TRANSMISSÃO DE CALOR E MASSA 1 PROBLEMAS
1. Uma placa plana tem uma superfície isolada e a outra exposta ao sol. A superfície exposta ao sol absorve radiação à taxa de 800 W/m2 e perde calor por convecção e radiação para o ar ambiente a 300 K. Se a emissividade da superfície for 0.9 e o coeficiente de convecção for 12 W /m2 ºC, determine a temperatura da placa em regime estacionário.
2. Uma placa de 50 cm x 50 cm recebe uma potência de 400 W e dissipa calor por convecção e radiação pela outra superfície para o ar ambiente a 290 K. A emissividade da superfície da placa é 0.9 e o coeficiente de convecção é 15 W / m2 ºC. Determine a temperatura da placa. 3. Uma tubagem com 2 m de comprimento e 5 cm de diâmetro exterior transporta água quente,
dissipando calor por convecção e radiação para o meio ambiente a 0ºC. Seja 125 ºC a temperatura da superfície exterior da tubagem, a qual pode ser assumida como um corpo negro. Determine a taxa de transmissão de calor para o exterior, sabendo que o coeficiente de convecção exterior é 20 W/m2 ºC.
4. Durante o Inverno, a superfície de um rio forma uma camada de gelo de espessura desconhecida. A temperatura da água no lago encontra-se a 4º C e a temperatura do ar ambiente é -30 ºC. A temperatura na interface entre a água e o gelo é 0ºC. A condutibilidade térmica do gelo é 2.25 W/m K. Os coeficientes de convecção do lado do ar e do lado da água são 100 W/m2 K e 500 W/m2 K, respectivamente. Calcule a temperatura na superfície do gelo
em contacto com o ar e a espessura da camada de gelo.
5. Em determinadas condições, a temperatura na superfície da pele de um indivíduo é 30 ºC, sendo inferior à temperatura do corpo, que é de 36.5 ºC. A transição entre estas temperaturas tem lugar numa camada da pele coma espessura de 1 cm. A condutibilidade térmica é 0.42 W/m K.
(a) Estime o fluxo de calor que se escapa através da pele, considerando-a um meio condutor em repouso.
(b) Supondo que o ar ambiente está a 20 ºC, determine o coeficiente de convecção.
6. Considere a condução de calor numa placa rectangular em regime estacionário. A superfície x = 0 é aquecida electricamente à taxa qo W/m2. A superfície x = a é mantida à temperatura To.
A superfície y = b é mantida isolada. A superfície y = 0 dissipa calor por convecção para um meio à temperatura T∞ com um coeficiente de convecção h. A condutibilidade térmica do
material é uniforme e não há geração interna de energia. Formule o problema de condução de calor, estabelecendo a equação que rege a distribuição de temperaturas na placa e as condições de fronteira.
7. Considere uma esfera de raio ro e condutibilidade térmica k. A bola é inicialmente aquecida
num forno até atingir uma temperatura uniforme T1, sendo no instante t = 0 subitamente
imersa num banho de óleo à temperatura T∞. Supondo que o coeficiente de convecção é
tempo, isto é, estabeleça a equação diferencial que permite determinar a variação da temperatura em função do tempo e do raio para t > 0 e as condições de fronteira.
8. Considere um cone truncado com 30 cm de altura, 15 cm de diâmetro na base e 7.5 de diâmetro no topo. A superfície inferior é mantida a 6 ªC e a superior a 40 ºC. A superfície lateral está isolada. Assuma condução unidimensional. Determine a a taxa de transmissão de calor através do cone, supondo que a condutibilidade térmica do material é 1 W /m ºC.
9. Considere um tronco de cone como indicado na figura. As coordenadas x0 e x1 indicam as
posições das faces em relação ao vértice do cone de onde esse tronco foi seccionado. Considere que as faces laterais se encontram isoladas e que a temperatura em cada secção x = constante é uniforme. Na face maior conhece-se a temperatura e na face menor o fluxo de calor imposto. Determine a distribuição de temperatura ao longo de x.
x0, r0
r
T1, x1, r1 x
10. Uma parede plana é composta por três materiais, A, B e C, dispostos em série, com condutibilidades térmicas diferentes, sendo kA > kB > kC e LA = LB = LC . Suponha que a
condução de calor na parede pode ser tratada como unidimensional e que ambas as faces da placa estão em contacto com um fluido, sendo T∞,A e hA a temperatura ambiente e o
coeficiente de convecção, respectivamente, do lado da placa em contacto com o material A e
T∞,C e hC a temperatura ambiente e o coeficiente de convecção, respectivamente, do lado da
placa em contacto com o material C. Seja T∞,A > T∞,C e hA > hC.
(a) Trace, com o rigor possível, o gráfico T(x), em regime estacionário, sendo x a direcção normal à parede, desde um ponto onde T = T∞,A até outro onde T = T∞,C. Marque a
localização das extremidades da placa e das interfaces entre os materais. Tenha em atenção a variação relativa das temperaturas no fluido dos dois lados da placa e em cada material constituinte da placa.
(b) Suponha que, num determinado instante, a temperatura T∞,A aumenta, mantendo-se T∞,C, hA e hC inalteráveis. Diga, justificando, se a temperatura na extremidade da placa em
contacto com material C aumenta, diminui ou não se altera.
11. Uma parede plana é composta por dois materiais, A e B, de igual espessura, mas com condutibilidades térmicas diferentes, kA e kB, respectivamente. A parede está em contacto
com um fluido à temperatura T∞,A do lado do material A, sendo hA o coeficiente de
coeficiente de convecção. Considere o caso de regime estacionário com T∞,A > T∞,B. Diga,
justificando, em qual dos casos (a) a (d) se pode garantir que a temperatura na interface entre os dois materiais é mais próxima de T∞,A do que de T∞,B, isto é, T∞,A-Tinterface < Tinterface-T∞,B:
(a) kA > kB e hA > hB
(b) kA > kB e hA < hB
(c) kA < kB e hA > hB
(d) kA < kB e hA < hB
12. Considere uma placa plana infinita de espessura 2L com uma distribuição inicial de temperaturas como mostra a figura:
isto é, na parte central entre - nL e + nL a temperatura inicial é To e entre L e nL, tal como entre - L e –nL, a temperatura inicial é Ta, igual à temperatura ambiente. O coeficiente de transmissão de calor à superfície é h.
(a) Esboce com um certo rigor, num gráfico (T, x), as distribuições de temperatura para t → ∞ e para um instante entre t = 0 e t → ∞.
(b) Esboce com um certo rigor, num gráfico (T, t), as distribuições de temperatura no plano médio da placa e na sua superfície.
13. Uma placa plana, unidimensional, homogénea, com condutibilidade térmica constante, separa um fluido A, no lado esquerdo da placa, de um fluido B, no lado direito da placa. Os fluidos A e B estão em repouso e as suas temperaturas são TA e TB, respectivamente, sendo TA > TB.
(a) As figuras 1 a 3 representam os perfis de temperatura, em regime estacionário, para diferentes combinações de fluidos (ar e água). Identifique, para cada figura, os fluidos A e B. Justifique.
(b) Na figura 4 está representado o perfil de temperaturas, em regime estacionário, para uma placa constituída por um material diferente. Quais são os fluidos A e B? A
condutibilidade térmica deste material é maior, igual ou menor do que a do material da alínea anterior? Justifique.
∆TA ∆TB ∆TA > ∆TB Fig. 4 Fig. 2 ∆TA ∆TB ∆TA≈ ∆TB Fig. 3 ∆TA ∆TB ∆TA≈ ∆TB Fig. 1 ∆TA ∆TB ∆TB >∆TA
14. Considere uma placa plana, de espessura 2L, na qual a face x = 0 é mantida à temperatura T1.
A condutibilidade térmica do material da placa varia com a temperatura de acordo com a seguinte expressão:
(
)
[
o]
o aT T k k = 1+ −onde k = ko à temperatura de referência To e a é uma constante.
Determine a distribuição de temperatura na placa, T(x), em função de T1 e do fluxo de calor q”. Esboce, justificando, a distribuição de temperatura na placa para a = 0, a > 0 e a < 0.
15. Considere uma conduta de condutibilidade térmica constante onde circula ar a temperatura inferior à temperatura ambiente, conforme esquematizado na figura:
A B C
T r
(a) Qual dos perfis de temperatura representados na figura (A, B, C) está correcto? Justifique. (b) Suponha que é colocado um material isolante (baixa condutibilidade térmica) na
superfície exterior da conduta. Podemos garantir que o calor transmitido para o ar que circula na conduta irá diminuir? Justifique.
