Primeiro Semestre de de Novembro de 2016

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EXAME UNIFICADO DAS P ÓS-GRADUAÇ ÕES EM FÍSICA DO RIO DE JANEIRO EDITAL 2017-1

Primeiro Semestre de 2017 - 25 de Novembro de 2016

LEIA COM ATENC

¸ ˜

AO.

(IF YOU WANT THE ENGLISH VERSION OF THE QUESTIONS, PLEASE ASK THE EXAMINER.)

A PROVA É COMPOSTA DE 5 BLOCOS: Bloco 1: Mecânica Clássica

Bloco 2: Ondas, Fluidos e Termodinˆamica Bloco 3: Eletromagnetismo

Bloco 4: Ondas Eletromagnéticas, Ótica e F´ısica Moderna Bloco 5: Mecânica Quântica

• Todos os candidatos devem escolher 4 dos 5 blocos para resolver. Os candidatos ao doutorado devem OBRIGATORIAMENTE escolher o bloco 5 (Mecˆanica Quˆantica).

• A escolha do bloco que N ˜AO ser´a corrigido deve estar claramente registrada na folha de rosto do caderno de respostas.

• Cada bloco contém 3 questões de múltipla escolha (45% da nota) e uma questão discursiva (55% da nota).

• Duas respostas erradas a questões de múltipla escolha cancelam uma resposta correta a outra questão de múltipla escolha, dentro do universo de 12 questões de múltipla escolha dos 4 blocos escolhidos.

• Respostas em branco não têm nenhum efeito sobre a corre¸cão das outras questões.

A PROVA TEM DURAÇ ÃO M ÁXIMA DE 4 HORAS. BOA PROVA.

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BLOCO 1: Mecˆ

anica Cl´

assica

M´

ultipla escolha

Problema 1: Dois blocos idênticos são conectados com uma mola. Um deles é fixado ao teto com um fio. Inicialmente, o sistema está em equil´ıbrio. Imediatamente depois de cortar o fio, qual é o módulo da acelera¸cão do bloco superior?

g

a) 0 b) √2g

c) g d) 2g

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Problema 2: Um pêndulo, composto de uma massa puntiforme presa na extremidade de um fio ideal, é solto no ponto A e balan¸ca até o ponto E. Qual dos seguintes diagramas ilustra a acelera¸cão da massa na extremidade do pêndulo?

A

B

C

D

E

A

B

C

D

E

A

B

C

D

E

A

B

C

D

E

c)

d)

a)

b)

Problema 3: Dois projéteis são disparados como na figura. O módulo da velocidade inicial é o mesmo para os dois casos (o ângulo θ é em rela¸cão à horizontal). Se o projétil do caso A cai no chão a uma distância horizontal x1, então

h h

v₀

v₀ θ

A B

a) independentemente do valor de θ, o projétil do caso B cai no chão a uma distância horizontal menor que x1.

b) independentemente do valor de θ, o projétil do caso B cai no chão a uma distância horizontal igual a x1.

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c) independentemente do valor de θ, o projétil do caso B cai no chão a uma distância horizontal maior que x1.

d) a rela¸cão entre as distâncias nos dois casos depende do ângulo θ.

Discursiva

Problema 4: Uma haste, r´ıgida e uniforme, de comprimento L e massa M é colocada verticalmente numa superficie. A haste só pode girar em torno do ponto de contato com a superf´ıcie, mas não pode se mover horizontalmente. Despreze qualquer atrito.

a) Mostre que o momento de inércia para rota¸cões em torno do ponto do contato é I = 1₃M L2. b) Calcule a energia potencial em fun¸cão do ângulo θ entre a haste e a vertical.

c) Obtenha a energia cin´etica da haste em fun¸c˜ao de ω _≡ _dtdθ.

d) Quando a haste cai, a extremidade livre dela bate no ch˜ao com que velocidade? Suponha que a velocidade inicial seja zero.

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BLOCO 2: Ondas, Fluidos e Termodinˆ

amica

M´

ultipla escolha

Problema 5: Um bloco de massa M oscila sob a a¸cão de uma mola ideal, de massa desprez´ıvel, em um plano sem atrito. No momento de maior amplitude do movimento um outro bloco de massa m é colado instantaneamente em cima do bloco maior, sem que haja qualquer transferência de momento. Veja a figura abaixo. Podemos afirmar que:

a) A amplitude do movimento diminui e a frequência não se altera. b) A amplitude do movimento diminui e a frequência aumenta.

c) A amplitude do movimento e a frequência não são alterados. d) A amplitude do movimento não é alterada e a frequência diminui.

