Programação Geral e Resumos

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Programação Geral e Resumos

Quinta-feira Sexta-feira Sábado horário 04/05/2017 05/05/2017 06/05/2017 08:00-09:00 Registro

Minicurso Minicurso Minicurso

09:00-9:50 Vitor Ferreira Vitor Ferreira Vitor Ferreira

auditório Adelbar Sampaio auditório do DMA auditório do DMA

10:00-10:25 Coee break Coee break Coee break 10:25-11:15 Antonio Paques Dessislava Kochloukava Walter Ferrer

auditório Adelbar Sampaio auditório do DMA auditório do DMA

Eliezer Batista Grasiela Martini

11:20-11:45 auditório Adelbar Sampaio auditório do DMA Robson Vinciguera

Victor Solís Luciano Panek auditório do DMA auditório do DMA sala 107

Barbara Pogorelsky Glauber Quadros

11:50-12:15 auditório Adelbar Sampaio auditório do DMA Marcelo Muniz Josimar Rocha Nayene Panek auditório do DMA auditório do DMA sala 107

12:15-14:00 Almoço Almoço 14:00-14:50 Edson Alvares Alcides Buss

auditório Adelbar Sampaio auditório do DMA

Dirceu Bagio Wágner Cortes 15:00-15:25 auditório Adelbar Sampaio auditório do DMA

Emerson Melo Mauro Iglesias

auditório do DMA sala 107

Andrea Morgado Daiane Freitas 15:30-15:55 auditório Adelbar Sampaio auditório do DMA

Érica Fornaroli Artem Lopatin

15:55-16:20 Coee break Coee break Daiana Flores Felipe Castro 16:20-16:45 auditório Adelbar Sampaio auditório do DMA

Raimundo Bastos Thaísa Tamusiunas

Saradia Flora Danielle Azevedo 16:50-17:15 auditório Adelbar Sampaio auditório do DMA

Thiago Freitas Elkin Vanegas

17:20-17:45 Sessão de Pôsteres

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Sumário

MINICURSO 5

Corpos de frações não comutativos - Vitor de Oliveira Ferreira . 5

PLENÁRIAS 7

Grupóides e suas ações sobre C∗_{-álgebras - Alcides Buss . . . .} ₇

Por que globalizar? - Antonio Paques . . . 8 Produto bra de grupos - Dessislava Kochloukova . . . 9 Álgebras (m, n)-quasi-tilteds e (m, n)-quase hereditárias - Edson

Alvares . . . 10 Observable actions, a generalization of the concept of observable

subgroup - Walter Ferrer . . . 11

COMUNICAÇÕES ORAIS 13

Almost Involutive Hopf-Ore Extensions - Andrea Morgado . . . 13 Identidades livres para invariantes das matrizes - Artem Lopatin 14 On the representation theory of a quantum group attached to the

Fomin-Kirillov algebra FK3 - Bárbara Pogorelsky . . . 14

O radical de Jacobson do skew anel de grupóide - Daiana Flôres 15 Almost involutive Hopf algebras up to dimension 23 - Daiane

Freitas . . . 15 Pares combinados parciais: gerando álgebras de Hopf - Danielle

Santos Azevedo . . . 16 Representations of the Drinfeld double of Radford's algebras

-Dirceu Bagio . . . 16 Categorias de Hopf - Eliezer Batista . . . 17 Irreducible modules over Outtara's power-associative and train

algebra of rank 4 - Elkin O. Quintero Vanegas . . . 18 Automorsmos coprimos agindo com centralizadores nilpotentes

- Emerson Ferreira de Melo . . . 18 Isomorsmos de Jordan de álgebras de incidência nitárias

-Érica Zancanella Fornaroli . . . 19 Dualidade para ações parciais de álgebras de Hopf fracas - Felipe

Lopes Castro . . . 20 3

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Representações parciais de álgebras de Hopf fracas - Glauber Quadros . . . 20 Estruturas parciais no contexto de álgebras de Hopf de

multipli-adores - Grasiela Martini . . . 21 Semicorpos Finitos e certos p-grupos de classe de nilpotência 2

- Josimar da Silva Rocha . . . 21 Grupo de Simetrias dos Espaços de Blocos de Niederreiter-Rosenbloom-Tsfasman - Luciano Panek . . . 22 Cohomologia de produtos smash parciais - Marcelo Muniz Alves 22 Caracterização de folheações curva generalizada com uma única

separatrix em K(n, m) - Mauro Fernando Hernández Iglesias . 23 Sobre a Aequivalência de Hipersuperfícies Quase Ordinárias

-Nayene Michele Paião Panek . . . 23 Condições de nitude para produtos tensoriais não abelianos de

grupos - Raimundo de Araújo Bastos Júnior . . . 24 Extensões Essenciais Cíclicas de Módulos Simples sobre Anéis

de Operadores Diferenciais - Robson Willians Vinciguerra . . 24 As Representações da Super Plano de Jordan - Saradia Della Flora 25

A characterization for a Groupoid Galois Extension using Par-tial Isomorphisms - Thaísa Tamusiunas . . . 25 Uma introdução aos módulos de cohomologia local - Thiago

Hen-rique de Freitas . . . 26 O Problema de Nathan Jacobson - Victor Hugo López Solís . . . 26 The topological algebra of the full generalized quaternion algebra

- Wagner Cortes . . . 26

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MINICURSO

Corpos de frações não comutativos

Vitor Ferreira

Universidade de São Paulo - USP

Veremos como a construção do corpo de frações de um domínio de inte-gridade (comutativo) se generaliza para o contexto de anéis não necessari-amente comutativos. Especial atenção será devotada aos chamados anéis de polinômios skew, uma generalização natural dos anéis de polinômios usuais, que reparte com esses muitas propriedades aritméticas. Como apli-cação das técnicas apresentadas, veremos que, mesmo quando existe, um corpo de frações de um domínio de integridade não comutativo não é nec-essariamente único.

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PLENÁRIAS

Grupoides e suas ações sobre C

∗

_-álgebras

Alcides Buss

Universidade Federal de Santa Catarina - UFSC

Grupoides são objetos poderosos que possuem muitas aplicações na teo-ria de Álgebras de Operadores. Exemplos importantes de C∗_{-álgebras, tais}

como álgebras de rotação e álgebras de Cuntz admitem modelos canônicos em termos de grupoides, isto é, elas podem ser descritas como C∗_-álgebras

de grupoides. Propriedades da C∗_{-álgebra podem então ser lidas do grupoide}

modelo adjacente. Grupoides também podem ser usados para descrever simetrias de C∗_{- álgebras e o principal objetivo desta palestra será explicar}

como isto funciona. Mais especicamente, vamos introduzir a noção de um grupoide H sobre outro grupoide G e explicar como isto induz uma ação de H sobre a C∗- álgebra C∗(G × H) pode ser descrita como uma espécie de produto cruzado generalizado C∗_{(G) × H.}

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Por que globalizar?

Antonio Paques

Universidade Federal do Rio Grande do Sul - UFRGS

A globalização de ações parciais de grupos e/ou álgebras de Hopf sobre álgebras tem sido uma ferramenta muito útil no estudo, dentro do contexto parcial, da estrutura multiplicativa de álgebras e de suas representações. Em muitos casos, a teoria parcial pode ser desenvolvida sem recorrer a essa ferramenta. Em outros, ela é absolutamente necessária. O escopo desta palestra é apresentar, através de exemplos concretos, resultados que, sem o recurso da globalização, não poderiam ser obtidos.

