Probabilidades e magia matemática

Universidade de Aveiro Ano 2013 Departamento de Matemática

JUSTINA JÚLIA

ARAÚJO RODRIGUES

COELHO MELO

Universidade de Aveiro Ano 2013 Departamento de Matemática

JUSTINA JÚLIA

ARAÚJO RODRIGUES

COELHO MELO

PROBABILIDADES E MAGIA MATEMÁTICA

Dissertação apresentada à Universidade de Aveiro para cumprimento dos requisitos necessários à obtenção do grau de Mestre em Matemática para Professores, realizada sob a orientação científica da Dr.ª Andreia Hall, Professora Associada do Departamento de Matemática da Universidade de Aveiro.

Dedico este trabalho primeiramente à memória do meu pai, António

Coelho, que esteja onde estiver, sei que está feliz pela finalização deste

trabalho.

À minha filha, Maria Francisca, uma das razões da minha vida, pelos momentos que lhe foram roubados.

Ao meu marido, Francisco Melo pela incansável ajuda em muitos e diferentes momentos desta investigação, pela paciência, dedicação e, principalmente, por ter sido sempre o meu grande incentivador.

o júri

presidente Professora Doutora Maria Paula de Sousa Oliveira Professora Auxiliar da Universidade de Aveiro

Doutora Carlota Isabel Leitão Pires Simões

Professora Auxiliar da Universidade de Coimbra - Faculdade de Ciências e Tecnologia

Professora Doutora Andreia Oliveira Hall Professora Associada da Universidade de Aveiro

Quero agradecer:

À minha orientadora Prof.ª Doutora Andreia Hall pela atenção, disponibilidade, compreensão, paciência, tempo, críticas e sugestões, e pelo grande apoio dado em todos os momentos. A grande amizade deu-me forças para enfrentar os desafios, e a confiança, em mim depositada, foi essencial para me sentir segura em perseguir os meus objetivos. As suas sugestões e opiniões contribuíram significativamente para a definição do caminho a seguir para a concretização deste trabalho. Só me resta, mais uma vez, dizer-lhe muito obrigada.

Ao meu marido pelo grande apoio, compreensão, ajuda, carinho, amor e incentivo dados durante a realização deste trabalho.

E à minha filha que muito me apoia, dá amor em todos os momentos e que partilha comigo alegrias e tristezas.

São vocês a minha fonte de inspiração.

Aos meus pais que, despertaram em mim a sede pelo conhecimento e incentivaram o meu desenvolvimento pessoal e profissional.

Aos meus colegas, Ana e Sérgio pela grande ajuda que me prestaram.

À Sara pelas traduções e à Madalena pelas correções do texto.

A todos os alunos, sem os quais a nossa profissão de nada valeria.

Finalmente, a todos, os que, direta ou indiretamente, contribuíram de alguma forma para a concretização deste trabalho.

palavras-chave Probabilidades, Magia Matemática, Truques, Dados, Cartas, Paradoxos

resumo A magia matemática pode ser usada em contexto de sala de aula para atrair a curiosidade dos alunos. Diversos truques, aparentemente mágicos, apoiam-se em resultados, padrões ou propriedades matemáticas muito curiosas. Alguns estão relacionados com o cálculo de probabilidades e são excelentes exemplos de aplicação de conceitos simples, como o cálculo de probabilidades utilizando a Lei de Laplace ou a probabilidade condicionada.

Pretende-se, neste trabalho, estudar um conjunto de truques de magia matemática que têm por base questões de probabilidades. A título de exemplo podemos referir o “Truque de Kruskal”, truques com “Dados não transitivos” ou truques baseados no “Paradoxo de Monty Hall”.

keywords Probability, Mathematical Magics, Odds, Tricks, Dice, Cards, Paradoxes

abstract Mathematical Magic can be used in the context of the classroom to attract the curiosity of students. Several tricks, seemingly magical, rely on mathematical results, patterns or properties, which can be very curious. Some are related with probability and are excellent examples of the application of simple concepts such as probability calculation using the “Law of Laplace” and conditional probability.

The aim of this work is to study a set of magic tricks that are based on mathematical probability questions. These include the "Kruskal Trick", some tricks with “Not Transitive Dice” and tricks based on the "Monty Hall Paradox".

Índice

1.1. EVOLUÇÃO HISTÓRICA DA PROBABILIDADE ... 29

1.2. CONCEITOS ELEMENTARES ... 31

1.3. DEFINIÇÃO CLÁSSICA DE PROBABILIDADES ... 39

1.3.1. Pierre Simon Laplace (1749-1827) ... 39

1.3.2. Lei de Laplace ... 40

1.4. DEFINIÇÃO FREQUENTISTA DE PROBABILIDADES ... 42

1.4.1. Jacob Bernoulli (1654-1705)... 42

1.4.2. Lei dos Grandes números ... 44

1.5. TEORIA AXIOMÁTICA DE PROBABILIDADES ... 47

1.5.1. Andrei Kolmogorov (1903-1987) ... 47

1.5.2. Axiomática de Kolmogorov ... 48

1.6. PROBABILIDADE CONDICIONADA,TEOREMA DE BAYES E INDEPENDÊNCIA... 56

1.6.1. Thomas Bayes (1702-1761) ... 56

1.6.2. Probabilidade Condicionada ... 57

1.6.3. Teorema de Bayes ... 62

1.6.4. Independência ... 70

CAPÍTULO 2. MAGIA MATEMÁTICA COM PROBABILIDADES ... 77

2.1. MAGIA UTILIZANDO JOGOS E O CONHECIMENTO MATEMÁTICO ... 79

2.2. PRINCÍPIO DE KRUSKAL ... 79

2.2.1. Martin David Kruskal (1925-2006) ... 80

2.2.2. Uma explicação do “Principio de Kruskal” segundo Mariano Tomatis (2008) ... 82

2.2.2.1. Quem é Mariano Tomatis ... 82

2.2.2.2. As regras do jogo ... 83

2.2.3.1. Quem é James Grime ... 88

2.2.3.2. A probabilidade de sucesso com um baralho ... 90

2.2.3.3. Quando as cartas com figuras valem 1 ... 94

2.2.3.4. A Posição de Junção Esperada ... 95

2.2.3.5. A Colocação final da carta... 96

2.2.3.6. A probabilidade de sucesso com dois baralhos ... 98

2.2.4. Um complemento do “Princípio de Kruskal” de Steve Humble (2010) ... 99

2.3. OS DADOS NÃO TRANSITIVOS ... 102

2.3.1. Noção de não transitividade ... 102

2.3.2. Dados de James Grime (2010) ... 102

2.3.2.1. Uma explicação através das probabilidades ... 105

2.3.2.2. Lançamento de dois dados ... 108

2.3.3. Quem é Brad Efron ... 111

2.3.4. Dados de Brad Efron ... 112

2.3.5. Outro conjunto de “Dados de James Grime” ... 117

CAPÍTULO 3. PARADOXOS ... 123

3.1. OS PARADOXOS E A DECISÃO FINAL ... 125

3.2. PARADOXO DOS DOIS ENVELOPES ... 126

3.2.1. O Problema ... 126

3.2.2. Recorrendo ao cálculo das Probabilidades ... 128

3.3. PARADOXO DAS PORTAS DE MONTY HALL... 131

3.3.1. Quem é Monty Hall ... 131

3.3.2. O Programa ... 132

3.3.3. O Problema ... 132

3.3.4. A Resposta Intuitiva ... 133

3.3.5. A resolução do problema ... 134

3.3.5.1. Por descrição do problema ... 135

3.3.5.2. Recorrendo ao cálculo das Probabilidades ... 135

3.4. PARADOXO DOS CARTÕES ... 140

3.4.1. O Problema ... 140

3.4.2. Como resolver o problema ... 141

3.4.3. Uma versão para a sala de aula ... 142

CAPÍTULO 4. PROBABILIDADES E MAGIA MATEMÁTICA NO ENSINO ... 145

4.1. NOTA PRÉVIA ... 147

4.3. OS JOGOS NO ENSINO DA MATEMÁTICA ... 148

4.3.1. A aplicação do jogo ... 149

4.3.2. Os resultados ... 150

4.3.3. Cálculo das probabilidades por simulação ... 153

4.3.4. Uma análise utilizando os intervalos de confiança ... 157

4.3.4.1. No lançamento de um dado ... 157

4.3.4.2. No lançamento de dois dados ... 160

CONCLUSÕES…. ... 165

BIBLIOGRAFIA… ... 169

ANEXOS…………. ... 175

ANEXO 1A–LANÇAMENTO DE UM DADO ... 177

ANEXO 1B–LANÇAMENTO DE UM DADO - CONTINUAÇÃO ... 178

ANEXO 2A–LANÇAMENTO DE DOIS DADOS ... 179

ANEXO2B–LANÇAMENTO DE DOIS DADOS - CONTINUAÇÃO ... 180

ANEXO 3–PARTE DA SIMULAÇÃO DO LANÇAMENTO DE “DADOS NÃO TRANSITIVOS”-1 ... 181

Índice de Gráficos

Gráfico 1 – Probabilidade de sucesso em função do número de cartas utilizadas ... 86

