Manual. Alfredo D. Egídio dos Reis e Agnieszka I. Bergel. ISEG, Outubro 2020

(1)

Introdu¸c˜

ao `

a Matem´

atica Financeira

Manual

Alfredo D. Eg´ıdio dos Reis e Agnieszka I. Bergel

(2)

1.2 Exerc´ıcios

1. Quest˜oes Verdadeiro/Falso (V/F):

(a) Seja uma taxa de juro não-negativa, o valor acumulado de um capital no final do per´ıodo de aplica¸cão é sempre maior que o capital inicial.

V F

(b) O Sr. Zeca fez uma aplica¸c˜ao de e 1 000 a uma taxa de 10%. Isto significa que no final do per´ıodo de capitaliza¸c˜ao o seu capital cresceu 10%.

V F

(c) Seja uma taxa de juro aplic´avel a um per´ıodo quadrismestral. Isto significa que no prazo de ano ela seria aplicada quatro vezes.

V F

(d) O Sr. Zeca aplicou e 1 000 a uma taxa de juro trimestral de 4%. Isto pode significar que a aplica¸c˜ao vai vencer juros quatro vezes num ano.

V F

2. Quest˜oes de resposta m´ultipla:

(a) Relativamente `a aplica¸c˜ao acima de e 1 000 pelo Sr. Zeca, mas a uma taxa trimestral de 10%, isso resulta num valor de juros de

1. e 25, 00/mês ⇥ ; 2. e 33, 33 no final de cada mês ⇥ ; 3. e 100, 00 ao fim de três meses ⇥ ; 4. Outra ⇥ .

(b) Relativamente à aplica¸cão acima de e 1 000 pelo Sr. Zeca, a uma taxa trimestral de 4%, calcule o Valor Futuro no per´ıodo de acumula¸cão.

1. e 1 010, 00 _⇥ ; 2. e 1 040, 00 _⇥ ; 3. e 1 030, 00 _⇥ ; 4. Outra _⇥ . 3. Considerando a fórmula (1.2)-(1.3), mostre que F V = P V (1 + i) e que P V = F V (1 + i) 1. 4. Relativamente à aplica¸cão acima de e 1 000 pelo Sr. Zeca, a uma taxa trimestral de 4%,

(3)

2.3 Exerc´ıcios

1. Quest˜oes Verdadeiro/Falso (V/F):

(a) Para um taxa de juro constante, em juro simples o valor do juro em cada per´ıodo ´e sempre constante.

V F

(b) O regime de juro simples ´e essencialmente usado em opera¸c˜oes financeiras de curto prazo.

V F

(c) Considere juro simples. Para uma taxa de juro constante de iA=10%, uma dada aplica¸c˜ao

leva dez anos a duplicar o seu valor inicial.

V F

(d) Descontar um capital ´e uma opera¸c˜ao financeira denominada desconto simples.

V F

(e) O desconto simples corresponde ao valor actual de uma unidade de capital descontado um ano.

V F

(f) Considere uma taxa de juro positiva e o mesmo per´ıodo. Em regime simples a taxa de desconto e a taxa de juro s˜ao iguais.

V F

(g) Desconto simples e juro simples s˜ao conceitos diferentes que podem ser matematicamente relacionados, equacionados.

V F

(h) Considere a seguinte afirma¸c˜ao, atribu´ıda ao Dr. Zen: “Desconto simples” significa sim-plesmente que o juro, sob uma determinada quantia emprestada, ´e pago antecipadamente.

V F

(a) Em juro simples, o Dr. Zen fez uma aplica¸c˜ao a quatro anos no valor de e 10 000 a uma taxa semestral de 1%. Calcule o juro produzido no 3º ano, aproximadamente.

1. e 300, 00 ⇥ ; 2. e 200, 00 ⇥ ; 3. e 209, 16 ⇥ ; 4. Outro ⇥ .

(b) Considere juro simples e uma taxa de juro mensal de 1, 2%. O Dr. Zeus contratou um empréstimo de e57 000, 00. Capital e juros foram pagos conjuntamente de uma só vez no final do prazo e totalizaram e63 839, 54. Qual o prazo do empréstimo (Aproximada-mente)?

1. 1 ano, 2 meses e 3 dias ⇥ ; 2. 9 meses e 10 dias ⇥ ;

3. 9 meses e 15 dias _⇥ ; 4. Outro _⇥ .

(c) Considere juro simples e uma taxa de juro semestral de 2, 5%. Calcule o montante do investimento necess´ario que o Dr. Zef precisa de fazer, por forma a acumular um valor de e1 050, 00 ao fim de 24 meses:

(4)

(d) Considere juro simples e uma taxa de juro mensal de 0, 5%. Dr. Zappa tem que pagar 300, 600 e 900 euros dentro de 3, 6 e 12 meses, respectivamente. Seis meses após o in´ıcio ele não tinha pago nada. Nessa altura, qual é a d´ıvida completa do Dr. Zappa?

1. e 1 778, 29 _⇥ ; 2. e 1 752, 62 _⇥ ; 3. e 1 752, 62 _⇥ ; 4. Outra _⇥ . (e) O pre¸co de uma T -Bill ´e de $97, 20 e faltam 126 dias para o vencimento. Qual a taxa

de desconto?

1. 8, 00% ⇥ ; 2. 8, 11% ⇥ ; 3. 7, 08% ⇥ ; 4. Falta informa¸cão ⇥ . 3. Considere juro simples e uma aplica¸cão a seis meses do Dr. Zaratustra. Em fun¸cão do

rendi-mento, indique e explique por cálculos a sequência correcta das seguintes op¸cões:

(a) Taxa de juro iT = 5% para um trimestre, seguida de uma taxa de juro iS= 10% para o

outro trimestre;

(b) Taxa de juro iT = 3% para dois trimestres, e uma taxa de juro iM = 4% os meses

seguintes;

(c) Taxa de juro iM = 3% para trˆes meses, e iQ = 4% para um trimestre;

(d) Taxa de juro iT = 4% para um trimestre, e i2M = 3% para trˆes meses.

(5)

3.3 Exerc´ıcios

1. Quest˜oes Verdadeiro/Falso:

(a) Para uma taxa de juro positiva, o valor acumulado de um capital em regime simples ou composto ´e sempre diferente, qualquer que seja o prazo da aplica¸c˜ao.

V F

(b) Considere uma taxa de juro anual e positiva, e a afirma¸cão: “Tal como um relógio parado e a hora certa”. . . só há dois momentos no tempo em que o valor acumulado de um determinado capital é igual, quer seja em regime simples quer em composto.

V F

(c) Para uma taxa de juro i = 10%, um capital aplicado no regime simples leva cerca de +37, 5% mais tempo a duplicar o seu capital do que a mesma aplica¸c˜ao de capital em regime composto.

(a) Em regime composto, o Sr. Zen fez uma aplica¸c˜ao a quatro anos no valor de e 10 000 a uma taxa semestral de 1%. O juro calculado no terceiro ano ´e, aproximadamente,

1. e 105, 10 _⇥ ; 2. e 102, 01 _⇥ ; 3. e 209, 16 _⇥ ; 4. Outro _⇥ .

(b) Considere juro composto e uma taxa mensal de 0, 5%. O Dr. Zen tem de pagar 300, 600 e 900 euros dentro de 3, 6 e 12 meses, respectivamente. Ao fim de seis meses, desde o in´ıcio, ele n˜ao tina feito qualquer pagamento. Nessa altura qual ´e a d´ıvida total do Dr. Zen?

1. e 904, 52 ⇥ ; 2. e 873, 47 ⇥ ; 3. e 1, 777, 99 ⇥ ; 4. Outra ⇥ . (c) “Zach SA” assinou hoje um contrato de aquisi¸c˜ao de um equipamento industrial com

um plano de pagamentos com duas presta¸cões. Valores e vencimentos são: A partir de hoje, e 6 400 dentro de seis meses, e e 7 200 dentro de 18 meses, respectivamente. Considerando juro composto e uma taxa anual de 6%, calcule o valor de aquisi¸cão do equipamento.

1. e 12 793, 10 _⇥ ; 2. e 12 813, 64 _⇥ ;

3. e 13 600, 00 _⇥ ; 4. Outro _⇥ .

(d) O Sr. Brito investiu e 2 000 por dois anos a uma taxa anual de 5% e depois durante um certo per´ıodo de tempo a uma taxa anual de 4%. Acumulou e 2 432, 16 no final do prazo da opera¸c˜ao. Considerando juro composto, qual foi o prazo de aplica¸c˜ao?

1. 4 anos _⇥ ; 2. 4,5 anos _⇥ ;

3. 5 anos _⇥ ; 4. Outro _⇥ .

(e) Considere a seguinte afirma¸cão do Sr. Zeca: “Para uma dada taxa de juro positiva, é prefer´ıvel fazer uma aplica¸cão financeira a juro composto do que a juro simples, . . . ” Complete, usando a op¸cão mais correcta:

1. “. . . se o per´ıodo da aplica¸c˜ao ´e inferior a um ano.” ⇥ ; 2. “. . . dependendo da taxa de juro.” ⇥ ;

(6)

3. Considerando juro composto e as seguintes op¸cões para uma aplica¸cão financeira a seis me-ses do Dr. Zen, indique e justifique por cálculos a sequência correcta (em termos de valor acumulado):

(a) Taxa de juro de iT = 5% para um trimestre, seguido de uma taxa de juro de iS = 10%

para o outro trimestre;

(b) Taxa de juro iT = 3% para dois trimestres, e uma taxa de juro iM = 4% para os meses

seguintes;

(c) Taxa de juro de iM = 3% para trˆes meses, e iQ = 4% para um trimestre.