16. A principal linha de vapor de uma central termo-eléctrica transporta vapor a 113 bar e 400 ºC. Foi decidido usar um isolamento com k1 = 0.078 W/m K, mas dado que este não se comporta
de modo adequado acima de 300 ºC, será complementado por uma camada de isolamento resistente a temperaturas elevadas, com k2 = 0.2 W/mºC, junto à tubagem de vapor. Tem de
ser usado isolamento suficiente para que a temperatura da superfície exterior seja 48 ºC. A tubagem onde circula o vapor é constituída por aço com kaço = 40 W/m K e tem um diâmetro
interior de 30 cm, com uma espessura de 3 cm. Os coeficientes de convecção são 4500 W/m2 K do lado do vapor e 12 W/m2 K do lado do ar. Determine as espessuras dos dois isolamentos para uma temperatura ambiente de 30 ºC.
17. Considere um fio condutor (condutibilidade eléctrica = 5,1 x 106 Ω-1m-1), de secção circular
(diâmetro = 0,04 m), sem protecção, percorrido por uma corrente contínua I = 450 Amp. A potência gerada por efeito de Joule, por unidade de comprimento do fio, é 31,6 W/m e a condutibilidade térmica do material é 300 W/(m K).
(a) Admitindo uma temperatura máxima no condutor de 80 ºC e uma temperatura ambiente de 20 ºC, calcule o coeficiente de transmissão de calor por convecção.
(b) Considere dois isolantes A e B, com 0,005 m de espessura e condutibilidades térmicas kA = 0,3 W/(m K) e kB = 4 W/(m ºC). Pretendendo-se proteger a superfície exterior do
fio condutor, qual dos dois isolantes escolheria de modo a não aumentar a temperatura máxima do condutor em mais de 10% em relação ao anteriormente considerado? Considere para esta alínea h = 3 W/(m2 K).
(c) Qual a temperatura exterior do isolante nas condições da alínea b)?
18. Um cabo de secção circular, com raio R, percorrido por corrente eléctrica, encontra-se num meio à temperatura T∞. Admita que a potência libertada por efeito Joule, por unidade de
volume, é uniforme numa secção transversal do cabo.
(a) Diga, justificando, em que medida a condutibilidade térmica do material influencia a temperatura em r = 0 e em r = R.
(b) Subitamente a corrente eléctrica é cortada. Represente, no mesmo gráfico, o perfil de temperaturas no instante em que a corrente é cortada e num instante posterior, antes de o regime estacionário ter sido restabelecido. Justifique a forma dos perfis traçados e compare, para esses dois instantes, as temperaturas e os gradientes de temperatura em r = 0 e r = R.
19. Considere um reservatório esférico destinado a conter uma mistura de fluidos em reacção exotérmica. O reservatório é formado, tal como indicado na figura, por duas camadas sendo a condutibilidade térmica da camada A igual a kA = 19 W/mK e a condutibilidade térmica do
material B kB = 0.21 W/mK. As dimensões do reservatório são R0=0.3 m, R1=0.35 m, R2=0.4
m. Por razões de resistência dos materiais não convém ultrapassar no material A a temperatura de 450 °C e no material B a temperatura de 400 °C. O reservatório encontra-se num ambiente à temperatura de Tamb = 35 °C e o coeficiente de convecção na superfície do
lado exterior é igual a hext = 8 W/m2K. O coeficiente de convecção na superfície interior é
igual a hint = 200 W/m2K e a mistura dos reagentes é homogénea e encontra-se toda à mesma
temperatura. Despreze a resistência térmica de contacto entre os materiais A e B. (a) Calcule a potência máxima que se pode libertar no interior do reactor.
(b) Nestas circunstâncias, qual é a temperatura no interior do reactor?
(c) Se a taxa de libertação de calor aumentar 50% qual terá de ser o novo valor do raio exterior R2 a usar para garantir um correcto funcionamento do sistema? Suponha que
todos os parâmetros mantêm os seus valores.
R0
R1 R2
B A
20. Num reservatório esférico, de raio interior r1 e raio exterior r2, a superfície interior é mantida
à temperatura T1 e a superfície exterior à temperatura T2. Determine a coordenada radial para
a qual a temperatura é igual à média das temperaturas T1 e T2 em função das dimensões do
reservatório.
21. Calcule a distribuição de temperaturas, em regime estacionário, numa esfera sujeita a uma geração de calor interna com intensidade uniforme q ′′′& [W/m3], cuja superfície se comporta
como um corpo negro e troca calor por radiação com o ambiente a uma temperatura T∞.
22. Deduza uma expressão para o raio critico do isolamento de uma esfera oca de raio exterior ro,
colocada num meio onde a temperatura ambiente é Te e o coeficiente de transmissão de calor
por convecção exterior é proporcional a ro−12. O raio interno da esfera é ri e a sua superfície
interna está à temperatura Ti. A condutibilidade térmica da esfera é k.
23. Um termómetro, constituído por um termopar colocado no fundo de uma baínha metálica que lhe dá a resistência mecânica necessária, está montado na parede de uma tubagem onde circula vapor de água à temperatura real Tv (ver figura).
(a) Admitindo que o contacto térmico entre o termopar e a baínha é perfeito e desprezando o efeito da resistência do ar no interior da baínha, determine a temperatura real do vapor, Tv. Despreze as trocas de calor por radiação e tenha em atenção que o termómetro pode ser tratado como uma alheta.
(b) Como procederia para diminuir a diferença de temperaturas Tv-Tt encontrada na alínea
anterior?
24. No interior de um tubo de aço (k = 50 W m-1 K-1) de 25 mm de diâmetro (exterior) circula um fluido que está a condensar à temperatura de 50ºC (h = 3500 W m-2 K-1). A espessura do tubo é de 1mm. Um ventilador faz passar um caudal de ar a 25ºC perpendicularmente ao tubo (v∞ = 20m/s). De forma a aumentar a troca de calor, foi decidido colocar alhetas anulares com uma espessura de 1.5mm e largura de 1cm, sendo o espaçamento entre alhetas de 5mm. Justifique se as alhetas devem ser colocadas pelo interior ou pelo exterior do tubo. Para o caso que considerou corresponder ao do maior aumento da troca de calor, calcule:
(a) O coeficiente de convecção exterior, indicando as aproximações que efectuar. (b) A troca de calor por unidade de comprimento do tubo antes da colocação das alhetas. (c) A troca de calor por unidade de comprimento do tubo após a colocação das alhetas.
25. Água à temperatura de 95 ºC escoa-se no interior de um tubo de aço (k = 41 W m-1 K-1) com 2.54 cm de diâmetro interior. Na superfície exterior do tubo há 8 alhetas longitudinais, com secção rectangular, do mesmo material, com 1.90 cm de comprimento. O tubo e as alhetas têm a mesma espessura, que é 0.25 cm. Os coeficientes de convecção dos lados interior e exterior são 5000 W m-2 ºC-1 e 12 W m-2 K-1, respectivamente. Desprezando a perda de calor através das extremidades das alhetas, calcule a taxa de transmissão de calor por unidade de comprimento do tubo, supondo que a temperatura do ar exterior é 15 ºC.
26. Um tubo de aço, com espessura t e diâmetro exterior D é usado para transportar água à temperatura Te. O tubo está sujeito a um fluxo radiativo uniforme sobre 180º da sua
circunferência exterior, encontrando-se a parte restante perfeitamente isolada. O coeficiente de transmissão de calor por convecção na face interna do tubo é h e a condutibilidade térmica da parede do tubo é k. Despreze a condução de calor na direcção radial.
''
rad
q
(a) Estabeleça as equações e condições de fronteira que permitem determinar a distribuição de temperaturas no tubo ao longo da direcção tangencial.
(b) Repita a alínea anterior admitindo que existe geração uniforme de calor na parede do tubo, .
q ′′′&
27. Numa alheta de secção constante, com comprimento L, foram medidas as temperaturas às distâncias L/3, 2L/3 e L da base, tendo-se registado os valores T1, T2 e T3, respectivamente.
Sabendo que a temperatura da base é Tb e a temperatura do meio ambiente é T∞, estime a
eficiência da alheta em função das temperaturas conhecidas.
28. Suponha que uma colher de chá, parcialmente mergulhada numa chávena, é modelada como uma barra de secção transversal circular e uniforme de diâmetro D e comprimento 2l. Seja k a condutibilidade térmica do material constituinte da colher. Os coeficientes de convecção do lado do chá e do ar são h1 e h2, respectivamente. As temperaturas do chá e do ar são
uniformes e iguais a To e T∞, respectivamente. Supondo que metade da barra está em contacto
com o chá, determine a distribuição de temperaturas na barra em regime estacionário.
29. Considere uma alheta de comprimento 2l. Metade da alheta está isolada, não havendo transmissão de calor através da sua superfície. Essa extremidade da alheta é mantida a uma temperatura Tw. A outra metade da alheta está rodeada por um fluido à temperatura T∞< Tw,
sendo h o coeficiente de convecção. Determine a temperatura no meio da alheta e na outra extremidade.