Gráfico 2 – Probabilidades de sucesso de um baralho de 52 cartas ao variar os valores atribuídos às figuras . 86 Gráfico 3 – Probabilidade de sucesso conforme se aumenta a dimensão da escolha inicial. ... 87

Gráfico 4 – Comparação da frequência relativa num só lançamento ... 154

Gráfico 5 - Comparação da frequência relativa para dois lançamentos ... 155

Índice de Figuras

Figura 2 - Os círculos sombreados é o acontecimento A∪B . ... 34

Figura 3 - O círculo a branco é o acontecimento A e a região a sombreado é o acontecimento Complementar de ... 35

Figura 4 - Acontecimento B exceto o acontecimento A ... 35

Figura 5 - O conjunto a sombreado representa a diferença entre dois conjuntos ... 36

Figura 6- Acontecimento A está contido no acontecimento B... 36

Figura 7 – Acontecimento A idêntico ao acontecimento B ... 37

Figura 8 – A e B são incompatíveis ... 37

Figura 9 - Pierre Simon Laplace ... 39

Figura 10 - Jacob Bernoulli ... 42

Figura 11 – Andrei kolmogorov ... 47

Figura 12 – Thomas Bayes ... 56

Figura 13 – Martin David Kruskal ... 80

Figura 14 - Mariano Tomatis ... 82

Figura 15 - Percurso que o ilusionista pode efetuar mentalmente... 84

Figura 16 - James Grime ... 88

Figura 17 - Todas as oito cartas na linha de cima levam ao mesmo fim. ... 100

Figura 18 – Percurso dos oito jogadores ... 101

Figura 19 – Dados de James Grimes ... 103

Figura 20 – No lançamento de um dado ... 104

Figura 21 – Probabilidade de A ganhar B =7/12 ... 105

Figura 22 – Probabilidade de B ganhar C =7/12 ... 106

Figura 23 - Probabilidade de C ganhar A =25/36 ... 107

Figura 24 – No lançamento de dois dados ... 108

Figura 26 – Dados de Brad Efron ... 112

Figura 27 - No lançamento de um dado ... 113

Figura 28 – Conjunto de dados não transitivos de Grime ... 117

Figura 29 – No lançamento de um dado ... 117

Figura 30 – No lançamento de dois dados ... 121

Figura 32 - Um dos envelopes contém o dobro do dinheiro do outro ... 126

Figura 32 – Monty Hall ... 131

Figura 33 - Escolher uma porta entre as três ... 133

Figura 34 – Problema de Monty Hall ... 136

Figura 35 - Dados de James Grimes usados na experiência com os alunos ... 149

Índice de Tabelas

Tabela 2 – Produto Fornecido ... 68

Tabela 3 – Produto Devolvido ... 68

Tabela 4 – Qual o fornecedor mais provável ... 69

Tabela 5 – Percentagem de cartas finais ... 96

Tabela 6 – Faces dos Dados de James Grimes ... 103

Tabela 7 – Probabilidade de sair cada face ... 103

Tabela 8 – Soma das duas faces no lançamento do dado A duas vezes ... 108

Tabela 9 - Soma das duas faces no lançamento do dado B duas vezes ... 109

Tabela 10 - Soma das duas faces no lançamento do dado C duas vezes ... 109

Tabela 11 - Probabilidade de sair cada soma ... 109

Tabela 12 - Faces dos Dados de Brad Efron ... 112

Tabela 13 – Probabilidade do dado D vencer o dado A... 113

Tabela 14 - Probabilidade do dado A vencer o dado B ... 113

Tabela 15 - Probabilidade do dado B vencer o dado C ... 114

Tabela 16 - Probabilidade do dado C vencer o dado D ... 114

Tabela 17 - Soma das duas faces no lançamento do dado A duas vezes ... 115

Tabela 18 - Soma das duas faces no lançamento do dado B duas vezes ... 115

Tabela 19 - Soma das duas faces no lançamento do dado C duas vezes ... 115

Tabela 20- Soma das duas faces no lançamento do dado D duas vezes ... 116

Tabela 21 - Conjunto de dados de James Grime ... 117

Tabela 22 - Probabilidade do dado A vencer o dado B ... 118

Tabela 24 - Probabilidade do dado C vencer o dado D ... 118

Tabela 25 - Probabilidade do dado C vencer o dado D ... 119

Tabela 26 - Probabilidade do dado E vencer o dado A ... 119

Tabela 27 - Probabilidade do dado A vencer o dado C ... 119

Tabela 28 - Probabilidade do dado B vencer o dado D ... 119

Tabela 29 - Probabilidade do dado C vencer o dado E ... 120

Tabela 30 - Probabilidade do dado D vencer o dado A ... 120

Tabela 31 - Probabilidade do dado E vencer o dado B ... 120

Tabela 32 – Resultados possíveis quando o participante escolhe a porta 1... 137

Tabela 33 - Resultados possíveis quando o participante escolhe a porta 1 (versão 2) ... 137

Tabela 34 – Todos os resultados possíveis ... 138

Tabela 35 – Tabela de frequências num só lançamento ... 153

Introdução

Ao longo dos últimos anos, a teoria das probabilidades e a estatística tornaram-se áreas de grande importância, essenciais em todos os ramos da ciência e da vida em geral. Não é por isso de surpreender que estas áreas tenham vindo a desempenhar um papel cada vez mais importante no ensino da matemática, ao nível do ensino básico e secundário.

No nosso dia-a-dia, fazemos milhares de pequenas “apostas” inconscientes sobre resultados incertos. A maior parte das vezes, temos uma ideia intuitiva sobre o grau de incerteza que está bastante concordante com a realidade. No entanto, na probabilidade abundam resultados que são fortemente contra intuitivos e problemas cuja solução correta parece completamente contrária ao senso comum. Quando nos acercamos da porta de um elevador, pensamos que a probabilidade de que venha a descer, quando pára pela primeira vez no nosso andar, é igual à probabilidade contrária, o que, paradoxalmente, é, regra geral, falso. Por outro lado, numa família de quatro filhos, aguardamos que a situação mais provável seja que haja duas crianças de cada sexo, o que não corresponde à realidade. As ideias que serão apresentadas sobre probabilidades ajudar-nos-ão a perceber por que razões, “apostas” em jogos que, à partida, parecem favoráveis, acabam, de facto, por não o ser.

Matemática e magia podem parecer uma combinação estranha, mas muitos dos mais poderosos efeitos mágicos executados hoje em dia têm uma base matemática. Mágicos famosos usam, nas suas atuações, truques baseados na matemática. Contudo a matemática é, também, o segredo por detrás das tecnologias que usamos, dos produtos que compramos e das profissões que temos. A matemática é a linguagem que usamos para descrever o mundo que nos rodeia – é a base de todas as ciências.

