TRANSFORMAÇÕES LINEARES, OPERADORES LINEARES E
APLICAÇÕES.
Leandro Nogueira Valente1, Antônio Gomes Nunes2
Resumo: A Álgebra Linear é o estudo dos espaços vetoriais e das transformações lineares existentes entre eles. Seu estudo possui grande relevância em diversas áreas da ciência, sendo de caráter essencial na atuação científica e acadêmica de estudantes e profissionais de diversas áreas, e suas aplicações vão além da matemática em si. Possui como objeto central de estudo as transformações Lineares e suas representações por meio de matrizes, tendo em vista que muitos problemas em áreas como projetos estruturais, aeronáutica, automobilística, etc., são descritos matricialmente, e as transformações lineares, mais precisamente os operadores lineares, que são transformações entre espaços vetoriais de dimensões iguais, e consequentemente o estudo dos autovalores e autovetores, polinômio característico e diagonalização, constituem-se uma ferramenta essencial para a simplificação e solução de tais problemas. Com este trabalho, propõe-se uma revisão bibliográfica sobre as transformações lineares, dando ênfase nos operadores lineares, objetivando, por meio de definições, demonstrações de teoremas e exposição de aplicações, estudar detalhadamente esta vertente tão importante da álgebra linear.
Palavras-chave: Álgebra Linear. Transformações lineares. Operador linear. Espaço vetorial.
1. INTRODUÇÃO
A Álgebra Linear é uma disciplina ministrada normalmente no ciclo básico de cursos de engenharia, matemática, entre outros. Tendo surgido do estudo de sistemas de equações lineares, sejam eles algébricos ou diferenciais, se utiliza de alguns conceitos e estruturas fundamentais da matemática como vetores, espaços vetoriais, transformações lineares e matrizes. Definida por [10] como o estudo dos espaços vetoriais e das transformações lineares entre eles, possui inúmeras aplicações que transcendem os limites da matemática propriamente dita, podendo ser vista em diversos ramos, como: projetos estruturais de engenharia civil, computação gráfica, projetos automotivos e aeronáuticos, criptografia, modelagem, etc., o que faz com que seu estudo seja de grande importância. Por exemplo, em uma pesquisa realizada por [3] com professores da Universidade Federal do Ceará (UFC), no curso de Engenharia de Teleinformática, afirma-se a relevância dos tópicos de álgebra linear para a atuação científica e acadêmica de engenheiros, sendo que houve a constatação de que, das disciplinas abordadas na pesquisa, aproximadamente 85% necessitam da maioria deles para o acompanhamento da disciplina.
As funções nas quais se está interessado na Álgebra Linear são as funções cujos domínios e contradomínios são espaços vetoriais e que, além disso, preservam as operações de adição de vetores e de multiplicação de um vetor por um escalar. Em vista disso, o estudo das transformações lineares tem papel central no desenvolvimento e aplicação de suas teorias [1]. Uma transformação linear 𝑇 ∶ 𝑉 → 𝑊 é um tipo particular de função que tem o espaço vetorial 𝑉 como domínio e o espaço 𝑊 como contradomínio. Em geral, para se definir uma função 𝑓: 𝑋 → 𝑌 é necessário especificar o valor 𝑓(𝑥) para cada elemento 𝑥 no seu domínio 𝑋. O que torna as transformações lineares tão manejáveis é que, para se conhecer 𝑇, basta que se saibam os valores 𝑇(𝑣) que 𝑇 assume nos vetores 𝑣 ∈ 𝛽, onde 𝛽 é uma base de 𝑊. Isto é particularmente útil quando 𝑉 tem dimensão finita. Neste caso, um número finito de valores 𝑇(𝑣1), … , 𝑇(𝑣𝑛) (onde {𝑣1, … , 𝑣𝑛} ⊂ 𝑉 é uma base) atribuídos arbitrariamente, definem
inteiramente uma transformação linear 𝑇 ∶ 𝑉 → 𝑊 [10].
Este trabalho propõe-se, através de uma revisão bibliográfica, bem como de demonstrações de resultados e aplicações, à exposição de uma das vertentes mais importantes compreendida pela Álgebra Linear, as Transformações Lineares.
2. DESENVOLVIMENTO
Nesta seção, define-se o que é uma Transformação Linear, bem como suas propriedades. Além disso, aborda-se alguns conceitos relevantes ao entendimento das transformações lineares como: núcleo e imagem, função injetiva, sobrejetiva e bijetiva, função composta e inversa, isomorfismos, a relação entre transformações lineares e matrizes e matrizes semelhantes. Após tais definições, será abordado os assuntos: Operadores Lineares, Autovalores e Autovetores, além de Diagonalização de operadores. Por fim, serão mostradas algumas aplicações dos conceitos abordados.
UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DO SEMIÁRIDO - UFERSA CURSO DE BACHARELADO EM CIÊNCIA E TECNOLOGIA Trabalho de Conclusão de Curso (2019).
2.1. Transformações Lineares
Definição 01: Sejam 𝑉 e 𝑊 dois espaços vetoriais, dizemos que uma função 𝑇 ∶ 𝑉 → 𝑊 é uma Transformação
Linear (Aplicação Linear) se as seguintes condições forem satisfeitas [4]:
• 𝑇(𝑢 + 𝑣) = 𝑇(𝑢) + 𝑇(𝑣), para quaisquer 𝑢, 𝑣 ∈ 𝑉; • 𝑇(𝛼𝑢) = 𝛼𝑇(𝑢), para todo 𝛼 ∈ ℝ e 𝑢 ∈ 𝑉.
Estas duas condições, segundo [9], podem ser condensadas numa só, a saber: • ∀ 𝑢, 𝑣 ∈ 𝑉 e ∀𝛼1, 𝛼2∈ ℝ, 𝑇(𝛼1𝑢 + 𝛼2𝑣) = 𝛼1𝑇(𝑢) + 𝛼2𝑇(𝑣).
2.1.1. Propriedades
Tomando os espaços vetoriais V e W, e 𝑇 ∶ 𝑉 → 𝑊 a transformação linear que relaciona leva vetores de V em
W. Tem-se as seguintes propriedades, resultantes do conceito de linearidade:
• 𝑇(0𝑉) = 0𝑊 , onde 0𝑉, 0𝑊 são os vetores nulos de V e W, respectivamente. Logo, esta propriedade
fornece um meio para verificar que uma transformação não é linear, de forma que, se 𝑇(0𝑉) ≠ 0𝑊, 𝑇 não
é linear. Porém, deve-se observar que a satisfação desta propriedade não é suficiente para garantir a linearidade de uma transformação [4];
• Se 𝑣 ∈ 𝑉, então: 𝑇(−𝑣) = −𝑇(𝑣);
• Se 𝑢, 𝑣 ∈ 𝑉, então: 𝑇(𝑢 − 𝑣) = 𝑇(𝑢) − 𝑇(𝑣); 2.2. Conceitos e Teoremas
Nesta subseção serão abordados algumas definições e teoremas importantes para o aprofundamento do estudo de transformações lineares. Seu correto entendimento serve como embasamento e alicerce à compreensão dos Operadores Lineares, bem como às aplicações que serão citadas.
Definição 02: Sejam 𝑉 𝑒 𝑊 espaços vetoriais, e seja 𝑇 ∶ 𝑉 → 𝑊, uma transformação linear, define-se: • O Núcleo de 𝑻, denotado por 𝐾𝑒𝑟(𝑇) = {𝑣 ∈ 𝑉 ; 𝑇(𝑣) = 0𝑊};
• A Imagem de 𝑻, denotada por 𝐼𝑚(𝑇), como sendo 𝐼𝑚(𝑇) = {𝑤 ∈ 𝑊 ; 𝑤 = 𝑇(𝑣) 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑎𝑙𝑔𝑢𝑚 𝑣 ∈ 𝑉} = {𝑇(𝑣); 𝑣 ∈ 𝑉}.
Teorema 01: Se 𝑉 𝑒 𝑊 são espaços vetoriais e 𝑇: 𝑉 → 𝑊 uma transformação linear, então: a. 𝐾𝑒𝑟(𝑇) é subespaço de 𝑉;
b. 𝐼𝑚(𝑇) é subespaço de 𝑊;
c. 𝑇 é injetora ⇔ (Se, e somente se) 𝐾𝑒𝑟(𝑇) = {0𝑉}.
Segue-se, a seguir, a demonstração de cada uma das proposições do teorema supracitado.
