Cap 02 - Teoria da Probabilidades - Atualizado.v03

Cap´ıtulo

2

Teoria da Probabilidade

A teoria da probabilidade omo uma dis iplina mate-máti apodeedeveserdeselvolvidaaapartirdeaxiomas exatamentedamesmamaneiraqueageometriaea álge-bra. GrundbegriederWahrs heinli hkeitesre hnung -FundamentosdaTeoriadaProbabilidade,Andrey Ni-kolaevi hKolmogorov(1903-1987),1933.

2.1 Introdução

Faz-sene essárioteremmentequeaprobabilidadeéummodelomatemári o pararepresentarosfenmenosaleatório. SegundoCampello,

A probabilidade representa a aleatoriedade que existe em todos os fenmenos. É o on eito fundamental para a estatísti a; é a estrutura matemáti a fundamental para o estudo da estatísti a. É a maneira amis realista e práti a de se estudar os fenmenosfísi ose elaborare implemntarprojetosde engenharia [1℄.

Neste apítulo,é apresentado os prin ípios bási os matamáti os para uma ompreensãoaprofundadadateria,osprin ípiosbási osquepermitemumaboa ompreensãodos on eitosesuasapli ações. Comofa ilitador,osfundamentos apresentadossãoexempli adosatravésdeexemplossimples,tais omomoeda, dadosesistemas de omuni ação.

2.2 Elementos Bási os

Aestruturamatemáti aéestabele idapelousodeumatrípla

(Ω, A, P )

,em que:

• Ω

éum onjuntoquetem omoelementos osresultadosdoexperimento;

• P

éumamedida(funçãoreal)quetem omoargumentososelementosde

A

.

2.2.1 Experimento Aleatório

Um experimento aleatório é um experimento no qual o resultadovaria de formaimprevisívelquandooexperimentoérepetido sobasmesmas ondições. Um experimento aleatório é espe i ado pela implementação de um pro edi-mentoexperimentaleum onjuntodeumaoumaismedidasdeobservações.

Exemplo2.2

•

E

1

: Sele ione umaboladeumaurna ontendo bolasnumeradasde

1

a

50

. Anoteo númerodabola.

•

E

2

:Lan eumamoedatrêsvezes. Anoteonúmerode aras.

•

E

3

: Transmitaumblo odeinformaçãoatravésdeum analruidoso,repetidamente, atéqueumblo olivredeerros hegue aore eptor. Conteonúmerodetransmissões requeridas.

•

E

4

:Es olhaumnúmerorealaoa asoentrezeroeum.

⋄

2.2.2 Espaço Amostral

Comoemexperimentosaleatóriososresultadossãoimprevisíveis,é ne essá-riodeterminaro onjunto depossíveisresultados.

Deni-seresultadooupontoamostraousimplesmenteamostradeum expe-rimento aleatório omo umresultadoque não pode serde ompostoem outros resultados,emoutraspalavras,oespaçoamostral,denotadopor

Ω

,éo onjunto detodospossíveisresultadosdeumexperimento. . Quandorealizamosum ex-perimento aleatórioum,esomente um,resultadoo orre. Assim,os resultados sãomutuamente ex lusivos nosentidodequeeles não podem o orrer simulta-neamente. Oespaço amostral

Ω

deum experimentoaleatórioédenido omo o onjuntode todosos resultadospossíveis. Denotaremosum resultadodeum experimentopor

ω

. Assim,

ω

éumelementode

Ω

.

Exemplo2.3Porexemplo,seumexperimento onsistenolançamentodeduas moedas,os possíveisresultadossão arae oroa. Resultadosmuitoinverossímeis, omoamoeda airem pé,ouserlevadaporumapassarinho,et ,nãosãolevadosem onta.Oespaçoamostralseria então:

Ω = {ω

1

, ω

2

} = {

CARA

,

COROA

}.

Outroexemplo,seriaolançamentodeumaumadado. Oespaçoamostralseria,neste aso:

Ω = {ω

1

, ω

2

, ω

3

, ω

4

, ω

5

, ω

6

} = {1, 2, 3, 4, 5, 6},

que orrespondeàsseisfa esdodado.

⋄

Exemplo2.4Espaçosamostraisrela ionados omosexperimentosE

1

,E

2

,E

3

eE

4

.

•

E

1

:

Ω

1

= {1, 2, 3, . . . , 50}

.

•

E

2

:

Ω

2

= {1, 2, 3, 4}

.

•

E

3

:

Ω

3

= {1, 2, 3, . . .}

.

•

E

4

:

Ω

4

= {x ∈ R : 0 ≤ x ≤ 1} = [0, 1]

.

⋄

Umespaçoamostralpodesernito,innitamente ontávelouinnitamente in ontável. Chama-se

Ω

deespaçoamostraldis retose

Ω

for ontávele hama-se

Ω

deespaçoamostral ontínuo,se

Ω

nãofor ontável. Nosexemplos,

Ω

1

,

Ω

2

e

Ω

3

sãodis retose

Ω

4

é ontínuo.

2.2.3 Álgebra de Eventos

A álgebradeeventos, denotada por

A

, é um onjunto ujos elementos são sub onjuntos doespaçoamostral. Esseselementos são hamadoseventos. Por exemplo,no asodolançamentodeumdado,pode-seestarinteressadonãoem adaumdos6(seis)possíveisresultados,massim,por exemplo,emsaberseo resultadofoiumnúmeroparouumnúmeroímpar. Dessaforma,seoresultado for

2

,

4

ou

6

, pode-sedizerque o orreu oevento umnúmero par. O evento um número par é um elemento de outro onjunto, hamado de álgebra de eventos,assim, éoeventoumnúmeropar,porsuavez,éum onjunto, ujos elementossãoelementosdoespaçoamostral. Logo,oevento umnúmeropar éumsub onjuntodoespaçoamostral,denotadopor

{ω

2

, ω

4

, ω

6

}

esigni aque se oresultado doexperimento (lançamento de um dado) for onúmero

2

ouo número

4

ouonúmero

6

,entãoteráo orridooeventoumnúmeropar.

Exemplo 2.5 Seseestáinteressado no evento número

1

, esteeventoserá denotado por

{ω

1

}

,quetambémseráummembrodaalgebradeeventos. Emnotaçãomatemáti a:

• {ω

1

} ∈ Ω

,istoé,

{ω

1

}

éumelementodoespaçoamostral(eportantoumresultadodo experimento);

• {ω

1

} ∈ A

,istoé,

{ω

1

}

éumelementodaálgebradeeventos;

• {ω

1

} ∈ Ω

,istoé,

{ω

1

}

éumsub onjuntodoespaçoamostral.

⋄

Exemplo2.6Exemplosdeeventosrela ionados omosexperimentosE

1

,E

2

,E

3

eE

4

.