Na matemática, a magia pode ser muito mais do que simples brincadeira. Pode levar a descobertas importantes. Um bom truque de magia é tão surpreendente, que não resistimos a tentar descobrir os seus princípios de funcionamento. Ao contrário dos mágicos, que nunca revelam como funcionam os seus truques, os matemáticos não sentem essa necessidade de secretismo.

O objetivo principal deste trabalho é descrever alguns truques mágicos e paradoxos para impressionar e cativar os alunos numa aula de matemática. Muitas vezes, os alunos acham a Matemática uma ciência muito abstrata e de pouca utilização prática. Estes truques e paradoxos servirão como exemplos práticos de aplicação da matemática ao mundo real, neste caso ao mundo da magia e do espetáculo.

Por tudo o que foi dito anteriormente, é importante propor aos alunos do ensino básico e secundário jogos mágicos que lhe estimulem a aprendizagem da matemática e, ao mesmo tempo, lhes permitam uma melhor compreensão da mesma. A matemática pode e deve entrar no mundo fantástico e mágico dos alunos para os motivar e surpreender mediante uma serie de atividades lúdicas.

Sendo a magia matemática uma área extremamente fértil, optámos desde o início por nos restringir a exemplos baseados em probabilidades. No entanto, ao longo deste trabalho, iremos encontrar magia que recorre a uma vasta gama de ideias matemáticas, para além das probabilidades. Esperamos que esta dissertação contribua para mostrar que toda a matemática pode ser estimulante, mágica e útil, em especial para os professores e alunos do ensino básico e secundário.

No primeiro capítulo, ir-se-ão apresentar algumas noções básicas da "teoria das probabilidades", introduzindo primeiro a definição clássica, para seguidamente tratar as probabilidades de forma axiomática. Ainda no primeiro capítulo, explanar-se-ão os temas "probabilidade condicionada", "fórmula de Bayes" e "independência". Como se poderá constatar através da leitura deste capítulo, as definições de probabilidade condicionada e de independência, juntamente com a fórmula de Bayes, são de capital importância para a resolução da maior parte dos problemas que irão aparecer ao longo da dissertação. Em todos os pontos serão apresentados exemplos, a fim de ilustrar e aplicar as definições e os teoremas expostos.

Passando ao segundo capítulo, apresentar-se-ão exemplos práticos de truques mágicos baseados na teoria das probabilidades exposta anteriormente. Tratando-se de truques baseados em probabilidades, o sucesso do mágico não é garantido, mas a sua probabilidade será elevada, como iremos ver.

Em primeiro lugar, explorar-se-á o “Princípio de Kruskal”, que é um truque de magia recorrendo a um baralho de cartas. Ir-se-á descrever o truque, o seu segredo e calcular a probabilidade de sucesso, entre outras de interesse.

Seguidamente, iremos apresentar exemplos de “Dados Não Transitivos”, que são conjuntos de dados que, ao serem lançados por dois jogadores, permitem a um deles (o mágico) ter sempre vantagem sobre o outro. Existem diversos conjuntos de “Dados Não Transitivos” e, nesta dissertação, irão ser apresentados três deles: um conjunto de Efron e dois de Grime. Tal como para o “Princípio de Kruskal”, pretende-se descrever o jogo, calcular as probabilidades associadas aos lançamentos e obter as probabilidades de sucesso.

No terceiro capítulo, explorar-se-ão três paradoxos de probabilidades diferentes. Após uma breve introdução geral ao tópico, dá-se o exemplo do “Paradoxo dos envelopes”, do “Paradoxo das portas de Monty Hall” que são explicados de uma forma mais exaustiva e do “Paradoxo dos cartões”. Trata-se de jogos em que a intuição pode levar o jogador a tomar a decisão errada, pois as verdadeiras probabilidades são contra intuitivas.

No quarto capítulo, será descrita uma experiência da exploração das probabilidades, em contexto de sala de aula, utilizando “Dados Não Transitivos” de James Grime. O objetivo desta experiência foi calcular valores aproximados das probabilidades, usando o conceito frequencista, ou seja, repetindo várias vezes a experiência. Em anexo, serão fornecidas as tabelas elaboradas com esses alunos.

No último capítulo, serão feitas as conclusões a partir de todo o trabalho desenvolvido.

Capítulo 1. Probabilidades

calcular com exatidão aquilo que as pessoas sentem por uma espécie de instinto... É notável que tal ciência, que começou nos estudos sobre jogos de azar, tenha alcançado os mais altos níveis do conhecimento humano."

1.1. Evolução histórica da probabilidade

A "teoria das probabilidades" é uma área da Matemática que tem por objetivo encontrar modelos capazes de descrever fenómenos aleatórios.

As primeiras referências históricas sobre a "teoria das probabilidades" remontam ao século XVII em trabalhos de Cardan e Galileu. Estes dois autores, embora nem aprofundando nem sistematizando muito o tema, terão sido, porventura, os primeiros a preocuparem-se com o cálculo de probabilidades. Foi com eles que apareceu o conceito mais rudimentar de probabilidade e a primeira noção de esperança matemática de uma quantidade aleatória.

Em 1654, um conhecido jogador, de seu nome Cavaleiro de De Méré, propôs a

Pascal um problema, explicitado no exemplo 1.5.2.2, relacionado com o "jogo dos dados".

Terá sido este o facto que deu origem ao aparecimento do ramo da Matemática, hoje denominado por "Teoria das probabilidades". Este e outros problemas relacionados com "jogos de azar" terão motivado uma troca intensiva de cartas entre Pascal e Fermat. Como resultado desta troca de correspondência e da resolução dos problemas atrás mencionados, apareceram as primeiras aplicações da Matemática ao domínio do acaso.

Pouco tempo depois, mais concretamente em 1656, Huygens publica "De ratiocinis in ludo aleae", uma obra inteiramente dedicada ao cálculo das probabilidades.

A partir desta altura, todos os grandes "geómetras" se interessaram pelo assunto, contribuindo de maneira mais ou menos significativa para o seu desenvolvimento.

Laplace, no seu livro "Théorie analytique des probabilités" publicado em 1812,

apresenta, pela primeira vez, as probabilidades de uma forma sistemática. Nesse livro,

Laplace organiza, compila e apresenta todas as descobertas, tanto suas como de seus

antecessores, feitas até à época.

Todo o século XIX e inícios do século XX foi um período em que se verificou uma grande adesão por parte dos matemáticos à "teoria das probabilidades". Nomes sobejamente conhecidos, não somente relacionados com este campo particular da

1

Matemática, a saber, Poisson, Tchebichev, Markov, Liapounov, Borel e Levi, de entre outros, contribuíram, de forma decisiva, para o avanço e aperfeiçoamento da já então entidade autónoma "teoria das probabilidades". Dos nomes atrás citados, destacam-se os trabalhos de Tchebichev e seus discípulos Markov e Liapounov. Estes três matemáticos tiveram capital importância para o desenvolvimento da "teoria das probabilidades", visto que, com as suas contribuições, conseguiram tirar a referida teoria do impasse em que se encontrava. Note-se, contudo, que, ainda durante todo este período, a acima referida obra de Laplace era tida como ponto de referência. Todos os trabalhos publicados não mais eram do que contribuições para o seu aperfeiçoamento.

Nos finais do século XIX e inícios do século XX, começa a instalar-se entre os matemáticos o desejo de tratar a Matemática de uma forma axiomática. Nesse mesmo período, a "teoria dos conjuntos" desenvolveu-se de uma forma bastante significativa, surgindo ainda questões para as quais a "teoria das probabilidades" não era capaz de obter resposta. Todos estes fatores conjugados, levaram a que os estudiosos sentissem necessidade de reformular a "teoria das probabilidades". Entre 1920 e 1930, matemáticos como Kolmogorov e Sloutski, de entre outros, evidenciaram as íntimas relações existentes entre a "teoria dos conjuntos" e a "teoria das probabilidades"; mais: aplicaram à "teoria das probabilidades" conhecimentos e resultados pertencentes à "teoria dos conjuntos". Este passo foi fundamental para que as "probabilidades" pudessem ser tratadas de forma axiomática, podendo, assim, dar resposta a problemas que até aí eram insolúveis. Surge, desta forma, a "teoria moderna das probabilidades". Como epitáfio deste período de grande agitação e descoberta, Kolmogorov publica, em 1933, uma obra, ainda hoje ponto de referência, direta ou indiretamente, para a totalidade dos trabalhos, inteiramente dedicada ao tratamento axiomático das probabilidades. Poder-se-á afirmar, nunca pecando por exagero, mas talvez por defeito, que a obra de Kolmogorov está para o século XX, como a obra de Laplace esteve para o século XIX.

