Estimação de parâmetros no domínio da frequência para a determinação simultânea da condutividade e difusividade térmica

PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA MECÂNICA

ESTIMAÇÃO DE PARÂMETROS NO DOMÍNIO DA FREQUENCIA PARA A DETERMINAÇÃO SIMULTÂNEA DA CONDUTIVIDADE E DIFUSIVIDADE TÉRMICA

TESE SUBMETIDA A UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA PARA A OBTENÇÃO DO GRAU DE DOUTOR EM ENGENHARIA MECÂNICA

GILMAR GUIMARAES

ESTIMAÇÃO DE PARAMETROS NO DOMINIG DA FREQUÊNCIA PARA A DETERMINAÇAO SIMULTANEA DA CONDUTIVIDADE E DA DIFUSIVIDADE TÉRMICA

GILMAR GUIMARAES

ESTA TESE FOI JULGADA ADEQUADA PARA OBTENÇÃO DO TÍTULO DE

DOUTOR EM ENGENHARIA

ESPECIALIDADE ENGENHARIA MECANICA E APROVADA EM SUA FORMA FINAL PELO PROGRAMA DE PóS-GRADUAÇÍ£rNEM ENGENHARIA MECANICA

Prof. Paulo Cesar Philippi, Dr. Ing. Orientador

Prof. Bere

CoorXenádor

^ o e i j W , Dr.Ing. idor cjo curso

BANCA EXAMINADORA

Prof. Paulo Cesar Philippi, Dr. Ing. Presidente

Prof. Pierre Thery, Docteur-'es-Sciences

'P _ G x t u j ;

E ste trab alh o é dedicado

Aos meus Pais, Moisés Caribaldino Guimarães e G eraldiná de Oliveira

À minha Esposa, Inez Vidal Magalhães

Ao meu Filho, Bruno Vidai Guimarães

AGRADECIMENTOS

Ao P ro f. Paulo Cesar Philippi, pela amizade, orientação e condução desse trab alh o .

Ao Prof. Sérgio Colle, que com sua percepção e intuição induziu-m e ao domínio da frequência.

Ao Prof. Sam ir N. Y. Gerges, pela colaboração técnica inestim ável. De sua p articip ação efetiv a se deve, em grande p a rte , o êxito desse trab alh o .

Ao Prof. P ie rre Thery, pela cessão dos tra n sd u to re s de fluxo de calor.

Aos colegas Ricardo Veríssimo de Souza e Luis Mauro Moura, pelo grande apoio técnico e pessoal.

Aos P ro fs. José Antonio Bellini da Cunha Neto e Roberto L am berts pelo convívio e apoio técnico no laboratório.

Pág. LISTA FIGURAS... ... ... ' ... ... . . V LISTA DE TABELAS... ... IX RESUMO... ... ... ... X ABSTRACT... ... ... XI CAP.l - Introdução ... 1

CAP.2 - Técnicas tran sien tes: Conceitos e Fundamentos... 6

CAP.3 - Método I - Estimação de parâm etros no Domínio, do Tempo..- 17

3.1 - Introdução... ... 17

3.2 - Desenvolvimento do Modelo Teórico... ... 17

3.3 - Implementação e Análise de R esu ltad o s,...;...: . . . 25

CAP. 4 - Método II - Estimação de Parâm etros no Domínio da Frequência .34 4.1 - Introdução... ... 34

4.2 - Desenvolvimento do Modelo Teórico... 34

4.3 - Identificação Teórica de ( f ) ... ... 42

4.4 - Identificação Experim ental de Z (f )... ... 44

C 4.5 - Determinação de K e a ... ... 46

4.6 - Implementação do Método e Análise dos R e su lta d o s... 49

4.6.1 - Introdução... . ... 49

4.6.2 - Determinação de a e K no Domínio da Freqência 50 4.7 - Resultados da Estimação de K e a da Amostra de Polythene... ... ... 59

CAP.5 - Descrição da Bancada Experim ental, Sistem a de Aquisição

e Análise de e rro s ... ... 61

5.1 - Aparato Experim ental... ... 61

5.2 - Análise de E rro ... ... ... 62

5.2.1 - Introdução... ... ... ... 62

5.2.2 - Análise da Incerteza na Determinação de K e a ... 63

5.2.3 - Análise das Hipóteses de Fluxo de Calor Unidimensional e Contato Térmico P e rf eito e n tre os Sensores e a Amostra A través de Simulação Numérica... ... .. 65

5.2.4 - E rros no Sistema de Medição (Sistem a de Aquisição e Sensores)... . 89

CAP.6 - Análise de Resultados: Métodos da Estimação de parâm etros no Domínio do Tempo e da F reqência... 89

6.1..- Introdução... ... ... 89

6.2 - Análise de R esu ltad o s... ... ... .. . . . ' “89

CAP.7 - Conclusão... ... . . 93

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS... ... ... ... 97

APÊNDICES... ... ... ... 104

I - C ritério p a ra Estimação de P arâm etro s... 104

II - Processos Aleatórios Estacionários - Conceitos Básicos... ... 113

III - Desenvolvimento das Integrais relativ as aos Fluxos de calor nas Superfícies da Amostra e Determinação dos Coeficientes de Sensibilidade... ... ... 116

LISTA DE FIGURAS

pag

Figura 2.1a - Método Flash: form a esquem ática... ... 8

Figura 2.1b - Método Flash: Identificação de ... ... .. . 8

Figura 2.2 - Esquema de uma sonda térm ica típ ic a ... ... ... . . 10

Figura 2.3 - Modelos p a ra obtenção de propriedades térm icas em métodos tra n s ie n te s ... ... 12

Figura 2.4 - Modelo p a ra obtenção experim ental de condição de isolam ento... ... ... 13

Figura 2.5 - Am ostra s u je ita à evoluções tra n sie n te s de fluxo de calo r e te m p eratu ras nas superfícies. Aplicação de sensores su p e rfic ia is... ... 16

Figura 3.1 - Am ostra s u je ita a um fluxo de calor imposto na su p erfície.. 18

Figura 3.2 - Fluxo de calor aplicado na superfície fro n ta l da a m o stra... 26

Figura 3.3 - Evolução tra n sie n te das te m p e ratu ras... . . . i 26 Figura 3.4 - Fluxo de calor resu ltan te na su p erfície oposta da am o stra.. 27

Figura 3.5 - Coeficientes de sensibilidade... ... ... 28

Figura 3.6 - Coeficientes de sensibilidade na superfície f r o n ta l... . 28

F igura 3.7 - Coeficiente de sensibilidade na superfície op o sta... ... 29

F igura 3.8 - D eterm inante da m atriz coeficiente de sen sib ilid ad e... 29

F igura 3.9 - Coeficiente de sensibilidade p a ra uma a m o stra de polythene de 15 mm de esp essu ra... 30

Figura 3.10 - P erfis de tem p eratu ra simulados p a ra uma am ostra de polythene de 15 mm de éspessura... — ... 31

Figura 4.1 - ModelO térm ico equivalente usado p a ra a estim ação de propriedades na domínio da frequência... 35

Figura 4.3 - P erfil típico de um sinal de e n tr a d a ... ... ... 51

Figura 4.4 - P erfil típ ico de um sinal de s a íd a ... . . . 51

Figura 4.5 - Densidade auto espectral da entrada, S x x (f)... ... ... ... 53

Figura 4.6 - Densidade auto espectral de saída, Syy(f)... 53

Figura 4.7 - Componente real da densidade espectral cruzada, Re Sxy .. 54

Figura 4.8 - Componente im aginária da densidade espectral cru zada, Figura 4.2 - Sistem a dinâmico, tipo e n tra d a /s a íd a ... . 39

Im Sxy 54 Figura 4.9 - Coeficiente de sensibilidade, Xi... 55

Figura 4.10 - Coeficiente de sensibilidade, X2... ... ... 56

Figura 4.11 - Módulo da impedância generalizada... 58

Figura 4.12 - Fase da impedância generalizada... ... .. 59

Figura 5.1 - a) Aparato experim ental... ... ... 61

Figura 5.1 - b) Modelo térm ico equivalente... ... ... 61

Figura 5.2 - Modelo simulado do aparato experim ental... 66

Figura 5.3 - Modelo p a ra resistên cia de contato...— 68

Figura 5.4 - R esistência de contato: modelo sem in te rstíc io ... . _68 Figura 5.5 - Comparação en tre soluções numérica e a n alítica p a ra a validação do modelo numérico no centro da am ostra, T(x,y)= T (0 ,0 )... .1... 72

Figura 5.6 - Evolução da tem p eratu ra ao longo da su p erfíc ie de aquecimento p a ra diversos valores de coeficiente de convecção p a ra a am ostra de Polythene, p a ra t = 800 s ... 73

