Otimização Linear. Profª : Adriana Departamento de Matemática. wwwp.fc.unesp.br/~adriana

Otimização Linear

Profª : Adriana

Departamento de Matemática adriana@fc.unesp.br

Revisão – Método Simplex

Solução básica factível:

Solução geral usando a partição básica: , xˆ xˆ xˆ N B       = ˆ 1 0 ˆ 0 B N x B b x −  =    =  em que













=

N B

x

x

x

Revisão

N T N x N 1 1 T B(B b B Nx ) c x c ) x ( f B + − = − −        N T N N 1 T B 1 T BB b c B Nx c x c − + = − − valor da solução básica associada a partição

A função objetivo f(x)=cT_{x considerando a partição básica:}

( ) T T_B T_N B T_{B B} T_{N N} N x f x c x c c c x c x x     = = _{  } = +   ˆ ( ) f x       = N B x x x

Revisão

Definição (vetor multiplicador simplex) é o vetor  (m  1),

também chamado de vetor das variáveis duais dado por:

1 T B − = Bc T  T _B B = c

Vetor multiplicador simplex na expressão de f(x):

ˆ ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 N₁ n m n m n m T T N N N N N f x = f x + c −λ a x + + c ₋ − λ a ₋ x ₋ T -1 T T T T B N N N N N N N N ˆ ˆ ˆ (x) (x) c B Nx c x (x) TNx c x ( ) ( ) f = f − + = f − + = f x + c −λ N x

Custos relativos ou custos reduzidos

1

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

( )

( )

N₁ 2 2 n m n m N N N N N

f

x

=

f

x

+

c x

+

c x

+ +

c

₋

x

₋ j ˆ ( ) j j T N N N c = c − λ a

Revisão

Propriedade: (condição de otimalidade) Considere uma partição básica factível com solução básica factível

associada e seja vetor multiplicador

simplex.

Se , então a solução básica é ótima.

1 T B T B c − = 



B N



A = 0 b B xˆ_B = −1  m n , , 1 j , 0 ) c ( _{N N} j j T  = − − λ a 

“Se a condição de otimalidade for verificada, então a solução

básica é ótima”.

Caso não seja ótima ( ), perturbamos essa solução básica factível de modo a diminuir o valor da função objetivo. 0 ˆ k − = _{N N} N T k k c c λ a

Revisão

Estratégia Simplex: perturbar soluções básicas factíveis que consiste em alterar as variáveis não-básicas por:

     − = =  = . , ,...., 2 , 1 , 0 negativo) relativo custo com (variável , 0 ε k i m n j x x N N j k

A função objetivo passa a valer:

   m n N m n k N k N N N c c c f f _N − − + + + + + = x x x 0 ˆ ε ˆ 0 ˆ ) ˆ ( ) ( 1 1   x x ε ˆ ) ˆ ( _N k c f + = x  f (xˆ)

Revisão

Alteração nas variáveis não-básicas: k

x x x N N m n k N                  =                 = − 0 ε 0 1 N     x ε ε _B B N B B b B Nx xˆ B a_Nk xˆ y x y -1 -1 -1 − = − = − =   

Alteração nas variáveis básicas:

Direção Simplex

Fornece os coeficientes de como as variáveis básicas são alteradas na estratégia simplex.

Revisão

Equação vetorial: x_B = xˆ_B − y ε

Como:

como devemos ter

0  i B x ε  0 0 ε ˆ −  = _{B i} B x y x i i i B y x i ˆ ε  Menor valor de :       =  = = y i m y x y x i i B B _i ,..., 1 , 0 que tal ˆ mínimo ˆ εˆ   Tamanho do passo

então para todo 0

y_i 

0

y_i  x_Bi =xˆ_Bi −y_i0

Revisão

Ao resolvermos

Nova partição:

A variável básica se anula (sair da base)

A variável não-básica torna-se positiva (entrar na base)  B xˆ k N xˆ        = =  / y 0 y xˆ min y xˆ ˆ _i i B B _i   k N B _ ] a , , a , , [a B _{B B B} m 1    = ] a , , a , , [a N _{N N N} m n k 1 − =   → → ] a , , a , , [a B´ _{B N B} m k 1   = ] a , , a , , [a N´ _{N B N} m n 1 − =   

Método Simplex - comentários

•

Há uma versão do método usando tabelas,

conhecida como “Tableau”.

