Circuitos Elétricos I (reparado 24_10_2140)

Circuitos Elétricos I

(https://sites.google.com/a/dee.ufcg.edu.br/aco/ufcg/downloads/circuitos-i) ## Grandezas Tensão e Corrente

Definições:

a) Cargas elétricas a.1) Bipolares

a.1.1) Positivas; a.1.2) Negativas;

a.2) Múltiplos inteiros da carga do elétron: 1,6022 x 10-19 _C;

a.3) Efeitos elétricos estão associados à separação de cargas elétricas (tensão – V) e ao seu movimento (corrente – A);

b) Tensão: Para separar cargas de sinais contrários é necessária uma certa energia. A tensão, cuja unidade é o VOLT (V), representa a energia por unidade de carga usada para separar cargas de sinais opostos.

v =

dω

dq

(Volt) onde: v = tensão em Volts (V);

ω

= energia em Joules (J);

q = carga em Coulomb (C).

c) Corrente: Quantidade de cargas que atravessam um elemento por unidade de tempo. Unidade – AMPERE (A)

i=

dq

dt

(Ampere) onde:

i

= corrente em Amperes (A);

q = carga em Coulomb (C);

t

= tempo em segundo (s). # Elemento Básico Ideal

Características: a) Possui apenas dois terminais;

b) Pode ser descrito matematicamente em termos da corrente e/ou tensão;

c) Não pode ser subdividido em outros elementos.

Elemento básico

# Sentido convencional de corrente – Deslocamento de cargas positivas (adotado) # Sentido real de corrente – Deslocamento de elétrons (cargas negativas)

# Convenção Passiva

Se o sentido de referência para a corrente em um elemento for o mesmo que o da queda de tensão no mesmo elemento, deve ser usado um sinal positivo na expressão que relaciona tensão (v) e corrente (i). Se não, deve ser usado um sinal negativo.

Valor Positivo Valor Negativo v queda de tensão do terminal 1 para o

terminal 2 ou

aumento de tensão do terminal 2 para o terminal 1

v aumento de tensão do terminal 1 para o terminal 2

ou

queda de tensão do terminal 2 para o terminal 1

i movimento de cargas positivas do terminal 1 para o terminal 2

ou

movimento de cargas negativas do terminal 2 para o terminal 1

i movimento de cargas positivas terminal 2 para o terminal 1

ou

movimento de cargas negativas terminal 1 para o terminal 2 #Potência e Energia

* Potência – Taxa de variação de energia por unidade de tempo. Unidade – Watt (W)

p=

dω

dt

(volt) onde: p = potência em Watts (W);

⍵ω

= energia em Joule (J);

t = tempo em segundo (s); 1Watt =

1 J

s

associada a uma corrente elétrica, temos:

p=

dω

dt

=

dω

dq

•

dq

dt

=

v • i

# Polaridades de referência e expressões de potência para um elemento ideal de dois terminais (a) p=v • i (b)

p=v •−i=−(v •i)

(c)

p=−v • i=−(v •i)

(d)

p=−v •−i=v •i

## Fontes de Tensão e Corrente

 Fonte ideal de tensão: mantém uma tensão constante entre seus terminais, qualquer que seja a corrente que a atravessa;

 Fonte ideal de corrente: Mantém uma corrente constante aplicada ao ramo do circuito onde esteja conectada, independente da tensão que se estabelece entre os seus terminais;

 Fonte independente: Estabelece uma tensão ou uma corrente em um circuito, independentemente do valor de tensão ou corrente em outras partes do circuito;

 Fonte dependente ou controlada: A tensão estabelecida por uma fonte de tensão ou fonte de corrente dependente é função, ou seja, depende de uma corrente em um ramo do circuito ou de uma tensão entre dois nós quaisquer do circuito.

# Representação

Fontes independentes Fontes dependentes

#Elementos: Ativos – Dispositivo capaz de gerar energia;

Passivo – Dispositivo que não gera energia, em geral, consome ou armazena energia.

# Conexão entre fontes de tensão e/ou corrente – Condições

a) Duas fontes de tensão ideais e independentes só podem ser ligadas em paralelo se a amplitude da tensão e as polaridades de ambas as fontes são estritamente iguais;

(a1) – Permissível, (a2) – Não permissível e (a3) – Não permissível se v1≠v2 b) Duas ou mais fontes de tensão ideais e independentes podem ser ligadas em

série sem qualquer restrição. No entanto, se em uma malha só houver fontes de tensão, como mostrado na figura (b2), o somatório das tensões das mesmas deverá respeitar a Lei de Kirchhoff das Tensões (LKT), ou seja, a soma das tensões em uma malha qualquer é nula;

(b1) – Permissível sem qualquer condição para v1, v2 e v3 e (b2) – Permissível desde que

_∑

i=1

4

v

_i

=0

(LKT)

c) Duas ou mais fontes de corrente ideais e independentes podem ser ligadas em paralelo sem qualquer restrição. No entanto, quando só existir fontes independentes de corrente conectadas em paralelo, como mostrado na figura (c2), o somatório das correntes das fontes deverá respeitar a Lei de Kirchhoff das Correntes (LKC), ou seja, a soma das correntes em um mesmo nó é nula;

(c1) – Permissível sem qualquer condição para i1, i2 e i3 e (b2) – Permissível desde que

_∑

j=1

4

i

_j

=0

(LKC)

d) Duas fontes de corrente ideais e independentes só podem ser ligadas em série se a amplitude da corrente e o sentido de ambas as fontes são estritamente iguais;

(d1) – Permissível, (d2) – Não permissível e (d3) – Não permissível se i1≠i2 e) Uma fonte de tensão ideal e independente e uma fonte de corrente ideal e

independente, podem ser conectadas em paralelo ou em série, sem qualquer restrição.

Obs: A conexão entre fontes de tensão dependentes, de corrente e tensão, seguem as mesmas condições observadas para as fontes ideais e independentes.

## Resistência Elétrica – Lei de Ohm

Resistência – Propriedade dos materiais que indica o nível de oposição que os mesmos oferecem à circulação de cargas elétricas (corrente = cargas elétricas em movimento

).

Unidade da resistência – OHM (Ω)

* Convenção para representação do sentido de corrente em um resistor

Sentido associado corrente x tensão em um resistor – A corrente entra no terminal indicado pelo potencial mais positivo (+). Justificativa: Como o resistor é um elemento consumidor de energia, pode-se associar os sinais de polaridade indicados no seu símbolo ao fato de que após passar pelo resistor as cargas perdem energia potencial, que se transforma em outras formas de energia, como calor, por exemplo, implicando que as mesmas saem do resistor com menos energia potencial. Assim, na entrada como a energia potencial é maior do que na saída, indica-se este fato colocando um sinal (+) no terminal onde as cargas entram e um sinal (-) onde as cargas saem.