(d) Taxa de juro iT = 4% para um trimestre, e i2M = 3% para trˆes meses.

4. Usando as f´ormulas 3.5 mostre que o juro total gerado por uma aplica¸c˜ao P0 ano fim de t

anos pode ser calculado por

t X k=1 Ik = P0 " _t Y k=1 (1 + ik) 1 # , t = 0, 1, 2, . . .

(7)

4.1 Exerc´ıcios

(a) A taxa de juro i(4)_A /4 ´e uma taxa efectiva trimestral equivalente `a respectiva taxa anual.

V F

(b) A taxa de juro i(m)_A dividida por m ´e uma taxa de juro efectiva de um determinado capital.

V F

(c) Considere juro simples e uma taxa de juro fixa e positiva. A taxa de juro nominal anual, com acumula¸cão trimestral e positiva, é sempre equivalente à taxa efectiva correspon-dente.

V F

(d) Em juro simples, as taxas de juro nominais e efectivas correspondentes s˜ao sempre taxas equivalentes.

V F

(e) Em juro composto, a taxa de juro efectiva mensal ´e proporcional `a taxa nominal (anual).

V F

(f) Duas taxas de juro s˜ao equivalentes se, quando aplicadas a um mesmo capital, resultam num valor acumulado igual num qualquer, e igual, momento no tempo, qualquer que seja o regime de juro aplicado.

V F

(g) Quer em juro simples quer em composto, uma taxa de juro nominal anual, positiva e com acumula¸c˜ao trimestral, nunca pode ser equivalente `a correspondente taxa de juro efectiva.

V F

(h) A partir de uma taxa trimestral efectiva (e positiva) foram calculadas as taxas anu-ais nominal e equivalente. S˜ao sempre diferentes qualquer que seja o regime de juro considerado.

V F

(i) Sejam duas taxas de juro n˜ao-negativas referidas ao mesmo per´ıodo, tais que i1 > i2.

Ent˜ao, as correspondentes taxas nominais (anuais) tamb´em verificam i(m)₁ > i(m)₂ .

V F

(j) Considere juro composto e uma taxa de juro positiva. A taxa de juro mensal efectiva é proporcional à taxa nominal anual com acumula¸cão trimestral.

V F

(k) Tanto para juro simples como para composto, considerando uma taxa de juro positiva, a taxa de juro trimestral efectiva é proporcional à taxa nominal anual com acumula¸cão trimestral.

(8)

(a) Considere o regime de juro simples. O Sr. Benjamin quer calcular a taxa nominal anual convert´ıvel duas vezes no ano, correspondente `a taxa trimestral efectiva de 1%. A resposta correcta ´e:

1. 2, 01% _⇥ ; 2. 4, 00% _⇥ ; 3. 4, 02% _⇥ ; 4. 2, 00% _⇥ .

(b) Assumindo uma taxa mensal efectiva de 0, 5%, calcule a taxa equivalente para um per´ıodo de nove meses, sob juro composto.

1. 4, 591% ⇥ ; 2. 4, 500% ⇥ ; 3. 0, 667% ⇥ ; 4. Outra ⇥ .

(c) O Sr. Zeca está a ponderar fazer alguns investimentos com acumula¸cão mensal, corres-pondendo a uma taxa anual equivalente de 3, 5%, sob juro composto. Qual é a respectiva taxa nominal anual?

1. 3, 557% ⇥ ; 2. 3, 5% ⇥ ; 3. 3, 445% ⇥ ; 4. Outra ⇥ .

(d) O Dr. Zen fez uma aplica¸c˜ao a quatro anos no valor de e 5 000, 00, sob juro composto. Acumulou na maturidade um montante de e 6 281, 78. Determine a taxa de juro trimes-tral que produziria o mesmo valor acumulado para o mesmo prazo (aproximadamente).

1. 1, 43% ⇥ ; 2. 1, 60% ⇥ ; 3. 1, 46% ⇥ ; 4. Outra ⇥ .

(e) Considere o regime de juro composto. Calcule a taxa nominal anual, convert´ıvel duas vezes por ano, correspondente a uma taxa trimestral efectiva de 2%.

1. 8, 08% _⇥ ; 2. 8, 00% _⇥ ; 3. 4, 04% _⇥ ; 4. 4, 00% _⇥ .

(f) A Sra. Zen ir´a receber as quantias de e 5 000, e 10 000 e e 15 000 dentro de seis, oito e dez meses, respectivamente. Assumindo juro simples e uma taxa de juro nominal anual de 7, 8(12)_A %, o valor actual global calculado ´e (aproximadamente):

1. e 30 000 _⇥ ; 2. e 28 402, 53 _⇥ ; 3. e 28 363, 21 _⇥ ; 4. Outro _⇥ . (g) Em juro composto, o Dr. Zen fez uma aplica¸c˜ao a quatro anos no valor de e 5 000 a

uma taxa nominal (anual) de 4%, convert´ıvel trimestralmente. Calcule o juro ganho no primeiro ano (aproximadamente, arredondado):

1. e 200, 00 _⇥ ; 2. e 203, 02 _⇥ ; 3. e 51, 52 _⇥ ; 4. Outro valor _⇥ . (h) O Dr. Zen ir´a receber e 5 000, e 10 000 e e 15 000 dentro de seis, oito e dez meses,

respectivamente. Assumindo juro composto e uma taxa de juro de 3, 9(6)_A %, o valor presente do montante total ´e (aproximadamente):

1. e 30 000% ⇥ ; 2. e 28 402, 53 ⇥ ; 3. e 29 169, 79% ⇥ ; 4. Outro ⇥ . (i) Considere juro composto. Escolha a taxa trimestral que ´e equivalente `a taxa efectiva

correspondente `a taxa nominal anual de 12%, com convers˜ao semestral: 1. 2, 96% _⇥ ; 2. 3% _⇥ ; 3. 3, 14% _⇥ ; 4. 5, 83% _⇥ .

(j) Considere juro composto. O Sr. Zappa pretende contratar um empréstimo bancário e é-lhe proposto uma taxa de juro i(12)_A = 6%. O par de “taxas efectiva e equivalente” é, respectivamente (escolha a resposta certa, aproximadamente):

1. iM = 0, 5% & i(12)A = 6% ⇥ ; 2. iA= 6, 17% & i(12)A = 6% ⇥ ;

(9)

(k) Em regime composto, o Sr. Breno fez uma aplica¸cão a quatro anos no valor de e10 000 a uma taxa nominal (anual) de 2% com acumula¸cão semi-anual. Calcule o juro gerado durante o segundo ano, aproximadamente. Escolha a melhor op¸cão.

1. e 101, 00 _⇥ ; 2. Outra _⇥ ; 3. e 205, 04 _⇥ ; 4. e 103, 03 _⇥ . (l) Considere juro composto e a taxa trimestral efectiva de 1%. O Sr. Edu ´e confrontado

com as seguintes op¸c˜oes:

i. Receber e10 100 daqui a um ano, e o mesmo valor dentro de dois anos, exactamente; ii. Receber e10 000 dentro de meio ano, e o mesmo valor ap´os um ano do primeiro

recebimento, exactamente.

Ajude o Sr. Edu a fazer a melhor escolha:

1. i. ⇥ ; 2. ii. ⇥ ; 3. Indiferente ⇥ ; 4. Falta informa¸c˜ao ⇥ . (m) A Taxa Anual Nominal Bruta ´e uma taxa que:

1. Inclui o efeito do imposto sobre o rendimento de juro _⇥ ;

2. ´E sempre equivalente `a taxa efectiva anual ⇥ ;

3. Outra _⇥ ;

(10)

5.1 Exerc´ıcios

(a) A “equa¸cão de valor” é uma expressão matemática que permite relacionar vários capi-tais, referidos a datas e taxas de juro determinadas, a um outro capital com um dado vencimento.

V F

(b) Em juro composto, se dois caiptais, eA e eB, são equivalentes, e se eA é equivalente a um outro capital eC, então qualquer que seja o momento de referência escolhido, eB é também equivalente a eC.

V F

(c) O factor de desconto anual, representado habitualmente por v, ´e dado pela mesma express˜ao quer se assuma regime simples quer composto.

V F

(a) Um capital de e5 000 capitaliz´avel a uma taxa i, semestral e em regime simples, acumu-lou durante quatro anos um valor de e6 281, 78. Determine a taxa de juro trimestral que, aplicado durante o mesmo prazo mas em regime composto, acumula o mesmo montante (aproximadamente).

1. 1, 920% _⇥ ; 2. 1, 970% _⇥ ; 3. 1, 440% _⇥ ; 4. Outra _⇥ .

(b) Assuma juro simples e uma taxa de juro mensal de 0, 5%. Zef tem que pagar e300, e600 e e900 dentro de 3, 6 e 12 meses, respectivamente. Ap´os seis meses (desde o in´ıcio) ele n˜ao tinha efectuado qualquer pagamento. Nessa data qual era o valor completo da d´ıvida do Zef?

1. e1 778, 29 ⇥ ; 2. e1 791, 20 ⇥ ; 3. e1 752, 62 ⇥ ; 4. Outro ⇥ . (c) Assuma juro composto e uma taxa trimestral efectiva de 1%. Tem `a sua disposi¸c˜ao as

seguintes op¸c˜oes de recebimento, escolha a melhor:

i. Receber e10 000 de hoje a um ano, mais o mesmo valor dentro de dois anos; ii. Receber e10 250 daqui a seis meses, mais o mesmo valor dentro de nove meses.

