UMA LENTE PARA ANALISAR A INTEGRAÇÃO DE TECNOLOGIAS DIGITAIS AO ENSINO EXPLORATÓRIO DE MATEMÁTICA 1

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Maria Ivete Basniak Universidade Estadual do Paraná (UNESPAR) – Brasil basniak2000@yahoo.com.br Everton José Goldoni Estevam Universidade Estadual do Paraná (UNESPAR) – Brasil evertonjgestevam@gmail.com

RESUMO

Este trabalho discute o potencial de um quadro assente na Instrumentação e na Mediação e Mediação Semiótica como lente teórica para avaliar a integração das Tecnologias Digitais (TD) ao Ensino Exploratório de Matemática (EEM). Assume pressupostos metodológicos de caráter qualitativo, investigativo e interpretativo para analisar relatórios de aula e registros de áudio do desenvolvimento de uma tarefa exploratória, envolvendo TD e sistemas de inequações lineares. Os resultados revelam que, ao resolver uma tarefa de natureza exploratória mediada pelo computador, o aluno é inquirido a utilizar e interpretar representações matemáticas, refletindo sobre seus significados. Isto favorece a mobilização de formas complexas de pensamento, em busca de um significado compartilhado das representações, que promove evolução dos significados pessoais sobre conceitos matemáticos.

PALAVRAS-CHAVE:Sistemas de inequações. Instrumentação. Mediação.

ABSTRACT

This work discusses the potential of a framework based on Instrumentation and Mediation and Semiotic Mediation as a theoretical lens to evaluate the integration of Digital Technologies (DT) to the Exploratory Mathematics Teaching (EMT). It assumes qualitative, investigative and interpretative methodological assumptions to analyze class reports and audio records of development of an exploratory task, involving TD and linear inequalities system. The results show when solving a task of exploratory nature mediated by the computer, the student is asked to use and interpret mathematical representations, reflecting on their meanings. It favors the

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Agradecemos à Fundação Araucária e à Pró-Reitoria de Pesquisa e Pós-Graduação da UNESPAR pelo financiamento para realização da pesquisa.

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mobilization of complex forms of thought, in search of a shared meaning of representations which promotes evolution of personal meanings about mathematical concepts.

KEYWORDS:Inequality Systems. Instrumentation. Mediation.

INTRODUÇÃO

Atualmente, pesquisas brasileiras (BASNIAK; SILVA; GAULOVSKI, 2017) e internacionais (BEATTY; GEIGER, 2010) sobre as Tecnologias Digitais (TD) e o ensino de Matemática evidenciam que as TD podem contribuir nos processos de ensino e de aprendizagem de Matemática, à medida que atividades de investigação e exploração sejam privilegiadas e permitam compreender a natureza da atividade matemática. No entanto, no decurso do desenvolvimento de pesquisas que articulam diretamente TD e Ensino Exploratório de Matemática (EEM), deparamo-nos com a inexistência de estudos que elucidem os contributos das TD para o EEM, considerando as suas dimensões fundamentais - inquiry, reflexão, comunicação e colaboração.

Desta forma investigamos, neste trabalho, o potencial de um quadro assente na Instrumentação e na Mediação e Mediação Semiótica como lente teórica para avaliar a integração das TD ao EEM.

ENSINO EXPLORATÓRIO DE MATEMÁTICA NAS SUAS 4 DIMENSÕES

O EEM emerge, na literatura, em contraposição àquele denominado direto ou expositivo (PONTE, 2005) e, deste modo, admite como dimensões fundamentais o

inquiry2, a reflexão, a comunicação e a colaboração (CHAPMAN; HEATER, 2010).

Compreendido como um conceito pedagógico, o inquiry tem origem nos trabalhos de Dewey (1938), para quem este significa tanto a base da descoberta quanto da aprendizagem. Ele o define como "a transformação controlada ou dirigida de uma situação indeterminada em outra que é tão determinada, em suas distinções e relações constituintes, a ponto de converter os elementos da situação original em um todo

2 _{No léxico da língua portuguesa não é consensual a tradução de inquiry que, geralmente, é traduzida}

como inquirição ou investigação. Contudo, consideramos que nenhum destes termos corresponde adequadamente ao significado de inquiry e, portanto, no intuito de evitar interpretações equivocadas, optamos pela manutenção do termo em inglês.