Figura 5 .7 - Evolução da tem p eratu ra ao longo da su p erfície de aquecimento p a ra diversos valores" de coeficiente de convecção, p a ra am ostra de m adeira p a ra t = 800 s ... 74

Figura 5.8 - Evolução da tem p eratu ra ao longo da su p erfície de aquecimento p a ra diversos valores de. ‘ coeficiente de

convecção p ara am ostra de concreto p a ra t = 800 s ... 74 Figura 5.9 - Evolução da tem p eratu ra ao longo da su p erfície de

aquecimento p ara diversos valores de coeficiente de

convecção, am ostra de aço... 75 Figura 5.10 - Evolução da tem p eratu ra ao longo da su p erfície de

aquecimento p ara diversos valores de coeficiente de

convecção, am ostra de alumínio... 75 Figura 5.11 - Evolução da tem p eratu ra ao longo da su p erfície de

aquecimento p a ra diversos valores de coeficiente de

convecção, am ostra de Cobre... . . . . 76 Figura 5.12 - Evolução da tem p eratu ra no centro da su p erfície de

■ de aquecimento. Amostra de polythene, h =20 W/m^K. xc

Comparação com a solução unidimensional... 77 Figura 5.13 - Evolução da tra n sien te da tem p eratu ra no centro da

superfície de aquecimento, p ara am ostra de 2

polythene, h^^=20 W/m K. Comparação com a so lu ção... ... unidimensional... ... 77 Figura 5.14 - Análise de resistên cia de contato, 10 fim de

interstício. Amostra de polythene— ... . . . . 78 Figura 5.15 - Análise de resistência de contato, 10 fim de

in terstício. Amostra de m adeira.... ... 79 Figura 5.16 - Análise de resistência de contato, 10 fim de

in terstício. Amostra de concreto... . . . . . 79 Figura 5.17 - Análise de resistên cia de contato, 10 fim de

in terstício . Amostra de aço ANSl 302... ... ... 80

Figura 5.18 - Análise de resistên cia de contato, 10 fim de

Figura 5.20 - Sistem a de aquisição usado (baixo ru íd o )... ... . . 81 Figura 5.21 - Incerteza e s ta tís tic a na estim ação de resp o sta em

frequência, Z ( f ) ... ... 87 Figura 6.1 - Comparação das soluções a n alítica e experim ental do

método de estimação de parâm etros, a p a r tir das propriedades estim adas pelo método do domínio da

frequência, (posição x,y=(0,0)... 91 Figura AIII-1 - Curva típ ic a de um fluxo de calor submetido na face

LISTA DE TABELAS

pag

Tabela 3.1 - Simulação de estim ação de parâm etros. Polythene, L = 15 mm Valores iniciais: K = 0,2 W / mK

a = 1,5 x 10”^ m V s ... ... ...3 2 Tabela 3.2 - Simulação de estimação de parâm etros. Polythene,

L = 15 mm Valores iniciais: K = 0,1 W / mK

a = 1,0 X 10”^ m V s ... ... .. . 32 Tabela 3.2 - Simulação de estim ação de parâm etros. Polythene,

L=15 mm Valores iniciais; K = 0,01 W/mK

a = 1,0 X 10'® m V s ... . . ; ... . ... 33 Tabela 4.1 - C aracterização dos experimentos: fluxo de calor

máximo, Q , e fluxo de calor inicial, Q , na

max 0

su p erfície . fro n tal; te m p e ratu ras iniciais,

respectivam ente, T e T nas su p erfícies fro n ta l ^

-sl s2

e oposta e tem p eratu ra média en tre T e T ... .. . 50

sl meoc

Tabela 4.2 - Simulação de estim ação de p arâm etros. Experim entos

de número 1-11. Valores iniciais: K=0,35 e a= 2,l x lO”^... 57 Tabela 4.3 - R esultados p a ra a estim ação de K e a . Amostra de

polyhtehe L= 50 mm... ... ... 57 Tabela 5.1 - Dimensões e propriedades térm icas p ara os d iferentes

m ateriais da bancada experim ental.... ... ... ... 69 Tabela 5.2 - Propriedades térm icas p a ra am ostras de d iferen tes

INTRODUÇÃO

O desenvolvimento de técnicas experim entais pa^ra a determ inação de propriedades térm icas, e.g., calor específico, c , condutividade, K, e difusividade térm ica, a, de d iferen tes m ateriais, tem interessado muitos pesquisadores devido a sua la rg a aplicação em problem as de engenharia [1-5]. A c arac te riz aç ã o térm ica de novos m ateriais, m ateriais compostos ou ainda m a te ria is convencionais de e s tru tu ra complexa, e.g., m a te ria is porosos, são alguns exemplos da im portância relacionada com o desenvolvimento de técn icas experim entais p a ra a determ inação de p arâm etro s térm icos.

Esse trab alh o é voltado ao estudo e desenvolvimento de métodos capazes de levar à obtenção da condutividade e difusividade térm ica de m a te ria is não m etálicos. A atenção é direcionada especificam ente ao desenvolvimento de técnicas que possibilitem a c aracterização térm ica de m a te ria is porosos cu jas c a ra c te rís tic a s variam com a e s tru tu ra da m a triz sólida e com o conteúdo de umidade. 0 estudo em regime perm anente pEU'a a c ara c te riz a ç ã o da condutividade térm ica é descartado por s e r um procedim ento de longa duração, (15 horas em laboratório) [6], a ca rre ta n d o re d istrib u iç ã o de umidade na e stru tu ra porosa. Além disso é incapaz da obtenção da difusividade térm ica. T orna-se assim necessária a aplicação de métodos tra n sie n te s. Investe-se nesse sentido em métodos que possam se r aplicados in s itu em m ateriais de construção civil e m a te ria is de isolam ento térm ico.

quando se d eseja a obtenção dessas propriedades de form a sim ultânea. Como exemplos c ita -se os métodos Flash e Fio Quente. 0 prim eiro foi originalm ente desenvolvido p a ra a obtenção da difusividade térm ica enquanto o segundo p a ra a condutividade térm ica. Todavia, ambos os métodos são capazes da obtenção sim ultânea das duas propriedades, ainda que com m aior dificuldade (veja Capítulo II). Uma form a de cálculo in te re ssa n te p a ra a obtenção de v árias propriedades simultaneamente e que pode se r aplicada a vários métodos é a estim ação de parâm etros. E n tretan to , quando se t r a t a da obtenção de mais de uma propriedade o método to rn a -se b astan te sensível e regiões em que não e x ista dependência linear en tre os p arâm etro s envolvidos devem se r investigadas p a ra que h a ja sucesso na estim ativa. A busca de um método capaz da obtenção sim ultânea da condutividade térm ica e da difusividade térm ica, sem c a ra c te rístic a s d estru tiv as, ou seja , em que a região de medição não s e ja interna ao meio investigado foi a p rim eira m otivação desse trabalho. Nesse sentido, inicialm ente te n to u -se a aplicação d ire ta do método da estim ação de parâm etros a p a r tir de condições de contorno do tipo fluxo de calor p rescrito com evolução tra n sie n te em ambas as su p erfícies e minimização da diferença das te m p e ratu ras su p erficiais experim entais e calculadas. Essas condições, só podem ser aplicadas usando-se tra n sd u to re s de fluxo de calor, que no caso são de ráp id a re sp o sta e a lta sensibilidade. Na verdade o uso desses tra n sd u to re s dão uma grande versatilidade na manipulação de condições de contorno do tipo fluxo de calor p rescrito . Nos casos an terio res conhecidos, onde c ita -se o método fla sh e métodos de estim ação de parâm etros- [7], apenas o fluxo de calo r subm etido sobre a am ostra e ra conhecido (não medido) e a o u tra su p erfície sempre isolada. E ntretanto, esses métodos m ostram -se mais adequados a am o stras de c a ra c te rís tic a s mais condutoras ou de espessuras menores que as am o stras disponíveis nesse trabalho. Salienta-se que devido à necessidade

com condutividade térm ica conhecida, a p a rtir de método em regim e perm anente pelo N atio n al P h y sical L a b o ra to ry da In g laterra. Isso motivou a busca de um novo método capaz da obtenção das propriedades em m a te ria is não m etálicos com espessuras mais robustas. 0 principal obstáculo na técn ica de estim ação de p arâm etro s usada no método de estim ação de p arâm etro s no domínio do tem po foi a região de dependência linear en tre a condutividade té rm ic a e difusividade térm ica que não pode ser evitada {veja Capítulo III). O segundo método desenvolvido p a ra a estim ação de K e a no domínio da f requência contorna esse problema, uma vez que as propriedades são d eterm inadas de form a independente. Nesse sentido obtém -se a difusividade té rm ic a de form a exclusiva atrav és do ângulo de fa se da função re sp o sta em frequ ên cia da am ostra. A condutividade térm ica é então determ inada a tra v és do módulo daquela função. As c a ra c te rís tic a s do método desenvolvido perm item a aplicação d ire ta em campo a p a r tir de algum as hipóteses sim plificativas. Resultados indicam que as hipóteses de te m p e ratu ra co n stante e fluxo de calor nulo, na superfície da am o stra o p o s t^ à sup erfície de aquecimento, podem ser aplicadas. Nesse caso, as propriedades térm icas serisun obtidas a p a rtir das evoluções tra n sie n te s do fluxo de calo r e da tem p eratu ra ha superfície fro n ta l da am ostra. Essa aplicação é p articu larm en te in teressan tè na determ inação de propriedades térm icas de meios onde se tem acesso a apenas uma superfície, como por exemplo uma parede (semi~infinito).