30. Uma barra de 2.5 cm de diâmetro, 1 m de comprimento e condutibilidade térmica 20 W / m K está apoiada em dois suportes mantidos à temperatura de 50 ºC. A barra está exposta ao ar que se encontra a 300 ºC. Determine a temperatura a meio da barra e a taxa de transmissão de calor do ar para a barra supondo que o coeficiente de convecção é 50 W/m2 ºC.
31. Um termopar de cobre/constantan (constantan é uma liga com 55% de cobre e 45% de níquel) tem ambos os fios embutidos num isolamento, como esquematizado na figura, sendo num utilizado para medir a temperatura de um fluido que se escoa no interior de uma conduta. O termopar pode ser simulado como uma alheta. Seja d = 0.25 mm o diâmetro de cada fio do termopar, cujo perímetro exterior é 1.5 mm e área do isolamento é 10-7 m2. O ar no interior da conduta encontra-se a 350 K, o coeficiente de convecção é 30 W/m2 K e a temperatura da parede é 300 K. Suponha que a condutibilidade térmica do cobre, constantan e isolamento são 385 W m-1 K-1, 23 W m-1 K-1 e 0.1 W m-1 K-1, respectivamente. Determine o comprimento do
termopar que deve ser inserido na conduta de modo a que o erro na leitura da temperatura seja inferior a 0.1 K.
d
termopar Fio de cobre Fio de constantan isolamento
32. Em muitos casos, o coeficiente de convecção na extremidade de uma alheta, he, difere do
coeficiente de convecção na superfície lateral, hl. Determine a distribuição de temperaturas, a
taxa de transmissão de calor, a eficiência e a eficácia de uma alheta de secção transversal uniforme nessas condições.
33. Um chip de secção quadrangular, com 16 mm de lado, tem 16 alhetas de alumínio com 2 mm de diâmetro e 15 mm de comprimento, dispostas num arranjo quadrangular com passos longitudinal e transversal de 4 mm. Um ventilador promove o escoamento do ar a 25 ºC, sendo o coeficiente de convecção de 110 W / m2 K. Qual é a potência máxima do chip de modo a que a sua temperatura, suposta uniforme, não exceda 75 ºC?
34. A pá de uma turbina de gás recebe calor dos produtos de combustão por convecção e por radiação. Suponha que a secção transversal da pá é constante e que a extremidade pode ser considerada adiabática. Se a energia emitida por radiação pela pá for desprezável, determine a distribuição de temperaturas ao longo da alheta.
35. Uma alheta de perfil parabólico com 20 mm de comprimento e 6 mm de espessura na base é constituída por um material com condutibilidade térmica igual a 187 W m-1 K-1. Sabendo que a alheta, cuja base é mantida a 500 K, se encontra num meio a 300 K e que o coeficiente de convecção é 2800 W m-2 K-1, determine a taxa de transmissão de calor através da alheta e a sua massa.
36. Um transístor é arrefecido por uma alheta anular, de alumínio, com 5 mm de raio interior, 20 mm de raio exterior e 0.2 mm de espessura. Determine a eficiência da alheta e o calor dissipado quando a base se encontra a 380 K, sendo 300 K a temperatura do meio e 8.2 W m-2 K-1 o coeficiente de convecção. Suponha que a condutibilidade térmica do material é 205 W m-1 K-1.
37. Um aquecedor eléctrico com 5 cm de comprimento e 4 mm de diâmetro dissipa 10 W através das suas extremidades, estando a superfície lateral perfeitamente isolada. Em cada extremidade do aquecedor está montada uma alheta cilíndrica com o mesmo diâmetro e com 10 cm de comprimento. Tanto o aquecedor como as alhetas são constituídos por uma liga de alumínio (k = 190 W m-1 K-1). O ar ambiente está a 300 K e o coeficiente de convecção é 50 W m-2 K-1. Determine a temperatura na extremidade das alhetas exposta ao ar.
38. Uma superfície encontra-se a 180 ºC e está em contacto com um fluido a 80 ºC. Determine o acréscimo no calor dissipado se a superfície for revestida por alhetas de perfil triangular com 6 mm de espessura na base, 30 mm de comprimento e espaçadas entre si de 15 mm. Sejam
20 W m-2 K-1 e 50 W m-1 K-1 o coeficiente de convecção e a condutibilidade térmica, respectivamente.
39. Corrente eléctrica passa através de um fio de cobre com 1 mm de diâmetro e 20 cm de comprimento. Se as extremidades do fio forem mantidas a 300 K, determine a máxima intensidade de corrente eléctrica que pode passar através do fio de modo a que a sua temperatura não exceda 400 K. O ar ambiente encontra-se a 290 K e o coeficiente de convecção é 20 W m-2 K-1. A condutibilidade térmica do fio é 386 W m-1 K-1, a emissividade é 0.8 e a resistência eléctrica é 0.022 W m-1.
40. Numa fabrica de moldes, um fio de um dado material emerge de um orifício à temperatura To
e com uma velocidade constante V. O perímetro do fio é P, a sua secção recta é Ac e as
propriedades térmicas do material são ρ, k e cp. A temperatura ambiente, inferior a To, é Te e o
coeficiente de transmissão de calor por convecção é h. Considerando que o comprimento do fio é muito grande, estabeleça a equação e as condições de fronteira que permitem determinar a distribuição de temperatura ao longo do fio (não resolva a equação).
41. Num processo industrial de estiragem, uma chapa metálica de espessura δ move-se horizontalmente sobre dois rolos, sendo l a distância entre os centros desses rolos e R o seu raio. A superfície superior da chapa, na zona entre os dois rolos, está sujeita a um fluxo de calor uniforme q’’. A temperatura do meio ambiente é T∞ e os coeficientes de convecção nas
faces superior e inferior da chapa são h1 e h2, respectivamente.
(a) Desprezando a condução axial, determine a temperatura axial da chapa em regime estacionário.
(b) Determine a velocidade de rotação dos rolos de modo a temperatura em x = l seja Tl.
42. Uma fornalha longa, de secção rectangular (dimensões interiores: 1 m x 1.5 m, dimensões exteriores: 2 m x 2.5 m), é constituída por um material refractário com condutibilidade térmica igual a 1.2 W m-1 K-1. As temperaturas das superfícies interior e exterior são 600 ºC e 60 ºC, respectivamente. Estime o factor de forma de condução e a taxa de transmissão de calor perdida através das paredes.
43. Um pequeno forno laboratorial, cúbico, com 20 cm de lado, está isolado com fibra de vidro de espessura 6 cm. Qual é a potência requerida para manter a temperatura no interior do forno a 440 K quando a temperatura ambiente é 20 ºC, sendo o coeficiente de convecção igual a 7 W m-2 K-1?
44. Um pipeline com 5 km de comprimento e 30 cm de diâmetro exterior encontra-se enterrado, com o centro à profundidade de 1 m. O solo tem uma condutibilidade térmica de 1.5 W/m K. O pipeline é usado para transportar 2.5 kg/s de fuel-óleo, cujo calor específico é 2000 J/Kg K, e cuja temperatura de entrada é 120 ºC. A temperatura da superfície do solo, em contacto com o ar, está a 23 ºC. Suponha que a variação desta temperatura ao longo do tempo é reduzida, de modo que possa assumir condução em regime estacionário. Estime a temperatura de saída do fuel-óleo, para os dois caso seguintes
(b) Pipeline com isolamento de espessura 15 cm e condutibilidade térmica 0.03 W/m K. 45. Um iglu de geometria hemisférica, construído com neve compactada, tem um raio interior de
1.8 m, sendo a espessura da parede igual a 0.5 m. O coeficiente de convecção no interior do iglu é 6 W m-2 K-1 e no exterior, em condições normais, é 15 W m-2 K-1. O iglu está assente sobre uma camada de gelo. A condutibilidade térmica do gelo e da neve compactada é 0.15 W m-1 K-1. A temperatura da superfície do gelo sobre o qual está construído o iglu é -20 ºC. (a) Assumindo que os ocupantes libertam uma potência calorífica de 320 W dentro do iglu,
determine a temperatura do ar no interior quando a temperatura exterior for -40 ºC. Tenha em consideração as perdas de calor através das paredes e do solo.
(b) Durante as tempestades, o coeficiente de convecção exterior aumenta significativamente. Isso implicará uma variação apreciável da temperatura no interior do iglu? Justifique. 46. Determine a distribuição de temperaturas, em regime estacionário, numa barra muito longa,
de secção rectangular, com condutibilidade térmica constante. As superfícies x = 0 e y = 0 estão perfeitamente isoladas. As temperaturas nas superfícies x = a e y = b são uniformes e iguais a T1 e T2, respectivamente.
47. Uma barra muito longa de secção quadrangular tem 3 dos lados mantidos a uma temperatura T1 e o outro lado sujeito a um fluxo constante q ′′1. Determine a distribuição de temperaturas
na barra.
