENCIA ANÁLISE DE SEGURANÇA SCADA BASE DE DADOS PREVISÃO DE CARGA

Figura: Visão simplificada das fun¸cões de análise envolvidas em um Centro de Controle

(5)

Diagrama unifilar

G G C C C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 14 12 13

SEE - Gera¸c˜ao e Transmiss˜ao

• Geradores transformam energia mecˆanica em energia el´etrica e injetam a

potência elétrica gerada na rede de transmissão.

• A energia mecânica é fornecida por turbinas hidráulicas ou a vapor. No caso de turbinas a vapor a energia térmica pode ter diversas origens: carvão, gás, nuclear, óleo, baga¸co de cana, entre outras.

• Por razões econômicas (minimiza¸cão de perdas), a transmissão é

normalmente efetuada em tens˜oes elevadas (por exemplo, 345 kV, 500 kV

ou 750 kV).

• Devido a limita¸cões f´ısicas e de isolamento elétrico, os geradores (por enquanto) operam com tensões na faixa de 10 kV a 30 kV. Geradores

afastados dos centros de carga injetam sua potência gerada na rede através de transformadores elevadores com a conseqüente redu¸cão dos n´ıveis de corrente e, portanto, das perdas de transmissão (perdas ôhmicas).

(6)

SEE - Distribui¸c˜ao

• Por razões práticas, a potência entregue aos centros de carga não pode, em geral, ser consumida nos n´ıveis de tensão em que é feita a transmissão; transformadores abaixadores são utilizados para reduzir os n´ıveis de

tensão. Isso acarreta um aumento correspondente dos n´ıveis de correntes (e perdas), mas isto normalmente é aceitável, pois ocorre já nas

proximidades das cargas.

Hist´orico

Os sistemas de potência, como hoje são conhecidos, têm pouco mais de

100 anos.

Por volta de 1876, n˜ao se tinha claro qual a melhor maneira de, por

exemplo, transmitir a energia elétrica gerada por uma queda de água para um centro consumidor distante. Existiam dúvidas se essa transmissão

deveria se dar mecanicamente (via tubula¸cão de ar comprimido ou de óleo) ou eletricamente (em Corrente Cont´ınua [CC] ou em Corrente Alternada [CA]); no caso de ser em CA, não se tinha certeza em que freqüência elétrica, nem em que número de fases etc.

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Introdu¸c˜ao Hist´orico

Hist´orico

Analisador do sistema - d´ecada de 20 a 60

Blackout de 1965 em New York - An´alise de seguran¸ca

Centros computadorizados - Controle de automático da gera¸cão Centros de Supervisão - SCADA (Supervisory Control and Data Acquisition)

Centros de Controle - Controle em tempo-real

Eduardo N. Asada (SEL-EESC-USP) Módulo 1 1.o Sem 2008 13 / 53 Introdu¸cão Histórico

Cronologia

Uma seqüência cronológica (sem muito rigor) dos fatos desse per´ıodo é apresentada a seguir e voltada para o que aconteceu nos Estados Unidos.

1880 - Edison (Thomas Alva Edison) apresenta sua lˆampada incandescente

(em corrente cont´ınua), a mais eficiente desde então. Nessa época, na Europa, já havia avan¸cos na utiliza¸cão de corrente alternada.

1882 - Edison coloca em funcionamento um sistema de corrente cont´ınua em Nova York e funda a empresa Edison Electric Company.

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Cronologia

CC versus CA

1885 - George Westinghouse Jr. compra os direitos da patente de Goulard–Gibbs para construir transformadores (corrente alternada) e encarrega William Stanley dessa tarefa.

1886 - J´a h´a cerca de 60 centrais de corrente cont´ınua (Edison) com cerca

de 150.000 lˆampadas. Stanley coloca em opera¸c˜ao a primeira central em

corrente alternada (Westinghouse) em Great Barrington, Massachusetts. 1887 - existiam cerca de 121 sistemas CA em funcionamento, com cerca de 325.000 lâmpadas. Entre as novas empresas, se destaca a empresa do próprio Westinghouse que cresce muito e já conta cerca de 125.000

lˆampadas em corrente alternada.

Hist´orico

CC versus CA

1888 - Edison, sentindo o peso da concorrência, passa a atacar duramente os sistemas em corrente alternada. Esta é uma época na qual o pre¸co do cobre sobe muito. A medi¸cão da energia elétrica consumida come¸ca a ser um problema importante para os sistemas de corrente alternada. Para os sistemas de corrente cont´ınua, existia medidor do tipo eletroqu´ımico.