•

E

1

:Umnúmeroparésele ionado -

A

1

= {2, 4, 6, . . . , 50}

.

•

E

2

:Onúmerode araséigualao-

A

2

= ∅

.

•

E

3

:Onúmeroquedeztransmissõessãorequeridas -

A

3

= {1, 2, 3, . . . , 10}

.

•

E

4

:onúmerosele ionadoénãonegativo-

A

4

= Ω

4

.

⋄

Uma visualização grá a desses on eitos pode ser obtida pelo hamado diagramadeVenn

1

AFigura2.1ilustradiversassituações.

Comrespeitoaoprimeirodiagrama,espaçoamostral

Ω

1

,omesmoédenido por todosos pontosperten entes aoretângulo. Ospontosqueestão dentrodo ír ulo denemo onjunto

A

, queéportanto representadoporum ír ulo,ver Figura2.1. Ospontosforado ír uloperten emao onjunto  omplementode

A

,denotadopor

A

C

. Éevidentequeumelementodoespaçoamostralsópode perten eraumdosdois onjuntos,

A

,

A

C

,istoé,

A ∩ A

C

_{= ∅}

. 1

JohnVennnas euem4deagostode1834,emHull,naInglaterraemorreuem4deabril de1923,emCabridge,tambémInglaterra.

Ω

1

A

Ω

2

A

A ∩ B

B

Figura2.1: Exemplosdeespaçoamostraleeventos (DiagramadeVenn).

Comrespeitoaosegundodiagrama,espaçoamostral

Ω

2

,seoevento

A

sig-ni aindivíduoéhipertenso e

B

éoeventoindivíduoédiabéti o,aálgebra deeventosneste asoseria:

1. nenhumindivíduo,

∅

; 2. todosindivíduo,

Ω

; 3. todososhipertensos,

A

; 4. todosdiabéti os,

B

; 5. todososnãohipertensos,

A

C

; 6. todososnãodiabéti os,

B

C

;

7. todososhipertensosoudiabéti os,

A ∪ B

; 8. todososhipertensosediabéti os,

A ∩ B

; 9. todososnãohipertensosoudiabéti os,

A

C

_{∪ B}

; 10. todososhipertensosounão diabéti os,

A ∪ B

C

; 11. todososnãohipertensosediabéti os,

A

C

_{∩ B}

; 12. todososhipertensosenão diabéti os,

A ∩ B

C

; 13. todososnãohipertensosounãodiabéti os,

A

C

_{∪ B}

C

; 14. todososnãohipertensosenãodiabéti os,

A

C

_{∩ B}

C

;

15. todososhipertensosenãodiabéti osoutodosnãohipertensosediabéti os,

(A ∩ B

C

_{) ∪ (A}

C

_{∩ B)}

;

16. todososnãohipertensosenãodiabéti osoutodoshipertensosediabéti os,

(A

C

_{∩ B}

C

_{) ∪ (A ∩ B)}

;

O onjunto15 daálgebraéoresultadode umaoperação hamadade dife-rençasimétri aentre

A

e

B

denotadopor

A △ B

.

2.2.4 Medida de Probabilidade

Para adaelemento

A

daálgebra,istoé,para adaevento,existeumnúmero

P (A)

, hamado aprobabilidade de

A

, que énão negativo. Istoé,

P (A) ≥ 0

. Ou seja, Probabilidades são números asso iados a eventos que indi am quão provável é a o orrên ia de um evento quando um experimento é realizado. Este númeromedeograude ertezadao orrên iadoevento

A

.

Exemplo2.7Se

P (A) = 0

,entãooevento

A

o orre omumde ertezazero,istoé,napráti a onsidera-sequeelenãoo orre. Se

P (A) = 1

,istosigni aqueoevento

A

o orre omgrau de ertezaum,querdizer,napráti a onsidera-sequeeleo orre.

⋄

Axiomas de Probabilidade

Seja

E

umexperimento aleatório omespaçoamostral

Ω

. Umalei de pro-babilidade para o experimento

E

é uma regra que asso ia a ada evento

A

(Álgebradeevento)umnúmero

P (A)

, hamadodeprobabilidadede

A

, satisfa-zeros seguintesaxiomas:

Axioma 2.1 Todofenmenoaleatórioérepresentadoporumatripla

(Ω, A, P )

, em que

Ω

éa espaço amostral,

A

éumaálgebrade eventodos sub onjuntosde

Ω

e

P

éumamedida.

Axioma 2.2

∀A ∈ A

,

∃P (A) ≥ 0

.

Axioma 2.3

P (Ω) = 1

.

Axioma 2.4 Se

A

e

B

são disjuntos, isto é,se

A ∩ B = ∅

, então

P (A ∪ B) =

P (A) + P (B)

.

Con lui-se também, do axioma, que a aditividade é válida para qualquer númerode eventos. Assimse

A

1

, A

2

, A

3

, . . . , A

n

sãoeventos taisque adaum delesédisjuntos(mutuamenteex ludentes)parapardetodosos outros(

∀i 6=

j, A

i

∩ A

j

= ∅

),então:

P (A

1

∪ A

2

∪ A

3

∪ . . . A

n

) = P (A

1

) + P (A

2

) + P (A

3

) . . . P (A

n

).

Defatoestarelaçãoégeneralizadaeé onsideradaválidamesmoquando

n → ∞

. Assim,oaxiomateriaaforma:

∀A

i

, A

j

∈ A,

tal que

∀i 6= j, A

i

∩ A

j

= ∅

=⇒ P

∞

[

k=0

A

k

!

=

∞

X

k=0

P (A

k

) .

Demonstração:Usandoamétododeindução,suponhaqueoresultadoéválidopara

n ≥ 2

. De fato é verdadeiro para

n = 2

, se

A

e

B

são disjuntos, isto é, se

A ∩ B = ∅

, então

P (A ∪ B) = P (A) + P (B)

.Logo,para

n

eventos,

P

n

[

k=0

A

k

!

=

n

X

k=0

P (A

k

) .

(2.1)

Para

n + 1

,tem-se

P

n+1

[

k=0

A

k

!

= P

(

_n

[

k=0

A

k

)

[

A

n+1

!

= P

n

[

k=0

A

k

!

+ P (A

n+1

) ,

(2.2) pois,

S

n

k=0

A

k

e

A

n+1

sãomutualmenteex ludentes. Usandoapropriedadeda distributivi-dade:

(

_n

[

k=0

A

k

)

\

A

n+1

=

(

_n

[

k=0

A

k

\

A

n+1

)

=

n

[

k=0

∅ = ∅.

Logo,dasequações2.1e 2.3,tem-se:

P

n+1

[

k=0

A

k

!

=

n

X

k=0

P (A

k

) + P (A

n+1

)

=

n+1

X

k=0

P (A

k

) .