Demonstração de a: Por definição, 𝐾𝑒𝑟(𝑇) ⊆ 𝑉. Além disso, como o vetor nulo de 𝑉 pertence ao núcleo da transformação (0𝑉∈ 𝐾𝑒𝑟(𝑇)), conclui-se que o mesmo não é um espaço vazio, ou seja, 𝐾𝑒𝑟(𝑇) ≠ ∅. Sejam,
agora, 𝑢, 𝑣 ∈ 𝐾𝑒𝑟(𝑇) e 𝛼 ∈ ℝ. Então: 𝑇(𝑢 + 𝑣) = 𝑇(𝑢) + 𝑇(𝑣) = 0𝑊+ 0𝑊= 0𝑊 e 𝑇(𝛼𝑢) = 𝛼𝑇(𝑢) =
𝛼. 0𝑊= 0𝑊.
Assim, como visto, 𝐾𝑒𝑟(𝑇), está contido em 𝑉 e não é vazio, pois contém o vetor nulo 0𝑊. Além disso,
preserva o conceito de linearidade, ou seja, as operações de soma de vetores, 𝑢 + 𝑣, e multiplicação de vetor por escalar, 𝛼𝑢. Logo, 𝐾𝑒𝑟(𝑇) é um subespaço vetorial de 𝑉. ∎
Demonstração de b: Por definição, tem-se que 𝐼𝑚(𝑇) ⊆ 𝑊 𝑒 0𝑊∈ 𝐼𝑚(𝑇). Supõe-se, agora, 𝑤1, 𝑤2∈ 𝐼𝑚(𝑇) e
𝛼 ∈ ℝ. Então, existem vetores 𝑣1, 𝑣2 ∈ 𝑉 tais que 𝑤1= 𝑇(𝑣1) e 𝑤2= 𝑇(𝑣2). Assim, 𝑤1+ 𝑤2= 𝑇(𝑣1) +
𝑇(𝑣2) = 𝑇(𝑣1+ 𝑣2) e 𝛼𝑤1= 𝛼𝑇(𝑣1) = 𝑇(𝛼𝑣1). Então, como 𝐼𝑚(𝑇) está contida em 𝑊, não é vazio, e preserva
o conceito de linearidade, conclui-se que 𝐼𝑚(𝑇) é um subespaço vetorial de 𝑊. ∎
Demonstração de c: Primeiro, deve-se mostrar que, supondo que 𝑇 é injetiva, 𝐾𝑒𝑟(𝑇) = {0𝑉}. De fato, tomando
𝑣 ∈ 𝐾𝑒𝑟(𝑇). Logo 𝑇(𝑣) = 0𝑊. Mas, tem-se que 𝑇(0𝑉) = 0𝑊, e assim, 𝑇(𝑣) = 𝑇(0𝑉). Considerando a suposição
inicial, em que 𝑇 é injetiva, deve-se ter 𝑣 = 0𝑉, ou, mais precisamente, 𝐾𝑒𝑟(𝑇) = {0𝑉}.
Segundo, deve-se provar que, supondo que 𝐾𝑒𝑟(𝑇) = {0𝑉}, 𝑇 é injetiva. Sejam 𝑢, 𝑣 ∈ 𝑉 com 𝑇(𝑢) = 𝑇(𝑣).
Então, 𝑇(𝑢) − 𝑇(𝑣) = 0𝑊, consequentemente, 𝑇(𝑢 − 𝑣) = 0𝑊. Logo, 𝑢 − 𝑣 ∈ 𝐾𝑒𝑟(𝑇) e já que, pela suposição
acima, o único vetor pertencente ao núcleo é o vetor nulo de 𝑉, tem-se que 𝑢 − 𝑣 = 0𝑉, de modo que 𝑢 = 𝑣 e,
portanto, 𝑇 é injetiva. ∎
A formulação a seguir relaciona os conjuntos geradores de espaços vetoriais 𝑉 𝑒 𝑊 à transformação 𝑇 que os relaciona.
Teorema 02: Agora, sejam 𝑉 𝑒 𝑊 espaços vetoriais, onde 𝑉 é gerado por 𝑣1, 𝑣2, 𝑣3, … , 𝑣𝑛. Seja, ainda 𝑇: 𝑉 → 𝑊
uma transformação linear. Tem-se que o conjunto formado por 𝑇(𝑣1), 𝑇(𝑣2), 𝑇(𝑣3), … , 𝑇(𝑣𝑛) gera 𝐼𝑚(𝑇).
Demonstração: Há de se notar que cada elemento 𝑇(𝑣1), 𝑇(𝑣2), 𝑇(𝑣3), … , 𝑇(𝑣𝑛) pertence a 𝐼𝑚(𝑇), logo,
{𝑇(𝑣1), 𝑇(𝑣2), 𝑇(𝑣3), … , 𝑇(𝑣𝑛)} ⊂ 𝐼𝑚(𝑇). Seja 𝑤 ∈ 𝐼𝑚(𝑇). Então, existe algum 𝑣 ∈ 𝑉 tal que 𝑇(𝑣) = 𝑤. Como
os 𝑣𝑖 geram 𝑉 e como 𝑣 ∈ 𝑉, existem escalares 𝑎1, 𝑎2, 𝑎3, … , 𝑎𝑛 para os quais 𝑣 = 𝑎1𝑣1+𝑎2𝑣2+ 𝑎3𝑣3+ ⋯ +
𝑎𝑛𝑣𝑛. Portanto, a aplicação de 𝑇 sobre 𝑣 resulta em: 𝑢 = 𝑇(𝑣) = 𝑇(𝑎1𝑣1+𝑎2𝑣2+ 𝑎3𝑣3+ ⋯ + 𝑎𝑛𝑣𝑛) =
𝑎1𝑇(𝑣1)+𝑎2𝑇(𝑣2) + 𝑎3𝑇(𝑣3) + ⋯ + 𝑎𝑛𝑇(𝑣𝑛). Assim, os vetores 𝑇(𝑣1), 𝑇(𝑣2), 𝑇(𝑣3), … , 𝑇(𝑣𝑛) geram 𝐼𝑚(𝑇).
∎
Uma consequência importante dos teorema supracitado é que, se 𝑇: 𝑉 → 𝑊 é uma transformação linear e 𝑑𝑖𝑚𝑉 é finita, então 𝑑𝑖𝑚𝐼𝑚(𝑇) ≤ 𝑑𝑖𝑚𝑉.
De fato! Supondo que 𝑑𝑖𝑚𝑉 = 𝑛, e 𝛽 = {𝑣1, 𝑣2, 𝑣3, … , 𝑣𝑛}, uma base de 𝑉. Pelo Teorema 02, o conjunto
{𝑇(𝑣1), 𝑇(𝑣2), 𝑇(𝑣3), … , 𝑇(𝑣𝑛)} gera 𝐼𝑚(𝑇). Como o conjunto gerador de um espaço vetorial pode não ser
linearmente independente, significando que a base de tal espaço pode ter um número menor de vetores do que os que compõem o seu conjunto gerador, conclui-se que dim (𝐼𝑚(𝑇)) ≤ 𝑑𝑖𝑚𝑉. ∎
Teorema do Núcleo e da Imagem (TNI): Sejam 𝑉 𝑒 𝑊 espaços vetoriais de dimensão finita. Se 𝑇: 𝑉 → 𝑊 é uma transformação Linear, então:
dim 𝑉 = dim(𝐾𝑒𝑟(𝑇)) + dim(𝐼𝑚(𝑇))
Demonstração: Seja 𝛽1= {𝑣1, … , 𝑣𝑘} uma base para o núcleo de 𝑇, ou seja, dim 𝐾𝑒𝑟(𝑇) = 𝑘. Sabe-se que
𝐾𝑒𝑟(𝑇) é um subespaço de 𝑉. Existem vetores 𝑤1, … , 𝑤𝑠 tais que 𝛽2= {𝑣1, … , 𝑣𝑘, 𝑤1, … , 𝑤𝑠 } é uma base de 𝑉.
Deve-se demonstrar que 𝛽 = {𝑇(𝑤1), … , 𝑇(𝑤𝑠)} é uma base para 𝐼𝑚(𝑇) [8].
Dado 𝑤 ∈ 𝐼𝑚(𝑇), então existe 𝑣 ∈ 𝑉 tal que 𝑇(𝑣) = 𝑤. O elemento 𝑣, pode ser escrito como combinação linear dos elementos da base 𝛽2 de 𝑉, ou seja, 𝑣 = 𝛼1𝑣1+ ⋯ + 𝛼𝑘𝑣𝑘+ 𝛽1𝑤1+ ⋯ + 𝛽𝑠𝑤𝑠, com
𝛼1, … , 𝛼𝑘, 𝛽1, … , 𝛽𝑠∈ ℝ.
