ANO LECTIVO DE 2003/2004

ANO LECTIVO DE 2003/2004

Prof. Carlos R. Paiva

Departamento de Engenharia Electrotécnica e de Computadores

Instituto Superior Técnico

Nota prévia

Neste capítulo estudam-se as cavidades ópticas de Fabry-Perot constituídas por dois espelhos planos paralelos. Não obstante tratar-se de uma estrutura muito simples, tem particular importância para o estudo dos lasers semicondutores. Embora se devesse analisar o campo electromagnético em termos vectoriais, as ondas planas TEM que se propagam entre os dois espelhos são paraxiais. Assim, designando por U

(

x,y,z

)

a amplitude complexa da componente transversal do campo eléctrico, tem-se em valores instantâneos

(

x y z t

)

{

U

(

x y z

) (

i t

)

}

E_T , , , =ℜ , , exp − ω .

Porém, dado que as ondas são paraxiais – i.e., praticamente paralelas ao eixo óptico do sistema –, é possível reduzir as somas vectoriais a somas escalares. Pelo que se irá apenas considerar uma teoria escalar ao longo deste capítulo.

Notação

Nesta disciplina segue-se, ao contrário de outras disciplinas da área científica de Propagação

e Radiação, a convenção – usual em Óptica e Fotónica – de adoptar uma variação temporal da

forma exp

(

−iωt

)

em vez de exp

(

jωt

)

. Deste modo, em termos de amplitudes complexas, as equações de Maxwell escrevem-se

B E=iω × ∇ D J H = −iω × ∇ ρ = ⋅ ∇ D 0 = ⋅ ∇ B .

Em regiões sem fontes do campo, tem-se J=0 e ρ=0. Consequentemente os versores Rˆ e

Lˆ que caracterizam as polarizações circulares direita e esquerda, respectivamente, assumem a

forma

(

x y

)

R ˆ ˆ 2 1 ˆ _{= +i}

(

x y

)

L ˆ ˆ 2 1 ˆ _{= −i .}

Para recuperar a variação temporal, faz-se

( )

t = ℜ

{

ˆ exp

(

−i tω

)

}

R R

( )

t = ℜ

{

ˆ exp

(

−i tω

)

}

L L . Assim, vem

( )

1 ˆcos

( )

ˆsin

( )

2 t = ⎡_⎣ ωt + ωt ⎤_⎦ R x y

( )

1

( )

( )

Intensidade óptica

Em Fotónica usa-se, com frequência, o conceito de intensidade óptica. Nesta breve nota introdutória explica-se qual é a relação entre a intensidade óptica e o vector de Poynting. Definem-se, como é sabido, o vector de Poynting (instantâneo)

( )

t E

( ) ( )

t H t

S = ×

e o vector de Poynting complexo

∗ × = E H S_c 2 1 .

Nestas condições, resulta sucessivamente

( )

_{t =ℜ}

{

_e−iωt

} {

_{×ℜ e}−iωt

}

H E S

( )

_{t =}

(

_e−iωt ₊ ∗_eiωt

) (

_{× e}−iωt ₊ ∗_eiωt

)

H H E E S 2 1 2 1

( )

_t

(

_e-2iωt _e2iωt

)

4 1 _× ∗ ₊ ∗_{× + × +} ∗_× ∗ = E H E H E H E H S

( )

_{t =ℜ}

{ }

_{+ ℜ}

{

_{× e}−2iωt

}

2 1 H E S S c .

Assim, o valor médio no tempo é dado por

( )

{ }

Sc

St =ℜ .

A intensidade óptica define-se, então, como

{ }

Sc

ℜ =

Bibliografia

• B. E. A. Saleh and M. C. Teich, Fundamentals of Photonics (New York: Wiley, 1991), pp. 310-322

• A. E. Siegman, Lasers

(Sausalito, California: University Science Books, 1986) • A. Yariv, Optical Electronics in Modern Communications

(New York: Oxford University Press, 5th ed., 1997), Chap. 4 • P. W. Milonni and J. H. Eberly, Lasers

(New York: Wiley, 1988), pp. 359-363 • M. Born and E. Wolf, Principles of Optics

(Oxford: Pergamon Press, 7th (expanded) ed., 1999), pp. 359-409 • P. Yeh, Optical Waves in Layered Media

(New York: Wiley, 1988), pp. 144-149 • H. A. Haus, Waves and Fields in Optoelectronics

1. Cavidades de Fabry-Perot

Vamos começar por analisar os modos de oscilação de uma cavidade óptica constituída por

dois espelhos planos paralelos – tal como se indica na Fig. 1. Este tipo de cavidade óptica é conhecida na literatura por cavidade de Fabry-Perot. Apesar de ser um dos tipos de cavidades

mais simples, este tipo de geometria tem particular interesse para os lasers semicondutores.