(2.3)

•

Resultado ImediatosdosAxiomas

Comousodededuçãológi a,apartirdosaxiomas,os seguintes resultados sãoobtidos:

Corolário 2.1

∀A ∈ A

,

P (A

C

_{) = 1 − P (A)}

.

Demonstração:Umavezqueoevento

A

eseu omplementosãomutuamenteex ludentes,ou seja,

∀A ∈ A

,

A∩A

C

_{= ∅}

eportanto,peloAxioma2.4,

P (A∪A

C

_{) = P (A)+P (A}

C

₎

.Contudo,

A ∪ A

C

_{= Ω}

. Pelo Axioma2.3,

P (Ω) = 1

,logo

P (A ∪ A

C

_{) = P (Ω) = 1 = P (A) + P (A}

C

₎

. Portanto,

P (A

C

_{) = 1 − P (A)}

.

•

Corolário 2.2

∀A ∈ A

,

P (A) ≤ 1

, ouseja, aprobabilidade dequalquer evento ésempreumnúmeromenor ouiguala

1

.

Demonstração:Sabe-seque,

∀A ∈ A

,

A∩A

C

_{= ∅}

eportanto,peloAxioma2.4,

P (A∪A

C

_{) =}

P (A)+P (A

C

₎

.Contudo,

A∪A

C

_{= Ω}

.PeloAxioma2.3,

P (Ω) = 1

,logo

P (A∪A

C

_{) = P (Ω) =}

1 = P (A) + P (A

C

₎

. Pelo Axioma2.2,

∀A ∈ A

, eistoin luir

A

C

,

∃P (A) ≥ 0

. Portanto

P (A

C

_{) ≥ 0}

eentão

P (A) ≤ 1

.

•

Corolário 2.3

P (∅) = 0

, isto é, a probabilidade do onjunto vazio (evento impossível)ézero.

Demonstração: Segundo a mesmalinhadera io ínio da demonstraçãodo Corolário 2.2, tem-se:

A = Ω

,logo

A

C

_{= ∅}

,assim

Ω ∩ ∅ = ∅

e

Ω ∪ ∅ = Ω = Ω

. Portanto,

P (Ω) = 1 =

P (∅) + P (Ω) = P (∅) + 1

epor onseguinte

P (∅) = 0

.

•

Corolário 2.4

∀A ⊂ B

,

P (A) ≤ P (A)

, istoé, se um onjuntoestá ontido no outro(quer dizer,a o orrên ia do primeiroimpli ana o orrên ia do segundo),

Ω

1

B

A

A ∩ B

Ω

2

A

B

A ∩ B

A ∩ B

C

A

C

∩

_B

(a) (b)

Figura2.2: (a)Doiseventos

A

e

B

noespaçoamostral

Ω

,tais que

A ⊂ B

;(b) Probabilidadede

A ∪ B

.

Demonstração:Se

∀A ⊂ B

entãopode-sees rever:

B = A ∪ (A

C

_{∩ B)}

eé laroqueosdois onjuntosdestauniãodestauniãosãodisjuntos,istoé,

A ∩ (A

C

_{∩ B) = ∅}

,verFigura2.2(a). Logo,peloAxioma2.4,

P (B) = P (A) + P (A

C

_{∩ B)}

PeloAxioma2.2,

P (A

C

_{∩ B) ≥}

eentão

P (B) ≥ P (A)

.

•

Corolário 2.5

P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B)

.

Demonstração:Parti ionandoauniãodoseventos

A

e

B

,verFigura2.2(b),pode-se es re-ver:

A ∪ B = (A ∩ B

C

_{) ∪ (A ∩ B) ∪ (A}

C

_{∩ B)}

. Narelaçãoquesequer demonstrarapare e expli itamente

P (A)

e

P (B)

;háque sebus arentão parti ipação daunião nasquaisessas probabilidades apare emdeformaexplí ita. Essaspartiçõessão:

A ∪ B = A ∪ (A

C

_{∩ B)}

e

A ∪ B = (A ∩ B

C

_{) ∪ B}

. Então,pode-sees rever:

P (A ∪ B) = P (A

C

∩ B) + P (A ∩ B) + P (A ∩ B

C

_);

P (A ∪ B) = P (A) + P (A

C

∩ B);

P (A ∪ B) = P (B) + P (A ∩ B

C

).

Daprimeiraigualdade,obtém-se:

P (A

C

∩ B) + P (A ∩ B

C

) = P (A ∪ B) − P (A ∩ B);

esomando-seasduasúltimas:

2P (A ∪ B) = P (A) + P (B) + P (A

C

∩ B) + P (A ∩ B

C

);

ouseja,

2P (A ∪ B) = P (A) + P (B) + P (A ∪ B) − P (A ∩ B);

∴

P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B).

•

Corolário 2.6

∀A, B ∈ Ω

,

P (A ∪ B) ≤ P (A) + P (B)

.

Demonstração: Esteresultadosegue-seimediatamente doresultadodoCorolário2.5edo

2.3 Espaços amostrais dis retos

Suponhaque o espaçoamostral

Ω

sejanito, isto é

Ω = {ω

1

, ω

2

, . . . , ω

n

}

. Logo, todos os eventos elementares

ω

são mutuamente ex lusivos. Assim, a probabilidade de qualquer evento

B = {ω

′

1

; ω

′

2

, . . . , ω

′

k

}

é dada por

P (B) =

P ({ω

′

1

, ω

′

2

, . . . , ω

′

k

}) = P ({ω

′

1

}) + P ({ω

′

2

}) + . . . + P ({ω

′

k

})

.

Seos resultadosdoespaçoamostral

Ω

sãoigualmente prováveis,daforma:

P ({ω

1

}) = P ({ω

2

}) = . . . = P ({ω

n

}) =

1

n

.

entãoaprobabilidadedeumeventoéigualaonúmeroderesultadosdoevento divididopelo númerototalderesultadosdoespaçoamostral,daforma:

P (B) = P ({ω

′

1

}) + P ({ω

′

2

}) + . . . + P ({ω

′

k

}) =

k

n

Exemplo 2.8Umaurna ontém

10

bolasidênti as numeradasde

0

à

9

. Umexperimento aleatórioérealizado atravésda seleçãodeumabolada urnae, em seguida, doregistro do númerodabolasorteada. Cal uleaprobabilidadedosseguinteseventos:

•

a.

A =

númerodebolassele ionadaéímpar;

•

b.

B =

númerodebolassele ionadaémúltiplode

3

;

•

.

C =

númerodebolassele ionadaémenorque

5

;

•

d.

A ∪ B

;

•

e.

A ∪ B ∪ C

. Solução:Tem-se:

•

a.

A = {1, 3, 5, 7, 9} ⇒ P (A) = 5/10 = 0, 5

;

•

b.

B = {3, 6, 9} ⇒ P (B) = 3/10 = 0, 3

;

•

.