# Resistor Ideal → Resistência independe de corrente e/ou temperatura, além de não variar com o tempo.

# Cálculo de Potência a partir da resistência:

P=v ∙ i=

v

2

R

=

R ∙i

2

# Condutância → Inverso da resistência =>

G=

1

R

, onde R= reistência Unidade de Condutância: Siemens

# Cálculo de Potência a partir da condutância:

P=v ∙ i=

i

2

G

=

G∙ v

## Leis de Kirchhoff

# Lei de Kirchhoff das Correntes (LKC): A soma algébrica das correntes em qualquer nó de um circuito é sempre nula. Justificativa: Em um nó, onde há a conexão de dois ou mais elementos de circuito, não há consumo ou geração de cargas, logo, a soma das cargas que chegam a um nó deverá ser igual a soma das cargas que saem do nó, resultando um resíduo nulo de cargas no nó.

Convenção: Corrente que entra no nó positiva (+). Corrente que sai do nó negativa (-);

ou

Corrente que entra no nó negativa (-). Corrente que sai do nó positiva (+);

Observações:

 A LKC impõem uma dependência linear entre as correntes de braço (equações algébricas lineares e homogêneas a coeficientes constantes);

 A LKC aplica-se a qualquer circuito elétrico a parâmetros concentrados;

 A LKC afirma que as cargas não podem se acumular em nenhum nó (conservação de cargas em todos os nós);

 Em qualquer circuito com “n” a LKC permite obter “n-1” equações linearmente independentes.

# Lei de Kirchhoff das Tensões (LKT): A soma algébrica das tensões em qualquer malha de um circuito é sempre nula. Justificativa:.

Convenção: Queda de tensão positiva (+). Aumento de tensão negativo (-); ou

Queda de tensão negativa (-). Aumento de tensão positiv0 (+); Observações:

 A LKC impõem uma dependência linear entre as tensões de braço (segmento de circuito compreendido entre dois nós consecutivos, onde se encontra um ou mais elementos conectados em paralelo) de um percurso fechado;

 A LKT aplica-se a qualquer circuito elétrico a parâmetros concentrados.

# O tipo de ligação entre os elementos impõem restrições as grandezas elétricas observadas sobre esses elementos, tais como :

 O conhecimento do valor da resistência de um resistor e o conhecimento da corrente que o atravessa permite determinar a tensão sobre o mesmo a partir da aplicação da Lei de Ohm. Em geral, o conhecimento da corrente em um elemento passivo permite determinar a tensão sobre o mesmo;

 De acordo com a Lei de Kirchhoff das Correntes, quando apenas dois elementos estão conectados a um mesmo nó, o conhecimento da corrente em um dos elementos permite determinar a corrente que atravessa o outro elemento, a qual será a mesma.

# Uso da lei de Ohm e das Leis de Kirchhoff

As Leis de Kirchhoff, juntamente com a lei de Ohm, permitem desenvolver conjunto de equações que modelam circuitos elétricos e através dos quais torna-se possível determinar o valor de grandezas elétricas, como corrente e tensão, dos elementos do circuito. Para determinação das equações de modelagem de um circuito é necessário definir a priori sentidos de corrente em ramos do circuito, bem como, polaridades de tensão sobre os componentes do mesmo. Apesar dessa escolha poder ser arbitraria,

seguir algumas convenções, como o sentido associado de corrente e tensão sobre resistores, por exemplo, pode simplificar os passos subseqüentes das análises.

Exemplos: a)

Aplicação da Lei de Kirchhoff das correntes aos nós A, B, C e D. Convenção: corrente entrando no nó +.

nó A: i1−i2+ia−i3+ic=0 ;

nó B:

−

i1+i 2−i 4+i 5=0;

nó C: −i5−ia−ib=0 ; nó D:

i3+i 4 +ib−ic=0 ;

Observe que qualquer das equações acima poderá ser obtida por uma combinação linear das outras três. Por exemplo:

nó D:

i3+i 4 +ib−ic

é combinação linear das equações dos nós A, B, e C, como indicado a seguir:

(−1)∙ (i1−i2+ia−i 3+ib )=0

+

(

−1

)

∙

(

−i 1+i2−i4 +i5

)

=0

(−1)∙ (−i 5−ia−ib )=0

(

−i1+i 2−ia+i3−ib

)

+

(i 1−i 2+i4−i 5)

+

(i5+ia+ib

)

=0

i3+i 4 +ib−ic=0

b)

Aplicação da Lei de Kirchhoff de Tensão as malhas X, Y , Z e H. Convenção: sentido horário e queda de tensão positiva. Malha X:

v 1+v 2−v 4−vb−v 3=0

; Malha Y: v 3+v 5−va=0 ;

Malha Z:

vb +v 4−vc−v 6−v 5=0

; Malha H: v 6−v 7−vd=0 .

As quatro equações acima são linearmente independentes, visto que elas foram obtidas para malha que não contém nenhuma outra malha em seu interior, sendo este tipo de malha denominado de Malha Simples.

c)

Aplicação as leis de Kirchhoff aos nós e malhas do circuito, temos: nó b: i1−i2+ig=0 ;

utilizando a relação definida pela fonte dependente, temos:

i1−i2+5 i1=6i 1−i 2=0

malha X: v 1+v 2−vs=0

Aplicando a lei de Ohm ,temos: Malha X: v_s=v 1+v 2=5 ∙ i1+20 ∙ i2

Dessa forma, obtém-se um sistema com duas equações para determinação das duas incógnitas i1 e i2:

6 i1−i2=0

## Circuitos resistivos Simples # Ligação Série

No circuito acima, observemos a ligação dos terminais da fonte de tensão ideal vs ao circuito. Nota-se que um dos terminais da fonte está ligado a um terminal do resistor R1 e outro terminal da fonte está ligado a um dos terminais do resistor R7. Observado isso, podemos concluir que a fonte de tensão está ligada em série com os resistores R1 e R7. Ao analisar as conexões dos outros elementos, observa-se que o mesmo tipo de ligação é encontrado, logo, podemos concluir que todos os elementos desse circuito estão ligados em série.