Para finalizar esta breve resenha histórica, uma pequena referência a Von Mises, o qual foi um dos precursores da "teoria frequencista". Esta teoria é também ainda hoje aceite, se bem que sujeita a críticas.

1.2. Conceitos Elementares

As probabilidades, bem como qualquer ciência ou campo particular, têm uma linguagem específica que lhes é inerente. Pretende-se aqui introduzir e explicitar termos e denominações necessárias para uma melhor compreensão do texto posterior. Ver-se-á também que um acontecimento pode ser entendido como um conjunto e, consequentemente, será feita uma analogia entre a álgebra dos acontecimentos e a álgebra dos conjuntos.

Seja E uma experiência aleatória, isto é, uma experiência em que não é possível enunciar o seu resultado; a título de exemplo, se se lançar um baralho de cartas ao ar, com certeza todas as cartas cairão; o que não se pode prever, é o número de cartas que ficarão com a face voltada para cima. Por comodidade e clareza de raciocínio e linguagem, consideremos que a experiência E, em causa será sempre o lançamento de um dado "regular". Aplicamos a palavra "regular", mas poderíamos ter optado por "equilibrado", "não viciado", ou outras. A aplicação destas palavras, ou equivalentes, significa que o resultado da experiência não está sujeito a qualquer tipo de condicionalismo. Neste caso, a utilização de tal palavra significa que o referido dado tem, em cada uma das suas faces, um número diferente de pintas, que o número de faces é seis, que o número de pintas varia de um a seis e, além disso, que não há qualquer propensão para a saída de uma determinada face. Caso se escrevesse "um baralho ordinário", com certeza, seriamos capazes de estabelecer mentalmente um certo número de regras, para que o baralho em tudo correspondesse aos baralhos usualmente utilizados e, nos quais, não são encontradas quaisquer anomalias.

Em muitos casos, é possível enumerar todos os resultados que possam surgir da realização de uma determinada experiência aleatória. Na nossa experiência E, como resultado possível da sua realização poder-se-á ter 1, 2, 3, 4, 5 ou 6, denominando por 1 a saída de uma pinta na face superior, por 2 a saída de duas pintas na face superior, ... , por 6 a saída de seis pintas na face superior. A cada resultado que, da realização da experiência,

possa surgir, chamar-se-á acontecimento elementar. O conjunto de todos os acontecimentos elementares chamar-se-á espaço fundamental, conjunto dos

acontecimentos elementares, ou ainda, conjunto dos resultados possíveis. É usual

simbolizar este conjunto por Ω. A todo e qualquer subconjunto do espaço fundamental chamar-se-á acontecimento. Para que um acontecimento se realize, é necessário que o resultado da experiência seja um dos seus elementos.

Na experiência E em causa, ter-se-á como espaço fundamental e como acontecimentos elementares

Os seguintes conjuntos serão exemplos de acontecimentos compostos

Se lançarmos um dado e afirmarmos que se realizou o acontecimento elementar {3} é o mesmo que dizer que na face voltada para cima estavam três pintas. Portanto, dizer que um acontecimento elementar se realiza é o mesmo que enunciar o resultado da experiência. Note-se, contudo, que afirmar que um acontecimento A qualquer se realizou, não implica que se esteja a enunciar o resultado da experiência.

Por uma questão de convenção, simbolizou-se por

Acontecimento impossível é todo aquele que não pode ocorrer como resultado da

experiência em causa. Se se supuser A = "ocorre 3 ou 4", B = "ocorre 1 ou 5" e C = "A e B ocorrem" o acontecimento C será um acontecimento impossível na experiência considerada.

Exemplo 1.2.1: As peças de uma linha de produção de grande precisão são

rotuladas de duas formas: defeituosas (D) e não defeituosas (N). Cada peça é inspecionada e rotulada logo após o seu fabrico. A produção pára quando são detetadas consecutivamente duas peças defeituosas, ou após o fabrico de quatro peças quaisquer, para que o reajustamento da máquina se faça. Ter-se-á como espaço fundamental:

Seja a seguinte afirmação: "No final obter-se-ão exatamente três peças não

defeituosas". São acontecimentos elementares favoráveis a esta afirmação

Como, foi dito, o tratamento dos acontecimentos como conjuntos em tudo veio beneficiar o estudo das probabilidades. Ver-se-á agora de que forma se pode fazer uma analogia entre a álgebra dos acontecimentos e a álgebra dos conjuntos.

A totalidade das operações efetuadas entre conjuntos pode aplicar-se a acontecimentos. A reunião, interseção e complementaridade, de entre outras, são operações que assumem pleno sentido quando efetuadas entre acontecimentos. Vejam-se alguns exemplos:

i)

A B



Ao acontecimento , designado acontecimento interseção, pertencem somente os elementos de que também sejam elementos de . Para que se realize o acontecimento é necessário que se realizem os acontecimentos e simultaneamente.

Caso se tenha uma intersecção infinita numerável, ⋂

ao acontecimento ⋂ pertencem unicamente os elementos comuns a

todos os ,e este ocorre se e somente se todos os ocorrerem.

ii) ∪

Ao acontecimento ∪ , designado acontecimento reunião, pertencem todos os elementos de ou de . Este ocorre se, e somente se, ocorrer e não ocorrer, ocorrer e não ocorrer ou ambos ocorrerem. Note-se que no caso de a reunião ser em número infinito numerável ⋃ ∪ ∪ ∪ ∪ ao acontecimento

⋃ pertencem todos os elementos pertencentes aos e ocorre se e somente se pelo

menos um dos ocorre.

A B



iii) ̅



Figura 3 - O círculo a branco é o acontecimento A e a região a sombreado é o acontecimento Complementar de

Ao acontecimento ̅ dá-se o nome de complementar de . A este acontecimento pertencem todos os elementos do espaço fundamental , que não são elementos de . O acontecimento ̅ ocorre quando não ocorrer. Se o acontecimento não tiver interseção vazia com um outro acontecimento, suponha-se , terá significado falar no complementar de em , de notação . Ao complementar de em pertencem os elementos de que não pertence a , será neste caso equivalente falar no complementar de em ou falar na diferença .

Figura 4 - Acontecimento B exceto o acontecimento A

B A

iv)

B A



Figura 5 - O conjunto a sombreado representa a diferença entre dois conjuntos

O acontecimento diferença será o conjunto constituído pelos elementos de que não são de e ocorre unicamente quando ocorrer e não ocorrer.

v)

Dir-se-á que o acontecimento está contido no acontecimento se a realização de implicar a realização de . Neste caso todos os elementos de são elementos de .

Figura 6- Acontecimento A está contido no acontecimento B



vi)

Para que seja idêntico a é necessário que e também , ou seja, que a realização de um qualquer deles implique a realização do outro.

Figura 7 – Acontecimento A idêntico ao acontecimento B

vii) Incompatibilidade

Dois acontecimentos dizem-se incompatíveis ou mutuamente exclusivos se a realização de um deles implicar a não realização do outro. Quando em causa estiverem mais de dois acontecimentos, a incompatibilidade significará que os acontecimentos são mutuamente exclusivos.

Figura 8 – A e B são incompatíveis





Se consideramos , e três acontecimentos relacionados com uma mesma experiência. Eis alguns exemplos de como traduzir para linguagem comum expressões envolvendo acontecimentos:

i) ∪ ∪ : pelo menos um dos acontecimentos ocorre.

ii) ̅ ̅ ∪ ̅ ̅ ∪ ̅ ̅ : um e um só acontecimento ocorre.

iii) : os três acontecimentos ocorrem simultaneamente. iv ̅ ̅ : ocorre somente o acontecimento .

