3 Análise de Wavelets

3

Análise de Wavelets

3.1.

História

A palavra wavelet tem como gênese a palavra francesa “Ondalette”, que significa onda pequena. Também é conhecida como “Ondaleta”. Nós usaremos simplesmente a palavra wavelet.

As wavelets foram pela primeira vez mencionadas no apêndice da tese de (Haar, 1909). As wavelets de Haar ficaram no anonimato por vários anos, até que nos anos 30 vários grupos trabalhando independentemente, pesquisaram a representação de funções usando uma base variando com a escala. Naquela ocasião, usando a base de wavelets de Haar, Paul Levy investigou o movimento Browniano. Ele mostrou que as funções da base de Haar eram melhores do que as da base de Fourier para estudar os pequenos e complicados detalhes do movimento Browniano. Por um período longo, as wavelets de Haar continuaram a ser a única base ortonormal de wavelets conhecida. Em 1985, Mallat deu às

wavelets um grande impulso através de seu trabalho em processamento digital de

imagens. Meyer (1989) inspirado nos resultados de Mallat, construiu a primeira

wavelet não-trivial (suave). Ao contrário das wavelets de Haar, as wavelets de

Meyer são continuamente diferenciáveis, mas não têm suportes compactos1. Em 1988, Mallat desenvolveu uma teoria denominada análise de multirresolução. No ano seguinte ele mostrou que a análise de multirresolução pode ser vista simplesmente como uma forma de algoritmos de pirâmide2 que é usado para calcular a transformada de wavelets. (Mallat, 1989).

Em 1990, Ingrid Daubechies usou os trabalhos de Mallat, para construir um conjunto de bases ortonormais de wavelets suaves, com suportes compactos. Os trabalhos de Daubechies são os alicerces das aplicações atuais das Wavelets. Mais sob a história das wavelets podem ser achadas em (Paulo C.L, 2002), no livro de (Yves Meyer 1993), e os trabalhos de (Barbara B, 1998) que descreve o nascimento, história e os conceitos das wavelets de forma clara.

1 _{As funções bases são não zero em um intervalo de tempo finito.} 2 _{Algoritmos de pirâmide são vistos com mais detalhes na seção 3.6.4.}

3.1.1.

Algumas aplicações

Nas últimas duas décadas, a transformada de wavelets tem sido satisfatoriamente aplicada a sinais de características não-estacionárias. Sua aplicação se destaca em diferentes áreas como Engenharia, Física, Matemática, Estatística, Economia, etc. Podemos ressaltar a sua utilização em estatística, como um procedimento auxiliar na filtragem (de-noising), regressão não paramétrica e estimação de densidades de probabilidade. A seguir são mostrados algumas aplicações.

Uma aplicação teve como finalidade o “alisamento dos dados” e a “inspeção do sinal”, para prever os terremotos. Usou-se a água dos poços, localizados na Califórnia, que foi monitorada para se obter as medidas de seus níveis, tomados a cada hora por aproximadamente seis anos. (Vidakovic, 1999).

Uma outra aplicação muito conhecida foi dado em “compressão de imagens”, no Federal Bureau of Investigation (FBI) para amostras de impressões digitais, cujo problema principal era o armazenamento de dados devido ao tamanho de informação proveniente de muitos anos. Com a aplicação das

wavelets, cada impressão digital ocupou menos espaço de armazenamento para

representar adequadamente os dados originais. Praticamente realizou-se uma compressão em uma proporção de 20:1. (Graps, 1995).

Nos últimos dez anos as aplicações voltadas à área de sistemas de potência no setor elétrico têm crescido radicalmente. Entre as aplicações mais conhecidas podemos mencionar as seguintes:

- Proteção de sistemas de potência - Qualidade de potência

- Previsão de carga

- Medidas de um sistema de potência - Transientes de sistemas de potência.

No trabalho de (Rosa C.F. e Horacio D.R., 2002), apresenta-se a descrição das aplicações das wavelets na área do sistema de potência para cada um dos itens citados acima. Também se proporciona uma abundante bibliografia, alguns tutorais e site interessantes.

3.2.

Analise de Fourier versus análise de Wavelets

Para um bom entendimento da análise de wavelets, é necessário começar com a análise de técnicas mais simples.

