Limites laterais e infinitos

Limites laterais e infinitos

Cálculo diferencial e integral 1

Prof.aDr.aPriscila Savulski Ferreira de Miranda

Universidade Tecnológica Federal do Paraná - Curitiba

Limites laterais

lim

f

(x) = L

@

x

y

a

L

Limites laterais

Limite lateral à esquerda

f definida em (x1, a). Definimos olimite lateral à esquerda

L= lim

x→a−f(x)

quando for possível tornar o valor de f tão próximo de L quanto quiser aoaproximar x de a pela esquerda, ou seja, comx< a.

x

y

a L

Limites laterais

Limite lateral à direita

f definida em (a, x2). Definimos olimite lateral à direita

L= lim

x→a+f(x)

quando for possível tornar o valor de f tão próximo de L quanto quiser aoaproximar x de a pela direita, ou seja, comx> a.

x

y

a L

Exemplo

Esboce o gráfico da função e encontre os limites laterais de f em 0 e 1.

f(x) =



x, se x < 0

x+ 1, se x > 0

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Exemplo

Esboce o gráfico da função e encontre os limites laterais de f em 0 e 1.

f(x) =  x, se x < 0 x+ 1, se x > 0

x

y

Exercício

Esboce o gráfico e observe que h(x) = x

|x| não possui limite em 0.

No entanto possui os limites laterais, lim

x→0−h(x) = −1 e lim_x→0+h(x) = 1.

Não possui limites

Seja f (x) = sen π

x x→0limf(x)@ x→0lim+f(x)@ _x→0lim−f(x)@

x

y

Limites laterais × limites da função

lim

x→af(x) = L

se, e somente se, lim

x→a−f(x) = L e lim_x→a+f(x) = L.

x y x y a L

Obs.1: O limite da função existe e é L se os limites laterais existirem e também forem L.

Obs.2: Se os limites laterais existem e valem L, então o limite existe e também é L.

Limites infinitos f(x) = 1 x2, x f(x) 1/10 102 1/100 1002 1/10000 10002 -1/10 102 -1/100 1002 -1/10000 10002

x

Limites infinitos

x

y

Não existe um valor de L para o qual a função se aproxime quando x tende a 0.

Logo o limite em 0 não existe.

A função cresce ilimitadamente ao se aproximar de 0. Nestas situações escrevemos simbolicamente que lim

x→0f(x) = ∞.

Limites infinitos

x

y

Não existe um valor de L para o qual a função se aproxime quando x tende a 0.

Logo o limite em 0 não existe.

A função cresce ilimitadamente ao se aproximar de 0. Nestas situações escrevemos simbolicamente que lim

x→0f(x) = ∞.

Limites infinitos

f definida em um intervalo aberto contendo a, mas não necessariamente em a.

Então

Limite infinito +∞

lim

x→af(x) = ∞ quando os valores de

f podem ficar arbitrariamente grandesao aproximar x de a.

Limite infinito −∞

lim

x→af(x) = −∞ quando os valores de

f podem ficar arbitrariamente grandes negativamenteao aproximar x de a.

x y

x y

Limites laterais infinitos

Analogamente podemos definir os limites laterais infinitos lim

x→a+f(x) = ∞ _x→alim+f(x) = −∞ _x→alim−f(x) = ∞ _x→alim−f(x) = −∞

x

y

Figura:f(x) = 1 x

Limites laterais infinitos - exemplos

tan x

1

-1

Figura:f(x) = tgx Figura:g(x) = logax

Referência

Guidorizzi, H. L., Um curso de Cálculo, V. 1,

Livros Técnicos e Científicos Ed. Ltda, 5aedição (2001).

Stewart, J., Cálculo, V. 1,

São Paulo: Cengage Learning, 7a_{edição (2013).}