A conexão série se caracteriza pela conexão em um nó de apenas dois elementos, fato observado no circuito acima. Se analisarmos as correntes indicadas no circuito, através da LKC, e notando que cada ponto “ ” representa um nó, obtemos o seguinte conjunto de equações:

i₁=i₈, i₂=i₁,i₃=i₂,i₄=i₃, i₅=i₄, i₆=i₅,i₇=i₆e i₈=i₇

Logo, concluímos das igualdades que:

i

₁

=

i

₂

=

i

₃

=

i

₄

=

i

₅

=

i

₆

=

i

₇

=

i

₈

=

i

Analisando o circuito através da LKT, obtemos o seguinte conjunto de equações (adotando-se um sentido horário e considerando queda de tensão positiva):

−

v

_s

+

v

₁

+

v

₂

+

v

₃

+

v

₄

+

v

₅

+

v

₆

+

v

₇

=0

logo

v

_s

=

v

₁

+

v

₂

+

v

₃

+

v

₄

+

v

₅

+

v

₆

+

v

₇

substituindo os termos vi, com i=1,2,...,7, pelos respectivos valores calculados através da lei de Ohm, temos:

v_s=R₁i+R₂i+R₃i+R₄i+R₅i+R₆i+R₇i

Observa-se por esta equação que a tensão da fonte é dividida entre as resistência e, além disso, o termo de tensão de cada resistência é diretamente proporcional ao seu valor. Isolando a corrente, obtemos a seguinte equação:

R

i(

¿¿

1+R

2

+

R

3

+

R

4

+

R

5

+

R

6

+

R

7

)

v

s

=

¿

Esta equação indica que se tivermos um circuito constituído por um único resistor e se o mesmo tiver um valor EQUIVALENTE igual a soma das resistências de todos os resistores do circuito série original, neste circuito equivalente circulará uma corrente “i”, cujo valor e sentido será EXATAMENTE igual a da corrente do circuito série original, quando o mesmo é alimentado por uma fonte de tensão “vs”, com polaridade e amplitude iguais ao do circuito série original. Ou seja:

onde:

R

eq

=

R

1

+

R

2

+

R

3

+

R

4

+

R

5

+

R

6

+

R

7

De uma forma geral podemos estabelecer que para qualquer circuito em que haja “n” resistores ligados em série, temos:

R

_eq

=

∑

i=1 n

R

_i Observações:

1) Um circuito série pode ser caracterizado como um circuito em que a corrente que atravessa todos os elementos do circuito é exatamente a mesma em amplitude e sentido;

2) Numa associação série de resistores, o resistor equivalente Req será sempre maior que o maior dos resistores conectados em série.

# Ligação Paralela

No circuito acima, observemos a ligação dos terminais da fonte de tensão ideal vs ao circuito. Nota-se que um dos terminais da fonte está ligado a um dos terminais de todos os resistores de R1 a R7 e o outro terminal da fonte está ligado, da mesma forma, a um dos terminais de todos os resistores de R1 a R7. Observado isso, podemos concluir que a fonte de tensão está ligada em paralelo com os resistores R1, R2, ..., R7. Ao analisar as conexões dos outros elementos, observa-se que o mesmo tipo de ligação é encontrado, logo, podemos concluir que todos os elementos desse circuito estão ligados em paralelo.

A conexão paralela se caracteriza pela conexão em um nó de três ou mais elementos, fato observado no circuito acima. Como cada resistor da associação de resistores mostrada no circuito acima está diretamente ligado aos terminais da fonte de tensão ideal e como esta impõe a tensão entre seus terminais, a tensão em todos os resistores é igual a da fonte.

Analisando o circuito através da LKC, obtemos a seguinte equação (considerando a corrente entrando no nó, positiva):

i−i₁−i₂−i₃−i₄−i₅−i₆−i₇=0 logo

i=i1+i2+i3+i4+i5+i6+i7

substituindo os termos ij, com j=1,2,...,7, pelos respectivos valores calculados através da lei de Ohm, temos:

i=vs R1 + vs R2 + vs R3 + vs R4 + vs R5 +vs R6 + vs R7

Observa-se por esta equação que a corrente fornecida pela fonte é dividida entre as resistência e, além disso, a corrente em cada resistência é diretamente proporcional ao inverso do seu valor. Isolando a tensão, obtemos a seguinte equação:

i=v

s

(

1

R

₁

+

1

R

₂

+

1

R

₃

+

1

R

₄

+

1

R

₅

+

1

R

₆

+

1

R

₇

)

Esta equação indica que se tivermos um circuito constituído por um único resistor e se o valor do inverso da resistência desse for EQUIVALENTE a soma do inverso das resistências de todos os resistores do circuito paralelo original, neste circuito equivalente circulará uma corrente “i”, cujo valor e sentido será EXATAMENTE igual a da corrente do circuito paralelo original, quando o mesmo é alimentado por uma fonte de tensão “vs”, com polaridade e amplitude iguais ao do circuito paralelo original, ou seja: onde:

1

R

_eq

=

1

R

₁

+

1

R

₂

+

1

R

₃

+

1

R

₄

+

1

R

₅

+

1

R

₆

+

1

R

₇

De uma forma geral podemos estabelecer que para qualquer circuito em que haja “n” resistores ligados em paralelo, temos:

1

R

_eq

=

∑

i=1 n

1

R

_i

Se utilizarmos a condutância, podemos reescrever a equação do Req da forma:

G

_eq

=

∑

i=1 n

G

_i , onde

G

eq

=

1

R

eq

e G

_i

=

1

R

i . Observações:

1) Um circuito paralelo pode ser caracterizado como um circuito em que a tensão aplicada aos terminais de todos os elementos do circuito é exatamente a mesma em amplitude e polaridade;

2) Numa associação paralela de resistores, o resistor equivalente Req será sempre menor do que o menor dos resistores conectados em paralelo. Essa afirmação pode ser confirmada pelo fato de que a condutância equivalente é maior do que a condutância individual de cada ramo resistivo do circuito, dado que a condutância equivalente é a soma dessas condutâncias individuais. Como maior condutância implica menor resistência, então confirma-se a afirmação inicial.

# Circuito Divisor de Tensão

ocorrer a corrente que atravessa os elementos do circuito divisor de tensão deverá ser a mesma.

Para determinação da tensão em qualquer dos resistores de um circuito série (ou divisor de tensão), não é necessário conhecer a corrente que circula pelos resistores associados em série, basta que se conheça a tensão e os valores de resistência, como será demonstrado a seguir.

Considere o circuito abaixo

Da análise previa, temos que a corrente “i” que circula em todos os resistores é dada por:

R

(

¿¿

1+R

2

+

R

3

+

R

4

+

R

5

+

R

6

+

R

7

)

i=

v

_¿

s

,

assim, se pretendemos determinar o valor da tensão sobre o resistor R1, v1, a mesma será determinada por:

R

(¿¿1+ R2+R3+R4+R5+R6+R7)

v₁=R₁i=R₁vs

¿

,

seguindo o mesmo raciocínio, a tensão em qualquer dos resistores será dada por:

R

(

¿¿

1+R

2

+

R

3

+

R

4

+

R

5

+

R

6

+

R

7

)

v

_j

=

R

_j

i=R

_j

v

s

¿

, onde no nosso exemplo, j=1,2,3,....,7.