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unificado" (DEWEY, 1938, p. 104-105). Cabe salientar que, para o autor, uma situação é concebida como o conjunto de interações entre um organismo, um indivíduo e seu ambiente; e o inquiry, como um processo geral, não reservado à atividade científica que se desenvolve como interação entre conhecimentos e desconhecimentos, em que este último é abordado a partir de hipóteses e inferências sugeridas por aquilo já conhecido.

Dewey (1938) considera a inquirição reflexiva como a chave para ir além da distinção entre conhecer e fazer. Ele vê a aprendizagem como “um processo adaptativo, no qual a experiência é o motor para criar conexões entre sensações e ideias, por meio de um processo controlado e reflexivo, rotulado de inquirição reflexiva” (ARTIGUE; BLOMHØJ, 2013). Desta forma, a organização da experiência dos alunos e o desenvolvimento de hábitos gerais da mente para aprender por meio da inquirição reflexiva são funções essenciais da educação (DEWEY, 1938).

A reflexão surge, assim, como segunda dimensão do EEM, a qual salienta a premissa de que a ação não é suficiente para a aprendizagem, porque há “evidências sólidas de que o ensino que tem a reflexão como componente principal permite que os alunos construam relações matemáticas robustas” (WHEATLEY, 1992, p. 540). Como consequência, aqueles que experimentam a aprendizagem centrada na reflexão são capazes de resolver problemas não rotineiros autonomamente.

Ao considerar o ensino como um processo em que os alunos interagem entre si e com o professor, por meio de inquirição reflexiva, no intuito de construir e compartilhar significados, essa perspectiva de ensino salienta a comunicação como uma de suas dimensões fundamentais. A comunicação, aqui, deve ser entendida como interações sociais, nas quais normas sociais e sociomatemáticas guiam professor e alunos em suas ações. Estas normas estão relacionadas às formas de como comunicar e reagir diante das intervenções dos outros em sala de aula. Contudo, elas não devem ser entendidas como impostas pelo professor, mas como sujeitas a uma negociação de significados, aceitando várias e diferentes considerações que venham a surgir (GUERREIRO, 2014). Deste modo, “a norma não é uma regra que determina a ação individual, é uma noção coletiva de ação, traduzida na adequação e no valor das intervenções dos alunos e do professor, quando interagem uns com os outros na sala de aula” (GUERREIRO, 2014, p. 243).

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Trata-se, então, de considerar a inquirição dialógica como orientação do processo pedagógico, a qual considera que as aprendizagens não são desenvolvidas isoladamente ou apenas na relação entre agente, objeto e ação, mas situadas nas relações interpessoais entre os participantes na atividade e discurso que produzem (WELLS, 2004).

Neste sentido, evidencia-se a quarta dimensão do Ensino Exploratório de Matemática, a qual articula as três primeiras – a colaboração. Ela pressupõe que o desenvolvimento individual e de grupo é interdependente, cuja relação se constitui reflexivamente nos diálogos inquiridores. Isto porque se admite que o conhecimento é elaborado e reelaborado pelos participantes nesses diálogos, quando interagem e comunicam ideias e refletem sobre elas, com vistas ao cumprimento de objetivos colaborativos emergentes no curso da atividade (WELLS, 2004). Neste cenário, ao mesmo tempo em que evidenciam a complexidade que permeia a prática letiva assente no EEM, os aspectos que alicerçam suas dimensões fundamentais sinalizam o potencial dessa perspectiva de ensino para a aprendizagem matemática.

ASPECTOS TEÓRICOS EMERGENTES DA INTEGRAÇÃO DA TECNOLOGIA NA EDUCAÇÃO MATEMÁTICA

A fim de elucidar aspectos salientes sobre o potencial das TD no ensino de Matemática, especialmente em abordagens de ensino que privilegiam tarefas de natureza exploratório-investigativa, encontramos aporte no trabalho de Drijvers et al. (2010). A partir de teorias antecedentes, como a Teoria das Situações Didáticas (TSD), (BROUSSEAU, 1998), Teoria Antropológica do Didático (CHEVALLARD, 1999),

Teoria dos Campos Conceituais (VERGNAUD, 1990) e Semiótica (RADFORD, 2003), Drijvers et al. (2010) discutem a Teoria das Abordagens Instrumentais/Instrumentação (VÉRILLON; RABARDEL, 1995; RABARDEL, 2002) e a Mediação e Mediação Semiótica (BALACHEFF; KAPUT, 1996) como teorias relevantes para elucidar o potencial da integração das TD na Educação Matemática.