Na prática muitos sinais (assumimos contínuos para a explicação) vêm representados no domínio do tempo, com uma determinada amplitude. Estes mesmos sinais podem ser representados de outra forma, isto é, no domínio da freqüência. Quando nós estivermos nos referindo ao domínio da freqüência, é introduzido o conceito de espectro de freqüência, o qual representa basicamente as componentes de freqüência do sinal.

A representação do sinal no domínio da freqüência é obtida aplicando a transformada de Fourier (TF) à série original, expressa no domino do tempo. O resultado desta transformação é um conjunto de freqüências as quais caracterizam o sinal original. Mas, surge a pergunta: Por que precisamos de informação de freqüência? Muitas vezes a informação que se precisa não pode ser vista no domínio do tempo, e sim, no domínio da freqüência. Em outros casos a parte mais importante da informação do sinal está “escondida” nas suas freqüências. Esta transformação pode ser aplicada a sinais não estacionários, desde que, somente se esteja interessado em saber as componentes de freqüência que contém o sinal.

A TF apenas nos indica o conteúdo espectral do sinal, mas não fornece o instante ou intervalo de tempo em que essas componentes espectrais aparecem.

Em muitas aplicações, é muito importante saber quando ou em que intervalo de tempo as freqüências ocorrem. Para essa análise a TF já não é a mais adequada, salvo se a série for estacionária, pois as freqüências pelas quais, as sinais estacionárias estão compostas, ocorrem no tempo de existência do sinal.

Como alternativa para resolver este problema, surgiu a Transformada por Janelas de Fourier (TPJF), que é uma generalização da TF. A sua aplicação permitirá obter a informação do sinal em tempo e freqüência. A metodologia da TPJF têm alguns problemas, como por exemplo, a escolha da largura da janela, como veremos na seção (3.4).

Em geral, muitas das séries temporais, como séries econômicas e financeiras, exibem comportamentos não estacionários, tais como mudanças nas tendências, quebres estruturais, desde o começo até o fim do evento. Estas

características são freqüentemente as partes mais importantes do sinal e aplicando a TF ou TPJF não se poderá capturar eficientemente esses eventos. Assim, a Transformada de wavelets surge como uma ferramenta muito útil para analisar estas séries do tipo não estacionária. Na seção (3.5) veremos mais detalhes sobre transformada de wavelets.

As boas propriedades das wavelets fazem que as mesmas sejam muito úteis na análise de sinais com características não estacionárias, das quais fazem parte muitas séries econômicas e financeiras.

3.3.

Transformada de Fourier

Esta é uma ferramenta principal para explorar os fenômenos em tempo freqüência. A transformada de Fourier de uma função f

( )

t (pelo momento vamos assumir que t é uma variável contínua), é definido no espaço L₁

( )

ℜ (i.e.

( )

( )

∫

2 < ∞, ∀ ∈ 2(ℜ) L t f dt t f ). por:

( )

( )

_∫

( )

ℜ − = f t e dt w TFf iwt π 2 1 (1) Se _TF f _∈

( )

_ℜ 1

L , é a transformada de Fourier de f

( )

t ∈L₁

( )

ℜ , então a transformada inversa de Fourier será:

( )

[

TF w

]

( )

TF

( )

w e dw f

( )

t F f ₌ f iwt ₌

∫

− π 2 1 1 (2)

onde w é a freqüência angular. Esta transformada inversa de Fourier vai ser

usada para reproduzir a função original.

3.4.

Transformadas por janelas de Fourier 3.4.1

Introdução

Como mencionado na seção (3.2), a aplicação da TF não é adequada para sinais não estacionários, quando se deseja a informação das freqüências no tempo. Num esforço por corrigir essas deficiências, Dennis Gabor (1946), desenvolveu uma técnica chamada transformada de Gabor, mais conhecida como transformada por janelas de Fourier (TPJF), para se conseguir assim, um balanço entre tempo e freqüência. Esta técnica, consiste em analisar uma parte do sinal, feito pela escolha de uma função janela “W

( )

t ” em uma escala1 determinada, transladando a janela através de toda a série de tempo, e logo, tomando a TF de todas as pequenas séries. O resultado da expansão é uma função de dois parâmetros; freqüência e tempo. A propriedade chave, é que o tamanho da janela é fixado com respeito à freqüência, isto produz um plano de divisão retangular de tempo-freqüência como se mostra na Figura 8.