Fig. 1 Cavidade óptica de Fabry-Perot.

Sejam Γ₁ e Γ₂ os coeficientes de reflexão dos espelhos 1 e 2, respectivamente. Admite-se que Γ₁Γ₂ >0. Se se designar por α o coeficiente de atenuação (de potência) no _s meio dieléctrico entre os espelhos, tem-se

(

) ( )

[

1 2

]

0

1 exp d exp i U

U = Γ Γ −α_s φ (1.1)

para o percurso indicado na Fig. 1. Note-se que

0 1 U U =Γ (1.2) d (1) (2)

U

0

U

2

U

1

em que, de acordo com a Eq. (1.1),

( )

φ ρ = Γ exp i (1.3) onde se fez

(

−α_sd

)

Γ Γ = ρ _{1 2}exp . (1.4) Naturalmente que x f f f d v f d k = π = π = φ 2 4 2 (1.5)

onde se introduziu a frequência

d n c d v f_x f 2 2 = = (1.6)

em que n é o índice de refracção do meio, v_f =c/n é a correspondente velocidade de fase, tendo-se f v f c n k n k = ₀ = ω = 2π (1.7)

para a constante de propagação entre espelhos.

Tal como na Eq. (1.2) vem U₂ =ΓU₁, U₃ =ΓU₂, etc., de modo que

(

l =0,1,"

)

0

U U l

l =Γ . (1.8)

∑

∞

∑

= ∞ = Γ = = 0 0 0 l l l l U U U . (1.9) Porém, tem-se

∑

∞ = −Γ = Γ 0 1 1 l l _(1.10)

desde que Γ <1. Logo, substituindo a Eq. (1.10) na Eq. (1.9), obtém-se

Γ − = 1 0 U U . (1.11)

Introduzindo as reflectividades R₁ e R₂ dos dois espelhos, com

2 1 1 =Γ R (1.12a) 2 2 2 =Γ R (1.12b)

infere-se da Eq. (1.4) que

(

d

)

(

d

)

R

R − α_s = − α_r =

ρ2 _{1 2}exp 2 exp 2 _(1.13)

onde α_r representa o coeficiente de atenuação total. Assim, da Eq. (1.13), vem

2 1 m m s r =α +α +α α (1.14a) ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = α 1 1 1 ln 2 1 R d m (1.14b) ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = α 2 2 1 ln 2 1 R d m . (1.14c)

2 0 2 1 2 = _−ρ φ = i e I Z U I (1.15)

de acordo com as Eqs. (1.3) e (1.11), em que Z =Z₀ /n é a impedância do meio

(

Z0 = µ0/ε0

)

e onde se introduziu I U /2Z

2 0

0 = . Note-se, todavia, que

(

)

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ φ ρ + ρ − = ρ − φ 2 sin 4 1 1 _ei 2 2 2 _(1.16) donde

(

)

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ φ ρ + ρ − = 2 sin 4 1 2 2 0 I I . (1.17)

Como I_max = I

(

φ=0

)

, tem-se

(

)

2 0 max 1−ρ = I I (1.18) e ainda max 2 2 2 1 sin 2 I I φ π = ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ + ⎜_⎝

F

⎟_⎠ ⎜ ⎟_{⎝ ⎠} (1.19)

em que se introduziu o parâmetro

F

(“finesse”) tal que

1 π ρ ρ = −

F

. (1.20)

Atendendo à Eq. (1.13), é ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛_{− α} = ρ _rd 2 1 exp (1.21) pelo que

(

)

(

)

exp / 2 1 exp r r d d π α α − = − −

F

. (1.22)

Nos casos de interesse prático tem-se α d_r <<1, pelo que

(

−α_r d

)

≈1−α_rd exp (1.23a) 2 1 2 1 exp d rd r α − ≈ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛_{− α (1.23b)} donde resulta rd π α ≈

F

. (1.24)

Para calcular α_rd a partir de

F

, faz-se x=exp

(

−α_r d/2

)

. Então, α_r d =−2lnx e tem-se 2 1 2 2 x= − π + _{+ ⎜}⎛ π ⎞_⎟ ⎝ ⎠

F

F

. (1.25)