Cabe salien ta r que não existe nenhum método tra n sie n te norm alizado p a ra a obtenção de propriedades térm icas, sendo esse trab alh o uma contribuição p a ra o aperfeiçoam ento dessas técnicas.

té rm ic a e calor específico. A revisão baseia-se principalm ente nos já conhecidos métodos tra n sien tes "Flash" e "Fio Quente", e em técnicas tra n s ie n te s de medição mais recentes, como estim ação de p arâm etro s e processam ento de sinais.

Dois métodos tra n sien tes são propostos neste trab alh o . 0 prim eiro u tiliz a a técn ica de estim ação de parâm etros e o modelo térm ico baseia-se nas condições de contorno do tipo fluxo de calor p re sc rito nas duas su p erfícies. A geração do fluxo de calor é obtida por efeito Joule, a tra v és de uma placa fin a de resistên cia e os fluxos de en trad a e saíd a são obtidos a tra v é s da medição usando-se tran sd u to res de fluxo de calor. E stim a-se as propriedades a tra v és da minimização da diferença de te m p e ratu ras nas su p erf ícies medidas e calculadas pelo modelo térm ico. A descrição desse método e seus resultados são apresentados no Capítulo III. Uma simulação da obtenção das propriedades atrav és do método da estim ação de p arâm etro s p a ra uma am o stra de polythene é exemplo de alguns dos resu ltad o s m ostrados. O c rité rio de minimização usado e o desenvolvimento de expressões m atem áticas encontram -se nos apêndices I e III respectivam ente.

No capítulo IV, desenvolve-se o método tra n sien te que se baseia no tra ta m e n to de sinais de um sistem a dinâmico tipo en trad a e saíd a e obtém -se as propriedades no domínio da frequência. Nesse método desenvolve-se o modelo térm ico a p a rtir da combinação de fluxos de calor e te m p e ratu ras na e n tra d a e saíd a do sistem a, ou se ja nas superfícies extrem as da am ostra. Obtém -se então as propriedades a p a r tir da identificação e minimização da função resp o sta em frequência do sistem a em suas form as experim ental e calculada. Os tra n sd u to re s de fluxo de calor são novamente usados p a ra o acompanhcimento da evolução tem poral dos fluxos .de calor nas superfícies.

análise de todos os passos interm ediários dos métodos, ju n tam en te com a apfê^entação de seus dados experim entais. D eterm ina-se, assim , a condutividade térm ica e a difusividade térm ica de uma am o stra de polythene de 50 mm de espessura e superfície 30x30 cm^ no domínio da frequência. A p resen ta-se os conceitos e f undamentos necessários à aplicação das técn icas de tra ta m e n to de sinais no apêndice 11.

0 capítulo V apresen ta a bancada experim ental. O bserva-se que ambos os métodos utilizam a mesma bancada, que se constitui basicam ente de dois tra n s d u to re s de fluxo de calor e dois term opares su p erficiais como instrum entos de medição e de um elemento aquecedor, plano e de esp essu ra fin a, p a ra a geração de calor numa face da am ostra. Um sistem a de aquisição de dados com in te rfa c e p a ra microcomputador com pleta o apairato experim ental. Uma análise dos erro s envolvidos nos dois métodos é também ap resen tad a. Adicionalmente, desenvolve-sè uma simulação num érica baseada em volumes fin ito s procurando-se sim ular as perdas de fluxo de calo r la te ra is na am o stra e o consequente desvio do fluxo de c a lo r unidimensional aplicado na su p erfície fro n tal. A nalisa-se também os efeito s do contato térm ico e n tre sensores e am ostras p a ra diversos tipos de m a te ria is sim ulando-se a resistên cia de contato como um in te rstíc io de a r de 10 #xm de esp essu ra na região dos tran sd u to res.

No capítulo VI é apresentada uma comparação en tre os dois métodos propostos. P a ra isso, obtém -se as te m p eratu ras te ó ric as nas su p erfícies e x trem as da am ostra, a p a rtir das propriedades estim adas no domínio da freqüência. Nesse caso, o modelo m atem ático e as h istó ria s de te m p e ratu ras (medidas) são oriundas do método de estim ação no domínio do tempo.

Conclui-se o trab alh o no capítulo VII apresentando algumas propostas p a ra tra b a lh o s fu tu ro s, a p a rtir dos métodos desenvolvidos.

T écn icas T ra n s ie n te s : C onceitos e F u n d am en to s

0 procedimento básico usado na determ inação de propriedades como a condutividade e a d if usividade térm ica se dá, usualm ente, a p a r tir da concepção de um modelo teórico, obtido da equação da difusão de calor. Uma vez estabelecido e identificado um campo térm ico na am ostra, obtém -se as

»

propriedades a p a r tir da comparação en tre os dados experim entais e teóricos previstos no modelo - geralm ente h istó rias de te m p e ratu ra medidas e calculadas no in te rio r e/o u superfície da am ostra. P a ra o estabelecim ento do campo térm ico to rn a -se necessária à aplicação de uma fo n te de calor na am ostra. O bserva-se assim que a definição do método usado com pleta-se a p a r tir da escolha da localização da fonte de calor bem como dos sensores e.g., te m p e ratu ra ou fluxo de calor, medidas e calculadas.

A m aioria dos trabalhos sobre medição de condutividade térm ica são relativ o s à medição em regime permanente. P a ra a difusividade térm ica, en tre tan to , somente técnicas tran sien tes perm item a sua determ inação d ire ta , [7]. Uma form a de se obter a indiretam ente s e ria a tra v és da obtenção do calo r específico e da condutividade térm ica. Nesse caso, p o d e r-se-ia u tiliz a r métodos estacionários, como o método da placa quente protegida p a ra K e do calorím etro de m istu ra p a ra c, descrito s pelas norm as ASTM C518-76 [6] e ASTM C351-73 [8] respectivam ente. Qualquer que s e ja o regim e deve-se conhecer o fluxo de calor e te m p e ratu ras pcu'a a determ inação de K e h istó rias de tem p eratu ras p a ra determ inação de a, (7,91.

m atem ático que fornece a solução da equação da difusão de calo r e as técn icas usadas p a ra a realização experim ental do problema. P ark er e t ali [10] descreveram pela p rim eira vez um dos métodos, atualm ente, m ais em pregados p a ra obtenção da difusividade térm ica - o método flash , [10-161. Nesse método ‘U tiliza-se um pulso de calor rad ian te de a lta intensidade e c u rta duração sobre uma superfície enegrecida da am ostra. Mede-se a h is tó ria da te m p e ratu ra na face oposta, mantendo essa su perfície term icam ente isolada, como m ostra a Figura 2.1a. U sa-se a solução unidimensional an alítica, de Cárslaw & Jaeger [17], p a ra obtenção da d if usividade, a e condutividade térm ica, K, obtendo-se a evolução tra n s ie n te da tem p eratu ra na face isolada, T(L,t). Ou seja,

oo' .

V = = 1 + 2 (-1)". exp ( - n l w) (2.1)

n=l

onde Tm é o valor máximo da tem p eratu ra na face isolada e o p arâm etro w =

2 2

n .a .t/ L , sendo t o tempo e L a espessura da am ostra. Uma das m aiores vantagens desse método é a obtenção da difusividade té rm ic a sem a necessidade de se com putar o valor do calor iniposto na su p erfície, x = 0. P a ra isso, um procedimento é plo tar a curva V versus w a p a r tir da h istó ria da tem p eratu ra experim ental e obter o tempo, t^^^, correspondente ao valor de V = 0,5, veja a Figura 2.1b. Assim, obtém -se a difusividade térm ica da expressão

a = 1,38 lW f (2.2)

1/2

P a ra se determ inar a condutividade térm ica to rn a -s e necessário o conhecimento do valor da energia absorvida na face fro n ta l da am ostra.

superfície isolada

/

termopar

a) form a esquem ática b) identificação de w

1/2

Figura 2.1 - Método Flash

Nesse caso obtém -se o valor de K atrav és da definição da difusividade térm ica.