Tempo

TPJF

Tempo

Amplitude _Janela Freqüência

Figura 8 − Transformada por Janelas de Fourier

A TPJF fornece alguma informação a respeito de quando, e em quais freqüências o evento do sinal ocorre, mas só obtemos esta informação com uma precisão limitada. Na prática a escolha da janela é muito importante com respeito ao desempenho da TPJF. Embora bons resultados tenham sido obtidos, estes não são completamente satisfatórios. Muitos sinais requerem uma aproximação mais flexível, onde necessitam alterar o tamanho da janela, e assim, determinar eventos com uma melhor aproximação tanto no tempo como na freqüência.

1 _{A definição de escala é vista na seção (3.5.3).}

3.4.2.

Relação matemática

A TPJF está dada pela relação:

(

_TPJFf

)( )

_{w t = f}

( )

_{t g}

( )

_{t−t e}−iwt

∫

'

'

, (3)

É mais familiar e prático analisar esta técnica numa versão discreta, onde

'

t e w, são atribuídos como valores regularmente distanciados: _t' _{= j t0,} 0

w k

w= , e onde j e k ∈Z, e w , _o t são valores fixos maiores que zero. Então₀

nova versão da TPJF é:

(

f

)

( )

( ) (

)

ijw t e t k t g t f k j TPJF 0 0 , =

∫

− − (4)

o valor de j se refere as freqüências e k as translações no tempo.

3.5.

Transformada de Wavelets 3.5.1.

Introdução

A transformada de wavelets tem qualidades atraentes que a fazem um

método muito útil para séries temporais, exibindo características que poderiam variar tanto em tempo como em freqüência (ou escala). Ver Figura 9.

A m p lit u d e Tempo Transformada de Wavelets E sc al a Tempo Figura 9 − Transformada de wavelets proporciona uma representação em tempo e

escala

A transformada de wavelets nos permite decompor o sinal num conjunto de

bases de funções, em diferentes níveis de resolução (escalas) e tempos de

localização. A partir desses níveis é possível reconstruir ou representar uma função, usando as bases wavelets e coeficientes desses níveis apropriadamente.

As wavelets são simplesmente ondas de curta duração com energia

concentrada num intervalo de tempo curto, (Graps, 1995), com certas propriedades matemáticas e que são definidas no espaço funcional de quadrado integrável L2_(ℜ).

As famílias de funções ψa,b

( )

t , são definidas por dilatações (ou

compressões) e translações de uma única função ψ

( )

t chamada wavelet mãe1, definida por:

( )

      − = − a b t a t b a ψ ψ 1/2 , , a,b∈ℜ,a≠0, (5)

onde o termo a −1/2 serve para normalizar a função ψ_a,b

( )

t (ver 3.5.5. para mais detalhes).

A transformada de wavelets nos fornece uma descrição em tempo-escala. De forma análoga a mostrado em (3) e (4) temos:

( )

( )

dt a b t t f a dt t f a b a TW f _{ab }      − = = −

∫

ψ −1/2

∫

ψ , 2 / 1 ) , ( (6) e

( )

t

(

a t kb

)

dt f a k j TW f j j 0 0 2 / 0 ) , ( = − − −

∫

ψ (7) onde. j, k ∈ Z, j a a= 0 , j a b k

b= 0 0 , além a >1 e 0 b >1, são fixos. Está se0 assumindo que a função ψ satisfaz a condição,

∫

ψ

( )

t dt =0, de admissibilidade (ver relação (10)). Mais detalhes podem ser encontradas em (Daubechies, 1992).

3.5.2.

Tipos diferentes de transformação wavelets

Existem vários tipos de transformada de wavelet, as quais partem das fórmulas básicas (6) e (7). Assim, podemos distinguir.

1 _{Mais na frente (seção 3.6.2) é mostrado que existe outro tipo de funções wavelets chamado}

wavelets pai, e que é representado pela função φ

( )

t .

A. Transformada de wavelets contínua dado pela relação (6) B. Transformada de wavelets discreta dado pela relação (7)

-Dentro da transformada de wavelets discreta distinguem-se duas abordagens: b.1 Representação por Frames

b.2 Representação por bases de wavelets ortonormais e outras bases

Na seqüência será descrito cada uma destas alternativas, centrando nosso interesse, nas bases de wavelets ortonormais (b.2)

3.5.3.