48. Uma barra muito longa de secção quadrangular tem 3 dos lados mantidos a uma temperatura T1 e o outro lado em contacto com um fluido à temperatura T∞, sendo h o coeficiente de
convecção. Determine a distribuição de temperaturas na barra.
49. Uma placa de espessura desprezável, com dimensões a × b, está sujeita às seguintes condições de fronteira:
T(0,y) = T(x,0) = 300
T(a,y) = 300 +200 sin(π y / b) T(x,b) = 300 +100 sin(π x / a)
(a) Determine a distribuição de temperaturas em regime estacionário, desprezando a perda de calor através das faces z = constante da placa.
(b) Determine a temperatura no centro da placa para a = b.
50. Uma placa de espessura desprezável, com dimensões a × b, está sujeita às seguintes condições de fronteira:
T(0,y) = T(a,y) = 300 q(x,0) = 0
T(x,b) = 300 +300 sin(π x / a)
(a) Determine a distribuição de temperaturas em regime estacionário, desprezando a perda de calor através das faces z = constante da placa.
(b) Determine a temperatura no centro da placa para a = b.
51. Uma placa de espessura desprezável, com dimensões a × b, está sujeita às seguintes condições de fronteira:
T(0,y) = 300 T(a,y) = 400 q(x,0) = 0 T(x,b) = 500
(a) Determine a distribuição de temperaturas em regime estacionário, desprezando a perda de calor através das faces z = constante da placa.
(b) Determine a temperatura no centro da placa para a = b.
52. Uma placa de espessura desprezável e secção quadrangular com 20 cm de lado tem três dos lados mantidos a 30 ºC e o quarto lado tem uma distribuição de temperaturas sinusoidal dada por T = 30 (1 + sin (π x /L)), sendo x [cm] a distância medida a partir de um dos cantos e L o comprimento do lado. Despreze a perda de calor através das faces da placa.
(a) Calcule a temperatura no centro da placa.
(b) Se a placa tiver 2 mm de espessura e uma condutibilidade térmica de 15 W / m K, determine a taxa de transmissão de calor necessária para manter a placa em regime estacionário.
53. Considere um domínio bidimensional, semi-infinito na direcção x, com largura t, e cuja fronteira em x = 0, é mantida à temperatura F(y). A temperatura ambiente é igual a T∞, sendo
o coeficiente de convecção muito elevado. Determine a distribuição de temperaturas nesse domínio.
54. Considere uma chapa de comprimento muito elevado na direcção x, com espessura t na direcção z, e largura w na direcção y. A base, em x = 0, é mantida à temperatura F(y) e a espessura é muito inferior à largura, isto é, t << w.. A temperatura ambiente é igual a T∞,
sendo o coeficiente de convecção muito elevado no plano y-z e igual a h no plano x-y. Determine a distribuição de temperaturas na chapa.
55. Uma barra infinitamente longa tem secção transversal triangular. Uma das superfícies está à temperatura T1, outra à temperatura T2, e a terceira encontra-se perfeitamente isolada.
Determine a distribuição de temperaturas na barra.
56. Numa chapa quadrangular com espessura t e lado L tem lugar libertação interna de energia à taxa q ′′′& . Os coeficientes de convecção nas superfícies superior e inferior da chapa são h1 e h2,
respectivamente. Ao longo da periferia da chapa a temperatura pode ser considerada igual à temperatura ambiente, T∞. Determine a distribuição de temperaturas na chapa.
57. A base de uma barra semi-infinita, de secção transversal quadrangular, é mantida à temperatura To, sendo T∞ a temperatura ambiente. Determine a distribuição de temperaturas
58. Uma placa plana infinita, de espessura 2L, com condutibilidade térmica constante,
encontra-se inicialmente a uma certa temperatura uniforme. Subitamente, a placa é exposta a um fluido a uma temperatura mais baixa. A figura 1 representa o perfil de temperaturas num determinado instante, durante o período de arrefecimento da placa. Estime o número de Biot para este problema.
Figura 1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 x* θ*
59. Num forno de microondas há uma geração de energia térmica aproximadamente uniforme no
interior dos alimentos. Num forno convencional, a superfície dos alimentos é aquecida
predominantemente por radiação. Assim, considere uma fatia de carne de forma cilíndrica, com espessura 2L, e represente qualitativamente, para ambos os fornos, a distribuição de temperaturas ao longo do eixo para os seguintes instantes:
(a) Instante inicial, to, em que o forno é ligado.
(b) Instante t1 durante o processo de aquecimento.
(c) Instante t2 em que o forno é desligado.
(d) Instante t3 durante o processo de arrefecimento.
Apresente dois gráficos, um para cada forno, representando em cada gráfico os perfis de temperatura para os 4 instantes indicados. Assuma que a fatia de carne é colocada de modo a que ambas as faces são aquecidas de igual modo.
60. Um corpo de volume V, área superficial A, massa específica ρ e calor específico c está
inicialmente a uma temperatura uniforme To. Em t = 0, o corpo é imerso num reservatório que
contém um fluido a uma temperatura superior, To + ∆T. Algum tempo depois, em t = t1, o
corpo, à temperatura uniforme T = T1, é rapidamente removido do interior do fluido quente e
mergulhado num reservatório que contém um fluido a uma temperatura To - ∆T. Considere,
em ambos os processos, que os gradientes internos de temperatura no corpo são desprezáveis e, ainda, que o coeficiente de transmissão de calor por convecção tem o mesmo valor, h.
(a) Derive uma expressão para o tempo, t = t2, ao fim do qual a temperatura do corpo atinge
de novo o seu valor inicial, To. Apresente o resultado em função dos dados do enunciado.
(c) Represente graficamente, com um certo rigor, a evolução temporal da temperatura do corpo, desde t = 0 até t → . ∞
61. Um sólido de volume V e com área superficial A encontra-se à temperatura T∞e está imerso
num fluido à mesma temperatura. A partir de um dado instante, t = 0, começa a libertar-se calor no interior do sólido à taxa o , em que q e β são constantes. Assumindo propriedades constantes e desprezando os gradientes internos de temperatura, deduza uma expressão para a temperatura no sólido em função do tempo para t > 0.
o
(
t)
q& exp −β &
62. Uma placa plana, unidimensional, de espessura L, com propriedades constantes (ρ e cp),
encontra-se inicialmente a uma temperatura uniforme To. Para t > 0, uma das superfícies da
placa recebe um fluxo q”, sendo o calor dissipado por convecção na outra superfície para um
meio com temperatura uniforme T∞. Seja h o coeficiente de transmissão de calor. Determine a
temperatura na placa ao longo do tempo, supondo que os gradientes térmicos são desprezáveis.
63. Uma pequena esfera metálica é mergulhada num líquido a temperatura diferente. Suponha que o volume de líquido é relativamente pequeno, de tal modo que a sua temperatura varia em resultado do calor trocado com a esfera. Determine a evolução temporal das temperaturas da esfera e do fluido, assumindo que os gradientes espaciais de temperatura são desprezáveis e que o líquido só troca calor com a esfera.
64. Pretende-se colar duas chapas de secção quadrangular, com a mesma superfície, através da aplicação de um fluxo de calor, q”, sobre a superfície de uma das chapas. As chapas têm espessuras t1 e t2 e condutibilidades térmicas k1 e k2, respectivamente. Encontram-se num
meio ambiente à temperatura T∞ e com coeficientes de convecção h1 e h2, respectivamente.
Os gradientes térmicos espaciais podem ser desprezados, sendo a temperatura igual nas duas chapas. Determine o tempo requerido para a colagem das chapas, sabendo que a colagem se dá quando a temperatura atinge um dado valor Tm.
65. Uma placa plana de espessura L na direcção x e de comprimento muito elevado nas direcções y e z encontra-se inicialmente a uma temperatura To. Subitamente, as temperaturas nas faces
x = 0 e x = L sobem para T1 e T2, respectivamente, mantendo-se depois inalteráveis.
Considere propriedades constantes. Determine a distribuição de temperaturas na placa ao longo do tempo.
66. A parede do difusor na exaustão do motor de um foguetão tem uma espessura L = 25 mm e é constituída por uma liga de aço cujas propriedades são ρ = 8000 kg/m3, c = 500 J/kg K e k =
25 W/m K. Durante um teste de resistência ao fogo, a parede encontra-se à temperatura inicial uniforme de Ti = 25 ºC e é exposta aos gases quentes resultante da combustão cuja
temperatura é T∞ = 1750 ºC. A superfície exterior está isolada. A parede deve manter-se a
uma temperatura pelo menos 100 ºC abaixo da temperatura de fusão do material que é igual a 1600 ºC. Assuma que o diâmetro do difusor é muito maior que a espessura da parede e que o coeficiente de convecção do lado dos gases quentes é igual a 500 W/m2 K.
(a) Determine a temperatura na superfície da parede em contacto com gases ao fim de 30s. (b) Determine o tempo ao fim do qual a temperatura máxima permitida é atingida.