Elementos da TSD foram utilizados para elaborar um novo quadro teórico, geralmente referido como Instrumentação. Drijvers et al. (2010) salientam que a palavra

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abordagens instrumentais, ele refere à Teoria da Instrumentação como um todo; e, no contexto mais específico da Gênese Instrumental (GI), refere-se à forma como o artefato afeta o comportamento e o pensamento do aluno, em oposição à Instrumentalização, que diz respeito à forma como o pensamento do aluno afeta o artefato.

Para Drijvers et al. (2010), a Instrumentação enfatiza a importância das técnicas, que tendem a ser subestimadas nas discussões sobre a integração da tecnologia. Nesta perspectiva, os autores referem os trabalhos de Artigue (2002) e Lagrange (2000), em que a técnica é compreendida como o estudo da tecnologia e enfatiza os três T: tarefa, técnica, e teoria. Assim, a técnica tem um significado mais amplo do que o habitual, utilizado no discurso educacional. Ela é compreendida como uma maneira de resolver uma tarefa que exige um conjunto complexo de raciocínio e trabalho, o qual ultrapassa aquele exigido em tarefas rotineiras.

A Instrumentação permite diferenciar artefato de instrumento. Enquanto artefato compreende algo, não necessariamente um objeto físico, usado como uma ferramenta, o

instrumento é mais que um artefato, no sentido que exige um indivíduo que utilize o

artefato na realização de uma tarefa, aplicando técnicas. Em outras palavras, “Instrumento = Artefato + Esquemas3 _{e Técnicas, para um determinado tipo de tarefa”} (DRIJVERS et al., 2010, p. 108). Neste contexto, é chamado Gênese Instrumental (GI) o processo pelo qual um artefato se torna parte de um instrumento, no decurso de sua utilização por um usuário (DRIJVERS et al., 2010).

A GI parte, portanto, da dualidade de possibilidades do artefato: por um lado, de moldar o pensamento do aluno (instrumentação) e, por outro, de o pensamento do aluno moldar o artefato (instrumentalização). De acordo com a GI, a instrumentação remete à influência de recursos e restrições de um artefato sobre as estratégias de resolução de problemas e as concepções que delas emergem, enquanto a instrumentalização refere o pensamento do aluno, orientando a forma como o artefato é usado.

No que se refere à Mediação, segundo Drijvers et al. (2010), a tecnologia é compreendida como meio para acessar o conhecimento matemático. Dada sua natureza epistemológica, é impossível estabelecer uma relação imediata com a Matemática, pois

3 _{Um esquema é uma maneira mais ou menos estável de lidar com situações ou tarefas específicas}

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qualquer relação passa por um processo de mediação semiótica. Isto porque, sendo imateriais, entidades não perceptíveis, como números e figuras, adquirem existência quando podem ser compartilhados apenas por sua materialização, em uma entidade concreta capaz de ser perceptível. Ela é referida como representação e, portanto, a Mediação Semiótica faz sentido. A interpretação simbólica dos dados inseridos no computador pelo aluno e aqueles retornados como resposta deste àquele permite sua leitura como um fenômeno matemático, que ocorre por meio da interação entre aluno e um computador (BALACHEFF; KAPUT, 1996 apud DRIJVERS et al., 2010).

Nesta perspectiva, os artefatos são considerados meio, não apenas para realizar uma tarefa, mas para que os alunos possam acessar o conhecimento matemático, permitindo que diferentes representações sejam exploradas. O potencial mediador do artefato está na dupla ligação semiótica que tal artefato tem com os significados emergentes de seu uso para realizar uma tarefa e os significados matemáticos evocados por esse uso (DRIJVERS et al., 2010).