K = a p c _(2.3)

sendo a capacidade térm ica, p c, do m aterial dado por

p c = Q/(L Tm) (2.4)

onde Q é calor imposto por unidade de á re a na su p erfície fro n ta l da a m o stra e p a sua m assa específica. Observa-se que a dificuldade do método fla sh resid e na implementação do a p arato experim ental. 0 pulso de calor de a lta intensidade e c u rta duração, da ordem de 600 a 1000 J e 10 a 20 ms, respectivam ente, imposto na su p erfície to rn a onerosos os custos de equipam entos como o gerador laser, capaz de atender essas especificações. O utra lim itação é a a lta sensibilidade e rapidez de . re sp o sta necessários aos equipam entos p ara a medição da tem p eratura. Quanto às am ostras, essas

menor intensidade de energia ( e. g., lâm padas Xenônio) ou am o stras de m ateriais não m etálicos são usadas, a s espessuras devem se r ainda menores, o que d ificu lta o trab alh o com m ateriais porosos. D entre as principais f ontes de e rro s sistem áticas desse método, inclui-se os e rro s associados aos desvios das condições experim entais em relação às condições de contorno assum idas no modelo m atem ático,[16] . C ita-se, ainda os e rro s associados à determ inação efetiva da espessura da am ostra; e rro s associados à . medição do tempo em que a superfície isolada alcança determ inada porcentagem da tem p eratu ra máxima (normalmente 50 % ) o que envolve também a determ inação do instante inicial da ação do la se r (ou sim ilar) além das co n stan tes de tempo dos detectores e am plificadores. Shoemaker [18] aponta ainda como as m aiores f ontes de erro, o ef eito do pulso fin ito , • as perdas de calo r e a não uniform idade no aquecimento. A crescenta-se também as perdas de calo r na superfície isolada, uma condição d ifícil de se r re a liza d a experim entalm ente, bem como a identificação das perdas ou ganhos de calor por radiação e convecção no aquecimento. A obtenção de K a p a r tir do valor medido da dif usividade térm ica também rep re se n ta uma f onte de erro .

Uma o u tra técnica muito usada na medição de propriedades térm icas é o método do fio quente (Figura 2.2), inicialmente apresentado por Blackw ell,[19]. Esse método envolve, normalmente, a inserção de um elemento filifo rm e (sonda) no centro axial do meio qüe se deseja m edir, geralm ente de form a cilíndrica. A sonda tem a função de dissipar calor (efeito joule) e medir a te m p e ratu ra no in terio r da am ostra atuando como um term ôm etro de resistên cia. Adicionalmente pode-se in sta lar term opares no corpo da sonda.

i l _sonda

> amostra

Figura 2.2 - Esquema de uma sonda térm ica típ ic a

V ariações desse método têm sido usadas p a ra m edir as propriedades térm icas de sólidos e líquidos [20-27]. 0 método b a se ia -se na solução da equação da difusão de calo r p ara uma fonte de calor em fo rm a de linha in fin ita im ersa num meio suposto infinito. A solução desse problema, dada por Carslaw & Jaeg er [10] tem a form a.

AT = T -T = ( Q, / 471 K ) In ( 4 a t / r C ),

0 1 (2.5)

onde T = T(t) é a te m p e ratu ra da sonda, T^ a te m p e ratu ra inicial da sonda, Qj o calor imposto por unidade de comprimento de elem ento, r o ra io do elemento e C é igual a exp (y), onde y = 0.57721 é a co n stan te de Euler . A equação é válida somente quando a expressão adimensional

r / ( 4 a t ) « 1, (2.6)

é s a tisfe ita . P a ra a determ inação de a e K G latzm aier & Ramirez [23] manipularam a equação (2.5), obtendo os valores das propriedades a p a rtir de dados experim entais. P a ra isso, plota-se a h istó ria da te m p e ratu ra em função de ln(t) usando-se uma curva de regressão linear obtida pelo método

dos mínimos quadrados. Assim, se y4 é a inclinação e B a intersecção da ordenada da re ta , então as equações p ara K e a podem se r dadas por

K = q / ( 471 . ^ ), (2.7)

e

a = C r^ / ( 4 exp ( B / yí ) (2.8)

A nalisa-se a seguir algumas fontes de e rro s sistem áticos desse método. Knibbe [28] observa que a tem p eratu ra da sonda, suposta uniform e, norm alm ente é m ais baixa em suas extrem idades devido aos efeito s de re sfriam en to s causados por seus suportes. Consequentemente um aumento de te m p e ratu ra menor a c a rre ta ria um valor m aior na condutividade térm ica estim ada. Além disso, supõe-se que a sonda possa se r re p resen tad a teoricam ente como uma linha de fonte de calor. A grande dificuldade experim ental é a obtenção de uma sonda suficientem ente fin a aliadas aos aspectos p rá tic o s de sua instalação. Outros fa to re s como comprimento mínimo da sonda p a ra a sse g u rar a hipótese de condição de fluxo rad ial deve s e r considerada na execução experim ental da sonda. S alien ta-se novamente, a dificuldade p rá tic a de inserção da sonda no meio investigado. 0 método ap re se n ta a v an tajem da simplicidade das equações e a form a d ire ta da obtenção das propriedades. A dificuldade e stá na realização do experim ento p a ra que a s hipóteses sim plificativas adm itidas sejam s a tisfe ita s . Uma desvantagem é o c a rá te r destrutivo do experimento. Contudo, p a ra medições em campo a previsão de sondas na construção do meio a se r explorado tornam o método eficien te e não destrutivo.

Na p ro cu ra de métodos tra n sien tes alternativos, Clarke 8e Kingston [29], indicam alguns caminhos para obtenção de K e a. Figura (2.3)

N /

temp, cte

med. temp.

I

\

temp, cte

i i i i i i l i l i

Figura 2.3 - Modelos p a ra obtenção de propriedades térm icas em métodos tra n sie n te s (Clarke & Kingston, [29])

Todavia, somente os modelos envolvendo o conhecimento do fluxo de calor imposto (modelos 1 e 2 ) são capazes da obtenção sim ultânea de K e a (ou c) [7]. A escolha de um método em p a rtic u la r depende da simulação das condições térm icas assum idas numa bancada experim ental. 0 modelo 2 é, norm alm ente, o mais aplicado. As condições p rá tic a s de execução do fluxo de calor imposto na superfície são responsáveis pela variação desse método. Clarke & Kingston [29] apresentam uma form a a lte rn ativ a ao método flash, onde a aplicação do fluxo de calor é fe ita a tra v és do uso de aquecedores de resistên cia. Obtém-se a condição de isolamento a tra v és do uso de duas am o stras e duas fo n tes de calor idênticas dispostas como é m ostrado na Figura 2.4. Obtém-se as propriedades K e a a p a rtir da solução teó rica e da evolução da te m p e ratu ra na superfície isolada.

superfície

isolada

geração de calor

Figura 2.4 - M odelo p a ra obtenção experim ental da condição de is o la m e n to

A dificuldade do método e stá na obtenção de am o stras idênticas e na geração de fluxo de calor constantes e iguais num mesmo in stan te, tornando o método muito susceptível a erros. E ntretanto a simplicidade de concepção da bancada experim ental tem despertado o in teresse de vários au to res [8,30]. Adicionamente os métodos de cálculo p a ra obtenção das propriedades têm sof rido b a sta n te alterações. Trabalhando no desenvolvimento de um método de cálculo mais eficiente e autom atizado p a ra determ inação de K e a sim ultaneam ente, Beck & Arnold 131] desenvolveram o método de estim ação de p arâm etro s, aplicando-o em diversos modelos físico s (Fig. 2.3), além de outros, com corpos sem i-infinitos. A estimação de p arâm etro s é um procedim ento ite ra tiv o que busca determinêu' os p arâm etro s envolvidos na modelagem de algum fenômeno físico. Assim, obtêm -se os p arâm etro s a tra v és da minimização da diferença en tre uma grandeza medida e o seu valor teó rico calculado. A minimização é f e ita em relação aos p arâm etro s estim ados. Beck & Arnold obtêm a condutividade e a dif usividade térm ica minimizando a d iferença e n tre as tem p eratu ras medidas e calculadas nas su p erfícies e /o u no in te rio r da am ostra, d escritas pela solução do problem a térm ico. Uma aplicação do método de estim ação de parâm etros, foi ap resen tad a por esse au to r, [32]. Nesse caso, a condição de isolamento da Figura 2.3 (modelo 2) foi su b stitu id a por uma condição de tem p eratu ra constante, perm itindo a

variação tra n sie n te do fluxo de calor imposto na am o stra dando-se m aior flexibilidade à simulação experim ental. A medição de te m p e ratu ra efetiv o u -se no in te rio r da am ostra. E n tretan to algumas fo n tes de e rro como, por exemplo, o e rro na medição de fluxo de calor a tra v és de tra n sd u to re s de fluxo de calo r e na obtenção experim ental da te m p e ratu ra con stan te devem se r analisados. Além disso, a medição de tem p eratu ra no in te rio r da am o stra a p re se n ta dificuldades adicionais: i) o c a rá te r destrutivo, ii) dificuldade p rá tic a da inserção do term o p ar e, iü) imprecisão na medição da posição do term o p ar no in te rio r da am ostra.