67. Uma placa plana de espessura 20 cm, inicialmente à temperatura de 800 K, foi colocada a arrefecer num meio a 300 K. Ao fim de 75 minutos foi medida a temperatura no centro da placa e à superfície, tendo-se registado as temperaturas de 450 K e 397.5 K, respectivamente. O coeficiente de convecção é 150 W m-2 ºC-1.
(a) Determine as propriedades físicas da placa relevantes para o problema descrito (condutibilidade térmica e difusibilidade térmica).
(b) Determine o tempo ao fim do qual a diferença entre a temperatura no centro da placa e a temperatura na superfície é igual a 25 ºC.
68. Uma barra de secção circular de um material compósito (k = 1.2 W m-1 K-1, ρ = 1500 kg m-3 e
c = 1800 J kg-1 K-1) com 3 cm de diâmetro está inicialmente a 30 ºC. É então colocada numa câmara onde vapor saturado a 120 ºC condensa na sua superfície, aquecendo-a. Quando a temperatura no centro da barra atinge 110 ºC, a barra é retirada e arrefecida em ar a 20 ºC até a temperatura no centro atingir 30 ºC. Determine o tempo requerido para cada um destes processos. Assuma que o coeficiente de convecção é muito elevado no processo de aquecimento e igual a 15 W m-2 K-1 no processo de arrefecimento.
69. Uma esfera de aço (k = 36.4 W m-1 K-1, ρ = 7750 kg m-3 e c = 486 J kg-1 K-1) de 8 cm de
diâmetro é aquecida numa fornalha até atingir uma temperatura uniforme de 800 ºC. Seguidamente é arrefecida por imersão num banho mantido à temperatura de 300 ºC até a temperatura no centro da esfera atingir 500 ºC. Determine o tempo requerido para esse arrefecimento, supondo o coeficiente de convecção muito elevado.
70. Considere uma peça de carne com a forma aproximada de um cilindro, de eixo horizontal, com um diâmetro de 10 cm e uma temperatura inicial de 10ºC, a assar num forno com ar à temperatura de 175ºC e um coeficiente de convecção de 15 W/m2K. Considere as propriedades da carne iguais às da água a 300 K: (α=1,4x10-7 m2/s,k=0,6 W/mK).
Considerando o comprimento infinito:
(a) Calcule o tempo necessário para que a temperatura no centro atinja 80ºC.
(b) Calcule a temperatura máxima da superfície para as condições da alínea anterior.
(c) Admitindo que a temperatura no centro é 80ºC e a da superfície não deve ultrapassar 130ºC e mantendo as outras condições:
(i) Calcule qual o coeficiente de convecção máximo que pode utilizar. (ii) Calcule a temperatura máxima do ar que pode utilizar.
(d) Se o cilindro for tratado como finito, indique qual a influência nos resultados das alíneas anteriores.
71. Um cubo de aço (k = 50 W/mK, ρ = 7820 kg/m3, c = 445 J/kgK) com 10 cm de lado, inicialmente a uma temperatura de 400ºC, é imerso num banho de óleo a 80ºC, que permite um coeficiente de convecção de 1 kW/m2K. Ao fim de um minuto calcule:
(a) A temperatura nos centros das faces do cubo e nos vértices. (b) A temperatura média do cubo.
72. Um cubo (k = 17 W/mK, ρ = 8000 kg/m3, c = 420 J/kgK) com 5 cm de lado, inicialmente à temperatura de 550 ºC, é mergulhado num líquido à temperatura constante de 50 ºC. O coeficiente de convecção é 340 W/m2K. Determine a temperatura no centro, a meio de uma face e nos vértices do cubo, bem como a temperatura média, ao fim de 2 minutos. Determine ainda a energia transmitida do cubo para o líquido durante esse período.
73. Barras de alumínio com uma secção de 2.5 cm por 5 cm são extrudidas a 500 ºC, como ilustrado na figura. Logo após a extrusão, as barras devem ser preparadas para distribuição, o que requer um arrefecimento rápido. Para esse efeito, as barras passam por uma câmara de arrefecimento onde opera um conjunto de sprays de água, à temperatura de 25 ºC. O coeficiente de convecção entre a água de arrefecimento e a superfície das barras é 5000 W/m2 K. As propriedades do alumínio são k = 230 W/m ºC, ρ = 2707 kg/m3 e cp = 896 J/kg K.
(a) Se as barras forem extrudidas à velocidade de 0.5 m/s, determine o comprimento L da
câmara de arrefecimento requerido para que, à saída, a temperatura no centro das barras seja 150 ºC.
(b) Qual é a temperatura máxima na superfície das barras à saída da câmara de arrefecimento? spray L v A 500oC
74. Um cilindro de cobre (k = 50 W/mK, α = 20x10-6 m2/s) com 100 mm de comprimento e 50
mm de diâmetro encontra-se inicialmente a uma temperatura uniforme de 20ºC. O cilindro é colocado entre duas placas que permitem que as suas bases atinjam 500ºC. (Este caso pode ser considerado como coeficiente de convecção infinito). Ao mesmo tempo, a superfície lateral do cilindro é sujeita a convecção forçada com ar a 500ºC com h = 75 W/m2K.
(a) Calcule ao fim de quanto tempo a temperatura no centro atinge 350 ºC.
(b) Calcule a temperatura mínima na superfície do cilindro ao fim do mesmo tempo. Justifique a escolha do ponto do cilindro que considerou para a resolução desta alínea. 75. Um cilindro (k = 17 W/mK, ρ = 8000 kg/m3, c = 420 J/kgK) com 5 cm de diâmetro de 5 cm
de altura, inicialmente à temperatura de 550 ºC, é mergulhado num líquido à temperatura constante de 50 ºC. O coeficiente de convecção é 340 W/m2K. Determine a temperatura no centro e a meio das faces do cilindro, bem como a temperatura média, ao fim de 2 minutos. Determine ainda a energia transmitida do cilindro para o líquido durante esse período.
76. O tratamento térmico de uma peça cilíndrica (ρ = 8 000 kg/m3, cp = 420 J Kg-1 K-1 e k = 21.6
W m-1 ºC-1) com 5 cm de diâmetro e 10 cm de comprimento, à temperatura inicial de 925 ºC, requer um arrefecimento rápido num banho de óleo à temperatura de 40 ºC. O coeficiente de convecção é 568 W m-2 K-1.
(a) Determine o tempo requerido para que a temperatura no centro da peça seja 260 ºC. (b) Determine, para o tempo calculado em (a):
(i) A temperatura no centro da base
(ii) A temperatura na superfície cilíndrica, num plano equidistante da base e do topo 77. Pretende-se arrefecer dois cilindros de diâmetro D = 10 cm e altura L = 30 cm, inicialmente à
temperatura uniforme Ti = 500 K. Para esse efeito, são colocados num recinto onde circula ar
à temperatura T∞ = 300 K, sendo o coeficiente de convecção igual a 100 W/m2K. As
propriedades térmicas dos dois cilindros são as seguintes:
Cilindro A: ρA = 8000 kg/m3 Cilindro B: ρB = 8000 kg/m3
kA = 300 W/mK kB = 10 W/mºC
cpA = 400 J/kgºC cpA = 500 J/kgK
(a) Determine, para ambos os cilindros, o tempo requerido para que a temperatura máxima seja 400 K, desprezando a troca de calor através da base e do topo.
(b) Determine, para ambos os cilindros, a temperatura mínima ao fim de meia hora, desprezando a troca de calor através da base e do topo.
(c) Repita a alínea anterior assumindo que o coeficiente de convecção na base e topo dos cilindros é igual ao coeficiente de convecção através da superfície lateral.
78. Considere uma ligação eléctrica de cobre (k=380 W/mK, ρ=8900 kg/m3, cp=380 J/kgK) com
um diâmetro de D=12 mm e comprimento de 2L=20 cm, com uma resistência eléctrica de 35x10-6 Ω na qual passa uma corrente de 1000 Amp. Esta ligação é arrefecida através das suas extremidades que são mantidas a 30ºC e através de uma corrente de ar também a 30ºC com um coeficiente de convecção de 30 W/m2K.
(a) Calcule a distribuição radial de temperatura no cabo no caso de não existir condução na direcção axial.
(b) Com base na equação de balanço de energia usada para as alhetas, desprezando os gradientes radiais, mostre que a distribuição de temperatura é dada por:
(
)
(
)
− ′′′ + = L kD h x kD h h D q T T 2 cosh 2 cosh 1 4 0 &(c) Calcule a temperatura no centro do cabo (x = 0) no caso de não existir convecção na superfície lateral e compare o valor com o resultado da alínea anterior e o obtido na alínea (a).
(d) No caso do sistema de arrefecimento das extremidades falhar, o cabo aquece, sendo interrompida a corrente eléctrica quando se atinge uma temperatura de 300ºC.
