Dinâmica de Fluidos Computacional

11

Dinâmica de

Fluidos

Computacional

• Computational Fluid Dynamics

• CFD

J. Carlos Teixeira Nelson Rodrigues 2016

22

Perspectiva histórica

* Desde cedo o homem tem procurado compreender os fenómenos ligados aos fluídos

# Arquimedes entre 287 e 212 AC realizou estudos que englobavam a área da hidrostática

33

Isaac Newton - Inglaterra (1643-1727)

* Uma das figuras mais importantes na ciência

* As suas contribuições para a mecânica dos fluídos englobam:

# A 2ª lei de Newton F=m x a

# Relação entre a velocidade das ondas numa superfície livre com o seu comprimento.

44

Século XVIII e XIX

* Período de trabalho significativo para tentar descrever matematicamente o movimento dos fluidos.

# Daniel Bernoulli (1700-1782) derivou a equação de Bernoulli

# LeonhardEuler (1707- 1783) propôs as equações de Euler que descrevem a conservação do momento para um fluido invíscido.

* Osborne Reynolds (1842-1912)

# Regimes de escoamento

* Claude Louis Marie Henry Navier (1785-1836) e George Gabriel Stokes (1819-1903) introduziram o transporte viscoso nas equações de Euler, resultando nas equações de Navier Stokes que são a base dos modelos CFD modernos.

55

Século XX

* Ludwig Prandtl (turbulência; comprimento de mistura) * von Kármann (turbulência)

* Nikuradse (rugosidade)

66

Anos 60 e 70

* Durante os anos 60 a divisão teórica de Los Alamos contribuiu com vários métodos numéricos que ainda estão em uso actualmente, tais como:

# Particle-In-Cell (PIC). # Marker-and-Cell (MAC)

# Vorticity-Streamfunction Methods # Arbitrary Lagrangian-Eulerian (ALE) # k-ε turbulence model

* Durante os anos 70 um grupo liderado por Dr. Brian Spalding no Imperial College de Londres desenvolveu:

# Parabolic flow codes (GENMIX). # Vorticity-Streamfunction based codes

# The SIMPLE algorithm and the TEACH code # The form of the k-e equations that are used today # Upwind differencing

77

Anos 80 e 90

* Antigamente, o CFD foi elaborado utilizando códigos académicos e caseiros. Sempre que alguém queria fazer um cálculo CFD tinha de escrever um programa.

* Foi durante este período que a maioria dos códigos CFD comerciais hoje disponíveis originou:

# Fluent (UK and US)

# Flow3D/CFX (UK and Canada)

# Fidap (US)

# Polyflow (Belgium)

# Phoenix (UK)

# Star CD (UK)

88

O que é?

* Computational Fluid Dynamics ou CFD é a análise de sistemas que englobam escoamento de fluidos, transferência de calor e massa, e fenómenos associados tais como reacções químicas através de simulação baseada em computação.

99

Importância

10

10

Importância

* Hidrodinâmica de navios.

11

11

Importância

* Turbo-maquinaria: escoamentos em rotores, difusores, etc.

* Engenharia electrónica e de eléctrica: arrefecimento de equipamento incluindo microcircuitos.

12

12

Importância

* Engenharia de processos químicos: chamas, mistura e separação, moldes de polímeros

* Ambientes externos e internos de edifícios: carga do vento, aquecimento e ventilação.

13

13

Importância

* Engenharia marítima: cargas em estruturas marítimas

14

14

Importância

* Engenharia biomédica: escoamento de sangue pelas artérias e veias; e do ar pelas vias respiratórias

15

15

Vantagens

* Baixo custo na fase de projecto

# Não é necessária a construção de modelos físicos

# O custo em relação ao anterior provém sobretudo da obtenção de poder computacional e das licenças

* Baixo custo na fase de projecto

# As simulações podem ser realizadas num espaço de tempo relativamente curto

# Facilidade de mudar a situação de teste

* Capacidade de estudar situações perigosas na vida real

16

16

Limitações

* Modelos computacionais

# O CFD só pode ser tão preciso quanto os modelos em que este é baseado

* Erros numéricos

# Erros por aproximação # Erros por truncatura

* Está dependente da precisão na definição do problema que muitas vezes é aproximado

17

17

Equações de conservação (eq Navier-Stokes)

Massa Momentum x, y, z Energia

 

0











u

t







   

x _x



_u

_x



_S

_x

x

p

u

u

t

u

_

_

_

















grad









   

y



y



y y

_u

_S

y

p

u

u

t

u























grad









   

i

u

p

  

u

k

T



S

_i

t

i

























grad









   

z _z



_u

_z



_S

_z

z

p

u

u

t

u

_

_

_

















grad









 