•

Estratégias para determinar partição inicial (Fase I).

•

Algoritmo é finito, porém pode ocorrer ciclagem.

•

Na análise de pior caso (complexidade de

algoritmo) é um algoritmo que pode ter um número exponencial de iterações.

•

Na prática, têm obtido sucesso na resolução de problemas de programação linear.

•

Utiliza três sistemas lineares que devem ser resolvidos de forma eficiente (LU).

Método Simplex – Exemplo

Considere o problema de otimização linear:

Exemplo

Os coeficientes das variáveis de folga formam uma matriz identidade:

Fase II: Fase I:

Exemplo

Exemplo

Método Simplex em Tabelas



Maneira prática de se trabalhar



Interessante para a compreensão do método



Não é eficiente computacionalmente

Método Simplex em Tabelas

Parâmetros necessários para resolução do problema: coeficientes de um problema de otimização linear

✓ _{x1 x2 xn: variáveis}

✓ _{c1 c2 cn f : coeficientes da função objetivo} ✓ a₁ a₂ a_n b: coeficientes das restrições

Exemplo

Na forma padrão, temos:

Matriz básica. No método por tabelas, será sempre a matriz identidade

Se todos os valores forem positivo A solução é ótima, cc, a variável mais negativa é candidata a entrar na base

Variável básica: custo relativo é zero! Se não for , então temos q torna-lo nulo. x₁ x₂ x₃ x₄ x₅ b -1 -2 0 0 0 f 1 1 1 0 0 6 1 -1 0 1 0 4 -1 1 0 0 1 4

Exemplo

 Sabemos que podemos escrever cada variável

básica em função das demais variáveis (no caso, das variáveis não-básicas, x₁ e x₂). Como B = I, isso é feito muito facilmente:

 Basta atribuir valores às variáveis não-básicas x₁ e

Exemplo

• Se fixarmos as variáveis não-básicas x₁ e x₂ em seus

limites, x₁ = 0 e x₂ = 0, então as demais variáveis têm como valores x₃ = 6, x₄ = 4, x₅ = 4 e produzem uma solução

factível para o problema que corresponde a um vértice da região factível.

• Em uma tabela simplex, a função objetivo é sempre escrita em termos das variáveis não-básicas: f = – x₁ – 2x₂

x₁ x₂ x₃ x₄ x₅ b

-1 -2 0 0 0 f

1 1 1 0 0 6

1 -1 0 1 0 4

Exemplo

 Aumentando x₁ ou x₂, a função objetivo diminui.

Portanto, a solução básica:

(x₁ = 0, x₂ = 0, x₃ = 6, x₄ = 4 e x₅ = 4 ) não é ótima.

 Aumentar x₂ e mantendo x₁ = 0 , a função objetivo

diminui com uma taxa de variação –2 e quanto maior o valor de x₂, menor será o valor de f.

 Ao aumentar x₂, o que acontece com as variáveis

Exemplo

 Se x₂ cresce e x₁ = 0 os valores das variáveis básicas

podem aumentar ou diminuir, entretanto, deve-se preservar a não-negatividade das variáveis:

Exemplo – Solução ilimitada

 Se no caso anterior tivéssemos:

Solução ilimitada!! x₁ x₂ x₃ x₄ x₅ b -1 -2 0 0 0 f 1 1 1 0 0 6 1 -1 0 1 0 4 -1 1 0 0 1 4

Exemplo

 Aumentando o valor de x₂ e mantendo x₁ = 0 os valores das variáveis básicas podem aumentar ou diminuir.