Problema 6: A água é fundamental para a existência da vida na Terra. Essa importância da água deve-se, entre outros fatores, a comportamentos anômalos dessa substância quando comparada com outras. Na Figura 1 abaixo vemos como a densidade da água varia em fun¸cão da temperatura. Qual dos itens abaixo está errado?

a) Em um dia quente, quando a temperatura das ´aguas de um lago est´a na faixa de 15o_{C a 20}o_{C de}

acordo com a profundidade, temos que a água na superf´ıcie do lago é mais quente do que a água no fundo do lago;

b) Em um dia frio, quando a temperatura das ´aguas de um lago est´a na faixa de 1o_{C a 3}o_{C de acordo}

com a profundidade, temos que a água na superf´ıcie do lago é mais fria do que a água no fundo do lago;

c) Quando uma massa de ´agua inicialmente a 1o_{C ´}_{e aquecida sofrendo uma varia¸c˜}_{ao de 5}o_{C, seu volume}

diminui e depois aumenta;

d) A dilata¸cão volumétrica da água l´ıquida é descrita pela fórmula ∆V /V = β∆T para qualquer intervalo de temperatura ∆T , onde β é o coeficiente de dilata¸cão volumétrica que independe da temperatura.

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Figura 1: Os gráficos mostram como a densidade da água varia em fun¸cão da temperatura. O painel da esquerda mostra a varia¸cão da densidade da água para o intervalo de temperatura [₋₂₀₀o_C,₁₀₀o_{C], que inclui as fases s´}_{olida e l´ıquida}

da água. O gráfico da direita mostra com detalhe a varia¸cão da densidade da água l´ıquida no intervalo de temperatura [0o_C,₁₀o_C].

Problema 7: Dois l´ıquidos idênticos (mesma densidade) são colocados em recipientes com formas distintas, porém com mesma área A da superf´ıcie inferior. Nos dois recipientes o l´ıquido é colocado até atingir uma altura h. Veja a figura abaixo. Qual das afirma¸cões abaixo é incorreta?

a) O volume de l´ıquido no recipiente II ´e maior do que no recipiente I; b) O peso do l´ıquido no recipiente II ´e maior do que o do recipiente I;

c) A for¸ca exercida pelo l´ıquido na superf´ıcie inferior do recipiente II é maior do que no recipiente I; d) A pressão exercida pelo l´ıquido na superf´ıcie inferior do recipiente II é a mesma que no recipiente I.

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Discursiva

Problema 8: O motor de um carro transforma uma mistura de gasolina e ar em movimento mecˆanico. Esse motor de combust˜ao interna funciona, usualmente, em 4 tempos que podem ser idealizados como mostrado na figura abaixo.

2 Questão Discursiva

1. O motor de um carro transforma uma mistura de gasolina e ar em movimento mecânico. Esse motor de

com-bustão interna funciona, usualmente, em 4 tempos que podem ser idealizados como mostrado na figura abaixo.

Esse ciclo, conhecido como ciclo de Otto, pode ser descrito como segue:

0-1 Injeção de combustível: nessa parte a válvula da esquerda é aberta e uma mistura de ar e gasolina é

inserida no reservatório, com o pistão expandindo livremente;

1-2 Compressão: o pistão é comprimido adiabaticamente;

2-3 Ignição: uma faísca é produzida dentro do compartimento. A mistura de gasolina e ar entra em combustão

com o volume mantido constante;

3-4 Expansão: devido ao aumento de pressão o pistão expande adiabaticamente;

4-1 Exaustão: a válvula de escape é aberta e o gás é liberado com volume mantido fixo;

1-0 Exaustão final: ainda com a válvula de escape aberta, o pistão é comprimido e todo o gás dentro do

compartimento é expelido, voltando assim a condição inicial.

(a) Desenhe os diagramas de pressão por volume (p-V) para o ciclo descrito acima;

(b) O ciclo de Otto é uma idealização do ciclo do motor de 4 tempos. Quais são os pontos onde o motor real

deve diferir do ideal? Esboce o gráfico p-V nessas condições mais realistas.

