Implementação de métodos explícitos de integração de tensões em programas de elementos finitos para análise geomecânica

Texto

(1)UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO. CENTRO DE TECNOLOGIA E GEOCIÊNCIAS DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL. POR:. DÉBORA CRISTINA ALMEIDA DE ASSIS. IMPLEMENTAÇÃO DE MÉTODOS EXPLÍCITOS DE INTEGRAÇÃO DE TENSÕES EM PROGRAMAS DE ELEMENTOS FINITOS PARA ANÁLISE GEOMECÂNICA.. RECIFE – 2010. i.

(2) DÉBORA CRISTINA ALMEIDA DE ASSIS. IMPLEMENTAÇÃO DE MÉTODOS EXPLÍCITOS DE INTEGRAÇÃO DE TENSÕES EM PROGRAMAS DE ELEMENTOS FINITOS PARA ANÁLISE GEOMECÂNICA.. Dissertação submetida ao corpo docente do programa de Pós-graduação em Engenharia Civil da Universidade Federal de Pernambuco como parte dos requisitos necessários à obtenção do grau de Mestre em Engenharia Civil. Área de concentração: Engenharia Geotécnica.. Orientador: Leonardo José do Nascimento Guimarães Co-orientador: Igor Fernandes Gomes. RECIFE – MARÇO 2010 ii.

(3) A848i. Assis, Débora Cristina Almeida de Implementação de métodos explícitos de integração de tensões em programas de elementos finitos para análise geomecânica / Débora Cristina Almeida de Assis. - Recife: O Autor, 2010. xxii, 93f.; il., gráfs., tabs. Dissertação (Mestrado) – Universidade Federal de Pernambuco. CTG. Programa de Pós-Graduação em Engenharia Civil, 2010. Orientador: Leonardo José do Nascimento Guimarães. Inclui Referências bibliográficas. 1. Engenharia civil. 2. Engenharia geotécnica. 3. Simulação de reservatórios. 4. Elasto-plasticidade. I. Título.. 624 CDD (22. ed.). UFPE/BCTG/2010-108. iii.

(4) iv.

(5) DEDICATÓRIA. - a Deus, pela fé que me mantém viva e fiel à vida honesta de trabalho e de estudo; - à minha família que entendeu a minha ausência nos muitos momentos desde que ingressei no mestrado até a conclusão desta dissertação; - à minha irmã e meu cunhado que me deram não apenas moradia, mas todo o apoio necessário durante todo o período de minha dissertação; - ao meu namorado por toda ajuda e por aguentar meus momentos de ansiedade e estresse nos meses em que me dediquei à dissertação; - a todos os professores e alunos que me ajudaram e incentivaram a concretização deste momento.. v.

(6) AGRADECIMENTOS. Meus sinceros votos de agradecimentos,. - A Deus por guiar meus caminhos e me dar força e determinação para alcançar meus objetivos; - Aos meus pais por sempre me conduzir no caminho dos estudos e de luta pelos meus ideais; - Às minhas queridas e amadas Isabelly e Danielly, irmãs que me apoiaram nas diversas madrugadas, feriados e fins de semana que fiquei trabalhando sobre esta dissertação; - Ao meu cunhado-irmão, Felipe Ramos, por sempre me apoiar e tentar me descontrair nos meus períodos de estresse desde o 2°grau e a sua mãe, Tereza Ramos, por sempre ter acreditado no meu potencial; - Ao meu namorado por todo amor, amizade, companheirismo e paciência, por ter se privado tantas vezes de minha companhia durante o desenvolvimento deste trabalho e por todo o incentivo para a conquista deste título; - Ao meu avô e minha avó por todo amor, cuidado e incentivo; - Ao meu querido orientador, Prof. Dr. Leonardo Guimarães, pela dedicação, confiança, paciência e entusiasmo durante os cursos do Mestrado em Geotecnia, pelo exemplo de profissionalismo e amor ao trabalho e pela compreensão com os meus horários após minha aprovação como professora do IFPE; - Um especial agradecimento ao meu co-orientador e amigo, Prof. Dr. Igor Gomes, por toda paciência, confiança, dedicação, empréstimos do seu acervo bibliográfico, ensinamentos preciosos, divertido e sério convívio, conselhos nos meus desafios profissionais e por tantas outras coisas. A ele, minha sincera amizade, respeito e admiração; vi.

(7) - Ao meu querido professor e ex-orientador da iniciação científica, Prof. Dr. Tarciso Cabral, pela dedicação, paciência e contribuição na minha formação desde os tempos da graduação; - A todos os meus professores da pós-graduação em Engenharia Civil, que participaram da minha formação científica, em especial aos professores Ivaldo Pontes e Lícia Mouta; - A minha grande amiga Nayra Vicente pela amizade, incentivo, conselhos e companheirismo; - A minha amiga Marcela pelas conversas, conselhos e companheirismo desde a graduação; - A minha amiga Leila pelas caronas, conselhos e agradáveis conversas; - Aos colegas do LMCG pelo privilégio de poder conviver com pessoas tão distintas e agradáveis e em especial, Inaldo por me garantir boas risadas; - A Rose Mary por todo apoio na obtenção dos materiais necessários para o desenvolvimento da dissertação, além de sua companhia mais do que divertida e agradável; - A Andréa pelos esclarecimentos relativos nos mais diversos problemas burocráticos da pós-graduação e a Sônia pelas informações concernentes à bolsa de fomento, além de proporcionar-nos um ambiente mais alegre e convidativo; - Aos funcionários e técnicos do Departamento de Geotecnia, graças aos quais tínhamos à disposição o “nosso cafezinho” e a limpeza do Laboratório; - Ao Programa de Recursos Humanos da ANP pelo apoio financeiro; - A todos aqueles que injustamente não foram mencionados aqui, mas que acreditaram e me apoiaram nessa conquista de mais uma etapa vencida.. vii.

(8) "É melhor tentar e falhar, que ocupar-se em ver a vida passar. É melhor tentar, ainda que em vão, que nada fazer. Eu prefiro caminhar na chuva, do que em dias tristes me esconder em casa. Prefiro ser feliz, embora louco, do que viver em conformidade." Martin Luther King Jr.. viii.

(9) RESUMO. IMPLEMENTAÇÃO DE MÉTODOS EXPLÍCITOS DE INTEGRAÇÃO DE TENSÕES EM PROGRAMAS DE ELEMENTOS FINITOS PARA ANÁLISE GEOMECÂNICA.. O comportamento de solos e rochas pode ser descrito através de modelos constitutivos que associam estados de tensões com estados de deformações. Trata-se de um problema de valor inicial cuja solução é obtida empregando de técnicas numéricas. Neste problema, a partir de um estado de tensão inicial e de um incremento de deformações, obtém-se um novo estado de tensões resultante da integração da lei constitutiva ao longo do passo de tempo. As relações constitutivas usadas são do tipo elastoplástica e visco-plástica com regularização viscosa de Perzina. Os critérios de plastificação adotados foram os de Mohr-Coulomb e o de Drucker-Prager, ambos com suavização da superfície de fluência. Foram analisados problemas mecânicos e hidro-mecânicos. Para representar o acoplamento hidro-mecânico foram adotadas leis que relacionam variáveis mecânicas a deformação do meio. Na dissertação foram implementados, no programa de elementos finitos CODE_BRIGHT, o método explícito de integrações de tensões de Euler Modificado e o de Runge-Kutta-Dormand-Price, ambos com controle de erro. As implementações foram verificadas através de um problema de expansão de cavidade cilíndrica e as análises de desempenho dos esquemas de integração foram feitas tomando como critério o número de passos e o tempo total de CPU. Esta mesma análise também foi realizada para os casos de escavação do túnel de Brasília e o de reativação de falha selante, mostrando que os algoritmos implementados funcionam satisfatoriamente para problemas geomecânicos com e sem acoplamento de fluxo de fluidos.. Palavras Chave: Simulação de reservatórios, Elasto-plasticidade, Integração explícita, Controle de erro.. ix.