1. Escolher i. ⇥ ; 2. Escolher ii. ⇥ ;

3. Indiferente ⇥ ; 4. Falta informa¸c˜ao ⇥ .

(d) O Sr. Zico depositou na conta poupan¸ca e13 000, em regime simples, por um prazo de seis anos a uma taxa semestral efectiva de 1, 5%. A taxa de juro semestral convert´ıvel trimestralmente, associada a um depósito com o mesmo valor, mas para um per´ıodo de três anos, que produz o mesmo rendimento é igual a:

1. 2, 56% ⇥ ; 2. 3, 00% ⇥ ; 3. 3, 44% ⇥ ; 4. 5, 00% ⇥ .

(e) A D. Zica depositou na conta poupan¸ca e13 000, em regime composto, por um prazo de seis anos a uma taxa semestral efectiva de 1, 5%. A taxa de juro semestral convert´ıvel trimestralmente, associada a um depósito com o mesmo valor, mas para um per´ıodo de três anos, que produz o mesmo rendimento é igual a:

(11)

1. 2.56% ⇥ ; 2. 3.00% ⇥ ; 3. 3.44% ⇥ ; 4. 5.00% ⇥ .

(f) Assumindo juro simples, calcule a taxa de juro anual m´edia das aplica¸c˜oes seguintes: i. Um capital de e 3 000, a dois anos e uma taxa de juro anual de 4%;

ii. Um capital de e 8 500, a 18 meses e uma taxa de juro anual de 3%; iii. Um capital de e 12 450, a seis anos e uma taxa de juro anual de 7%.

1. 6, 86% _⇥ ; 2. 7, 10% _⇥ ; 3. 6, 26% _⇥ ; 4. Outra _⇥ .

(g) Assuma juro composto. O Sr. Zappa investiu e 10 000 à taxa i(12)_A = 15%. Qual é o prazo da aplica¸cão necessário por forma a aumentar em 50% o capital investido (em anos, aproximadamente)?

1. 4, 032 anos _⇥ ; 2. 5 anos _⇥ ; 3. 2, 72 anos _⇥ ; 4. Outro _⇥ . (h) A companhia H2O efectuou um dep´osito no valor de e10 000 sob juro composto e durante

quatro anos. Durante os primeiros dois anos a taxa de juro anual contratada foi de 4%, durante os 3º e 4º anos foi de 4, 5% e 5%, respectivamente. Qual é a taxa anual média desta aplica¸cão (aproximadamente)?

1. 4, 50% ⇥ ; 2. 4, 40% ⇥ ; 3. 4, 37% ⇥ ; 4. Outra ⇥ .

(i) A Sra. Zita fez um depósito de e 1 000 em juro simples, e com as seguintes taxas tri-mestrais: 1º ano: 1, 5%; 2º ano: 3, 0%; 3º e 4º anos: 3, 5%. Qual é a taxa trimestral média?

1. 2, 875% _⇥ ; 2. 3, 000% _⇥ ; 3. 2, 556% _⇥ ; 4. 2, 056% _⇥ . 3. A companhia AlphaRoba Co. tenciona fazer uma aplica¸c˜ao financeira nos seguintes termos:

• Uma aplica¸c˜ao inicial no valor de e 100 000, 00, durante 18 meses a uma taxa de juro i(4)_A = 4%, em regime de juro composto;

• Uma segunda aplica¸c˜ao de e 50 000, 00, a 18 meses e uma taxa semestral de 4%, em regime simples;

• Ambas as aplica¸c˜oes tˆem os mesmos in´ıcios e maturidades.

• Nas maturidades, a empresa fez outra aplica¸cão com os capitais acumulados de ambas aplica¸cões anteriores (no mesmo dia). A nova aplica¸cão tem um prazo de 36 meses e taxa de juro i(2)_S = 3%, em regime composto.

Calcule,

(a) O montante acumulado pela primeira e segunda aplica¸c˜oes, na data do in´ıcio da terceira; (b) A taxa anual que produziria o mesmo valor acumulado se a companhia tivesse feito uma

´

(12)

6.7 Exerc´ıcios

1. Quest˜oess Verdadeiro/Falso:

(a) Uma anuidade é definida como um conjunto de pagamentos periódicos unitários, de periodicidade e taxa de juro constantes.

V F

(b) O prazo e a vida de uma anuidade tˆem o mesmo significado.

V F

(c) O pagamento de uma pens˜ao ´e um exemplo de uma anuidade contingente.

V F

(d) Considere uma anuidade antecipada e uma anuidade diferida com iguais termos, em igual número, a que corresponde uma mesma taxa de juro constante e não negativa. O valor ä₁₀ corresponde a a₁₀ acumulado um per´ıodo.

V F

(e) Uma sequência de pagamentos periódicos, separados por iguais intervalos de tempo, forma uma anuidade se e só se todos os pagamentos forem iguais.

V F

(f) “O valor descontado de uma anuidade certa deve ser calculado aplicando uma taxa de desconto simples”.

V F

(g) A nota¸cão a_{10 8%} representa uma anuidade ordinária, com 10 pagamentos iguais e unitários, onde se aplica uma taxa de juro constante igual a 8%.

V F

(h) Sejam i > 0 e t respectivamente uma taxa de juro constante positiva e o prazo de uma anuidade certa. Ent˜ao, 1 + i s_{10 i} = (1 + i)10_.

V F

(i) Considerando um taxa i > 0, temos sn i> n.

V F

(j) A nota¸c˜ao ¨a_{t i}representa uma anuidade antecipada com t pagamentos constantes e iguais a R, considerando uma taxa de juro constante i.

V F

(k) Para uma taxa i 0, temos a_{t i}_{ t.}

V F

(l) Para todo o t e i temos ¨s_{t i} = s_{t 1 i}+ 1.

V F

(m) Uma anuidade antecipada, de termo unitário e diferida de um per´ıodo é equivalente a uma anuidade ordinária e unitária.

V F

(n) ¨a_{10 5%}= (1, 05) a_{10 5%}.

(13)

(o) Um conjunto de pagamentos consecutivos, constantes e de periodicidade igual n˜ao ´e uma anuidade se o per´ıodo de pagamentos for mensal.

V F (p) ¨a_{10 10,25%}/a_{10 10,25%}= (1, 05)2. V F (q) Se a_{1 i}= 22, ent˜ao i < 5%. V F (r) Para todo o i e t, s_{t i}= v t_a t i. V F

(s) Mantendo i e t fixos, o valor futuro de uma anuidade, s_{t i}, n˜ao se altera se a anuidade for diferida.

V F

(t) Seja a_{1 i}= 20. Ent˜ao temos a_{nt i}/¨a_{t i}= 1, 05.

V F

(u) Para uma taxa de juro constante i, o valor actual de uma perpetuidade unit´aria e antecipada ´e igual a 1 + 1/i .

V F

(v) Sejam uma anuidade e a taxa de juro correspondente i 0. Ent˜ao, 1/a_{t i} 1/s_{i i}= i .

V F

(w) Sejam i > 0 e t, representando respectivamente uma taxa de juro constante e o prazo de uma anuidade certa cujo valor futuro ´e igual a s_{t i}. Ent˜ao,

i = (1 + i)

t ₁

s_{t i} .

V F

(a) Referente a empréstimo, o Sr. Zacarias vai receber 12 presta¸cões no valor de e200, 00 cada, sendo a primeira vencida dentro de três meses, contando a partir de hoje. Con-siderando uma taxa efectiva mensal de iM = 1%, calcule o montante do empréstimo

(aproximadamente).

1. e2 228, 73 _⇥ ; 2. e2 251, 02 _⇥ ; 3. e2 400, 00 _⇥ ; 4. Outra _⇥ . (b) O Sr. Zacarias vendeu o seu carro ao amigo Zappa por e12 000. Zacarias recebeu

ime-diatamente e3 000, e o resto irá receber em 10 presta¸cões iguais e consecutivas ao fim de cada trimestre. A primeira presta¸cão vence nove meses depois da transa¸cão, exacta-mente.

(14)

(c) A companhia ZY X deposita todos os trimestres e100 durante seis anos numa conta banc´aria que vence juros em regime composto. Assumindo uma taxa de juro trimestral efectiva de 1%, o valor acumulado deste investimento financeiro ser´a de:

1. e2 697, 35, termos antecipados _⇥ ; 2. e2 697, 35, termos postcipados _⇥ ; 3. 2 697, 35, em qualquer situa¸c˜ao _⇥ ; 4. Outra _⇥ .

(d) Determinado computador portátil está à venda pelo pre¸co de e1 957, 60. Propuseram ao Sr. Zeferino a op¸cão de pagar em seis presta¸cões mensais de e332 cada (valor arredon-dado), vencendo a primeira presta¸cão seis meses após a data de compra. Considerando uma taxa anual de 6% com conversão mensal, aconselhe o Sr. Zefe a tomar a melhor op¸cão:

1. Pagar e1 957, 60 a pronto ⇥ ; 2. Pagar a anuidade ⇥ ;

3. Indiferente ⇥ ; 4. Falta informa¸cão necessária ⇥ . (e) Certo computador portátil tem valor de venda a pronto de e1 321, 91 (deduzidos os

descontos). O Dr. Zen pondera comprar o aparelho a presta¸cões, em seis presta¸cões no valor de e231 cada, vencendo a primeira seis meses após a assinatura do contrato. Considerando uma taxa de juro de i(6)_S = 3%. Dê a opinião que considera mais sensata financeiramente:

1. Indiferente ⇥ ; 2. Pagar a anuidade ⇥ ;

3. Pagar a pronto ⇥ ; 4. Falta conhecer a taxa de desconto ⇥ . (f) Suponha que hoje ´e o dia de ano novo de 2020. O Sr. Zacarias tem a receber as seguintes

quantias: e1 500 no fim dos meses de janeiro, fevereiro e mar¸co, e adicionalmente, e3 000 no final de maio, julho e setembro (considere que todos os meses são iguais). Alternativamente, foi-lhe dada a op¸cão de receber uma únia quantia no final de dezembro 2020. Para i(12)_A = 6% calcule o valor que considera correcto dessa quantia única.