(c) Mostre que a eficiência do ciclo ideal é dada por

h = 1

✓ 1

r

◆ g 1

onde r é a taxa de compressão volumétrica, e

g é a constante adiabática da mistura de gasolina e ar que

pode ser aproximada por um gás ideal.

Solução:

(a) Para o ciclo de Otto ideal temos:

(b) No caso real a compressão e expansão não serão adiabáticas, devido ao inevitável atrito do pistão com

a parede do cilindro, que acaba por aquecer. Mais ainda, durante a ignição e exaustão o volume não é

mantido constante. Por fim, quando a mistura de combustível e ar é colocada no cilíndro, o movimento do

pistão para baixo faz com que a pressão seja um pouco abaixo da atmosférica; equivalentemente, quando

da exaustão final, o movimento para cima do pistão faz com que a pressão seja um pouco maior que a

atmosférica. Um esboço do gráfico p-V é como segue:

3

Esse ciclo, conhecido como ciclo de Otto, pode ser descrito como segue:

0-1 Inje¸cão de combust´ıvel: com o compartimento completamente vazio (volume nulo) a válvula da esquerda é aberta e uma mistura de ar e gasolina é inserida no reservatório, com o pistão expandindo sem variar a pressão;

1-2 Compressão: a válvula da esquerda é fechada, e o pistão é comprimido adiabaticamente;

2-3 Igni¸cão: uma fa´ısca é produzida dentro do compartimento. A mistura de gasolina e ar entra em combustão, transformando-se completamente em gás, com o volume mantido constante;

3-4 Expans˜ao: o pist˜ao expande adiabaticamente;

4-1 Exaustão: a válvula da direita (escape) é aberta e todo o gás é liberado com volume mantido fixo;

1-0 Exaustão final: ainda com a válvula de escape aberta, o pistão é comprimido e todo o gás dentro do compartimento é expelido, voltando assim à condi¸cão inicial.

a) Considerando que a mistura de ar e gasolina se comporta como um g´as ideal, desenhe o diagrama de press˜ao por volume (PV) para o ciclo descrito acima;

b) Quando um gás ideal sofre um processo adiabático observamos que a quantidade P Vγ é conservada. Essa lei de conserva¸cão é denominada Lei de Poisson-Laplace, e o expoente γ é dado pela razão entre

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os calores espec´ıficos (γ _{≡ c}P/cV, onde cP é o calor espec´ıfico a pressão constante, e cV é o calor

espec´ıfico a volume constante). Mostre que nesse processo a quantidade T Vγ−1_tamb´_{em ´}_{e conservada,}

onde T ´e a temperatura.

c) Mostre que a eficiˆencia η_≡ Trabalho fornecido_{Calor consumido} do ciclo ideal ´e dada por

η = 1₋

1 r

γ−1

onde r é a razão de compressão volumétrica (entre o volume ao final do estágio 0-1 e o volume ao final do estágio 1-2).

d) O ciclo de Otto ´e uma idealiza¸c˜ao do ciclo do motor de 4 tempos. Enumere algumas caracter´ısticas onde o motor real difere do ideal.

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BLOCO 3: Eletromagnetismo

M´

ultipla escolha

Problema 9: Considere duas distribui¸cões lineares, conforme mostra a figura, com a mesma carga total Q: (I) um anel circular uniformemente carregado, de raio R, e (II) um anel semi-circular uniformemente carregado, de raio também R. Supondo que o potencial é tomado como zero no infinito, assinale a op¸cão que indica corretamente o campo elétrico e o potencial eletrostático, de cada distribui¸cão, no centro_P.

a) ~EI = ~EII ; VI = VII. b) ~EI = − 1 2 ~ EII ; VI = 0 ; VII 6= 0 . c) ~EI = 0 ; ~EII 6= 0 ; VI = 0 ; VII 6= 0 . d) ~EI = 0 ; ~EII 6= 0 ; VI = VII 6= 0 .

Problema 10: Um el´etron (carga _{−e ) penetra na regi˜ao entre as duas placas de um capacitor de} placas paralelas com uma velocidade inicial ~v0 = v0x paralela `ˆ as placas. Considere as placas como

infinitas. Qual o campo magnético externo que deve ser produzido nesta região para que o elétron se mova em linha reta, sabendo que a distância entre as placas é d e a diferen¸ca de potencial entre elas é V ?