Drijvers et al. (2010) destacam que o aluno pode tomar consciência dos significados relacionados à matemática por meio da expressão representada de diferentes formas, como palavras, gestos, desenhos, etc. A tomada de consciência dos significados matemáticos emerge a partir da expressão por meio de representações, em que novos sinais são socialmente compartilhados. A característica principal desses sinais é seu forte vínculo com as ações realizadas com o artefato. Quando este processo semiótico ocorre na sala de aula, a interação social pode assumir um objetivo comum, orientado para o ensino-aprendizagem de Matemática (DRIJVERS et al., 2010).

Neste cenário, a ação do professor incidirá nos níveis cognitivo e metacognitivo, ambos promovendo a evolução dos significados e orientando os alunos a estar conscientes de seu estado matemático (COBB et al., 1993 apud DRIJVERS et al., 2010). Ao atuar no nível metacognitivo, o papel do professor é de mediador cultural, ou seja, busca introduzir os alunos na cultura matemática, englobando propositadamente o indivíduo e suas perspectivas sociais, tornando o artefato um mediador semiótico e não simplesmente qualquer mediador (DRIJVERS et al., 2010). Assim, qualquer artefato será referido como instrumento de Mediação Semiótica enquanto estiver (ou for

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concebido para ser) intencionalmente usado pelo professor para mediar um conteúdo matemático, por meio de uma intervenção didática projetada.

Por meio deste quadro teórico, discutimos o potencial pedagógico das TD para o EEM, em suas quatro dimensões na seção que segue.

CONTEXTO E PRESSUPOSTOS METODOLÓGICOS

Nossas análises partem de pressupostos metodológicos de caráter qualitativo, investigativo e interpretativo, pautados na análise de relatórios de aulas envolvendo a resolução de uma tarefa de natureza exploratória (Figura 1). Ela foi desenvolvida com trinta alunos do primeiro ano de um curso de Licenciatura em Matemática, em quatro aulas de uma disciplina que objetiva discutir conceitos matemáticos do Ensino Fundamental, por meio de abordagens de ensino diferentes do direto ou expositivo. Figura 1 - Tarefa: casa

a) Na caixa de entrada do software GeoGebra, digite ou (após o comando, aperte a tecla <enter>). Perceba que uma região do plano ficou “colorida”. Por que foi essa região que ficou colorida, e não a “outra”? O que você digitaria na caixa de entrada para que a “outra” região fosse colorida?

b) Na caixa de entrada, digite (após o comando, aperte a tecla <enter>). Que região colorida do plano corresponde a essa expressão?

c) Perceba que há uma região colorida “mais escura”. Os pontos A(-4,2), B(1,6), C(6,4) e D(2,4) pertencem a essa região? Explique matematicamente sua resposta, tendo como referências as expressões dos itens (a) e (b).

d) Na caixa de entrada, digite (após o comando, aperte a tecla <enter>). Após, digite na caixa de entrada (utilize o símbolo da caixa de entrada).

Na janela de álgebra, oculte as desigualdades , e . Que relação há entre a região triangular colorida e as três expressões matemáticas?

e) Com base em suas conclusões, determine novas expressões matemáticas que delimitem regiões de modo a formar a figura ao lado:

f) Determine as expressões matemáticas que delimitam cada uma das regiões da figura anterior, as quais estão identificadas de 1 a 5.

Fonte: Os autores, 2017.

A tarefa teve como objetivo discutir sistemas de inequações lineares, e foi realizada com os alunos organizados em nove duplas ou trios. As resoluções foram registradas pelos alunos em relatórios de aula (RA), e interações entre os alunos e entre alunos e o professor foram gravadas em áudio (AG). Esses dados subsidiarão nossas análises por meio da identificação de elementos salientes nestes registros (RA e AG), que explicitam os contributos das TD para o EEM em suas dimensões.

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CONTRIBUTOS DAS TD AO ENSINO EXPLORATÓRIO DE MATEMÁTICA

As respostas do item a da tarefa, dos Grupos 1 e 2, evidenciam elementos distintos relacionados à GI. Enquanto as compreensões comunicadas pelo Grupo 1 explicitam a influência do artefato na elaboração destes significados e evidenciam, portanto, que as respostas retornadas pelo instrumento (GeoGebra) moldam suas conclusões, os excertos do Grupo 2 mostram a elaboração dos significados matemáticos por intermédio de informações que precisam ser inseridas no software.