(10) ABSTRACT. IMPLEMENTATION OF EXPLICIT METHODS OF STRESS INTEGRATION IN FINITE ELEMENTS PROGRAMS FOR GEOMECHANICS ANALYSIS.. The behavior of soils and rocks can be described by constitutive models that associate states of stresses and strains. This is an initial value problem whose solution is obtained using numerical techniques. In this problem, from an initial stress state and a given strain increment a new stress state will be obtained resulted by the integration of the constitutive law during the time step. The constitutive relations used are the elastoplastic and viscoplastic with viscous regularization of Perzyna. The criteria of the plasticity adopted were the Mohr-Coulomb and the Drucker-Prager ones, both with smoothed yield surface. Mechanical and hydromechanical problems were analyzed. To represent the hydro-mechanical coupling laws that relate hydraulic variables with soil deformation were adopted. In this dissertation, it was implemented in the finite element code CODE_BRIGHT two explicit methods of stress integration: Euler and modified Runge-Kutta-Dormand-Price, both with error control. The implementations were verified through a problem of expansion of cylindrical cavity and analyzes of performance of integration schemes were made adopting the criteria of the number of steps and the total CPU time. This same analysis was performed for cases of tunnel excavation in Brasilia and the reactivation of sealing fault, showing that the implemented algorithms work well for geomechanical problems with and without coupling of fluid flow.. Keywords: reservoir simulation, Elasto-plasticity, explicit stress integration, error control.. x.

(11) LISTA DE FIGURAS. Figura 2.1. Ilustração do comportamento elastoplástico perfeito. 07. Figura 2.2. Ilustração do domínio de tensões elásticas e superfície de escoamento. 09. Figura 2.3. Potencial plástico e vetor de deformações plásticas. 10. Figura 2.4. Variação da superfície de fluência: (a) endurecimento isotrópico; (b) endurecimento cinemático. 11. Figura 2.5. Representação quantitativa dos erros para derivação numérica com aproximação de primeira ordem via diferenças finitas para frente. 17. Figura 2.6. Espaço de Tensões Principais: definição dos invariantes (Prat e Gens, 2003). 18. Figura 2.7. Cículo de Mohr-Coulomb em tensões efetivas. 19. Figura 2.8. Superfície de fluência de Mohr-Coulomb no espaço das tensões principais. 20. Figura 2.9. Superfície de fluência de Mohr-Coulomb no plano octaédrico. 21. Figura 2.10. Suavização hiperbólica da superfície de Mohr-Coulomb. 22. Figura 2.11. Tratamento de bordo no plano octaédrico. 22. Figura 2.12. Vetor de deformações plásticas e suas componentes.. 24. Figura 2.13. Esquema da lei de endurecimento e amolecimento: (a) relação c' dP ; (b) relação  ' dP. 24. Figura 2.14. Superfície de fluência de Drucker-Prager no plano octaédrico. 26. Figura 2.15. Superfície de fluência de Drucker-Prager no espaço das tensões principais. 26. xi.

(12) Figura 2.16. Esquema do acoplamento hidro-mecânico. 29. Figura 2.17. Visualização esquemática de como diferentes tamanhos e arranjos de grãos podem resultar em diferentes valores de porosidade. (a) poros individuais diminuem com a diminuição da granulometria; (b) variação da porosidade sob diferentes arranjos de grãos (Azevedo, 2005).. 30. Figura 2.18. Diagrama de fases de uma amostra de um meio poroso saturado, separada em volume de cada fase e em função do volume da fase sólida.. 30. Figura 2.19. Evolução da permeabilidade com o carregamento (Ferfera et al., 1997). 32. Figura 2.20. Lei exponencial de variação da permeabilidade intrínseca com a deformação plástica cisalhante.. 33. Figura 3.1. Intersecção da superfície de fluência: transição do regime elástico para o regime elasto-plástico.. 37. Figura 3.2. Intersecção da superfície de fluência: multiplicador plástico negativo.. 38. Figura 3.3. Estado de Tensões em processo incremental: afastamento da superfície de fluência. 39. Figura 3.4. Esquema explícito de Euler Modificado.. 41. Figura 3.5. Esquema explícito de Runge-Kutta-Dormand-Price (Pedroso, 2002). 48. Figura 3.6. Fluxograma resumido (a) da inicialização programa; (b) da integração elástica; (c) da integração plástica. 53. Figura 4.1. Problema Físico e malha de elementos finitos – ¼ de cavidade cilíndrica (Yu, 1992; Abbo, 1997; Sloan et al, 2000).. 56. Figura 4.2. Gráfico Carga-Deslocamento para análise elastoplástica (STOL=10-4): comparação entre os métodos de Euler Modificado e Runge-Kutta-Dormand-Price.. 57. Figura 4.3. Comparação com solução analítica (Yu, 1992) e de Sloan et al. (2000).. 58. Figura 4.4. Metrô de Brasília.. 60. Figura 4.5. Perfil Geológico da seção do túnel (Ortigão etal, 1994).. 60. Figura 4.6. Perfis Geotécnicos do Solo: (a) Perfil desondagem; (b) Propriedades do solo (Ortigãoet al, 1994).. 61. xii.

(13) Figura 4.7. Seção transversal do túnel. 62. Figura 4.8. Malha de Elementos Finitos com elementos triangulares de seis nós para problema de deformação plana.. 62. Figura 4.9. Bacias de recalques superficiais. 63. Figura 4.10. Distribuição dos deslocamentos: (a) t=7.200s; (b) t=1.157 dias. 64. Figura 4.11. Malha de elementos finitos com destaque para os nós 949, 767 e 1272.. 64. Figura 4.12. Evolução do deslocamento vertical x força vertical.. 65. Figura 4.13. Evolução do deslocamento vertical x tempo.. 65. Figura 4.14. Vetores deslocamentos: (a) t=7.200s; (b) t=1.157 dias. 66. Figura 4.15. Deformações plásticas cisalhantes: (a) t=7.200s; (b) t=1.157 dias. 67. Figura 4.16. Variação da porosidade: (a) t=tempo inicial; (b) t=1.157 dias. 67. Figura 4.17. Malha de elementos finitos com destaque para os elementos 20, 39 e 44 da zona de plastificação e elementos 621 e 587. 68. Figura 4.18. (a) Evolução da deformação volumétrica x Tempo; (b) Ampliação da área destacada.. 69. Figura 4.19. Evolução da Deformação plástica x Tempo. 70. Figura 4.20. Evolução da Porosidade x Tempo.. 70. Figura 4.21. (a) Distribuição das tensões no tempo final (t=1.157 dias); (b) Representação em cruz das tensões. 71. Figura 4.22 Figura 4.23 Figura 4.24. Evolução da Tensão vertical com o tempo. Trajetória de tensão para os elementos do material 01 Trajetória de tensão para o elemento do material 02.. 72 73 73. Figura 4.25. Exemplo de falha. 74. Figura 4.26. Problema Físico: (a) Geometria do Problema; (b) Condições de contorno.. 75. Figura 4.27. Malha de Elementos Finitos. 76. Figura 4.28. (a) Vetores de deslocamento da falha 1; (b) Vetores de deslocamento da falha 2.. 77. Figura 4.29. Distribuição final de propriedades da falha : (a) Distribuição da. 78 xiii.