C = {0, 1, 2, 3, 4} ⇒ P (A) = 5/10 = 0, 5

;

•

d.

A ∪ B = {1, 3, 5, 6, 7, 9}

;

•

e.

A ∪ B ∪ C = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9}

.

⋄

2.4 Espaços amostrais ontínuos

Espaçosamostrais ontínuosos eventos deinteresse onsistemdeintervalos da retareal oude regiões retangulares noplano e de omplementos, uniões e interseçõesdesses eventos. Por esta razão, leis de probabilidade

2

em experi-mentos om espaçosamostrais ontínuos espe i am uma regrapara asso iar númerosaintervalosdaretarealeregiõesretangularesnoplano.

Exemplo2.9Considereoseguinteexemplo:Tomeumnúmero

x

aoa asoentrezeroeum. Oespaço amostral

Ω

para esse experimento éo intervalo

[0; 1]

, que nãoé ontável,mas é

nito.

⋄

2

Aprobabilidadedeumresultado airemumsubintervalode

Ω

éigualao omprimento dosubintervalo,ouseja,

P (A = {[a; b]}) = (b − a)

,

0 ≤ a ≤ b ≤ 1

,emque

P (A = {[a; b]})

é aprobabilidadedoevento orresponderaointervalo

[a; b]

.

Exemplo2.10Considereoseguinteexemplo:Tomeumnúmero

x

aoa asoentrezeroeum. Qualéaprobabilidadedoevento

A =

oresultadoestápelomenos

0, 3

dedistân iado entro dointervalounitário? Solução:

P (A) = P ({[0; 0, 2]}) + P ({[0, 8; 1, 0]}) = 0, 2 + 0, 2 = 0, 4

,

verFigura2.3.

⋄

0

1

0, 2

0, 8

0, 5

0, 3

0, 3

Figura2.3: IlustraçãodoexperimentoTomeumnúmero

x

aoa asoentrezero eum.

2.5 Probabilidade Condi ional

O interesse aqui é o de se estudar omo a o orrên ia de um evento pode inuen iaraprobabilidadedeo orrên iadeoutroevento.

Uma questão fundamental é a seguinte: Admita-se que se onhe e a pro-babilidade

P (A)

deo orrên ia do evento

A

. Sabe-se também que oevento

B

o orreu. Seráqueesteúltimodadovaialteraraprobabilidadede

A

? Em prin i-pio,sehouveralgumnexo ausalde

B

para

A

,arespostaaestaúltimaquestão ésim.

Denição 2.1 Sejaaprobabilidade ondi ional

P (A|B)

, doevento

A

dadoque oevento

B

tenhao orrido. Logo,

P (A|B) =

P (A ∩ B)

P (B)

,

se

P (B) > 0.

(2.4)

O onhe imentodao orrên iadoevento

B

impli aqueoresultadodo expe-rimentoestáno onjunto

B

. Portanto,para al ular

P (A|B)

,pode-se onsiderar queoexperimentopossuiumespaçoamostralreduzido,

B

. Oevento

A

o orrerá neste espaçoamostralreduzidose,esomentese,oresultadoestiverem

A ∩ B

. Esteresultadopodeserestendidoparao asodemaisdedoiseventos. An-tes de sefazer esta extensão, é será apresentadoalguns aspe tosda noção de probabilidade ondi ional.

Considerações sobrea Noção de Probabilidade Condi ional Sabe-se que,

∀B ∈ A

,

A

éuma álgebra deevento,

0 ≤ P (B) ≤ 1

eportanto, peladenição deprobabilidade ondi ionaldadapela equação2.4,que:

P (A|B) ≥ P (A ∩ B),

ouseja,aprobabilidade ondi ionaldo evento

A

dadoqueoevento

B

o orreu ésemprepelo menostãograndequantoaprobabilidade onjunta de

A

e

B

.

Podem o orrertrêssituaçõesquantoàrelaçãoentre probabilidadenão on-di ionaiseprobabilidades ondi ionais.

i. Eventos MutuamenteEx lusivos: Suponha-seque

A

e

B

são mutua-mente ex lusivos eque

P (B) > 0

. Sabe-seentãoqueao orrên ia deum impli a nanão o orrên iadooutro. Ouseja,

A ∩ B = ∅

eentão

P (A|B) =

P (A ∩ B)

P (B)

=

0

P (B)

= 0,

se

P (B) > 0.

É evidenteque,nesse aso,

P (A|B) ≤ P (A).

ii. OEventoCondi ionanteContémoOutroEvento: Suponha-seque

A ⊂ B

eque

P (B) > 0

. Diz-seentãoqueoevento

A

impli anoeventoB. Tem-seportanto

A ∩ B = A

eentão,

P (A|B) =

P (A ∩ B)

P (B)

=

P (A)

P (B)

,

se

P (B) > 0,

ouseja,

P (A) = P (B)P (A|B)

,e omo

P (A|B) ≤ 1

,segue-seque:

P (A|B) ≥ P (A)

.

iii. OEventoCondi ionanteEstáContidonoOutroEvento: Suponha-seagoraque

B ⊂ A

eque

P (B) > 0

. Diz-seentãoqueoevento

B

impli a noevento

A

. Tem-seportanto

A ∩ B = B

eentão,

P (A|B) =

P (A ∩ B)

P (B)

=

P (B)

P (B)

= 1,

se

P (B) > 0,

eéevidente quenesse aso:

P (A|B) ≥ P (A)

.

Exemplo2.11Umbolaésele ionadaapartir deumaurnaque ontémduasbolaspretas, numeradas(1e2) eduas bolasbran as,tambémnumeradas(3e4). Onúmeroea orda bolasãoequiprováveis, al ule

P (A|B)

ee

P (A|C)

,talque:

•

(a)

bolapretasele ionada-

A = {(1, preta); (2, preta)}

;

•

(b)

bolaparsele ionada-

B = {(2, preta); (4, branca)}

;

•

( )

númerodabola

> 2

-

C = {(3, branca); (4, branca)}

.

Solução:Umavezque

P (A ∩ B) = P ({2, preta})

e

P (A ∩ C) = P (∅) = 0

,tem-se:

•

(i)

P (A|B) =

P (A ∩ B)

P (B)

=

0, 25

0, 5

;

•

(ii)

P (A|C) =

P (A ∩ C)

P (C)

=

0

0, 5

= 0

.

⋄

Exemplo2.12Umaurna ontémduasbolaspretasetrêsbolasbran as.Duasbolassão sele- ionadasaoa aso,semreposição,easequên iadasbolaséanotada.En ontreaprobabilidade deasbolassele ionadasserempretas. Solução: Considereoseventos

•

(i)

aprimeirabolaépreta -

A

1

;

•

(ii)

asegundabolaépreta-

A

2

.