Ó bserva-se assim que um método ideal do ponto de v ista da simulação experim ental não deve impor nenhuma re striç ã o nas condições de contorno, ou se ja , nas evoluções de te m p e ratu ra e/ou fluxo de calor e ainda as medições das grandezas térm icas devem ser fe ita s preferencialm ente nas su p erfícies do meio investigado. O uso de tran sd u to res de fluxo de calor re p re se n ta um avanço nesse sentido, uma vez que a evolução dos fluxos impostos nas am o stras podem se r acompanhados. A dificuldade no uso de um fluxo de calo r variável nos contornos e stá na obtenção da solução a n a lític a do modelo proposto. No entanto técnicas de solução como funções de Green ou tra n sfo rm a d a s de Laplace se aplicam perfeitam ente a esses casos. O bserva-se que a fo n te de e rro devido à medição do fluxo de calor re p re se n ta , nesse caso, a principal . fo n te de erro. Nesse sentido a calibração dos tra n s d u to re s é b astan te delicada.

. Um exemplo da aplicação de tran sd u to res de fluxo de calo r é apresen tado por Kougbeadjo & Thery [33]. Os au to res aplicam princípios da c o rrelação cruzada e n tre dois processos estocásticos na análise de problem as de tra n s f erência de calor, p a ra a obtenção da d if usividade

térm ica. Os fluxos de calor impostos e re su ltan tes que atrav essam as su p erfícies fro n ta l e oposta de uma am ostra são detectados usando-se tra n sd u to re s de fluxo de calor de a ltá sensibilidade [34]. Mede-se o tempo de difusão -através da função de correlação cruzada en tre o pulso de calo r in jetad o e a resp o sta a esse pulso - o valor máximo dessa função se dá com um a tra s o igual ao tempo de difusão do pulso de calor a tra v és da parede. D eterm ina-se então a difusividade térm ica do m aterial da parede a p a r tir da identificação do tempo de difusão do sinal do pulso de calo r a tra v é s dela. A modelagem m atem ática desse método b aseia-se na te m p e ratu ra constante da face oposta e na form a do pulso, quadrado e instantâneo, sendo essas re striç õ e s as m aiores fontes de erro s sistem áticos do método. 0 pulso de calo r aplicado a tra v és de uma folha de resistên cia assume experim entalm ente form as exponenciais ou form as de pulsos quadrados com decaimento. O bserva-se então que os desvios das f ormas de geração de calo r são fundam entais paira análise de erro s uma vez que a obtenção da expressão te ó ric a da correlação cruzada e stá associada à hipótese de um pulso quadrado. Os au to res [33] , en tretan to , consideram que a obtenção do valor máximo da correlação cruzada não é a lte rad a sensivelmente pela form a do pulso.

Os dois métodos propostos neste trabalho usam dois tra n sd u to re s de fluxo de calor de resp o sta rápida e de a lta sensibilidade desenvolvidos por Leclerq & Thery [34] e dois sensores de tem p eratu ra (term opares) aplicados nas su p erfícies p a ra o re g istro da evolução dos fluxos de calo r e te m p e ra tu ra s da am ostra. A Figura 2.5 rep resen ta o modelo. Assim, s u b stitu i-se a hipótese de isolamento ou tem p eratu ra constante na su p erfície oposta à superfície aquecida pela condição re a l de p erd a de calo r tra n sie n te a ser medida pelo tran sd u to r. Da mesma fo rm a .o aquecim ento

imposto na su p erfície fro n ta l é monitorado pelo tra n sd u to r de fluxo de calor. No prim eiro método, as duas tem p eratu ras medidas na su p erfície são usadas p a ra a obtenção sim ultânea de K e a a p a rtir da solução do problema da difusão de calo r usando-se a técnica das funções de Green.

fluxo de calor imposto

termopares

superficiais

Figura 2.5

amostra

_{fiuxo de calor}

transdutores de

fluxo de calor resultante

Amostra s u je ita a evoluções de fluxo de calo r e tem p eratu ra nas superfícies. Aplicação de sensores superficiais.

O método de cálculo é_ baseado na técnica de estim ação de p arâm etro s. O segundo método, que também u tiliza o modelo experim ental da Figura 2.5, usa como base de cálculo das propriedades a aplicação de conceitos de processam ento de sinais, estim ação de parâm etros e uma abordagem m atem ática do modelo, que perm ite o uso de conceitos de e n tra d a /sa íd a de sinais em um sistem a.

M étodo I - E stim açao de P arâm etros no D om ínio do Tempo

3.1 - Introdução

N este Capítulo, a p re se n ta r-se -á , inicialm ente, o desenvolvimento do método de estim ação de parâm etros no domínio do tempo, prim eiro método proposto nessè trabalho. Os resultados de sua implementação são m ostrados logo a seguir.

Um aspecto in teressan te a ser ressaltad o , é, como foi observado an terio rm en te, o requisito da medição de grandezas térm icas nas su p erfícies da am o stra. Essa a lte rn ativ a - em relação ao procedimento de medições de te m p e ra tu ra s no in te rio r da am ostra, comumente usado, - re v e la-se im p o rtan te uma vez que se procura aplicação do método in S itu , ou em su p erfíc ies que não se pode danificar. Essa é, fundam entalm ente, _ a m otivação do desenvolvimento desse método. A aplicação de fluxos de calo r tra n s ie n te s na su p erfície fro n ta l da am o stra e utilização da m onitoração dos fluxos em ambas as superfícies da am o stra como condições de contorno no modelo m atem ático, representam também uma inovação nos métodos tra n sie n te s usados na determ inação sim ultânea dessas propriedades.

3.2 - D esenvolvim ento do M odelo Teórico

A Figura 3.1 ap resen ta uma am ostra plana homogênea s u je ita a uma te m p e ra tu ra inicial T^, onde um fluxo de calor tra n sien te, ^^(t) é imposto num in stan te to na superfície superior, e um fluxo de calor re su lta n te , ^^(t), a tra v e ssa a su p erfície oposta.

N /

■A"

L

\ l /

Figura 3.1 - Amostra su jeita a um fluxo de calor imposto na superfície

Sob e sta s condições, e considerando as propriedades térm icas constantes com a tem p eratura, o problema apropriado a valor de contorno é

2 d T a x ' 1 a T a 3 t (3.1) s u j e i t o à s c o n d iç õ e s de contorno - K a T_{a X} x= 0 ^ j ( t ) (3.2) - K a T_{a X} x=L ^ ^ ( t ) (3.3) e à c o n d i ç ã o i n i c i a l

T(x,0) = T (3.4)

sendo que e <f>^ são os fluxos de calor medidos nas su p erfícies da am ostra. Obtém-se a solução do problema dado pelas Eqs.(3.1-3.4) usando-se uma técnica de solução baseadai nas funções de Green [351, ou se ja ,

T ( x . t ) = G ( x , t / x ’ ,T ) T= 0 F(x’) dx’ + a L G ( x , t / X * , T ) 1^,^^ dT a G ( x , t / x ’ ,T ) <t>2(t ) x ’=L K dT (3.5)

onde F(x’) é a distribuição de tem p eratu ra inicial, nesse caso To, e G (x ,t/x ’,x) a função de Greeh que sa tisfa z o seguinte problem a auxiliau' dado pela versão homogênea das Eqs. (3.1-3.4), ou seja,

2 a G a x ‘ a Ô ( x - x ’ ) 5 ( t - x ) = 1 a G a a t (3.6) s u j e i t o à s c o n d i ç õ e s de contorno - K d G 6 X = 0 x=0 (3.7) - K a G a X = 0 x=L (3.8) G ( x , 0 ) = 0 (3.9)

X e ô (t-x ) a mesma função p a ra a variável tem poral t. O bserva-se que G (x ,t/x ’,x) tem uma função pulso u n itá ria e condição inicial nula, ou s e ja , o meio e stá a uma tem p eratu ra nula p a ra tempo t < x. Nesse caso, a fo n te pulso u n itá ria re p re se n ta a condição inicial de distribuição de te m p e ra tu ra