1. e13 957, 74 ⇥ ; 2. e14 341, 20 ⇥ ; 3. e13 250, 34 ⇥ ; 4. Outra ⇥ . (g) O tio-avˆo do Zeca atribuiu-lhe uma parte da heran¸ca no valor de e56 000 com a condi¸c˜ao

de ser convertido numa pens˜ao vital´ıcia com presta¸c˜ao anual de e 1 600, e cujo primeiro pagamento deve vencer no imediato (final do per´ıodo). Qual a taxa de juro efectiva associada ao pagamento da anuidade (aproximadamente)?

1. 3, 00% _⇥ ; 2. 3, 40% _⇥ ; 3. 5, 40% _⇥ ; 4. 2, 86% _⇥ .

(h) O Sr. Zeus tem uma responsabilidade referente a uma anuidade cujo valor em determi-nado momento de tempo ´e igual a 500 s_{5 8%}(1, 08) 5_{. Considera os seguintes c´}_alculos:

i. 500 (1, 08) 1¨a_{5 8%}; ii. 500 a_{5 8%};

iii. 250₃_|a_{2 8%}+ 500 a_{3 8%}+ 250 s_{2 8%}(1, 08) 5_.

Ele admite que os c´alculos acima sejam equivalemtes a 500s_{5 8%}(1, 08) 5, escolha a melhor/mais completa op¸c˜ao:

1. i. ⇥ ; 2. i. e ii. ⇥ ; 3. i., ii. e iii. ⇥ ; 4. Outra ⇥ .

(i) O Sr. Zen detém uma anuidade cujo valor em certo instante é igual a 1 050 s_{5 8%}(1, 08) 5. Analisa os cálculos:

(15)

i. 1 050 a_{5 8%}; ii. 1 050 ¨a_{5 8%};

iii. 525_3|a_{2 8%}+ 1 050 a_{3 8%}+ 525 s_{2 8%}(1, 08) 5.

Admite que os valores acima sejam equivalentes a 1050s_{5 8%}(1, 08) 5_{, escolha a}

me-lhor/mais completa op¸c˜ao:

1. i. ⇥ ; 2. ii. ⇥ ; 3. iii. ⇥ ; 4. i. e iii. ⇥ .

3. Considere o seguinte conjunto de 10 quantias vincendas (em e) no diagrama temporal:

0 1 2 20 3 5 4 20 5 5 6 20 7 5 8 20 9 5 10 20 11 5 trimestres (a) Calcule o valor actual, usando f´ormulas referentes a anuidades, fun¸c˜ao de a_{t i} ou s_{t i}, ou

ambas, para uma taxa semestral de 3%;

(b) Calcule o seu valor acumulado na maturidade, para a mesma taxa de juro anterior; (c) Considere o trimestre 7, imediatamente ap´os o vencimento, e calcule o valor global dos

montantes vincendos e vencidos.

4. Zarco pretende obter um empréstimo junto do Banco ZeroZeroZete no valor de e 200 000, 00. A taxa nominal anual, com conversão mensal, proposta pelo banco é de 6%. O prazo negociado é de 25 anos e a d´ıvida será reembolsável em presta¸cões mensais (de capital mais juro) ao fim de cada mês.

(a) Calcule o valor de cada presta¸c˜ao;

(b) Ao fim do primeiro ano de contrato a taxa muda para 0, 55%. Nesse momento, calcule o valor actual ou presente das quantias futuras, vincendas;

(c) Calcule a nova presta¸c˜ao mensal.

5. O Dr. Zen acordou vender o seu automóvel mais velho ao seu amigo Dr. Zaid pelo montante de e 12 000, 00. O acordo determina que o Dr. Zen receba imediatamente uma entrada de e3 500, 00, seguido de dez presta¸cões iguais e periódicas ao fim de cada trimestre. A taxa de juro anual equivalente é de 10, 9%.

(a) O primeiro dos dez pagamentos periódicos vence dentro de três meses. Calcule o valor de cada presta¸cão;

(b) A entrada de e3 500, 00 poderá ser dispensada sendo o seu valor adicionado a cada presta¸cão, com a condi¸cão de que as presta¸cões periódicas sejam antecipadas para o in´ıcio de cada trimestre.

Calcule o montante de cada presta¸cão sob estas novas condi¸cões (não há altera¸cão na taxa de juro);

(c) Volte à situa¸cão inicial de (a). Devido a inesperadas dificuldades financeiras, o Dr. Zaid concluiu que não vai conseguir pagar a última presta¸cão programada. O Dr. Zen, que é um jovem muito prestável, compreendeu a situa¸cão e perdoou o último pagamento. Neste caso, qual é na realidade o valor do desconto (em rela¸cão ao pre¸co de venda) que

(16)

6. A empresa do Mr. Zappa, ZY XCo., comprou uma unidade industrial pelo valor de e 200 000. Para financiar este investimento, a ZY XCo. negociou um empréstimo com o Youth Bank. As condi¸cões do empréstimo são as seguintes:

• Data de in´ıcio: 1 de janeiro 2013;

• Taxa nominal anual de 6%, com convers˜ao semestral;

• O reembolso do empréstimo é feito através de 10 presta¸cões constantes (de capital mais juro) semi-anuais e imediatas, sendo o primeiro pagamento a ser efectuado seis meses apos a assinatura do contrato.

(a) Calcule o valor de cada presta¸cão periódica constante e qual o valor da primeira amor-tiza¸cão de capital?

(b) Qual é o montante de balan¸co do empréstimo a 1 de janeiro de 2015, imediatamente após o pagamento do per´ıodo?

(c) No dia 1/01/2015, o banco informou o cliente que a taxa de juro iria subir para 7% (taxa nominal anual) mantendo presta¸c˜oes constantes.

Calcule o valor da presta¸c˜ao para o pr´oximo semestre.

(d) Calcule o valor acumulado do custo adicional motivado pela nova taxa acima (c), quando comparada com a situa¸c˜ao inicial de (a), na maturidade do empr´estimo.

7. O Sr. Zink precisa de adquirir uma nova viatura. Acordou com a financeira pagar atrav´es de 60 presta¸c˜oes mensais de e 200 cada.

(a) Determine o valor de compra do carro sabendo que a financeira cobra uma taxa nominal anual de 18%(12)_A , sendo que o Sr. Zink fará o primeiro pagamento dentro de seis meses. (b) O vendedor tinha proposto uma segunda escolha: Pagar a viatura através de 60 presta¸cões

mensais no valor de e200 no in´ıcio da cada mês, a come¸car imediatamente, com a mesma taxa de juro, mas cobrando adicionalmente um valor residual de e 400, pagável junta-mente com a última presta¸cão.

(17)

7.5 Exerc´ıcios

(a) Um conjunto de pagamentos peródicos, sejam eles constantes ou variáveis, com taxa de juro constante ou variável, imediatos ou diferidos, pode constituir uma anuidade se forem igualmente intervalados no tempo.

V F

(b) Considere a fórmula (7.1). Tendo em aten¸cão o denominador da fórmula, ou seja a diferen¸ca (i g), se g > i então podemos concluir que P V < 0.

V F

(a) O Dr. Zen tem a receber 10 quantias mensais, crescentes a uma taxa mensal de 1% em progressão geométrica. O primeiro recebimento está planeado para daqui a um mês, e tem o valor de e10, 00. Para uma taxa efectiva mensal de iM = 1%, valor actual do

conjunto das quantias ´e dado por (em e):

1. 10(0, 1)/1, 01 ⇥ ; 2. 1 ⇥ ; 3. 102/1, 01 ⇥ ; Outra ⇥ .

(b) Considere a seguinte sequência de pagamentos come¸cando no momento 1: 1 000, 2 000, 3 000, 1 000, 1 000. A expressão que determina o valor presente daqueles montantes no momento 0, é:

1. 1000 a_{3 i}+ 2000 (1 + i) 2_{+ 3000 (1 + i)} 3 _⇥ _;

2. 1000 (Ia)_{3 i}+ 1000 a_{2 i} ⇥ ;

3. 1000 + 2000 (1 + i)2_{+ 3000 (1 + i)}3_{+ 1000 (1 + i)}4_{+ 1000 (1 + i)}5 _⇥ _;

4. 1000 (Ia)_{3 i}+ 1000 (1 + i) 4+ 1000 (1 + i) 5 _⇥ .

(c) Uma anuidade com pagamentos a variarem em progressão geométrica, e cujo valor pre-sente é calculado pela expressão

R_⇥ 

1 (1 + i) 2

i ,

tem prazo (t) e taxa de crescimento (g):

1. t = 1 e g = 0 _⇥ ; 2. t = 2 e g = 0 _⇥ ;

3. t = 2 e (1 + g) = 0.1 _⇥ ; 4. t = 2 e g = 1 _⇥ .

(d) Zulmira SA pretende comprar um novo equipamento cujo pagamento será feito através de uma série de dez presta¸cões anuais. Assuma uma anuidade antecipada. Os paga-mentos serão crescentes em progressão geométrica, com razão igual a 1, 1 e primeira presta¸cão igual a e10 000, 00.

Assumindo uma taxa de juro anual de 5%, calcule o valor de compra do equipamento. 1. e118 466, 57 ⇥ ; 2. e124 389, 90 ⇥ ; 3. e112 825, 31 ⇥ ; Outro ⇥ .