Assim, os sistemas em corrente alternada cobravam por “n´umero de

lˆampadas” – tinham de produzir de 40 a 80% a mais que os sistemas em

CC para o mesmo n´umero de consumidores. Shallenberger

(engenheiro-chefe de Westinghouse) coloca em funcionamento um medidor de energia em CA que dava uma leitura direta de quanta energia havia sido consumida e, portanto, superior ao medidor eletroqu´ımico de Edison.

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Hist´orico

CC versus CA

1890 - a empresa de Edison e ele próprio “baixam o n´ıvel da discussão”: animais (cães e cavalos) são sacrificados para ilustrar os perigos da

corrente alternada. É dessa época também a primeira execu¸cão na cadeira elétrica (em 6/8/1890) na prisão de Auburn, NY, em corrente alternada (gerador Westinghouse);

1892 - entra em funcionamento o primeiro motor de indu¸c˜ao de Nikola

Tesla (que trabalhava para Westinghouse). A comissão responsável pela concorrência pública para a licita¸cão das obras de Niagara Falls decide que o sistema será em corrente alternada. Enquanto isso, na Alemanha, é

colocado em funcionamento um sistema de 100 HP (74,6 kW) com transmiss˜ao de 160 km, em corrente alternada, 30.000 V.

Hist´orico

CC versus CA

A empresa de Edison, a Edison General Electric Company, junta-se a outra, Thomson–Houston, formando a General Electric que passa a produzir em larga escala transformadores e alternadores, fato que

simboliza a vit´oria dos sistemas de corrente alternada na forma que os conhecemos hoje em dia.

1893 - a Westinghouse ganha a concorrˆencia para fornecer os alternadores e transformadores de Niagara Falls que entram em funcionamento em 1896, encerrando a discuss˜ao sobre CC/CA.

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Hist´orico

Hoje

Hoje em dia, além da transmissão de energia a longas distâncias, com a necessidade de se flexibilizar a opera¸cão de sistemas interligados, existe um ressurgimento do interesse pelos sistemas de corrente cont´ınua, mas em uma forma complementar aos sistemas de corrente alternada: nesses

sistemas h´ıbridos, que tendem a se tornar cada vez mais comuns, teremos basicamente uma rede interligada em corrente alternada, dotada de um certo n´umero de links em corrente cont´ınua.

Eduardo N. Asada (SEL-EESC-USP) M´odulo 1 1.o Sem 2008 19 / 53 Fluxo de Carga - Caracter´ısticas B´asicas

Fluxo de Carga ou Fluxo de Potˆencia

Defini¸c˜ao do Problema

Obten¸cão das condi¸cões de opera¸cão (tensões, fluxo de potência) de uma rede elétrica em fun¸cão da sua topologia e dos n´ıveis de demanda e

gera¸c˜ao de potˆencia SISTEMA ELÉTRICO SUBESTAÇÃO USINA 15,9kV 138,4 kV 72,2 MW 42,7 MW 12,1 Mvar 15,4 Mvar INDÚSTRIA 1,0 Mvar 3,3 MW 13,4 kV

(11)

Fluxo de Carga - Caracter´ısticas B´asicas

Caracter´ısticas

Modelagem Estática → rede representada por um conjunto de equa¸cões e inequa¸cões algébricas.

Análise Estática: obtém-se o estado de opera¸cão da rede em regime

permanente. Comportamento dinâmico não é considerado

Fluxo de carga: Modelagem dos componentes → obten¸cão do sistema de equa¸cões e inequa¸cões algébricas → método de solu¸cão → estado de opera¸cão da rede em regime permanente.

Aplica¸c˜oes

FC é utilizado tanto no planejamento como na opera¸cão de redes elétricas

Em geral ´e parte de um procedimento mais complexo Exemplos:

Opera¸c˜ao

Análise de seguran¸ca: várias contingências (acidentes) são simuladas e o estado de opera¸cão da rede após a contingência deve ser obtido. Eventuais viola¸cões dos limites de opera¸cão são detectados e a¸cões de controle corretivo e/ou preventivo são determinadas

Planejamento

Planejamento da expansão: novas configura¸cões da rede são determinadas para atender o aumento da demanda e o estado de opera¸cão da rede para a nova configura¸cão deve ser obtido.