Deseja-sequeduasbolassele ionadassejampretas,ouseja,

P (A

2

∩ A

1

)

,assim:

P (A

2

∩ A

1

) = P (A

2

|A

1

)P (A

1

),

ontudo,

P (A

1

) = 2/5

e

P (A

2

|A

1

) = 1/4

,logo,

P (A

2

∩ A

1

) =

1

4

×

2

5

=

1

10

.

⋄

2.5.1 Teorema (Probabilidade total)

Sejam

A

1

, A

2

, . . .

eventosmutuamenteex lusivosnoespaçoamostral

Ω

. Tais eventossãodenominadosumapartiçãodoespaçoamostral

Ω

,verFigura2.4.

Ω

A

1

A

2

A

3

A

4

A

5

A

j

A

i

· · ·

· · ·

Figura2.4: Espaçoamostral

Ω

,subdivididoememinnitoseventosmutuamente ex ludentes,asaber,

A

1

, A

2

, A

3

, . . . .

Qualquer

i

-ésimo evento

B ∈ Ω

pode serrepresentado omo aunião de

n

eventosmutuamenteex lusivosdaforma:

B = B ∩ Ω

= B ∩ (A

1

∪ A

2

∪ A

3

∪ . . . ∪ A

n

)

= (B ∩ A

1

) ∪ (B ∩ A

2

) ∪ (B ∩ A

3

) ∪ . . . ∪ (B ∩ A

n

)

PelageneralizaçãodoAxioma2.4,

P (B) = P (B ∩ A

1

) + P (B ∩ A

2

) + P (B ∩ A

3

) + . . . + P (B ∩ A

n

)

= P (B|A

1

)P (A

1

) + P (B|A

2

)P (A

2

) + · · · + P (B|A

n

)P (A

n

)

=

n

X

i=1

2.5.2 Teorema de Bayes

Sejam

A

1

, A

2

, . . .

partiçãodeumespaçoamostral

Ω

. Suponhaqueoevento

B

o orra,qualéaprobabilidadedeoevento

A

j

o orrer? Peladeni aodeprobabilidade ondi ionaltem-se:

P (A

j

|A) =

P (B ∩ A

j

)

P (B)

=

P

n

P (B|A

j

)P (A

j

)

i=1

P (B|A

i

)P (A

i

)

Exemplo2.13SistemadeComuni açãoBinário

Sejaumsistemade omuni açãobináriasimétri omodelado omilustradonaFigura?? .

CanalBinário Pertubado Símbolo de Entrada Símbolo de Saída

A

B

A

B

0

0

1

1

ε

ε

(1 − ε)

(1 − ε)

Figura2.5: Canal Bináriode omuni ação.

Tantoosímbolodeentradado anal,

A

, omoodesaída,

B

,podemassumirdoisvalores possíveis:

0

e

1

.Constrói-seo analnaesperançadequequandoumsímbolo

0

fortransmitido, osímbolo

0

sejaore ebido;omesmodevea onte er omosímbolo

1

.Aspertubaçõesno anal, entretanto podem onverterumsímbolotransmitido

0

numsímbolore ebido

1

,eumsímbolo transmitido

1

numsímbolore ebido

0

.Estasreversõesdesímboloo orrem omprobabilidade

ε

parao analsimétri o(seessaspertubaçõesfossemdiferentes,

ε

1

e

ε

2

respe tivamente,o analserianãosimétri o,verListadeExer í ios,Exer í io). Logo,para

i = 0, 1

, onsidere:

• A

i

-Eventoaentradavale

i

;

• A

i

-Eventoade isãodore eptorfor

i

; sabe-seque

P (A

0

= 0) = 1 − p

e

P (A

1

= 1) = p

.

a. Cal ulepasprobabilidade

P (A

i

∩ B

j

)

,para

i, j = 0, 1

.Solução: Sabe-se: 

P (A

0

∩ B

0

) = P (B

0

|A

0

)P (A

0

) = (1 − ε)(1 − p)

;



P (A

0

∩ B

1

) = P (B

1

|A

0

)P (A

0

) = ε(1 − p)

; 

P (A

1

∩ B

0

) = P (B

0

|A

1

)P (A

1

) = ε · p

; 

P (A

1

∩ B

1

) = P (B

1

|A

1

)P (A

1

) = (1 − ε)p

.

b. Cal uleagoraqualentradaémaisprováveldetero orridodadoqueore eptorde idiu por

1

 omosuasaída. Assumaque,apriori,queaentradaéequiprovável,

p = 1/2

. Solução:Deseja-se al ularasprobabilidades

P (A

0

|B

1

)

e

P (A

1

|B

1

)

,dessaforma, de-nirqualentradaémaisprovável asoore eptorde ida omo1nasaída. Assim,dena o evento

B

1

omo

ade isãodo re eptorfoi1,logo, doteorema daProbabilidade Total:

P (B

1

) = P (B

1

|A

0

)P (A

0

) + P (B

1

|A

1

)P (A

1

)

= ε ·

1

2

+ (1 − ε) ·

1

2

=

1

2

.



P (A

0

|B

1

) =

P (B

1

|A

0

)P (A

0

)

P (B

1

)

=

ε/2

1/2

= ε

; 

P (A

1

|B

1

) =

P (B

1

|A

1

)P (A

1

)

P (B

1

)

=

(1−ε)·1/2

1/2

= 1 − ε

.

⋄

2.6 Eventos independentes

Paraumaabordagemasituaçõesmais omplexas,eportantomaisrealistas, é onveniente onsiderar-senãoapenasumsimplesexperimento,masdenir-se umexperimento omosendo ompostoprováriossub-experimentos.

Considere ini ialmente um experimento ombinado que ontém dois sub-experimentos

E

1

e

E

2

. Diz-se que os experimentos

E

1

e

E

2

são experimentos estatisti amente independentes se e somente se

P (A ∩ B) = P (A)P (B)

para qualquerpardeeventos

A

e

B

taisque

A ∈ E

1

e

B ∈ E

2

,ouseja,seesomente setodoevento quediga respeitosomente a

E

1

éindependente de todoevento quedigarespeitoapenasa

E

2

. Logo,istosigni aque:

• P (A|B) =

P(A∩B)

_P(B)

=

P(A)P (B)

_P(B)

= P (A)

,para

P (B) 6= 0

.

• P (B|Q) =

P(B∩A)

_P(A)

=

P(B)P (A)

_P

_(A)

= P (A)

,para

P (B) 6= 0

.