Para

F

=10, vem x=0.8552 e, consequentemente, α d_r =0.313. Agora, introduzindo a Eq. (1.5) na Eq. (1.19), obtém-se

( )

max 2 2 2 1 sin x I I f f f π π = ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ +_{⎜ ⎟ ⎜ ⎟} ⎝

F

⎠ _{⎝ ⎠} . (1.26)

As frequências de ressonância f da cavidade correspondem a _q I

( )

f_q =I_max. Donde

(

q=0,1,2,"

)

x q q f

f = . (1.27)

O valor mínimo da intensidade óptica, I_min, ocorre nas frequências min

q f tais que

(

q=0,1,2,"

)

(

2 1

)

2 1 min _{= f q+} f_{q x} (1.28) sendo max min 2 2 1 I I π = ⎛ ⎞ + ⎜ ⎟ ⎝

F

⎠ . (1.29)

Note-se que a separação entre frequências de ressonância é a mesma que entre mínimos e é dada por

x f f =

∆ . (1.30)

Definindo a largura de banda fδ de cada modo de oscilação de forma que

2 / max I I ≥ , tira-se que 1 2 sin 2 x f f π δ π − ⎛ ⎞ = _{⎜ ⎟}

F

. (1.31)

Fig. 2 Intensidade óptica dentro da cavidade de Fabry-Perot em função da frequência.

Naturalmente que δf →0 quando

F

→ ∞. Para

F

>>1 pode-se escrever

x f f

δ ≈

F

(1.32)

o que mostra que a largura de banda é inversamente proporcional à “finesse” da cavidade. Na Fig. 2 representa-se a intensidade óptica, dentro da cavidade, em função da frequência.

É usual introduzir o conceito de semi-vida dos fotões na cavidade, τ , como sendo _p

f r p v α = τ 1 . (1.33)

Assim, tendo em consideração as Eqs. (1.2), (1.3) e (1.13), vem então para a evolução temporal da energia armazenada na cavidade

p W dt dW τ − = (1.34) fq-1 fq fq+1 fx fx _f I( f ) Imax Imax/2 I_min δf

pelo que

( )

( )

_⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ τ − = p t W t W 0 exp . (1.35)

A semi-vida τ dos fotões na cavidade pode relacionar-se com a largura f_p δ de cada ressonância óptica. Com efeito, de acordo com a Eq. (1.33), tem-se

2 2 2 p r f x d d v f π τ α π π = =

F

⇒

F

=2π f_xτ_p. (1.36)

Assim, atendendo à Eq. (1.32), obtém-se

π ≈ δ τ 2 1 f p . (1.37)

Na ausência de perdas (α_r =0) seria

F

= ∞ e δf =0 pelo que, nesse caso limite, τ_p =∞. Define-se o factor de qualidade Q da cavidade para a frequência ω₀ =2 fπ ₀ como sendo

dt dW

W

Q=ω₀ . (1.38)

Portanto, de acordo com a Eq. (1.34), vem

p f

Q=2π ₀τ (1.39)

f rv f Q α π = 2 0 _{. (1.40)}

Assim, das Eqs. (1.36) e (1.39), vem

0 x f Q f ≈

F

. (1.41)

Na prática f₀ >> f_x, pelo que Q>>

F

. Note-se que – de acordo com a Eq. (1.32) – se pode escrever, ainda, a Eq. (1.41) na forma

f f Q

δ

≈ 0 _{. (1.42)}

Esta última equação explica, também, um facto importante: porque Q∝ f₀, os factores de qualidade das cavidades ópticas são muito maiores do que os factores de qualidade das

2. Filtros de Fabry-Perot

Vamos agora analisar a cavidade de Fabry-Perot montada em transmissão – tal como se indica na Fig. 3. Seja I_t = U_t 2/ Z2 ₀ a intensidade óptica transmitida e I_i = U_i 2 / Z2 ₀ a intensidade óptica incidente.

Fig. 3 Cavidade de Fabry-Perot montada em transmissão Define-se a transmissividade da cavidade óptica como

i t I I

T = . (2.1)

Sendo τ₁ (resp., τ₂) o coeficiente de transmissão do espelho 1 (resp., do espelho 2), tem-se

i U U₀ =τ₁ (2.2a) U U_t =τ₂ . (2.2b) = d (1) (2)

U

0

U

1

U

i

U

t τ1 τ2

.

.