No caso geral, em uma associação de “n” resistores ligados em série, a tensão em um elemento é dada por:

v

_j

=

R

_j

v

s

∑

i=1 n

R

_i , onde “vs” é a tensão aplicada sobre a associação de resistores conectados em série.

# Circuito Divisor de Corrente

Como observado no circuito resistivo paralelo, a corrente fornecida pela fonte de tensão é dividida entre os resistores da associação de resistores, dessa forma, o circuito também pode ser denominado de “Circuito Divisor de Corrente”. Deve-se observar que para isto ocorrer, a tensão entre os terminais de todos os elementos do circuito divisor de corrente deverá ser a mesma.

Para determinação da corrente em qualquer dos resistores de um circuito paralelo (ou divisor de corrente), não é necessário conhecer a tensão aplicada aos resistores em paralelo, basta que se conheça a corrente total e os valores de resistência, como será demonstrado a seguir.

Considere o circuito abaixo

Da análise previa, temos que a corrente total “i”, fornecida pela fonte, é dada por:

i=v

s

(

1

R

₁

+

1

R

₂

+

1

R

₃

+

1

R

₄

+

1

R

₅

+

1

R

₆

+

1

R

₇

)

,

assim, se pretendemos determinar o valor da corrente no ramo do R1, i1, a mesma será determinada por:

i=R

1

i

1

(

1

R

₁

+

1

R

₂

+

1

R

₃

+

1

R

₄

+

1

R

₅

+

1

R

₆

+

1

R

₇

)

⇒i

1

=

i

R

1

(

1

R

₁

+

1

R

₂

+

1

R

₃

+

1

R

₄

+

1

R

₅

+

1

R

₆

+

1

R

₇

)

, obtida a partir da equação anterior.

Escrevendo em termos das condutâncias,temos:

i= i1 G1

(

G₁+G₂+G₃+G₄+G₅+G₆+G₇

)

⇒i1=

iG₁

G1+G2+G3+G4+G5+G6+G7

No caso geral, em uma associação de “n” resistores ligados em paralelo, a corrente em um elemento é dada por:

i

_j

=

i

(

_∑

i=1 n

1

R

_i

)

R

j

=

G

_j

i

∑

i=1 n

G

_i

, onde “i” é a corrente total aplicada fornecida pela fonte ao

circuito formado pelos resistores conectados em série. # Medição de Tensão

A medição de tensão é realizada por instrumentos denominados de Voltímetros. Os instrumentos analógicos, construídos a partir de um galvanômetro, indicado na figura abaixo, fazem uso do conceito de divisão de tensão, de modo a possibilitar a medição de tensão, em várias escalas distintas, usando o mesmo galvanômetro, como será discutido a seguir.

O galvanômetro pode ser representado eletricamente como um galvanômetro perfeito em série com uma resistência rg, como indicado abaixo:

Em geral sua especificação é dada em termos de uma corrente máxima suportada, que desenvolverá uma tensão nos terminais do galvanômetro, dada por:

v

_g

=

r

_g

i

.

Na montagem de um voltímetro com múltiplas escalas de tensão, usando um galvanômetro com uma corrente nominal “ig” e uma tensão nominal “vg”, será necessário garantir que para a máxima tensão de

resistor “rMi”, o qual suportará na condição de fundo de escala, a diferença de tensão

entre a tensão “vg” e a tensão sendo medida.

Exemplo: Projetar um voltímetro com três escalas de tensão 1V, 10V, 100V, utilizando

um galvanômetro cujas características são: vg=0.5V e i=10mA.

Solução: O Projeto consiste em determinar as três resistências rM1, rM2 e rM3, como

indicadas nas figuras acima, para cada tensão.

Os valores das resistências são determinados considerando a situação em que os valores máximos de tensão de cada escala são aplicados ao circuito formado pelo

galvanômetro e resistor rMi.

Define-se rM1, como o resistor para a escala de tensão de 1V, rM2, para a escala de

10V e rM3 para a escala de 100V. Deve ser observado que quando tivermos aplicado

1V, 10V ou 100V, para o voltímetro ajustado na escala de 1V, 10V ou 100V, respectivamente, o ponteiro do instrumento deverá apresentar a maior deflexão, que

corresponde a corrente nominal “ig” passando pela bobina do galvanômetro. A partir

das informações anteriores pode-se determinar os valores de rM1, rM2 e rM3, como a

seguir: Para 1V:

r

_{M 1}

=

v

fe

−

v

g

i

=

1−0,5

0,01

=50 Ω

; Para 10V:

r

_{M 2}

=

v

fe

−

v

g

i

=

10−0,5

0,01

=950 Ω

; Para 100V:

r

_{M 3}

=

v

fe

−

v

g

i

=

100−0,5

0,01

=9950 Ω

.

De forma geral, para uma tensão de fundo de escala de “vfe” volts e um galvanômetro

com corrente nominal “i” e tensão nominal “vg”, o valor da resistência série “rMi” a

r

Mi

=

v

_fe

−

v

_g

i

# Medição de Corrente

A medição de corrente é realizada por instrumentos denominados de Amperímetros, Os instrumentos analógicos, construídos a partir de um galvanômetro, indicado na figura abaixo, fazem uso do conceito de divisão de corrente, de modo a possibilitar a medição de correntes, em várias escalas distintas, usando o mesmo galvanômetro, como será discutido a seguir.

Os valores das resistências são determinados considerando a situação em que os valores máximos de corrente de cada escala são aplicados ao circuito formado pelo

galvanômetro e resistor rsi.

Define-se rs1, como o resistor para a escala de corrente de 1A, rs2, para a escala de

10A e rs3 para a escala de 100A. Deve ser observado que quando tivermos aplicado

1A, 10A ou 100A, para o amperímetro ajustado na escala de 1A, 10A ou 100A, respectivamente, o ponteiro do instrumento deverá apresentar a maior deflexão, que

corresponde a corrente nominal “ig” passando pela bobina do galvanômetro. A partir

das informações anteriores pode-se determinar os valores de rs1, rs2 e rs3, como a

seguir: Para 1A:

r

_{s 1}

=

v

g

i

fe

−

i

=

0,5

1−0,01

=

0,50505 Ω

; Para 10A: r_{s 2}= vg ife−i = 0,5 10−0,01=0,05005 Ω ; Para 100A:

r

_{s 3}

=

v

g

i

fe

−

i

=

0,5

100−0,01

=0,00500 Ω

.