Exemplo 2.14 Considereo experimento onjunto que éaobservação deoito posições su- essivas deumpulsonumlink de omuni ações. Admite-seque em adamados possíveis

8

posiçõesdo pulsopodehaverumpulsopositivo,ouumpulsonegativo,ou nenhumpulso. Suponha-setambémqueosexperimentosindividuaisquedeterminamotipodepulsoem ada posiçãopossívelsãoindependentes. Logo,pode-sedenir:

• {x

i

= +1}

omosendooeventoqueo

i

-ésimopulsoépositivo;

• {x

i

= −1}

omosendooeventoqueo

i

-ésimopulsoénegativo;

• {x

i

= 0}

omosendooeventoqueo

i

-ésimopulsoénulo. Assim,suponhatambém:

• P (x

i

= +1) = p

;

• P (x

i

= −1) = q

;

• P (x

i

= 0) = 1 − p − q

;

para

i = 1, 2, 3, . . . , 8

. Segue-sedadeniçãodeexperimentosindependentesquea probabili-dadedequetodosospulsossejampositivosédadapor:

P ({x

1

= + 1} ∩ {x

2

= +1} ∩ · · · ∩ {x

8

= +1}) =

= P ({x

1

= +1})P ({x

2

= +1}) · · · P ({x

8

= +1}) = p

8

.

Segue-seaindaqueaprobabilidadedequeosquatroprimeirospulsossejampositivos,queos próximosdoissejamnegativos,equeosdoisúltimossejamnulos,édadapor:

P ({x

1

= +1} ∩ {x

2

= +1} ∩ {x

3

= +1} ∩ {x

4

= +1} ∩ {x

5

= −1}

∩ {x

6

= −1} ∩ {x

7

= 0} ∩ {x

8

= 0})

= P ({x

1

= +1})P ({x

2

= +1})P ({x

3

= +1})P ({x

4

= +1})P ({x

5

= −1})

P ({x

6

= −1})P ({x

7

= 0})P ({x

8

= 0})

= p

4

q

2

(1 − p − q)

2

.

Esteexemploilustraqueéa apa idadede al ularaprobabilidade deeventos onjuntos a partir dasprobabilidades doseventosindividuaisque tornaútil o on eitodeexperimentos

Lista de Exer í io - Teoria da Probabilidade

Questõesreferentes aoCapítulo2.

Exer í io2.1 Paraosseguintesexperimentos,determineoespaçoamostral

Ω

edê um exemplode eventoque ontenha mais de umelementode

Ω

.

a. Lançamentode umdado; b. Lançamentode doisdados; . Lançamentode duas moedas.

Exer í io2.2 Suponha que o onjunto universal seja formado pelos inteiros positivos de

1

a

10

. Seja

A = {2, 3, 4}

,

B = {3, 4, 5}

e

C = {5, 6, 7}

. Enumere oselementosdos seguintes onjuntos:

a.

A ∩ B

; b.

A ∪ B

; .

A ∩ B

; d.

A ∩ (B ∩ C)

; e.

A ∩ (B ∪ C)

. PS:Sabe-seque

A

C

_{= A}

.

Exer í io2.3 Considere um experimentode sorteio de duas artas aleatoria-mente apartir de uma aixaque ontém quatro artas,numeradasde

1

a

4

.

a. En ontre o espaço amostral

S

1

do experimento se houver reposição da primeira arta antesda segundaser retirada.

b. En ontreoespaçoamostral

S

2

doexperimentoseaprimeira artanãofor resposta.

Exer í io2.4 Umdado ujas fa es sãoequiprováveis élançado. Cal ule: a. A probabilidadede sair um número

4

oumaior;

b. A probabilidadede sair um númeropar;

. A probabilidadede sair um quadrado de uminteiro.

Exer í io2.5 Umexperimento onsiste nolançamento dedois dados. a. En ontreoespaçoamostral

Ω

.

b. En ontreoevento

A =

asoma dos pontosdos dados éiguala

7

. . En ontreoevento

B =

asoma dos pontosémaior doque

10

.

d. En ontreoevento

C =

asoma dos pontosémaior doque

12

.

Exer í io 2.6 Determine adapossíveleventodoespaçoamostral

S = {a, b, c, d}

.

Exer í io 2.7 Um dado honestoélançado duas vezes. Determine a probabili-dadede se obter:

a. Doisnúmerospares.

b. Oprimeiropare osegundonúmeroímpar. . Umnúmeropar eooutroímpar.

d. Somapar.

e. Somados númerosmenor que

7

.

f. Diferença entreosnúmerosmaior que

4

. g. Osegundonúmeromaiorqueoprimeiro.

Exer í io 2.8 Jogando-se

3

dados, al ularaprobabilidade dequeasomados pontosobtidos seja superior a

14

.

Exer í io 2.9 Sejaoexperimentodelançarumamoedarepetidamentee ontar onúmerodelançamentosne essáriosatéaobtençãodaprimeiraCARA. Dene-se oseventos

A = {k : k

impar

};

B = {k : 4 ≤ k ≤ 7};

C = {k : 1 ≤ k ≤ 10};

emque

k

éonúmerodelançamentosne essáriosatéqueaprimeiraCARAseja obtida. Determine oseventos:

a.

A

¯

; b.

B

¯

; .

C

¯

; d.

(A ∪ B))

; e.

(B ∪ C)

; f.

(A ∩ B)

; h.

(B ∩ C)

; i.

( ¯

A ∩ B)

.

Exer í io2.10 Oespaço amostral de um experimento éa reta real, expressa por

Ω = {v : −∞ < v < ∞}

. 1. Considereoseventos

A

1

= {v : 0 ≤ v ≤ 1/2};

A

2

= {v : 1/2 ≤ v ≤ 3/4};

A

i

= {v : 1 − 1/2

i−1

≤ v ≤ 1 + 1/2

i

}.

Determine oseventos a.

S

∞

i=1

A

i

;

b.

T

∞

i=1

A

i

.

2. Considereoseventos

B

1

= {v : v ≤ 1/2};

B

2

= {v : v ≤ 1/4};

B

i

= {v : v ≤ 1/2

i

}.

Determine oseventos a.

S

∞

i=1

B

i

;

b.

T

∞

i=1

B

i

.

Exer í io2.11 Veriqueapropriedadedistributiva

(A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪

(A ∩ C))

dos onjuntos

A

,

B

e

C

, usando diagramas de Venn.

Exer í io2.12 Oseguintegrupodepessoasestánumasala:

5

homensmaiores de

21

anos;

4

homens om menosde

21

anos de idade;

6

mulheres maiores de

21

anos e

3

mulheres menores de

21

anos. Uma pessoa é es olhida ao a aso. Denem-seosseguinteseventos:

A = {

apessoaé maiorde

21

anos

}

;

B = {

apessoa émenor de

21

anos

}

;

C = {

apessoaé homem

}

;

D = {

apessoa é mulher

}

. Cal ule:

a.

P (B ∪ D)

; b.

P (A ∩ C)

.

Exer í io2.13 Seja

P (A) = 0, 9

,

P (B) = 0, 8

. Mostreque

P (A ∩ B) ≥ 0, 7

.

Exer í io2.14 Dadoque

P (A) = 0, 9

,

P (B) = 0, 8

e

P (A∩B) = 0, 75

, al ule: a.