Desse modo, de acordo com a Eq. (3.5) a solução do problem a original (Eqs. (3.1-3.4)) é dada em term os da função de Green que s a tis fa z o problem a dado pelas Eqs.(3.6-3.9), como,

T (x ,t) = G (x ,t/x ’,x) I F(x’) dx’ (3.10)

O btém -se assim a função de Green G (x ,t/x ’,x) | resolvendo o problem a homogêneo, pelo método de separação de variáveis e comparando sua solução com a Eq. (3.10). Assim,

G (x ,t/x ’,x) x=o “ - a t/L ^ ^ e cosO .X/L) cosíp xVL) _ . m m m=l (3.11)'

onde ^ são os auto valores definidos por 3 = mir, com m =l,2,3..

m m

O btém -se a função de Green desejada, G (x ,t/x ’,x) sub stituin d o-se a variável t por t - X, em G (x ,t/x ’,x)|^_^, [35]. Logo,

” - a (t-x )/L ^

G (x ,t/x ’,x) = ^ + ) e cosO .X/L) coslp xV L) (3.12)

^ Lé m m

m=l '

G (x ,t/x ’,T) 2L X = 0 “ - /3^ a { t-x )/L ^ 1 + 2 y e c o s x / L ) ^ m m=l (3.13) 0 ( x ,t/ x ’ ,T) 1 L x ’=L ^ m - a (t-T)/L^ "* cos (8 x/L ) _ • m m=l III . 1 + 2 J] (-1) e (3.14) s u b s t i t u i n d o a s Eqs ( 3 . 1 1) , ( 3 . 13) e ( 3 . 1 4 ) n a E q . ( 3 . 5 ) o b té m -se a s o l uç ã o g e r a l rt T ( x , t ) = T + ( a / L. K ) 0 ( T ) dx m= 1 c o sO x / L ) m 't a x/L^ e 0 j ( x ) + 0 ( a / L . K ) , 00' ^(x) dx + 2 a / L. K) m = l ( - D '^ - l t / L ^ e "* cos(/3 x /L ) m ft a x/L^ e 0 ^ ( x ) 0 (3.15)

observa-se que ^^(x) e <P^ir) são os fluxos de calor definidos a p a r tir de curvas de a ju ste obtidas sobre os valores medidos com os tra n sd u to re s de fluxo de calor aplicados nas superfícies da am ostra. A presenta-se a foi-ma dos fluxos de calor medidos experim entalm ente, os a ju ste s e o desenvolvimento dessas integrais no apêndice III.

(3.1-3.4), estim a-se os parâm etros K e a usando-se os valores medidos de te m p e ratu ra tom adas nas superfícies da am ostra. No método descrito por Beck & Arnold [31], estim a-se a condutividade e difusividade térm ica minimizando.-se a função soma quadrática

(3.16) 1=1 J=i

com relação aos p arâm etro s envolvidos. Neste caso, Yj(i) re p re se n ta a s te m p e ratu ras experim entais e’ T.(i) as tem p eratu ras calculadas a tra v és do

J

modelo teórico, nas superfícies da am ostra. K e a são os p arâm etro s estim ados p a ra a obtenção da melhor aproximação en tre os valores medidos e os valores teóricos. Os subíndices j e i representam , respectivam ente, o número de sensores, no caso dois term opares, e o in stan te de medições em form a d iscretizad a. A form a de se minimizar S, dada pela Eq.(3.16) é fa z e r suas p rim eiras derivadas em relação aos p arâm etro s iguais a zero [31). Desse modo obtém -se um conjunto de equações em K e a a se r resolvido sim ultaneam ente p a ra essas incógnitas. As derivadas p arciais de S são

a S

a K

= 2

fl 2

II

a s

a a

= 2

n 2

II

(3.18)

onde os coeficientes de sensibilidade, são definidos por

a T

X =

a

T

onde s designa os p arâm etro s a serem estimados.

A obtenção form al dos coeficientes de sensibilidade é ap resentad a no apêndice III. Obtém-se assim atrav és da minimização da função S e o método de Gauss [31], as equações de recorrência p a ra obtenção de K e a, como

seguem

-b = b +

1 1 C (i+1).D (i+1) - C ( i+1).D (i+1) 22 1 12 2 /|c| (3 .2 3 )

b = b +

2 2 -C ( i + D . D ( i + D - C ( i + 1).D (i+1) 21 1 11 2 /|c| ( 3. 24)

onde b i , b2 são os v alo res estim ados de K e a , respectvam ente p a r a a k - é s i m a ite r a ç a o , onde, E j ( i + 1 ) = Y^(i + 1) - Tj(i+1) E ( i +1 ) = V (i + 1) - T (i+1) 2 2 2 ( 3. 25) ( 3. 26)

C j j ( i + l ) = C j j ( i ) + Xj j ( i + l ) . Xj j ( i + l ) + X^jd+D. X^jí i+l) (3.27)

C j ^ ( i + 1 )=Cj^(i) + Xj j ( i +l ) . Xj 2( í +l ) + X^^d+D.X^^Íi+l) (3.28)

C^^(Í + l )=C2j (i ) + X j ^ d + D . X j ^ d + l ) + X ^^d+D .X ^jíi+l) (3.29)

C (i + l ) = C (i) + X ( i +D. X (i+1) + X ( i +l ). X_(i +l ) (3.30)

2 2 22 12 12 22 22

D j ( i + l ) = D j (i) + X j ^ ( i + l ) . E j ( i + l ) + X2j(i+l ). E^(i+l) (3.31)

D ( i +l ) =D (i) + X ( i +U. E (i+1) + X (i +D. E (i+1) (3.32)

2 2 1 2 1 2 2 2

|C | = C (i+D.C , ( i + l ) - C ( i + l ) . C _ ( i + l ) (3.33)

' ' 1 1 22 12 21

OS p arâm etro s K e a podem então ser estimados atrav és de um procedimento iterativ o que converge segundo o c rité rio abaixo

. K+l * K

b - b < 0.0001, com s=l,2 (3.34)

8 S

0 método de Gauss, o c rité rio de minimização e a obtenção das

• *

equações de reco rrên cia p a ra os parâm etros b^ e b^ são apresentados no apêndice I.- Como observado anteriorm ente, as soluções p a ra as te m p e ratu ras su p erficiais e os coeficientes de sensibilidade são apresentados em sua form a completa no apêndice III.

3.3 - Im plem entaqão e Análise de R esultados

A presenta-se neste p arág rafo uma análise dos resu ltad o s obtidos, a p a r tir da aplicação do método a uma am ostra de polythene de dimensões

30x30x5 cm. .

Devido à hipótese de propriedades constantes, adm itida no p a rá g rafo 3.2, um lim ite p a ra diferença de tem peratu ra en tre as su p erfícies da am o stra deve se r estabelecido. Nesse sentido, como a am o stra padrão de polythene tem Hmites quanto à imposição de fluxo de calor m uito alto s em suas su p erfícies, nesse caso a tem p eratu ra máxima perm itida é de 40 °C sendo que uma diferença de tem p eratu ra en tre as su perfícies ex trem as não deve ultrapasscu" a 15 °C [36], optou-se pela imposição de um fluxo de calor na su p erfície não superior a 200 W/m^, com um tempo de exposição que não perm ite à s superfícies alcançar a diferença de te m p e ratu ra máxima especificada. O bserva-se, todavia, que quanto menor o g rad ien te de te m p e ra tu ra na am ostra, m aior a representatividade do valor da propried_ade em relação à tem p eratu ra média. Da otimização dessas condições depende, em grande p a rte , o sucesso do método de medição.

R ealizou-se vários experimentos. Uma evolução típ ic a de fluxo de calo r aplicado é m ostrada na Figura 3.2. Com a aplicação do fluxo de calor re g is tra -s e as evoluções de tem p eratu ra nas superfícies, como é ilu strad o na Figura 3.3, e o fluxo de calor resu ltan te na face oposta. Figura 3.4

Uma vez obtidas as evoluções experim entais das te m p e ratu ras e de posse da solução an alítica dada pela Eq. (3.15), pode-se então o b te r as p ropriedades aplicando-se as Eqs (3.21) e (3.22).