Aplicando a transformação linear 𝑇 em 𝑣, tem-se que: 𝑤 = 𝑇(𝑣) = 𝑇(𝛼1𝑣1+ ⋯ + 𝛼𝑘𝑣𝑘+ 𝛽1𝑤1+ ⋯ +
𝛽𝑠𝑤𝑠) = 𝛼1𝑇(𝑣1) + ⋯ + 𝛼𝑘𝑇(𝑣𝑘) + 𝛽1𝑇(𝑤1) + ⋯ + 𝛽𝑠𝑇(𝑤𝑠)
Há de se lembrar de que 𝑣1, … , 𝑣𝑘 pertencem a 𝐾𝑒𝑟(𝑇), logo, 𝑇(𝑣1) = ⋯ = 𝑇(𝑣𝑘) = 𝑂𝑊, o que resulta em:
𝑤 = 𝛽1𝑇(𝑤1) + ⋯ + 𝛽𝑠𝑇(𝑤𝑠). Assim, dado um vetor 𝑤 ∈ 𝐼𝑚(𝑇), ele pode ser escrito como combinação linear
dos elementos do conjunto 𝛽, logo, 𝐼𝑚(𝑇) = [{𝑇(𝑤1), … , 𝑇(𝑤𝑠)}]. O próximo passo é mostrar que o conjunto 𝛽
é linearmente independente (L.I) [8].
Considerando a combinação nula 𝛽1𝑇(𝑤1) + ⋯ + 𝛽𝑠𝑇(𝑤𝑠) = 0𝑊. Pela linearidade, pode-se reescrever este
resultado como sendo 𝑇(𝛽1𝑤1+ ⋯ + 𝛽𝑠𝑤𝑠) = 0𝑊. Dessa forma, 𝛽1𝑤1+ ⋯ + 𝛽𝑠𝑤𝑠 ∈ 𝐾𝑒𝑟(𝑇). Logo, esse
elemento pode ser escrito como combinação linear dos elementos da base do núcleo 𝛽1:
𝛽1𝑤1+ ⋯ + 𝛽𝑠𝑤𝑠= 𝛼1𝑣1+ ⋯ + 𝛼𝑘𝑣𝑘 ⇒ 𝛼1𝑣1+ ⋯ + 𝛼𝑘𝑣𝑘+ (−𝛽1)𝑤1+ ⋯ + (−𝛽𝑠)𝑤𝑠= 0𝑉
Como 𝛽2= {𝑣1, … , 𝑣𝑘, 𝑤1, … , 𝑤𝑠 } é base de 𝑉, então é L.I., logo, todos os escalares da última igualdade são
nulos. Em particular, 𝛽1= ⋯ = 𝛽𝑠= 0, resultando em que 𝛽 é L.I. e gera a imagem de 𝑇, logo, é uma base para
𝐼𝑚(𝑇), desta forma, dim(𝐼𝑚(𝑇)) = 𝑠. Como dim(𝑉) = 𝑘 + 𝑠, então:
dim(𝑉) = 𝑟 + 𝑠 = dim(𝐾𝑒𝑟(𝑇)) + dim(𝐼𝑚(𝑇)). ∎ Segundo [4], decorrem deste teorema algumas consequências, dentre as quais:
a. Se 𝑇é sobrejetora, então dim (𝑉) ≥ dim (𝑊).
Se 𝐼𝑚(𝑇) = 𝑊 por ser sobrejetora, tem-se que dim (𝑉) ≥ dim Im (𝑇) equivale a dizer que dim (𝑉) ≥ dim (𝑊). ∎
b. Se 𝑇 é injetora, então dim (𝑉) ≤ dim (𝑊).
O fato de 𝑇 ser injetora implica que 𝐾𝑒𝑟(𝑇) = {0𝑉}. Daí, dim (𝐾𝑒𝑟(𝑇)) = 0. Então dim(𝑉) =
dim(𝐼𝑚(𝑇)) ≤ dim(𝑊) . ∎
c. Se dim(𝑉) = dim (𝑊), então 𝑇 linear é injetora se e somente se 𝑇 é sobrejetora.
De fato! Considerando que dim(𝑉) = dim (𝑊). Se 𝑇 é injetora, então dim(𝐾𝑒𝑟(𝑇)) = 0. Assim, pelo TNI, dim(𝑉) = dim (𝐼𝑚(𝑇)). Logo, dim(𝐼𝑚(𝑇)) = dim(𝑊), e, assim, 𝐼𝑚(𝑇) = 𝑊, ou seja, 𝑇 é sobrejetora. Suponha agora 𝑊 = 𝐼𝑚(𝑇) (𝑇 sobrejetora). Assim, dim(𝑉) = dim (𝐼𝑚(𝑇)). Como dim(𝑉) = dim(𝐾𝑒𝑟(𝑇)) + dim(𝐼𝑚(𝑇)), deve-se ter dim(𝐾𝑒𝑟(𝑇)) = 0, ou seja, 𝐾𝑒𝑟(𝑇) = {0𝑉}, ou
seja, 𝑇 é injetora. ∎
d. Se 𝑇 é bijetora, então dim (𝑉) = dim (𝑊).
Usando o TNI: dim(𝑉) = dim(𝐾𝑒𝑟(𝑇)) + dim(𝐼𝑚(𝑇)) = 0 + dim(𝐼𝑚(𝑇)) = dim(𝐼𝑚(𝑇)) = dim (𝑊). ∎
A seguir, define-se função composta e função inversa, bem como sua relação com as transformações lineares [2].
Teorema 03: Sejam 𝑉, 𝑊𝑒 𝑈 espaços vetoriais, 𝑇: 𝑉 → 𝑊e 𝑆: 𝑊 → 𝑈, transformações lineares. Pode-se visualizar estas transformações como se segue: 𝑉 → 𝑊𝑇 → 𝑈. Propõe-se que: 𝑆
a. A composta 𝑆𝑜𝑇: 𝑉 → 𝑈 é uma transformação linear.
Sejam 𝑣1, 𝑣2∈ 𝑉 e 𝛼 ∈ ℝ, então; (𝑆𝑜𝑇)( 𝑣1+ 𝑣2) = 𝑆(𝑇( 𝑣1+ 𝑣2)) = 𝑆(𝑇(𝑣1) + 𝑇(𝑣2)) = 𝑆(𝑇(𝑣1)) +
𝑆(𝑇(𝑣2)) = (𝑆𝑜𝑇)(𝑣1) + (𝑆𝑜𝑇)(𝑣2) e (𝑆𝑜𝑇)( 𝛼𝑣1) = 𝑆(𝑇( 𝛼𝑣1)) = 𝑆(𝛼𝑇( 𝑣1)) = 𝛼𝑆(𝑇( 𝑣1)) = 𝛼(𝑆𝑜𝑇)(𝑣1).
Logo, 𝑆𝑜𝑇 é linear. ∎
b. Se 𝑇 é bijetora, a inversa de 𝑇, denotada por 𝑇−1: 𝑊 → 𝑉 também é linear.
Sejam 𝑤1, 𝑤2∈ 𝑊 e 𝛼 ∈ ℝ, existem 𝑣1, 𝑣2∈ 𝑉 tais que 𝑤1= 𝑇(𝑣1) 𝑒 𝑤2 𝑇(𝑣2). Daí, 𝑣1= 𝑇−1(𝑤1) 𝑒 𝑣2=
𝑇−1(𝑤
2). Disto resulta que: 𝑇−1(𝑤1+ 𝑤2) = 𝑇−1(𝑇(𝑣1) + 𝑇(𝑣2)) = 𝑇−1(𝑇(𝑣1+ 𝑣2)) = 𝑣1+ 𝑣2=
𝑇−1(𝑤
1) + 𝑇−1(𝑤2) e 𝑇−1(𝛼𝑤1) = 𝑇−1(𝛼𝑇(𝑣1)) = 𝑇−1(𝑇(𝛼𝑣1)) = 𝛼𝑣1= 𝛼𝑇−1(𝑤1). Logo, a inversa 𝑇−1 é
linear. ∎
A composição de transformações lineares e as operações de soma e multiplicação por escalar estão relacionadas como se segue. [2].
Teorema 04: Se 𝑉, 𝑊𝑒 𝑈 são espaços vetoriais, e 𝑇: 𝑉 → 𝑊, 𝑇−1: 𝑊 → 𝑉, 𝑆: 𝑊 → 𝑈 e 𝑆−1: 𝑈 → 𝑊,
transformações lineares, então:
a. 𝑆𝑜(𝑇 + 𝑇−1) = 𝑆𝑜𝑇 + 𝑆𝑜𝑇−1;
b. (𝑆 + 𝑆−1)𝑜𝑇 = 𝑆𝑜𝑇 + 𝑆−1𝑜𝑇;
c. 𝛼(𝑆𝑜𝑇) = (𝛼𝑆)𝑜𝑇 = 𝑆𝑜(𝛼𝑇), para todo 𝛼 ∈ ℝ.