De forma geral, para uma corrente de fundo de escala de “ife” Amperes e um

Na montagem de um amperímetro com múltiplas escalas de corrente, usando um galvanômetro com uma corrente nominal “ig” e uma tensão nominal “vg”, será necessário garantir que para a máxima corrente de cada escala (fundo de escala), a corrente que passa pelo galvanômetro seja “i”, logo, será necessário usar um circuito divisor de corrente, como o mostrado na figura ao lado. Para cada escala,

deve-se calcular um resistor “rsi”, pelo qual passará, na

condição de fundo de escala, a diferença de corrente entre a corrente do galvanômetro “i” e a corrente sendo medida.

Exemplo: Projetar um amperímetro com três escalas

de corrente 1A, 10A, 100A, utilizando um

galvanômetro cujas características são: vg=0.5V e

i=10mA.

Solução: O Projeto consiste em determinar as três

resistências rs1, rs2 e rs3, como indicadas nas figuras ao

paralela (“shunt”) “rsi” a ser associada ao galvanômetro para medição de uma

corrente de até “ife” Amperes, será:

r_si= vg

## Ponte de Wheatstone

A ponte de Wheatstone, mostrada na figura abaixo, encontra aplicação em circuitos para medição de resistência, pontes de “strain-gauge” e outros. Seu princípio de operação está associado a condição de equilíbrio da ponte formada pelos resistores R1, R2, R3 e Rx, que quando atingida, faz com que a diferença de tensão entre os nós “C” e “B” seja nula, por conseguinte, a corrente no ramo entre os dois nós citados será nula. Observe que há um voltímetro conectado entre os nós “C” e “B”, que serve para indicar quando o equilíbrio da ponte foi atingido, onde, a tensão medida será nula.

Análise da Ponte de Wheatstone na condição de equilíbrio:

v

_CB

=0 ;

isso implica que:

v

_AC

=

v

_AB e

v

CD

=

v

BD , também

i

1

=

i

2 e

i

_x

=

i

₃

Calculando os termos de tensão, temos:

R₁i₁=R_xi_x e R2i2=R3i3 , logo R1 Rx =ix i1 e R2 R3 =i3 i2 , como ix i1 =i3 i2 , então R₁ Rx =R2 R3

## Ligação Estrela – Triângulo

Na associação estrela/triângulo de resistores, não é possível aplicar os procedimentos de simplificação de circuitos resistivos, como os desenvolvidos para associação série ou paralela entre resistores de forma direta. Dependendo do tipo de associação estrela ou triângulo, presente em um circuito, é possível realizar uma conversão estrela/triângulo ou vice-versa, de modo a permitir uma análise mais simples do circuito. A transformação de uma associação estrela para triângulo ou vice-versa, deverá preservar o mesmo nível de corrente e tensão observados nos pontos de conexão da associação estrela ou triângulo original, como será exemplificado usando a figura abaixo

Transformação Triângulo → Estrela.

Observando o circuito acima, percebe-se que após a transformação Triângulo –

Estrela, o circuito equivalente resultante, formado pelos resistores Rx, Ry e Rz, torna

possível determinar uma resistência equivalente a qual será dada por

R

x

+(

R

y

+

R

4

)/

¿

(

R

z

+

R

5

)

Determinação dos resistores Rx, Ry e Rz

Como discutido, o circuito formado pelos resistores Rx, Ry, Rz, R4 e R5, será

equivalente ao circuito formado pelos resistores R1, R2, R3, R4 e R5, original, se as

tensões vAC, vAB, vCB e correntes i, i4 e i5, em ambos os circuitos forem as mesmas. Isso

indica que as resistências equivalentes, vistas de qualquer um dos pares de terminais

Na figura ao lado temos uma associação de 5 resistores, a qual não permite uma simplificação direta usando métodos de associação série ou paralela. Neste caso, uma possibilidade de obter um circuito simplificado é realizar uma transformação triângulo-estrela, tomando os resistores R1, R2 e R3, que estão conectados em triângulo. De modo a que o circuito obtido seja equivalente ao circuito original, é necessário que no circuito resultante as correntes i, i4 e i5 sejam as mesmas do circuito original, levando também a que as tensões vAB, vAC e vCB também sejam as mesmas do circuito original.

O circuito modificado, após a transformação triângulo-estrela, é o apresentado nas figuras (a) e (b) abaixo.

AB, AC, BC, como indicado nas figuras abaixo, de qualquer dos circuitos, devem ser exatamente iguais.

OBS: Quando avaliamos as resistências equivalentes entre dois terminais o terceiro deverá estar desconectado, como indicado nas figuras abaixo.

R

_eq∆_AC

=

R

₁

/

¿

(

R

₂

+

R

₃

)=

R

1

(

R

2

+

R

3

)

R

₁

+

R

₂

+

R

₃ e

R

eqAC ⅄

=

R

x

+

R

y

R

_eq⅄_AC

=

R

_eq AC ∆

_{⇒ R}

x

+

R

y

=

R

1

(

R

2

+

R

3

)

R

₁

+

R

₂

+

R

₃

R

_eq∆_AB

=

R

₂

/

¿

(

R

₁

+

R

₃

)=

R

2

(

R

1

+

R

3

)

R

₁

+

R

₂

+

R

₃ e

R

eqAB ⅄

=

R

x

+

R

z

R

_eq⅄_AB

=

R

_eq∆_AB

⇒ R

_x

+

R

_z

=

R

2

(

R

1

+

R

3

)

R

₁

+

R

₂

+

R

₃

R

_eq∆_BC

=

R

₃

/

¿

(

R

₁

+

R

₂

)=

R

3

(

R

1

+

R

2

)

R

₁

+

R

₂

+

R

₃ e

R

eqBC ⅄

=

R

_y

+

R

_z

R

_eq BC ⅄

=

R

_eq BC ∆

_{⇒ R}

y

+

R

z

=

R

3

(

R

1

+

R

2

)

R

₁

+

R

₂

+

R

₃

Desenvolvendo o conjunto das equações das resistências equivalentes para cada circuito, temos:

R

_y

+

R

_z

=

R

3

(

R

1

+

R

2

)

R

₁

+

R

₂

+

R

₃

R

_x

+

R

_z

=

R

2

(

R

1

+

R

3

)

R

₁

+

R

₂

+

R

₃

R

_x

+

R

_y

=

R

1(

R

2

+

R

3)

R

₁

+

R

₂

+

R

₃

considerando

R

1

+

R

2

+

R

3 , como Rd, multiplicando as duas primeiras equações por

-1 e em seguida somando as mesmas, temos

−

R

_y

−

R

_z

−

R

_x

−

R

_z

+

R

_x

+

R

_y

=

−

R

1

R

3

−

R

2

R

3

R

d

+

−

R

1

R

2

−

R

2

R

3

R

d

+

R

1

R

2

+

R

1

R

3

R

d −2 R_z=−2 R2R3 Rd ⇒ Rz= R₂R₃ Rd = R2R3 R1+R2+R3

Desenvolvimento análogo pode ser realizado para a determinação das expressões

para o cálculo de Rx e Ry, levando as seguintes expressões

R_y=R1R3 Rd = R1R3 R1+R2+R3

R

_x

=

R

1

R

2

R

d

=

R

1

R

2

R

1

+

R

2

+

R

3

Observe que a expressão para cada resistência equivalente da conexão estrela é obtida através de uma expressão que é função das resistências do circuito triângulo onde o denominador é a soma de todas as resistências do circuito triângulo e o numerador é o produto das duas resistências do circuito triângulo, adjacentes a resistência do circuito estrela que se deseja determinar.