Figura 3.2 - Fluxo de calor aplicado na su p erfície fro n ta l da am o stra 3 4 .0 0 j I I I I I r i T r| - i ~ r i i i i i i i | i i i i t i i i i | i i i i i i i r v r i i ’ i r i I ' l r ■32.00 H ' 3 ’ 3 0 .0 0 CX I 2 8 .0 0 * * * » * Temp.exp. superf. fr o n ta l , ooooo Temp.exp. superf. op osta **

i («Ô oooo oooooooooooooobooooooooooooooo 2 6 .0 0

-2 4 .0 0 '"f'TT'i r 1 > 1 I ) I I ' 11 I 1 I I I t' I t I r I I I I 1 I I I' r 1 t I M I 1 I I 1 I M í n

0 .0 0 200.00 4 0 0 .0 0 6 0 0 .0 0 8 0 0 .0 0 100Ó.OO tempo [s]

tempo [s]

Figura 3.4 - Fluxo de calor re su ltan te na su p erficie oposta da am o stra

Todavia, uma c a ra c te rís tic a im portante deste método é a análise dos coeficientes de sensibilidade, definidos pelas Eqs. (3.19)-(3.20). E stes coeficientes são apresentados na Figura 3.5. O bserva-se que a contribuição dos coeficientes relativos à face oposta é praticam ente nula.

Este resu ltad o inviabiliza o método p a ra essas condições, ou se ja , p a ra a p resen te am ostra e fluxo de calor aplicado. Isso se deve ao fa to da função mínimos quadrados minimizada (Eq. 3.16), levar em consideração as te m p e ratu ras de ambas as superfícies. Uma análise atenciosa dos coeficientes sugere ainda um certo grau de dependência linear e n tre os coeficientes, como m ostram as Figuras 3.6 e 3.7.

tempo [s]

Figura 3.5 - Coeficientes de sensibilidade

Essa dependência linear to rn a -se mais explicita ao se a n alisa r o determ inante da m atriz coeficiente de sensibilidade C .j, | C | , como m ostrado na Figura 3.8.

tempo [s]

tempo [s]

Figura 3.7 - Coeficiente de sensibilidade na su p erficie oposta

Figura 3.8 - D eterm inante da m atriz coeficiente de sensibilidade

O determ inante nulo indica dependência linear en tre os coeficientes. O bserva-se que a té 600 segundos existe uma dependência lin ear en tre eles. A

p a r tir desse in stan te a combinação se enfraquece, porém não o suficiente p a ra que h a ja unicidade nas propriedades estim adas.

Esse .resu ltad o sugere a impossibilidade de obtenção das propriedades K e a de form a sim ultânea atrav és do método I. A a lte rn a tiv a p a ra con to rn ar esse problem a s e ria a aplicação de úm fluxo de calor de m aior intensidade, ou a diminuição da espessura da amiostra. Seria possível então m edir a evolução da tem p eratu ra na superfície oposta da am ostra p a ra intervalos de tempo relativam ente pequenos. A Figura 3.9 m ostra os coeficientes de sensibilidade, obtidos de u m a , simulação numérica, p a ra uma a m o stra fic tíc ia de esp essu ra 15 mm, submetida a um mesmo fluxo de calor. O bserva-se nesse caso que o valor do p erfil de tem p eratu ra da superfície oposta aumentou significativam ente. Figura 3.10, durante o intervalo de tempo correspondente ao experimento.

Figura 3.9 - Coeficientes de sensibilidade para uma amostra de polythene de 15 m m ' de espessura.

Ambas as hipóteses de espessura menor que 15 mm, e / ou fluxo de calo r intensos são e n tre ta n to inexequíveis, no presente trab alh o , uma Vez que as am o stras são padronizadas, não podendo serem re tific a d a s ou subm etidas a grandes g rad ien tes de tem peratura. A inaplicabilidade do método p a ra as condições da am o stra em estudo, contudo, não o invalida. Nesse sentido, sim ulou-se a estim ação das propriedades em uma amiostra de polythene de esp essu ra 15 mm. Na simulação a tem p eratu ra experim ental foi obtida a tra v és da solução a n alítica a p a rtir de valores de K e a iguais a 0,4 W/mK e 2,30 X 10~^m^/s respectivam ente. P a rtiu -se então de vaíores iniciais d iferen tes, como m ostra a Tabela 3.1, obtendo-se os valores convergidos das propriedades com diferença in ferio r a 0,087. dos valores esperados. As T abelas 3.1 - 3.3 m ostram a evolução de uma estim ativa das propriedades p a ra d ife re n te s valores iniciais de K e a. Observa-se que mesmo p a ra

— 8 2 valores iniciais bem d istan tes daqueles esperados, como a = 1.0 x 10 m / s ou K = 0,01 W/mK há convergência.

te m p o [s]

F ig u ra 3.10 - P e rfis de tem p eratu ra simulados p ara uma m o stra de polythene de 15 mm de espessura

Tabela 3.1 - Simulação de estim ação de parâm etros. Polythene, L = 15mm Valores iniciais : K = 0,2 W/mK a = 1,50 x lO"^ m V s

K [W/mKl a X 10^ [m^s] S ml n [ ° C] ^ i t e r 0 . 2 1,50 1 8 8 , 3 8 0 0 , 3 0 3 6 1,931955 2 1 , 7 0 5 1 0 , 3 7 7 6 2 ,2 1 7 1 4 2 0 , 8 2 9 1 2 0 , 3 9 8 6 2 ,2 9 3 7 8 7 0 , 0 0 0 2 8 3 0 , 3 9 9 8 2 ,2 9 7 8 9 9 0 , 0 0 0 0 4 7 8 4 0 , 3 9 9 8 2 ,2 9 7 8 9 9 0 , 0 0 0 0 4 7 8 5

Tabela 3.2 - Simulação de estim ação de parâm etros. Polythene, L= 15 mm Valores iniciais : K = 0,1 W/mK , a = 1,0 x lO"^ m V s

K [W/mK] a X 10^ [m^s] Sm i n [ ^C]^ i t e r 0 , 1 1 . 0 1 3 0 0 , 2 0 0 , 1 8 1 1 1 , 4 0 4 0 6 3 2 5 6 , 6 7 1 0 , 2 8 4 5 1 , 8 5 0 0 1 0 3 3 , 5 1 3 2 0 , 3 6 8 0 2 , 1 7 9 6 6 5 1 , 7 1 0 6 3 0 , 3 9 7 4 2 , 2 8 9 2 7 7 0 , 0 0 0 9 9 9 4 0 , 3 9 9 8 2 , 2 9 7 8 5 1 P , 0 0 0 0 4 7 9 5 0 , 3 9 9 8 2 , 2 9 7 8 9 9 0 , 0 0 0 0 4 7 8 3 6 0 . 3 9 9 8 2 , 2 9 7 8 9 9 0 , 0 0 0 0 4 7 8 3 7

Tabela 3.3 - S i mu 1 a ç ã o de e s t im a ç ã o de p a r â m e t r o s P o l y t h e n e , L= 15 mm. V a l o r e s i n i c i a i s : K = 0 , 0 1 W/ mK, a = 10 x 10 ‘ ^ m ^/s K [W/mK] a X 10^ [ m^s ] S m 1 n I ^ C ] ^ i t e r a ç ã o 0 , 0 1 0 , 1 2 , 4 2 3 6 , 0 0 , 0 7 8 8 1 ,295211 5 , 4 2 0 , 3 0 , 1 4 3 4 1 ,5 1 8 2 1 5 1 , 0 9 5 , 9 0 . 2 3 7 0 1 ,8 1 9 8 5 3 1 , 7 0 , 7 1 0 , 3 3 4 7 2 ,1 1 3 8 8 6 0 , 1 4 4 9 5 0 , 3 8 9 4 2 , 2 6 9 7 4 4 0 , 2 8 6 3 2 0 , 3 9 9 5 2 , 2 9 7 2 1 4 0 . 0 0 0 6 7 2 8 0 , 3 9 9 8 2 ,2 9 7 8 9 9 0 , 0 0 0 7 8 3 4 0 , 3 9 9 8 2 ,2 9 7 8 9 9 0 , 0 0 0 7 8 3 3 8 0 , 3 9 9 8 2 ,2 9 7 8 9 9 0 , 0 0 0 0 7 8 3

A busca de um método tran sien te, que perm itisse a obtenção sim ultânea da condutividade e da difusidade térm ica a p a r tir de medições de g ran d ezas térm icas na su p erfície de um meio a se r investigado e agora, com c a ra c te rís tic a s universais quanto ao m aterial, no caso, não m etálico e de esp essu ra ro b u sta (am ostra de polythene com 50 mm de espessura), m otivou-nos ao desenvolvimento de um segundo método tra n sie n te de medição de propriedades: o método de estim ação de p arâm etros no domínio da frequência, apresentado a seguir.