U

2

Z U I 2 2 0 0 = (2.3a) Z U I 2 2 = (2.3b) pelo que i I n I 2 1 0 = τ (2.4a) I n I_t 2 2 1 τ = . (2.4b) Notando que i t i t I I I I I I I I ₀ 0 = (2.5)

infere-se, então, que

0 2 1 I I T T T = (2.6)

onde se introduziram os parâmetros

2 1 1 =τ T (2.7a) 2 1 1 =τ T . (2.7b)

Assim, de acordo com a Eqs. (1.18) e (1.26), tira-se da Eq. (2.6)

max 2 2 2 1 sin x T T f f π π = ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ +_{⎜ ⎟ ⎜ ⎟} ⎝

F

⎠ _{⎝ ⎠} (2.8) em que se fez

(

)

2 2 1 max 1−ρ = T T T . (2.9)

Uma primeira constatação é que a transmissividade dada pela Eq. (2.8) tem a mesma forma que a intensidade óptica (interna) dada pela Eq. (1.26). Isto significa que, quando montada em transmissão, a cavidade de Fabry-Perot pode ser considerada como um filtro cuja função característica (na frequência) tem o aspecto da Fig. 2. Os valores máximos da transmissividade são dados pela Eq. (2.9) e os valores mínimos por

max min 2 2 1 T T π = ⎛ ⎞ + ⎜_⎝

F

⎟_⎠ . (2.10)

Um outro aspecto interessante, é o seguinte: a cavidade de Fabry-Perot pode, ainda, ser considerada como um analisador espectral ou como um filtro sintonizável. De facto, como a transmissividade é uma função da frequência dada pela Eq. (2.8), este tipo de cavidade pode funcionar como um analisador espectral. Por outro lado, também se pode entender o funcionamento deste sistema como um filtro sintonizável. Com efeito, uma pequena alteração na separação d entre espelhos (Fig. 1), permite fazer variar a função de transferência da Fig. 2. Sendo ∆d a variação provocada na distância d, obtém-se

d d v q f_q =− f ∆ ∆ ₂ 2 ⇒ d d f f_q =− q ∆ ∆ (2.11)

de acordo com as Eqs. (1.6) e (1.27). Também, concomitantemente,

d d f f x x =− ∆ ∆ . (2.12)

Note-se, porém, que – em geral – a variação ∆ é desprezável face a f_x ∆ , uma vez que f_q f

unívoco do filtro sintonizável (ou no analisador espectral) baseado neste tipo de cavidade: sendo B a banda de frequências a analisar, é necessário que se verifique que

x f f

B<∆ = . (2.13)

Caso contrário, dado que a transmissividade é uma função periódica, pode registar-se uma ambiguidade entre ressonâncias consecutivas. Por essa razão dá-se o nome de banda espectral

ADENDA

Reflectividade da cavidade de Fabry-Perot

Nesta adenda vai-se calcular a reflectividade da cavidade de Fabry-Perot representada na Fig. 3. Em tudo o que se segue admite-se que o meio exterior é o mesmo, i.e., supõe-se que

2 1 =Γ

Γ (logo, também, R₁ =R₂).

Comecemos por calcular o campo reflectido U_r. Naturalmente que

∑

∞ = = 0 l rl r U U (A.1) onde se introduziu l rl U U =γ (A.2) com

( )

φ µ = γ exp i (A.3a)

(

−α_sd

)

Γ τ = µ _{2 2}exp . (A.3b)

Nestas condições resulta da Eq. (A.1) que

U

U_r =γ . (A.4)

A correspondente intensidade óptica reflectida será dada por

I n

I_r = 1 γ 2 . (A.5)

i r I I

R= (A.6)

infere-se da Eq. (A.5) que

0 2 1 0 0 2 I I T I I I I n R i γ = γ = . (A.7) Logo, como

(

)

₂ 1 2 2 2 2 2 2 exp T R d T R − α_s =ρ = µ = γ (A.8) tira-se que max 2 2 2 1 sin x R R f f π π = ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ +_{⎜ ⎟ ⎜ ⎟} ⎝

F

⎠ ⎝ ⎠ (A.9) onde se introduziu

(

)

max 1 2 1 2 1 2 2 max 1 R R T T T R = ρ ρ − ρ = . (A.10)

Comparando as Eqs. (2.8) e (A.9), conclui-se que

T R T T R R 1 2 max max ₌ρ = (A.11) pelo que

(

d

)

T R R= ₂ exp −2α_s . (A.12)