P (A ∪ B)

;

b.

P (A ∩ B)

; .

P (A ∩ B)

.

(a)

a

s

1

s

2

s

3

b

(b)

a

b

s

1

s

2

s

3

( )

a

s

1

b

s

2

s

3

(d)

a

b

s

1

s

2

s

3

Figura2.6: Cir uitosde omutaçãorelativos.

Exer í io 2.15 Considereos ir uitos de omutação ilustrados naFigura2.6. Sejam

A

1

,

A

2

e

A

3

os eventos em que as haves

s

1

,

s

2

e

s

3

estão fe hadas, respe tivamente. Seja

A

ab

, o eventono qual existe um aminho fe hado entre osterminais

a

e

b

. Expresse

A

ab

em funçãode

A

1

,

A

2

e

A

3

para ada umdos ir uitos ilustrados.

Exer í io 2.16 Demonstreque

P (A[B[C) = P (A) + P (B) + P (C) − P (A ∩ B) − P (A ∩ C) − P (B ∩ C) + P (A ∩ B ∩ C).

Exer í io 2.17 Considere

A

e

B

doiseventos. Sabe-seque

P [A ∪ B] = P [A] +

P [B] − P [A ∩ B]

. Sejam

C

e

D

doisoutroseventosdadospor

C = A − (A ∩ B)

e

D = B − (A ∩ B)

. Prove que

P [C ∪ D] = P [A] + P [B] − 2P [A ∩ B]

.

Exer í io 2.18 Dados três eventos

A

,

B

e

C

, prove que

P [A ∪ B ∪ C] =

P [A] + P [B] + P [C] − P [A ∩ B] − P [A ∩ C] − P [B ∩ C] + P [A ∩ B ∩ C]

,sabendo que, dados doiseventos

M

e

N

,

P [M ∪ N ] = P [M ] + P [N ] − P [M ∩ N ]

.

1

. Sejamoseventos

A

,

B

e

C

ilustradosna Figura2.7eassimdenidos:

A = {y > 0, 5};

B = {x < 0, 5};

C = {x < 0, 5

e

y < 0, 5} ∪ {x > 0, 5

e

y > 0, 5}.

A

B

C

C

x

y

0,

5

1,

0

0,

5

1,

0

x

y

0,

5

1,

0

0,

5

1,

0

x

y

0,

5

1,

0

0,

5

1,

0

Figura2.7: Eventosrelativosàquestão2.19.

Figura2: Eventos relativos àquestão17. Responda:

a. Oseventos

A

,

B

e

C

são independentes parapar? b. Oseventos

A

,

B

e

C

são independentes ?

Exer í io2.20 Um número

X

é sele ionado, ao a aso, no intervalo

[−1, 1]

. Considere oseventos:

A = {X < 0};

B = {|X − 0, 5| < 1};

C = {x > 0, 75}.

Determine: a.

P (B)

; b.

P (A ∩ C)

; .

P (A ∩ B)

; d.

P (A ∪ B)

; e.

P (A ∪ C)

; f.

P (A ∪ B ∪ C)

.

Exer í io2.21 Oespaço amostral S de um experimento aleatório édado por

S = {a, b, c, d}

om probabilidades

P (a) = 0, 2

;

P (b) = 0, 3

;

P (c) = 0, 4

e

P (d) = 0, 1

. Seja

A

,oevento

{a, b}

e

B

,oevento

{b, c, d}

, al uleasseguintes probabilidades:

a.

P (A)

;

b.

P (B)

;

.

P (A)

;

d.

P (A ∪ B)

;

e.

P (A ∩ B)

.

Exer í io 2.22 Um baralho de

52

artas é subdividido em

4

naipes: opas, espadas, ourose paus.

a. Retirando-se uma arta ao a aso, qual aprobabilidade de queela sejade ourosoude opas?

b. Retirando-se duas artasao a aso om reposição da primeira arta,qual aprobabilidade de ser aprimeirade ourose asegundade opas?

. Re al ular a probabilidade anterior se não houver reposição da primeira arta.

d. Havendoreposição,qual aprobabilidade desair aprimeira artade ouros ouentão asegundade opas?

Exer í io 2.23 Admite-sequedentre

6

parafusos,

2

sejam menoresdoqueum omprimentoespe i ado. Sedoisdosparafusosforemes olhidosaoa aso,qual será a probabilidade de que dois parafusos mais urtos sejam extraídos? Seja

A

i

, o evento o

i

-ésimo parafuso es olhido é urto,

i = 1, 2

. Cal ule também

P (A

2

)

.

Exer í io 2.24 Sejam

A

e

B

dois eventosasso iados a em experimento. Su-ponha que

P (A) = 0, 4

enquanto

P (A ∪ B) = 0,

. Seja

P (B) = p

, logo:

a. Paraquevalor de

p

,

A

e

B

serãomutuamente ex lusivos?

b. Paraquevalor de

p

,

A

e

B

serãoindependentes?

Exer í io 2.25 Umafábri a possui

3

máquinas

B

1

,

B

2

e

B

3

para produzir re-sistores de 1k

Ω

. Foi observado que

80

% dos resistoresproduzidos por

B

1

estão dentrodatoler.an ia de

50Ω

do valor nominal. Amáquina

B

2

produz

90

%dos seus resistores dentro da toler.an ia permitida, enquanto o per entual da má-quina B3 é de

60

% . A ada hora, as máquinas

B

1

,

B

2

e

B

3

produzem

3000

,

4000

e

3000

resistores, respe tivamente. Todos os resistores s.ao misturados aleatoriamenteem uma aixae empa otados parao arregamento. Qual a pro-babilidade de um resistor queesta dentro da faixa de tolerân ia permitida ser empa otado? Qual a probabilidade de que um resistor a eitável foi produzido pela máquina

B

3

?

Exer í io2.26 Considere que vo ê possui duas moedas, uma vi iada e uma honesta, mas não se sabe quem é quem. A probabilidade de se obter ara (K) omolançamento damoeda

1

vale

3/4

, enquantoque omamoeda

2

vale

1/2

. Suponha quevo êes olheumamoeda aoa asoealança. Seja

C

i

, oeventoem queamoeda

i

élançada. Sejam KeC, ospossíveisresultadosdo lançamento. DadoqueoresultadodolançamentoéK,qualaprobabilidadedequevo êtenha pegoamoedavi iada,

P (C

1

|K)

? DadoqueoresultadoéC,qualaprobabilidade de quevo êtenha pego amoeda vi iada,

P (C

1

|C)

?