1.3. Definição clássica de probabilidades

1.3.1. Pierre Simon Laplace (1749-1827)

Figura 9 - Pierre Simon Laplace

Nasceu a 28 de Março de 1749 em Beaumont-en-Auge, em França, e morreu a 5 de Março de 1827 em Paris, França. Entre os 7 e os 16 anos, Laplace frequentou uma escola Beneditina em Beaumont. Aos 16 anos, entrou para a Universidade de Caen para estudar teologia e foi aqui, em Caen, que Laplace escreveu o seu primeiro artigo.

Aos 19 anos, devido à influência de d'Alembert, Laplace foi nomeado professor de uma cadeira matemática na ”École Militar,” em Paris. Em 1773, tornou-se membro da Academia de Ciências de Paris e durante a Revolução Francesa, Laplace ajudou a estabelecer o sistema métrico. Lecionou Cálculo na “École Normale” e tornou-se membro do “French Institute” em 1795. Durante o governo de Napoleão, Laplace foi membro e depois chanceler do Senado e recebeu a Legião de Honra, em 1805. É, por isso, surpreendente que, nas suas memórias, Napoleão refira que dispensou os serviços de Laplace, após seis semanas pois "ele trouxe para o governo o espírito do infinitamente

pequeno".

Laplace tornou-se Conde do Império em 1806 e depois, em 1817, foi nomeado Marquês. No final da sua vida viveu em Arcueil, onde ajudou a fundar a “Societé d'Arcueil” e encorajou o trabalho de jovens cientistas.

Laplace apresentou em "Exposition du systeme du monde" (1796) a sua famosa teoria nebular, que descrevia o sistema solar como o resultado de uma série de contrações e arrefecimentos de uma grande nuvem de gás incandescente, de rotação lenta.

O seu maior trabalho no campo da Astronomia, "Traité de Mécanique Céleste", foi publicado em cinco volumes ao longo de 26 anos (1799-1825) e continha importantes resultados sobre movimentos e órbitas de planetas. Também se dedicou ao estudo de equações diferenciais e da geodesia. Em análise, Laplace introduziu a função potência e os coeficientes de Laplace.

Laplace deu grandes contributos também ao nível da evolução do Cálculo das Probabilidades. Deve-se a ele a definição clássica de Probabilidade, expressa na conhecida

Lei de Laplace: "a probabilidade de um acontecimento é o quociente entre o número de

casos favoráveis ao acontecimento e o número de casos possíveis, supondo que todos os casos são igualmente possíveis". Relativamente a este tema, uma das suas obras mais

célebres é o livro "Theórie Analytique des Probabilités" (Teoria Analítica das Probabilidades), que foi publicado em 1812.

1.3.2. Lei de Laplace

“A Teoria do acaso consiste em reduzir todos os acontecimentos do mesmo género a um certo número de casos igualmente possíveis, ou seja, tais que estejamos igualmente seguros sobre a sua existência, e em determinar o número de casos favoráveis ao acontecimento cuja probabilidade é a pretendida. A razão deste número para o de todos os casos possíveis é a medida dessa probabilidade, a qual é portanto uma fração cujo numerador é o número de casos favoráveis e cujo denominador é o número de todos os casos possíveis”.

Inicialmente, o estudo da teoria das probabilidades foi motivado pelos denominados jogos do acaso, como aliás foi referido na introdução, de entre eles, jogos com dados e jogos com cartas. A probabilidade, , de um acontecimento ocorrer era definida da seguinte forma:

Definido o espaço de resultados Ω constituído por um número finito de elementos, todos eles com igual possibilidade de se realizar (equiprováveis), a probabilidade de um acontecimento é a razão entre o número de casos favoráveis a (resultados que constituem ) e o número de casos possíveis (resultados que constituem Ω) e representa-se por

Exemplo 1.3.2.1: Uma empresa de táxis tem ao seu serviço 25 automóveis, dos

quais 20 são pretos e verdes e 5 são beges. A probabilidade de a uma chamada responder um táxi bege é (táxi bege) = = .

A probabilidade do táxi ser preto e verde é (táxi preto e verde) = = .

Exemplo 1.3.2.2: Numa dada biblioteca existem 7 exemplares de um determinado

livro. Desses 7 exemplares, 4 são da primeira edição e 3 de uma edição já revista. Supondo que não está nenhum exemplar requisitado e que a escolha do empregado sobre qual livro a trazer é aleatória, a probabilidade de se requerer um exemplar que seja da primeira edição é , e a probabilidade de se requerer um exemplar revisto é .

A definição clássica de probabilidade é susceptível de críticas. O uso na sua definição da ideia "resultados igualmente prováveis" é o ponto fulcral dessas críticas, já que, "resultados igualmente prováveis" significa o mesmo que "resultados com igual

probabilidade", ideia que ainda não foi definida.

Ver-se-á mais à frente que a definição clássica tem por base os espaços

equiprováveis, os quais são um caso particular dos espaços de resultados.

5 25 1 5 20 25 4 5 4 7 3 7

1.4. Definição frequentista de probabilidades

1.4.1. Jacob Bernoulli(1654-1705)

Figura 10 - Jacob Bernoulli

Jacob Bernoullinasceu a 27 de Dezembro de 1654 em Basel, na Suíça, onde faleceu a 16 de Agosto de 1705. Era irmão mais velho do também famoso matemático Johann Bernoulli.

Bernoulli, estudou matemática e astronomia, contra a vontade dos seus pais. Em 1676, após licenciar-se em Teologia, foi para Genebra, onde trabalhou como tutor. Mais tarde, viajou para França, onde trabalhou durante dois anos com os seguidores de Descartes.

Em 1681, Bernoulli foi para a Holanda, onde conheceu vários matemáticos. Continuando os seus estudos com os mais célebres cientistas e matemáticos da Europa, Bernoulli foi para Inglaterra, onde conheceu, entre outros, Boyle e Hooke. Em resultado de tantas viagens, Bernoulli estabeleceu contatos com vários matemáticos, mantendo-os durante muitos anos. Regressou, depois, à Suíça, onde ensinou mecânica na Universidade de Basel desde 1683, tendo dado várias palestras sobre mecânica de sólidos e líquidos.

Note-se que as publicações de Leibniz sobre o cálculo eram muito obscuras para os matemáticos da época e os irmãos Bernoulli foram os primeiros a tentar compreender e aplicar a sua teoria.

Foram várias as primeiras grandes contribuições de Bernoulli para a matemática: em 1685 publicou um “panfleto” sobre o paralelismo entre a lógica e a álgebra; em 1685 trabalhou no campo da Teoria das Probabilidades (é de referir que, a conselho de Leibniz, Bernoulli se dedicou a aperfeiçoar os estudos feitos anteriormente nesta área e pode-se dizer que é devido ao seu trabalho que o Cálculo de Probabilidades adquiriu o estatuto de ciência); em 1687 elaborou trabalhos no campo da Geometria, e os resultados que obteve permitiram-lhe formular uma construção que permitia dividir qualquer triângulo em quatro partes iguais com duas linhas perpendiculares.

Em 1689, Bernoulli publicou dois trabalhos: um sobre séries infinitas e outro em que demonstrava a chamada Lei dos Grandes Números, grande contributo para a evolução do Cálculo das Probabilidades. Deve-se a ele a definição frequencista de probabilidade, expressa nessa lei: “a frequência relativa de um acontecimento tende a estabilizar num

determinado valor à medida que aumenta o número de vezes que se realiza uma experiência”

Em Maio de 1690, Bernoulli publicou um artigo muito importante para a história do desenvolvimento do Cálculo, uma vez que é nele que o termo integral aparece pela primeira vez com o verdadeiro sentido de integração. Em 1696 resolveu a equação que hoje conhecemos como "Equação de Bernoulli": .