(14) permeabilidade para diferentes instantes de Distribuição das deformações plásticas cisalhantes.. tempo,. (b). Figura 4.30. Malha de elementos finitos com destaque para os elementos 3212, 3266, 3307, 3227, 3214 e 3218. 79. Figura 4.31. Evolução da deformação plástica com o tempo. 79. Figura 4.32. Evolução da permeabilidade com o tempo.. 80. Figura 4.33. Relação da permeabilidade pelas deformações plásticas. 80. Figura 4.34. Trajetória de Tensões efetivas.. 81. Figura 4.35. Vetores de fluxo. 82. Figura 4.36. Pressão de fluido no tempo final (t=1.157 dias). 82. xiv.

(15) LISTA DE QUADROS. Quadro 3.1. Algoritmo de Integração de Euler Modificado com controle de erro.. 47. Quadro 3.2. Algoritmo de Integração de Runge-Kutta-Dormand-Price. 53. xv.

(16) LISTA DE TABELAS. Tabela 4.1. Propriedades do material de cavidade cilíndrica.. 57. Tabela 4.2. Resultados de algoritmos para análise elastoplastica de cavidade cilíndrica por Mohr-Coulomb. 59. Tabela 4.3. Valores dos parâmetros adotados. 61. Tabela 4.4. Resultados de algoritmos para análise elastoplástica de escavação do túnel de Brasília. 62. Tabela 4.5. Propriedades mecânicas.. 76. Tabela 4.6. Resultados de algoritmos para análise viscoplástica de reativação de falha selante. 76. xvi.

(17) LISTA DE SÍMBOLOS. SÍMBOLO. DEFINIÇÃO E DIMENSÃO. A. Parâmetro plástico escalar [-]. . Multiplicador plástico escalar [-]. vp. Multiplicador viscoplástico escalar [-]. b. Vetor de forças de corpo [KN]. c. Coesão do material [MPa]. c’. Coesão efetiva do material [MPa]. d. Distância do vértice da superficie de fluência de MohrCoulomb à origem do espaço de tensões [MPa]. D. Operador tangente [-]. De. Tensor constitutivo elástico do material [-]. Dep. Tensor constitutivo elastoplástico do material [-]. D*. Tensor viscoplástico [-]. e. Índice de Vazios [-]. F(σ,κ). Função de fluênciac. g G*. Vetor de gravidade [m/s²] Matriz gradiente de velocidade de deformação [-]. h. forças de superfície na fronteira Γh [KN]. h. parâmetros de endurecimento [-]. xvii.

(18) I. Matriz Identidade [-]. J. Tensão Desviadora [MPa]. k0. Tensor de Permeabilidade Intrínseca da Rocha [m²]. k. Tensor de Permeabilidade Intrínseca Inicial da rocha [m²]. Kf. Tensor de condutividade hidráulica. m. Parâmetros plásticos do material [-]. n. Vetor normal à fronteira Γh [-]. p. Tensão Média [MPa]. pl. Pressão no líquido [MPa]. P(σ,m). Função de Potencial Plástico [-]. ql. Vetor de fluxo do líquido [m/s]. u. Vetor de deslocamento nodal [m]. u. Vetor de velocidade de deslocamento da fase sólida [m/s]. u. Deslocamento prescrito na fronteira Γu [m]. Wp. Incremento de trabalho. Vs. Volume da fase sólida [m³]. Vt. Volume Total [m³]. Vv. Volume de vazios [m³]. Vw. Volume de água [m³]. P(σ,m). Função de Potencial Plástico [-]. ql. Vetor de fluxo do líquido [m/s]. t. Tempo [s]. v. Ângulo de dilatação [°].  vp. Taxa de deformação plástica volumétrica [-].  dp. Taxa de deformação plástica cisalhante [-]. ε. Tensor de deformações infinitesimais [-]. xviii.

(19) v. Deformação volumétrica [-].  p. Vetor de taxa de deformação plástica [-]. e. Vetor de taxa de deformação elástica [-]. . Vetor de deformações [-]. e. Deformação elástica [-].  ve. Deformação volumétrica elástica [-].  vp. Deformação volumétrica plástica [-]. p. Deformação plástica [-]. hi .. Tamanho do passo [-]. . Parâmetro de regularização viscosa de Perzyna [-]. θ. Ângulo de Lode [°]. κ. Variáveis de história [-]. μl. Viscosidade do líquido [MPa.s]. ρl. Densidade do líquido [kg/m3]. σ1. Tensão principal 1 [MPa]. σ2. Tensão principal 2 [MPa]. σ3. Tensão principal 3 [MPa]. σ. Tensor de tensões totais [MPa]. σ'. Tensor de tensões efetivas [MPa]. . Vetor de tensões totais [MPa]. τ. Tensão de Cisalhamento [MPa]. . Ângulo de atrito do material [°]. '. Ângulo de atrito efetivo do material [°]. Г. Fronteira do domínio Ω [-]. Δt. Incremento de tempo [s] xix.

(20) . Módulo Plástico [-]. . Porosidade [%]. 0. Porosidade inicial [%]. Índices ep. Elastoplástico. i. Valor inicial. v. Volumétrico. e. Elástico. p. Plástico. Expoentes. e. Elástico. p. Plástico. vp. Viscoplastico. ’. Efetivo. xx.

(21) SUMÁRIO. Capítulo 01 – Introdução.......................................................................................................01 1.1 - MOTIVAÇÃO DO TRABALHO......................................................................................01 1.2 – OBJETIVOS...................................................................................................................03 1.3 - ESTRUTURA DA DISSERTAÇÃO.................................................................................04 Capítulo 02 – Formulação Matemática................................................................................05 2.1 – FORMULAÇÃO DO PROBLEMA MECÂNICO...........................................................05 2.1.1 - EQUAÇÃO DE EQUILÍBRIO DE TENSÃO......................................................05 2.1.2 - RELAÇÃO DEFORMAÇÃO-DESLOCAMENTO...............................................06 2.1.3 – RELAÇÃO TENSÃO-DEFORMAÇÃO: conceitos sobre elastoplasticidade.......07 2.1.3.1 - ELASTOPLASTICIDADE ..................................................................07 2.1.3.2 - DECOMPOSIÇÃO ADITIVA DA DEFORMAÇÃO..............................07 2.1.3.3 - SUPERFÍCIE DE FLUÊNCIA............................................................08 2.1.3.4 - REGRA DE FLUXO PLÁSTICO.........................................................09 2.1.3.5 - CONDIÇÃO DE COMPLEMENTARIDADE E CONSISTÊNCIA........10 2.1.3.6 - LEI DE ENDURECIMENTO..............................................................11 2.1.3.7 - TENSOR ELASTOPLÁSTICO.............................................................12 2.1.3.8 - REGULARIZAÇÃO VISCOSA DA PLASTICIDADE: MODELO VISCOPLASTICO DE PERZYNA....................................................................14. 2.1.4 – MODELOS CONSTITUTIVOS MECÂNICOS................................................17 2.1.4.1 – CRITÉRIO DE RUPTURA DE MOHR-COULOMB...........................18 2.1.4.2 - SUAVIZAÇÃO DA SUPERFÍCIE DE FLUÊNCIA..............................21 xxi.

(22) 2.1.4.3 - LEI DE POTENCIAL PLÁSTICO PARA CRITÉRIO DE MOHRCOULOMB..........................................................................................23 2.1.4.4 - LEI DE ENDURECIMENTO PARA CRITÉRIO DE MOHRCOULOMB..........................................................................................24 2.1.4.5 - CRITÉRIO DE RUPTURA DE DRUCKER-PRAGER.........................25. 2.2 – FORMULAÇÃO HIDRO-MECÂNICA PARA FLUXO MONOFÁSICO.......................27 2.2.1 - EQUAÇÕES DE CONSERVAÇÃO DA MASSA DE SÓLIDO.............................27 2.2.2 - O PROBLEMA DE FLUXO EM MEIOS POROSOS DEFORMÁVEIS ...............28 2.2.3 – EQUAÇÃO DE CONSERVAÇÃO DE MASSA PARA FLUXO MONOFÁSICO COM ACOPLAMENTO GEOMECÂNICO.......................................................28 2.2.4 – VARIAÇÃO DA POROSIDADE........................................................................29. 2.3 – LEIS DA VARIAÇÃO DA PERMEABILIDADE INTRÍNSECA.....................................31 2.3.1 – VARIAÇÃO DA PERMEABILIDADE COM A POROSIDADE..........................32 2.3.2 – VARIAÇÃO DA PERMEABILIDADE COM AS DEFORMAÇÕES PLÁSTICAS CISALHANTES..............................................................................................33. Capítulo 03 – Implementação Numérica do Algoritmo de Integração de Tensões.............34 3.1 – INTRODUÇÃO..............................................................................................................34 3.2 – RELAÇÕES GOVERNANTES INCREMENTAIS TENSÃO-DEFORMAÇÃO..............35 3.3 – FLUXOGRAMA RESUMIDO DO ALGORITMO IMPLEMENTADO NO PROGRAMA COMPUTACIONAL CODE-BRIGHT..........................................................................36 3.4 – INTERSECÇÃO À SUPERFÍCIE DE FLUÊNCIA, MULTIPLICADOR PLÁSTICO NEGATIVO E RETORNO À SUPERFÍCIE DE FLUÊNCIA.....................................40 3.4.1 – ALGORITMO DE INTERSECÇÃO À SUPERFÍCIE DE FLUÊNCIA................40 3.4.2 – ALGORITMO DE MULTIPLICADOR PLÁSTICO NEGATIVO .......................41 3.4.3 – ALGORITMO DE RETORNO À SUPERFÍCIE DE FLUÊNCIA........................42. 3.5 - IMPLEMENTAÇÃO NUMÉRICA DO ALGORÍTMO EXPLICITO DE INTEGRAÇÃO DE TENSÕES................................................................................................................44 3.5.1 – ESQUEMA DE EULER MODIFICADO COM CONTROLE DE ERRO.............44. xxii.

(23) 3.5.2 – ESQUEMA EXPLÍCITO DE RUNGE-KUTTA-DORMAND-PRICE COM CONTROLE DE ERRO....................................................................................51. Capítulo 04 – Aplicações e resultados...................................................................................55 4.1 - PROBLEMA DE EXPANSÃO DE CAVIDADE CILÍNDRICA......................................55 4.2 – PROBLEMA DE ESCAVAÇÃO DO METRÔ DE BRASÍLIA........................................59 4.3 - PROBLEMA DE REATIVAÇÃO DE FALHA SELANTE...............................................74 Capítulo 05 – Conclusões e perspectivas..............................................................................83 5.1 – CONCLUSÕES.............................................................................................................83 5.2 SUGESTÕES PARA FUTURAS PESQUISAS................................................................84 Capítulo 06 - Referências bibliográficas...............................................................................86. xxiii.

(24) 1.1 – MOTIVAÇÃO DO TRABALHO A utilização de modelos matemáticos complexos aliados às técnicas numéricas tem se mostrado um instrumento importante na previsão e análise do comportamento dos solos e rochas em problemas de engenharia. Um dos métodos numéricos mais utilizados na simulação do comportamento de obras geotécnicas é o Método de Elementos Finitos (MEF). O MEF foi originalmente aplicado na resolução de problemas geotécnicos por Clough & Woodward (1967) e desde então tem se mostrado uma das ferramentas mais versáteis e úteis na análise geotécnica moderna. Este método consiste basicamente na discretização de equações diferenciais e integrais sobre um contínuo aplicando condições de contorno conhecidas (Zienkiewicz, 1980; Zienkiewicz e Morgan, 1984). Esta ferramenta pode ser utilizada em problemas lineares ou não-lineares, em regime permanente ou transitório, para materiais homogêneos ou heterogêneos (Oñate, 1995). O solo é um material trifásico cujos vazios podem estar preenchidos com água e/ou ar. Em geral sua relação constitutiva é dissipativa e apresenta campos de deslocamentos e deformações irrecuperáveis. O fenômeno de deformações irrecuperáveis pode ser independente ou dependente do tempo. No primeiro teremos relações constitutivas elastoplásticas, enquanto que, no segundo caso surgirão fenômenos viscosos (viscoplasticidade, creep, relaxação, etc.). Dependendo de sua condição de carga inicial pode apresentar variações volumétricas de compressão ou expansão (Prat e Gens, 2003). Um dos pontos fundamentais para a simulação do comportamento mecânico é a definição da relação constitutiva mais apropriada ao fenômeno a ser modelado. A evolução dos campos de tensões e deformações pode ser obtida através de métodos de integração numérica, que resultam em uma série de equações diferenciais. Para simulação com grandes malhas em problemas acoplados, a exemplo da simulação de reservatórios de petróleo, é necessário um sistema de integração eficiente que alie o menor tempo possível de processamento com a melhor aproximação dos resultados. Para a solução deste problema podem ser utilizados os métodos de integração explícitos ou implícitos. 1.

(25) Segundo Sloan (1987), os métodos explícitos têm uma precisão bastante satisfatória se combinados o controle de subpasso automático e o controle de erro, e, ao contrário dos métodos implícitos, não necessitam de uma solução exata para determinar as tensões para cada ponto de Gauss. Mas esses métodos necessitam de um cuidado especial na determinação do ponto de intercessão com a superfície de fluência no passo de tensão, pois, isso pode levar a falsas determinações destes pontos intermediários. Dentre estes métodos de integração explícita, destacamos o de Euler Modificado e o de Runge-Kutta-Dormand-Price, ambos com controle de erro. Neste trabalho foram utilizados os modelos elastoplásticos de Mohr-Coulomb, para o problema de expansão de cavidade cilíndrica empregado para a validação do algoritmo implementado. No segundo problema analisado, escavação do metrô de Brasília, é utilizado o critério de plastificação de Drucker-Prager que é aplicado a materiais não-metálicos como solos e concreto e, neste caso, com a adoção da regularização viscosa da plasticidade através do modelo visco-plástico de Perzyna (Perzyna, 1966 apud Cormeu, 1975). Neste problema ocorrem alterações do estado de tensões na região vizinha à escavação, provocando o movimento de solo na direção da zona onde foi feita a escavação (convergência da parede da escavação). Alguns problemas que podem ocorrer durante a execução do túnel são: instabilidade da região escavada, deslocamento e recalques superficiais acentuados, carregamentos elevados no revestimento do túnel e efeitos do movimento do solo em outras estruturas enterradas e/ou superficiais localizadas nas adjacências da escavação (Leite et all, 2007). O critério de plastificação de Mohr-Coulomb, com a adoção da regularização viscosa da plasticidade através do modelo visco-plástico de Perzyna foi utilizado na análise hidro-mecânica do problema sintético de reativação de falha selante. Neste caso do material de preenchimento da falha, este representa a reativação em função das deformações plásticas cisalhantes ocorridas que levam ao aumento da permeabilidade do material, que sofre deformações volumétricas associadas à dilatância. A formulação acoplada hidro-mecânica utilizada considera as tensões efetivas atuantes e o campo de pressão do fluido. A permeabilidade intrínseca da rocha, um dos parâmetros chave do problema hidráulico, será considerada em função de uma porosidade variável. No presente trabalho foram implementados no programa “in house” de elementos finitos CODE_BRIGHT, Coupled Deformation Brine Gás and Heat Transport (Olivella et al., 1994; Olivella et al., 1995; Guimarães, 2002), o método explícito de integrações de tensões de Euler Modificado e o de Runge-Kutta-Dormand-Price, citados anteriormente, e posteriormente feita a comparação do desempenho numérico. Os esquemas explícitos considerados encontram-se verificados através de um problema de expansão de cavidade cilíndrica, e ambos são também aplicados a um problema mecânico de escavação do túnel de Brasília e por último em um problema hidro-mecânico de reativação de falha selante.. 2.

(26) 1.2 – OBJETIVOS O objetivo principal do trabalho é:  Obter modelos numéricos que satisfazem a solução aproximada dos problemas mecânicos e hidro-mecânicos, através da implementação de dois métodos explícitos de integração de tensões. o Implementar estes modelos aplicados pelo código de elementos finitos CODE_BRIGHT (Coupled Deformation Brine Gás and Heat Transport)(Olivella et al., 1994; Olivella et al., 1995; Guimarães, 2002).  Comparar desempenho de cada método de integração com base nos parâmetros: o TEMPO TOTAL DE PROCESSAMENTO EM CPU (CPUTIME); o NÚMERO TOTAL DE PASSOS (NUMPASS).  Aplicar estes métodos numéricos a modelo constitutivo elastoplástico e visco-plásticos comparando resultados à soluções propostas na literatura (Caso de expansão de cavidade cilíndrica: Yu, 1992; Sloan et al, 2000; e caso de Escavação do metrô de Brasília: medidas de campo da bacia de recalques);  Discutir e comparar resultados de pós-processamento, obtido no programa GID verificando a aplicabilidade dos métodos de integração (Caso de reativação de falha selante e Escavação do metrô de Brasília).. 3.

(27) 1.3 – ESTRUTURA DA DISSERTAÇÃO A dissertação está composta por seis capítulos, ao longo dos quais são expostos todos os ingredientes teóricos necessários ao entendimento da implementação e dos problemas apresentados. Inicialmente, no Capítulo 2, faz-se uma breve revisão sobre a cinemática e equilíbrio dos corpos e do meio contínuo, em seguida são apresentadas as variáveis primárias do problema mecânico para posterior dissertação do comportamento elastoplástico através da relação tensão-deformação, decomposição aditiva da deformação, superfície de fluência, regra de fluxo plástico, obtenção do tensor elastoplástico e regularização viscosa da plasticidade através do modelo visco-plástico de Perzyna. Em seguida são apresentados os modelos constitutivos mecânicos de MohrCoulomb e Drucker-Prager utilizados neste trabalho. Para o modelo de Mohr-Coulomb são apresentados os processos de suavização da superfície de fluência, dilatância e lei de endurecimento e amolecimento. Ainda no Capítulo 2, é descrita toda formulação matemática relativa ao acoplamento físico do programa para problemas de fluxo e geomecânico por meio de equações de conservação de massa de sólido, conservação da massa de líquido em um meio poroso saturado, princípio das tensões efetivas, acoplamento permeabilidadeporosidade e variação da porosidade. Em seguida é descrito o processo de variação da permeabilidade com a porosidade e com as deformações plásticas. No Capítulo 3 é feita uma abordagem numérica das leis constitutivas, onde se descrevem o modelo elastoplástico incremental, técnicas adotadas para as correções das tensões quando é ultrapassada a tolerância estipulada para função de fluência, os dois algorítimos explícitos de integração de tensões com controle de erro e suas formas de implementação, sendo estes o Método de Euler Modificado e Runge-Kutta- DormandPrice (Abbo, 1997) e por último um fluxograma resumido do algoritmo implementado no programa de elementos finitos CODE_BRIGHT. Dentro do Capítulo 4 se descreve a validação da implementação através da comparação entre resultados obtidos na simulação e soluções analíticas do problema de expansão de cavidade cilíndrica com posterior análise do Número Total de Subpassos (NUMPASS) e Tempo Total de processamento em CPU que também é aplicado aos outros dois problemas: escavação do metrô de Brasília e reativação de falha selante. Para estes dois casos também serão apresentados os resultados numéricos e gráficos conforme a análise mecânica, caso escavação do metrô de Brasília, e hidro-mecânica, reativação de falha selante. Posteriormente no Capítulo 5 serão apresentadas respectivamente, a conclusão e as sugestões para continuidade deste trabalho, e propostas para desenvolvimento de outros trabalhos seguindo a abordagem feita aqui. Por fim, no Capítulo 6 estão apresentadas as referências bibliográficas adotadas como base teórica para o desenvolvimento de todo este trabalho.. 4.

(28) Os modelos de acoplamento hidro-mecânico são fundamentais para o entendimento e previsão de diversos fenômenos relacionados com a mecânica de solos e rochas (Marsily, 1986; Fredlund e Rahardjo, 1993). Para este acoplamento é necessária a adoção de modelos matemáticos para cada tipo de fenômeno, que resultam em um conjunto de equações diferenciais parciais não lineares que envolvem equações de balanço de massa, leis constitutivas e condições de complementaridade. Neste capítulo será descrita a formulação matemática do problema acoplado hidro-mecânico para meios porosos saturados, definido pela equação de conservação de massa de água (equação de fluxo), equação de equilíbrio de tensões e suas respectivas equações constitutivas.. 2.1 – FORMULAÇÃO DO PROBLEMA MECÂNICO 2.1.1 – Equação de Equilíbrio de Tensão Os conceitos da cinemática e equilíbrio do meio contínuo consistem na base para a formulação das teorias matemáticas aplicadas à mecânica dos materiais. Para este tipo de estudo, parte-se da definição de um solo ou rocha como um meio poroso deformável. Um meio poroso é composto de um esqueleto sólido, ou matriz da rocha, e de um fluido movendo-se livremente nos poros: água, gás ou óleo, sendo assim considerado como um meio poroso multifásico. Admitindo-se um corpo em equilíbrio, a equação de equilíbrio de tensões é definida pelo divergente do tensor de tensões totais σ somado ao vetor de forças de corpo b e igualado a um vetor nulo:. .σ  b  0. (2.1). Quando é submetido a esforços, o meio poroso deformável saturado apresenta um estado de tensões totais (σ ) , onde a componente de tensões efetivas (σ' ) é aquela 5.

(29) que deforma o meio e é definida como o excesso das tensões totais sobre a pressão do fluido ( pl ) nos poros:. σ'  σ  pl I. (2.2). onde σ é o tensor simétrico das tensões totais, σ ' o tensor das tensões efetivas, pl a pressão exercida pelo fluido contido nos poros e I é o tensor identidade de segunda ordem. O acoplamento hidro-mecânico se dá aplicando-se a equação do Princípio das Tensões Efetivas, proposto por Terzaghi, à equação de equilíbrio de tensões, através das tensões que agora são dependentes do campo de pressões de poro. Como condições de contorno para o problema mecânico temos: u( x, t )  u ( x, t ) em  σn  h( x, t ) em . (2.3). onde t é o tempo que, no caso quase-estático, consiste numa variável paramétrica que descreve a configuração atual, n é o vetor normal à fronteira Γ, u e h são deslocamentos e forças de superfície, respectivamente, prescritos na fronteira. 2.1.2 - Relação Deformação-Deslocamento As variáveis primárias do problema mecânico, em análises numéricas, são geralmente representadas pelo campo de deslocamento (u) em cada ponto do material e estes ocorrem devido a variações no estado de tensões de um corpo. Por outro lado, as componentes do tensor de deformações ε podem ser consideradas como funções contínuas das componentes de deslocamento que está relacionado com tensor de deformações através das restrições cinemáticas do problema mecânico (Gomes, 2006). A definição de deformação, mais comumente utilizada na engenharia, e limitada apenas para problemas de pequenas deformações, é obtida pela relação cinemática:. ε. 1 (u  u T ) 2. (2.4). Define-se a parte volumétrica das deformações por:. ε v  .u. (2.5). onde a deformação volumétrica ε v tem sua aplicação na equação de fluxo em meio poroso deformável (consideração do acoplamento hidro-geomecânico), pois ela é utilizada para a conservação de fluidos, conservação da fase sólida através da atualização da porosidade e esta também se relaciona com a permeabilidade.. 6.

(30) 2.1.3 – Relação Tensão-Deformação: conceitos sobre elastoplasticidade. 2.1.3.1 - Elastoplasticidade O comportamento real dos materiais quando submetidos a um carregamento pode ser variável, a depender da alteração do estado de tensões do corpo. Este comportamento pode ser elástico, caracterizado por deformações recuperáveis, ou plásticos, caracterizado por deformações não recuperáveis (Olivella e Bosch, 2000, Oller, 2001; Prat e Gens, 2003;).. Figura 2.1 – Ilustração do comportamento elastoplástico perfeito. A caracterização do fenômeno elasto-plástico, representado na Figura (2.1), é dada pela ocorrência de deformações irreversíveis no material quando um determinado nível de tensões é atingido. 2.1.3.2 - Decomposição aditiva da deformação Como exposto anteriormente, o comportamento de um material pode ser variável e é caracterizado analisando a relação tensão-deformação. O comportamento elastoplástico é caracterizado pela ocorrência de deformações elásticas e plásticas e o incremento total de deformação pode ser decomposto, e equivale ao somatório destas duas parcelas, como é apresentado a seguir: ε  ε e  ε p. (2.6). O incremento de tensão efetiva σ ' , é relacionado com o incremento total de deformação elástica, ε e , pelo tensor constitutivo elástico, D e . 7.

(31) σ '  D e .ε e. (2.7). Combinando as duas equações obtém-se:. σ '  D e .(ε  ε p ). (2.8). O incremento de deformação plástica, ε p , está relacionado com a lei de escoamento e será apresentada posteriormente. 2.1.3.3 - Superfície de Fluência Para determinar o estado de tensões limite a partir do qual se inicia a plastificação em um estado multiaxial de tensões é necessário definir um limite que estabeleça a separação entre a região das tensões admissíveis e inadmissíveis no espaço das tensões (Souza, 2004; Martins, 2001). Para isto utiliza-se uma função de fluência F (σ, κ ) , também chamada de função de plastificação ou de escoamento, que corresponde a uma equação em termos do estado de tensões σ , parâmetros de resistência (coesão e ângulo de atrito, por exemplo) e de parâmetros de história κ do material, que define uma superfície no espaço das tensões (superfície de fluência). No interior desta superfície, ou seja, quando F (σ, κ)  0 , o material se comporta elasticamente e a relação entre os tensores de componentes de tensões σ e de deformações ε é dada através do tensor elástico De (Equação 2.7). Quando o estado de tensões atinge um ponto na superfície, ou seja, F (σ, κ)  0 , o material começa a plastificar e deve-se considerar a existência de parâmetros plásticos (κ  0) , sendo a relação entre o estado de tensões com as deformações totais obtidas através de um tensor elastoplástico Dep. Para F (σ, κ)  0 , chega-se à região definida como espaço das tensões plasticamente inadmissível onde o estado de tensões não será permitido. A Figura (2.2) ilustra superfície de fluência hipotética no espaço de tensões principais.. 8.

(32) Figura 2.2 – Ilustração do domínio elástico e superfície de escoamento. A depender do nível de tensões, após o início da plastificação, um material pode se comportar de maneiras diferentes, pois, a superfície de fluência varia em forma ou posição conforme o histórico de deformação a que está sendo submetido o material. Estes comportamentos distintos são descritos como: Plasticidade com endurecimento (“hardening”), onde a superfície de fluência se expande durante o processo de carga: plasticidade com amolecimento (“softening”), onde a superfície de fluência se contrai durante o processo de carga; plasticidade perfeita, a superfície de fluência depende unicamente do estado de tensões, e não varia durante o processo de carga. Neste trabalho, será adotado o comportamento de plasticidade perfeita para os materiais nos problemas modelados, ou seja, não haverá variação da superfície de fluência. 2.1.3.4 - Regra de fluxo plástico A regra de fluxo plástico nos dá a relação entre as componentes do incremento de deformação plástica com gradientes de uma função do potencial de plastificação P(σ, m) , que define a direção do incremento de deformação como ilustra a Figura (2.3). Contudo em um caso multiaxial a situação se torna mais complexa devido à existência de seis componentes de tensões e deformações. É necessário se estabelecer a direção de deformação plástica em qualquer estado de tensão (Potts e Zdravković,1999; Prat e Gens, 2003). É considerada como hipótese básica a existência de um potencial P(σ, m) que caracteriza a lei de escoamento através da seguinte relação:.  P  .. P(σ, m) σ. (2.9). 9.

(33) onde m é o vetor de parâmetros de estado e Λ um multiplicador plástico escalar que aplicados à regra de fluxo resulta em uma relação entre as diferentes componentes de deformação incremental plástica. Já  P representa as componentes das taxas de deformações plásticas. A direção da deformação plástica é paralela à direção do gradiente de potencial plástico, logo sua direção é definida pelo vetor normal à superfície P=constante (Gens e Prat, 2003).. Figura 2.3 – Potencial plástico e vetor de deformações plásticas. Por medida de simplificação, neste trabalho, é utilizada a lei de escoamento de plasticidade associada, na qual a função potencial de plastificação é igual à superfície de fluência, ou seja, F (σ, κ)  Pσ, m . Quando se trabalha com funções distintas para o potencial de plastificação e superfície de fluência, denomina-se lei de escoamento não associada. 2.1.3.5 - Condição de complementaridade e consistência O parâmetro Λ, também definido como parâmetro de consistência ou multiplicador plástico, juntamente com a função de fluência definem as condições de complementaridade e de consistência (persistência) de Kuhn-Tucker, onde:.   0 ; F (σ, κ)  0. .F (σ, κ)  0. (2.10). (Condições de Complementaridade). .F (σ, κ )  0. (2.11). (Condições de Consistência) 10.

(34) Estas condições expressam matematicamente que um ponto quando submetido a um incremento de deformação, leva a um incremento de tensão elástico ( F (σ, κ)  0 e   0 ) ou carga-plástica ( F (σ, κ)  0 ,   0 e F (σ, κ )  0 ). As condições de complementaridade e de consistência são uma forma adicional de obter, através de operações algébricas adicionais, o multiplicador plástico Λ. 2.1.3.6 - Lei de endurecimento Como exposto anteriormente, a superfície de fluência pode variar em tamanho, forma ou posição e para controlar esta variação devem ser definidos os parâmetros de endurecimento h, que por sua vez são funções da deformação plástica acumulada. Logo:. h  h(ε P ). (2.12). Para uma situação de solicitação multiaxial as leis de endurecimento e amolecimento são expressas pela variação do tamanho da superfície de fluência com relação as componentes (ou invariantes) de deformação plástica acumulada, ou com relação ao incremento de trabalho plástico Wp.. W P   σ T  P dt. (2.13). No caso de endurecimento isotrópico (Figura 2.4a), como já visto, a superfície poderá sofrer uma expansão (endurecimento) ou retração (amolecimento), enquanto que na situação do endurecimento cinemático (Figura 2.4b), a superfície de fluência é apenas deslocada sem sofrer variação de forma ou tamanho, ou seja, é transladada na direção do fluxo plástico.. (a) (b) Figura 2.4 – Variação da superfície de fluência: (a) endurecimento isotrópico; (b) endurecimento cinemático.. 11.

(35) 2.1.3.7 - Tensor elastoplástico O tensor elastoplástico Dep é obtido pela aplicação, à Equação (2.14), das hipóteses básicas da teoria da plasticidade: decomposição aditiva, relação elástica isotrópica, regra de fluxo, condições de complementaridade e consistência e lei de endurecimento, onde todas estas hipóteses são detalhadas em trabalhos como Abbo (1997), Potts e Zdravković (1999), Souza (2004) e Gomes (2006). σ '  Dep ε. (2.14). Sendo,. ε  ε e  ε p. (2.15). Através da relação constitutiva elástica, incremento de deformação elástica ε pela matriz constitutiva elástica D e , obtêm-se o incremento de tensão, σ ' . e. σ '  D e ε e. (2.16). Relacionando as Equações (2.15) e (2.16) teremos:. σ '  D e (ε  ε p ). (2.17). Aplicando o conceito de deformação plástica da Equação (2.09).. σ '  D e ε  .D e. P(σ, m) σ. (2.18). O material ao atingir a superfície de fluência F (σ' , κ)  0 plastifica sendo considerado então a existência de um parâmetro de estado (κ  0) . Expandindo a função de fluência, teremos:. F (σ' , κ ) F (σ' , κ ) F (σ' , κ )  σ ' κ  0 σ' κ. (2.19). 12.

(36) Rearranjando a Equação (2.19):. F (σ ' , κ ) κ κ σ '   T F (σ ' , κ ) σ ' T. (2.20). Através da combinação das Equações (2.18) com um rearranjo da Equação (2.20), obteremos o multiplicador plástico  :. F (σ ' , κ ) D e   σ '  T F (σ ' , κ ) P(σ' , m) .D e A σ ' σ ' T. (2.21). Combinando as Equações (2.20) e (2.21) teremos o tensor elasto-plástico:. P(σ' , m) F (σ' , κ ) De . . .D e  σ '  σ '  De  T F (σ' , κ ) P(σ' , m) .D e . A σ' σ' T. D ep. (2.22). onde:. 1 F (σ' , κ ) A . κ  κ T. (2.23). A depender do tipo de plasticidade, o parâmetro A poderá assumir formas variadas. No critério de Mohr-Coulomb este parâmetro está relacionado com a evolução do atrito e coesão com as deformações plásticas cisalhantes, como será exposto posteriormente. No caso de plasticidade perfeita o parâmetro A será nulo, pois os parâmetros de estado não variam (κ  0) . Já para o caso de plasticidade com endurecimento ou amolecimento, os parâmetros de estado sofrerão variações com relação às deformações plásticas totais. O parâmetro A assume a seguinte forma:. 1 F (σ' , κ ) κ P A . ε  κ ε P T. (2.24). 13.

(37) Em geral os modelos de endurecimento e amolecimento adotam uma relação linear entre os parâmetros de estado κ e as deformações plásticas εp (Potts e Zdravković,1999). Logo:. κ =0  P. (2.25). Este termo torna-se independente das deformações plásticas e a variável Λ é cancelada, permitindo a determinação do parâmetro A. No caso de uma relação não-linear entre κ e εp, não é possível obter o tensor elastoplástico, pois o multiplicador plástico não é cancelado e A se torna indeterminado. 2.1.3.8 - Regularização viscosa da plasticidade: modelo visco-plastico de Perzyna A visco-plasticidade pode ser adotada como um processo de regularização da plasticidade no qual se leva em consideração o efeito do tempo na representação do comportamento do material. Em modelos puramente plásticos o efeito do tempo é desprezado e para problemas, como por exemplo, que envolvem a formação de linhas de ruptura ou deslizamento, característicos de casos de estabilidade de taludes, reativação de falhas, entre outros, este modelo geralmente falha sendo então necessário a adoção da visco-plasticidade (Gomes, 2006). É adotada neste trabalho a regularização viscosa da plasticidade através do modelo visco-plástico de Perzyna (Perzyna, 1966 apud Cormeau, 1975), modelo mais comumente utilizado e descrito em alguns trabalhos como o de Simo e Hughes (1988), Simo (1989), Sánchez (1997), Heeres (2001), Plešek e Korouš (2002), Karaoulanis (2003), Gomes (2006). Este modelo permite a representação do comportamento do material em função do tempo. Nele o estado de tensões alcançado a partir do incremento de deformação pode assumir valores que excedam a superfície de fluência. A deformação total é decomposta em uma parcela elástica e em outra viscoplástica.. ε  ε e  ε vp. (2.26). Logo, a taxa de tensão será relacionada com a taxa de deformação elástica, através do tensor constitutivo elástico, de acordo com a relação constitutiva seguinte: σ  De (ε  ε vp ). (2.27). A regularização se dá basicamente, através da modificação da regra de fluxo utilizada na análise plástica, através da adoção de um multiplicador visco-plástico vp que considera um parâmetro viscoso  (Gomes, 2009), conforme mostrado na Equação (2.9).. 14.

(38) ε vp  vp .. P(σ, m) σ. (2.28). onde,. vp .  ( F (σ, κ )). (2.29). . Assim como na plasticidade, ao considerar-se um modelo de visco-plasticidade associado, a função de potencial P(σ, m) é igual à função de fluência F (σ, κ ) . O modelo de Perzyna leva, ainda, à adoção de uma nova matriz tangente D** , em função do gradiente de deformação viscoplástica, a ser aplicada na equação de equilíbrio de tensões discretizada. Esta matriz é obtida pela relação entre o tensor visco-plástico D * e constitutivo elástico D e . D**  D* D e. (2.30). A determinação desta tensão é através da equação da taxa de tensão (Equação 2.27) e das Equações (2.28) e (2.29).. d  D e .d  D e. P(σ, m)  ( F (σ, κ )) . σ . (2.31).   vp   De  De    (2.32) 1.   vp    I  D e  D e .d   .  ε vp  D  Ι  D e     *. (2.33). 1. (2.34). O tensor visco-plástico D* é obtido em função de uma matriz gradiente de velocidade de deformação G* que é definida pela teoria de Perzyna através do gradiente da taxa de deformação viscoplástica com relação ao estado de tensão atuante. Logo:. 15.

(39) G* . ε vp   P(σ, m)  ( F (σ, κ ))  dt  .  dt    σ  . (2.35). T. T T   ( F )  P   2P * G  .     (F )          2. (2.36). Logo:. D*  Ι  D e .T . .G *. 1. (2.37). No cálculo da matriz gradiente há um termo de segunda ordem, cuja determinação desta derivada é necessária para a implementação numérica e não tem solução analítica. Logo são resolvidas por aproximações através de esquemas clássicos de diferenças. O método de aproximação numérica adotado é o apresentado por autores como Heeres (2001), Pérez-Foguet et al. (2000) e Gomes (2006) que sugerem a aproximação de primeiras derivadas do vetor de fluxo, são possíveis de serem obtidas analiticamente. Para isso utilizou-se o método de diferenças para frente para primeiras derivadas do vetor de fluxo, que tem a seguinte forma:. f ( x  hi ei )  f ( x) f   O(hi ) xi hi. (2.38). Num plano duplamente logarítmico (Figura 2.5) o erro de arredondamento aumenta linearmente com o decréscimo do tamanho do passo hi. Já o erro de truncamento O(hi ) decresce linearmente quando o tamanho do passo tende a zero. O erro total é definido pela soma de ambos os erros, e existe um tamanho de passo critico hc em que o erro é mínimo. Segundo Heeres (2001) para o esquema de aproximação de primeira ordem por diferenças para frente o erro total é muito pequeno, devido à inclinação 1:1 no plano duplamente logarítmico, o que implica num amplo espaço de variação do tamanho de passo e leva a uma convergência quadrática do esquema de Newton-Raphson.. 16.

(40) Figura 2.5 – Representação quantitativa dos erros para derivação numérica com aproximação de primeira ordem via diferenças finitas para frente. 2.1.4 – Modelos Constitutivos Mecânicos Os Modelos Constitutivos Mecânicos são aqueles que retratam qualitativamente a resposta a carregamentos característicos de um material em um dado estado de tensão, permitindo classificá-lo quanto ao seu comportamento mecânico Os modelos constitutivos utilizados neste trabalho são o de Mohr-Coulomb, para o problema de expansão de cavidade cilíndrica e o de reativação de falha selante, e o de Drucker-Prager, para problema o de escavação do metrô de Brasília, ambos são descritos em termos de tensões efetivas e possuem um parâmetro de resistência associado à coesão e outro ao ângulo de atrito (Tisser, 2004). Na modelagem constitutiva de materiais isotrópicos geralmente se utiliza três invariantes (p, J, θ) para representar o estado de tensão multiaxial. Estes invariantes de tensão são: p. J. I1 1  .( 1   2   3 ) 3 3. 1 6. . ( 1   2 ) 2  ( 2   3 ) 2  ( 3   1 ) 2.  1  1  2. 2   3  .  1  3  3 .   tan 1 . (2.39). (2.40). (2.41). 17.

(41) onde p é a tensão média, J tensão desviadora e o ângulo de Lode θ que fornece a posição do estado de tensão atuante e pode assumir valores no intervalo  30    30 . A interpretação destes invariantes pode ser feita através da Figura (2.6). O valor de p é a medida ao longo do eixo hidrostático (σ1 = σ2 = σ3), como mostra a Figura (2.6). No plano octaédrico (plano perpendicular ao espaço diagonal) o valor de J mede a distância do ponto Σ, situado no plano octaédrico, a origem do eixo hidrostático. O ângulo de Lode é o ângulo entre a reta que liga o ponto Σ à origem ao eixo de compressão hidrostática, onde θ = 0, ou seja, define a orientação das tensões dentro desse plano. Como σ1≥σ2≥σ3 o ângulo varia de θ = -30º a θ = +30º. Os valores limites correspondem ao estado triaxial de compressão (σ1≥σ2=σ3) e triaxial de tração (σ1=σ2≥σ3).. Figura 2.6 – Espaço de Tensões Principais: definição dos invariantes (Prat e Gens, 2003). 2.1.4.1 - Critério de Ruptura de Mohr-Coulomb Este critério foi desenvolvido por Coulomb em 1773 e posteriormente por Mohr em 1882. Este modelo depende de parâmetros como coesão e ângulo de atrito entre as partículas e sua expressão matemática pode ser escrita em função dos invariantes de tensão. O modelo de Mohr-Coulomb (Abbo, 1997; Potts e Zdravković, 1999) permite reproduzir o comportamento de solos e rochas cujos parâmetros podem ser obtidos através de ensaios. Na Figura (2.7) temos a representação gráfica dos tensores de tensões no espaço τ x σ’. Os círculos estabelecem as tensões de ruptura e a reta tangente a estes, reta (c e φ’), define a envoltória de ruptura de Coulomb.. 18.

(42) Figura 2.7 – Cículo de Mohr-Coulomb em tensões efetivas Neste modelo a resistência em um ponto cresce com o atrito entre as partículas τ e esta por sua vez, depende da tensão normal efetiva σ’ e da coesão entre elas. A forma mais simples deste critério é expressa como função das tensões normais σ e cisalhantes τ sobre o plano de ruptura. Na expressão abaixo :.   c' '. tan  '. (2.42). onde c′ corresponde a coesão efetiva, φ′ é o angulo de atrito efetivo do material. Escrevendo a equação de Coulomb em termo das tensões principais (σ 1 ′ e σ 3′, que são respectivamente as tensões principais maior e menor), temos que a equação da envoltória de Coulomb torna-se:.  1 ' 3 '  2c' cos( ' )  ( 1 ' 3 ' )sen( ' ). (2.43). A Equação (2.44) consiste no critério de ruptura de Mohr-Coulomb e o presente modelo adotado como função de fluência.. F (σ' , κ)   1 ' 3 '2c' cos( ' )  ( 1 ' 3 ' )sen( ' ). (2.44). Finalmente, pode-se reescrever a equação anterior em termos dos invariantes de tensões p, J, θ, chegando-se à forma da função de fluência adotada neste trabalho:.  c'  F (σ' , κ )  J    p'  g ( )  0  J  ( p' a) g ( )  tan( ' ) . (2.45). 19.

(43) Onde:. g ( ) . sen( ' ) sen( ) sen( ' ) cos( )  3. e. a. c' g ( ). (2.46). A superfície de fluência de Mohr-Coulomb, no espaço das tensões, apresenta-se como um cone hexagonal irregular onde em seu há eixo uma reta chamada de eixo de compressão hidrostática. A distância do vértice do cone à origem do espaço de tensões é: d  3.c. cot( ). (2.47). A superfície de fluência no espaço das tensões principais pode ser vista na Figura (2.8) e a seção sobre o plano octaédrico na Figura (2.9). As arestas do cone hexagonal irregular da superfície de fluência de Mohr-Coulomb representam pontos de singularidade no cálculo do vetor de fluxo plástico, pois a direção deste vetor é indeterminada nas arestas localizadas em θ = ±30°. Como conseqüência disso, a matriz constitutiva elasto-plástica não pode ser calculada provocando a ocorrência de problemas numéricos quando implementado em programas de elementos finitos.. Figura 2.8 – Superfície de fluência de Mohr-Coulomb no espaço das tensões principais.. 20.

(44) Figura 2.9 – Superfície de fluência de Mohr-Coulomb no plano octaédrico. 2.1.4.2 - Suavização da superfície de fluência Existem várias propostas de evitar problemas numéricos provocados por estas singularidades, dentre elas estão as de Matsuoka e Nakai (1974), Zienkiewicz e Pande (1977), Sloan e Booker (1986), Sheng et al. (2000) , neste trabalho adotou-se, no plano meridional, o tipo de suavização apresentada por Abbo (1997) e no plano octaédrico, para o superfície de Mohr-Coulomb, a solução proposta por Sloan e Booker (1986). A superfície de fluência no plano meridional é substituída por uma hipérbole, conforme mostrado na Figura (2.10) de forma a eliminar a singularidade do vértice da superfície de fluência, o que torna necessário utilizar apenas um parâmetro adicional. Como desvantagem, temos o fato da nova superfície hiperbólica ser interna à superfície de Mohr-Coulomb, diminuindo a resistência do solo. Este ponto de singularidade tem maior importância quando o material apresenta ângulo de atrito alto e coesão baixa, logo a tensão média necessária para alcançar o ápice estará mais próxima da origem.. 21.

(45) Figura 2.10 – Suavização hiperbólica da superfície de fluência Quando exibida no plano octaédrico, a superfície de Mohr-Coulomb possui vértices nos pontos θ = ±30° (Figura 2.11), onde são calculados os gradientes da função de fluência na resolução da matriz elasto-plástica. Abbo (1997) adota a solução proposta por Sloan e Booker (1986), que apresenta continuidade total das derivadas com uma aproximação interna à função de Mohr- Coulomb. É possível ajustar com a utilização de um único parâmetro. A função no plano octaédrico permanece a mesma, mas agora redefinida nos vértices θ = ±30°. A aproximação inicia-se a partir de um ângulo de ajuste θT. Assim, para θ > θ T, usa-se uma função de suavização. Quando θ ≤ θT, a função coincide com a função original de Mohr- Coulomb. Maiores detalhes acerca destes tipos de suavizações podem ser encontrados no trabalho de Sousa (2004).. Figura 2.11 - Tratamento de bordo no plano octaédrico. 22.