Definição 03: Seja 𝑇: 𝑉 → 𝑊 uma transformação linear. Uma de suas propriedades mostra que, para qualquer transformação, 𝑇(0𝑉) = 0𝑉. Denota-se 𝑇 como singular se a imagem de algum vetor não nulo 𝑣 ∈ 𝑉 for 0, isto
é, se existir algum 𝑣 ≠ 0 tal que 𝑇(𝑣) = 0𝑊. Em contrapartida, 𝑇: 𝑉 → 𝑊 é dita não singular se o vetor nulo 0𝑉
for o único vetor cuja imagem dada por 𝑇 é 0𝑊; em outras palavras, 𝐾𝑒𝑟(𝑇) = {0𝑊} [2].
Definição 04: Quando uma transformação linear 𝑇: 𝑉 → 𝑊 for, simultaneamente, injetora e sobrejetora, dá-se à mesma o nome de isomorfismo. Quando há uma tal transformação entre dois espaços vetoriais, dizemos que estes são isomorfos. Sob o ponto de vista da Álgebra Linear, espaços vetoriais isomorfos são, por assim dizer, idênticos [4].
Observação: Sejam 𝑉 e 𝑊 espaços vetoriais. Se 𝑉 e 𝑊 são isomorfos, então dim(𝑉) = dim (𝑊). De fato, considerando 𝑇: 𝑉 → 𝑊 um isomorfismo entre 𝑉 e 𝑊. Se dim(𝑉) = ∞, em particular, 𝑈 possui infinitos conjuntos linearmente independentes. Como 𝑇 é injetora, infere-se que 𝑊 também possui conjuntos linearmente independentes infinitos e, portanto, dim(𝑊) = ∞. No caso em que dim(𝑉) = 𝑛 < ∞, usa-se o fato de 𝑇 ser injetora e o Teorema do Núcleo e Imagem para inferir que dim(𝐼𝑚(𝑇)) = 𝑛. Como 𝑇 é sobrejetora, segue que 𝐼𝑚(𝑇) = 𝑊 e a igualdade requerida é atendida [11].
Teorema 05: Seja 𝑉 um espaço vetorial de dimensão finita e suponha quedim(𝑉) = dim (𝑤). Seja 𝑇: 𝑉 → 𝑊 linear. Então 𝑇 é um isomorfismo se, e só se, 𝑇 é não singular.
Demonstração: Se 𝑇 é um isomorfismo, então somente 0𝑉 é levado em 0𝑊, de modo que 𝑇 é não singular.
Reciprocamente, supondo que 𝑇 seja não singular, então dim(𝐾𝑒𝑟(𝑇)) = 0. Usando o TNI, onde dim(𝑉) = dim(𝐾𝑒𝑟(𝑇)) + dim(𝐼𝑚(𝑇)), tem-se que dim(𝑊) = dim (𝑉) = dim(𝐼𝑚(𝑇)). Como 𝑊 tem dimensão finita, 𝐼𝑚(𝑇) = 𝑊. Isso significa que 𝑇 leva 𝑉 sobre 𝑊. Assim, 𝑇 é injetora e sobrejetora, ou seja, um isomorfismo. ∎
O teorema a seguir relaciona as transformações lineares de espaços isomorfos com as respectivas bases dos espaços vetoriais envolvidos na transformação.
Teorema 06: Sejam 𝑉 𝑒 𝑊 espaços vetoriais de dimensão finita. Supondo que 𝑇: 𝑉 → 𝑊 seja um isomorfismo, se 𝛽1= {𝑣1, … , 𝑣𝑛} é base de 𝑉, então 𝛽2= {𝑇(𝑣1), … , 𝑇(𝑣𝑛)} é base de 𝑊.
Demonstração: Primeiramente, considera-se que, pelo fato de 𝑇: 𝑉 → 𝑊 ser um isomorfismo, dim(𝑉) = dim(𝑊) = 𝑛. Deve-se mostrar que 𝛽2 é L.I. Para isso, sejam escalares 𝛼1, … , 𝛼𝑛∈ ℝ, tais que uma combinação
linear destes escalares com os vetores 𝑇(𝑣1), … , 𝑇(𝑣𝑛) resultando no vetor nulo de 𝑊 pode ser escrita como:
portanto, 𝛼1𝑣1+ ⋯ + 𝛼𝑛𝑣𝑛∈ 𝐾𝑒𝑟(𝑇). Como 𝑇 é injetora, conclui-se que 𝛼1𝑣1+ ⋯ + 𝛼𝑛𝑣𝑛= 0𝑉. Daí, 𝛼1=
⋯ = 𝛼𝑛= 0, tendo em vista que os vetores 𝑣1, … , 𝑣𝑛, por constituírem uma base de 𝑉, são linearmente
independentes. Como 𝛽2 é L.I., tem 𝑛 elementos, conclui-se que 𝛽2 gera 𝑊. Portanto, 𝛽2 é base de 𝑊. ∎.
2.3. Transformações lineares e matrizes
Nesta seção, será discutida a relação entre o estudo das transformações lineares e a teoria das matrizes, onde será mostrada sua importância teórica e prática nas aplicações que serão explanadas posteriormente. Segundo [6], com o estudo que será feito, pretende-se mostrar que se 𝑉 𝑒 𝑊 são espaços vetoriais de dimensão finita então, com um pouco de criatividade, qualquer transformação linear 𝑇: 𝑉 → 𝑊 pode ser considerada como uma transformação matricial. A ideia básica é trabalhar com matrizes de coordenadas dos vetores em vez dos próprios vetores.
Segundo [6], são duas as razões básicas para estudar matrizes de transformações lineares, uma teórica e a outra bastante prática. Primeiro, muitas vezes, as respostas a questões teóricas sobre a estrutura de transformações lineares arbitrárias em espaços vetoriais de dimensão finita podem ser obtidas simplesmente estudando as transformações matriciais. Segundo, estas matrizes tornam possível calcular as imagens de vetores usando multiplicação matricial. Estes cálculos podem ser efetuados rapidamente em computadores.
Seja 𝑉 um espaço vetorial n-dimensional e 𝑊 um espaço vetorial m-dimensional, e 𝑇: 𝑉 → 𝑊, uma transformação. Sejam, ainda, 𝛼 e 𝛽 bases para 𝑉 e 𝑊, respectivamente. Para 𝑣 em 𝑉, a matriz de coordenadas [𝑣]𝛼
será um vetor em ℝ𝑛, bem como, a matriz de coordenadas [𝑇(𝑣)]
𝛽 será um vetor em ℝ𝑚 (Figura 1).
Figura 1. Transformações lineares e matrizes. Fonte: Adaptado de [6].
Figura 2. Matriz da Transformação Linear. Fonte: Adaptado de [6].
Como ilustrado na Figura 2, ao completar o retângulo sugerido na Figura 1, obtêm-se uma transformação linear de ℝ𝑛 em ℝ𝑚 [6]. Seja 𝐴 a matriz canônica da transformação 𝑇, então:
𝐴[𝑣]𝛼= [𝑇(𝑣)]𝛽
A matriz 𝐴 é denominada Matriz de 𝑻 em relação às bases 𝜶 𝒆 𝜷, denotada por [𝑻]𝜷𝜶 .
A seguir será mostrado como se determina esta matriz. Para tal fim, considera-se 𝛼 = {𝑣1, … , 𝑣𝑛} e 𝛽 =
{𝑤1, … , 𝑤𝑚}. Então, os vetores 𝑇(𝑣1), … , 𝑇(𝑣𝑛) são vetores de 𝑊 e portanto:
𝑇(𝑣1) = 𝑎11𝑤1+ 𝑎21𝑤2+ ⋯ + 𝑎𝑚1𝑤𝑚
𝑇(𝑣2) = 𝑎12𝑤1+ 𝑎22𝑤2+ ⋯ + 𝑎𝑚2𝑤𝑚
⋮ ⋮ ⋮ … ⋮ 𝑇(𝑣𝑛) = 𝑎1𝑛𝑤1+ 𝑎2𝑛𝑤2+ ⋯ + 𝑎𝑚𝑛𝑤𝑚
Define-se [𝑇]𝛽𝛼 como a matriz: [𝑇]𝛽𝛼= [ 𝑎11 𝑎21 𝑎12 𝑎22 ⋯ 𝑎1𝑛 𝑎2𝑛 ⋮ ⋱ ⋮ 𝑎𝑚1 𝑎𝑚2 ⋯ 𝑎𝑚𝑛 ]
Teorema 07: Sejam 𝑉 𝑒 𝑊 espaços vetoriais, 𝛼 uma base de 𝑉, 𝛽 uma base de 𝑊 e 𝑇: 𝑉 → 𝑊 uma transformação linear, então [𝑇(𝑣)]𝛽= [𝑇]𝛽𝛼[𝑣]𝛼 , para todo 𝑣 ∈ 𝑉.