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Produto bra de grupos

Dessislava Kochloukova

Universidade Estadual de Campinas - UNICAMP

Estudamos versão homológica de resultados homotópicos de Bridson (Ox-ford), Howie (Edimburgo), Short (Marseille), Miller (Melbourne), Kuchkuck (Dusseldorf) sobre o produto bra de duas sequências exatas de grupos. Em particular mostramos que se G1 é produto semidireto de N1 por Q

e G2 é produto semidireto de N2 por Q então a Conjectura homológica

n − (n + 1) − (n + 2)vale, i.e., se G1 e G2 ambos têm tipo homológico F Pn+1;

N1 tem tipo homológico F P n e Q tem tipo F Pn+2 então a bra P tem tipo

homológico F Pn+1. Este trabalho foi obtido junto com Francismar Lima

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Álgebras (m, n)-quasi-tilteds e (m, n)-quase

hereditárias

Edson Alvares

Universidade Federal do Paraná - UFPR

Motivados pela conexão entre teoria tilting e categoría derivada, Hap-pel, Reiten e Smalo propuseram uma generalização da teoria tilting. Esta construção levou a introdução das álgebras quasitilteds. Este trabalho visa apresentar a generalização destas álgebras com o propósito de se fazer um estudo homológico das álgebras hereditárias por partes.

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Observable actions, a generalization of the

concept of observable subgroup

Walter Ferrer

Universidad de la Republica - Uruguai

We will talk about a rather recent generalization of the concept of ob-servable subgroup introduced in the 1960's with the purpose of studying extensions of representations from subgroups to groups. The observabil-ity can be considered as an intermediate step in the concept of reducibilobservabil-ity (semisimplicity) and it has been recently generalized to the concept of ob-servable action. This concept shows in a crystal clear manner the interplay between the algebra and the geometry, that is a crucial theme in algebraic geometry.

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COMUNICAÇÕES ORAIS

Almost Involutive Hopf-Ore Extensions

Andrea Morgado

Universidade Federal de Pelotas

In this talk we give a brief survey about the contruction of the Hopf-Ore Extension (see [P]), more specically the case constructed in [BDG]. From this we present two theorems which give us sucient conditions for that these Hopf algebras are almost involutive in the sense of [AF]. This work was carried out jointly with Andrés Abella (Universidad de la República) and Daiane Freitas (Universidade Federal de Rio Grande).

References:

[AF ] A. Abella and W. Ferrer, Almost Involutive Hopf Algebras, São Paulo J. Math. Sci. (2015), doi:10.1007/s40863-015-0028-y.

[BDG ] M. Beattie, S. Dascalescu and L. Grunenfelder, Constructing pointed Hopf algebras by Ore extensions, J. Algebra 225, (2000), 743770. [P ] A. N. Panov, Ore extensions of Hopf algebras, Mathematical Notes

74, no. 3 (2003), 401410.

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Identidades livres para invariantes das

matrizes

Artem Lopatin

UNICAMP

Trabalhamos sobre um corpo innito de característica p ≥ 0. A álgebra RSp(n)de Sp(n)-invariantes polinomiais de matrizes é gerada pelos elementos σk(Xi1· · · Xim), onde Xi1, . . . , Xim são matrizes genéricas e transposições

simpléticas de matrizes genéricas e σk é o k-ésimo coeciente do polinômio

característico da matriz. No caso p 6= 2 relações entre geradores de RSp(n)

foram descritas, porém, no caso p = 2, o problema está em aberto. No caso p = 2 obtivemos uma descrição de todas relações livres de RSp(n) _(i.e.

relações válidas para cada n). Notaremos que qualquer relação de RSp(n) _é

na verdade uma identidade de RSp(n)_.

On the representation theory of a quantum

group attached to the Fomin-Kirillov

algebra FK

3

Bárbara Pogorelsky

UFRGS

Let D be the Drinfeld double of the bosonization B(V )#kG of a nite-dimensional Nichols algebra over a nite G. We investigate the structure and the tensor products of the projective modules over D. We show that a Verma module over D is simple if and only if it is projective. As an example, we consider B(V ) = FK3, the Fomin-Kirillov algebra over S3, we explicitly

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O radical de Jacobson do skew anel de

grupóide

Daiana Flôres

Universidade Federal de Santa Maria

Seja G um grupóide agindo sobre uma K-álgebra R, então podemos con-siderar o skew anel de grupóide R ? G. Nesta comunicação apresentamos a relação entre J(R ? G) e J(R) ? G.

Este resultado é parte de um trabalho desenvolvido em colaboração com os professores Antonio Paques e Andrea Morgado.

Almost involutive Hopf algebras up to

dimension 23

Daiane Freitas

Universidade Federal do Rio Grande - FURG

In this talk we give a review the classication of the Hopf algebras up to dimension 23. Since we are interested in the almost involutive ones, we will concentrated in the non-semisimple cases, with references for the semisimple cases. From this we classify the almost involutive Hopf algebras of dimen-sion less than 24. This work was carried out jointly with Andrés Abella (Universidad de la República) and Andrea Morgado (Universidade Federal de Pelotas).

References

[AF] A. Abella and W. Ferrer, Almost Involutive Hopf Algebras, São Paulo J. Math. Sci. (2015), doi:10.1007/s40863-015-0028-y.

[AFM] A. Abella, D. Freitas and A. Morgado, Almost involutive Hopf-Ore extensions of low dimension, São Paulo J. Math. Sci., (2016), 115, doi:10.1007/s40863-016-0053-5.

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Pares combinados parciais: gerando

álgebras de Hopf

Danielle Santos Azevedo

Instituto Federal do Rio Grande do Sul

M. Takeuchi, em [T], deniu par combinado de álgebras de Hopf e, com isso, construiu álgebras de Hopf, sob certas condições adicionais. Com o in-tuito de gerar álgebras de Hopf envolvendo ações e coações parciais, nessa ap-resentação será denido par combinado parcial e, assim, serão construídas ál-gebras de Hopf oriundas desse par combinado parcial, também considerando hipóteses adicionais. Além disso, será apresentada uma caracterização desse par combinado parcial, bem como exemplos e propriedades.

(Trabalho orientado pelo Professor Antonio Paques (UFRGS)). Referências:

[CD ] S. Caenepeel, S. Dascalescu, Pointed Hopf algebras of dimension p3_,

Journal of algebra 209, 622-634 (1998).

[T ] M. Takeuchi, Matched pairs of groups and bismash products of Hopf algebras. Communications in Algebra 9, 841-882 (1981).

Representations of the Drinfeld double of

Radford's algebras

Dirceu Bagio

Let Cnpbe the cyclic group of order np with generator g, where n, p ∈ N,

and ω ∈ k a primitive n-th root of unity. We denote by Rn,p the free

associative algebra in generators x and g subject to the following relations xn= 1 − gn, gnp= 1, gx = ωxg.

The algebra Rn,pwas constructed in [Section 2, Ra]. This is a Hopf algebra,

where g is a group-like element and x is a (g, 1)-primitive element, i. e. ∆(g) = g ⊗ g, ∆(x) = g ⊗ x + x ⊗ 1.

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Consequently ε(g) = 1, ε(x) = 0, S(g) = g−1 _{and S(x) = −g}−1_{x. The Hopf}

algebra Rn,p has dimension n2p and basis {xjgi : 0 ≤ j < n, 0 ≤ i < np}.

These are examples of noncommutative noncocommutative Hopf algebras whose Jacobson radical is not a Hopf ideal.

In this work, in collaboration with Gastón Garcia (UNLP) and Oscar Marquez (UFSM), we describe the drinfeld double D((Rnp)cop) of the Hopf

algebra (Rnp)cop via generators and relations. Moreover, we calculate all

simple D((Rnp)cop)-modules.

References

[Ra] D. E. Radford, On the coradical of a nite dimensional Hopf algebra, Proc. Amer. Math. Soc. 53 (1975), 915.

Categorias de Hopf

Eliezer Batista

Dep. de Matemática Universidade Federal de Santa Catarina

As categorias de Hopf são uma generalização categórica do conceito de álgebra de Hopf. Basicamente, uma categoria de Hopf consiste de uma cat-egoria enriquecida por coálgebras em uma catcat-egoria monoidal trançada com uma espécie de inversão de morsmos. Este tipo de construção abrange, por um lado, grupóides e por outro lado, Hopf álgebras. Além disto, diversas outras estruturas que tiveram sua aparição na literatura na última década, como Hopf group coalgebras, Hopf group algebras e duoidal categories podem ser vistas como exemplos de categorias de Hopf. Este trabalho foi feito em colaboração com Stefaan Caenepeel e Joost Vercruysse.