Transformada de waveletscontínua

Entender a transformada continua de wavelets é muito importante pelo fato de ter propriedades similares quando é analisado o caso discreto.

A transformada continua de wavelets, é dada pela seguinte relação: (ver equações (5) e (6).

( )

a b f

( )

t

( )

t dt

TCW f _ab

,

, =

∫

ψ (8)

a função ψa,b

( )

t é uma família de funções definida como translações e

dilatações de uma única função ψ

( )

t , chamada wavelet mãe. A função ψ

( )

t tem que satisfazer a condição de admissibilidade,

( )

∞ < Ψ =

∫

ℜ w dw w C 2 ψ , ( 9)

onde Ψ

( )

w é a transformada de Fourier de ψ

( )

t . Esta condição de admissibilidade implica:

( )

=Ψ

( )

0 =0

∫

ψ t dt (10)

3.5.3.1

Propriedades básicas

Mostramos algumas propriedades básicas.

¾ Resolução de identidade

Quando a condição de admissibilidade é satisfeita, i.e. C_ψ <∞, é possível achar a transformada inversa contínua, assim uma função f

( )

t de _L2

( )

ℜ _{pode ser} reconstruída de sua transformação wavelets.

( )

_{∫ ∫}

∞

( )

( )

∞ − ∞ ∞ − = , , ₂ 1 a db da t b a TWC C t f f ψab ψ (11) ¾ Escalonamento

Escalonamento de uma wavelet simples significa alongar ou comprimir uma wavelet. Para compreender melhor isto mostraremos um exemplo de senóides escalonadas, onde o efeito do fator de escala é dado por “a”. Ver Figura 10 .

( )

t =sen

( )

t ; a=1 f

( )

t =sen

( )

2t ; a=1/2 f

( )

t =sen

( )

4t ; a=1/4 f

Figura 10 − Efeito do fator de escala “a” na função senoidal

É fácil ver que o fator de escala trabalha exatamente da mesma forma com

wavelets. O menor fator de escala mostrado na Figura 11, corresponde à wavelet

mais comprimida.

( )

t =

( )

t ; a=1 f ψ

( )

t =

( )

2t ; a=1/2 f ψ

( )

t =

( )

4t ; a=1/4 f ψ

Figura 11 − Efeito da do fator de escala “a” na wavelet ¾ Translação

Translações de uma wavelet simples significa deslocamento no mesmo conjunto.

Matematicamente, o deslocamento de uma função ψ

( )

t por ké representado por

(

t−k

)

ψ :

Função wavelet

ψ

( )

t

Traslação da Função wavelet

ψ

(

t−k

)

Figura 12 − Translação de uma wavelet em k unidades

Assim, há uma correspondência entre escalas e freqüências das wavelets, isto é: • Para baixos a ⇒ wavelets curtas ⇒ rápidas mudanças⇒ altas freqüências w

• Para altos a ⇒ wavelets longas ⇒ mudanças lentas ⇒ baixas freqüências w

Estas duas últimas propriedades são muito importantes para poder entender a transformada de wavelets no espaço de três dimensões como se mostra na Figura 13.

Tempo

Escala Amplitude =TCW(j,k)

k

j

Figura 13 − Espaço tridimensional das amplitudes dos coeficientes wavelets em cada nível de resolução e tempo de deslocação.

k = parâmetro de translação j = parâmetro de escalonamento

3.5.4.

Representação de wavelet discreta por Frames

Quando não se pode estabelecer a condição de ortonormalidade é melhor pensar no caso mais geral, que são as frames onde o alvo é obter coleções de funções que não são ortogonais, nem linearmente independentes, mas que ainda podem ser utilizadas para definir um operador de representação. Da equação (7), os valores escolhidos para o parâmetro de dilatação a e b são discretos. O parâmetro a=a0j, onde a >0, 0 a é fixo e j corresponde às diferentes larguras0

das wavelets. O parâmetro b=kb₀a₀j, b > 0, ₀ b é fixo e ₀ kcorresponde as translações das wavelets através do tempo.

Substituindo esses valores em (5) tem-se uma expressão para as wavelets

( )

_       − = − j j j j k j a a b k a t a t 0 0 0 0 2 / 0 , ψ ψ

(

0 0

)

2 / 0 a t kb a j j − = − _ψ − (12)

3.5.5.