A demonstração será feita com 𝑑𝑖𝑚𝑉 = 2 e 𝑑𝑖𝑚𝑊 = 3. O caso geral é totalmente análogo [4].
Demonstração: Sejam 𝛼 = {𝑣1, 𝑣2} base de 𝑉, 𝛽 = {𝑤1, 𝑤2, 𝑤3} base de 𝑊 e [𝑇]𝛽𝛼= [
𝑎11 𝑎12 𝑎21 𝑎22 𝑎31 𝑎32 ]. Sejam ainda 𝑣 ∈ 𝑉 e [𝑣]𝛼= [ 𝑥1 𝑥2] e [𝑇(𝑣)]𝛽= [ 𝑦1 𝑦2 𝑦3
]. Da matriz [𝑇]𝛽𝛼 sabe-se que:
𝑇(𝑣1) = 𝑎11𝑤1+ 𝑎21𝑤2+ 𝑎31𝑤3
𝑇(𝑣2) = 𝑎12𝑤1+ 𝑎22𝑤2+ 𝑎32𝑤3
Além disso, 𝑣 = 𝑥1𝑣1+ 𝑥2𝑣2, e como 𝑇 é linear: 𝑇(𝑣) = 𝑥1𝑇(𝑣1) + 𝑥2𝑇(𝑣2) = 𝑥1(𝑎11𝑤1+ 𝑎21𝑤2+
𝑎31𝑤3) + 𝑥2(𝑎12𝑤1+ 𝑎22𝑤2+ 𝑎32𝑤3) = (𝑎11𝑥1+ 𝑎12𝑥2)𝑤1+ (𝑎21𝑥1+ 𝑎22𝑥2)𝑤2+ (𝑎31𝑥1+ 𝑎32𝑥2)𝑤3.
Mas como 𝑇(𝑣) = 𝑦1𝑤1+ 𝑦2𝑤2+ 𝑦3𝑤3 e como as coordenadas em relação à base 𝛽 são únicas, tem-se que:
𝑦1= 𝑎11𝑥1+ 𝑎12𝑥2 𝑦2= 𝑎21𝑥1+ 𝑎22𝑥2 𝑦3= 𝑎31𝑥1+ 𝑎32𝑥2 Ou seja, [ 𝑦1 𝑦2 𝑦3 ] = [ 𝑎11 𝑎12 𝑎21 𝑎22 𝑎31 𝑎32 ] [𝑥𝑥1 2] Isto é, [𝑇(𝑣)]𝛽= [𝑇]𝛽𝛼[𝑣]𝛼. ∎
Através deste teorema, o estudo de transformações lineares entre espaços de dimensão finita é reduzido ao estudo de matrizes [4]. O teorema a seguir relaciona o estudo matricial à composição de transformações lineares. Teorema 08: Sejam 𝑉, 𝑊 𝑒 𝑈, espaços vetoriais, 𝛼, 𝛽, 𝑒 𝛾 bases de 𝑉, 𝑊 𝑒 𝑈, respectivamente e 𝑇1= 𝑉 → 𝑊 e
𝑇2= 𝑊 → 𝑈 transformações lineares, então: [𝑇2𝑜𝑇1]𝛾𝛼 = [𝑇2]𝛾 𝛽
[𝑇1]𝛽𝛼.
Definição 05: Sejam 𝐴 𝑒 𝐵 matrizes 𝑛𝑥𝑛. Diz-se que 𝐴 𝑒 𝐵 são semelhantes se existir uma matriz 𝑃𝑛𝑥𝑛 invertível
tal que 𝐴 = 𝑃𝐵𝑃−1.
2.4. Operadores Lineares, autovalores e autovetores
Nesta seção, será definido um tipo particular de transformação linear, a saber, os operadores lineares. Também será abordado os conceitos de autovalor e Autovetor, além da exposição do processo de diagonalização, que se utiliza destas definições e conceitos para a compreensão do mesmo.
Definição 06: Seja 𝑉 um espaço vetorial. A transformação linear 𝑇: 𝑉 → 𝑉, é chamada de Operador Linear. As propriedades gerais das transformações lineares de 𝑉 em 𝑊 e das correspondentes matrizes retangulares são válidas para os operadores lineares. Entretanto, estes e suas correspondentes matrizes quadradas possuem propriedades particulares, que devem ser abordadas [5].
Dado um operador linear de um espaço vetorial, 𝑇: 𝑉 → 𝑉, o interesse agora é saber quais vetores de 𝑉 são levados por 𝑇 em um múltiplo dele mesmo. Em outras palavras, procura-se um vetor 𝑣 ∈ 𝑉 e um escalar 𝜆 ∈ ℝ tais que 𝑇(𝑣) = 𝜆𝑣. Como 𝑣 = 0 satisfaz a igualdade para todo 𝜆, objetiva-se encontrar vetores 𝑣 ≠ 0, que satisfaçam a condição citada anteriormente. O escalar 𝜆 será chamado autovalor ou valor característico de 𝑇 e o vetor 𝑣 será designado como Autovetor ou vetor característico de 𝑇 [4].
Definição 07: Sejam 𝑉 um espaço vetorial e 𝑇: 𝑉 → 𝑉 um operador linear. Diz-se que um escalar 𝜆 ∈ ℝ é um
autovalor de 𝑇 se existe 𝑣 ∈ 𝑉, com 𝑣 ≠ 0, tal que 𝑇(𝑣) = 𝜆𝑣. Neste caso, 𝑣 é dito autovetor.
O conjunto de todos os autovetores associados a um autovalor 𝜆 em conjunto com o vetor nulo de 𝑉 constitui um subespaço vetorial de 𝑉. Define-se este subespaço de maneira formal a seguir.
Definição 08: Sejam 𝑉 um espaço vetorial e 𝑇: 𝑉 → 𝑉 um operador linear. Se 𝜆 ∈ ℝ é autovalor de 𝑇, o conjunto 𝑉𝜆= {𝑣 ∈ 𝑉; 𝑇(𝑣) = 𝜆𝑣} denomina-se subespaço associado ao autovalor 𝜆, ou Autoespaço associado a 𝜆.
Segundo aponta [7], se 𝑣1 𝑒 𝑣2 são autovetores de 𝑇 com autovalores distintos 𝜆1 𝑒 𝜆2, respectivamente, então
𝑣1+ 𝑣2 não é um autovetor de 𝑇, ou seja, o vetor soma de autovetores somente continua sendo um autovetor se
os autovetores somados forem associados ao mesmo autovalor. Em vista desta afirmação, o teorema a seguir é enunciado.
Teorema 09: Sejam 𝑉 um espaço vetorial de dimensão 𝑛 e 𝑇: 𝑉 → 𝑉 um operador linear. Se 𝜆1… 𝜆𝑛 são
autovalores distintos de 𝑇 e 𝑣1… 𝑣𝑛 são autovetores associados a estes autovalores, então o conjunto {𝑣1… 𝑣𝑛} é
linearmente independente.
Demonstração: A demonstração será feita para 𝑛 = 2. Sejam 𝜆1 𝑒 𝜆2 autovalores distintos de 𝑇 e 𝑣1 𝑒 𝑣2 vetores
não nulos tais que 𝑇(𝑣1) = 𝜆1𝑣1 e 𝑇(𝑣2) = 𝜆2𝑣2. Supondo 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ tais que 𝑎𝑣1+ 𝑏𝑣2= 0𝑉, deve-se mostrar
que 𝑎 𝑒 𝑏 devem ser zero para verificar independência linear.