Referências:

[BCV ] E. Batista, S. Caenepeel, J. Vercruysse: Hopf Categories, Algebra and Representation Theory, 19 (2016) 1173-1216.

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Irreducible modules over Outtara's

power-associative and train algebra of rank

4 Elkin O. Quintero Vanegas

Universidade Federal de Ceará

Power-associative algebras which are train algebras of rank 4 where clas-sied in three dierent families by Lopez-Sanchez et al in [LR]. First and second families are Jordan algebras and the study of their irreducible mod-ules established that all them are the trivial one [BLR]. We will study irre-ducible modules over the Outtara's train algebra of rank 4 and dimension 4. It belongs to third family, it means, algebras which are not Jordan.

References

[BLR ] A. Behn, A. Labra, and C. Reyes. Irreducible Representation of Power-associative train algebras. Algebra Colloquium, 22: 903908, 2015.

[LR J. Lopez-Sanchez and E. Rodriguez Santa Maria. Non associative al-gebra and its applications, volume 303 of Mathematics and its applica-tions, chapter Multibaric algebras, pages 235240. Springer- Nether-lands, 1994.

Automorsmos coprimos agindo com

centralizadores nilpotentes

Emerson Ferreira de Melo

Universidade de Brasília

Seja G um grupo e ϕ um elemento do grupo de automorsmos de G. Denotamos por CG(ϕ) o subgrupo formado pelos pontos xos de ϕ em G,

que é

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O subgrupo CG(ϕ) também é chamado de centralizador de ϕ em G. Em

geral a estrutura do centralizador de ϕ em G possui grande inuência sobre a estrutura do grupo G.

Em 1971, J. N. Ward provou que se um p-grupo abeliano elementar A de posto 3 age sobre um p0_{-group nito G de tal forma que C}

G(a) é nilpotente

para todo a ∈ A\{1}, então G é nilpotente. Nesta apresentação discutiremos alguns resultados recentes sobre grupos nitos admitindo automorsmos com centralizadores nilpotentes. Em particular, mostraremos que o resultado de J. N. Ward vale também quando A é um p-grupo não abeliano de expoente p e ordem maior ou igual a p3.

Isomorsmos de Jordan de álgebras de

incidência nitárias

Érica Zancanella Fornaroli

Universidade Estadual de Maringá

Seja (X, ≤) um conjunto parcialmente ordenado e seja R um anel co-mutativo com unidade. Seja F I(X, R) o conjunto de todas as funções f : X × X → R tais que f(x, y) = 0 se x 6≤ y e para qualquer intervalo [x, y] ⊆ X existe somente um número nito de subintervalos [u, v] ⊆ [x, y] com u < v e f(u, v) 6= 0. Com as operações usuais de soma e produto por escalar e a multiplicação dada pela convolução, F I(X, R) é uma R-álgebra chamada de álgebra de incidência nitária de X sobre R [KN]. A álgebra F I(X, R)coincide com a álgebra de incidência (clássica) I(X, R), quando X é localmente nito.

D. Benkovi£ introduziu em [B] a noção de near-sum que foi utilizada por ele para descrever todos os homomorsmos de Jordan da álgebra das matrizes triangulares superiores Tn(R) no caso em que R é livre de 2-torsão.

E. Akkurt, M. Akkurt e G. P. Barker [AAB] estenderam o resultado de Benkovi£ para as álgebras de matrizes estruturais Tn(R, ρ), onde ρ é uma

ordem parcial ou uma quase ordem tal que cada classe de equivalência contém pelo menos 2 elementos.

Observe que Tn(R, ρ) é isomorfa à álgebra de incidência do conjunto

ordenado ({1, . . . , n}, ρ) sobre o anel R. Nesta palestra apresentaremos uma generalização parcial do resultado de E. Akkurt et al. para as álgebras de incidência nitárias. Mais precisamente, mostraremos que todo isomorsmo de Jordan R-linear de F I(X, R) sobre uma R-álgebra arbitrária é a near-sum de um homomorsmo e um anti-homomorsmo.

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Este é um trabalho em conjunto com a Professora Rosali Brusamarello da UEM e com o Professor Mykola Khrypchenko da UFSC e foi parcialmente nanciado pela Fundação Araucária.

Referências:

[AAB ] E. Akkurt, M. Akkurt, G. P. Barker, Jordan homomorphisms of the structural matrix algebras, Linear Multilinear Algebra 63 (2015), 25182525.

[B ] D. Benkovi£, Jordan homomorphisms on triangular matrices, Linear Multilinear Algebra 53 (2005), 345356.

[KN ] N. S. Khripchenko, B. V. Novikov, Finitary incidence algebras, Comm. Al-gebra 37 (2009), 16701676.

Dualidade para ações parciais de álgebras

de Hopf fracas

Felipe Lopes Castro

Universidade Federal de Santa Catarina

Nesta apresentação vamos explorar teoremas de dualidade no contexto de ações parciais de álgebras de Hopf fracas de dimensão nita. Será construída a relação entre

(A#H)#H∗ e End(A#HA).

Representações parciais de álgebras de

Hopf fracas

Glauber Quadros

Neste trabalho será apresentada a construção da teoria de representações parciais para o caso de álgebras de Hopf fracas, mostrando-se também que uma ação parcial gera uma representação no caso fraco. Mais ainda, xada uma álgebra de Hopf fraca, será construída a álgebra universal, mostrando-se que é equivalente a um produto smash parcial.

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Estruturas parciais no contexto de álgebras

de Hopf de multipliadores

Grasiela Martini

FURG

A. Van Daele introduziu a noção de álgebras de Hopf dos multiplicadores, a qual generaliza a estrutura usual de álgebras de Hopf. Em seguida, trabal-hou com o conceito de ações e coações parciais destas álgebras. O objetivo desta apresentação é introduzir o contexto parcial destes tópicos, mencio-nando algumas propriedades e exemplos.

Referências:

[D1 ] A.Van Daele, Multiplier Hopf algebras, trans.Amer. Math. Soc. 342, 917-932 (1994).

[D2 ] A. Van Daele An Algebraic framework for group duality, Advances in Mathematics 140, (1998), 323-366.

[DDZ ] B. Drabant, A. Van Daele and Y. Zang, Actions of multiplier Hopf algebra, Commun. Algebra 27, (1999) 4117-4172.

[DZ ] A. Van Daele and Y. H. Zhang, Galois theory for multiplier Hopf algebras with integrals, Algebr. Represent. Theory, 2 (1), (1999) 83-106.

Semicorpos Finitos e certos p-grupos de

classe de nilpotência 2

Josimar da Silva Rocha

Universidade Tecnológica Federal do Paraná

Neste trabalho mostraremos que para cada semicorpo de ordem pn

pode-mos construir um grupo G de ordem p3n _{de classe de nilpotência 2 contendo}

subgrupos X e Y com pn_{elementos tais que [x, y] 6= 1 para todos x ∈ X−{1}}

e y ∈ Y − {1}. Além disto encontraremos condições necessárias e sucientes sobre dois semicorpos nitos com pn_{elementos para que os grupos}

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Grupo de Simetrias dos Espaços de Blocos

de Niederreiter-Rosenbloom-Tsfasman

Luciano Panek

Universidade Estadual do Oeste do Paraná

Seja P = ({1, 2, . . . , m · n}, ≤) um conjunto parcialmente ordenado dado por uma união disjunta de m cadeias de comprimento n e V = FN

q o espaço

vetorial das N-uplas sobre o corpo nito Fq. Seja V = V1⊕V2⊕. . .⊕Vmnuma

soma direta de V , em blocos de subespaços Vi = Fkqicom k1+k2+. . .+kmn=

N, munido com a métrica de blocos ordenados d(P,π)induzida pela ordem P

e pela partição π = (k1, k2, . . . , kmn). Neste trabalho mostramos que o grupo

de simetrias do espaço métrico (V, d(P,π)) é dado pelo produto semi-direto m Y i=1 Gin ! oSπ,

onde Gin é o grupo de simetrias relativo à i-ésima cadeia de P ,

Gin= (S_qk1,i)q N −k1,i o . . . o(S_qkn,i)q N −k1,i−k2,i−...−kn−1,i−kn,i . . .

onde k1,i, . . . , kn,i são as respectivas dimensões dos blocos rotulados pelos

elementos da i-ésima cadeia e, Sπ é o grupo das simetrias que permutam

cadeias com blocos de mesma dimensão.

