R , denominada de constante de tempo de um circuito RL;

+¿

0

¿ representa o instante logo após a comutação da chave (fechamento da

chave).

A verificação dos valores da expressão para t=0 e para t→∞ demonstra que os valores de corrente serão, respectivamente, 0 e

v

s

R

. OBS:

 Na resposta ao degrau do circuito RL a constante de tempo determina o tempo de crescimento da corrente no indutor;

 Uma constante de tempo após o início de carga do indutor a corrente no circuito RL é igual a 1-

_e

−1 _{(≈ 0,63 vezes o seu valor de regime)}

Após o fechamento da chave em t=0 e usando a LKT, considerando queda de tensão positiva e percorrendo o circuito no sentido da corrente, temos

v

_s

=v

_r

+v

_L

=Ri +Ldi

 Após cinco constantes de tempo a corrente já atingiu mais de 99,3% do valor de regime.

# Circuito RC – Resposta Natural

Na resposta natural o circuito RC funciona com a energia armazenada no capacitor. No caso do circuito ser constituído por apenas um resistor e um capacitor, após 10 constantes de tempo do circuito não restará nenhuma energia no circuito.

Considere o circuito apresentado na figura abaixo.

Em t=0, a chave CH1 muda para a posição B, com isso, a fonte vs e o resistor R1 são desligados. Neste instante o resistor R e capacitor C passam a formar um circuito RC, apresentando resposta natural.

A partir da LKC, considerando as correntes saindo do nó superior do circuito e que correntes saindo serão positivas, temos

i

_R

+i

_c

=0⇒v

c

R+c

dv

_c

dt

=0

Desenvolvendo, temos

dv

_c

dt

=

−1

Rc

v

c dv_c vc =−1 Rcdt

Integrando ambos os termos, temos

∫

vc(0) vc(t )

dy

y

=∫

₀ t

−1

Rcdx⇒ln[v

c

(t )]−ln[v

c

(0)]=

−1

Rc

t⇒ ln[

v

_c

(t)

v

_c

(0)]=

−1

Rc

t

Aplicando a exponencial a ambos os termos, temos

+¿

v

_c

(t)

v

_c

(0)=e

−1 Rct

_{⇒ v}

c

(t)=v

c

(0)e

−t τ

_{, para t >0}

¿

Considerando que vc(0) = vs, temos

v

_c

(t )=v

_s

e

−t τ

Condições iniciais do circuito antes de t=0:  Chave na posição A;

 Correntes e tensões constantes.

Com as tensões constantes o capacitor está se comportando como um circuito aberto, assim, a tensão do capacitor é igual a tensão vs da fonte, não havendo corrente na malha formada pela fonte vs, R1 e o capacitor C.

Após a mudança da chave para a posição B o capacitor irá impor a tensão no circuito RC, que provocará uma corrente que circulará por ambos os componentes. Para análise foram considerados os sentidos associados de corrente e tensão como mostrados na figura do circuito RC ao lado.

+¿

0

¿ representa o instante logo após a comutação da chave (mudança da

posição A para a posição B).

A verificação dos valores da expressão para t=0 e para t→∞ demonstra que os valores de tensão serão, respectivamente, vs e 0.

OBS:

 Na resposta natural do circuito RC a constante de tempo determina o tempo de decaimento da tensão do capacitor;

 Uma constante de tempo após o início de descarga do capacitor a tensão no mesmo é reduzida a

_e

−1 _{(≈ 0,37 vezes o valor inicial)}

 Após cinco constantes de tempo a tensão já caiu a menos de 1% do valor inicial.

 Em um circuito RC contendo mais de um capacitor, sendo que pelo menos dois capacitores estejam conectados em série, como apresentado na figura abaixo, existe a possibilidade de em regime os capacitores em série armazenarem uma energia residual. Para determinar se existirá energia residual, deve-se determinar o capacitor equivalente da associação de capacitores e sua energia inicial. Em seguida deve-se determinar a energia inicial do circuito, para isso calcule a energia individual de cada capacitor e some as mesmas. Se a energia inicial do circuito for maior que a energia inicial do capacitor equivalente, então haverá energia residual nos capacitores conectados em série. Observe que pode haver energia em capacitores em série, pois caso os mesmo possuam tensões iguais e de polaridade invertida a tensão no circuito entre os terminais dos capacitores será nula. Além disso, sob tensão constante capacitores se comportam como circuitos abertos

# Circuito RC – Resposta ao Degrau

Na resposta ao degrau o circuito RC funciona com uma fonte de tensão e/ou corrente alimentando o circuito de forma permanente, após um instante inicial. De forma equivalente a resposta natural, após 10 constantes de tempo o circuito apresentará condições de regime, ou seja, suas grandezas terão valores constantes.