Como 𝑎𝑣1+ 𝑏𝑣2= 0𝑉, tem-se que 𝑇(𝑎𝑣1+ 𝑏𝑣2) = 0𝑉 e daí, pela linearidade, 𝑎𝑇(𝑣1) + 𝑏𝑇(𝑣2) = 0𝑉, e
desta forma, 𝑎𝜆1𝑣1+ 𝑏𝜆2𝑣2= 0𝑉. Da igualdade 𝑎𝑣1+ 𝑏𝑣2= 0𝑉 resulta 𝑎𝑣1= −𝑏𝑣2, logo, 𝜆1(−𝑏𝑣2) +
𝑏𝜆2𝑣2= 0𝑉 e (−𝜆1𝑏 + 𝑏𝜆2)𝑣2= 0𝑉. Como 𝑣2≠ 0𝑉, tem-se que 𝑏(𝜆2− 𝜆1) = 0. Como 𝜆1≠ 𝜆2,
obrigatoriamente 𝑏 deve ser zero (𝑏 = 0). Aplicando o valor de 𝑏 à igualdade 𝑎𝑣1+ 𝑏𝑣2= 0𝑉, tem-se que 𝑎𝑣1=
0𝑉, e como 𝑣1≠ 0𝑉, 𝑎 = 0, e o conjunto {𝑣1… 𝑣𝑛} é Linearmente independente. ∎
A seguir é enunciada uma consequência imediata do teorema supracitado.
Corolário: Se 𝑇 é um operador linear sobre um espaço 𝑉 de dimensão 𝑛, então 𝑇 possui no máximo 𝑛 autovalores distintos.
Demonstração: Supondo que 𝑇 possua 𝑚 autovalores distintos, com 𝑚 > 𝑛, e sejam 𝜆1… 𝜆𝑚 estes autovalores.
Logo, existem 𝑣1, … , 𝑣𝑚∈ 𝑉 não nulos tais que 𝑇(𝑣1) = 𝜆1𝑣1, … , 𝑇(𝑣𝑚) = 𝜆𝑚𝑣𝑚. De acordo com o teorema 09,
o conjunto {𝑣1, … , 𝑣𝑚} é linearmente independente, o que é um absurdo, pois 𝑚 > 𝑛 = dim(𝑉). ∎
A discussão a seguir tem o intuito de mostrar que a questão de encontrar autovalores e autovetores de um operador linear pode ser reduzida a encontrar os autovalores e autovetores para uma matriz. [4].
Sejam 𝑉 um espaço vetorial de dimensão finita 𝑛 e 𝑇: 𝑉 → 𝑉 um operador linear. Sejam também 𝛽 uma base de 𝑉, e [𝑇]𝛽𝛽= (𝑎𝑖𝑗)𝑛𝑥𝑛 a matriz que descreve o operador linear. Sendo 𝜆 ∈ ℝ aurovalor de 𝑇, existe 𝑣 ∈ 𝑉, 𝑣 ≠
0𝑉, tal que 𝑇(𝑣) = 𝜆𝑣. Assim, [𝑇(𝑣)]𝛽= [𝜆𝑣]𝛽, e daí, [𝑇]𝛽 𝛽 ∙ [𝑣]𝛽= 𝜆[𝑣]𝛽. Assim: ([𝑇]𝛽𝛽− 𝜆[𝐼]𝑛𝑥𝑛) ∙ [𝑣]𝛽= [ 0 ⋮ 0 ] 𝑛𝑥1 . Como [𝑣]𝛽 = [ 𝑥1 ⋮ 𝑥𝑛 ] 𝑛𝑥1 é diferente de [ 0 ⋮ 0 ] 𝑛𝑥1
, então tem-se que a igualdade anterior descreve um sistema de equações lineares, onde [𝑇]𝛽𝛽− 𝜆[𝐼]𝑛𝑥𝑛 é a matriz dos coeficientes, designada
por 𝐴. Se o determinante da matriz dos coeficientes for diferente de zero, conclui-se que o sistema possui solução única trivial. Porém, o interesse é em calcular os autovetores de 𝑇, ou seja 𝑣 ≠ 0𝑉 tais que ([𝑇]𝛽
𝛽
− 𝜆[𝐼]𝑛𝑥𝑛) ∙
[𝑣]𝛽 = 0 . Logo, para o objetivo em questão, tem-se que det(𝐴) = 0, ou seja, det ([𝑇]𝛽 𝛽
− 𝜆[𝐼]𝑛𝑥𝑛) = 0. Este
determinante resulta em um polinômio cujas raízes são os autovalores de 𝑇 [4].
Definição 09: Sejam 𝑉 um espaço vetorial de dimensão 𝑛 e 𝑇: 𝑉 → 𝑉 um operador linear. Se 𝛽 é uma base de 𝑉, define-se o Polinômio característico de 𝑇 como sendo o polinômio 𝑝(𝜆) = det ([𝑇]𝛽𝛽− 𝜆[𝐼]𝑛𝑥𝑛).
Uma observação importante, destacada por [4], diz que se 𝛼 𝑒 𝛽 são bases de 𝑉, então 𝑝(𝜆) = det ([𝑇]𝛽𝛽− 𝜆[𝐼]𝑛𝑥𝑛) = det([𝑇]𝛼𝛼− 𝜆[𝐼]𝑛𝑥𝑛), ou seja, o polinômio característico independe da escolha da base.
O entendimento do que são autovalores e autovetores de um operador linear e de como determiná-los é de fundamental importância para a compreensão do processo de diagonalização de operadores. Segundo [4], a melhor situação para se trabalhar com operadores lineares é aquela em que sua matriz associada seja a mais elementar possível, de preferência diagonal, que é a maneira mais simples de se representar um operador.
Definição 10: Seja 𝑇: 𝑉 → 𝑉 um operador linear. Diz-se que 𝑇 é um operador diagonalizável se existe uma base de 𝑉 cujos elementos são autovetores de 𝑇.
2.5. Aplicações
AP01. Mostre (com detalhes) que a inversa de uma transformação linear invertível é também linear. Mostre que 𝑇: ℝ4→ 𝑀
2×2(: ℝ) dada por:
𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑤) = [𝑦 + 𝑤2𝑥 3𝑤2𝑧] é invertível e calcule a sua inversa.
Resposta: Dada a transformação 𝑇: 𝑈 → 𝑉, 𝑇 possui inversa se, e somente se 𝑇 é bijetora. Como 𝑇 é injetora, 𝐾𝑒𝑟(𝑇) = {0}. Como 𝑇 é sobrejetora para todo 𝑣 ∈ 𝑉, existe 𝑢 ∈ 𝑈 tal que 𝑇(𝑢) = 𝑣, então, 𝑇−1(𝑇(𝑢)) = 𝑢, o
que resulta em 𝑇−1(𝑣) = 𝑢.
(𝒊) Dados 𝑣1, 𝑣2∈ 𝑉, tem-se que 𝑇(𝑢1) = 𝑣1 e 𝑇(𝑢2) = 𝑣2, logo, 𝑇−1(𝑣1+ 𝑣2) = 𝑇−1(𝑇(𝑢1) + 𝑇(𝑢2)) =
𝑇−1(𝑇(𝑢
1+ 𝑢2)) = 𝑢1+ 𝑢2= 𝑇−1(𝑣1) + 𝑇−1(𝑣2).
(𝒊𝒊) Dados 𝑣1∈ 𝑉 e 𝛼 ∈ ℝ, tem-se que 𝑇(𝑢1) = 𝑣1. Então 𝑇−1( 𝛼𝑣1) = 𝑇−1( 𝛼 𝑇(𝑢1)) = 𝑇−1(𝑇(𝛼𝑢1)) =
𝛼𝑢1= 𝛼𝑇−1(𝑣1).