(18)

(e) Zeferino Zacarias, estudante do ISEG, precisa da sua ajuda para o problema seguinte: Qual é a taxa de crescimento de uma anuidade em progressão geométrica com três presta¸cões, em que a última presta¸cão é o dobro da segunda, e a primeira é metade da segunda?

(19)

8.4 Exerc´ıcios

(a) Num empréstimo de longo prazo com presta¸cões constantes, tanto os pagamentos de capital como os de juro são não crescentes ao longo do tempo.

V F

(b) Num empréstimo de longo prazo com amortiza¸cões constantes e taxa de juro também constante, ao longo do prazo, os pagamentos periódicos de juro são também constantes.

V F

(c) Num empréstimo com presta¸cões constantes, os pagamentos de reembolso de capital são sempre constantes.

V F

(d) Considere um empréstimo com prazo de dois anos, juro pago semestralmente e com amortiza¸cão única de capital no final do prazo. Então o total de juro a pagar é calculado pela fórmula: I = P [(1 + iS)4 1].

V F

(e) Um empréstimo de e100 000 é reembolsado em cinco presta¸cões de capital constantes. Nenhum destes pagamentos individuais é superior a e20, 000.

V F

(f) Um empréstimo a cinco anos no valor de e100, 000 será reembolsado em quatro presta¸cões com amortiza¸cões constantes, no valor de e25 000 cada, com uma taxa de juro anual de 5%. O pagamento de juro no último ano totaliza o valor de e1 250, 00.

V F

(g) Seja um empr´estimo de valor B(= B0) com amortiza¸c˜oes contantes iguais a R cada, taxa

de juro constante iA e prazo t anos. O valor da d´ıvida ao fim do ano k (1 k  t) ´e

igual a (t k) R.

V F

(a) Considere juro simples e uma taxa de juro mensal de 1, 2%. O Sr. Zico contratou um empréstimo bancário no valor de e57 000, 00. O capital foi reembolsado na totalidade na maturidade, tendo capital e juros totalizado e63 839, 54. Qual o prazo do empréstimo? Aproximadamente:

1. 1 ano, 2 meses e 3 dias _⇥ ; 2. 9 meses e 10 dias _⇥ ; 3. 9 meses e 15 dias _⇥ ; 4. 10 meses _⇥ .

(b) A empresa Zeta Lda pretende obter um empréstimo pelo prazo de um ano, no qual o capital é pago no final do contrato e o juro no in´ıcio do contrato, ou seja à cabe¸ca. A taxa de juro a ser efectivamente paga corresponde a 4%.

Sabendo que o capital a reembolsar no final do ano ´e de e24 000, qual o valor do juro a pagar no in´ıcio?

(20)

(c) Considere um empréstimo de valor e 100 000, um prazo de três anos, e amortiza¸cões semestrais constantes. a primeira amortiza¸cão foi feita seis meses depois da assinatura do contrato, o juro é pago semestralmente e a taxa efectiva é de iS= 5%.

Qual ´e a presta¸c˜ao total vencida no fim do primeiro semestre?

1. e21 666, 67 ⇥ ; 2. e23 540, 00 ⇥ ; 3. e21 760, 56 ⇥ ; Outra ⇥ . (d) No quadro seguinte está informa¸cão sobre um empréstimo com presta¸cões contantes (de

capital mais juro, em e):

D´ıvida Amortiza- D´ıvida

Per´ıodo no in´ıcio Juro Presta¸c˜ao Amorti- za¸c˜ao no final

do per´ıodo za¸c˜ao acumulada do per´ıodo

11 121 878, 92 731, 27 3 871, 08 3 139, 81 6 260, 89 118 739, 12 A amortiza¸c˜ao acumulada no final do per´ıodo 12 ´e:

1. e10 131, 97 _⇥ ; 2. Outra _⇥ ; 3. e12 576, 42 _⇥ ; e9 419, 54 _⇥ . (e) Considere a seguinte informa¸cão ácerca do quadro de amortiza¸cão relativo a um empréstimo

existente da empresa do Sr. Zeca, relativo aos anos k e k + 1:

D´ıvida Amorti- D´ıvida

Ano no in´ıcio Juro Presta¸cão Amortiza¸cão za¸cão final do

do ano acumulada ano

k e99 932, 90 e666, 22 e733, 77 e134, 65

k + 1 e665, 77 e733, 77

Relativamente aos métodos de amortiza¸cão que estudou, escolha o tipo de amortiza¸cão adequado:

1. Amortiza¸cões são decrescentes ⇥ ; 2. Amortiza¸cões são constantes ⇥ ; 3. Falta informa¸cão _⇥ ; 4. Amortiza¸cões são crescentes _⇥ . (f) Considere a seguinte informa¸cão sobre um empréstimo do Dr. Zen, que tem presta¸cões

anuais constantes (de capital mais juro) a ser reembolsado em oito anos (em e):

Ano B2 I3 R3 P3 P3 acumulada B3

3 2 604, 704 260 470, 4 227 766 488 236 623 062 2 376 938 A amortiza¸cão de capital no último per´ıodo é (aproximadamente):

1. e511 211, 00 ⇥ ; 2. e488 236, 00 ⇥ ; 3. e443 851, 00 ⇥ ; Outra ⇥ . 3. Zone pretende contrair um empr´estimo junto do ZED Bank no montante de e200 000. A

taxa nominal anual é de 6, 0% com conversão mensal. O prazo deste empréstimo é de 25 anos e é reenbolsável através de presta¸cões contantes de capital e juro, no final de cada mês.

(a) Calcule o valor de cada presta¸c˜ao;

(21)

k Ik Rk Pk Bk

0 – – – 200 000

1 2

(c) No final do primeiro ano de contrato a taxa efectiva mensal muda para 0, 55%. Calcule o valor actual das presta¸c˜oes futuras restantes (no final do primeiro ano);

(d) Complete as ´ultimas duas linhas do novo quadro de amortiza¸c˜ao.

4. A Sra. Zoom pretende contratar com o seu banco um empréstimo hipotecário a 15 anos, no montante de e125 000. O banco apresentou um empréstimo com as seguintes condi¸cões:

• Taxa de juro nominal anual de 6%;

• O empréstimo é reembolsável em presta¸cões mensais constantes (de capital mais juro) no final de cada mês, sem per´ıodo de carência;

Calcule:

(a) O valor da presta¸c˜ao mensal;

(b) As primeiras quatro linhas do quadro de amortiza¸c˜ao:

Mˆes k Ik Rk Pk Bk 0 – – – 125 000 1 2 3 4

5. O Sr. Zappa pretende contrair um empr´estimo para comprar determinado equipamento no valor de compra de e100 000. O banco apresentou um contrato com as seguintes condi¸c˜oes:

• Taxa de juro anual nominal de 5%;

• O empréstimo é reembolsável através de seis presta¸cões semestrais niveladas (capital mais juro plus) venc´ıveis no final de cada semestre;

• O primeiro reembolso vence um ano ap´os a assinatura do contrato. (a) Calcule o valor de cada presta¸c˜ao;

(b) Preencha as primeiras cinco linhas do quadro de amortiza¸c˜ao seguinte:

Per´ıodo Ik Rk Pk Bk 0 – – – 100 000 1 2 3 4 5

(22)

6. O Sr. Zen foi ao seu banco contratar um empréstimo hipotecário a 10 anos de montante e100 000. O banco apresentou um contrato com as seguintes condi¸cões:

• Taxa de juro anual: i(12)

A = 6%;

• O empréstimo é reembolsável através de presta¸cões constantes (capital mais juro) no in´ıcio de cada mês, venc´ıvel imediatamente.

(a) Calcule o valor de cada presta¸c˜ao mensal;

(b) Preencha as primeiras quatro linhas do seguinte quadro de amortiza¸c˜ao:

Mˆes k Ik Rk Pk Bk 0 – – – 100 000 1 2 3 4

7. O Sr. Zarco vai comprar um carro novo e precisa de um empréstimo para o seu financiamento no valor de e24 000. A financeira que trabalha com o stand propõe duas alternativas para o empréstimo:

(i) Reeembolso com presta¸cõs mensais constantes durante três anos, vencendo a primeira um mês depois da compra, e uma taxa de juro anual com conversão mensal de 12%; ou (ii) Reembolsos com presta¸cões constantes durante quatro anos, também com primeiro

ven-cimento mês depois da compra, e uma taxa de juro de 15% com conversão mensal. Represente por P1 e P2 os pagamentos para as op¸cões (i) e (ii), respectivamente.

(a) Calcule P1;

(b) Calcule P2;

(c) Ajude o Sr. Zarco a decidir. Explique breve, mas clarmente, a sua op¸c˜ao;

(d) Preencha as primeiras três linhas do quadro de amortiza¸cão correspondente à op¸cão (i):

Per´ıodo k Ik Rk Pk Bk

0 – – – 24 000

1 2 3

(23)

9.1 Exerc´ıcios

(a) O leasing sendo uma opera¸cão de financiamento não é um empréstimo.

V F

(b) A opera¸cão de leasing é basicamente um empréstimo bancário com uma op¸cão de paga-mento extra conhecido por valor residual.

V F

(c) O leasing ´e um contrato de aluguer usado por empresas e indiv´ıduos para comprar activos fixos.

V F

(d) O leasing ´e um contrato que garante o usofruto de determinado activo fixo durante um per´ıodo especificado sem necessidade de adquirir a sua propriedade.

V F

(e) Durante a vigência do contrato de leasing é o locador que detém a propriedade e cede o o seu uso, não o locatário.