Considerando que o cabo se encontra a esta temperatura uniforme, calcule o tempo necessário a partir do momento que se restabelece o sistema de arrefecimento das extremidades do cabo (T0= 30ºC), para que a temperatura máxima seja inferior a 100ºC.
Considere que se mantém o arrefecimento por convecção pela corrente de ar. L=10 cm T0=30º x D=12mm T0=30º V∞=1m/s; T0=30ºC
79. Uma alheta bidimensional, de comprimento L na direcção x e espessura 2b na direcção y, encontra-se inicialmente à temperatura To. No instante t = 0, enquanto a temperatura da base,
em x = 0, é mantida à temperatura To, as temperaturas das superfícies y = ±b e x = L são
subitamente colocadas à temperatura T∞e subsequentemente mantidas a essa temperatura.
Determine a distribuição de temperaturas na alheta ao longo do tempo, assumindo propriedades termofísicas constantes.
80. Um copo de água a 300 K com 8 cm de diâmetro e 12 cm de altura é colocado num frigorífico que mantém a temperatura do ar a 277 K. O coeficiente de convecção é 5 W/m2K. Ao fim de 6 horas o copo é retirado do frigorífico. Estime a temperatura média da água nesse instante, assumindo que só há condução de calor na água.
81. Uma barra rectangular, com comprimento a e largura b, constituída por um material com
condutibilidade térmica constante, k, tem as faces x = 0 e y = b isoladas, a face x = a em
contacto com um fluido à temperatura T∞, sendo h o coeficiente de convecção, e a
distribuição de temperaturas na face y = 0 é uma função especificada f (x).
(a) Determine a distribuição de temperaturas na barra, em regime estacionário, em função dos dados do problema.
(b) Suponha que a barra se encontrava inicialmente a uma temperatura uniforme Ti, e que
subitamente foram impostas as condições de fronteira acima descritas. Determine ao fim de quanto tempo a temperatura no ponto (x = 0, y = b/2) é igual a 150 ºC.
Dados: a = 0.5 m, b = 0.25 m, Ti = 600 ºC, T∞ = 20 ºC, f (x) = 20 ºC,
k = 10 W m-1 K-1, ρ = 2000 kg m-3, cp = 1500 J kg-1 K-1, h = 10 W m-2 ºC-1
82. Uma parede espessa de betão, inicialmente a 400 K, é pulverizada com uma grande quantidade de água de modo a manter a superfície a 300 K. Quanto tempo é necessário para que um ponto a 5 cm da superfície arrefeça para 320 K?
83. Uma parede de betão com 15 cm de espessura e com uma absorvidade de 0.9 é exposta a uma fonte radiativa que pode ser aproximada por um corpo negro a 1000 K. Quanto tempo é necessário até que a temperatura da superfície, inicialmente a 300 K, suba para 500 K?
84. Uma cabana numa ilha tropical foi usada como refrigerador durante bastante tempo, sendo a temperatura do ar mantida a 5 ºC. Em determinada altura é desactivada, permitindo a circulação livre do ar a 27 ºC. Ao fim de quanto tempo a temperatura a 1 m de profundidade atinge 15 ºC? Considere h = 3 W m-2 K-1, k = 2.6 W m-1 K-1, α = 0.45 x10-6 m2/s.
85. Num local onde a temperatura no solo pode ser tomada como uniforme e igual a 20 ºC, uma tempestade reduz subitamente a temperatura do ar para -15 ºC. Qual é a temperatura na superfície do solo 4 horas após o início da tempestade? Nessa altura, a que profundidade é que a temperatura é de 0ºC? Ignore efeitos de mudança de fase e assuma h = 20 W m-2 K-1, α = 0.40 x10-6 m2/s.
86. Duas placas de aço inoxidável (ρ = 8000 kg/m3, cp = 500 J/kg K, k = 15 W/m K), com 20
mm de espessura e isoladas numa das faces, estão uma a 400 K e a outra a 300 K. Qual a temperatura na face isolada da placa quente 1 minuto após as placas serem pressionadas uma contra a outra através das faces não isoladas?
87. Uma barra longa, com os lados bem isolados, tem um aquecedor numa extremidade que provoca uma variação sinusoidal da temperatura entre 100 e 200 ºC durante um período de 90.9 s. Dois termopares colocados a 10 e a 70 cm dessa extremidade medem a temperatura, verificando-se haver um desfasamento de 15 minutos entre as temperaturas máximas registadas por esses termopares. Se a massa específica do material for 8300 kg/m3 e o calor específico for 470 J/kg K, qual será a sua condutibilidade térmica?
88. Um termopar está instalado numa parede de um motor Diesel com 5 cm de espessura, num ponto a 1 mm da superfície. Num teste efectuado a 1000 rpm verificou-se que o termopar regista uma temperatura de 322 ºC e a amplitude térmica é 0.79 ºC. Se a variação de temperatura for sinusoidal, estime a amplitude térmica à superfície e a diferença de fase entre a superfície e o ponto onde está localizado o termopar. Suponha que α = 12 x 10-6 m2/s
e k = 40 W m-1 K-1.
89. No escoamento sobre uma superfície, o perfil de temperatura tem a seguinte forma:
( )
y A By Cy2 Dy3T = + + −
onde os coeficientes A a D são constantes. Determine o coeficiente de transmissão de calor por
convecção, h, em termos de T∞, coeficientes do perfil e propriedades do fluido.
90. O perfil de temperaturas na camada limite térmica de um escoamento sobre uma placa aquecida é dado por:
− − = − − ∞ ∞ ν y u T T T T s s 1 exp Pr
em que y é a distância normal à superfície, o número de Prandtl é 0.7, T∞ = 400 K, Ts = 300
K, u∞ = 0.1 ms-1, cp = 1 kJ kg-1K-1 e ν = 20×10-6 m2s-1. Determine o coeficiente de
91. Uma expressão aproximada para o perfil de temperaturas numa camada limite térmica é
( )
[
( )
]
2 2 2 x y x y T T T T t t s s δ δ − = − − ∞enquanto a espessura da camada limite térmica pode ser aproximada por
( )
3 1 2 1 Pr Re 5 . 5 x t x x = δEscreva uma expressão para o coeficiente de convecção local.
92. A espessura da camada limite térmica é aproximadamente 13% maior do que a espessura da camada limite hidrodinâmica num escoamento laminar de ar a 20 ºC, à pressão atmosférica, sobre uma placa plana isotérmica. Qual será a relação correspondente entre as espessuras das camadas limites hidrodinâmica e térmica num escoamento semelhante de água?
93. Uma chumaceira opera a 3600 rpm e é lubrificada com óleo cujas propriedades são ρ = 800 kg/m3, ν = 10-5 m2/s e k = 0.13 W/m K. O diâmetro do veio é 75 mm e o espaçamento entre
o veio e a chumaceira é 0.25 mm.
(a) Determine a distribuição de temperaturas no óleo assumindo que não há transmissão de calor para o veio e que a superfície lubrificada da chumaceira é mantida a 75 ºC.
(b) Qual é a taxa de transmissão de calor para a chumaceira e qual a potência necessária para manter a chumaceira em funcionamento?
94. Ar à temperatura de 15 ºC e com uma velocidade de 15 m/s escoa-se paralelamente a uma placa plana cuja superfície é aquecida e mantida a 140 ºC. A área da placa é 0.25 m2 e a força de resistência ao escoamento é 0.25 N. Qual é a potência de aquecimento requerida para manter a placa àquela temperatura?
95. Considere o escoamento laminar, a baixa velocidade, com propriedades constantes, completamente desenvolvido, entre duas placas planas paralelas localizadas em y = ±b. Essas placas estão electricamente aquecidas, sendo o fluxo de calor na parede uniforme. Mostre que:
(a) O perfil de velocidades é dado por u=1.5um
[
1−( )
y b 2]
, sendo um a velocidade médiado fluido.
(b) O factor de atrito é f = 96 / ReDh, sendo Dh o diâmetro hidráulico.
(c) O número de Nusselt é 140/17 = 8.24.
96. Suponha que, no problema anterior, uma das placas está isolada enquanto a outra é mantida a temperatura constante, sendo agora a velocidade do escoamento suficientemente elevada, de modo que a dissipação viscosa é significa. Determine o perfil de temperaturas.
97. Suponha que, no problema 95, uma das placas está isolada e a outra é uniformemente aquecida. Mostre que o número de Nusselt é 140/26 = 5.385.
98. O comportamento de uma camada limite pode ser significativamente influenciado pela adição ou remoção de fluido na superfície sólida, mediante injecção ou extracção de fluido através dessa superfície. Suponha que o fluido é aspirado através da superfície com uma velocidade de sucção vo. Assuma que a quantidade de fluido removido é suficientemente
pequena de modo a que a tensão de corte na parede seja ainda dada pela mesma expressão que se tem para uma parede impermeável.