Bernoulli interessou-se também pelo estudo de curvas, entre as quais as hipocicloides e epicicloides, a cicloide, a catenária, as ovais de Cassini, a espiral equiangular e a lemniscata, que depois ficou com o seu nome. Ele foi também o matemático que mais avançou no estudo da espiral logarítmica.

Aquando da sua morte o seu trabalho estava incompleto, não deixando, no entanto, de ter um enorme significado na Teoria das Probabilidades.

Bernoulli, um apaixonado pelas curvas e pelo Cálculo, que sempre considerou as propriedades da espiral logarítmica como sendo quase mágicas, pediu que, na sua pedra

tumular, ficasse inscrita a seguinte frase em latim: " Eadem Mutata Resurgo", que significa

"Surjo de novo igual, apesar de diferente"

1.4.2. Lei dos Grandes números

Em 1692, Jacob Bernoulli demonstrou um teorema, segundo o qual, conhecendo-se a probabilidade de ocorrência de um acontecimento numa experiência aleatória, é possível indicar quais são as expetativas da frequência da sua ocorrência, se a mesma experiência for repetida um número considerável de vezes sob condições semelhantes. Por outro lado, se é desconhecida a probabilidade de um acontecimento, mas o número de experiências é muito grande, a sua probabilidade pode ser aproximada, a partir deste resultado.

A Frequência Relativa de um acontecimento é definida como sendo a relação entre o número de vezes em que esse acontecimento aconteceu numa dada série de repetições de uma experiência aleatória e o número total de repetições da referida experiência. Por outras palavras:

O teorema de Bernoulli, mais conhecido como a "Lei dos Grandes Números", afirma que, numa grande quantidade de experiências, a frequência relativa de um acontecimento se aproxima cada vez mais da sua probabilidade. Em outras palavras,

quando se repete uma experiência um número suficientemente grande de vezes é possível, na equação acima, substituir a expressão "Frequência Relativa" por "Probabilidade" com erro desprezável. Assim, dada uma grande quantidade de experiências, pode-se calcular aproximadamente a probabilidade de um acontecimento, ou então, dada a probabilidade de um acontecimento, pode-se calcular o número aproximado de vezes que ele deve ocorrer numa grande quantidade de tentativas.

Para se compreender bem a Lei dos Grandes Números e suas implicações, é interessante considerar algumas experiências práticas e também estabelecer um contraste com a definição clássica de probabilidade.

Usando-se a definição clássica, a probabilidade de ocorrer uma “cara” no lançamento de uma moeda equilibrada é de ou . Numa experiência aleatória no

sentido de detetar a ocorrência do acontecimento, foram obtidos os seguintes resultados concretos:

Tabela 1 – Tabela de Frequências

N° de Lançamentos Frequência Absoluta Frequência Relativa Diferença p/ Probabilidade Clássica

10 4 4/10 = 0.40 = 40% 10%

30 14 14/30 = 0.47 = 47% 3%

60 31 31/60 = 0.52 = 52% 2%

100 49 49/100 = 0.49 = 49% 1%

Como se pode ver, à medida que se aumenta o número de lançamentos, o valor da frequência relativa aproxima-se cada vez mais dos 50% previstos pela definição clássica de Probabilidade. Naturalmente, uma outra série de 100 lançamentos apresentaria números específicos diferentes, mas o mesmo tipo de convergência. Também é intuitivo que fenómenos diferentes, com diferentes mecanismos probabilísticos, apresentam diferentes velocidades de convergência.

A Lei dos Grandes Números é válida para qualquer tipo de experiência aleatória, de modo que, substituindo-se o "lançamento de uma moeda" por um resultado observacional ou experimental qualquer, se pode ter, numa grande quantidade de registos, a probabilidade de um diagnóstico específico, de um determinado achado laboratorial ou de um certo desenvolvimento clínico. É interessante notar, contudo, que o número de observações precisa ser grande o suficiente para que se possa ter uma precisão aceitável para a probabilidade estimada, o que costuma implicar números realmente "grandes", como sugere o nome da Lei.

1.5. Teoria axiomática de probabilidades

Desde o século XVII que a Teoria das Probabilidades é utilizada intensivamente. Muitas das regras em que essa utilização se baseava tinham, contudo, um caráter mais ou menos empírico, isto é, não tinham sido demonstradas.

No século XX, um matemático russo, Kolmogorov, fez, em relação às Probabilidades, o mesmo trabalho que Euclides tinha feito relativamente à Geometria. Tomou como ponto de partida um conjunto de axiomas e, à custa deles, demonstrou vários teoremas, muitos dos quais eram as tais regras utilizadas empiricamente.

1.5.1. Andrei Kolmogorov (1903-1987)

Figura 11 – Andrei kolmogorov

O mais influente matemático soviético do século XX, nascido em Tambov, Rússia, iniciador da teoria matemática da probabilidade, criou para ela uma base axiomática fundamentada na teoria dos conjuntos. Graduou-se em física e matemática na Universidade Estatal de Moscovo (1925) onde foi nomeado professor (1931) e diretor do Instituto de Matemática (1933).

Kolmogorov começou por se interessar por Teoria de Conjuntos, Geometria Projetiva, Teoria das Funções Analíticas e Lógica Matemática.

Em 1929, apresenta, em “General theory of measure and the calculus of

probabilities”, as suas primeiras ideias sobre a Teoria das Probabilidades, baseadas na

teoria da medida e na teoria das funções reais de variável real.

Em 1934, constrói a primeira axiomática para a Teoria das Probabilidades. Esta axiomática ficou conhecida como Axiomática de Kolmogorov.

Ao longo da sua vida, Kolmogorov dedicou-se ao estudo e pesquisa de muitos e variados temas. Participou nas principais descobertas científicas do século XX nas áreas das probabilidades e da estatística e na teoria da informação. A sua obra, vasta e diversificada, abrange, entre outras, pesquisas em Álgebra e em Topologia, que ajudaram a estabelecer as bases de estudos posteriores da Análise Matemática.

Na área da educação, Kolmogorov desempenhou um papel fundamental na reestruturação do sistema educativo universitário na União Soviética, particularmente na atualização dos programas de Matemática.

1.5.2. Axiomática de Kolmogorov

A grande maioria dos autores, quando abordam o tratamento axiomático das “Probabilidades”, fazem-no de uma forma progressiva. Começam, primeiro, por estudar o caso em que o espaço fundamental Ω é finito, generalizando posteriormente para o caso em que Ω é infinito. Como geralmente, o estudo das "probabilidades" tendo Ω como finito não mais é que uma particularização do mesmo com o Ω é infinito, no presente texto, salvo referência em contrário, todo o estudo terá como suporte um espaço fundamental infinito. A particularização para o caso finito será efetuada sempre que tal se mostrar necessário e/ou vantajoso.

No que se segue, vai ser necessário considerar um conjunto a, obtido a partir do espaço fundamental Ω. Tendo-se um suporte Ω infinito, existe a necessidade de limitar o conjunto a: a será sempre um subconjunto de P(Ω) (partes de Ω), sobre o qual se irá trabalhar. Caso não se limitasse o a, ou seja, se se trabalhasse com o conjunto P(Ω), poderia acontecer não ser possível fazer corresponder a cada elemento um número real, que seria a sua probabilidade, de modo a que os axiomas de probabilidade, definidos mais à frente, se verificassem. O referido conjunto a deverá obedecer a regras, bem definidas, de modo a que não surjam incongruências no decorrer da explanação da matéria. O referido conjunto terá, evidentemente, que conter os acontecimentos que nos interessam e os resultados de quaisquer operações que com eles se possam fazer. Se se supuser que a é uma



Definição 1.5.2.1: Seja Ω um conjunto e a um conjunto de partes de Ω. a é uma

tribo ou



ii)  ̅ iii)  ⋃

No caso de Ω ser finito seria suficiente que o conjunto a fosse uma álgebra. Para que a fosse uma álgebra, além dos pontos i) e ii), era suficiente exigir que a reunião de um número finito de elementos de a, pertencesse.

Poder-se-ia provar que a totalidade das operações possíveis de ser efetuadas sobre elementos de a são leis internas. A título de exemplo, basta notar que, para a interseção, se tem ⋂ ⋃ ̅ e que, para a diferença se verifica ̅ .