2 2 2 2 2 2 2 2 λ u y u z u x u z u x u y u z u y u x u μ Φ x y z x y x z y z                                                                                 

18

18

a 2 dimensões:

 

 

0













y

u

x

u

_x



y



x x y x x x x

S

x

P

dy

u

u

u

y

dx

u

u

u

x





















































_

_

_

_

y y y y y y x

S

y

P

dy

u

u

u

y

dx

u

u

u

x





















































_

_

_

_

0













y

u

x

u

_x y

19

19

Equações de conservação (Simplificações)

Escoamento invíscido (Euler)

Momentum xx

   

x x

S

x

x

p

u

u

t

u





















_

_

 



0









u

t







20

20

Equações de conservação (Simplificações)

creeping flow (Stokes) (Re<<1)

Momentum xx

ex: meios porosos, micro fluidos

 



0









u

t









grad







0









x x

S

u

x

p

_

21

21

Equações de conservação (Simplificações)

Aproximação de Boussinesq (cont)

se



não constante (g cte)

Tratar a parte variável apenas no termo de fonte (massa)





i i i

g

g

g



₀





₀

















0



g

i







0

g

i





T



T

0



22

22

Discretização das Equações

Porquê

23

23

Equações de conservação

Formulação diferencial Formulação integral Teorema de Gauss

    





u





S

_

t

















grad



 

_

_

_

_

























CV CV CV CV

dV

S

dV

dV

u

dV

t









grad













A CV

dA

dV

n

a

a

24

24

Equações de conservação

(significado) Em estado estacionário:





_





_





_



























CV A A CV

dV

S

dA

dA

u

dV

t



n



n

grad











_





_













CV A A

dV

S

dA

dA

u



_



n

grad

n



25

25

Volumes finitos; difusão

Formulação diferencial

Formulação integral

Aplicando o Teorema de Gauss:

    





u





S

_

t

















grad



 

_

_

_

_

























CV CV CV CV

dV

S

dV

dV

u

dV

t









grad







_





_





_



























CV A A CV

dV

S

dA

dA

u

dV

t



n



n

grad







26

26

Volumes finitos; difusão

Só difusão: a 1D:





grad







0







CV A

dV

S

dA

_



n

 

ˆ

ˆ







0





















i

dA

S

dV

x

i

A 



0











































S

dV

x

A

x

A

w e 





0























 

dA

S

dV

x

k A_k 



27

27

Volumes finitos; difusão

0











































S

dV

x

A

x

A

w e 





28

28

Volumes finitos; difusão





































PE P E e e e

x

A

x

A













































WP W P w w w

x

A

x

A









29

29

Volumes finitos; difusão

P P u

S

S

dV

S

_















0





































_{u P P} WP W P w w PE P E e e

S

S

x

A

x

A















u E e PE e W w WP w P P w WP w e PE e

_A

_S

x

A

x

S

A

x

A

x



_









 













 























_













Agrupando:

onde:

30

30

Volumes finitos; difusão

u E E W W P P

a

a

S

a













W a a _E a _P w WP w _A x   e PE e _A x   P P W a S a  

Exemplo:

31

31

Volumes finitos; difusão

K

W/m

1000

m

01

.

0

2 2





k

A

Linear

Expandindo em séries de Taylor

32

32

Interpolação



_e



P E e e















1







































PE P E e e e

x

A

x

A









P E P e e

x

x

x

x











 





...

2

1

₂ 2































x

x

x

x

x

_{e P E e} e P E e e













Up-wind

Expandindo em séries de Taylor

33

33

Interpolação

 

 













0

.

se

,

0

.

se

,

e E e P e

n

u

n

u















...

2

2 2 2













































x

x

x

x

x

x

e P P e P e









QUICK (quadratic upwind interpolation) Erro de 3ª ordem!!

34

34

Interpolação



D U





U UU



U e



g





g











₁





₂











x

_De

x

_UU



x

_De

x

UU_UU



x

x

x

x

g











1









x

_U e

x

_UUU



x

_DD

x

_UUe



x

x

x

x

g











2

Derivada temporal

35

35

Integração no tempo

 

_S

x

T

k

x

t

T

c

_p































 

 

 

 

  





























t Δt t Δt t t Δt t t p

dVdt

SdVdt

x

T

k

x

dVdt

t

T

c

CV CV CV



 





 

 

_





































































t Δt t t t t e w e w t t t p

dt

S

Vdt

x

T

kA

x

T

kA

dV

dt

t

T

c



 

_dt

_dV

_c

_

_T

_T

_

_V

t

T

c

_{p P P} e w t t t p























 







0

Onde calcular temperatura?