Cohomologia de produtos smash parciais

Marcelo Muniz Alves

Universidade Federal do Paraná

Neste trabalho introduzimos uma cohomologia para representações par-ciais de grupos como o funtor derivado à direita do funtor de invariantes parciais. Relacionamos esta cohomologia com derivações parciais e com o ideal de aumento parcial de KparG, e mostramos que existe uma

sequên-cia espectral de Grothendieck relacionando a cohomologia de Hochschild de uma álgebra de grupo skew parcial com a cohomologia de representações parciais e a cohomologia de Hochschild de álgebras. Este trabalho foi feito com Edson Ribeiro Alvares e Maria Julia Redondo.

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Caracterização de folheações curva

generalizada com uma única separatrix em

K(n, m)

Mauro Fernando Hernández Iglesias

UEM

K(n, m) é o conjunto de curvas planas irredutiveis com exponentes car-acterísticos n e m. A forma W = Adx + Bdy, onde A, B ∈ C{x, y} sem componentes comunes, e A(0, 0) = B(0, 0) = 0 representa uma folheação singular na origem. Daremos condições necessárias e sucientes para que W = 0seja curva generalizada com uma única separatriz f ∈ K(n, m).

Sobre a A-equivalência de Hipersuperfícies

Quase Ordinárias

Nayene Michele Paião Panek

Universidade Estadual do Oeste do Paraná

Nosso estudo trata da equivalência analítica de hipersuperfícies quase or-dinárias em Cr+1 _{por meio de suas parametrizações quase ordinárias. Neste}

sentido, dizemos que duas hipersuperfícies quase ordinárias são analitica-mente equivalentes se, e soanalitica-mente se, suas parametrizações quase ordinárias são A-equivalentes. Nossa contribuição se inicia com a identicação do subgrupo do grupo A que mantém a parametrização quase ordinária nor-malizada. Além disso, introduzimos um conjunto Λ ⊂ Nr _{associado as}

r-formas de Kähler que, generaliza um importante invariante analítico de curvas planas e nos permite identicar termos na parametrização quase or-dinária que possam ser eliminados pela ação de um elemento do grupo A. Este trabalho foi desenvolvido em conjunto com o Professor Marcelo Escud-eiro Hernandes durante meu doutorado na Universidade Estadual de Mar-ingá.

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Condições de nitude para produtos

tensoriais não abelianos de grupos

Raimundo de Araújo Bastos Júnior

Universidade de Brasília

Sejam G e H grupos agindo compativelmente um sobre o outro. Um resultado famoso no contexto de produtos tensoriais não abelianos, devido a G. Ellis, assegura que o produto tensorial G⊗H é nito, desde que os grupos envolvidos sejam nitos. Neste seminário obtemos um critério de nitude para o produto tensorial G ⊗ H envolvendo apenas a nitude do conjunto dos tensores, T⊗(G, H) = {g ⊗ h | g ∈ G, h ∈ H}. Como consequência desse

critério reobtemos o resultado de G. Ellis. Adicionalmente, apresentamos como certas condiçes de nitude para o grupo G⊗H interferem na estrutura dos grupos G e H. O presente trabalha foi feito em colaboração com Noraí R. Rocco (Universidade de Brasília) e Irene N. Nakaoka (Universidade Estadual de Maringá).

Extensões Essenciais Cíclicas de Módulos

Simples sobre Anéis de Operadores

Diferenciais

Robson Willians Vinciguerra

Universidade Federal do Rio Grande do Sul

Um anel noetheriano S satisfaz a propriedade () se todas extensões essenciais cíclicas de S-módulos simples são artinianas. Anéis com esta pro-priedade vericam a Conjectura de Jacobson, que é um famoso problema em aberto em teoria de anéis. Neste trabalho, investigamos esta propriedade em anéis de operadores diferenciais R[θ; δ], onde R é um anel comutativo noethe-riano e δ uma derivação de R. Mais precisamente, estudamos condições necessárias e sucientes para que R[θ; δ] satisfaça (), quando o anel R é δ-simples e, também, no caso em que este é δ-primitivo. Além disso, car-acterizamos os anéis de operadores diferenciais C[x, y][θ; δ] que satisfazem (). Esse trabalho faz parte da pesquisa de doutorado que venho desen-volvendo no PPGMAT-UFRGS, sob orientação do professor Alveri Alves Sant'Ana (UFRGS) e coorientação da professora Paula Alexandra Carvalho Lomp (Universidade do Porto).

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As Representações da Super Plano de

Jordan

Saradia Della Flora

Neste trabalho estudamos as representações de uma álgebra de Nichols com dimensão Gelfand-Kirillov 2, chamada de super plano de Jordan. Tal ál-gebra desempenha papel importante na classicação de álál-gebras de Hopf pon-tuadas com dimensão Gelfand-Kirillov nita. Mais especicamente, mostramos que suas representações simples tem dimensão 1. Além disso, classicamos as representações indecomponíveis de dimensão 2 e 3.

Este trabalho foi desenvolvido em colaboração com os professores Nicolás Andruskiewitsch, Dirceu Bagio e Daiana Flôres.

A characterization for a Groupoid Galois

Extension using Partial Isomorphisms

Thaísa Tamusiunas

UFCSPA

Let S|Rbe a groupoid Galois extension with Galois groupoid G such that

EgGr(g) ⊆ C1g, for all g ∈ G, where C is the center of S, Gr(g) is the principal

group associate to r(g) and {Eg}g∈G are the ideals of S. In this talk it will

be presented a complete characterization in terms of a partial isomorphisms groupoid for such extension, showing that G = ˙∪g∈GIsomR(Eg−1, E_g)if and

only if Egis a connected commutative algebra or Eg = E Gr(g)

g ⊕E

Gr(g)

g , where

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Uma introdução aos módulos de

cohomologia local

Thiago Henrique de Freitas

Universidade Tecnológica Federal do Paraná - Guarapuava.

Considere R um anel, I um ideal de R e M um R-módulo. Nesta apresen-tação vamos introduzir o conceito de módulo de cohomologia local, denotado por Hi

I(M ). Tal objeto tem sido uma importante ferramenta para a álgebra

comutativa e geometria algébrica. Vamos mostrar os principais resultados e temas abordados sobre tal ferramenta, tais como anulamento e não anula-mento, artinianidade, nitude e relações com anéis Cohen-Macaulay. Além disto, vamos descrever algumas generalizações recentes sobre estes módulos.

O Problema de Nathan Jacobson

Victor Hugo López Solís

Universidade de São Paulo

Respondemos ao problema de Nathan Jacobson relacionada às álgebras alternativas que contém M2(F )(álgebra associativa das matrizes 2×2) como

uma subálgebra unitária.

The topological algebra of the full

generalized quaternion algebra

Wagner Cortes

UFRG

In this work, we introduce the full generalized quaternion algebra. We study its topological and algebraic properties and in this case we show that the full generalized quaternion algebra is Gelfand, normal, duo. Moreover, we study other related algebraic properties and its essential ideals.