Para preservar a não-negatividade das variáveis:

x₂  6

x₂  4

Para x₂ = 4, x₅ se anula. Temos uma nova solução:

variáveis não-básicas: x₁ = 0, x₂ = 4 entra na base

variáveis básicas: x₃ = 2, x₄ = 8 e x₅ = 0 sai da base Valor da f.o.: f = 0 – 2 x₂ = - 8.

Partição anterior: B = [3, 4, 5] NB = [1, 2] Nova partição: B = [3, 4, 2] NB = [1, 5]

Exemplo

 Nova base: B = [3, 4, 2] NB = [1, 5]

 As colunas da base devem formar uma identidade

entra na base sai da base Efetuar um pivotamento!!! x₁ x₂ x₃ x₄ x₅ b VB -1 -2 0 0 0 f x₃ 1 1 1 0 0 6 x₄ 1 -1 0 1 0 4 x₅ -1 1 0 0 1 4

Exemplo

 Nova base: B = [3, 4, 2] NB = [1, 5]

 As colunas da base devem formar uma identidade

pivô Restrição atingida

entra na base sai da base x₁ x₂ x₃ x₄ x₅ b VB -1 -2 0 0 0 f x₃ 1 1 1 0 0 6 x₄ 1 -1 0 1 0 4 x₅ -1 1 0 0 1 4

Exemplo

Tabela simplex – iteração 1. Variáveis básicas: x₃, x₄, x₂

Os coeficientes das variáveis não básicas x₁ e x₅ são chamados de custos relativos x₁ x₂ x₃ x₄ x₅ b VB -3 0 0 0 2 f + 8 x₃ 2 0 1 0 -1 2 x₄ 0 0 0 1 1 8 x₂ -1 1 0 0 1 4

Exemplo

Aumentando o valor da variável x₁ e x₅ = 0 diminui o valor da f. o. diminui com uma taxa de variação –3.

Equações do sistema com x₅ = 0

x₁  1 x₁ x₂ x₃ x₄ x₅ b VB -3 0 0 0 2 f + 8 x₃ 2 0 1 0 -1 2 x₄ 0 0 0 1 1 8 x₂ -1 1 0 0 1 4

Exemplo

Enquanto a variável não-básica x₁ = 1, a variável x₃ se anula. Temos uma nova solução básica :

variáveis não-básicas: x₁ = 1, x₅ = 0 entra na base

variáveis básicas: x₃ = 0, x₄ = 8 e x₂ = 5 sai da base

• Redefinindo as variáveis:

variáveis não-básicas: x₃ = 0, x₅ = 0

variáveis básicas: x₁ = 1, x₄ = 8 e x₂ = 5

Partição anterior: B = [3, 4, 2] NB = [1, 5] Nova partição: B = [1, 4, 2] NB = [3, 5]

Exemplo

entra na base

sai da base

 Nova base: B = [1, 4, 2] NB = [3, 5]

 As colunas da base devem formar uma identidade

x₁ x₂ x₃ x₄ x₅ b

VB -3 0 0 0 2 f + 8

x₃ 2 0 1 0 -1 2

x₄ 0 0 0 1 1 8

Exemplo

 Nova base: B = [1, 4, 2] NB = [3, 5]

 As colunas da base devem formar uma identidade

pivô Efetuar um pivotamento!!! entra na base sai da base x₁ x₂ x₃ x₄ x₅ b VB -3 0 0 0 2 f + 8 x₃ 2 0 1 0 -1 2 x₄ 0 0 0 1 1 8 x₂ -1 1 0 0 1 4

Exemplo

 Com essa tabela:

x₁ x₂ x₃ x₄ x₅ b

VB 0 0 3/2 0 ½ f + 11

x₁ 1 0 ½ 0 -1/2 1

x₄ 0 0 0 1 1 8

Exemplo

 Como essa tabela: (x₃, x₅) = (0, 0), (x₁, x₄,x₂ ) = (1, 8, 5) (solução básica) e f = -11.