(a) Usando a solução exacta para u = u(y), determine o coeficiente de coeficiente de tensão de corte superficial local, longe do bordo de ataque.
(b) Usando a solução exacta para T = T(y), determine o coeficiente convecção local, longe do bordo de ataque.
99. Considere o escoamento de um gás, a baixa velocidade, com propriedades constantes, entre duas paredes porosas. O mesmo gás é introduzido através de uma das paredes e removido através da outra, sendo a componente normal da velocidade, vs, igual nas duas paredes. Uma
das paredes encontra-se à temperatura T1 e a outra à temperatura T2. Determine os perfis de
velocidades e de temperatura longe da entrada.
100. No escoamento laminar de um fluido sobre uma placa plana isotérmica, de comprimento L, o número de Nusselt é: 3 / 1 2 / 1 Pr Re 332 , 0 x x Nu = para 0.6 ≤ Pr 50≤
(a) Represente graficamente, com um certo rigor, a evolução do fluxo de calor local, , ao longo da placa.
"
x
q
(b) Determine a posição x (distância ao bordo de ataque da placa de comprimento L) onde o
fluxo de calor local, ", iguala o fluxo de calor médio para toda a placa, x
q "
L
q .
(c) Qual a razão entre o fluxo de calor local a meio da placa e o fluxo de calor médio para toda a placa. Comente o resultado obtido.
101. Ar a 20 ºC e à pressão de 0.5×105 escoa-se sobre uma placa plana à velocidade de 60 m/s. O comprimento da placa é 25 cm. Calcule a espessura da camada limite a 5, 10 15 20 e 25 cm do bordo de ataque.
102. Ar a 15 ºC e à pressão atmosférica escoa-se sobre uma placa plana à velocidade de 6 m/s. A placa é mantida à temperatura de 105 ºC ao longo de todo o seu comprimento.
(a) Deduza uma expressão para o coeficiente de convecção local ao longo da placa, enquanto o escoamento se mantiver em regime laminar.
(b) Calcule a taxa de transmissão de calor por unidade de largura desde o bordo de ataque até uma distância de 1 m desse ponto.
103. Considere o escoamento estacionário, laminar, completamente desenvolvido, num tubo de secção circular. Assuma que a condução axial de calor e a dissipação viscosa de energia são desprezáveis e que as propriedades do fluido são constantes. Sob certas condições, é razoável assumir que o perfil de velocidades completamente desenvolvido é aproximado por
o C r r u u − =1
em que uc é a velocidade na linha central e ro é o raio do tubo. Determine o número de
Nusselt para o caso de fluxo constante na superfície.
104. Considere o escoamento estacionário, laminar, de um fluido com propriedades constantes, sobre uma placa plana isotérmica. A solução de semelhança para o campo de temperaturas pode exprimir-se na forma
( )
0 2 Pr * 2 * 2 = + η η η d T d f d T d em que s s T T T T T − − = ∞ * , sendo T*(0) = 0 e lim *( )
=1 ∞ → η η T . Quando Pr → 0, a espessura dacamada limite térmica é muito superior à espessura da camada laminar, pelo que na camada limite térmica se tem aproximadamente f (η) = η. Mostre que nestas condições se tem:
( )
12 * Pr 0 = π η d T dSugestão: tenha em atenção que
( )
x =∫
x( )
− d 02
exp
2 β β
π
erf e que limerf
( )
=1.∞
→ x
x
105. Resolva o problema anterior para o caso em que Pr << 1, mostrando que
2 1 3 1 Re Pr 339 . 0 Nux = x
106. Pretende-se analisar pelo método integral uma camada limite térmica, considerando diferentes perfis de temperatura. Indique quais as condições a impor nos perfis de temperatura e, com base nessas condições, determine os parâmetros A, B e C de cada perfil. No caso do perfil C considere a espessura da camada limite térmica como a ordenada onde a diferença entre a temperatura local e a temperatura da superfície é 90% da diferença entre a temperatura do fluido afastado da superfície e a temperatura da superfície.
(a) T (x, y) = A + B sin (Cy) (b) T (x, y) = A + By + Cy2 (c) T (x, y) = A + B *e-C y
107. Considere um escoamento estacionário, laminar, sobre uma placa plana, de um fluido com um número de Prandtl muito pequeno e propriedades termofísicas constantes. Sejam u∞ e T∞
a velocidade e temperatura do escoamento não perturbado, respectivamente. A placa é mantida a uma temperatura constante Ts. Assuma que o perfil de temperaturas na camada
limite térmica pode ser aproximado por
T(x,y) = A + B sin(Cy)
Determine o número de Nusselt local através do método integral.
108. Considere um escoamento estacionário, laminar, sobre uma placa plana isotérmica, com propriedades termofísicas constantes e número de Prandtl unitário.
(a) Determine o coeficiente de tensão de corte superficial através do método integral, assumindo que o perfil de velocidades é um polinómio do 2º grau.
(b) Determine o número de Nusselt através do método integral, assumindo que o perfil de temperaturas é também um polinómio do 2º grau.
109. Repita o problema anterior para perfis de velocidades e de temperatura sinusoidais.
110. Considere um escoamento estacionário, laminar, sobre uma placa plana isotérmica, com propriedades termofísicas constantes. Sejam u∞ e T∞ a velocidade e temperatura do
escoamento não perturbado, respectivamente. O fluxo de calor da placa para o fluido é dado por > < < = ′′ o o s mx x x x x q para 0 para 0
em que m é uma constante. Assumindo perfis de velocidade e de temperatura lineares nas camadas limites hidrodinâmica e térmica, respectivamente, e desprezando a dissipação viscosa de energia, deduza uma expressão para o coeficiente de convecção local aplicável a x > xo quando δT < δ.
111. Deduza as equações de balanço integral de quantidade de movimento e de energia para uma camada limite laminar sobre uma placa plana porosa com injecção ou sucção de fluido através da superfície.
112. Vento a 8 m/s sopra sobre a cobertura de uma estação de investigação na Antártida, com 5 × 5 m2. Estime o coeficiente de convecção médio para uma temperatura ambiente de -50 ºC. Assuma que o número de Reynolds para a transição laminar/turbulento é 105.
113. Pretende-se construir um arrefecedor para óleo num avião, usando a superfície da asa como superfície de separação entre o óleo e o ar. A asa pode ser idealizada como uma superfície plana sobre a qual se escoa ar à pressão de 0.7 bar, temperatura de 0ºC e à velocidade de 60 m/s. Pretende-se dimensionar a superfície considerando que se pode colocar o arrefecedor a uma distância A=1m do bordo de ataque da asa, como indicado na figura. A temperatura do óleo e a resistência à transferência de calor do lado do óleo são tais que é válido supor a superfície do arrefecedor à temperatura de 55ºC, constante em toda a sua superfície.
Pretende-se dissipar 2 kW no arrefecedor. Para as alíneas (a) e (b) considere a largura do arrefecedor B=0,6m perpendicular à secção representada.
A C
x
(a) Calcule o comprimento C da superfície do arrefecedor.
(b) No caso da superfície do arrefecedor ser no bordo de ataque (A=0), qual o comprimento C?
(c) Considerando que antes do arrefecedor se retira a camada limite por sucção e que a superfície do arrefecedor deve ficar toda numa zona de camada limite laminar, calcule a dimensão C e a largura B para se trocar a potência pretendida.
Justifique a escolha das correlações e das temperaturas de referência que usar.
114. Considere o escoamento sobre uma placa plana com 1 m de comprimento para velocidades do escoamento não perturbado entre 0.1 e 100 m/s. Determine o coeficiente de convecção médio e a força de resistência por unidade de comprimento para ar a 25 ºC e a pressões de 1 atm e 0.01 atm.
115. A velocidade das correntes em oceanos pode ser determinada com o auxílio de um pequeno sensor constituído por um cilindro de quartzo revestido com uma fina película de platina, a partir da medida de características de transferência de calor. Através da platina faz-se passar uma corrente eléctrica, que a aquece, e o calor é dissipado por convecção para o fluido envolvente. A resistência da película de platina é medida electricamente e a temperatura média do sensor é estimada a partir da resistência. Num dado ensaio, em alto mar, o recurso a um sensor deste tipo, com diâmetro exterior D = 9 mm e comprimento L = 3 cm, colocado perpendicularmente à direcção do escoamento, conduziu aos seguintes resultados:
• Potência = 1,101 W
• Temperatura do sensor = 21,35 ºC • Temperatura da água do mar = 20,54 ºC. (a) Estime a velocidade da água.