V F

(a) ZubiZevaNovi Lda, estuda a hipótese de um contrato de loca¸cão financeira para aquisi¸cão de um equipamento, cujas condi¸cões são as seguintes. Em resumo:

• Entrada imediata no valor de e100, 00;

• 50 presta¸cões periódicas de pagamento, mensais e constantes, no in´ıcio de cada um dos meses seguintes à assinatura do contrato;

• Valor residual de e100, 00 (pagável um mês depois da última presta¸cão periódica); • Taxa de juro efectiva mensal de 1%.

Calcule o valor de compra do equipamento.

1. e5 200, 00 ⇥ ; 2. e4 080, 42 ⇥ ; 3. e4 079, 81 ⇥ ; Faltam dados ⇥ . (b) ZubiZarrEta SA estuda a op¸c˜ao de determinado contrato de leasing para financiar a

aquisi¸cão de um equipamento, cujas condi¸cões de pagamento são as seguintes. Em resumo:

• Entrada imediata no valor de e100, 00;

• 50 presta¸c˜oes mensais de pagamento no valor de e100, 00 cada, no in´ıcio de cada um dos meses seguintes `a assinatura do contrato;

• Valor residual de e100, 00 (pagável um mês depois da última presta¸cão periódica); • Taxa de juro efectiva mensal de 1%.

Calcule o valor de compra do equipamento.

(24)

(c) Zoroaster Space Travel vai adquirir um novo ve´ıculo cujo financiamento será feito através de um leasing. O contrato define: Um entrada inicial de e1 500, 00, oito presta¸cões em anuidade antecipada, trimestrais iguais a e1 500, 00 cada, e um valor residual igual à entrada inicial que vence três meses depois da última presta¸cão. A taxa de juro efectiva é trimestral e é igual a 1, 5%.

O valor de compra do ve´ıculo ´e:

1. e12 728, 89 _⇥ ; 2. e14 040, 78 _⇥ ; 3. Outro _⇥ ; 4. e14 228, 89 _⇥ . (d) Zambrotta adquiriu em leasing um equipamento cujo valor de compra ´e de e12 000. Os

valores da entrada inicial e residual são respectivamente de e2 400 e e600. Os restantes valores são pagos em forma de anuidade imediata, em três presta¸cões anuais. O valor residual vence juntamente com o última presta¸cão periódica. A taxa de juro efectiva é de 6% ao ano.

`

A data da assinatura do contrato, calcule o valor total dos pagamentos futuros. 1. e9 000.00 _⇥ ; 2. e9 096, 23 _⇥ ; 3. Outro _⇥ ; 4. e14 231, 15 _⇥ . (e) Ziva Lda vai adquirir um novo equipamento atrav´es de leasing. O contrato define:

• Uma entrada inicial de e1 500, 00;

• Oito pagamentos trimestrais iguais, cada no valor de e1 500, 00;

• O valor residual é igual à entrada inicial, vencendo três meses depois do último pagamento periódico;

• Taxa efectiva trimestral da opera¸c˜ao: 1, 5% . Calcule o valor de compra do equipamento.

1. e12 728, 89 _⇥ ; 2. e14 040, 78 _⇥ ; 3. e14 228, 89 _⇥ ; Outro _⇥ . 3. O Sr. Zefe financia a aquisi¸c˜ao de carro novo atrav´es de um contrato de leasing sob as seguintes

condi¸c˜oes:

• Prazo do contrato: 5 anos; • Taxa trimestral efectiva de 3%;

• Primeira presta¸cão periódica vence três meses após a data de assinatura do contrato; • Entrada inicial de 7% sobre o valor de compra;

• O valor residual vence juntamente com a última presta¸cão periódica, e é igual a 10% do valor de compra. O valor calculado foi de e2 000;

• Os pagamentos peri´odicos s˜ao trimestrais e constantes . Calcule:

(a) O valor dos pagamentos peri´odicos associados ao contrato de leasing;

(b) O valor de todos os pagamentos futuros ao fim do primeiro ano de contrato, imediata-mente ap´os da presta¸c˜ao correspondente.

4. Zach SA vai adquirir uma viatura automóvel através de leasing. O valor de contrato é de e20 000. A empresa recebeu a seguinte proposta da locadora LeasingAuto Lda:

(25)

• Valores a pagar envolvidos:

– Entrada inicial, juntamente com a assinatura do contrato: 5% do valor de contrato; – Doze presta¸c˜oes trimestrais: Imediatas e constantes, a primeira vence trˆes meses

ap´os a assinatura;

– Valor residual: 10% do valor de contrato, com vencimento juntamente com a ´ultima trimestralidade.

(a) Calcule o montante de cada trimestralidade;

(b) Calcule o valor das quantias vincendas um ano após a data do contrato, imediatamente após o pagamento da respectiva presta¸cão;

(c) Entretanto a Zach SA recebeu outra proposta de outra locadora, com uma taxa de juro trimestral de 2% e os seguintes pagamentos:

• N˜ao h´a entrada inicial;

• Onze presta¸cões trimestrais, imediatas e crescentes em progressão geométrica de razão 1, 2, vencendo a primeira no final do trimestre inicial;

• O valor residual corresponde `a ´ultima trimestralidade.

Calcule o valor da primeira presta¸c˜ao peri´odica para esta nova proposta.

5. O Dr. Zen vai adquirir um ve´ıculo SUV (Sport Utility Vehicle) através de opera¸cão de lea-sing. O valor de compra é de e30 000. O Dr. Zen recebeu a seguinte proposta da locadora LeasingZappa, Lda:

• Taxa anual nominal, convert´ıvel trimestralmente: 8%; • Valores a pagar:

– Entrada inicial, na data de assinatura do contrato: 10% do valor de contrato; – Dez trimestralidades constantes: A primeira vence seis meses depois da assinatura

do contrato;

– Valor residual: 15% do valor de contrato, op¸cão a ser exercida exactamente um mês após o último vencimento periódico.

Calcule:

(a) O montante de cada trimestralidade;

(b) O total dos valores ainda não vencidos um ano após a assinatura do contrato, imediata-mente após o pagamento da respectiva trimestralidade.

6. O Sr. Zeca vai adquirir um novo e luxuoso SUV através de leasing. O valor de contrato é de e 80 000 e as condi¸cões são as seguintes:

(i) Prazo: 4 anos;

(ii) Entrada com montante de 15% do valor de contrato, a pagar imediatamente;

(iii) Presta¸cões periódicas semestrais, a primeira vence um ano após a assinatura do contrato leasing;

(26)

(v) Valor residual: 10% do contrato, optativo, vencendo juntamente com a última presta¸cão periódica.

Calcule:

(a) O valor actual do valor residual;

(b) O montante de cada presta¸c˜ao peri´odica;

(c) O valor do SUV imediatamente após o vencimento da terceira presta¸cão periódica. 7. A Dra. Zaragatoa financiou a aquisi¸cão do seu luxuoso carro elétrico, (um T res0La), através

de um leasing com as seguintes condi¸c˜oes: • Prazo: Cinco anos;

• Taxa trimestral de 3% efectiva durante os dois primeiros anos, e 3, 25% nos restantes; • Presta¸c˜oes trimestrais constantes (no final de cada per´ıodo);

• A primeira presta¸cão vence três meses após a data do contrato; • Entrada inicial de 15% sobre o valor de contrato à data da assinatura;

• Um valor residual de e8 000 vence conjuntamente com a ´ultima trimestralidade, e cor-responde a 10% do valor de contrato.

Calcule:

(a) O valor de contrato, o valor presente tanto do valor residual como da entrada inicial (`a data da assinatura do contrato);

(b) O valor de cada trimestralidade associada ao contrato;

(c) No final do segundo ano, calcule o valor actual dos pagamentos vincendos, imediatamente antes da presta¸c˜ao correspondente.

8. As actividades de negócio do Sr. Zappa são um enorme sucesso. Infelizmente o mesmo não se pode dizer das da sua namorada, Zubi, cuja empresa está em pré-falência. Zappa pre-tende ajudar a Zubi. A sua principal dificuldade é a falta de liquidez, neste momento está particularmente preocupada com os compromissos relacionados com uma opera¸cão de leasing. Em resumo, as caracteristicas do leasing são as seguintes:

• Prazo: 24 meses;

• Data de in´ıcio: 01/07/2015;

• Entrada Inicial: 10% do valor de contrato;

• Valor residual: 2% do valor de contrato, pagável com a última presta¸cão periódica; • Valor de contrato: e 50 000;

• Pagamentos: 24 presta¸cões constantes mensais (no final de cada mês, não incluem nem entrada nem valor residual);

• Taxa nominal anual de 12% com acumula¸cão mensal. (a) Calcule o valor de cada presta¸cão periódica;

(27)

(b) Zappa decidiu adquirir o neg´ocio de Zubi. No dia 01/06/2016 Zappa decidiu encurtar o prazo do contrato de leasing, resolvendo as obriga¸c˜oes futuras acordadas.

Assumindo que não há quaisquer penaliza¸cões por esta antecipa¸cão, calcule quanto o Sr. Zappa tem a pagar nessa data (suponnha que a presta¸cão de 01/06/2016 não tinha ainda sido paga, e que a op¸cão de compra não vai ser exercida);

9. Determinado contrato de leasing consiste em 55 pagamentos mensais (as presta¸cões são an-tecipadas). O primeiro pagamento ocorre aquando da assinatura do contrato. As restantes 54 presta¸cões são de e100 cada, e há um valor adicional de e1, 5 sobre cada pagamento. O valor residual é de e400 e é efectuado juntamente com a última presta¸cão. A taxa efectiva anual é de 10%. Sabendo que o valor de contrato é de e13 500,

(a) Determine o valor do primeiro pagamento;

(b) Uma amiga tomou conta da responsabilidade sobre o leasing, mas após o 24º paga-mento periódico ela come¸cou a sentir dificuldades. Interrompeu temporariamente os pagamentos mas retomou-os passado seis meses. Então a locadora alterou a taxa de juro efectiva mensal para 1% (a taxa mudou imediatamente depois dos pagamentos term sido retomados).