 Atribuindo-se valores positivos a x₃ ou x₅) a função

objetivo cresce, ou seja, f(x) ≥ -11 para qualquer solução factível x, o que significa que a solução atual é ótima.

Todos os custos relativos são não-negativos → condição de otimalidade foi verificada!!

Base Inicial

 Para que o método simplex possa ser aplicado,

precisamos de uma solução básica factível inicial (Fase I)

 Até agora supomos que sabemos facilmente

encontrar uma base factível inicial. Isso é verdade, quando todas as restrições forem de ≤. Por exemplo:

Após a introdução das variáveis de folga:

Base Inicial

A matriz dos coeficientes das restrições agora é dada por [A I] e uma partição básica factível é dada por:

Base Inicial

 Suponha agora que as restrições são, originalmente,

de igualdade:

Precisamos encontrar uma partição básica factível de A, isto é, uma partição da forma A = [B N] tal que existe B-1 _{e x}

Quantas partições existem?

 Seja A_{10 x 20}

Precisamos identificar dez colunas L.I. de A para formar B, e a solução do sistema Bx_B = b, deve satisfazer x_B ≥ 0.

 Procedimento possível:

◦ 1. Escolher dez (m) colunas e resolver o sistema. ◦ 2. Verificar se x_B ≥ 0.

◦ 3. Se não, escolher outras dez colunas e retornar ao passo 2.

Quantas partições existem?

 Se formos testar partição a partição, quantos testes

temos que fazer ?

Método das duas fases

 As variáveis de folga foram úteis para a classe de

problemas:

 Se não for o caso, podemos introduzir novas

variáveis como se fossem de folga: equivalente a:

uma partição [I N] em que as variáveis de folga começam como as variáveis básicas.

Fase I

 Obviamente, essas variáveis não podem aparecer

na solução final (pois elas não existem - são variáveis artificiais).

 Método duas-fases: resolvemos primeiro um

problema:

Variáveis artificiais. Não fazem parte do problema original e devem ser

Fase I

 Se conseguimos uma solução de custo zero para o

problema acima (fase I), a base final não contém nenhuma variável artificial (por quê ?)

 Neste caso, a base final do problema da fase I é

Fase I

 E se não conseguimos uma solução de custo zero?

(Isto é, na solução ótima da fase I, existe uma variável artificial na base).

Exemplo

Qual o problema da Fase I a

resolver?

 Caso A: introduzimos uma variável artificial pra

cada restrição:

Qual o problema da Fase I a

resolver?

 Caso B: note que x₄ já fornece uma coluna da

matriz identidade. Assim, a rigor, precisamos apenas de uma variável artificial

Fase I

 Uma vez encontrada uma solução básica em que

todas as variáveis artificiais são não-básicas, temos uma base formada por colunas originais e,

portanto, podemos aplicar o método simplex para resolver o problema original a partir dessa base.

 Método Simplex duas fases:

◦ _{Fase I – resolve o problema artificial.}

◦ _{Fase II – resolve o problema original, a partir da base}

Exemplo

• Considere o problema:

E o problema artificial definido no caso B em que apenas uma variável artificial é introduzida:

Exemplo

• Para resolver o problema artificial, aplicamos o método simplex:

Exemplo

• Fase II: Aplicar o método simplex a partir da base

obtida na Fase I. A variável artificial é descartada e os índices não-básicos são redefinidos: N₁ = 4, N₂ = 3.

Base formada por variáveis originais do problema. A variável artificial x₅ torna-se não básica. Fim da Fase I.

Método M-grande

 Em vez de resolver um problema auxiliar (Fase I)

para encontrar a base, simplesmente penalizamos as variáveis artificiais no problema original (Fase II), de modo a garantir que elas sejam nulas na solução ótima. Um objetivo alternativo para o problema artificial é:

Método M-grande

Valor suficientemente grande para garantir que x₅ não aparece na solução ótima.