(12)

Desenvolvimento dos M´etodos de FC

Ao longo dos anos, vários métodos de solu¸cão do FC foram

propostos. Para cada aplica¸cão existem os métodos mais apropriados. Os fatores considerados na escolha são mostrados a seguir.

Tabela: Tipos de solu¸c˜ao

Precisa Aproximada

Sem controle de limites Com controle de limites

Off-line On-line

Caso simples Casos m´ultiplos

Propriedades dos m´etodos de solu¸c˜ao do FC

Alta velocidade rede de grandes dimensões aplica¸cões em tempo-real casos múltiplos

aplica¸c˜oes interativas

Pequeno espa¸co redes de grandes dimens˜oes

de armazenamento computadores com pequena quantidade de mem´oria

Confiabilidade problemas mal-condicionados an´alise de contingˆencias

aplica¸c˜oes em tempo-real

Versatilidade habilidade para incorpora¸c˜ao de

caracter´ısticas especiais (controle de de limites

operacionais, representa¸c˜ao de diversos equipamentos, facilidade de ser usado como

parte de processos mais complexos

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Hist´oria

Network Analyzer - pain´eis em que os equipamentos do sistema eram emulados atrav´es de conjunto de fontes, resistores, capacitores e

indutores vari´aveis;

Primeiro método prático de solu¸cão do problema do FC através de um computador digital → Ward e Hale, 1956 (método baseado na matriz Y);

M´etodos baseados na matriz Y: espa¸co de armazenamento pequeno, convergˆencia lenta;

Come¸co da década de 60: métodos baseados na matriz Z(Gupta e Davies, 1961). Convergência mais confiável, mais espa¸co de

armazenamento, mais lentos;

M´etodo de Newton (Van Ness, 1959). Convergˆencia excelente, mas

n˜ao competitivo computacionalmente;

Hist´oria (2)

Meados da d´ecada de 60: t´ecnicas de armazenamento compacto e

ordenamento da fatora¸c˜ao (Tinney e Walker, 1967) tornaram o

m´etodo de Newton muito mais r´apido e exigindo pouco espa¸co de

memória, mantendo a caracter´ıstica de ótima convergência →

método de Newton passou a ser considerado como o melhor método e foi adotado pela maioria das empresas de energia elétrica;

D´ecada de 70: m´etodos desacoplados (Stott e Alsa¸c, 1974) baseados

no m´etodo de Newton foram propostos → ainda mais r´apidos,

mantendo precis˜ao e convergˆencia. Somente em 1990 foi apresentado

um estudo te´orico aprofundando das caracter´ısticas dos m´etodos desacoplados;

Foram propostos ainda: varia¸cões dos métodos desacoplados básicos, métodos para redes mal-condicionadas, métodos para redes de

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Aspectos da an´alise de circuitos el´etricos

Exemplo

Considere um circuito RL alimentado por uma fonte de corrente cont´ınua

mostrado a seguir. + − + − + − i(t) V R L v_R(t) v_L(t) Chave

Resolu¸c˜ao

Aplicando a lei das tens˜oes de Kirchhoff ao circuito tem-se:

+ − + − + − i(t) V R L v_R(t) v_L(t) Chave v_L(t) + vR(t) = V L. d dti(t) + R.i (t) = V d dti(t) + R L.i (t) = V L

(15)

Solu¸c˜ao

d dti(t) + R L.i (t) = V L

A equa¸cão anterior representa uma equa¸cão diferencial ordinária de

primeira ordem. Considerando condi¸cão inicial nula, ou seja, no momento em que a chave é fechada (t = 0) tem-se i (0) = 0, a solu¸cão da equa¸cão é:

i(t) = V R . 1 − e−R L.t

e a tens˜ao sobre o indutor ´e: v_L(t) = V .e−R

L.t

Gr´aficos de i (t) e v (t)

R = 10Ω, L = 300 mH e V = 100 V 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0 2 4 6 8 10 12 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 Regime permanente Regime permanente τ _5τ τ 5τ i(t) v(t)

(16)

An´alise do comportamento

Imediatamente ap´os o fechamento da chave, ou seja, para t = 0+, os

valores de tens˜ao no indutor e de corrente pelo circuito s˜ao:

v_L(0+) = V i(0+) = 0

indicando que neste instante o indutor se comporta como um circuito aberto. A tens˜ao no indutor e corrente pelo circuito na condi¸c˜ao de regime permanente podem ser obtidos calculando-se os limites dos mesmos quando o tempo tende a infinito:

v_L(t → ∞) = 0 i(t → ∞) = V_R

Realizando apenas a an´alise em regime permanente

Do ponto de vista da an´alise de regime permanente, a corrente pelo

circuito ´e limitada somente pelo resistor e, neste exemplo, ´e igual a:

i(t → ∞) = V_R = 10A

Para fins pr´aticos, diz-se que para t ≥ 5τ (em que τ ´e a constante de

tempo do circuito) o circuito est´a operando em regime permanente. No

caso do circuito do exemplo:

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Exemplo- Corrente alternada

+ − + − − + i(t) V R L v_R(t) v_L(t) Chave

A tensão aplicada à carga é:

v(t) = Vp. sen(ωt + θ)

em que Vp é o valor de pico, ω = 2πf é a freqüência angular (f é a

freqüência ) e θ é o ângulo de fase da tensão.

Resolvendo o circuito

Aplicando a lei das tens˜oes de Kirchhoff ao circuito, tem-se:

d dti(t) + R L.i (t) = v(t) L

A solu¸cão da equa¸cão acima para i (0) = 0 é: i(t) = −Vp Z . sen(θ − φ).e −R Lt | {z } it(t) +Vp Z . sen(ωt + θ − φ | {z } ir(t) ) em que: Z = pR2 + (ωL)2 φ = tan−1 ωL R

(18)

Resolu¸c˜ao no tempo

it = −V_Zp. sen(θ − φ).e−

R

Lt corresponde `a parcela transit´oria e tende a zero com o passar do tempo.

Vp

Z . sen(ωt + θ − φ) corresponde `a parcela de regime permanente. Matematicamente

limt→∞it(t) = 0

limt→∞i(t) = ir(t)

Gr´afico de i (t) e i

t

(t)

R = 10Ω, L = 300 mH, V = 100 V e f = 60 Hz 0,8807 −0,8807 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 5τ

(19)

An´alise final

Considera-se que para t ≥ 5τ = 0, 15s a corrente i (t) atinge seu valor de regime permanente, e a parcela transit´oria it vale praticamente zero.

O valor de pico da corrente de regime ´e:

I_p = Vp

Z =

V_p p

R2 + (ωL)2 = 0, 8807A

Circuito Gen´erico

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Espa¸co de estado

O estado de opera¸c˜ao do circuito em regime permanente pode ser

representado pelo espa¸co de estado (tens˜oes nodais):

V₀

Espa¸co de estado

Fluxo de carga

Altera¸c˜ao no circuito

O Circuito sofre uma altera¸c˜ao:

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Altera¸c˜ao No Espa¸co de Estado

Acontece uma altera¸c˜ao no estado de opera¸c˜ao do circuito em regime permanente:

V₀ _V₁

Transit´orio Espa¸co de estado

Fluxo de carga

Eduardo N. Asada (SEL-EESC-USP) Módulo 1 1.o Sem 2008 41 / 53 Formula¸cão do fluxo de potência Motiva¸cão

Considera¸c˜oes Iniciais

A fun¸cão do sistema de gera¸cão é produzir a energia elétrica

consumida → modelado como uma inje¸c˜ao de potˆencia no

barramento

A linha de transmissão é modelada como um circuito RL série O sistema de distribui¸cão consome a energia transportada pelo

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Formula¸cão do fluxo de potência Motiva¸cão

Diagrama Unifilar Correspondente

1 2 P₁ + jQ₁ E₁ = V₁_∠θ₁ _E 2 = V2∠θ2 Gera¸cão Gera¸cão P₂ + jQ₂ r + jx Transmissão Transmissão Distribui¸cão Distribui¸cão

Determina¸c˜ao do Estado do Sistema

Circuito por fase

+ − 1 2 P₁ P₁ Q₁ Q₁ E₁ = V₁_∠θ₁ E₂ = V₂_∠θ₂ Gera¸cão r jx I Transmissão Distribui¸cão Dados: S₂ = P2 + jQ2 = 100 + j0 = 100∠0◦ MVA (100 MW, 0 Mvar) V2 = 500kV (linha) r = 25Ω / fase x = 125Ω /fase

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Determina¸c˜ao do Estado do Sistema

Circuito por fase

+ − 1 2 P₁ P₁ Q₁ Q₁ E₁ = V₁_∠θ₁ E₂ = V₂∠θ2 Gera¸cão r jx I Transmissão Distribui¸cão Pede-se: V₁ S₁ = P1 + jQ1

Conhecendo-se essas grandezas é poss´ıvel determinar por completo o estado do circuito. O cálculo normalmente é realizado em p.u. (por unidade)

Determina¸c˜ao do estado da rede

Valores de base:

S_b = 100 MVA V_b = 500kV

Convers˜ao para p.u.