(b) Uma potencial fonte de erro associada ao uso deste tipo de sensores é a formação de depósitos na sua superfície exterior. Calcule a espessura de depósitos que conduzirá a um erro de 5% na velocidade da água, sabendo que a condutibilidade térmica dos depósitos é
116. Um sensor de gelo encontra-se colocado na asa de um avião que se desloca a 150 m/s através de ar a -26 ºC e à pressão de 61 kPa. Um sistema de aquecimento é usado para aquecer a superfície do sensor até 0 ºC para avaliar, a partir da curva T=f(t) se há gelo presente (se tal suceder, haverá uma evolução a temperatura constante durante o tempo em que o gelo funde). Determine a potência mínima requerida do sistema de aquecimento, supondo que o sensor tem a forma de um disco com 2 cm de diâmetro. Suponha que a parte da frente da asa pode ser modelada como um cilindro com 30 cm de diâmetro com o sensor colocado no ponto de estagnação.
117. Durante a soldadura de alumínio por arco eléctrico são ejectadas pequenas gotas de alumínio fundido, algumas delas a temperaturas suficientemente quentes para promoverem a ignição e formarem faíscas. A maior parte das gotas é ejectada e temperaturas menores e arrefece. Se uma dada gota tem um diâmetro de 0.5 mm, uma temperatura inicial de 1700 K e uma velocidade inicial de 1 m/s, estime a taxa inicial de arrefecimento da gota. As propriedades do alumínio líquido a 1700 K são: ρ = 2100 kg/m3, c
p = 1100 J /kg K, ε = 0.20.
118. Um permutador de calor é constituído por 30 filas de tubos na direcção longitudinal, com 15 mm de diâmetro exterior, e um arranjo desalinhado. O passo longitudinal é 15 mm e o passo transversal é 24 mm. Vapor à pressão de 2×105 Pa condensa dentro dos tubos. Num teste de eficiência, água à temperatura de 304 K e velocidade de 2 m/s entra no feixe de tubos, saindo a 316 K. Estime o coeficiente de convecção médio e a queda de pressão.
119. Água escoa-se no interior de um feixe de tubos com 10 filas na direcção longitudinal. Os tubos estão dispostos num arranjo alinhado com passo transversal 30 mm e passo longitudinal 25 mm. A velocidade do escoamento à entrada é 0.8 m/s e as temperaturas de entrada e saída da água são 324 e 336 K , respectivamente. A temperatura da superfície dos tubos é 453 K. Estime o coeficiente de convecção médio e a queda de pressão no feixe de tubos.
120. Um feixe de tubos desfasados, com 25 filas na direcção longitudinal, tem passos longitudinal e transversal iguais a 17 e 26 mm, respectivamente. Os tubos têm 16 mm de diâmetro exterior e 1 mm de espessura. Vapor à pressão de 1.7 × 105 Pa condensa dentro dos tubos e um óleo SAE 50 a 300 K escoa-se sobre os tubos à velocidade de 1.23 m/s. Supondo que o coeficiente de convecção do lado interior dos tubos é 8000 W/m2K, determine a temperatura
de saída do óleo e a queda de pressão.
121. Um caudal de 2 kg/s de ar à temperatura de 290 K e à pressão atmosférica escoa-se através de uma conduta cuja secção transversal é de 1 m × 0.4 m. A conduta contém um feixe de tubos desfasados, paralelos à secção de entrada, com 1 m de comprimento e 15 mm de diâmetro exterior, sendo os passos longitudinal e transversal iguais a 30 mm. Se no interior dos tubos estiver vapor a condensar, à pressão atmosférica, qual é o número de filas de tubos requerido para aquecer o ar até 324 K? Determine a queda de pressão nessas condições. 122. Considere o escoamento laminar de um fluido numa tubagem de secção circular. Assuma
que a velocidade do escoamento é uniforme (escoamento tampão) e que o fluxo de calor transmitido através da superfície do tubo é constante. Seja ro o raio interior da tubagem, uo a
velocidade do fluido, α a sua difusibilidade térmica e q ′′ o fluxo de calor transmitido da superfície para o fluido.
(a) Estabeleça a equação da energia para este problema, para escoamento completamente desenvolvido termicamente, desprezando a condução de calor na direcção axial. Justifique as simplificações efectuadas. Indique as condições de fronteira.
(b) Determine a distribuição radial de temperaturas para as condições da alínea (a) em função da temperatura média do fluido.
(c) Determine o número de Nusselt para as condições da alínea anterior. Compare o resultado com o que se obtém para perfil de velocidades parabólico e explique fisicamente a razão da diferença encontrada.
123. Repita o problema anterior para o escoamento entre duas placas planas paralelas.
124. Considere um escoamento estacionário, laminar, completamente desenvolvido (hidrodinâmica e termicamente), através de uma conduta de secção circular, com fluxo uniforme na fronteira. Desprezando a condução de calor na direcção axial, mas considerando o efeito da dissipação viscosa, obtenha uma expressão para o número de Nusselt.
125. Repita o problema anterior para o escoamento entre duas placas planas paralelas.
126. Determine o perfil de velocidades para um escoamento estacionário, laminar, completamente desenvolvido, numa conduta anular com raio interior Ri e raio exterior Ro.
Determine a velocidade média e a coordenada radial para a qual a velocidade é máxima. 127. Determine a queda de pressão por unidade de comprimento num escoamento de 7×10-4 kg/s
de ar a 300 K e à pressão atmosférica numa conduta anular com raio interior 6 mm e raio exterior 10 mm.
128. Considere um escoamento estacionário, laminar, completamente desenvolvido (térmica e hidrodinamicamente), de um fluido de viscosidade elevada com propriedades constantes, através de um tubo de raio ro. A parede do tubo é mantida à temperatura constante Tw através de um sistema de arrefecimento colocado ao longo daquela. Neste caso a equação de condução do calor, em coordenadas cilíndricas, para escoamento axi-simétrico, reduz-se a:
0 1 2 = + r d u d r d T d r r d d r k µ
sendo o perfil de velocidades u(r) dado pela solução de Hagen-Poiseuille.
(a) Determine a distribuição de temperaturas dentro do tubo, T(r). Trace, com um certo rigor, o perfil de temperaturas.
(b) Sendo q a quantidade total de calor extraído pelo sistema de arrefecimento através da parede do tubo ao longo de um comprimento L, prove que:
ρ
p m q= &∆
onde ∆p é a diferença de pressão entre 0 e L e é o caudal mássico de fluido. m&
130. Considere um caudal de água = 3.0 kg/s que se escoa num tubo de secção circular, com um diâmetro interior D = 6 cm, à temperatura de 20 ºC. A jusante de uma secção, na qual o perfil de velocidades já se encontra completamente desenvolvido, a parede do tubo está aquecida, sendo mantida à temperatura de 90 ºC.
m&
(a) Determine a temperatura média da água à saída do tubo se o comprimento da secção aquecida for L = 5 m.
(b) Repita a alínea anterior, sendo agora L = 1 m.
131. Considere um escoamento numa secção "A" de um tubo de 2.5 mm de diâmetro interior com as características hidrodinâmicas correspondentes a escoamento laminar totalmente desenvolvido; considere que a partir desta secção "A" o fluido passou a ser aquecido, sendo a temperatura da parede do tubo constante e igual a 70 °C; na secção "A", o fluido estava a uma temperatura de 15 °C, igual em toda a secção e a velocidade máxima do fluido na secção "A" é de 0.8 m/s.
(a) Calcule o comprimento do tubo necessário para aumentar a temperatura média do benzeno que se escoa nesse tubo de 15 °C para 40 °C.
(b) Trace com um certo rigor, o perfil de velocidades e temperaturas no plano à distância x da secção "A" (x = comprimento obtido na alínea anterior).
(c) Diga, qualitativamente, para o mesmo tubo e caudal mássico, que diferenças esperaria em relação ao comprimento do tubo referido na alínea (a) se os fluidos fossem (i) óleo limpo, (ii) ar, (iii) mercúrio. Justifique.
132. Um caudal de 0.025 m3/s de ar, à temperatura de 29 ºC, entra numa conduta com 0.15 m de diâmetro interior e 0.17 m de diâmetro exterior. A condutibilidade térmica do material constituinte da conduta é 0.15 W m-1 K-1. A conduta encontra-se banhada por água à temperatura de 17 ºC, sendo o respectivo coeficiente de convecção igual a 1500 W/m2K.
(a) Determine o comprimento que a conduta deverá ter de modo a arrefecer o ar até 21 ºC.
(b) Determine a potência do ventilador requerida para promover o escoamento do ar nas condições da alínea anterior.
133. Um caudal de 0.5 kg/s de água entra no interior de um tubo de secção circular com 10 m de comprimento e 2 cm de diâmetro interior. O tubo está sujeito a um fluxo de calor uniforme à taxa de 5×104 W/m2. Suponha que os perfis de velocidade e de temperatura estão completamente desenvolvidos e utilize as propriedades da água a 20 ºC.
(a) Calcule a queda de pressão no tubo. (b) Calcule o coeficiente de convecção.
(c) Calcule a diferença entre a temperatura da parede e a temperatura média da água. (d) Calcule a variação da temperatura média da água entre a entrada e a saída do tubo.