This is a joint work with the professors A. R. G. Garcia (UFRSA) S. H. da Silva (UFCG)

(27)

PÔSTERES

Graduações e Identidades Polinomiais na

Álgebra de Grassmann

Alan de Araújo Guimarães

Universidade Estadual de Campinas

Seja E a álgebra de Grassmannn sobre um corpo F algebricamente fechado. Sabemos que E admite uma Z2-graduação natural. Em tal

grad-uação, a componente par é formada por monômios de tamanho par e a componente ímpar por monômios de tamanho ímpar. Para tal graduação, há uma descrição do ideal de identidades graduadas. Em 2009 Di Vincenzo e Da Silva trataram de graduações mais gerais na álgebra E, descrevendo o respectivo ideal de identidades polinomiais. Neste trabalhos, exporemos os principais resultados obtidos por Di Vincenzo e Da Silva.

FC-grupos com poucas órbitas por

automorsmos

Alex Carrazedo Dantas

Universidade Tecológica Federal de Paraná (UTFPR) - Campus de Guarapuava

Um grupo G é dito FC-grupo se cada elemento de G possui uma quan-tidade nita de classes de conjugação, ou seja, |G : CG(g)| < ∞ para todo

g ∈ G. Se existe um inteiro d tal que |G : CG(g)| < d, para todo g ∈ G, então

Gé dito BF C-grupo. Nesse poster, vamos demonstrar que um FC-grupo G 27

(28)

com nitas órbitas por automorsmos é um BF C-grupo e G = T or(G) × D, onde D é um subgrupo divisível de Z(G). Além disso, supondo que G possui no máximo 10 órbitas por automorsmos, então é possível caracterizar sua estrutura e, assim, responder uma questão de Markus Stroppel (2001) feita para grupos nitos: quais são os grupos não solúveis com no máximo seis órbitas por automorsmos? Esse trabalho está sendo feito em conjunto com Martino Garonzi e Raimundo Bastos.

Grupo de Lodha-Moore e Conjectura de

von Neumann-Day

Altair Santos de Oliveira Tosti

Universidade Estadual de Campinas

A Conjectura de von Neumann-Day arma que um grupo G é não-mediável se, e somente se, G contém um subgrupo que seja grupo livre sobre dois geradores. Enquanto trabalhava com o Paradoxo de Banach-Tarski, John von Neumann deniu o conceito de grupo mediável e demonstrou que nenhum grupo mediável contém um grupo livre de posto dois. A conjectura foi demonstrada ser falsa por Alexander Ol'shanskii (Uspekhi Matem. Nauk (1980), 35 (4), 199-200).

O grupo de Lodha-Moore foi introduzido por Yash Lodha e Justin Moore (Groups, Geometry, and Dynamics 10.1 (2016): 177-200). Tal grupo é não-mediável, nitamente apresentado (três geradores e nove relações) e livre de torção, além de ser o contraexemplo mais simples conhecido para a conjec-tura. Em sua denição, consideremos a aplicação real a(t) := t + 1 e os seguintes homeomorsmos sobre R:

b(t) :=        t, se t ≤ 0, t 1−t, se 0 ≤ t ≤ 1 2, 3 −1_t, se 1₂ ≤ t ≤ 1, t + 1, se t ≥ 1. e c(t) := _2t 1+t, se 0 ≤ t ≤ 1, t, caso contrário. O grupo G0 de Lodha-Moore é gerado por a(t), b(t) e c(t), isto é, G0 :=

ha(t), b(t), c(t)i.

Como já mencionado, foi demonstrado seguinte resultado sobre esse grupo: Teorema 1 (Lodha-Moore, 2016) O grupo G0 é não-mediável e

(29)

Espaços Vetoriais Trançados

André Alexandre Moura de Mello Júnior

Neste trabalho falaremos sobre espaços vetoriais trançados, dando sua denição e estudando alguns tipos importantes destes espaços. Serão abor-dados em particular os espaços vetoriais trançados de tipo diagonal e tipo triangular.

Quadrado Tensorial não-Abeliano de

p

-Grupos Finitos com Subgrupo Derivado

de Ordem p

Cleilton Canal

Universidade Federal da Integração Latino-Americana

Dado um grupo G, o quadrado tensorial não-abeliano de G é denido como sendo o grupo G⊗G gerado por todos os símbolos g ⊗h, com g, h ∈ G, satisfazendo as condições

gg1⊗ h = (gg1 ⊗ hg1)(g1⊗ h) e g ⊗ hh1 = (g ⊗ h1)(gh1 ⊗ hh1),

para todos g, g1, h, h1 ∈ G. Um dos objetivos do estudo de G⊗G é

determiná-lo explicitamente em termos mais simples para uma classes de grupos dada. Neste trabalho, calculamos o quadrado tensorial não-abeliano para cada grupo G na classe dos p-grupos nitos com subgrupo derivado de ordem p, em termos da apresentação de G fornecida por Simon Blackburn.

(30)

Codimensões em Representações de

Álgebras de Lie

David Levi da Silva Macêdo

Universidade Estadual de Campinas - Unicamp

Uma das características mais importantes de uma PI álgebra é a sua sequência das codimensões. Regev mostrou que para qualquer PI álgebra associativa, as codimensões têm crescimento exponencial. Se cn(A) é a

n-ésima codimensão da álgebra A, estuda-se o comportamento de (cn(A))1/n.

Amitsur conjecturou que sobre corpo de característica 0, esta última se-quência sempre converge e o limite é um inteiro não negativo. (Este limite é chamado de PI expoente exp(A) de A.) A conjectura foi demonstrada por Giambruno e Zaicev, em 1999. Análogos da conjectura de Amitsur valem também para amplas classes de álgebras de Lie e de Jordan (mas existem contra-exemplos). Há análogos também para o caso de álgebras graduadas por um grupo nito. Recentemente Gordienko obteve um análogo desses resultados para identidades de representações de álgebras de Lie (também chamadas de identidades fracas).

(31)

As subálgebras de Lie de gl (2,R) de

dimensão igual a 1, 2 e 3

Edineia dos Santos Brizola Brum

Universidade Tecnológica Federal do Paraná

Neste trabalho apresentamos uma classicação de subálgebras de Lie de gl(2,R) de dimensão 1, 2 e 3. Este estudo mostra parte do nosso trabalho no Projeto de Iniciação Cientíca Voluntária "Um estudo sobre as subálgebras de Lie de gl (2,R), que são transitivas em R2 _{\ {(0, 0)}}_{", em atividade na}

Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR), sob orientação dos professores Wilian Francisco de Araujo e Jahina Fagundes de Assis Hattori.

Módulo coálgebra e comódulo coálgebra

parcial no contexto de álgebra de Hopf de

multiplicadores

Eneilson Campos Fontes

UFRGS

A teoria de álgebra de hopf de multiplicadores foi introduzida por A. Van Daele no artigo "Multiplier Hopf Algebras", no qual o autor pretendia generalizar a noção de álgebra de hopf. Em trabalhos subsequentes o autor desenvolveu a teoria introduzindo ações e coações (globais) destes objetos sobre uma álgebra qualquer. A ideia deste trabalho é generalizar ao con-texto parcial as noções introduzidas por A. Van Daele de módulo coálge-bra e comódulo coálgecoálge-bra, e também apresentar uma dualização entre estas noções. dando continuidade ao trabalho desenvolvido por G. Martini.

Referências:

[1 ] A.Van Daele, Multiplier Hopf algebras, trans.Amer. Math. Soc. 342, 917-932 (1994).

[2 ] L. Delvaux, A. Van Daele and S.H. Wang, Bicrossproduct of multiplier Hopf algebras, arxiv:0903.2974 (2009).

(32)

[3 ] L. Delvaux, Semi-Direct products of Multiplier Hopf algebras: Smash coproducts, Communications in Algebra, vol 30, n. 12, 5979-5997, (2002).