Definição 1.5.2.2: Chama-se espaço probabilizável ao par (Ω, a ) onde Ω é um

conjunto e a é uma tribo sobre Ω.

Para completar a construção de um modelo de probabilidade referente a uma experiência aleatória falta ainda a definição de probabilidade.

Seja um acontecimento pertencente à tribo em causa. Intuitivamente, e de uma forma pouco precisa, chamar-se-á probabilidade de , com notação ao valor numérico que indique a hipótese de ocorrer. Em 1933, Kolmogorov propõe a seguinte definição de probabilidade:

Definição 1.5.2.3: Uma função real P definida sobre a é uma probabilidade se os

seguintes axiomas se verificarem:

[A1] Para todo o acontecimento , . [A2] .

[A3] Se é uma sucessão de acontecimentos tais que

para , então ⋃ ∑ . O axioma [A3] é usualmente

denominado por aditividade.

Se estivéssemos a trabalhar com um Ω finito os axiomas da definição de acima expostos, com a excepção do axioma [A3], seriam os mesmos. No axioma [A3] seria suficiente considerar a probabilidade de uma reunião de um número finito de acontecimentos. Este novo axioma, com reunião finita, é denominado por aditividade.

Supondo ainda Ω finito, chamar-se-ão espaços equiprováveis a todos aqueles espaços fundamentais em que os acontecimentos elementares tenham a mesma probabilidade. Assim, supondo que o Ω em causa tem n elementos,

Ω= { a1 , a2 , a3 , ... , an }, ter-se-á:

({a1}) = ({a2}) = ... = ({an}) = .

Mais, com bastante facilidade se provaria que a aplicação P de P (Ω) em [0,1] definida pela lei de Laplace por: é uma probabilidade .

1 n

Um típico exemplo de um espaço equiprovável será o exemplo 1.5.2.1.

Exemplo 1.5.2.1: Suponhamos que se lançam simultaneamente dois dados

regulares de cores diferentes. Qual a probabilidade de os dois dados resultarem em resultados iguais?

Os elementos do espaço fundamental Ω são pares ordenados em que cada casa

possui seis escolhas possíveis, ter-se-á, portanto, # Ω = 62 = 36. Obviamente, cada elemento de Ω tem igual probabilidade de ocorrência, ou seja, Ω é um espaço equiprovável. O número de formas diferentes que o acontecimento "nos dois dados sai o mesmo número de pintas" pode ocorrer é 6. Ter-se-á, então:

Exemplo 1.5.2.2: (paradoxo de De Méré)

O Cavaleiro de De Méré observou que, no lançamento simultâneo de três dados, o resultado 11 aparecia mais vezes que o resultado 12. Tal facto causou surpresa, visto considerar-se que ambos os resultados teriam a mesma probabilidade de ocorrerem. Veja-se qual o raciocínio que induziu em erro. O acontecimento 11 pode acontecer de Veja-seis formas diferentes, 6-4-1, 6-3-2, 5-5-1, 5-4-2, 5-3-3 e 4-4-3. De igual forma, o acontecimento 12 também ele pode ocorrer de seis formas diferentes 6-5-1, 6-2, 6-3-3, 5-5-2, 5-3 e 4-4-4. Dever-se-ia então ter:

Pascal solicitado por De Méré descobriu qual o erro do raciocínio anterior. Do lançamento simultâneo de três dados surgem sequências de três algarismos, variando cada

algarismo entre 1 e 6 inclusive. Ter-se-ão portanto 63 = 216 sequências possíveis. Consequentemente, os resultados 6-4-1 e 1-4-6 terão que ser tomados como diferentes. Recorrendo às permutações, ver-se-ia que poderão aparecer seis sequências "equivalentes" a 6-4-1, a saber, 6-4-1, 6-1-4, 4-6-1, 4-1-6, 1-6-4 e 1-4-6. Calculando novamente de quantas formas podem ocorrer os acontecimentos 11 e 12 chegar-se-ia à conclusão que o acontecimento 11 pode ocorrer de 27 formas diferentes e o acontecimento 12 de 25 formas diferentes. As suas probabilidades serão então:

Com este resultado a que se chegou então em nada surpreende a maior frequência do aparecimento do resultado 11 em relação ao resultado 12.

Exemplo 1.5.2.3: Um determinado casal de gatos teve uma ninhada de quatro

filhotes. O Pai gato pergunta à Mãe gata qual o sexo dos filhos. A Mãe gata diz que ainda não sabe, mas que o mais provável é que sejam dois machos e duas fêmeas, visto cada gatinho ter 50% de hipóteses de ser macho e 50% de hipóteses de ser fêmea. Tal conjetura estará correta?

Não. Veja-se porquê. Os elementos do espaço fundamental Ω são sequências com quatro posições e duas escolhas possíveis para cada posição. Está-se, portanto, na presença de arranjos com reposição, e, consequentemente, o número de elementos de Ω é

=16.

Considerem-se os seguintes acontecimentos:

= { dois machos e duas fêmeas }

= { três elementos de um sexo e um do outro} = { todos do mesmo sexo }.

Recorrendo às permutações com elementos repetidos poder-se-á calcular os cardinais de cada um dos conjuntos referidos anteriormente:

# = = 6 , # = 2 = 8 e # = 2 = 2.

Consequentemente,

= , = e = .

A conjetura que a mãe gata fez está, então, errada, visto que, probabilisticamente, há mais hipóteses de na ninhada existirem três filhotes do mesmo sexo e um do outro.

Baseado em Gardner M. (1993)

Exemplo 1.5.2.4: Nos casinos, principalmente nos Estados Unidos da América, é

usual encontrar um jogo denominado por Chuck-a-luck. O chuck-a-luck, embora com ligeiras diferenças, também pode ser encontrado nos pubs Ingleses e Australianos, mas com o nome bird-cage.

O jogo é composto por uma tômbola que contém no seu interior três dados iguais. Na versão americana, os dados são tal como os conhecemos, enquanto, que na versão inglesa e australiana, cada um dos três dados contém os símbolos de espadas, ouros, copas, paus e ainda uma coroa e uma âncora. Iremos considerar a versão americana do jogo.

Para que o jogo se efetue, o jogador aposta num determinado número, perdendo se, após a rotação da tômbola, não aparecer esse número em nenhum dos dados e ganhando, caso o número apareça em algum deles. Com as regras atrás expostas, o jogador é levado a pensar da seguinte forma: “se em causa estivesse só um dado eu teria

uma hipótese de ganhar e cinco de perder; com dois dados tenho duas hipóteses de sair o

4 2 2 ! ! !  4 3 ! !  4 4 ! ! 3 8 1 2 1 8

número em que apostei, em seis resultados possíveis”. Finalmente, com três dados, tem

três hipóteses de ganhar, em seis resultados possíveis. O jogo é, portanto, justo.

Na realidade, o jogo não é justo, veja-se porquê. A cada rodar da tômbola corresponde uma sequência de três números, cada um dos quais compreendidos entre um e seis. Como atrás foi visto, no exemplo 1.5.2.2, o conjunto fundamental será composto por 216 elementos. Supor-se-á, sem perda de generalidade, que o número em que se apostou foi o número 1. Qual a probabilidade de se ganhar com tal aposta?

Para que seja possível responder à anterior questão é necessário saber de quantas formas diferentes pode ocorrer o seguinte acontecimento:

= " Em pelo menos um dos dados ocorre 1 ".

O acontecimento ocorre se algum dos seguintes acontecimentos ocorrer: = " Em um, e só um, dos dados ocorre 1 "

= " Em dois dos dados ocorre 1 "

= " Ocorre 1 nos três dados ".

Calculem-se agora, de quantas formas podem acontecer cada um dos acontecimentos referidos anteriormente, o que equivale a calcular o seu cardinal:

# = 3 = 75 , # = 3 5 = 15 e # = 1.

O acontecimento pode ocorrer então de 91 maneiras. A sua probabilidade será:

que é um resultado claramente desfavorável ao jogador.