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a) ~B = ₋V_d yˆ b) ~B = ₋_dvV 0 yˆ c) ~B = ₋V_d zˆ d) ~B = ₋_dvV 0 zˆ

Problema 11: Uma casca esférica espessa, condutora, descarregada, tem raios interno a e externo b, estando situada no vácuo. No centro de tal casca, é colocada uma part´ıcula de carga q > 0. Considerando que o potencial eletrostático V é zero no infinito, qual dos diagramas abaixo melhor representa o gráfico de V em fun¸cão da distância r em rela¸cão ao centro da casca?

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Discursiva

Problema 12: Em uma casca cil´ındrica circular, espessa, condutora, muito longa, de raios interno a e externo b (b > a), est´a definida uma densidade de corrente

J = Cr2z ,ˆ

onde C é uma constante, r é a distância até o eixo da casca e ˆz é um vetor unitário (versor) na dire¸cão desse eixo.

a) Determine a corrente elétrica total, Itot, que passa através de uma se¸cão transversal da casca.

Nos próximos três itens, deduza uma expressão para o vetor campo magnético B (módulo, dire¸cão e sentido) em um ponto genérico, a uma distância r do eixo tal que:

b) 0_{≤ r ≤ a} c) b_{≤ r < ∞} d) a_{≤ r ≤ b}

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BLOCO 4: Ondas Eletromagn´

eticas, ´

Otica e F´ısica Moderna

M´

ultipla escolha

Problema 13: Uma lâmpada de xenônio é coberta com um filtro de interferência que deixa passar somente luz de comprimento de onda de 400 nm. Quando a luz transmitida atinge uma superf´ıcie de metal, elétrons são ejetados. Se a intensidade da luz atingindo o metal é duplicada,

a) mais elétrons são ejetados em um dado intervalo de tempo. b) os elétrons ejetados são mais energéticos.

c) ambas situa¸c˜oes acima ocorrem. d) nenhuma das situa¸c˜oes acima ocorre.

Problema 14: O experimento de fenda dupla de Young consiste na ilumina¸cão de duas pequenas fendas paralelas e horizontais por uma luz monocromática e coerente. Identifique entre as figuras abaixo o padrão que melhor representa o que é observado neste experimento:

Problema 15: Em um ambiente contendo ar (´ındice de refra¸cão n_{≈ 1) um feixe de luz monocromática} incide paralelamente a uma lente convergente de vidro (n _{≈ 1, 50) fazendo com que o feixe convirja a} uma distância f do centro da lente (veja Fig. 2). Ao repetir o processo com a lente submersa em água (n_{≈ 1, 3) dentro de um aquário, conforme Fig. 3, o feixe irá:}

a) convergir a uma distˆancia f0 > f . b) divergir.

c) convergir a uma distˆancia f0 < f . d) convergir a uma distˆancia f0 = f .

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Figura 2: Lente de vidro em ar.

Figura 3: Lente de vidro em ´agua.

Discursiva

Problema 16: Considere uma rede undimensional de lâmpadas igualmente espa¸cadas de uma distância L em um certo referencial inercial (Veja Figs. 4 e 5). A distância L é grande o suficiente para que efeitos relativ´ısticos sejam percept´ıveis ao olho humano.

Figura 4: Rede de lˆampadas unidimensional e observador em repouso na origem. Figura relativa aos itens a e b.

a) Se as lâmpadas piscarem, nesse referencial, no mesmo instante de tempo T , explique qualitativamente porque um observador na origem deste mesmo referencial não vê duas lâmpadas consecutivas piscarem ao mesmo tempo.

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b) Determine o intervalo de tempo τ que uma lâmpada na posi¸cão 1 deve piscar com rela¸cão à lâmpada na posi¸cão 2 para que um observador em repouso na origem observe ambas piscarem simultaneamente.