Assim 𝑇−1 é uma transformação linear. Dada a transformação 𝑇: ℝ4→ 𝑀
2×2(: ℝ), uma base para a imagem é
[2 0 0 0] , [ 0 0 1 0] , [ 0 2 0 0] , [ 0 0
1 3], cuja dimensão é 4, ou seja, dim(𝑀2×2(: ℝ)) = 4. Como dim(ℝ
4) = 4, então 𝑇
é sobrejetora. Para o núcleo de 𝑇:
2𝑥 = 0 ⇒ 𝑥 = 0 𝑦 + 𝑤 = 0 ⇒ 𝑦 = −𝑤 2𝑧 = 0 ⇒ 𝑧 = 0 3𝑤 = 0 ⇒ 𝑦 = 0
Em vista disto, 𝐾𝑒𝑟(𝑇) = {(0,0,0,0)}. Logo, 𝑇 é injetora e, por consequência, 𝑇 é bijetora e, além disso, invertível. Tomando a transformação linear 𝑇−1(𝑣), então:
𝑇−1(2 0 0 0) = (1,0,0,0), 𝑇 −1(0 0 1 0) = (0,1,0,0), 𝑇 −1(0 2 0 0) = (0,0,1,0), 𝑇 −1(0 0 1 3) = (0,0,0,1). 𝛼1∙ 𝑎 + 𝛽1∙ 𝑏 + 𝛾1∙ 𝑐 + 𝛿1∙ 𝑑 = 𝑥 𝛼1∙ 2 + 𝛽1∙ 0 + 𝛾1∙ 0 + 𝛿1∙ 0 = 1 ⇒ 𝛼1= 1 2 1 2∙ 0 + 𝛽1∙ 0 + 𝛾1∙ 1 + 𝛿1∙ 0 = 0 ⇒ 𝛾1= 0 1 2∙ 0 + 𝛽1∙ 2 + 0 ∙ 0 + 𝛿1∙ 0 = 0 ⇒ 𝛽1= 0 1 2∙ 0 + 0 ∙ 0 + 0 ∙ 1 + 𝛿1∙ 3 = 0 ⇒ 𝛿1= 0 𝛼2∙ 𝑎 + 𝛽2∙ 𝑏 + 𝛾2∙ 𝑐 + 𝛿2∙ 𝑑 = 𝑦 𝛼2∙ 2 + 𝛽2∙ 0 + 𝛾2∙ 0 + 𝛿2∙ 0 = 0 ⇒ 𝛼2= 0 0 ∙ 0 + 𝛽2∙ 0 + 𝛾2∙ 1 + 𝛿2∙ 0 = 1 ⇒ 𝛾2= 1 0 ∙ 0 + 𝛽2∙ 2 + 1 ∙ 0 + 𝛿2∙ 0 = 0 ⇒ 𝛽2= 0 0 ∙ 0 + 0 ∙ 0 + 1 ∙ 1 + 𝛿1∙ 3 = 0 ⇒ 𝛿1= −1 3 𝛼3∙ 𝑎 + 𝛽3∙ 𝑏 + 𝛾3∙ 𝑐 + 𝛿3∙ 𝑑 = 𝑧 𝛼3∙ 2 + 𝛽3∙ 0 + 𝛾3∙ 0 + 𝛿3∙ 0 = 0 ⇒ 𝛼3= 0 0 ∙ 0 + 𝛽3∙ 0 + 𝛾3∙ 1 + 𝛿3∙ 0 = 0 ⇒ 𝛾3= 0 0 ∙ 0 + 𝛽3∙ 2 + 0 ∙ 0 + 𝛿3∙ 0 = 1 ⇒ 𝛽3= 1 2 0 ∙ 0 +1 2∙ 0 + 0 ∙ 1 + 𝛿3∙ 3 = 0 ⇒ 𝛿3= 0 𝛼4∙ 𝑎 + 𝛽4∙ 𝑏 + 𝛾4∙ 𝑐 + 𝛿4∙ 𝑑 = 𝑤 𝛼4∙ 2 + 𝛽4∙ 0 + 𝛾4∙ 0 + 𝛿4∙ 0 = 0 ⇒ 𝛼4= 0 0 ∙ 0 + 𝛽4∙ 0 + 𝛾4∙ 1 + 𝛿4∙ 0 = 0 ⇒ 𝛾4= 0 0 ∙ 0 + 𝛽4∙ 2 + 0 ∙ 0 + 𝛿4∙ 0 = 0 ⇒ 𝛽4= 0 0 ∙ 0 + 0 ∙ 0 + 0 ∙ 1 + 𝛿4∙ 3 = 1 ⇒ 𝛿4= 1 3 Logo, 𝑇−1(𝑎 𝑏 𝑐 𝑑) = ( 1 2𝑎 , 𝑐 − 1 3𝑑, 1 2𝑏, 1 3𝑑).
AP02. Encontre um operador linear 𝑇: ℝ3→ ℝ3 tal que 1, −1 e 3 sejam autovalores de 𝑇 com respectivos
autoespaços 𝑉1= [(−1,1,0)], 𝑉−1= [(1,2, −1)] e 𝑉3= [(1,0,1)].
Resposta: Uma transformação 𝑇: ℝ3→ ℝ3 é da forma: 𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑎
1𝑥 + 𝑏1𝑦 + 𝑐1𝑧, 𝑎2𝑥 + 𝑏2𝑦 + 𝑐2𝑧, 𝑎3𝑥 + 𝑏3𝑦 + 𝑐3𝑧), com 𝑎1, 𝑏1, 𝑐1, 𝑎2, 𝑏2, 𝑐2, 𝑎3, 𝑏3, 𝑐3∈ ℝ. 𝜆 ∙ 𝑥 = 𝑎1∙ 𝑥 + 𝑏1∙ 𝑦 + 𝑐1∙ 𝑧 (Para 𝑽𝟏 e 𝝀𝟏) 1 ∙ (−1) = 𝑎1∙ (−1) + 𝑏1∙ (1) + 𝑐1∙ (0) ⇒ −𝑎1+ 𝑏1+ 1 = 0 ⇒ 𝑏1= 𝑎1− 1. (Para 𝑽𝟐 e 𝝀𝟐) −1 ∙ (1) = 𝑎1∙ (1) + 𝑏1∙ (2) + 𝑐1∙ (−1) ⇒ 𝑐1= 3𝑎1− 1. (Para 𝑽𝟑 e 𝝀𝟑) 3 ∙ 1 = 𝑎1∙ (1) + 𝑏1∙ (0) + 𝑐1∙ (1) ⇒ 4𝑎1= 4 ⇒ 𝑎1= 1 ⇒ 𝑏1= 0 ⇒ 𝑐1= 2. 𝜆 ∙ 𝑦 = 𝑎2∙ 𝑥 + 𝑏2∙ 𝑦 + 𝑐2∙ 𝑧 (Para 𝑽𝟏 e 𝝀𝟏) 1 ∙ (1) = 𝑎2∙ (−1) + 𝑏2∙ (1) + 𝑐2∙ (0) ⇒ −𝑎2+ 𝑏2− 1 = 0 ⇒ 𝑏2= 𝑎2+ 1. (Para 𝑽𝟐 e 𝝀𝟐) −1 ∙ (2) = 𝑎2∙ (1) + 𝑏2∙ (2) + 𝑐2∙ (−1) ⇒ 𝑐2= 3𝑎2+ 4. (Para 𝑽𝟑 e 𝝀𝟑) 3 ∙ 0 = 𝑎2∙ (1) + 𝑏2∙ (0) + 𝑐2∙ (1) ⇒ 4𝑎2= −4 ⇒ 𝑎2= −1 ⇒ 𝑐2= 1 ⇒ 𝑏2= 0. 𝜆 ∙ 𝑧 = 𝑎3∙ 𝑥 + 𝑏3∙ 𝑦 + 𝑐3∙ 𝑧 (Para 𝑽𝟏 e 𝝀𝟏) 1 ∙ (0) = 𝑎3∙ (−1) + 𝑏3∙ (1) + 𝑐3∙ (0) ⇒ −𝑎3+ 𝑏3= 0 ⇒ 𝑏3= 𝑎3. (Para 𝑽𝟐 e 𝝀𝟐) −1 ∙ (−1) = 𝑎3∙ (1) + 𝑏3∙ (2) + 𝑐3∙ (−1) ⇒ 𝑐3= 3𝑎3− 1. (Para 𝑽𝟑 e 𝝀𝟑) 3 ∙ 1 = 𝑎3∙ (1) + 𝑏3∙ (0) + 𝑐3∙ (1) ⇒ 4𝑎3= 4 ⇒ 𝑎3= 1 ⇒ 𝑏3= 1 ⇒ 𝑐3= 2. Logo, 𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑥 + 2𝑧, −𝑥 + 𝑧, 𝑥 + 𝑦 + 2𝑧).
AP03. Considere o operador linear 𝑇: ℝ4→ ℝ4 tal que sua matriz em relação à base canônica 𝛼 é dada por:
[𝑻]𝜶𝜶= ( 𝟏 −𝟏 𝟎 𝟎 𝟎 −𝟏 𝟏 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝟏 𝟎 𝟎 −𝟏 ).
(a) Encontre o polinômio característico de 𝑇. Resposta: 𝑝(𝜆) = det([𝑇]𝛼𝛼− 𝜆𝐼4) ⇒ 𝑝(𝜆) = | 1 − 𝜆 0 0 0 −1 −1 − 𝜆 0 0 0 1 1 − 𝜆 0 0 0 0 −1 − 𝜆
|. Usando o método de Laplace
(selecionando a coluna 1): 𝑝(𝜆) = (1 − 𝜆) ∙ ∆11+ 0 ∙ ∆21+ 0 ∙ ∆31+ 0 ∙ ∆41
𝑝(𝜆) = (1 − 𝜆) ∙ (−1)1+1∙ |−1 − 𝜆0 1 − 𝜆1 00
0 0 −1 − 𝜆
| ⇒ 𝑝(𝜆) = (1 − 𝜆) ∙ (−1 − 𝜆) ∙ (−1 − 𝜆) ∙ (1 − 𝜆) ⇒ 𝑝(𝜆) = (−1 − 𝜆)2∙ (1 − 𝜆)2= (1 + 𝜆)2∙ (1 − 𝜆)2⇒ 𝑝(𝜆) = 1 − 2𝜆2+ 𝜆4.