[4 ] G. Martini, (Co) Ações Parciais da álgebra de Hopf de Multiplicaores: Morita e Galois. Tese de Doutorado, UFRGS (2016).

Classicação de involuções simpléticas

Eralcilene Moreira Terezio

A geometria simplética consiste no estudo de variedades munidas de uma 2−forma diferencial fechada e não-degenerada. Historicamente a geometria simplética surgiu a partir da formulação geométrica da mecânica clássica, ou seja, era apenas uma ferramenta de suporte para o estudo de campos hamiltonianos em variedades. Atualmente, ela tem exercido um papel inter-disciplinar na matemática interagindo com topologia, geometria algébrica, teoria de representação de grupos de Lie, entre outros. Trabalhos sobre a dinâmica de campos hamiltonianos em presença de simetrias e antissimetrias, como [1,2,3], utilizam ferramentas da teoria de representação de grupos de Lie dados pelo produto semidireto Γ × Zρ

2, onde Γ é um grupo de Lie e Z ρ 2 é

o grupo gerado por uma involução linear ρ : (R2n_{, ω) −→ (R}2n_{, ω), sendo ω}

a 2-forma que dá a estrutura de variedade simplética a R2n_{. Em particular,}

o interesse de [1,2] está em involuções simpléticas, ou seja, que preservam a 2−forma:

ω(x)(u, v) = ω(ρ(x))(ρ(u), ρ(v)),

para todos x, u, v ∈ R2n_{. Nosso objetivo é expor uma classicação para}

involuções lineares simpléticas ρ : (R2n_{, ω) −→ (R}2n_{, ω)}_{, de forma que}

pode-mos percorrer todos os grupos de interesse em [1,2]. O resultado é o seguinte: Teorema 1 Considere uma involução simplética ρ : (R2n_{, ω) −→ (R}2n_{, ω)}_,

onde ω é uma forma simplética constante. Então existe uma mudança de coordenadas simplética que transforma ρ em uma das seguintes formas nor-mais:

• ρ₀ = Id;

• ρ₀(x1, . . . , x2n) = (x1, . . . , xn−1, −xn, xn+1, . . . , x2n−1, −x2n);

(33)

• ρ0(x1, . . . , x2n) = (x1, x2, −x3. . . , −xn, xn+1, xn+2, −xn+3, . . . , −x2n);

• ρ₀(x1, . . . , x2n) = (x1, −x2, . . . , −xn, xn+1, −xn+2, . . . , −x2n);

• ρ₀ = −Id. Referências:

[1 ] Buzzi, C. A., Teixeira, M.A., Time-reversible Hamiltonian Vector Fields with Symplectic Symmetries. Journal of Dynamics and Dier-ential Equations 16 no _{2 (2004), 559574.}

[2 ] Buzzi, C. A., Roberto, L. A., Teixeira, M. A., Branching of periodic orbits in reversible Hamiltonian systems. In: Real and Complex Singu-larities; M. Manoel, M.C. Romero-Fuster, C.T.C. Wall (Org.), London Mathematical Society Lecture Note Series 380 (2010), 4670.

[3 ] Montaldi, J., Stewart, I., Existence of nonlinear modes of symmetric Hamiltonian systems. Nonlinearity 3 (1990), 695730.

Graduações e Identidades Z

n

-graduadas de

M

_n

(F )

Evandro Riva

Universidade Tecnológica Federal do Paraná - Câmpus Pato Branco Deniremos primeiramente o conceito de álgebra G-graduada por um grupo aditivo G.

Denição: Seja A uma álgebra sobre um corpo F , considere a família {A(α)_{, α ∈ G}}_{de subespaços de A, onde G é um grupo aditivo, dizemos que}

A é uma álgebra G-graduada se puder ser escrita como soma direta de subespaços

A =X

α∈G

M A(α),

e além disso, para quaisquer α, β ∈ G, deve valer A(α)A(β)⊆ A(α+β)_.

Qualquer álgebra A pode ser graduada por qualquer grupo G, denindo A(e)= Ae A(g)= 0para qualquer g 6= e. Essa graduação é chamada trivial, onde e é o elemento identidade de G.

(34)

Um exemplo de uma graduação não trivial é M2(F )com a seguinte Z2 -graduação: M2(F ) = M2(F )(0)⊕ M2(F )(1), onde M2(F )(0) = a 0 0 d : a, d ∈ F M2(F )(1) = 0 b c 0 : b, c ∈ F .

Podemos generalizar o exemplo acima e denir uma Zn-graduação em

Mn(F ).

Denição: Para t ∈ Z, denote por t a classe residual em Zncontendo t.

Para α ∈ Zn, seja Mn(α) o subespaço de Mn(F )gerado por todas as matrizes

elementares Ei,j, tais que j − i = α.

De modo que, M(0)

n consiste das matrizes da forma

     a1,1 0 . . . 0 0 a2,2 . . . 0 ... ... ... ... 0 0 . . . an,n      , a1,1, a2,2, ..., an,n∈ F

e, para 0 < t ≤ n − 1, temos que M(t)

n consiste das matrizes da forma

             0 . . . 0 a1,t+1 . . . 0 ... ... ... a2,t+2 ... ... ... ... ... ... 0 . . . 0 0 . . . an−t,n an−t+1,1 . . . 0 0 . . . 0 ... ... ... ... ... 0 . . . an,t 0 . . . 0             

onde, a1,t+1, a2,t+2, ..., an−t+1,1, an−t+2,2, ..., an,t∈ F. Então Mn(F )é a soma

direta de subespaços M(α) n 's: Mn(F ) = X α∈Zn M M_n(α).

Além disso, para p, q ∈ {0, 1, ..., n − 1} , temos:

Mn(F )(p)Mn(F )(q)⊆ Mn(F )(p+q).

Portanto a decomposição dene uma Zn-graduação da álgebra Mn(F ).

Ao longo do texto usaremos a Zn-graduação construída acima para a

(35)

A seguir, apresentaremos o conceito de identidades polinomiais G-graduadas. De agora em diante denotaremos por F hXi a álgebra associativa livre G-graduada.

Denição: Seja A = X

α∈G

M

A(α)uma álgebra G-graduada. Um polinôn-imio G-graduado f(x1, x2, ..., xk) ∈ F hXié dito ser uma identidade

poli-nomial graduada para a álgebra G-graduada A se f(a1, a2, ..., ak) = 0para

quaisquer ai∈ A(α(xi)), i = 1, 2, ..., k.

Denotamos o conjunto das identidades polinomiais G-graduadas por T (A)gr_,

ou seja:

T (A)gr= {f ∈ F hXi : f ≡ 0 em A}.

Vamos dar um exemplo de uma identidade polinomial graduada. Seja A = X

g∈G

M

A(g) uma álgebra G-graduada com a graduação trivial. Se α(x1) ∈ G−{e}, então o polinômio x1 ∈ F hXié uma identidade G-graduada

de A.

Vamos descrever dois resultados obtidos por Vasilovsky [1] e por Azevedo [2], respectivamente. Ambos descreveram uma base nita para as identidades polinomiais Zn-graduadas de Mn(F ), [1] quando F for um corpo de

carac-terística zero e [2] quando F for um corpo innito de caraccarac-terística qualquer. O resultado de Vasilovsky é:

Teorema: Seja F um corpo de característica 0. Todas as identidades polinomiais graduadas da álgebra Zn-graduada Mn(F )seguem de:

x1x2− x2x1 = 0, α(x1) = α(x2) = 0 (1)

e

x1xx2− x2xx1= 0, α(x1) = α(x2) = −α(x) (2)

O resultado de Azevedo é:

Teorema: Seja F um corpo innito. Todas as identidades polinomiais Zn-graduadas da álgebra Zn-graduada Mn(F )seguem de

x1x2− x2x1 = 0, α(x1) = α(x2) = 0

x1xx2− x2xx1 = 0, α(x1) = α(x2) = −α(x).

