NOTAS DE AULA MACRO - BLOCO 2

(1)

4 Incerteza

4.1 Processos estoc´

asticos em Macro

4.1.1 Cadeias de Markov

Defini¸c˜ao: seja xt ∈ X, em que X = x1, x2, · · · , xn ´e um conjunto finito de valores.

Uma cadeia de Markov estacionária é um processo estocástico {xt}∞t=0definido por X10, uma

matriz de transi¸c˜ao Pn×n e uma distribui¸c˜ao inicial de probabilidade (π0)1×n (o primeiro

elemento do processo estoc´astico). Os elementos da matriz de transi¸c˜ao Pn×n representam

as seguintem probabilidades:

Pij = P r[xt+1= xj | xt = xi]

Ou seja, o elemento Pij11 ´e a probabilidade de sair do estado “i ”e ir para o estado “j ”.

Propriedades:

i. A probabilidade para dois per´ıodos a frente ´e dada por [P2_] i,j12. P r[xt+2= xj | xt = xi] = n X k=1 pik× pkj = [P2]i,j Exemplo: P =       p11 p12 p13 p14 p21 p22 p23 p24 p31 p32 p33 p34 p41 p42 p43 p44       Se for requerido [P2]1,1: p2₁₁+ p12× p21+ p13× p31+ p14× p41 . ii. Pn k=1pik = 1.

Dado π0 − um vetor 1 × n tal que π0i = P r[x0 = xi], ou seja, o primeiro elemento de π0 ´e

a probabilidade de o primeiro elemento do processo estoc´astico possuir valor x1, o segundo

10_{X ´}_{e todo universo de possibilidade de estados.}

11_{Observe que essas probabilidades s˜}_{ao independentes do tempo.}

12_{Ou seja, o elemento (i, j) da matriz P}2_´_{e igual a soma dos produtos dos elementos da linha i de P pelos} elementos da coluna j de P

(2)

elemento de π0 ´e a probabilidade de x0 possuir valor x2 etc − ent˜ao π1 = π0P . Ou seja, π1

´

e a distribui¸c˜ao de x1 a partir do per´ıodo t = 0.13

Exemplo: Seja n = 4, π0= h π01 π02 π03 π04 i , π1 = π0P = h π01 π02 π03 π04 i       p11 p12 p13 p14 p21 p22 p23 p24 p31 p32 p33 p34 p41 p42 p43 p44       (π1)1×n= h Pn k=1π0k× pk1 Pn k=1π0k× pk2 Pn k=1π0k× pk3 Pn k=1π0k× pk4 i . Analogamente, π2 = π0P2 π3 = π0P3 π4 = π0P4 .. . πt = π0Pt Ou ainda, π2 = π0P2 = π1P π3 = π0P3 = π2P π4 = π0P4 = π3P .. . πt+1 = πtP

Defini¸cão: uma matriz de transi¸cão P é considerada estacionária (ou invariante) quando o

13_H´_{a a possibilidade de ter-se π}

0 = 0 0 · · · 1 · · · 0, ou seja, ser o caso degenerado, em que tem-se, com certeza, x0= xi.

(3)

vetor de probabilidade π ´e tal que:

π = πP Ou seja, uma distribui¸c˜ao estacion´aria para P satisfaz:

πI = πP π[I − P ] = ~0

Observe que ~v ´e um autovetor de A se ~v 6= ~0 e atende a A~v = λ~v para algum escalar λ. Analogamente, π ´e um autovetor de P associado com o autovetor λ = 1.

Exemplo: i. P = " 0.7 0.3 0.6 0.4 # Seja π =hπ1 π2 i , ent˜ao π = πP : h π1 π2 i = h π1 π2 i " 0.7 0.3 0.6 0.4 #

Sabendo que π1+ π2 = 1, encontra-se: π =

h 2 3 1 3 i ii. P = " 0.1 0.9 0.9 0.1 # , encontre π. iii. P = " 1 0 0 1 # , encontre π. ´

E preciso saber quando πt converge para um distribui¸cão estacionária única. Ou seja, existe

algum vetor π∞ao que quando t −→ ∞, tenha-se π∞ = π∞P n˜ao dependente das condi¸c˜oes

iniciais π0? Caso isso aconte¸ca, diz-se que o processo estoc´astico ´e assintoticamente

esta-cionário com uma única distribui¸cão invariante.

Teorema: P tem uma única distribui¸cão invariante (e assintoticamente estacionária) se: Pij > 0 ∀i, ∀j

(4)

4.1.2 Equa¸c˜oes em diferen¸ca lineares e estoc´asticas

Seja xt∈ Rn, wt∈ Rm, A uma matriz n × n e C uma matriz n × n,

xt+1 = Axt+ Cwt+1

. Supondo,

Et[wt+1] = Et[wt+1 | wt, wt−1, · · · ] = 0

Et[wt+1wt+10 ] = I

´

E comum em evolu¸c˜oes baseadas em AR(1).

4.2 Maximiza¸

c˜

ao sob incerteza

A introdu¸cão do tópico de maximiza¸cão sob incerteza será feita a partir da apresenta¸cão de um modelo simples de dois per´ıodos de tempo, mas bastante informativo, através do qual serão apresentados as estruturas de mercado completas (complete markets) e incompletas (incomplete markets). Em seguida, estudaremos a maximiza¸cão sob incerteza no ambiente de equil´ıbrio competitivo Arrow-Debreu e sequencial e nas formas sequencial e recursiva do “Social Planner ”.

Admita um modelo simples com dois per´ıodos de tempo, em que um agente representativo precisa decidir sobre suas escolhas de consumo e lazer, mas com incerteza sobre o sal´ario (estoc´astico):

1. Consumo e poupan¸ca no per´ıodo 0. 2. Consumo e trabalho no per´ıodo 1.

Observe que com o salário estocástico, a renda do per´ıodo 1 (segundo per´ıodo) é incerta. Note que não há trabalho no per´ıodo 0 (primeiro per´ıodo), apenas uma decisão por consumo e poupan¸ca via dota¸cão. Assuma n poss´ıveis estados da natureza para o salário no per´ıodo 1, de forma que se tem:

w2 ∈ {w1, · · · , wn}

em que πi ≡ P r[w2 = wi] ∀i ∈ {1, · · · , n}. Assuma tamb´em que o consumidor define suas

(5)

maximiza sua utilidade esperada). Em que o lazer no segundo per´ıodo vale: U = n X i=1 πiu(c0, c1i, ηi) ≡ E[u(c0, c1i, ηi)]

Especificamente, assuma que a fun¸c˜ao utilidade tenha a forma:

U = u(c0) + β n

X

i=1

πi[u(c1i+ v(ηi)]

Assuma ainda que mais trabalho gera desutilidade, isto ´e, v0(ηi) < 0.

4.2.1 Mercados incompletos14

Assuma que existe um ativo livre de riscos para transferir recursos do per´ıodo 0 para o per´ıodo 1, que entrar´a no modelo como uma escolha do consumidor por a unidades deste ativo, cujo pre¸co ´e q. Assim, cada unidade de a adquirida no per´ıodo 0 paga uma unidade na forma de renda no per´ıodo 1, em qualquer15 _{estado da natureza que tenha acontecido. O}

consumidor se depara com a seguinte restri¸c˜ao or¸cament´aria no per´ıodo 0: c0+ aq = I

Para cada estado da natureza que se realiza, o consumidor pode se deparar com a seguinte restri¸c˜ao or¸cament´aria:

c1i= a + wiηi i ∈ {1, · · · , n} Problema do consumidor: max c0,a,{c1i,η1i}ni=1 u(c0) + β n X i=1 πi[u(c1i+ v(ηi)] s.a. c0+ aq = I c1i = a + wiηi i ∈ {1, · · · , n}

14_S˜_{ao incompletos porque o agente n˜}_{ao consegue se proteger dos casos em que seu sal´}_{ario ´}_{e menor do que} o que ele est´a esperando.

15_{Observe que no per´ıodo 0, o consumidor se depara com n estados da natureza poss´ıveis de se realizarem} no per´ıodo 1; j´a no per´ıodo 1, apenas um destes estados da natureza se confirma.

(6)

Resolvendo o problema: L = u(c0) + β n X i=1 πi[u(c1i+ v(ηi)] − µ[c0+ aq − I] − n X i=1 λi[c1i− a − wiηi] i. c0: ∂ L ∂c0 = u0(c0) − µ = 0 ∴ u0(c0) = µ

Mas observe que a = f (c0), j´a que cada unidade de renda destinada ao consumo no

per´ıodo 0 representa menos renda destinada a aquisi¸c˜ao do ativo livre de risco, de forma que a = (I−c0)

q . Ent˜ao, da dc0 = − 1 q. L = u(c0) + β n X i=1 πi[u(c1i+ v(ηi)] − n X i=1 λi[c1i− a(c0) − wiηi] ∂ L ∂c0 = u0(c0) − n X i=1 λi −da dc0 = 0 ∂ L ∂c0 = u0(c0) − n X i=1 λi − −1 q = 0 ∂ L ∂c0 = u0(c0) − 1 q n X i=1 λi = 0 u0(c0) = 1 q n X i=1 λi ii. c1i: ∂ L ∂c1i = βπiu0(c1i) − λi = 0 ∴ βπiu0(c1i) = λi ∀i ∈ {1, · · · , n} iii. ηi: ∂ L ∂ηi = βπiv0(ηi) + λiwi = 0 ∴ −βπiv0(ηi) = λiwi ∀i ∈ {1, · · · , n}

Observe do item ii. que βπiu0(c1i) = λi implica que βπiu0(c1i)wi = λiwi. Pelos itens ii. e iii.

βπiu0(c1i)wi = −βπiv0(ηi). Ent˜ao:

−u0(c1i)wi = v0(ηi)

(7)

Pn

i=1βπiu 0_(c

1i) = Pn_i=1λi ∴ 1_qβPn_i=1πiu0(c1i) = 1_qPn_i=1λi. Segue ent˜ao que,

u0(c0) = 1 qβ n X i=1 πiu0(c1i) = β n X i=1 πiu0(c1i) 1 q ≡ βE u0(c1i) 1 q

Isto significa que, a utilidade marginal do consumo no per´ıodo 0 se iguala a expectativa marginal descontada de se consumir 1_q unidades no per´ıodo 1.

4.2.2 Mercados completos

Neste caso, ao invés dos ativos livres de risco que pagam o mesmo montante em qualquer um dos estados da natureza, assuma a existência de direitos de propriedade contingentes a cada estado da natureza, também conhecidas como “Arrrow securities”. São n ativos negociados no per´ıodo 0 em que cada unidade do ativo i adquirida retorna uma unidade no per´ıodo 1 caso aconte¸ca o estado da natureza i ou retorna zero caso contrário.

Restri¸c˜ao or¸cament´aria para o per´ıodo 0:

c0+ n

X

i=1

qiai = I

Restri¸c˜ao or¸cament´aria para o per´ıodo 1:

c1i= ai+ ηiwi i ∈ {1, · · · , n}

Observe que agora o indiv´ıduo pode escolher um ativo livre de risco ao adquirir uma unidade de cada ativo ai. Suponha que o pre¸co de aquisi¸c˜ao deste portfolio seja igual ao

pre¸co do ativo livre de risco de antes, ou seja, q =Pn

i=1qi. Note que, dessa forma, o

consu-midor consegue transferir recursos através do tempo da mesma forma que fazia nos mercados incompletos, já que a mesma cesta de bens pode ser adquirida ao mesmo custo, isto é, o consumidor não pode estar pior. Além disso, é permitido ao agente que a transferência de riqueza seja espec´ıfica por estado da natureza, o que implica numa melhora de bem-estar se a distribui¸cão de salários wi’s for aleatoriamente não-trivial e se as preferências do agente

forem de avers˜ao ao risco. ´

E poss´ıvel consolidar as restri¸c˜oes or¸cament´arias observando para o per´ıodo 1 que c1i =

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ai na restri¸c˜ao do per´ıodo 0: c0+ n X i=1 qic1i = I + n X i=1 qiηiwi

Observe que as despesas e a renda est˜ao em termos do consumo c0, isto ´e, seu pre¸co foi

normalizado para 1. Ent˜ao, qi ´e o pre¸co, em termos de c0, do consumo de bens no per´ıodo 1

se o estado da natureza i se confirmar, assim como qiηi ´e a remunera¸c˜ao do trabalho neste

estado da natureza. Resolvendo o problema: L = u(c0) + β n X i=1 πi[u(c1i+ v(ηi)] − λ[c0+ n X i=1 qic1i− I − n X i=1 qiηiwi] i. c0: ∂ L ∂c0 = u0(c0) − λ = 0 ∴ u0(c0) = λ ii. c1i: ∂ L ∂c1i = βπiu0(c1i) − λqi = 0 ∴ βπiu0(c1i) = λqi iii. ηi: ∂ L ∂ηi = βπiv0(ηi) + λqiwi = 0 ∴ βπiv0(ηi) = −λqiwi

Das condi¸c˜oes de primeira ordem dos itens i. e ii., tem-se: u0(c0)qi = λqi βπiu0(c1i) = λqi u0(c0)qi = βπiu0(c1i) u0(c0) = βπiu0(c1i) qi qi = βπiu0(c1i) u0_(c 0)

Sob a aloca¸cão da condi¸cão de equil´ıbrio, a taxa marginal de substitui¸cão do consumo no per´ıodo 0 pelo consumo no per´ıodo 1, para cada uma das realiza¸cões de estado da natureza, ´ e: T M S(c0, c1i) = U0(c1i) U0_(c 0) = βπiu 0_(c 1i) u0_(c 0) = qi

(9)

E a taxa marginal de substitui¸c˜ao entre os estados da natureza ´e: T M S(c1i, c1j) = U0(c1j) U0_(c 1i) = βπju 0_(c 1j) βπiu0(c1i) = qj qi

4.3 Equil´ıbrio competitivo sob incerteza

Modelo de crescimento neocl´assico estoc´astico

A incerteza é introduzida no modelo neoclássico de crescimento através de choques na produtividade total dos fatores (TFP). A fun¸cão de produ¸cão agregada neoclássica sob re-torno constantes de escala apresenta a seguinte forma geral:

Ft(Kt, Lt)

O ajustamento da fun¸c˜ao por trabalhador retorna a seguinte forma: Ft(Kt, Lt) Lt = Ft Kt Lt ,Lt Lt = Ft(kt, 1)

E assume a forma espec´ıfica que explicita os choques na TFP: Ft(kt, 1) = ztf (kt)

Em que z é um processo estocástico (processo gerador) e as realiza¸cões zt são retiradas de

um conjunto Z. Ou seja, zt ∈ Z ∀t.

Quadro geral:

i. zt é a realiza¸cão do processo estocástico z no per´ıodo t.

ii. zt_´_{e o hist´}_{orico de realiza¸c˜}_{oes (o caminho amostral) − ´}_{e um vetor de dimens˜}_{ao t + 1 com}

a seguinte composi¸c˜ao:

zt= (zt, zt−1, · · · , z1, z0)

.

iii. Por consequˆencia, z0 = z0 e zt = (zt, zt−1)

iv. Z é um conjunto contável, ou seja, possui quantidade de elementos igual a algum sub-conjunto dos naturais. Além disso, Zt é um produto cartesiano t-vezes de Z.

(10)

v. π(zt) é a probabilidade de ocorrência do evento (zt, zt−1, · · · , z0). Sob essa nota¸cão, um

processo de Markov de primeira ordem segue:

π[(zt+1, zt) | zt] = π[(zt+1, zt| zt)]

4.3.1 Forma sequencial do problema do Social Planner

O problema do planejador social na sua forma sequencial pede a maximiza¸c˜ao da seguinte fun¸c˜ao: U = ∞ X t=0 X zt_∈Zt βtπ(zt)u[ct(zt)] ≡ E " _∞ X t=0 βtu(ct) #

O consumidor precisa escolher:

ct(zt) ∀zt ∀t

kt+1(zt) ∀zt ∀t

Observe que a escolha do consumidor indica que esta ´e baseada no caminho amostral (zt₎

até a data t, sendo esta a única informa¸cão dispon´ıvel ao agente. É poss´ıvel, com base nessas informa¸cões, construir a restri¸cão or¸camentária do agente. A cada par (t, zt_{) o agente deve}

decidir quanto de sua renda vai destinar ao consumo de bens e ao montante investido para o per´ıodo seguinte. Todas as despesas com consumo para o per´ıodo corrente e investimento para o per´ıodo seguinte devem ser no máximo iguais a renda gerada por uma produ¸cão − que depende da quantidade de capital investida no per´ıodo anterior pelo agente − que é afetada por uma TFP estocástica, somada da renda auferida pelo investimento l´ıquido (expurgada sua deprecia¸cão).

ct(zt) + kt+1(zt) ≤ ztf [kt(zt−1)] + (1 − δ)kt(zt−1) Formalmente, max {ct(zt),kt+1(zt)}∞t=0 ∞ X t=0 X zt_∈Zt βtπ(zt)u[ct(zt)] s.a. ct(zt) + kt+1(zt) = ztf [kt(zt−1)] + (1 − δ)kt(zt−1) k0 > 0 dado.

(11)

4.3.2 Formula¸c˜ao recursiva do problema do Social Planner O problema em sua vers˜ao recursiva consiste em:

V (k, z) = max k0 ( u [zf (k) − k0+ (1 − δ)k] + βX z0_∈Z π(z0 | z)V (k0, z0) )

em que a TFP (z) surge como novo estado e P

z0_∈Zπ(z0 | z)V (k0, z0) = Ez[V (k0, z0)].

Usa-remos Programa¸cão Dinâmica para utilizar métodos numéricos de aproxima¸cão, já que esse problema não apresenta solu¸cão anal´ıtica.

A solu¸cão tanto para a formula¸cão sequencial quanto para a formula¸cão recursiva remonta a Equa¸cão de Euler: u0[ct(zt)] = βEztu 0_c t+1(zt+1) zt+1f0[kt+1(zt) + 1 − δ ₁₆ u0[zf (k) + (1 − δ)k − k0_{] = βE}z{u0[z0f (k0) + (1 − δ)k0− k00] × [z0f0(k0) + 1 − δ]}

4.3.3 Modelo neoclássico de crescimento com mercados completos O equil´ıbrio competitivo Arrow-Debreu é dado pela sequência:

ct(zt), kt+1(zt), lt(zt), pt(zt), rt(zt), wt(zt)

∞

t=0

tais que:

1. Dados os pre¸cos e eventos realizados, {pt(zt), rt(zt), wt(zt)} ∞ t=0 resolve o problema do consumidor: max {ct(zt),kt+1(zt),lt(zt)}∞t=0 ∞ X t=0 X zt_∈Zt βtπ(zt)uct(zt), 1 − lt(zt) s.a. ∞ X t=0 X zt_∈Zt pt(zt)[ct(zt)+kt+1(zt)] ≤ ∞ X t=0 X zt_∈Zt pt(zt) rt(zt) + 1 − δ × kt(zt−1) + wt(zt)lt(zt) ∀t, zt

16_{Observe que, sem incerteza, t´ınhamos: u}0_(c

(12)

2. O problema da firma ´e resolvido como: rt(zt) = ztFkkt(zt−1), lt(zt) wt(zt) = ztFlkt(zt−1), lt(zt) 3. Market clearing17 ´e: ct(zt) + kt+1(zt) − (1 − δ)kt(zt−1) = ztF kt(zt−1), lt(zt) ∀t, zt

4.3.4 Equil´ıbrio sequencial com incerteza

Ilustraremos o equil´ıbrio sequencial com incerteza a partir de uma endowment economy com I tipos de agentes, com a incerteza sendo introduzida pela dota¸c˜ao wi(zt), sendo zt o hist´orico de estados da natureza.

O equil´ıbrio competitivo sequencial é composto por uma sequência de aloca¸cões: nn ci_t(zt),ai_t+1(zt+1, zt) zt+1∈Z o∞ t=0 o zt_∈Zt i∈I e pre¸cos: nn qt(zt+1, zt) zt+1∈Z o∞ t=0 o zt_∈Zt tais que: 1. Dados os pre¸cos nn {qt(zt+1, zt)}_z_t+1∈Z o∞ t=0 o zt_∈Zt, as aloca¸cões nn ci t(zt),ait+1(zt+1, zt) zt+1∈Z o∞ t=0 o zt_∈Zt i∈I resolvem: max ( ci t(zt),{ait+1(zt+1,zt)}_zt+1∈Z ∞ t=0 zt∈Zt ) i∈I ∞ X t=0 X zt_∈Zt βtπ(zt)u[ci_t(zt)] s.a. i. ci t(zt) + P zt+1∈Zqt(zt+1, z t_)ai t+1(zt+1, zt) ≤ wti(zt) + ait(zt) ∀t, ∀zt∈ Zt ii. ci t(zt) > 0 ∀t, ∀zt iii. ai_t+1(zt+1, zt) > −A i ∀t, ∀zt_{∈ Z}t

17_{Observe que o investimento no per´ıodo t para cada caminho amostral z}t _´_{e I}

t(zt) = kt+1(zt) − (1 − δ)kt(zt−1).

(13)

2. Market clearing18 _´_e: X i∈I ci_t(zt) =X i∈I w_ti(zt) ∀t, ∀zt _{∈ Z}t X i∈I ai_t+1(zt+1, zt) = 0 ∀t, ∀zt∈ Zt, ∀zt+1 ∈ Z

4.4 Exerc´ıcio

1. Considere uma economia que produz duas commodities f´ısicas, em dois per´ıodos de tempo, com dois poss´ıveis estados da natureza, numa economia de troca pura. Os estados da natureza são z ∈ {g, b}; os bens são indexados por n = 1, 2. Há apenas dois tipos de agentes, cada um com um continuum de medida 1, uniformemente distribu´ıdo no c´ırculo unitário denotado por i = A, B.

i. Dota¸cões: as dota¸cões dos dois bens f´ısicos no primeiro per´ıodo são determin´ısticas. As dota¸cões dos dois bens f´ısicos no segundo per´ıodo são variáveis aleatórias. Isto é, as dota¸cões do agente do tipo i no segundo per´ıodo depende do estado da natureza. Denotaremos a dota¸cão do agente do tipo i, do bem n, no per´ıodo t = 2, ao estado da natureza z como sendo ωi

ntz ≥ 0.

ii. As probabilidades individuais do consumidor do tipo i no estado da natureza bom (g), e no estado da natureza ruim (b) s˜ao respectivamente πi _{e 1 − π}i_{. A utilidade do}

consumidor do tipo i em cada per´ıodo ´e dada por log(ci

1t) + φ log(ci2t). Cada agente

disconta o futuro a uma taxa βi_.

a) Defina o Equil´ıbrio Competitivo desta economia ao estilo Debreu.

b) Especialize esta economia tal que no per´ıodo 1, o agente do tipo A possui 1 unidade do bem 1 e 0 unidades do bem 2, e o agente do tipo B possui 0 unidades do bem 1 e 1 unidade do bem 2. No per´ıodo 2, no estado da natureza bom, o agente do tipo A recebe 1 unidade do bem f´ısico 1 e 1 unidade do bem f´ısico 2, enquanto o agente B recebe 0 unidades de ambos os bens. No estado na natureza ruim, o agente do tipo A recebe 0 unidades de cada bem, enquanto o agente do tipo B recebe 1 unidade de cada bem. Suponha que os estados da natureza bom e ruim s˜ao igualmente prov´aveis de maneira que πi = 0.5 para i = A, B. Encontre as quantidades e pre¸cos para o Equil´ıbrio Competitivo.

18_{Observe que no curto prazo, os agentes negociam a}i

t+1(zt+1, zt) ao pre¸co qt. No per´ıodo seguinte, se zt+1 acontecer, um agente recebe uma unidade de at+1 e outro agente perde uma unidade de at+1. Em outras palavras, a conta deve fechar.

(14)

c) Introduza as Arrow Securities e defina o Equil´ıbrio Competitivo Sequencial associado. Encontre as solu¸cões para este equil´ıbrio sob o padrão de dota¸cão especificado no item (b).

(15)

5 Heterogeneidade

Neste cap´ıtulo, será estudado o papel da heterogeneidade dos agentes e da agrega¸cão, no modelo neoclássico de crescimento com mercados completos. A questão fundamental ´

e: O que entendemos por agrega¸cão? E dito que uma economia admite agrega¸c˜´ ao se o comportamento das quantidades de equil´ıbrio agregada, isto é, pre¸cos, consumo agregado, investimento, entre outros, não depende da distribui¸cão de quantidades individuais entre os agentes. Em outras palavras, é poss´ıvel agregar sempre que for poss´ıvel definir um agente representativo fict´ıcio que se comporta, em equil´ıbrio, como a soma de todos os consumidores individuais.

5.1 Agrega¸

c˜

ao de firmas

Considere uma economia com M firmas indexadas por i = 1, . . . , M que produzem um bem homogˆeneo com a mesma tecnologia zF (ki_{, n}i_{) em que z ´}_{e a produtividade agregada.}

Assuma que F é estritamente crescente, estritamente côncava e diferenciável em ambos os argumentos, além de possuir retornos constantes de escala. É poss´ıvel agregar essas firmas individuais em uma firma representativa?

Suponha que o mercado de insumos seja perfeitamente competitivo, portanto, cada firma i ´e uma tomadora de pre¸cos e resolve o seguinte problema

max

{ki_,ni_}zF (k

i_{, n}i_{) − wn}i_{− rk}i

Das condi¸c˜oes de primeira ordem, pode-se obter zFk(ki, ni) = r

zFn(ki, ni) = w

Lembre que, por conta da condi¸cão de retornos constantes de escala, Fk, Fn são homogêneas

de grau zero, portanto

Fk(ki, ni)

Fn(ki, ni)

= fk(k

i_/ni₎

fn(ki/ni)

Substituindo esse resultado nas condi¸c˜oes de primeira ordem, temos o seguinte resultado fk(ki/ni)

fn(ki/ni)

= r w , ∀i

(16)

decrescente em rela¸c˜ao a (ki_/ni₎19_{, existir´}_{a uma fun¸c˜}_{ao inversa g, tal que} gr w = k i ni = K N , ∀i = 1, . . . , M

Em que K e N denotam médias. Isto implica que todas as firmas escolhem a mesma razão de capital e trabalho. Utilizando esse resultado nas condi¸cões de primeira ordem e realizando a média entre todos os i0s, pode-se obter o seguinte resultado

zFK(K/N ) = r

zFN(K/N ) = w

Que por sua vez implica na existˆencia de uma firma representativa com tecnologia zF (K, N ).

5.2 Heterogeneidade nas dota¸

c˜

oes iniciais

Inicialmente, será estudado um modelo neoclássico de crescimento com heterogeneidade em que os consumidores são diferentes apenas em suas dota¸cões iniciais de riqueza. A economia é habitada por N tipos de agentes que vivem infinitamente, indexados por i = 1, . . . , N . Denote por µi o measure do agente i e normalize o measure total dos agentes para

1, isto ´e, PN

i=1µi = 1. As preferências dos agentes definidas por um conjunto de aloca¸cões é

definido por U = ∞ X t=0 βtu(ci_t)

Em que a fun¸c˜ao utilidade pertence a uma das seguintes classes

u(c) =          γln(c + c) com c + c ≥ 0 γ(c + c)σ com c + c ≥ 0 −ce−ηc

Note que, por agora, é permitido que c ≤ 0 afim de se modelar consumo de subsistência. Considere a seguinte fun¸cão de produ¸cão agregada yt = f (Kt), com f sendo estritamente

crescente, estritamente cˆoncava e diferenci´avel. Suponha que a firma representativa seja

19 ∂Fk(ki/ni) ∂(ki_/ni₎ < 0 e

∂Fn(ki/ni) ∂(ki_/ni₎ < 0

(17)

detentora do capital e que realiza a decis˜ao de investimento ao resolver At= max {It} ∞ X τ =t pτ pt [f (Kτ) − Iτ] s.a: Iτ = Kτ +1− (1 − δ)Kτ

Em que pt ´e o pre¸co do bem final no per´ıodo t. Vamos definir o lucro real da firma

como sendo πt≡ f (Kt) − It. Portanto, é fácil notar que At é o valor futuro dos lucros reais

descontados a uma taxa pt/pτ, isto ´e, o pre¸co relativo do consumo entre t e τ 20.

Considere que os mercados são completos, ou seja, não existe barreira para a transferência de renda entre os per´ıodos, portanto, é poss´ıvel usar a formula¸cão de Arrow-Debreu para o problema do consumidor. Logo, o problema de maximiza¸cão da fam´ılia i pode ser descrito da seguinte forma max {ci t} ∞ X t=0 βtu(ci_t) s.a: ∞ X t=0 ptcit≤ p0ai0 Onde ai

0 ´e a riqueza inicial do agente i em termos de unidade de consumo. Note que, em

geral, pode-se definir a riqueza do agente i no per´ıodo t como sendo

ptait = sit ∞ X τ =t pτπτ Em que si

t é a participa¸cão no valor da firma do agente i no per´ıodo t. Considere a equa¸cão

anterior, ao somar ambos os lados em rela¸c˜ao a i e explorar o fato de que PN

i=1µis i

t= 1, ∀t,

´

e poss´ıvel obter At como definido anteriormente. Portanto, a riqueza agregada da fam´ılia ´e

o valor da firma.

Considere a preferencia como sendo a logar´ıtmica, sendo assim, das condi¸c˜oes de primeira ordem do problema do consumidor, obtemos

βtu0(ci_t) = λipt ⇒ cit=

βt_γ

λi_p t

− c

Substituindo a condi¸cão de primeira ordem na restri¸cão or¸camentária do problema do

con-20_{Lembre que} pt

(18)

sumidor, temos que ∞ X t=0 pt βt_γ λi_p t − c = p0ai0 ⇒ ⇒γ λi = (1 − β)p0ai0+ (1 − β)c ∞ X t=0 pt

Substituindo essa última expressão na condi¸cão de primeira ordem para t = 0, obtemos a seguinte expressão ci₀ = c " (1 − β) ∞ X t=0 pt p0 − 1 # + (1 − β)ai₀ = Θ(p0, c) + (1 − β)ai₀

Em que Θ(p0_{, c) define uma fun¸c˜}_{ao do consumo de subsistˆ}_{encia e de toda sequˆ}_{encia de}

pre¸co. Essa deriva¸cão pode ser generalizada para qualquer t > 0 ao se utilizar a restri¸cão or¸camentária de Arrow-Debreu para o tempo t, sendo assim

ci_t= Θ(pt, c) + (1 − β)ai_t

A expressão acima mostra que o consumo no per´ıodo t do agente i é uma fun¸cão afim de seus ativos no per´ıodo t para cada tipo i.

A primeira consequência da equa¸cão anterior é de que para se estudar a dinâmica das variáveis agregadas neste modelo de economia, não é necessário saber a distribui¸cão da riqueza. Pode-se mostrar que o consumo agregado apenas depende das variáveis agregadas.

Ct = Θ(pt) + (1 − β)At

No qual At pode ser expressa em fun¸c˜ao da sequˆencia de pre¸cos {pt} ∞

t=0 e do estoque

de capital agregado {Kt} ∞

t=0. Por fim, pode-se concluir que quando as preferˆencias s˜ao

homotéticas e os agentes são homogêneos quanto a dota¸cão inicial, a dinâmica agregada permite agrega¸cão.

5.2.1 Algoritmo de Negishi

A questão agora é: Como encontrar o equil´ıbrio competitivo, pre¸cos e aloca¸cões, para economias que não permitem agrega¸cão? Ou o uso do agente representativo? Um método utilizado é o algoritmo proposto por Negishi (1960). Trata-se de um método válido para os casos em que o primeiro teorema do bem-estar se aplica. Do primeiro teorema do bem-estar, sabemos que qualquer equil´ıbrio competitivo é um ótimo de Pareto. Portanto, o equil´ıbrio

(19)

competitivo pode ser encontrado como a solu¸cão do problema do planejador social benevo-lente com algum ”peso de Pareto”dado para cada agente. Suponha que se deseja computar o equil´ıbrio competitivo de uma economia em que os agentes são dotados inicialmente de diferentes fra¸cões da riqueza agregada, isto é, {si

0} N

i=1. Podemos usar o problema do

plane-jador social para esse propósito? Negishi mostra que o segredo é encontrar os ”pesos”certos para cada agente na fun¸cão de bem-estar social do planejador social para fazer com que a aloca¸cão eficiente de Pareto corresponda a aloca¸cão de equil´ıbrio competitivo.

Suponha uma economia com dois consumidores, isto ´e, N = 2. O problema do planejador social consiste em max {c1 t,c2t,kt+1} ∞ X t=0 βtα1_u(c1 t) + α 2_u(c2 t) s.a: c1_t + c2_t + kt+1≤ f (kt) + (1 − δ)kt, ∀t k0 dado

Onde (α1, α2) s˜ao os pesos dados pelo planejador social para cada tipo de agente na fun¸c˜ao de bem-estar agregada. Montando o lagrangiano, temos

L = ∞ X t=0 βtα1u(c1_t) + α2u(c2_t) − ∞ X t=0 λtc1t + c 2 t + kt+1− f (kt) − (1 − δ)kt

Das condi¸c˜oes de primeira ordem, obtemos ∂L ∂c1 t = βtα1u0(c1_t) − λt= 0, ∀t (11) ∂L ∂c2 t = βtα2u0(c2_t) − λt= 0, ∀t (12) ∂L ∂kt+1 = −λt+ λt+1[f0(kt+1) + (1 − δ)] = 0, ∀t (13)

Das equa¸c˜oes (11) e (12), pode-se obter o seguinte resultado u0(c1 t) u0_(c2 t) = α 2 α1 (14)

Da equa¸cão (14), podemos concluir de que o consumo ótimo será proporcional aos pesos de Pareto, ou seja, ci∗

t (α

∗_{). Da equa¸c˜}_{ao (13), temos que}

λt λt+1 = u 0_(c1 t) βu0_(c1 t+1) = u 0_(c2 t) βu0_(c2 t+1) = f0(kt+1) + (1 − δ), ∀t

(20)

Como isso nos ajuda a resolver o equil´ıbrio competitivo? Individualmente, os agentes est˜ao diante do seguinte problema

max {ci t} ∞ t=0 ∞ X t=0 βtu(ci_t) s.a: ∞ X t=0 ptcit≤ p0ai0

Montando o lagrangiano, temos

L = ∞ X t=0 βtu(ci_t) − λi " _∞ X t=0 ptcit− p0ai0 #

Da condi¸c˜ao de primeira ordem, obtemos

βtu0(ci_t) = λipt

Utilizando esse resultado e a condi¸c˜ao de primeira ordem do problema do planejador social, temos que βtu0(ci_t) = λt αi = λ i pt ⇒ αiλi = λt pt

Portanto, pode-se concluir que 21

α2

α1 =

λ1

λ2

Note que, da condi¸c˜ao de primeira ordem, temos que

ci_t= β

t

λi_p t

− c Usando esse resultado na restri¸c˜ao or¸cament´aria, obtemos

∞ X t=0 pt βt λi_p t − c = p0ai0 ⇒ ∞ X t=0 pt βt λi_p t − c ∞ X t=0 pt= p0ai0 ⇒ 1 λi_{(1 − β)} = p0a i 0+ c ∞ X t=0 pt⇒ λi = 1 (1 − β) [p0ai0+ c P∞ t=0pt]

Vamos considerar c = 0, ent˜ao

λi = 1 (1 − β)p0A0 1 si 0 21_{Considere u(c}i t) = ln(cit+ c)

(21)

Sendo assim, podemos concluir que o consumo ótimo depende dos pesos de Pareto dado pelo problema do planejador social. Além disso, os pesos de Pareto dados a cada agente vão ser iguais a participa¸cão inicial dos agentes na riqueza inicial agregada22_{, isto ´}_{e, α}i ₌

si

0. Quanto maior a participa¸c˜ao na riqueza inicial agregada (maior si0), menor vai ser o

multiplicador (λi_{) e, consequentemente, maior vai ser o peso de Pareto (α}i_{) no problema de}

Negishi. c2 t c1 t = α 2 α1 = s2 0 s1 0

A conclusão é de que, o planejador social deve colocar um maior peso no consumo do agente que possui uma maior fra¸cão na riqueza inicial.

NOTAS DE AULA MACRO - BLOCO 2

4

Incerteza

4.1

Processos estoc´

asticos em Macro

4.2

Maximiza¸

c˜

ao sob incerteza

4.3

Equil´ıbrio competitivo sob incerteza

4.4

Exerc´ıcio

5

Heterogeneidade

5.1

Agrega¸

c˜

ao de firmas

5.2

Heterogeneidade nas dota¸

c˜

oes iniciais

5.3

Exerc´ıcios