Determinação dos resistores R1, R2 e R3

Na transformação estrela→triângulo, dado o circuito original formado pelos resistores

Rx, Ry, Rz, R4 e R5, um circuito equivalente formado pelos resistores R1, R2, R3, R4 e R5,

pode ser determinado. As considerações de equivalências discutidas na transformação triângulo-estrela são as mesmas, logo as expressões das resistências equivalentes entre os terminais AB, AC e BC são as mesmas.

R

_y

+

R

_z

=

R

3

(

R

1

+

R

2

)

R

₁

+

R

₂

+

R

₃

R

x

+

R

z

=

R

2

(

R

1

+

R

3

)

R

₁

+

R

₂

+

R

₃

R

_x

+

R

_y

=

R

1(

R

2

+

R

3)

R

₁

+

R

₂

+

R

₃

Para determinação das expressões de R1, R2 e R3 a partir de Rx, Ry e Rz, devemos

dividir as expressões entre si e aplicar as relações de transformação de triângulo-estrela, previamente determinadas. Segue o desenvolvimento.

Dividindo a expressão de Ry+Rz pela expressão de Rx+Rz , temos

R

(

¿¿

y +R

z

)

R

2

(

R

1

+

R

3)

=

(

R

x

+

R

z

)

R

3

(

R

1

+

R

2

)

R

_y

+

R

_z

R

x

+

R

z

=

R

3

(

R

1

+

R

2

)

R

₂

(

R

₁

+

R

₃

)

⇒

¿

desenvolvendo temos,

R

_y

R

₁

R

₂

+

R

_z

R

₁

R

₂

+

R

_y

R

₂

R

₃

+

R

_z

R

₂

R

₃

=

R

_x

R

₁

R

₃

+

R

_z

R

₁

R

₃

+

R

_x

R

₂

R

₃

+

R

_z

R

₂

R

₃

cancelando os dois últimos termos, como indicado, e observando que

R₁R₂=R_xR_d , R₁R₃=R_yR_d e R₂R₃=R_zR_d , onde R_d=R₁+R₂+R₃ , temos

R

_y

R

_x

R

_d

+

R

_z

R

_x

R

_d

+

R

_y

R

_z

R

_d

=

R

_x

R

₁

R

₃

+

R

_z

R

₁

R

₃

+

R

_x

R

₂

R

₃ Da expressão

R

_x

=

R

1

R

2

R

d , temos que

R

x

R

1

=

R

2

R

d

, assim, substituindo este

resultado em R_z=R2R3

Rd

, temos R_z=R3Rx

R1

⇒ R_zR₁=R_xR₃ . Substituindo este

resultado na equação anterior, temos

R

_y

R

_x

R

_d

+

R

_z

R

_x

R

_d

+

R

_y

R

_z

R

_d

=

R

_x

R

₁

R

₃

+

R

_x

R

₃

R

₃

+

R

_x

R

₂

R

₃ ,

colocando o termo RxR3 em evidência, temos

R

_y

R

_x

R

_d

+

R

_z

R

_x

R

_d

+

R

_y

R

_z

R

_d

=

R

_x

R

₃₍

R

₁

+

R

₃

+

R

₂₎

=

R

_x

R

₃

R

_d , logo

R

₃

=

R

x

R

y

+

R

z

R

x

+

R

y

R

z

R

x

De modo equivalente as expressões para R1 e R2 podem ser determinadas. As

R2=

R_xR_y+R_zR_x+R_yR_z

Ry

R₁=RxRy+RzRx+RyRz

Rz

Observe que a expressão para cada resistência equivalente da conexão triângulo é obtida através de uma expressão que é função das resistências do circuito estrela onde o denominador é igual a resistência do circuito estrela original, diametralmente oposta a resistência do circuito triângulo que se deseja determinar e o numerador é a soma do produto dois a dois das resistências do circuito estrela original.

## Técnicas de Análise de Circuitos # Terminologia

1. Circuito Planar – Circuito que pode ser desenhado no plano sem que dois ou

mais ramos se cruzem. Nas figuras abaixo são apresentados dois circuitos que a partir de uma observação inicial indicariam ser não planares, no entanto, para o circuito (a), após uma reorganização dos resistores, percebe-se que o mesmo é planar. No caso do circuito (c), mesmo após a reorganização, ainda há um cruzamento de ramos, configurando o circuito não planar;

2. Nó – Ponto ao qual estão conectados dois ou mais elementos;

3. Nó essencial – Ponto ao qual estão ligados três ou mais elementos;

4. Caminho – Sequência de elementos ligados entre si na qual nenhum elemento

é incluído mais de uma vez;

5. Ramo – Caminho que liga dois nós;

6. Ramo essencial – Caminho que liga dois nós essenciais sem passar por outro

nó essencial;

7. Malha – Caminho fechado onde o último nó coincide com o primeiro, sem

passar por um mesmo nó mais de uma vez;

8. Malha simples – Malha que não inclui nenhuma outra malha em seu interior.

Exemplos de:

- Nó: na, nb, nc, nd, ne, nf, ng e nh; - Nó essencial: na, nc, ne, nf e nh; - Caminho: V1, Ra, Rb, Is, Rg e V3; - Ramo: Ra;

- Ramo essencial: Ra e Rb; - Malha: V1, Rc, V2, Re, Is e Rf; - Malha Simples: V1, Rc e Rd.

## Sistematização da análise

1. LKC – Circuito com “n” nós possibilita obter “n-1” equações linearmente

independentes;

2. LKT – Obtém-se as “k” outras equações independentes para determinar todas

as incógnitas do circuito, onde k=b-(n-1) e “b” é o número de incógnitas;

3. Uso de nós essenciais diminui o número de incógnitas a determinar (número

de nós essenciais, “ne” é menor ou igual ao número de nós, “n”, em um

circuito);

4. Ao usar os nós essenciais para obtenção das equações de corrente, as demais

“k” equações necessárias para obter uma solução única podem ser definidas a

partir das equações das malhas simples do circuito;

5. Circuitos acoplados através de fontes dependentes – Corrente no ramo de

interligação das partes do circuito é nula. A interligação mantém o mesmo potencial entre as partes do circuito, tomada com relação a um mesmo potencial de referência;

6. Circuitos acoplados através de fontes dependentes: LKC – Obtém-se “n-s”

expressões de corrente independentes, onde “n” é o número de nós e “s” o número de partes;

7. Circuitos acoplados através de fontes dependentes: LKT – Obtém-se “b-(n-s)”

expressões de malhas independentes, onde “b” é o número de incógnitas.