S2 = 100 + j0 → 1∠0◦ p.u. V2 = 500 → 1∠0◦ r = _(V225 b)/Sb = 0, 01 p.u. x = _(V1252 b)/Sb = 0, 05 p.u.

Corrente pelo circuito I = S2 E₂ ∗ = 1∠0_1∠0◦◦ ∗ = 1∠0◦ p.u. Tens˜ao na fonte E₁ = E₂ _{+ I (r + jx) = 1∠0}◦ + 1∠0◦ (0, 01 + j0, 05) = 1, 0112∠2, 8◦ p.u.

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Determina¸c˜ao do estado

Potˆencia fornecida pela fonte: S₁ = E₁I∗ = 1, 0112∠2, 8◦ = 1, 01 + j0, 05 p.u. (101 MW, 5 Mvar) 101 MW 5 Mvar 100 MW 0 Mvar 1 MW 5 Mvar perdas na transmiss˜ao 1 2 V₁ _V 2

Problema Real

Na prática, os dados e incógnitas não são os especificados anteriormente Dados:

S₂ = P2 + jQ2 = 100 + j0 = 100∠0◦ MVA (100 MW, 0 Mvar)

V₁ = 1, 0112 (*) pu (linha) r = 25Ω / fase

x = 125Ω /fase

(*) Tensão na sa´ıda do transformador elevador na subesta¸cão da usina, mantida constante através de um sistema de controle. Pede-se:

V₂

S1 = P1 + jQ1

(25)

Resolu¸c˜ao Anal´ıtica

Lei das tens˜oes de Kirchhoff:

E₁ = E₂ + ZI = E₂ + Z (S₂/E₂)∗ (×E∗ 2) E₁E∗ 2 = V22 + ZS ∗ 2 Considerando E₁ = V₁_∠0◦ e E₂ = V₂_∠θ₂: V₁V₂_{∠ − θ}₂ = V₂2 + (r + jx)(P₂ − jQ₂) Separando as partes real e imagin´aria:

V₁V₂cos θ₂ = V₂2 + (rP₂ + xQ₂) V₁V₂senθ₂ = (rQ₂ − xP₂)

Resolu¸c˜ao

Elevando as duas equa¸c˜oes ao quadrado e somando-as, elimina-se θ₂: V₁2V₂2 = V₂4 + (rP₂ + xQ₂)2 + 2V₂2(rP₂ + xQ₂) + (rQ₂ − xP₂)2 V₂4 + V₂2[2(rP₂ + xQ₂) − V₁2] +(rQ₂ − xP₂)2 + (rP₂ + xQ₂)2] = 0 Que pode ser reescrita como:

V₂4 +bV₂2 + c

onde

∆ = b2 − 4c

y₁ = (−b + ∆1/2)/2

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Solu¸c˜ao

De acordo com os dados fornecidos: V₂ = {±1, ±0, 05} pu.

A resposta esperada é V₂ = 1 p.u. Então: θ₂ = sen−1 [(rQ₂ − xP₂)/V₁V₂] = −2, 8◦ I = S2 E₂ ∗ = 1∠ − 2, 8◦ S₁ = E₁I∗ = 1, 0112∠2, 8◦ = 1, 01 + j0, 05 = 101 MW, 5 Mvar Mesma solu¸cão!

Interpreta¸c˜ao

As duas solu¸cões negativas não tem significado f´ısico → são desprezadas

Supor que a potência ativa da carga no barramento 2 seja variável e que a potência reativa seja nula:

0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 V₂[p.u.] Caso base _Vcr 2 P₂cr Opera¸c˜ao inst´avel

Opera¸c˜ao Est´avel

(27)

Exerc´ıcio

Sendo P₂cr o máximo carregamento da rede para as condi¸cões especificadas e V₂cr a tensão para a qual ocorre o máximo carregamento, obtenha:

Apresentar a curva [V₂ × P₂] completa para o circuito exemplo

considerando Q₂ = 0

Obter P₂cr e V₂cr analiticamente e comparar com os valores obtidos atrav´es da an´alise da curva PV.

Apresentar a curva [V₂ × Q₂] considerando P₂ = 0 no mesmo gráfico de (1). Obter Q₂cr e V₂cr analiticamente e comparar com os valores obtidos através da análise da curva PV.