(28)

10.4 Exerc´ıcios

1. quest˜oes Verdadeiro/Falso:

(a) Determinada emissão de obriga¸cões, efectuada acima do par e subscrita na totalidade, gera mais encaixe que o valor do empréstimo.

V F

(b) Considere um empréstimo obrigacionista emitido acima do par e cujo reembolso é pago abaixo do par. A taxa de rendimento do investidor é mais baixa que a taxa de cupão (ambas as taxas são anuais).

V F

(c) Um empréstimo obrigacionista, completamente subscrito, leva a uma modifica¸cão do valor do empréstimo se as unidades forem emitidas acima do par. Isto é, o novo valor do empréstimo é igual ao valor global nominal mais os prémios recebidos.

V F

(d) Uma obriga¸cão de cupão zero não vence juro.

V F

(e) Uma obriga¸cão de cupão zero é sempre mais interessante para o emitente porque não paga juro.

V F

(f) Uma obriga¸cão de cupão zero é considerada um instrumento de d´ıvida sem risco.

V F

(g) O valor de maturidade de uma obriga¸c˜ao ´e o seu valor de reembolso.

V F

(h) A falha no reembolso de um empr´estimo obrigacionista na data (ou datas) prevista afecta a credibilidade financeira do seu emitente.

V F

(i) As “T-Bills (U.S. Treasury Bills)”, abreviatura para obriga¸c˜oes do tesouro dos EUA, s˜ao consideradas investimentos sem risco.

V F

(j) Considere um empréstimo obrigacionista com emissão ao par e em que o seu reembolso é pago com um prémio (pondo de parte quaisquer outras despesas, ou receitas). A taxa de rendimento para o investidor é mais alta do que a taxa de cupão (taxas referidas a igual per´ıodo).

V F

(a) A Zeppelin Co. emitiu obriga¸cões no valor global de e450, 000. O valor nominal de cada unidade é de e 5, 00 e emitida com um desconto e 0, 05. Calcule o número de unidades emitidas.

(29)

(b) Temos mais informa¸cão sobre a emissão de obriga¸cões da Zeppelin Co. acima. Todas as unidades foram colocadas. O encaixe total é:

1. e450 000 _⇥ ; 2. e495 000 _⇥ ;

3. O valor de reeembolso é de e450 000 ⇥ ; 4. e445 500 ⇥ . (c) Numa emissão de obriga¸cões, se o valor de emissão é inferior ao par então deveremos

considerar a existˆencia de:

1. Fraude _⇥ ; 2. Lucro para o emissor _⇥ ;

3. Lucro para o investidor ⇥ ; 4. Obriga¸cão é emitida com desconto ⇥ . (d) A empresa onde a Zulmira trabalha emitiu um empréstimo obrigacionista. A emissão

foi efectuada ao par, reembolso também ao par (não consideramos despesas adicionais). Uma obriga¸cão é vendida no mercado ao valor nominal a meio de um per´ıodo de paga-mento de cupão. A taxa de rendibilidade do investidor vendedor, que a tinha comprado na emissão, é, relativamente à taxa de cupão:

1. Mais alta _⇥ ; 2. Igual _⇥ ; 3. Mais baixa _⇥ ; Falta informa¸cão _⇥ . (e) Zdzislaw fez uma aplica¸cão no montante de e 5 000, 00 em “Obriga¸cões do Tesouro Mais

Mais” com uma maturidade de cinco anos, juro composto, e taxa de juro anual de acordo com a tabela seguinte:

Ano 1 2 3 4 5

Taxa 3% 3% 5% 6% 8%

A taxa de rendimento anual para esta aplica¸c˜ao financeira ´e (aproximadamente): 1. 4, 98% _⇥ ; 2. 5, 00% _⇥ ; 3. 5, 28% _⇥ ; 5, 50% _⇥ .

(f) Determinada obriga¸cão perpétua é emitida 10% acima do par, vendida a e 110. A taxa de cupão é de 5% e os investidores requerem uma rendibilidade de 4%. Qual é o valor da obriga¸cão?

1. e200 _⇥ ; 2. e100 _⇥ ; 3. e125 _⇥ ; e137, 50 _⇥ .

(g) Determinada obriga¸cão perpétua é emitida 10% acima do par e uma taxa de cupão de 5%. A Dra. Zoë é detentora destas obriga¸cões e requer uma rendibilidade de 4%. O valor da obriga¸cão hoje é de e125, qual é o valor nominal da obriga¸cão?

1. e110 _⇥ ; 2. e100 _⇥ ; 3. e125 _⇥ ; e156, 25 _⇥ .

(h) Determinada obriga¸cão é vendida a um pre¸co superior ao seu valor nominal, então (es-colha a melhor/mais adequada op¸cão):

1. Foi emitida acima do par, na data de emiss˜ao ⇥ ;

2. Foi vendida na bolsa com lucro, em data posterior `a emiss˜ao _⇥ ;

3. Ou (a) ou (b) _⇥ ;

4. Tem que ser vendida ao valor nominal ⇥ .

(i) As “T-Bills (U.S. Treasury Bills)”, abreviatura para obriga¸cões do tesouro dos EUA, são consideradas investimentos sem risco. Assinale a melhor op¸cão:

(30)

2. S˜ao investimentos com risco ⇥ ; 3. Tˆem o menor risco no mercado, por isso classificadas “sem risco” _⇥ ;

4. Outra ⇥ .

(j) Considere um empréstimo obrigacionista com emissão x% acima do par e reembolso com prémio de x% (desconsiderando quaisquer outras custos/receitas). A taxa de rendimento anual do investidor (yield rate):

1. É superior à taxa de cupão _⇥ ;

2. É inferior à taxa de cupão _⇥ ;

3. Falta informa¸c˜ao _⇥ ;

4. É igual à taxa de cupão _⇥ .

3. A sociedade anónima do Sr. Zacharjasz, Oh Mega, SA, emitiu um empréstimo obrigacionista cujos termos são os seguintes, em resumo:

• Data de emiss˜ao: 01/01/t; • Valor nominal: e 10, 00;

• Nº de unidades emitidas: 20 000; • Valor de emiss˜ao ao par;

• Prazo: 3 anos;

• Coupão pagável semestralmente; • Taxa de cupão semestral: 3, 0%.

• Reembolso (acima do par): Reembolsos semanais, com in´ıcio um ano depois da emissão; • Prémio de reembolso: e 0, 50 por obriga¸cão nos 1º e 2º reembolsos; e 1, 00 nos seguintes. Preencha o quadro de amortiza¸cão (em e) da Tabela 10.2.

t It Nt At pt Pt Rt Bt 0 200 000 1 2 48 000 3 4 5 6 45 200

Tabela 10.2: Quadro de amortiza¸c˜ao da Oh Mega SA

4. A empresa da D. Zyta fez ma emiss˜ao de empr´estimo obrigacionista, nos seguintes termos. Em resumo:

• Data de emiss˜ao: 01/03/t; • Nominal Value: e 10, 00;

(31)

• Nº de t´ıtulos emitidos: 200 000; • Emiss˜ao ao par;

• Prazo: 5 anos;

• Taxa de cup˜ao anual: 6%;

• Pagamento anual do cupão: 1º pagamento um ano após a emissão;

• Reembolsos: 4; Anual; Acima do par, em quantidade igual, 1º pagamento 2 anos ap´os emiss˜ao;

• Prémio de reembolso: 1º e 2º anos; e 0, 20 por obriga¸cão; Anos seguintes: e 0, 50. Preencha o quadro de amortiza¸cão (e).

t It Nt At pt Pt Rt Bt 0 2 000 000 1 2 3 4 5

5. Zach PLC fez uma emissão de empréstimo obrigacionista, com os seguintes termos técnicos, sumariado:

• Data de emiss˜ao: 01/01/20⇥⇥; • Valor nominal: e10, 00;

• Nº de obriga¸c˜oes: 120 000; • Valor de emiss˜ao: e10, 20; • Prazo: 3 anos;

• Taxa de cup˜ao anual, com convers˜ao semestral: 6%;

• Cup˜ao: Pago semestralmente; 1º pagamento em 01/07/20tt; • Reembolso: Anualmente, de capital constante;

• 1º reembolso: 1 ap´os a emiss˜ao;

• Prémio de reembolso: 1º ano: e0, 20 por obriga¸cão; e0, 30 nos anos seguintes. (a) Calcule o valor do empréstimo, o prémio de emissão e o encaixe de capital; (b) Preencha o quadro de amortiza¸cão na Tabela 10.3.

(c) Um conterrâneo da D. Zyta comprou 50 obriga¸cões imediatamente depois do pagamento do 3º cupão e conservou-o até à maturidade (último reembolso). Obteve um (excelente) rendimento, taxa de 11%.

Escreva uma equa¸c˜ao que permita calcular o pre¸co que o investidor pagou para comprar aquelas 50 obriga¸c˜oes.