Baseado em Gardner M. (1993)

Definição 1.5.2.4: A um terno (Ω, , ) chama-se espaço de probabilidade quando Ω é um conjunto, , é uma tribo sobre Ω e é uma probabilidade definida sobre .

Com base na axiomática de Kolmogorov e tendo como suporte um espaço de probabilidade ( Ω, , ), poder-se-ão enunciar um certo número de propriedades de uma qualquer probabilidade . Tais propriedades serão aqui apresentadas sob a forma de teoremas, cujas demonstrações podem ser consultadas em Murteira & Pimenta (2007).

Teorema 1.5.2.1: Se é o acontecimento impossível, então:

Teorema 1.5.2.2:

̅

Teorema 1.5.2.3: Sejam e dois elementos quaisquer da tribo , então:

∪

Corolário: Sejam e dois acontecimentos mutuamente exclusivos pertencentes

à tribo . Nestas condições, tem-se:

∪

Teorema 1.5.2.4: Com e elementos quaisquer da tribo , verifica-se a seguinte

expressão:

1.6. Probabilidade condicionada, Teorema de Bayes e Independência

1.6.1. Thomas Bayes (1702-1761)

Figura 12 – Thomas Bayes

Thomas Bayes nasceu em Londres por volta de 1702 e morreu a 17 de Abril de 1761. Filho mais velho de Joshua Bayes, um dos primeiros seis ministros "Nonconformist" ordenados em Inglaterra, foi pastor da igreja presbiteriana e matemático. Em 1719 ingressou, para estudar teologia e lógica, na Universidade de Edimburgo. No entanto os seus estudos continuariam numa universidade escocesa, pois na época os "Nonconformist" foram proibidos de frequentar Oxford e Cambridge. Utilizou a probabilidade de forma intuitiva e estabeleceu as bases para a inferência estatística tornando-se conhecido por ter formulado o famoso “Teorema de Bayes”. Apesar de não ter obras de matemática publicadas, Bayes foi eleito membro da “Royal Society”, em 1742.

Já após a sua morte, em 1763, Richard Price, amigo pessoal de Bayes publica a obra do Rev. Thomas Bayes, intitulada de "An essay Towards Solving a problem in the Doctrine

of Chances". Com ela, foi lançada a semente para a abordagem bayesiana, hoje largamente

1.6.2. Probabilidade Condicionada

Se numa experiência se supuser que um determinado acontecimento, denomine-se por , acontece (acontecimento certo), impor-se-á sempre que tem probabilidade não nula, então, é natural que as probabilidades de outros acontecimentos sejam alteradas. A título de exemplo, considere-se que se escolhe aleatoriamente uma palavra de um dicionário de português. Seja o acontecimento "a letra u aparece na palavra" e "a letra q aparece na palavra".

Calcula-se a probabilidade de dividindo o número de palavras que contêm a letra u pelo número total de palavras existentes no dicionário. De igual forma se calcula a probabilidade de . A probabilidade de certamente que não é um, como é óbvio, mas, se se souber que ocorre, então é certo que também ocorre. Nestas condições, a probabilidade de é um.

A definição de probabilidade condicionada fornece ferramentas para se poder calcular as probabilidades de cada acontecimento, supondo que se tem como certa a ocorrência de um determinado acontecimento.

Definição 1.6.2.1 Sejam dois acontecimentos, e , subconjuntos do mesmo

espaço de resultados Ω . A probabilidade de se realizar sabendo-se que se realizou – ou Probabilidade de Condicionada por , designada por – é definida, por:

Como é óbvio, quando dois acontecimentos são incompatíveis, a probabilidade de um deles condicionada pelo outro é nula. Também é que a probabilidade de qualquer acontecimento, de probabilidade não nula, condicionada por ele próprio é um.

Se se fixar um acontecimento , pertencente à tribo em causa, que possua probabilidade positiva, a probabilidade condicionada por satisfaz os axiomas de

probabilidade, isto é, é de facto uma probabilidade sobre (Ω, ). Com efeito, aquando da escolha de impôs-se que e como , então, recorrendo à definição de probabilidade condicionada, conclui-se que , ou seja, o axioma [A1] é verificado.

O axioma [A2] é trivialmente verificado pois:

Exemplo 1.6.2.1: Uma família tem duas crianças. Sabendo que uma delas é rapaz,

qual a probabilidade da outra ser também rapaz?

Considere-se rapaz denominado por RZ e rapariga por R. As hipóteses possíveis para o sexo das crianças são os pares ) sendo ordenados pela data de nascimento. Seja o acontecimento "uma das crianças é rapaz". O que se pretende saber é qual a probabilidade de ocorrência do par (RZ, RZ) sabendo que ocorre. Vem:

[ ] [ ]

⁄

⁄

Intuitivamente, é-se tentado a responder visto ser esta a resposta à seguinte

pergunta: o João é um dos filhos de uma família que tem duas crianças. Qual a probabilidade de a outra criança ser também rapaz?

Aqui o espaço de resultados será Ω= {(J, RZ), (J, R), (RZ, J), (R, J)}. Se se denominar por o acontecimento "um dos filhos é o João" ter-se-á . O que se pretende saber, neste caso é:

[ ] ⁄

Adaptado de Pestana & Velosa (2006)

Exemplo 1.6.2.2: Uma companhia possui duas fábricas que produzem o mesmo

artigo. A fábrica 1 tem uma produção diária de 1000 unidades, 100 das quais com defeito. A fábrica 2 produz diariamente 4000 unidades, 200 das quais com defeito. De um lote, contendo produtos das duas fábricas, é escolhido aleatoriamente um exemplar e verifica-se que tem defeito. Qual a probabilidade de que esverifica-se exemplar verifica-seja oriundo da fábrica 1?

Seja o acontecimento "o exemplar escolhido tem defeito" e o acontecimento "o exemplar provém da fábrica 1". O que se pretende saber é .

São necessárias as seguintes probabilidades:

Consequentemente, e recorrendo à definição de probabilidade condicionada, resolve-se o problema da seguinte forma:

⁄ ⁄ Baseado em Meyer (1991)

Teorema 1.6.2.1 [Teorema da probabilidade composta]: Sejam dois

acontecimentos tais que . Então, resulta da definição de probabilidade condicionada:

Observação: Nalguns casos, a probabilidade condicionada pode ser igual a , ou seja, o conhecimento da ocorrência de não afeta a probabilidade de ocorrer.

Definição 1.6.2.2. (Murteira & Pimenta, 2007)[Partição do espaço de resultados]:

Dizemos que ,é uma partição do espaço de resultados Ω quando:

para e ⋃

Teorema 1.6.2.2 (Murteira & Pimenta, 2007)[Teorema da probabilidade total]:

Sejam , uma partição do espaço de resultados Ω, com , . Dado um qualquer acontecimento , tem-se:

∑

Exemplo 1.6.2.3: Uma loja de brinquedos tem, na época de Natal, três pessoas a

embalarem os presentes. A pessoa 1 embrulha 30% dos presentes, esquece-se de tirar o preço 3% das vezes e troca a cor das fitas (rosa para meninos e azul para meninas) 4% das vezes; a pessoa 2 embrulha 20% dos presentes, esquece-se de tirar o preço 8% das vezes e troca a cor das fitas 2% das vezes; finalmente a pessoa 3 embrulha os restantes presentes, esquece-se de tirar o preço 5% das vezes e troca a cor das fitas 8% das vezes. Qual a probabilidade de um presente sair da loja com o preço? Qual a probabilidade de levar um presente com fita de cor errada?

Denomine-se por "o presente foi embrulhado pela pessoa 1", por "o presente foi embrulhado pela pessoa 2", por "o presente foi embrulhado pela pessoa 3", por "o presente sai da loja com o preço" e por "o presente leva a fita de cor trocada".

Para começar, como, o mesmo presente não é embrulhado por duas pessoas, então:

para , . Por outro lado, , e . Então, para . Está-se, portanto, nas condições do teorema da probabilidade total.

Tendo em conta que: