SLIDE_Programação Linear - Introdução

(1)

Programação Linear - introdução

Pesquisa Operacional 1 Leonard Barreto

(2)

Programação Linear

• ROTEIRO

• Introdução à Programação Linear (PL) • Formulações de um PPL

• Soluções de um PPL

(3)

Programação Linear - Introdução

• Todo problema de Programação Linear (PPL) consiste dos seguintes elementos:

Variáveis de decisão: variáveis consideradas relevantes ao problema, passíveis de quantificação e disponíveis.

Função objetivo: é uma função, produto dos coeficientes pelas variáveis de decisão, que se deseja otimizar no problema. Restrições: elementos restritivos que todo problema possui.

(4)

Programação Linear - Introdução

• É um problema de programação matemática em que as funções-objetivo e de restrições são lineares.

• Constituem um tipo especial de modelos de otimização, devendo possuir as seguintes características:

proporcionalidade;

Não se considera economias de escala nem custos iniciais para

implantação de alternativa j (função objetivo); não negatividade; aditividade; separabilidade; (função objetivo);

Não existe interatividade entre as alternativas de atividades. Por exemplo, um preço de determinado produto não pode variar condicionado à compra de

outro produto.

As variáveis de decisão podem ser fracionadas, ou seja, qualquer variável

(5)

Programação Linear - Introdução

Podemos formular de uma forma geral o Problema de Programação Linear (PPL) das seguintes maneiras:

• Forma Padrão / Não-Padrão* • Forma Canônica

• Forma Algébrica ou Reduzida • Forma Matricial

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Programação Linear – Formulações

Forma Padrão

Otimizar Z = Sujeito a: n n

x

c

x

c

x

c

1 1

₊

2 2

₊

...

₊

...

1 1 2 12 1 11

x

+

a

x

+

a

n

x

n

≤

b

a

Função Objetivo de MAXIMIZAÇÃO, restrições do modelo são apresentadas na forma de

INEQUAÇÕES do tipo MENOR OU IGUAL ou constantes POSITIVAS. Onde:

,

,...,

0 ...

...

2 1 2 2 1 1 2 2 2 22 1 21

≥

≤

+

≤

+

n m n mn m m n n

x

b

x

a

x

a

x

a

b

x

a

x

a

x

a

M

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Programação Linear - Formulações

Forma Não Padrão

Otimizar Z = Sujeito a: n n

x

c

x

c

x

c

1 1

₊

2 2

₊

...

₊

)

(

...

1 1 OU 2 12 1 11

x

+

a

x

+

a

n

x

n

≥

b

₌

a

Função Objetivo de MINIMIZAÇÃO, restrições do modelo são apresentadas na forma de

EQUAÇÕES ou INEQUAÇÕES do tipo MAIOR OU IGUAL ou constantes

NEGATIVAS. Sujeito a: Onde:

,

,...,

0 )

(

...

)

(

...

)

(

...

2 1 OU 2 2 1 1 OU 2 2 2 22 1 21 OU 1 1 2 12 1 11

≥

+

≥

+

≥

+

= = = n m n mn m m n n n n

x

b

x

a

x

a

x

a

b

x

a

x

a

x

a

b

x

a

x

a

x

a

M

(8)

Programação Linear - Formulações

FORMA REDUZIDA

∑

= n j j j

x

c

1

)

(

,...,

2 ,

1

=

≤

=

≥

∑

=

ou

m

i

b

x

a

n j i j ij Otimizar Z = Sujeito a: 1 = j

n

j

x

j

≥

0 ,

=

1 ,

2 ,...,

(9)

Programação Linear - Formulações

Onde

n é o número de variáveis do problema;

m é o número de restrições do problema;

i é o índice de uma determinada restrição

j é o índice de uma determinada variável;

c

_j

é o coeficiente (constante) da variável x

_j

da

função-objetivo;

a

_ij

é o coeficiente (constante) da variável x

_i

da j-ésima

(10)

Programação Linear - Formulações

Forma Matricial

x

c

T

.

b

x

A ≤

Otimizar Z = Sujeito a:

0 ≥

x

Onde:

x é o vetor coluna composto

das variáveis x

₁

, x

₂

,...,x

_n

;

A é uma matriz m x n,

composta pelos elementos a

₁₁

,

a ,...,a ;

0 ≥

x

11

a

₁₂

,...,a

_mn

;

b é um vetor coluna 1 x m

composto por b

₁

, b

₂

,...,b

_m

;

c é um vetor coluna n x 1

composto por c

₁

, c

₂

,...,c

_n

e c

T

o

vetor linha.

(11)

Programação Linear - Soluções

Solução viável: uma solução em que todas as

restrições são satisfeitas. O gráfico abaixo ilustra a

região viável de um determinado problema.

(12)

Programação Linear - Soluções

Solução ótima: uma solução viável que possui o valor

mais favorável a função objetivo em toda a região

viável,

podendo ser única ou não (Múltiplas soluções

ótimas). O gráfico abaixo nos mostra um exemplo de

(13)

Programação Linear - Soluções

Soluções ilimitadas: a solução existe mas não

podemos determinar a solução ótima, pois não existe

limite ao crescimento da função objetivo.

(14)

Programação Linear - Soluções

Soluções inviáveis: problema no qual não existe um

(15)

Programação Linear – Modelando problemas

através de PL

O problema das ligas metálicas

Uma metalúrgica deseja maximizar sua receita bruta. A tabela 1

ilustra a proporção de cada material na mistura para a obtenção das ligas passíveis de fabricação. O preço está cotado em Reais por tonelada da liga fabricada. Também em toneladas estão expressas as restrições de disponibilidade de matéria-prima. Formular o modelo de restrições de disponibilidade de matéria-prima. Formular o modelo de Programação Matemática. Liga especial de baixa resistência (*) Liga especial de alta resistência (*) Disponibilidade de matéria-prima Cobre 0,5 0,2 16 Ton Zinco 0,25 0,3 11 Ton Chumbo 0,25 0,5 15 Ton

(16)

Programação Linear – Modelando problemas

através de PL

Solução do problema da metalúrgica

Qual é o objetivo ?

“Uma metalúrgica deseja maximizar sua receita bruta”

Quais são as variáveis de decisão ?

x_i -> quantidade em toneladas produzidas pela liga especial de baixa resistência (i=1) e especial de alta resistência (i=2)

Qual é a função-objetivo ?

Maximizar a receita bruta, ou seja, de acordo com preço de venda (por ton) de cada liga:

(17)

Programação Linear – Modelando problemas

através de PL

Solução do problema da metalúrgica

Quais são as restrições?

Disponibilidade dos materiais (cobre, zinco e chumbo) 0,5x₁ +0,2x₂ ≤ 16 (cobre)

Quais são as restrições de negatividade ?

0,5x₁ +0,2x₂ ≤ 16 (cobre) 0,25x₁+0,3x₂ ≤ 11 (zinco) 0,25x₁+0,5x₂ ≤ 15 (chumbo)

x₁ ≥ 0, x

(18)

Programação Linear – Modelando problemas

através de PL

Solução do problema da metalúrgica

Problema completo: Maximizar z = 3.000x₁+5.500x₂ Sujeito a: Função-objetivo Sujeito a: 0,5x₁ +0,2x₂ ≤ 16 0,25x₁+0,3x₂ ≤ 11 0,25x₁+0,5x₂ ≤ 15 x₁ ≥ 0, x 2 ≥ 0; Restrições Não negatividade

(19)

Programação Linear – Modelando problemas

através de PL

Solução do problema da metalúrgica

Problema completo:

Maximizar z = 3.000x₁+5.500x₂ Sujeito a:

Quais são os valores de:

n = ? m =? Sujeito a: 0,5x₁ +0,2x₂ ≤ 16 0,25x₁+0,3x₂ ≤ 11 0,25x₁+0,5x₂ ≤ 15 x₁ ≥ 0, x 2 ≥ 0; m =? i = ? j = ? cj = ?

(20)

Programação Linear – Modelando problemas

através de PL

Solução do problema da metalúrgica

2

1 x

x

x =

500 .

5

000 .

3 =

T

c

15

11

16 =

b

5 ,

0

25 ,

0

3 ,

0

25 ,

0

2 ,

0

5 ,

0 =

A

(21)

Programação Linear – Modelando problemas

através de PL

Problema da dieta

Deseja-se determinar, em uma dieta de redução

calórica, as quantidades de certos alimentos que deverão

ser ingeridos diariamente, de modo que determinados

requisitos nutricionais sejam satisfeitos a custo mínimo.

Tal dieta está restrita a leite desnatado, carne magra de

boi, carne de peixe e uma salada. Sabendo-se ainda que

os requisitos nutricionais serão expressos em termos de

vitaminas A, C e D e controlados por suas quantidades

mínimas. A tabela 2 resume a quantidade de cada vitamina

em disponibilidade nos alimentos e a sua necessidade

diária para a boa saúde de uma pessoa.

(22)

Programação Linear – Modelando problemas

através de PL

Problema da dieta

Vitamina Leite (litro)

Carne (Kg) Peixe (Kg) Salada (100g)

Requisito nutricional mínimo

A 2 mg 2 mg 10 mg 20 mg 11 mg

Tabela 2. Restrições de nutrientes na dieta alimentar

A 2 mg 2 mg 10 mg 20 mg 11 mg

C 50 mg 20 mg 10 mg 30 mg 70 mg

D 80 mg 70 mg 10 mg 80 mg 250 mg

(23)

Programação Linear – Modelando problemas

através de PL

Solução do problema da dieta

Qual é o objetivo ?

“determinar...as quantidades de certos alimentos que deverão ser ingeridos...sejam satisfeitos a um custo mínimo.

Quais são as variáveis de decisão ? Quais são as variáveis de decisão ?

x_i -> quantidade do alimento do tipo (l, c, p ou s)

Qual é a função-objetivo ?

(24)

Programação Linear – Modelando problemas

através de PL

Solução do problema da dieta

Quais são as restrições?

Disponibilidade dos materiais 2x₁ + 2x_c + 10x_p + 20x_s ≥ 11 50x₁ + 20x_c + 10x_p + 30x_s ≥ 70 50x₁ + 20x_c + 10x_p + 30x_s ≥ 70 80x₁ + 70x_c + 10x_p + 80x_s ≥ 250

Quais são as restrições de negatividade ?

x_l ≥ 0, x

(25)

Programação Linear – Modelando problemas

através de PL

Solução do problema da dieta

Minimizar z = 2x_l+4x_c+1,5x_p+x_s Sujeito a: 2x₁ + 2x_c + 10x_p + 20x_s ≥ 11 2x₁ + 2x_c + 10x_p + 20x_s ≥ 11 50x₁ + 20x_c + 10x_p + 30x_s ≥ 70 80x₁ + 70x_c + 10x_p + 80x_s ≥ 250 x_l ≥ 0, x c ≥ 0, xp ≥ 0, xs ≥ 0;