8. Circuitos acoplados através de fontes dependentes

a. Em um circuito acoplado através de fontes dependentes, formado por

“s” partes, onde são observados “n” nós e “b” ramos, temos:

i. LKC: Obtém-se “n-s” expressões de corrente independentes;

ii. LKT: Obtém-se “b-(n-s)” expressões de malhas independentes. a) Conexão interliga dois nós tornando-os apenas 1;

## Método de Tensão de Nó

Considere o circuito apresentado na figura abaixo:

Procedimento:

a) Desenhar circuito sem cruzamento de ramos e identificar os nós essenciais;

b) Selecionar um nó essencial como sendo o nó de referência (Obs: Escolher o

nó de referência como sendo o que está conectado ao maior número de ramos);

c) Definir as tensões de nó com relação ao nó de referência

d) Definir as equações das tensões de nós: Soma das correntes que saem do nó

é igual a zero (correntes saindo – positivas). Observe que

i

12

=−

i

21

nó 1 :i₁₁+i₁₂+i₁₃=0

nó 2 :i

₂₁

+

i

₂₂

−

i

_s

=0

Substituindo os termos de corrente pelas expressões de tensão, a partir da lei de Ohm, temos

nó 1 :

v

1

−

v

s

R

1

+

v

1

−

v

2

R

2

+

v

1

R

3

=0

nó 2 :v2−v1 R2 + v2 R4 −i_s=0

O sistema apresentará solução única – duas incógnitas e duas equações linearmente independentes.

Circuito com fontes dependentes: considere o circuito da figura abaixo

a) Definir as equações das tensões de nós: Soma das correntes que saem do nó

é igual a zero (correntes saindo – positivas). Observe que

i

_α

=−

i

₂₁

nó 1 :i

₁₁

+

i

_α

+

i

₁₃

=0

nó 2 :i₂₁+i₂₂+i₂₃=0

Substituindo os termos de corrente pelas expressões de tensão, a partir da lei de Ohm, temos: nó 1 :v1−vs R1 +v1−v2 R2 + v1 R3 =0

v

₂

−

v

₁

v

₂

v

₂

−8 i

_α

Observe que iα deve ser eliminado do sistema de equações, para que este seja

igual ao número de incógnitas. Como i₁₂=i_α , então temos que i_α=v1−v2

R3 , logo: nó 1 :v1−vs R1 +v1−v2 R2 + v1 R3 =0

nó 2 :

v

2

−

v

1

R

₂

+

v

₂

R

₄

+

v

₂

−8

(

v

1

−

v

2

R

₂

)

R

₅

=0

O sistema apresentará solução única – duas incógnitas e duas equações linearmente independentes.

Circuitos que apresentam fontes de tensão (independentes ou dependentes) levam a circuitos com número de tensões de nó desconhecidas menor – Conceito de Supernó.

a) Definir as equações das tensões de nós: Soma das correntes que saem do nó

é igual a zero (correntes saindo – positivas). Observe que para o circuito

acima, a tensão de nó v1 já é conhecida, sendo igual a vs. Logo só serão

escritas as equações para os nós 2 e 3.

nó 2 :i

_α

+

i

₂₂

+

i

₂₁

=0

nó 3 :−i₂₁+i₃₁−i_s=0

Substituindo os termos de corrente pelas expressões de tensão, a partir da lei de Ohm, temos: nó 2 :v2−v1 R2 +v2 R3 +i₂₁=0

nó 3 :−i

₂₁

+

v

3

R

4

−

i

_s

=0

Como não há uma expressão que defina i21 em termos das tensões de nó

desejadas, a mesma pode ser eliminada das equações, somando-se as equações dos nós 2 e 3, obtendo:

equação nó 2 e 3:

v

2

−

v

1

R

2

+

v

2

R

3

+

v

3

R

4

−

i

_s

=0

como v1=vs , temos:

equação nó 2 e 3:

v

2

−

v

s

R

2

+

v

2

R

3

+

v

3

R

4

−

i

_s

=0

Para determinação das tensões v2e v3 é necessária mais uma equação.

Esta equação é obtida da relação estabelecida pela fonte de tensão

v

₃

=

v

₂

+10 i

_α

=

v

₂

+10

(

v

2

−

v

1

R

₂

)

Assim, o sistema obtido de duas equações e duas incógnitas apresentará solução única. A equação dos nós 2 e 3 poderia ser obtida de forma direta se

considerarmos que o ramo onde está a fonte de tensão dependente ( 10 i_α ),

representa um único nó, o qual denominaremos de “super nó” (ver figura a seguir).

Observe que permanecem mantidas as tensões nos nós do circuito, ou seja,

mantemos as tensões v2e v3 . Utilizando o mesmo critério de que corrente

saindo são positivas, temos para o “super nó” a seguinte equação:

i_α+i₂₂+i₃₁−i_s=0

Substituindo os termos de corrente por suas respectivas expressões em termos das tensões, teremos:

v₂−v_s R2 + v2 R3 +v3 R4 −i_s=0

Obtém-se assim expressão igual a expressão “equação nó 2 e 3” resultante da soma das equações dos nós 2 e 3.

## Método de correntes de Malha

O método de correntes de malha, como o método de tensões de nó, objetiva levar a solução de análise de um circuito, reduzindo o número de equações do sistema de equações que deve ser gerado para determinação do conjunto de grandezas de interesse.

OBS: O método não é aplicado a circuitos não planares, pois o cruzamento de ramos não permite definir malhas simples.

Na aplicação do método de correntes de malha, define-se a corrente de malha como sendo a corrente que circula no perímetro de uma malha. Esta, pode, ou não, coincidir com as correntes dos ramos que constituem a malha simples.

Considere o circuito abaixo:

Considerando que se deseja determinar as correntes i11, i12, i13 e i22, pelos métodos convencionais (LKT, LKC, etc) seria necessário um sistema de quatro equações para se obter os valores das correntes. Aplicando o método das correntes de malha, define-se, para o circuito em questão, que possui três malhas simples, três correntes de malha, indicadas por ia, ib e ic, como mostrado na figura abaixo. Inicialmente, podemos estabelecer a relação entre as correntes de malha ia, ib e ic e as correntes a determinar (correntes de ramo) i11, i12, i13 e i22, sendo estas definidas por:

i

₁₁

=−

i

_a i₁₂=i_b

i

₁₃

=

i

_a

−

i

_b i₂₂=i_b+i_c

Pode-se perceber, para o circuito acima, que a corrente de malha ic é a própria corrente is, definida pela fonte independente de corrente. Podemos afirma isso pelo fato de que a corrente ic é a corrente que circula pelos elementos R4 e fonte is, como esta é uma fonte de corrente independente, que impõe a corrente no ramo onde está conectada, e como ic passa por esse ramo, conclui-se que ic = is.