36

36

Integração no tempo







_



_





_

















































t Δt t t t t WP W P w PE P E e P P p

dt

S

Vdt

x

T

T

A

k

x

T

T

A

k

V

T

T

c







0







T

T



t

dt

T

_{P P} t t t P











  0

1





explicito

37

37

Integração no tempo





S

x

x

T

T

k

x

T

T

k

x

T

T

k

x

T

T

k

x

t

T

T

c

WP W P w PE P E e WP W P w PE P E e P P p































































































































0 0 0 0 0

1

0









S

x

x

T

T

k

x

T

T

k

x

t

T

T

c

WP W P w PE P E e P P p













































































0

1

0 0 0 0

x

k

t

x

c

_p









2



Crank-Nicholson Implícito

38

38

Integração no tempo

2

1





k

x

c

t

_p 2









1





Convecção-difusão (estacionário)

Exemplo (1D; s/ termo fonte)

39

39

Convecção





_





_













CV A A

dV

S

dA

dA

u



_



n

grad

n







u

















S







grad



















dx

d

dx

d

u

dx

d

_

_



 

0



dx

u

d



integrando

40

40

Convecção



 



w e w e

_dx

d

A

dx

d

A

uA

uA

_













































uA

 

_e





uA



_w



0

Fluxos nas faces

41

41

Convecção

dx

D

u

F





e







_{E P}



_w



_{P W}



e w w e e

F

D

D

F























 

_{e w}

 

_w e

u

F

u

F









w e e e

dx

D

dx

D











 













 



0





_w e

F

F

Interpolação nas faces (diferenças centrais) transporte

42

42

Convecção

2

2

P W w E P e





















dx

u

D

F









Pe

Interpolação nas faces (upwind) Fluxos faces

43

43

Convecção

W w P e









 ;



44

44

Solução exacta

Interpolação

1

1

Pe . Pe 0 0











e

e

L x L









45

45

Malhas (

vertex centered

vs cell centered)

a) i-1 i i+1 N 1 _j-1 j+1 N_x i-1 i i+1 1 1 j N_y (i,j) b)

46

46

Malhas (estrutura)

x y i j _x i-1 xi xi+1 x y y_j-1 y_j P nw ne sw se w e n s WW W E S SW SE y_j+1 EE NE N NW n_e

Sttagered/Colocated grid

47

47

Solução (forma)

= * QP _w _S _P _N _E A_PA_N A_S A_E A_W

 

 

 

 

                             P s S P s n P N n w W P w e P E e S P s P N n W P w P E e Q x x x x x y x y x v x v y u y u                         2 2 2 2       _{W W E E N N S S P} P P A A A A Q A    

48

48

Solução (procedimento): SIMPLE

* A pressão, (incógnita!) faz parte do termo de fonte.

A solução destas equações permite ter uma estimativa do campo de velocidades!

 

 

_y x S y p v uv t v S x p u uu t u         1 1 1 1           _                             y p A S v a v a x p A S u a u a y y l l l P P x x l l l P P          





                    y P P y p x P P x p s n w e

49

49

Solução (procedimento): SIMPLE

* A solução satisfaz a conservação da massa?

Necessidade de correcções para o campo de velocidades e pressão!

0









_{w w n n s s} e e

u

A

u

A

u

A

u

A









' p p p ' v v v ' u u u              



_e  _e'



 _w



_w  _w'



 _n



_n  _n'

 

 _s _s  _s'



0 e u u A u u A u u A u u A    

_

_

_









_{w w n n s s w w e e s s n n} e e

u

A

u

A

u

A

u

A

u

A

u

A

u

A

u

A

' ' ' ' y ' p a A v x ' p a A u P y ' P P x ' P       c P b P b P b P b P b_{P P}'  _{E E}'  _{W W}'  _{N N}'  _{S S}'  n P N Pn yn n e P E Pe xe e y P P a A v x P P a A u   ' ' ' ' ' '    

50

50

Solução (Algoritmo): SIMPLE

1 Iniciar campo de pressão (arbitrado), p*

2 Resolver as equações de Momentum e determinar, u*, v*

3 Resolver equação de correcção de pressão, p’

4 Corrigir pressão p**=p*+p’

5 Corrigir velocidades, u**=u*+u’

6 Calcular outras variáveis de interesse

51

51

Solução (procedimento): SIMPLE

* Actualização de variáveis. (factor de relaxação)