Referências:

[1 ] Vasilovsky, S.Yu. Zn-graded Polynomial Identities of the Full

Ma-trix of order n, Proceedings of the American Mathematical Society, 127(12)(1999), 3517-3524.

[2 ] Azevedo, S. S. Graded identities for the matrix algebra of order n over an innite eld. Communications in Algebra. 30(12), (2002), 5849-5860.

(36)

Identidades graduadas para a álgebra de

Lie de matrizes triangulares superiores de

ordem 3

Felipe Yukihide

1

Unicamp

Recentemente, tem-se estudado álgebras com identidades polinomiais nas últimas décadas devido à sua classe de objetos ser muito grande, facilitar o entendimento e linguagem de variedades algébricas e ser possível desenvolver uma bela teoria [1]. Um dos problemas da teoria é exibir uma base de identidades para uma dada álgebra, o que costumar ser um problema muito difícil.

Uma abordagem paralela do problema é considerar as identidades poli-nomiais se vermos a álgebra com alguma estrutura adicional. Relembramos que álgebras graduadas foram profundamente estudadas principalmente após os trabalhos de Kemer [2], fechando um difícil problema da teoria de álge-bras com identidades polinomais para característica zero, conhecido como problema de Specht, utilizando como auxílio álgebras Z2-graduadas.

Este presente trabalho concerne o estudo das identidades polinomiais graduadas para as graduações da álgebra das matrizes triangulares superi-ores de ordem 3, vista como álgebra de Lie. Todas as graduações sobre a álgebra das matrizes triangulares superiores, como álgebra de Lie, são con-hecidas [3]. Apresentarei uma base de identidades para as graduações ditas elementares. Citarei também as respectivas sequências de codimensão grad-uada, e destacarei uma relação entre algumas de suas graduações.

Referências:

[1 ] V. Drensky, Free algebras and PI-algebras, Springer Verlag (2000). [2 ] A. Kemer, Ideals of identities of associative algebras, American

Math-ematical Society (1991).

[3 ] P. Koshlukov, F. Yukihide, Group gradings on the Lie algebra of upper triangular matrices, Journal of Algebra 477 (2017).

(37)

Categorias monoidais estritas e esqueléticas

Gabriel Samuel de Andrade

UFSC

Toda categoria monoidal é equivalente a uma categoria monoidal estrita, o que pode ser usado para provar o Teorema de Coerência de Mac Lane. Além disso, toda categoria monoidal é equivalente a uma categoria monoidal esquelética. No entanto, nem toda categoria monoidal é equivalente a uma categoria monoidal que seja estrita e esquelética.

(Co)Ações Parciais de Álgebras de Hopf

Fracas em Coálgebras

Graziela Langone Fonseca

G. Quadros, em [2], introduziu as noções de (co)ações parciais de álgebras de Hopf fracas em álgebras. Considerando G um grupoide, A uma álgebra e kG a álgebra de grupoide, Quadros mostrou que existe uma equivalência entre as estruturas de A como um kG-módulo álgebra parcial e a ação parcial do grupoide G em A. Inspirado nessas ideias, esse trabalho tem o objetivo de apresentar as noções de (co)ações parciais de álgebras de Hopf fracas em coálgebras. Além disso, denimos a ação parcial de um grupoide G em uma coálgebra C, e estabelecemos uma correspondência entre as estruturas de C como um kG-módulo coálgebra parcial e a ação parcial de G em C.

(Trabalho orientado pelo Professor Antonio Paques (UFRGS)). Referências:

[1 ] S. Caenepeel and E. De Groot, Modules over weak entuining struc-tures, Contemporany Mathematics 267, 31-54 (2000).

[2 ] G. Quadros, Partial (co)actions of weak Hopf algebras: globalization, Galois theory and Morita theory. Tese de Doutorado (UFRGS) (2015).

(38)

Nichols algebras that are quantum planes

João Matheus Jury Giraldi

UFRGS

Recently, in [Prop. 4.8, 4.9][GGi], braided vector spaces (V, c) of dimen-sion 2 and non-diagonal type were found but such that the Nichols algebras are quantum planes. Consequently, the following question arises naturally: classify all the Nichols algebras (of rigid braided vector spaces) that are isomorphic to quantum linear spaces as algebras.

In this paper, we solve this question for quantum planes. More speci-cally, the classication of the solutions of the quantum YangBaxter equation had already been performed by J. Hietarinta when dim V = 2 [Hi]. Thus, we consider the associated braided vector spaces and compute the quadratic relations. Therefore, we classify all these Nichols algebras that have at least one quadratic relation. This is a joint work with N. Andruskiewitsch [AGi].

Referências:

[AGi ] N. Andruskiewitsch and J. M. J. Giraldi. Nichols algebras that are quantum planes, arXiv: 1702.02506.

[GGi ] G. A. García and J. M. J. Giraldi, On Hopf Algebras over quantum subgroups, arXiv: 1605.03995.

[Hi ] J. Hietarinta. Solving the two-dimensional constant quantum Yang-Baxter equation, J. Math. Phys. 34, (1993).

Graduações de Álgebra de Incidência

Jonathan Prass Souza

Introduziremos o conceito de Álgebra Graduada por um grupo G e o de graduação boa para uma Álgebra de Incidência I(X, F ), onde X é um conjunto parcialmente ordenado nito e F um corpo. No poster faremos a classicação das graduações de uma Álgebra de Incidência de um conjunto parcialmente ordenado nito.

(39)

Automorsmos multiplicativos e internos de

uma álgebra de incidência

Laís Spada da Fonseca

Um conjunto parcialmente ordenado, ou simplesmente poset, é um con-junto munido de uma relação de ordem parcial. Dados X um poset sat-isfazendo determinada condição e R um anel comutativo com unidade, a álgebra de incidência I(X, R) de X sobre R é denida como o conjunto I(X, R) = {f : X × X → R | f (x, y) = 0, se x y} munido das operações dadas por: • (f + g)(x, y) = f (x, y) + g(x, y) • (f.g)(x, y) = X x≤z≤y f (x, z)g(z, y), se x ≤ y e (f.g)(x, y) = 0, se x y • (r.f )(x, y) = rf (x, y),

para todos f, g ∈ I(X, R), r ∈ R e x, y, z ∈ X, e facilmente pode-se vericar que I(X, R) com essas operações realmente é uma R-álgebra. Assim, con-siderando Aut(I(X, R)) o grupo dos automorsmos da R-álgebra I(X, R) com a operação de composição, podem-se denir e estudar alguns subgrupos importantes desse grupo, como o subgrupo dos chamados automorsmos internos, os chamados automorsmos induzidos e os automorsmos multi-plicativos. Nosso objetivo é estudar as relações entre esses subgrupos e, mais especicamente, apresentar condições necessárias e sucientes que garantam que um automorsmo multiplicativo de uma álgebra de incidência é um au-tomorsmo interno.

Álgebras de Hopf de Dimensão Prima

Leonardo Duarte Silva

Neste pôster apresentamos o resultado provado em 1994 por Yongchang Zhu, mostrando que toda álgebra de Hopf H de dimensão nita prima p

(40)

sobre um corpo algebricamente fechado de característica zero k, é isomorfa a álgebra de grupo kCp, onde Cp é o grupo cíclico de ordem p.

Parametrizações de Newton-Puiseux

Marcelo Osnar Rodrigues de Abreu

Do ponto de vista topológico qualquer curva denida por uma série de potências convergente é equivalente a uma curva denida por um polinômio de Weierstrass. No século passado, Zariski e outros, caracterizaram o tipo topológico de uma curva plana em termos de certos expoentes que aparecem em uma parametrização da curva. Assim, é de grande utilidade determinar as raízes de um polinômio de Weierstrass, ou seja, uma parametrização da curva. Os resultados apresentados são válidos tanto para séries formais, onde não há a preocupação com as questões de convergência, quanto para séries convergentes. Desta forma, o foco será apresentar o anel de série de potências em duas variáveis com coecientes complexos no contexto formal, destacando a importância do Teorema de Preparação de Weierstrass e como as raízes dos polinômios de Weierstrass fornecem informações importantes sobre a equivalência topológica de curvas irredutíveis planas no contexto de séries convergentes.