No método das correntes de malha utilizamos a LKT para escrever as equações de cada uma das malhas simples identificadas no circuito. Com relação as polaridades definidas para os resistores, adotou-se o sentido associado de correntes e tensões. Para os elementos compartilhados por mais de uma malha simples, como no caso dos resistores R3 e R4, para o circuito acima, pode ser definida uma polaridade de tensão associada a cada corrente de malha, por exemplo, para o resistor R3, pode ser definida uma polaridade de tensão considerando a corrente de malha ia e outra polaridade de tensão considerando a corrente de malha ib. Este procedimento, no entanto, pode causar confusão, assim, sugere-se definir uma única polaridade, considerando uma das correntes de malha que passa pelo elemento comum. Esta

polaridade é então utilizada na escrita das equações de malha de todas as malhas que compartilham o elemento. No caso do circuito acima, para o resistor R3, a polaridade da tensão foi definida pela corrente de malha ib e será usada na obtenção das equações de tensão tanto da malha da corrente ib, quanto para a malha da corrente ia. Utilizando a LKT e percorrendo as malhas no sentido de circulação das respectivas correntes de malha, considerando queda de tensão positiva, temos:

malha de i_a:−v_s+v₁−v₃=0

malha de i

b

:v

3

+

v

2

+

v

4

=

0

Não escreveremos a equação para a malha de ic, visto que como explicado

i

c

=

i

s .

Reescrevendo as equações de tensão em termos de correntes e resistências temos:

malha de i

_a

:−v

_s

+

R

₁

i

_a

−

R

₃

₍

i

_b

−

i

_a

₎

=0

malha de i_b:R3(ib−ia

)

+R2ib+R4

(

ib+ic

)

=0

A utilização da mesma polaridade de referência para a tensão v3, para a escrita das equações das malhas percorridas pelas correntes ia e ib, permite utilizar a mesma equação de v3, definida em função de R3, ib e ia, em ambas as equações de malha, conforme observado nas equações acima. Como i_c=i_s , temos:

malha de i

a

:−v

s

+

R

1

i

a

−

R

3

(

i

b

−

i

a

)

=0

malha de ib:R3(ib−ia

)

+R2ib+R4

(

ib+is

)

=0

sistema com duas incógnitas. Considere o circuito abaixo

Considerando que se deseja determinar as correntes i1, i2, i3, i4 e i5, pelos métodos convencionais (LKT, LKC, etc) seria necessário um sistema de cinco equações para se obter os valores das correntes. Aplicando o método das correntes de malha, define-se, para o circuito em questão, que possui três malhas simples, três correntes de malha, indicadas por ia, ib e ic, como mostrado na figura a seguir. Inicialmente, podemos estabelecer a relação entre as correntes de malha ia, ib e ic e as correntes a determinar (correntes de ramo) i1, i2, i3, i4 e i5, sendo estas definidas por:

i₁=i_a−i_b

i

₂

=

i

_a

i

−(

¿ ¿

a+i

c

)

i

3

=

¿

i₄=−i_c

i

₅

=

i

_b

No circuito acima percebe-se que os elementos R1, R3 e a fonte is são compartilhados por mais de uma malha. No caso dos resistores, as polaridades de referência, indicadas no circuito, foram definidas considerando ib, no caso de R1 e no caso de R3, tanto ia como ic foram consideradas, visto que ambas atravessam o referido resistor numa mesma direção. Utilizando a LKT e percorrendo as malhas no sentido de circulação das respectivas correntes de malha, considerando queda de tensão positiva, temos:

malha de i_a:v₂+v₃−v₁=0

malha de i

_b

:−v

_s

+

v

₁

+

v

_x

+

v

₄

=0

malha de i_c: v_x+v₃−ki₁+v₅=0

Reescrevendo as equações de tensão em termos de correntes e resistências temos:

malha de i

_a

:R

₂

i

_a

+

R

₃

₍

i

_a

+

i

_c

₎

−

R

₁

₍

i

_b

−

i

_a

₎

=

0

malha de i_b:−v_s+R₁

₍

i_b−i_a

₎

+v_x+R₄i_b=0

malha de i

_c

: v

_x

+

R

₃

₍

i

_a

+

i

_c

₎

−

k

₍

i

_a

−

i

_b

₎

+

R

₅

i

_c

=0

Observa-se nas equações acima a existência do termo vx que não pode ser definido a partir de uma relação entre correntes de malha e resistência, visto que o mesmo representa a tensão sobre uma fonte de corrente. Há duas possibilidades para prosseguir a partir deste ponto: 1) definimos uma quarta equação e dessa forma obtemos o número de equações necessárias para determinar as correntes de malha ia, ib e ic e adicionalmente o valor de vx, ou 2) eliminamos vx, realizando uma combinação linear com as equações que contém este termo. Prosseguiremos usando a opção 2, assim, subtraindo da equação de malha da corrente ib, a expressão da equação de malha da corrente ic, temos:

malha de i

b

−

malha de i

c

:−v

s

+

R

1

(

i

b

−

i

a

)

+

v

x

+

R

4

i

b

−

[

v

x

+

R

3

(

i

a

+

i

c

)

−

k

(

i

a

−

i

b

)

+

R

5

i

c

]

=0

logo: −v_s+R₁

₍

i_b−i_a

₎

+R₄i_b−R₃

₍

i_a+i_c

₎

+k

₍

i_a−i_b

₎

−R₅i_c=0

Para que possamos determinar de forma única os valores de ia, ib e ic, ainda necessitamos de uma equação. Esta, é definida pela relação estabelecida entre a fonte de corrente e as correntes de malha, cujas malhas compartilham a fonte de corrente, ou seja, no nosso exemplo, a fonte de corrente is é compartilhada pelas malhas onde circulam as correntes de malha ib e ic, assim, há uma relação entre estas corrente e a corrente da fonte definida por:

i

_s

=−

₍

i

_b

+

i

_c

₎

Com a equação acima, complementa-se o número de equações do sistema, obtendo-se três equações que permitirão determinar as três correntes de malha ia, ib e ic.

A equação

malha de i

_b

−

malha de i

_c poderia ser obtida de forma direta se

eliminarmos o ramo onde está a fonte de corrente is , dessa forma, unindo as