Considere o circuito apresentado na figura abaixo.

Em t=0, a chave CH1 é fechada, como a tensão inicial do capacitor era zero, essa condição é mantida após o fechamento da chave, já que o capacitor impede que a tensão entre os seus terminais mude instantaneamente. Dessa forma, toda a corrente

Condições iniciais do circuito antes de t=0:  Chave aberta;

 Tensão no capacitor nula.

No circuito ao lado é possível haver energia nos capacitores C1 e C2 na condição de regime, após a chave mudar da posição “A” para a posição “B”, basta que a condição referente as energias, indicada acima, se verifique. Se houver as tensões vc1 e vc2 serão iguais em amplitude e com sinais contrários, dessa forma, a tensão sobre o resistor R1 será nula.

da fonte é drenada pelo capacitor. Isso evita de passar qualquer corrente pelo resistor R, o que provocaria uma tensão em t=0+ _{diferente de zero.}

Desenvolvendo, temos

dv

_c

dt

=

i

_s

c−

1

Rc

v

c

=

−1

Rc

(v

c

−i

s

R)

d v_c vc−isR =−1 Rc dt

Integrando ambos os termos, temos

∫

vc(0) vc(t )

dy

y−i

_s

R=∫

₀ t

−1

Rcdx⇒ln[v

c

(t)−i

s

R]−ln[v

c

(0)−i

s

R]=

−1

Rct

ln[

v

c

(t)−i

s

R

v

_c

(0)−i

_s

R]=

−1

Rct

Aplicando a exponencial a ambos os termos, temos

+¿

v

_c

(t)−i

_s

R

v

_c

(0)−i

_s

R=e

−1 Rct

_⇒v

c

(t )=i

s

R +[v

c

(0)−i

s

R]e

−t τ

_{, para t >0}

¿

Considerando que

v

c

(0)

= 0, temos

v

_c

(t )=i

_s

R(1−e

−t τ

)

onde:

τ =Rc

, denominada de constante de tempo de um circuito RC;

+¿

0

¿ representa o instante logo após a comutação da chave (fechamento da

chave).

A verificação dos valores da expressão para t=0 e para t→∞ demonstra que os valores de tensão serão, respectivamente, 0 e

i

_s

R

.

OBS:

 Na resposta ao degrau do circuito RC a constante de tempo determina o tempo de crescimento da tensão no capacitor;

 Uma constante de tempo após o início de carga do capacitor a tensão no mesmo é igual a 1-

_e

−1 _{(≈ 0,63 vezes o seu valor de regime)}

 Após cinco constantes de tempo a tensão já atingiu mais de 99,3% do valor de regime.

# Solução Geral – Circuitos RL e RC

Circuitos de primeira ordem, do tipo RC ou RL, podem apresentar mais malhas do que os exemplos anteriormente apresentados. Nestes casos, caso seja possível minimizar os mesmos através de circuitos equivalentes Thévenin ou Norton, de modo que o Após o fechamento da chave em t=0 e usando a LKC, considerando corrente saindo de um nó positiva e considerando o nó superior do circuito, temos

i

_s

=i

_r

+i

_c

=v

c

R+c

dv

_c

capacitores e/ou indutores dos circuitos de primeira ordem através do uso da expressão geral:

x (t )=x (∞)+[x (0 )−x (∞)]e

−t τ onde:

x(t) é a expressão no tempo de uma variável, corrente ou tensão, de interesse; x(∞) é o valor de regime da variável selecionada;

x(0) é o valor inicial da variável selecionada; τ é a constante de tempo do circuito RL ou RC. Topologias de circuitos Expressões: (a)

di

dt+

i

Rc=0

(b)

dv

dt+

R

Lv=0

(c)

di

dt+

R

Li=

v

_{t h}

L

(d)

dv

dt+

v

Rc=

i

_N

c

Equação diferencial geral:

dx

dt

+

x

τ=k

Como já discutido, após um período transitório, todas as grandezas dos circuitos de primeira ordem tendem para valores constantes no regime. Considerando isso, o termo

dx

dt

da expressão geral tenderá para 0, logo, x

(

∞)=kτ .

No documento Circuitos Elétricos I (reparado 24_10_2140) (páginas 60-64)