* Convergência da solução resíduos

* Solução no tempo ou estacionária

' ' ' p p p v v v u u u P u u            





N u u R N i gi i



   1 2

















                    _N i i N i gi i N i i N i i gi u u u N u N N u u R 1 1 2 1 1 2

52

52

FRONTEIRA (condições de)

* Paredes Dirichlet Neumann * Entradas/saídas fixar valor livre * Simetria b







' b

n





_





0







n



53

53

MALHA

* O CFD usa a subdivisão do domínio para efectuar

a discretização em Volumes Finitos

* Dá-se o nome de malha ao conjuntos de todas as

células que constituem o domínio.

* A resolução da malha está ligada à precisão do

cálculo.

* Esta deve ser tão pequena de forma a que,

idealmente, seja possível dizer que não há

54

54

MALHA

* Estruturadas Fácil de referenciar

Difícil de aplicar a geometrias “reais”

* Não estruturadas

Muito flexíveis em função da geometria Difícil de referenciar

* Axi-simétricas

55

55

56

56

MALHA

* Qualidade O que é? Importância da malha * Indicadores

CGI Celik IB et al (2008), “Procedure for Estimation and Reporting of Uncertainty Due to Discretization in CFD Applications” Journal of Fluids Engineering, 130(7)

Ortogonalidade; skewness (índices)

* Refinamentos locais * Compostas (por blocos)

57

57

TURBULÊNCIA

* Características

´

´

´

w

w

w

v

v

v

u

u

u

















T

u

dt

T

u

0 2 ___ 2

'

1

'

      _                                     ___ _____ _____ 2 ' ' ' ' ' u w z u z v u y u y u x u x g x p t u x

















58

58

TURBULÊNCIA

* Conceitos

Energia cinética turbulenta

Viscosidade turbulenta          ____2 ____ 2 ____ 2 ' ' ' 2 1 w v u k x u T _  





ij i j j i T j i k x u x u u u





3 2 ' ' ________               

59

59

TURBULÊNCIA (zero equações)

* Prandtl * Smagorinsky * Baldvin-Lomaz ky l dy du l T         2 ;



                     i j j i ij ij ij T x u x u S S S l 2 1 ; 2 ___ ___ ___ 2



                     i j j i i i i T x u x u l2 ______ ___ ;









60

60

TURBULÊNCIA (uma equação)

* Equação de transporte para k

k é uma escala de velocidade para os eddies de grande escala

* Kolomogorov-Prandtl L k C T 



 '

61

61

TURBULÊNCIA (duas equações)

* Distinção entre eddies (conceito de dissipação de energia)

* Equações de transporte * k-ε; k-ω; lowRe k- ε….. * Outros __ __________ ' ' j i j i x u x u     







_T C_ k2









k C x u k C C Dt Dk x u k C Dt Dk j i ij T j i ij T 2 5 4 3 2 ' '





















                 

62

62

TURBULÊNCIA (parede)

* Wall function

* Near wall treatment

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 0.00001 0.0001 0.001 0.01 0.1 1 y (m) u (m /s ) . sub camada zona intermedia perfil v Karman

63

63

2 FASES

* Euleriano-Euleriano

64

64

2 FASES

* Euleriano-Euleriano

Volume Of Fluid (VOF)

Fluido 1 Fluido 1 Fluido 2 Fluido 1 Fluido 2 Fluido 2 0       _ u t 0.09 0.22 0.00 0.00 0.96 1.00 0.64 0.68 1.00 1.00 1.00 1.00









2 1 2 1 1 1                

 

 

 

 

        interface de zona na , ponto um para 1 0 fluido2 de zona na , ponto um para 0 fluido1 de zona na , ponto um para 1 , t x t x t x t x   

65

65

2 FASES

* Euleriano-Lagrangeano fase dispersa; sprays

* eddy-particle interaction (Hewitt, 1980) particle motion

trajectória

turbulência; tempo de cálculo

x D D x D D D _{F u u g F} dt du         ) ( 24 Re 18 2 D D D D C d F     d_Du_D u  Re 2 3 2 1 Re Re a a a C_D  



_D



D _{u u} dt du  





 



 





t t



D D D t t u t u u t e u _{    }   1 D u dt dx  2 ' ' u u  _e 2T_L 0.3_k

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66

VALIDAÇÃO

* Soluções teóricas * Dados experimentais Próprios

Laufer (1954) – pipe flow Driven cavity

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