Essa região ficou colorida, pois estamos utilizando valores para y maiores ou iguais a 5. Para a outra região ficar colorida, colocamos na caixa de entrada . Observação: a reta fica com a cor contínua. Já com , a reta fica pontilhada (RA, Grupo 1).

A região em questão ficou colorida, pois inserimos o comando para que y seja maior ou igual a 5. Digitaríamos , pois, desta forma, seria colorida toda a área do gráfico onde y é

menor que 5 (RA, Grupo 2).

A instrumentalização na GI corrobora com a dimensão da colaboração, ao promover a interação entre os alunos do grupo para moldarem o artefato, ao serem inquiridos sobre como inserir as informações no GeoGebra para que ele retorne a representação desejada, em que verificamos a evolução do sujeito com o artefato, da instrumentalização à instrumentação na GI, conforme evidencia o seguinte episódio.

Aluno1: Então, para fazer esta parede, basta eu colocar [inserir na caixa de entrada o

comando] x igual a menos 2?

Aluno2: Não, porque precisa pintar toda essa região [referindo a parede da casa]. Aluno1: Como assim?

Aluno2: Tem que pintar tudo aqui [mostra a região no software]. Aluno1: Ah, então tem que ser maior ou igual. Entendi! (AG, Grupo 2).

Conforme se percebe no excerto, o aluno utiliza as repostas que o software retorna a uma questão para problematizar e buscar novas soluções. Para delimitar as regiões que permitissem pintar as paredes da casa, o sinal da igualdade não retornava o resultado esperado. Então, a resposta do GeoGebra favorece o inquiry, mas, além, é necessário que se reflita sobre o porquê desta resposta do software. O que precisa ser modificado para que se tenha o resultado esperado? Os alunos são, deste modo, inquiridos a refletir sobre o que o software retornou e a buscar uma nova resposta. Este processo, em que respostas iniciais não satisfazem a questão, requer a reflexão, comunicação e colaboração, que se entrelaçam em um ciclo contínuo que promove a evolução dos esquemas de uso do artefato pelo sujeito, que passa a utilizar o computador como um

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instrumento de aprendizagem, em que as respostas iniciais oferecem elementos à reflexão. Para concluírem a tarefa, os alunos precisaram recorrer à técnica, que exige avanços cognitivos que favorecem a resolução de tarefas não rotineiras e a construção de novos conhecimentos, que sustentam a resposta ao item d, pelo Grupo 3:

A relação existente entre a região triangular “colorida” e as expressões é a de que esta região representa a interseção dos valores que pertencem a ambas as desigualdades (RA, Grupo 3).

Obervamos que o Grupo 3 foi inquirido pela tarefa proposta e refletiu sobre as respostas fornecidas pelo software, porque precisou compreendê-las, necessitando discuti-las com colegas, negociar seus significados, utilizando a tecnologia como meio para acessar o conhecimento, conforme expresso em seu RA:

Utilizando os comandos do aplicativo GeoGebra, precisamos delimitar áreas com expressões algébricas para a construção de uma casa. [...] olhamos na imagem que tínhamos como referência e, para determinar as expressões das retas [que delimitam as regiões da casa], verificamos as expressões das retas paralelas, porque possuem o mesmo coeficiente angular, e observamos os pontos no plano e testamos através da substituição (RA, Grupo 3).

Ao fomentar as diferentes representações em um artefato, as TD medeiam tanto a inquirição, quanto a reflexão, a comunicação e a colaboração. Isto favoreceu a significação matemática por meio de um artefato, como pode ser observado na resposta do mesmo grupo ao item e:

Analisamos as inequações e as retas que delimitam as regiões e resolvemos utilizar as retas que delimitam 1, duas a duas. Deste modo, resolvendo as inequações, obtivemos toda a região solução entre ambas. Observamos que, ao solucionar os sistemas, encontramos as inequações

Através da inequação , percebemos que x precisa ser

6 unidades maiores do que já era, para delimitamos a região. Deste modo, para que movêssemos a reta 6 unidades à direita, foi necessária a adição de 18 unidades (partindo da ideia de que estas 18 unidades seriam divididas por 3). Disto, Utilizando este

conceito, definimos todas as retas necessárias para delimitar as regiões, de modo que sempre houvesse intersecção entre as regiões e, com isso, definimos as regiões necessárias

[solicitadas] (RA, Grupo 4).