(b) Calcule os autovalores e os autovetores desse operador 𝑇. Resposta: São autovalores 𝜆 = 1 e 𝜆 = −1.
Para 𝝀 = 𝟏 , [ 1 0 0 0 −1 −1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 ] ∙ [ 𝑥1 𝑥2 𝑥3 𝑥4 ] = 1 ∙ [ 𝑥1 𝑥2 𝑥3 𝑥4 ] = [ 𝑥1− 𝑥2 −𝑥2+ 𝑥3 𝑥3 −𝑥4 ]. Logo: 𝑥1= 𝑥1− 𝑥2⇒ 𝑥2= 0; 𝑥2= −𝑥2+ 𝑥3⇒
𝑥3= 0; 𝑥4= −𝑥4⇒ 𝑥4= 0. Então, os autovetores associados ao autovalor 𝜆 = 1 são do tipo (𝑥1, 0, 0, 0), ou
seja, pertencem ao subespaço [(1, 0, 0, 0)].
Para 𝝀 = −𝟏 , [ 1 0 0 0 −1 −1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 ] ∙ [ 𝑥1 𝑥2 𝑥3 𝑥4 ] = −1 ∙ [ 𝑥1 𝑥2 𝑥3 𝑥4 ] = [ 𝑥1− 𝑥2 −𝑥2+ 𝑥3 𝑥3 −𝑥4 ]. Logo: −𝑥1= 𝑥1− 𝑥2⇒ 𝑥2= 2𝑥1; −𝑥2=
−𝑥2+ 𝑥3⇒ 𝑥3= 0; −𝑥4= −𝑥4⇒ 𝑥4= 𝑥4. Então, os autovetores associados ao autovalor 𝜆 = −1 são do tipo
(𝑥1, 2𝑥1, 0, 𝑥4), ou seja, pertencem ao subespaço [(1, 2, 0, 0), (0, 0, 0, 1)].
(c) 𝑇 é diagonalizável? Justifique.
CURIOSIDADE. Um número real é dito transcendente se ele não for raiz de polinômio algum (não nulo) com coeficientes inteiros. Admitindo que existem números reais transcendentes, mostre que a dimensão de ℝ sobre o corpo ℚ é infinita.
Resposta: Tomando 𝛽 = {1, 𝜋, 𝜋2, … , 𝜋𝑛}, o objetivo é provar que 𝛽 é 𝐿. 𝐼 sobre ℚ∀ 𝑛 ∈ 𝑁.
Sabendo que 𝜋 é um número transcendente. Seja 𝛽, por contradição, 𝐿. 𝐷 sobre ℚ. Assim, por definição, existem 𝑎0, 𝑎1, 𝑎2, … , 𝑎𝑛∈ ℚ que satisfazem 𝑎0∙ 1 + 𝑎1∙ 𝜋 + 𝑎2∙ 𝜋2+ ⋯ + 𝑎𝑛∙ 𝜋𝑛= 0, com pelo menos 𝑎𝑖≠
0, 1 ≤ 𝑎𝑖≤ 𝑛. Desta forma, dado o polinômio de grau n definido por 𝑝(𝑥) = 𝑎0+ 𝑎1∙ 𝑥 + 𝑎2∙ 𝑥2+ ⋯ + 𝑎𝑛∙
𝑥𝑛, tem-se que 𝑥 = 𝜋 é a raiz do polinômio 𝑝, pois 𝑝(𝜋) = 𝑎0∙ 1 + 𝑎1∙ 𝜋 + 𝑎2∙ 𝜋2+ ⋯ + 𝑎𝑛∙ 𝜋𝑛= 0, o que é
uma contradição, pois 𝜋 é transcendente. Portanto ∀ 𝑛 ∈ 𝑁, 𝛽 é 𝐿. 𝐼. Desta forma, para qualquer 𝑛 finito, ℝ não pode ser de dimensão 𝑛 sobre ℚ, ou seja, a dimensão de ℝ sobre ℚ será infinita. ∎.
3. CONCLUSÕES
Neste trabalho, aprendeu-se o que são as transformações lineares e suas propriedades características. Viu-se entendida como um tipo particular de função que relaciona espaços vetoriais. Além disso, houve uma explanação dos principais conceitos e teoremas que estão relacionados às transformações e são alicerce para o estudo deste assunto, considerado como sendo o principal da Álgebra Linear, bem como algumas aplicações dos assuntos abordados.
Viu-se também a relevância notória do entendimento dos autovalores e autovetores, bem como do que são operadores lineares, para o processo de diagonalização destes. Observou-se que as transformações lineares podem ser descritas por matrizes e, no caso dos operadores, estas matrizes são quadradas de ordem igual à dimensão do espaço a que o operador é relacionado. Percebeu-se que, em muitos problemas que envolvem operadores, é mais útil trabalhar com matrizes de formato mais simplificado, como por exemplo, matrizes diagonais. O estudo dos autovalores e autovetores é muito importante na definição da possibilidade de uma matriz possuir uma equivalente diagonal e, no caso positivo, na determinação dessa matriz.
Em vista da exposição bibliográfica realizada, constata-se a importância que as transformações lineares têm no estudo e compreensão da Álgebra Linear em seu contexto geral. Além disso, pode-se ver que os conceitos e teoremas abordados neste trabalho, quando aplicados, constituem-se ferramentas de muita utilidade na simplificação e resolução de problemas tanto no ramo da matemática, como questões relacionadas a matrizes e sistemas lineares, como em outras áreas onde existe a possibilidade de aplicação de tais estudos.
4. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
[1] HEFEZ, Abramo; FERNANDES, Cecília de Souza. Introdução à Álgebra Linear. 2. ed. [s.l]: Sbm, 2016.
[2] LIPSCHUTZ, Seymour; LIPSON, Marc Lars. Álgebra Linear. 4. ed. Porto Alegre: Bookman, 2011. [3] TEIXEIRA, Katiuscia Costa Barros; PEREIRA, Ana Carolina Costa; BARROSO, Natália Maria
Cordeiro. Álgebra Linear nos cursos de engenharia: sua importância na formação do futuro Engenheiro de Teleinformática. In: CONGRESSO BRASILEIRO DE EDUCAÇÃO EM ENGENHARIA, 41., 2013, Gramado. Anais... . Gramado: Abenge, 2013. p. 1 - 7. Disponível em: <http://www.fadep.br/engenharia-eletrica/congresso/pdf/117548_1.pdf>. Acesso em: 29 out. 2018.
[4] BOLDRINI, José Luiz et al. Álgebra Linear. 3. ed. São Paulo: Harper & Row do Brasil, 1980. [5] STEINBRUCH, Alfredo; WINTERLE, Paulo. Álgebra Linear. 2. ed. [s.l.]: Mc Graw-hill, 1987. [6] HOWARD, Anton; RORRES, Chris. Álgebra Linear com Aplicações. 8. ed. Porto Alegre: Bookman,
2001. 571 p.
[7] LANG, Serge. Introduction to Linear Algebra. 2. ed. New Haven: Springer, 1986.
[8] TEOREMA do Núcleo e da Imagem. [20--]. Disponível em:
<https://www.ime.unicamp.br/~marcia/AlgebraLinear/teo_nucleo_imagem.html>. Acesso em: 29 out. 2018.
[9] OLIVEIRA, Viviane Cristina Almada de. Sobre a produção de significados para a noção de Transformação Linear em Álgebra Linear. 2002. 187 f. Dissertação (Mestrado) - Curso de Educação Matemática, Instituto de Geociências e Ciências Exatas, Universidade Estadual Paulista, Rio Claro, 2002. [10] LIMA, Elon Lages. Álgebra Linear. 8. ed. Rio de Janeiro: Impa, 2011. 357 p.
[11] COELHO, Flávio Ulhoa; LOURENÇO, Mary Lilian. Um curso de Álgebra Linear. 2. ed. São Paulo: Editora da Universidade de São Paulo, 2007.
___________________________________________________________________________
1 Graduando em Ciência e tecnologia na UFERSA, Campus Mossoró, RN.