(32)

t It Nt At pt Pt Rt Bt 0 1 200 000 1 2 3 4 5 6

Tabela 10.3: Quadro de amortiza¸c˜ao da Zach PLC

6. A sociedade anónima aonde o Sr. Zygfryd trabalha emitiu um empréstimo obrigacionista com os seguintes termos, em resumo na ficha técnica:

• Nº de obriga¸c˜oes emitidas: 50 000; • Emiss˜ao: Ao par;

• Prazo: 3 anos;

• Taxa de cup˜ao, semestral: 2, 5%;

• Juro ´e pago semestralmente, ao fim de cada semestre;

• Modo de reembolso: Reembolsos semestrais, em igual n´umero de unidades, com in´ıcio 1, 5 anos depois da emiss˜ao;

• Pr´emio de reembolso: 1º e 2º reembolsos: e 0, 25 por unidade; e 0, 50 por unidade para os restantes reembolsos.

(a) Preencha o quadro de amortiza¸c˜ao;

(b) Um amigo da D. Zyta comprou 100 obriga¸cões na emissão, das quais metade são reem-bolsadas na primeira tranche, e a outra metade na terceira.

Escreva uma equa¸c˜ao que permita calcular a taxa de rendimento semi-anual do investi-mento feito pelo amigo.

(33)

11.3 Exerc´ıcios

(a) Açcões são t´ıtulos de participa¸cão de capital.

V F

(b) Uma sociedade por quotas está autorizada a emitir açcões se a emissão for feita ao público em geral e se pagar juro.

V F

(c) Uma açcão é um t´ıtulo de capital emitido pelas empresas para pedir dinheiro emprestado.

V F

(d) As açcões de uma sociedade anónima produzem juro se forem emprestadas na emissão.

V F

(e) Uma açcão dá o direito ao seu detentor de participa¸cão nos lucros futuros de uma empresa a corresponde a propriedade.

V F

(f) Uma açcão não é uma unidade de participa¸cão de obriga¸cões.

V F

(g) O valor de mercado de uma açcão é assegurado pelo seu valor nominal.

V F

(h) Uma açcão não assegura dividendos anuais ao seu detentor.

V F

(i) Obriga¸cões e açcões podem ser ambos investimentos destinados ao público, organiza¸cões e indiv´ıduos.

V F

2. Expectativas de mercado sugerem que uma determinado tipo de açcão paga dividendos anuais, ao fim de cada ano financeiro, indefinidamente. Um investidor que tenciona comprar no mercado alguns destes t´ıtulos, tem disponibilidade para comprar por um pre¸co que lhe dê um rendimento anual de 5%.

Calcule o pre¸co (por unidade), em cada um dos seguintes casos:

(a) O pre¸co iguala o valor presente de uma perpetuidade com termo constante de e 2. (b) O pre¸co iguala o valor presente de uma perpetuidade com termos em progress˜ao geom´etrica

(34)

t It Nt At pt Pt Rt Bt 0 1 200 000 1 2 3 4 5 6

Tabela 10.3: Quadro de amortiza¸c˜ao da Zach PLC

6. A sociedade anónima aonde o Sr. Zygfryd trabalha emitiu um empréstimo obrigacionista com os seguintes termos, em resumo na ficha técnica:

• Nº de obriga¸c˜oes emitidas: 50 000; • Emiss˜ao: Ao par;

• Prazo: 3 anos;

• Taxa de cup˜ao, semestral: 2, 5%;

• Juro ´e pago semestralmente, ao fim de cada semestre;

• Modo de reembolso: Reembolsos semestrais, em igual n´umero de unidades, com in´ıcio 1, 5 anos depois da emiss˜ao;

• Pr´emio de reembolso: 1º e 2º reembolsos: e 0, 25 por unidade; e 0, 50 por unidade para os restantes reembolsos.

(a) Preencha o quadro de amortiza¸c˜ao;

(b) Um amigo da D. Zyta comprou 100 obriga¸cões na emissão, das quais metade são reem-bolsadas na primeira tranche, e a outra metade na terceira.

Escreva uma equa¸c˜ao que permita calcular a taxa de rendimento semi-anual do investi-mento feito pelo amigo.

7. Considere que determinado activo de d´ıvida negoci´avel pˆode ser comprado pela quantia de e 65 000 e que 56 dias depois passou a valer e 66 500.

• Qual ´e a taxa de rendimento, expressa ou como uma taxa de actualiza¸c˜ao anual, ou apenas como uma taxa de juro simples.

(35)

Solu¸c˜

oes dos exerc´ıcios

Cap´ıtulo 1

1. (a) F; (b) V; (c) F (d) V. 2. (a) 3.; (b) 2. 3. – 4. e1, 040.00; e1, 000.00.

Cap´ıtulo 2

1. (a) V; (b) V; (c) V; (d) F; (e) F; (f) V (g) V; (h) V. 2. (a) 2.; (b) 4.; (c) 3.; (d) 1. 3. (b) < (d) < (a) < (c)

Cap´ıtulo 3

1. (a) F; (b) V; (c) V . 2. (a) 3.; (b) 3.; (c) 2.; (d) 2; (e) 4. 3. (b) < (d) < (c) < (a).

Cap´ıtulo 4

1. (a) V; (b) V; (c) V; (d) V; (e) V; (f) V; (g) F; (h) F; (i) V; (j) F; (k) V . 2. (a) 2; (b) 1; (c) 3; (d) 1; (e) 1; (f) 2; (g) 2; (h) 3; (i) 1; (j) 3; (k) 3; (l) 2; (m) 4 .

(36)

Cap´ıtulo 5

1. (a) V; (b) V; (c) V .

2. (a) 3; (b) 2; (c) 2; (d) 2; (e) 2; (f) 4; (g) 3; (h) 3; (i) 1 . 3. (a) e106 152, 20; e56 000, 00; (b) 5, 86% .

Cap´ıtulo 6

1. (a) F; (b) V; (c) V; (d) V; (e) F; (f) F; (g) F; (h) V; (i) V; (j) F; (k) V; (l) F; (m) V; (n) V; (o) F; (p) V; (q) V; (r) V; (s) V; (t) F; (u) V; (v) V; (w) V.

2. (a) 4 (e2 206, 66); (b) 1; (c) 2; (d) 2; (e) 3; (f) 1; (g) 4; (h) 3; (i) 4 . 3. (a) e114, 16; (b) e134, 31 (c) e48, 41; e78, 19.

4. (a)⇠ e1 288, 60; (b) ⇠e196 439, 92; (c)⇠ e1 358, 43 . 5. (a) e977, 24; (b) e1 344, 39; (c) e754, 52 .

6. (a) e23 446, 10 , e17 446, 10; (b) e127 012, 10; (c) e23, 836.13; (d) e4, 471.29 . 7. (a) e7 311, 03 ; (b) e8 160, 38 .

Cap´ıtulo 7

1. (a) V; (b) F . 2. (a) 3; (b) 4; (c) 2; (d) 2; (e) 3 .

Cap´ıtulo 8

1. (a) F; (b) F; (c) F; (d) F; (e) V; (f) V; (g) V . 2. (a) 4; (b) 3; (c) 1; (d) 4; (e) 4; (f) 4 . 3. (a) P _{⇠ 1 288, 602 803; (b) B}1 ⇠ 199 711, 3972 , B2 ⇠ 199 421, 3514; (c) B12 ⇠ 196 439, 9221; (d) P_k⇤ ⇠ 1 360, 807 339; B⇤ 299⇠ 1 353, 363 838 . 4. (a)⇠ 1 054, 82; (b) B1 ⇠ 124 570, 18; B4 ⇠ 123 267, 78 . 5. (a) 18 155, 00; (b) B5 ⇠ 34 992, 38 . 6. P _{⇠ 1 104, 68; (b) B}3 ⇠ 97 563, 07 (presta¸c˜ao antecipada).

(37)

Cap´ıtulo 9

1. (a) V; (b) F; (c) F; (d) V; (e) V . 2. (a) 4; (b) 3; (c) 4; (d) 2; (e) 2 . 3. (a) e1 175, 78; (b) e14 769, 10.

4. (a) e1 647, 51; (b) e12 068, 83; (c) e723, 51 . 5. (a) e2 657, 67; (b) e17 200, 40 .

6. (a) e5 414, 71; (b) e11 356, 78 ; (c) e46 852, 20 .

7. (a) e80 000; e16 302, 41; (b) e4 315, 12; (c) e46 633, 83 . 8. (a) e2 081, 23; (b) e27 334, 37 .

9. (a) e8 799, 58; (b) e117, 23 .

Cap´ıtulo 10

1. (a) V; (b) F; (c) F; (d) V; (e) F; (f) F, (g) V; (h) V; (i) V; (j) V . 2. (a) 1; (b) 4; (c) 4; (d) 3; (e) 1, (f) 3; (g) 2; (h) 3; (i) 3; (j) 2 .

3. R1 = 6 000, R2 = 48 000, R3 = 46 800, R4 = 47 600, R5 = 46 400, R6 = 45 200; B6 = 0. 4. R1 = 120 000, R2 = 630 000, R4= 585 000; B5= 0. 5. (a) R1 = 36 000, R2 = 444 000, R3 = 24 000, R4= 436 000, R5 = 12 000, R6 = 428 000; B6 = 0; (b) R1 = 36 000, R2 = 444 000, R3 = 24 000, R4 = 436 000, R5 = 12 000, R6 = 428 000; B6 = 0. 6. (a) R1 = 12 500, R2 = 12 500, R3 = 140 625 000, R4 = 137 500, R5 = 137 500, R6 = 134 375; B6 = 0; (b) T IR/IRR⇠ 3, 385.

Cap´ıtulo 11

1. (a) V; (b) F; (c) F; (d) F; (e) V, (f) V; (g) F; (h) V; (i) V . 2. (a) e 40; (b) e 66, 67 .