Figura 5: Rede de lˆampadas unidimensional e observador em movimento. Figura relativa aos itens c, d e e.

c) Considere agora que o observador come¸ca a se mover com uma certa velocidade constante v = 3₅c no sentido positivo do referencial (como ilustrado na Fig. 5). Qual a distância L0 entre as lâmpadas medida pelo observador nessa nova situa¸cão?

d) Considere que cada lˆampada emite luz na faixa do vermelho vis´ıvel (λ = 700 nm), no referencial de repouso das lˆampadas. Calcule os comprimentos de onda no referencial do observador em movimento para a luz que se move nos dois sentidos (positivo e negativo).

e) Baseado em seu resultado do item (d) e no espectro eletromagnético (Fig. 6), o observador em movimento verá as luzes à sua frente ou não? E quanto às luzes de trás? Explique.

Figura 6: Espectro eletromagn´etico. O comprimento de onda do espectro vis´ıvel varia na faixa de 400_{− 750 nm.}

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BLOCO 5: Mecˆ

anica Quˆ

antica

(OBRIGAT ´ORIO PARA CANDIDATOS A DOUTORADO)

M´

ultipla escolha

Problema 17: Uma part´ıcula encontra-se confinada dentro de uma caixa cúbica de aresta L. Dado isto, qual das afirma¸cões abaixo é verdadeira?

a) A energia da part´ıcula apresenta um espectro cont´ınuo. b) A incerteza de uma componente do momento ´e ∆p_≥ ~

2L.

c) Uma part´ıcula como a descrita tem incerteza de posi¸c˜ao infinita.

d) A part´ıcula encontra-se necessariamente em um auto-estado do operador momento.

Problema 18: A medida de uma grandeza f´ısica Q é feita 1000 vezes em um certo sistema e os resultados observados são, em unidades arbitrárias (u.a.): Q = 10 u.a., obtido 334 vezes; Q = 5 u.a., obtido 165 vezes e Q = 7 u.a., obtido em todo o restante das medidas. Sendo_{{|10i, |7i, |5i, |1i} uma base} ortonormal de autovetores do operador ˆQ com autovalores 10 u.a., 7 u.a., 5 u.a. e 1 u.a., respectivamente, qual dos estados quânticos abaixo mais provavelmente descreve o sistema?

a) _{|ψi = |10i + |7i + |5i}

b) _{|ψi =} 1₃_{|10i +} 3₂_{|7i +} 1₂_{|5i + 10}−4_|1i c) _{|ψi =} √1 3 h |10i +q3 2|7i + 1 √ 2|5i + 10_√−3 2 |1i i

d) _{|ψi =} 1₃_{|10i +} 3₂_{|7i +} 1₂_|5i

Problema 19: Considere duas part´ıculas independentes em 3 dimens˜oes e os operadores de mo-mento angular associados a cada uma delas, ~L1 = (Lx1, L

y

1, Lz1) e ~L2 = (Lx2, L y

2, Lz2). Qual das seguintes

afirma¸c˜oes ´e verdadeira?

a) Podemos medir simultaneamente Lz

1 e Lz2, mas L y 1 e L

y

2 n˜ao podem ser medidas simultaneamente.

b) Podemos medir simultaneamente Lz 1 e L

y

1, mas Lz1 e L y

2 n˜ao podem ser medidas simultaneamente.

c) Podemos medir simultaneamente apenas Lz _{e ~}_L2 _{associados a uma ´}_{unica part´ıcula.}

d) Podemos medir simultaneamente Lz

1, Lz2, ~L21.

(16)

Discursiva

Problema 20: Considere um sistema quˆantico de dois n´ıveis de energia, E+ = π~ e E−= π~/2. Em

um instante de tempo inicial (t = 0) o sistema encontra-se em um estado _{|ai. Sabendo que o operador} Hamiltoniano total do sistema, ˆH, ´e independente do tempo e possui autovetores normalizados _|E±i

tais que ˆH_|E±i = E±|E±i, hE+|E−i = 0 e

|E±i = |ai ± |bi√

2 , (1)

a) Escreva o estado inicial do sistema na base de autovetores de energia. b) Obtenha o estado do sistema em um instante de tempo t > 0.

c) ´E poss´ıvel que a part´ıcula seja medida no estado _{|bi em t = 0? E em t > 0? Justifique e discuta} fisicamente a evolu¸c˜ao temporal do sistema.

d) Calcule a probabilidade m´ınima de o sistema estar no estado _{|ai e em qual(quais) instante(s) de} tempo ela acontece.