Exer í io2.27 Emumsistemaqueutilizamodulaçãopor odi açãodepulso (PCM),umapalavraPCM onsisteemumasequên iade dígitosbinários(bits) de

1

s e

0

s.

a. Suponha que o omprimento da palavra PCM vale

n

. Quantas palavras distintas existemnosistema?

b. Se ada palavra PCM, de omprimento

n = 3

, tivera mesma probabili-dadede o orrên ia,qual aprobabilidade de o orrer umapalavra om dois bits 1 ? Resolva este problema de duas maneiras. Primeiro, onsidere todas as palavras no espaço amostral. Segundo, suponha que ada bit é equiprovável.

Exer í io2.28 Em um sistema que utiliza modulação de amplitude de pulso (PAM), uma palavra PAM onsiste de um sequên ia de pulsos, em que ada pulsopode assumirumdado númerode níveisde amplitude. Suponha que ada palavra PAM possui omprimento

n

e que ada pulso pode assumir

m

níveis diferentes.

a. Quantas palavrasPAM distintasexistemno sistema ?

b. Se adapalavraPAM, ompostapor

4

pulsos,tiveramesmaprobabilidade de o orrên iae adapulsopuderassumirumde trêsníveis,

{0, 1, 2}

,qual aprobabilidade deuma palavraPAM o orrer omexatamente

2

pulsos de nível

2

?

Exer í io2.29 Umaurna ontém in obolas numeradasde

1

a

5

.

a. Suponhaquesele ionamosduasbolassu essivamentesemreposição. Quan-tosparesde bolasdistintassãopossíveisdeseobter? Qualaprobabilidade de queaprimeirabolatenha um númeromaior doque asegunda?

b. Suponhaagoraquetrêsbolas são sorteadas om reposição. Qual a proba-bilidade de quetodas astrêsbolassejam diferentes?

Exer í io2.30 Duas moedas

M

1

e

M

2

vi iadas são tais que a probabilidade de se obter ara ao jogar amoeda

M

1

é

p

1

e a probabilidade de se obter ara ao jogar a moeda

M

2

é

p

2

. Es olhe-se uma das duas moedas e essa moeda é jogada. Determine:

a. Aprobabilidade deoresultadoser ara.

b. Aprobabilidadequeamoeda

M

2

tenhasidousada,sabendoqueoresultado foi ara.

Exer í io 2.31 Um fabri ante de omputadores usa ir uitos integrados pro-venientes de trêsfontes:

F

1

,

F

2

e

F

3

, omprobabilidades de serem defeituosos

0, 001

;

0, 005

e

0, 01

, respe tivamente. Se um ir uitointegradofoi en ontrado defeituoso, en ontreaprobabilidade de queele sejaproveniente da fonte

F

3

.

Exer í io 2.32 Umaurna ontém

7

bolas gravadas omasletrasA,A,A,C, C, R e R. Extraindo-se as bolas uma por uma, al ular a probabilidade de se obterapalavra CARCARÁ.

Exer í io 2.33 Considere o experimento de lançamento de dois dados. Após olançamento, vo ê éinformado de queasoma obtidanãoé maiordo que

3

.

a. Cal ule aprobabilidade de queas duas fa es sejam as mesmas, onside-rando queainformação dada nãoé onhe ida.

b. Cal uleaprobabilidadedo mesmoevento om ainformaçãodada.

Exer í io 2.34 Umlotede

100

hipssemi ondutores ontém

20

quesão defei-tuosos. Dois hipssão es olhidosaleatoriamente no lote,sem que haja reposi-ção.

a. Qualaprobabilidadede oprimeiro hip sele ionado serdefeituoso ? b. Qual a probabilidade de o segundo hip sele ionado ser defeituoso dado

queoprimeirofoi defeituoso?

. Qualaprobabilidadede queambosos hips sejamdefeituosos ?

Exer í io 2.35 Duas artas são sele ionadas aleatoriamente de um baralho. Cal uleaprobabilidade de queambasas artassejam ases.

Exer í io 2.36 Dois números são es olhidos aleatoriamente sem reposição a partirdosnúmerosde

1

a

10

. Cal uleaprobabilidadedequeosegundonúmero es olhido seja

5

.

Exer í io 2.37 Seja o modelo de probabilidade de um anal de transmissão binário, não-simétri o, émostradona Figura2.8.

Considere

X

a entrada e

Y

a saída e

P (X = 0) = P (X = 1) = 1/2

. As probabilidades ondi ionais estãodadas pelos valores envolvendo osparâmetros

ε

1

e

ε

2

.

a. Determineaprobabilidade de asaída ser

0

.

a. Determineaprobabilidade de aentradatersido 0,dado queasaída é

1

. a. Determineaprobabilidade de aentradatersido 1,dado queasaída é

0

.

A

B

X = 0

Y = 0

X = 1

y = 1

ε

2

ε

1

(1 − ε

1

)

(1 − ε

2

)

Figura2.8: Eventosrelativosàquestão2.37.

A

B

X = 0

Y = 0

X = 1

y = 1

0, 2

0, 1

(0, 9)

(0, 8)

Figura2.9: Eventosrelativosàquestão2.38.

Exer í io2.38 Seja o modelo de probabilidade de um anal de transmissão binárioilustrado naFigura2.9:

Considere

X

aentradae

Y

asaídae

P (X = 0) = 0, 4

e

P (X = 1) = 0, 6

. a. Determine aprobabilidadede o orrererrona transmissão;

b. Dadoquefoire ebido1nasaídado anal,qualaprobabilidadede tersido transmitido1?

Exer í io2.39 Um blo o de

100

bits é transmitido por um anal de omuni- ação binário om probabilidade de erro de bit

p = 10

−

3

. A he aprobabilidade de oblo o ontertrêsoumais erros.

Exer í io2.40 Umsistema que onsiste de

n

omponentes éditoser um sis-tema em série se ele fun iona quando os n omponentes fun ionam. Assuma que os omponentes falham independentemente e que a probabilidade de falha do

i

-ésimo omponente vale

p

i

,

i = 1, 2, . . . , n

. Cal ule a probabilidade de o sistema fun ionar.

Exer í io2.41 Umaurna ontém

3

bolasbran ase

4

bolaspretas. Extraindo-sesimultaneamente

3

bolas da urna, al ularaprobabilidade de que

a. Todassejam bran as;

b. Pelo menos duassejam bran as; . Pelo menos umasejapreta.

Exer í io 2.42 Resolver oproblema anteriorsupondo que asextraçõessejam feitas onse utivamenteealeatoriamente, sendo ada bolaretiradaresposta an-tes daretiradada bolaseguinte(extrações omreposição).

Exer í io 2.43 Umainstalação industrial dispõede umsistema de segurança defeituoso: oalarme dispara omprobabilidade

0, 90

quandoháin êndio, e dis-para om probabilidade

0, 15

mesmo quando não há in êndio. A probabilidade de que o orra um in êndio neste tipo de instalação é de

0, 05

. Sabendo que o alarme estásoando no Corpo de Bombeiros, qual éa probabilidade de que um in êndio estejarealmenteo orrendo?