Quando representações no instrumento atuam como vínculo das ações com o artefato, explicitam-se as contribuições para a dimensão da colaboração, em referência à tomada de consciência do conhecimento matemático, graças à mediação do professor:

Tentamos, de diversas formas, representar essas expressões em uma única linha, utilizando dois e até três sinais de desigualdades, e encontramos equivalências, até que a ideia de utilizar sistemas nos foi apresentada [pela intervenção do professor]. O grupo nunca havia visto um sistema de inequações, apenas de equações (RA, Grupo 1).

Excertos como este sublinham o papel essencial do professor para que os alunos tomem consciência do conhecimento matemático e sejam introduzidos na cultura matemática, enquanto a tecnologia medeia o acesso ao conhecimento, favorecendo que

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os desconhecimentos dos alunos (sistemas de inequações) sejam abordados a partir de hipóteses e inferências sugeridas por seus conhecimentos prévios (sistema de equações e desigualdades).

CONSIDERAÇÕES FINAIS

Tomando os pressupostos teóricos da Instrumentação, identificamos contributos das TD relacionados às quatro dimensões do EEM. Na GI, tanto na Instrumentação quanto na Instrumentalização, quando o aluno é desafiado a resolver uma tarefa, favorece que o inquiry seja desenvolvido, porque a parte do desconhecido pode ser abordada com o que lhe é conhecido. Ele precisa utilizar seus conhecimentos para inserir informações no computador para que este retorne uma resposta relacionada a seus desconhecimentos. Isto colabora para desencadear, segundo a Instrumentalização na GI, a dimensão reflexiva, organizando e interpretando a experiência do aluno, de modo que consiga se comunicar com o computador, interpretando as respostas retornadas por ele. Estendemos, aqui, a dimensão da comunicação, na GI, tanto na Instrumentação quanto na Instrumentalização, não só entre humanos (professor-aluno-professor e aluno-aluno), mas entre aluno e computador. Isto porque a inserção de dados no computador e/ou ainda a manipulação e construção de representações matemáticas exige que o aluno consiga se comunicar com o artefato utilizado, e que interprete as respostas por ele retornadas, para que se torne instrumento de construção do conhecimento matemático. Tais respostas podem gerar novas questões, constituindo um ciclo de inquirição, reflexão e comunicação em que o artefato molda o comportamento e o pensamento do aluno (Instrumentação na GI), ao mesmo tempo em que o pensamento do aluno faz do artefato um instrumento para resolver a tarefa que exige um complexo conjunto de raciocínio (Instrumentalização na GI). Isto pode se desencadear na dimensão colaborativa, permeada pela ação do professor e dos colegas, e pela influência de recursos e restrições de uma ferramenta sobre as estratégias de resolução de problemas e concepções que emergem no processo de comunicação de significados.

Neste contexto, ao expandirmos a compreensão da dimensão da comunicação ao processo de inquirir e refletir sobre as respostas retornadas pelo computador, as TD

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constituem meio para o aluno acessar o conhecimento (teoria da Mediação). Isto porque a interação entre aluno e computador, permeada pela reflexão, baseada na interpretação simbólica da representação no artefato dos dados inseridos pelo primeiro e as respostas retornadas pelo segundo, favorece a tomada de consciência dos significados relacionados à Matemática. Neste cenário, o professor atua como mediador cultural, inserindo o aluno na cultura matemática, em um processo colaborativo permeado pela

inquirição das representações matemáticas no artefato, em que a comunicação entre

professor-aluno-professor e aluno-aluno favorece a reflexão e significação matemática.

Por fim, a Instrumentação revela que as TD oferecem contributos ao EEM em suas quatro dimensões. Isto porque a necessidade de o aluno interagir com o computador, na realização de uma tarefa, em que é inquirido a utilizar e interpretar representações matemáticas, refletindo sobre seus significados, favorece a mobilização de formas complexas de pensamento em busca de um significado compartilhado das representações que promovam a evolução dos significados pessoais a conceitos matemáticos.

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