Método II - E stim ação de P arâm etros no Dom inio da F req u ên cia

4.1 - Introdução

De acordo como o que foi visto no capítulo a n terio r, a dependência lin ear e n tre os coeficientes no domínio do tempo p a ra a am o stra de polythene em estudo e a consequente impossibilidade de sua obtenção sim ultânea, requer, uma abordagem diferente do problema térm ico. M ostra-se no presen te capítulo que a p a r tir do mesmo modelo experim ental, mas com um tra ta m e n to sistêm ico da am o stra e estim ando-se as propriedades no domínio da frequência, to rn a -se possível a determ inação da condutividade e difusividade térm ica simultaneamente.

4.2 - D esenvolvim ento do M odelo Teórico

U tiliza-se nesse método o princípio de um sistem a dinâmico tipo e n tra d a /s a íd a , p a ra a determ inação sim ultânea da condutividade e difusividade térm ica. Nesse sentido, o problema de difusão de calor criado pelo modelo experim ental, a p a rtir da imposição de um fluxo de calor na su p erfície fro n ta l da am ostra, pode ser abordado pelo modelo teórico equivalente apresentado a seguir.

t ^

T , (t)

T , (t)

• I « , »

entrada

saída

Figura 4.1 - Modelo térm ico equivalente usado p a ra estim ação de propriedades no domínio da frequência

D escreve-se o problema pela equação da difusão de calor, a p a r tir das hipóteses de am o stra homogênea, propriedades térm icas co nstan tes e fluxo de calo r unidimensional, como

2

_a__ T

a x^

1

. a T

a

a t

s u je ita às condições de contorno de tem p eratu ra

T (0 ,t) = T^(t) T(L,t) = T^(t) (4.1) (4.2) (4.3) e de fluxo de calor ^ (0 ,t) = - K a T a X = ^ ,(t) x=0 (4.4) ^(L ,t) = -

K a

a X

e a condição inicial T(x,0) = T (4.6) sendo que ' ^ ( x , t ) = -K Ô T d X (4.7)

é a definição do fluxo de calor que a tra v essa a su p erficie na posição x p a ra to d a parede, T^(t) e T^(t) representam as evoluções das te m p e ra tu ra s e ^^(t) e as evoluções dos fluxos de calor a tra v és das su p erfíc ies fro n ta l e oposta da am ostra, respectivam ente, como m ostrado na Figura 4.1.

Definindo-se a variável

0 = T - T (4.8)

onde To é a te m p e ratu ra inicial da am ostra, o problema pode se r e sc rito

2 a__ 0

a x^

1

. a

0

a

a t

com as resp ectiv as condições de contorno

0 (0 ,t) = 0 ^ ( t ) 0(L ,t) = 0 ^ ( t ) 0(O,t) = - K a 0

a

a X

e a condição inicial

0 (x ,O ) = 0 (4.14)

Tomando-se as tran sfo rm ad as de Laplace da Eq. (4.7) e das Eqs. (4.8-4.14) definidas pór 0 (x,p) = 1 te (x .t)] $ (x.p) = ie [^(x ,t)i e 0 (x.o"^) = 0 obtém -se (4.15) (4.16) (4.17)

a 0

a X

a

A solução da Eq. (4.18) é dada por

0 (x.p) = cosh v p /a} / n / a . x + senh v'p /a .x (4.20)

Obtém-se as constantes e aplicando-se as condições de contorno dadas pelas Eqs. (4.10-4.13) no piano transform ado. Assim, a solução pode se r e s c rita em form a m atricial como

-1

0

2 c o s h V p/a .L -K i/p /a . senh v4>/a . L _ -K V p/a . senh -/p/a. .L coshV p/a .L

0 1

$

1

onde 0^ = 0 (0 ,p), 0^ = 0(L,p), = $(0,p) e = $(L,p). Por sim plificação pode-se escrever 0 A - C onde A = c o s h v p / a .LV^/a .1 -1 B = - K ^ p / a . senhV ^/a .p / a .L C = K '/p /a . senh V ^/a . L - B A • i 0 1 * 1 (4.22) (4.23) (4.24) (4.25)

A solução m atricial rep resen tad a pela Eq. (4.22) é adequada ao tra ta m e n to do problem a térm ico na form a de um sistem a com e n tra d a e saíd a de sinais. Assim a identificação das propriedades K e a da am o stra se dá a peirtir de seu tra ta m e n to do problema térm ico como um sistem a su jeito a um sinal de e n tra d a do tipo

(4.26)

correspondente à soma dos fluxos de calor nas su p erfícies e a um Sinal de saíd a do tipo,

A 0 = 0^ - = Y, (4.27)

correspondente á diferença de tem p eratu ra nas su p erfícies da am ostra, como m o stra a Figura 4.2.

Figura 4.2 - Sistem a dinâmico, tipo e n tra d a /s a íd a

A p a r tir da Eq. (4.22) e das Eqs. (4.26) e (4.27) d efin e-se a função Z(p)

Z(p) = à 0 _ + B _ Y(p) _(4,28)

onde Z é conhecida como impedância generalizada [37]. Substituindo as Eqs. (4.23-4.24) na Eq, (4.28) obtém -se

Z(p) = l / K V p/a • tgh 1/2 . v p /a. V p/a . L (4.29)

P a ra o b te r-se a inversa Z(t) aplica-se a propriedade da tra n sfo rm a d a de Laplace [38]

-1 senh x\/~p -J p c o s h a V ^ n=l s e n ( 2 n - l) n x (4.30) 2 a fazendo x = a pode-se e s c r e v e r -1 tg h a^/~p 2 sen(2n-l)7r n = l (4.31) OU ainda -1 tgh av p " -(2 n -l) n t V 4 a ^

I

na Eq.(4.29) e comparando com a Eq. (4.32)

" - (2n-l)^ n a. \ / \ }

(4.33)

n= 1

4 Ct 2 2 2

definindo B = t e A = (2n-l) n a / L pode-se escrever

L« • iv n

- A t Z(t) = B J] e "

n= l

(4.34)

Devido à c a ra c te rís tic a dinâmica do sistem a estim a-se os p arâm etros K e a a tra v é s da comparação da função mínimos quadrados de Z em suas fo rm as experim ental e estim ada no domínio da frequência. Ou seja, a identificação se dá a tra v és da aplicação da tran sfo rm ada de Fourier em Z(t) nos dados

experim entais e teóricos, denominados Z^(f) e Z^(f), respectivam ente.

Essa com paração a princípio poderia se r fe ita em Z(t), ou s e ja na impedância generalizada no domínio do tempo. E n tretan to , uma análise de sensibilidade aponta p a ra uma combinação lin ear e n tre os coeficientes envolvidos. Esse fa to impede a estim ação sim ultânea de K e a, de fo rm a análoga ao m ostrado no Cap III.

A obtenção da impedância generalizada no domínio da frequência, Z (f), se dá, por sua vez, aplicando-se a tran sfo rm ad a de Fourier em Z (t), ou seja , ria impedância no domínio do tempo. Assim, d efin e-se a função Z(f) como

Z(f) =

r." _{- J 27t f t}

Z(t) e dt (4.35)

onde j = ■J -1 .

Uma vez que Z(f) é complexa, fa z -s e a estim ação dos p arâm etro s no módulo e na fa se. T orna-se assim necessário a obtenção te ó ric a da impedância, Z^(f), em sua form a completa (módulo e fase) a p a r tir do modelo j á descrito, assim como a impedância, Z^(f), determ inada experim entalm ente. Assim, obtido Z^(f) e Z^(f), a estim ação de K e a se dá a tra v és da minim ização de S e S definidos como

mod fase

s = y

mod Lu (4.36)

: _{fa s e} = y_Lt 'i

'if e 'í>^ rep resen tam , respectivam ente, os ângulos de fa se teó rico s e experim entais da impedãncia generalizada. Minimiza-se Eq. (4.37), e consequentemente determ ina-se a difusividade térm ica, usando-se o método de estim ação de p arâm etro s d escrito por Beck & Arnold [31], apresentado no apêndice I. Uma vez estim ado o valor de a, o parâm etro B=- 4 a

L K , to rn a -s e função exclusiva de K, sendo estimado atrav és da minimização de S , Eq.

mod (4.36). O bserva-se aqui, (veja p arág rafo 4.3), que a fa se é função somente da dif usividade térm ica . As Equações de reco rrên cia p a ra a e B são então obtidas fazendo-se suas derivadas parciais iguais a zero. Assim

e t / X (4.38) / X. (4.39)

alz

a 'í'

sensibilidade. Os parâm etros a e B são estimados por um processo ite ra tiv o a té que a diferença do parâm etro estimado en tre as iteraçõ es atu al e a n te rio r s e ja in fe rio r a 0.0001.

4.3 - Id e n tific â ç ã o Teórica de Z^(f >

Aplicando-se a definição da tran sfo rm ad a de F ourier dada pela Eq. (4.35) na Eq. (4.34) tem -se

Z j f ) = (4.40)