Uma Introdução ás Identidades Funcionais

Mateus Eduardo Salomão

Universidade Tecnológica Federal do Paraná - Câmpus Pato Branco Dado um anel A, considere o seguinte problema:

Quais são as funções E, F : A −→ A tais que

E(x)y + F (y)x = 0, ∀ x, y ∈ A ? (3) Por um abuso de linguagem, para o momento, chamaremos a expressão (3) de identidade funcional (ou de maneira abreviada FI, do inglês functional identities). Observe que as funções E e F fazem o papel de incógnitas.

(41)

A teoria de FI estuda as funções que satisfazem certas identidades, como em (3).

Um exemplo simples de solução para (3) é E = F = 0, e essa solução independe do anel A. Conseguimos encontrar outras soluções atribuindo algumas características para A. Por exemplo, se A é um anel comutativo, então E = Id e F = −Id, onde Id é a função identidade de A, é uma solução para o problema. Já se A é um anel primo e não comutativo, é possível mostrar que a única solução da FI (3) é E = F = 0.

Precisamente, denimos uma identidade funcional em um subconjunto de um anel A a seguir:

Denição: Sejam X = {x1, y1, x2, y2, . . .}um conjunto enumerável e ZhXi

a Z-álgebra associativa livre, livremente gerada por X. Seja f = f (x1, . . . , xm, y1, . . . , yn) ∈ ZhXi,

onde m ≥ 1 e n ≥ 0, um polinômio tal que ao menos um de seus monômios de grau mais alto tem coeciente 1. Seja R um subconjunto não vazio de um anel A e considere funções Fi : Rm −→ A, i = 1, . . . , n. Dizemos que f

é uma identidade funcional (FI) em R com as funções F1, . . . , Fn se

f (r1, . . . , rm, F1(r1, . . . , rm), . . . , Fn(r1, . . . , rm)) = 0

para todos r1, . . . , rm ∈ R. Neste caso, dizemos ainda que as funções

F1, . . . , Fn são soluções desta identidade funcional.

Assim, a identidade do exemplo introdutório pode ser expressa pela FI f (x1) = y1x2+y2x1, com as funções F1(x1, x2) = E(x1)e F2(x1, x2) = F (x2)

como soluções. Outro exemplo de uma identidade funcional é o seguinte: suponha que F é uma função comutativa em A, isto é, [F (x), x] = 0, para todo x ∈ A, e isso é o mesmo que dizer que

f (x1, y1) = [y1, x1]

é uma FI em A com a própria função F como solução.

Para denir as próximas FI's, vamos antes introduzir algumas notações. Seja A um anel e m ∈ N. Para x1, . . . , xm ∈ A, escrevemos

xm= (x1, . . . , xm) ∈ Am.

Denimos A0 _{= {0}}_{. Além disso, para todo 1 ≤ i ≤ m, escrevemos}

xi_m = (x1, . . . , xi−1, xi+1, . . . , xm) ∈ Am−1

e para todos 1 ≤ i < j ≤ m

xij_m= xji_m= (x1, . . . , xi−1, xi+1, . . . , xj−1, xj+1, . . . , xm) ∈ Am−2.

Considere A um anel unitário e M um (A, A)-bimódulo unitário com centro Z(M). Vamos escrever apenas Z para o centro Z(A). Sejam I e J

(42)

subconjuntos nitos de N e m ∈ N tal que I ∪ J ⊆ {1, . . . , m}. Considere ainda funções arbitrárias Ei, Fj : Am−1 −→ M, onde i ∈ I e j ∈ J.

As FI's da forma X i∈I Ei(xim)xi+ X j∈J xjFj(xjm) = 0, ∀ xm ∈ Am (4) e também X i∈I Ei(xim)xi+ X j∈J xjFj(xjm) ∈ Z(M ), ∀ xm ∈ Am. (5)

podem ser completamente analisadas. Vamos descrever a seguir uma solução para estas identidades.

Suponha que existam funções

pij : Am−2 −→ M, i ∈ I, j ∈ J, i 6= j, e λk: Am−1 −→ Z(M ), k ∈ I ∪ J, tais que Ei(xim) = X j∈J, j6=i xjpij(xijm) + λi(xim), i ∈ I, Fj(xjm) = − X i∈I, i6=j pij(xijm)xi− λj(xjm), j ∈ J, λk= 0 se k /∈ I ∩ J. (6)

Então (6) é uma solução de (4) e consequentemente de (5). Essa solução é chamada de solução standard de (4) e de (5).

Para certas condições sobre anéis chamados de "fortemente d-livres", é possível mostrar que podemos escrever cada Ei e Fj (da solução standard)

de maneira única em termos das funções p's e λ's. Referências:

[1 ] M. Breˇsar, M.A. Chebotar, W. S. Martindale. Functional Identities. Birkhauser Verlag, Basel, (2007).

(43)

Partial coactions of Hopf algebras induced

by integrals

Rafael Cavalheiro

FURG

Let k be a eld and let G be a nite group. In [1] the authors describe an example of a partial Hopf action of (kG)∗_{on a subalgebra A of kG generated}

by a central idempotent τ ∈ kG. In fact, τ is an integral of a Hopf subalgebra of kG and this partial action is equivalent to a partial coaction of kG in A. In this work we generalize this construction and explore partial coactions of a Hopf algebra H that are induced by integrals of semisimple Hopf subalgebras of H.

Referências:

[1 ] M. M. S. Alves, E. Batista, Partial Hopf actions, partial invariants and a Morita context, Algebra and Discrete Mathematics, 3:119, 2009.

Extensões weak-Hopf-Ore R[x; σ, δ] com x

skew-primitivo fraco

Ricardo Leite dos Santos

Extensões de Ore consistem em polinômios sobre um anel R em uma variável x, que não necessariamente comuta com os elementos de R, isto é, satisfaz a relação xr = σ(r)x + δ(r), ∀r ∈ R, onde σ é um automorsmo e δ é uma σ-derivação de R. Um dos pontos importantes dessa teoria é construir Extensões de Ore de modo a fornecer novos exemplos/contra-exemplos com a mesma estrutura do anel base. Nesse trabalho estudamos tais Extensões para o caso em que o anel base é uma álgebra de Hopf fraca e x é um elemento skew-primitivo fraco. Nosso objetivo é estabelecer condições necessárias e sucientes para que R[x; σ, δ] seja uma álgebra de Hopf fraca. Esta pesquisa está sendo desenvolvida na minha tese de doutorado sob a orientação dos professores Alveri Alves Sant'Ana (UFRGS) e Christian Lomp (Faculdade de Ciências da Universidade do Porto-FCUP).

(44)

Propriedades de Goldie dos Skew anéis das

séries de potências parciais torcidas

Simone Ruiz

Neste trabalho estudamos ações parciais torcidas de Z sobre um anel R. Mais especicamente, trabalhamos com os Skew anéis das séries de potên-cia parpotên-ciais torcidas e os Skew anéis das séries de Laurent parpotên-ciais torci-das. Descrevemos propriedades importantes destes anéis, tais como primal-idade, semiprimalidade e ideais primos com o intuito principal de estudar propriedades de Goldie destes anéis.

Álgebras de Hopf trançadas e álgebras de

Nichols

Vanusa Moreira Dylewski

Barbara Seelig Pogorelsky

Neste trabalho introduziremos o conceito de álgebra de Nichols, que é uma noção fundamental no estudo contemporâneo das álgebras de Hopf. Para isto necessitaremos dos conceitos de espaço vetorial trançado e álgebra de Hopf trançada, que também serão abordados no trabalho.

Programação Geral e Resumos