Representação por bases de wavelets ortonormais.

Se, de forma particular e especial, for feita uma escolha de ψ

( )

t , a e₀ b ; a₀

função ψ_j,k

( )

t vai formar uma base ortonormal de _L2

( )

ℜ _{. Em particular para a} equação (12) são escolhidos a0 =2, 1b0 = . Então existe uma função ψ

( )

t , tal que:

( )

t j

(

jt k

)

k j =2− 2− − 2 / , ψ ψ ₍₁₃₎

Aqui pode-se ver que ψ_j,k

( )

t é obtido de ψ

( )

t por uma dilatação binária

j

−

2 e uma translação “diádica” _{k 2 . Para estabelecer que} j

( )

_t k j,

ψ constitua uma base ortonormal num espaço ( j = fixo) _L2

( )

ℜ _{, precisamos mostrar:}

¾ Ortogonalidade : < ψ j,k

( )

t ,ψ _{j ˆ,k}

( )

t > = 0 para k ≠kˆ

¾ Normalização: ψ _j,k =1 se k∈Z

Alguma função _f

( )

_t ∈_L2

( )

ℜ _{pode ser arbitrariamente aproximada por uma} combinação linear finita de funções ψj,k

( )

t , mas para isso, tem que se satisfazer

mais uma condição:

¾ Completeza: Para todo _f

( )

_t ∈_L2

( )

ℜ _{e todo ε >0,}

( ) ( )

t − tf <ε f ˆ onde

( )

( )

_jk k jk t f t

fˆ =

∑

< ,ψ _, >ψ _, é a estimação da função f

( )

t , e o produto interno < f

( )

t ,ψ_j,k > representa a transformada de wavelets, que vem a ser os coeficientes da função base. Completeza afirma que as combinações lineares do conjunto podem ser utilizadas para se obter aproximações de qualquer função

( )

t

f do espaço _L2

( )

ℜ _{usando as bases de wavelets . É fácil ver que a condição de} ortogonalidade implica que os elementos ψ_j,k

( )

t sejam linearmente

independentes. Os conjuntos de bases ortonormais do espaço também são chamados conjuntos ortonormais completos.

A função Haar (ψ ) é a função mais simples e conhecida,

( )

t para ψ_j,k

( )

t

definido em (13), constitui uma base ortonormal para _L2

( )

ℜ _{. A demonstração é} encontrada em (Daubechies, 1992. p.10).

3.5.6.

Transformada de wavelets discreta para uma função discreta

No caso anterior foi falado que, a transformada de wavelets era contínua

quando a função wavelet, for também continua, e a sua correspondente

transformada era discreta quando a função wavelet fosse discreta. Além disso,

assumimos inicialmente que a função f

( )

t era contínua.

Nesta parte a transformada discreta de wavelets vai ser aplicada para um

conjunto de dados discretos. A saída desta transformação será também discreta. Existem muitas formas de expressar a transformada discreta de wavelets de um

vetor de observações. Seja uma função discreta do tempo X

( )

t =

[

x₀,x₁,...x_N−1

]

, a relação da equação (8) torna-se discreta para este caso, e dada por:

( )

j k X

( )

t

(

t k

)

TWD N j t j X ₌ − − ₋ = −

∑

₂ 2 , 1 0 2 / _ψ (14)

A relação inversa desta função utilizada para as sínteses ou reconstrução do sinal é dada pela relação:

( )

t

[

TWD

( )

j k

]

(

t k

)

X j Z k X j j ₋ = − ∈ Ζ ∈ −

∑

∑

2 /2 , _ψ 2 (15)

3.6.

Análise multirresolução de bases ortonormais de wavelets 3.6.1.

Propriedades da análise de multirresolução

A análise de multirresolução consiste de uma seqüência de aproximações sucessivas de espaços Vj(seguindo a convenção de Daubechies)

1_.

...

...⊂V₂ ⊂V₁ ⊂V₀ ⊂V−₁ ⊂V−₂ ⊂ (16)

Na Figura 14 pode-se observar como é a distribuição destes espaços. ...

...V₂ V₁ V₀ V₋₁

.... ....

Figura 14 − Distribuição dos espaços A união desses espaços fechados é _L2

( )

ℜ _,

( )

ℜ = ∈ 2 L V Z j j

U

(17)

A interseção contém somente à função zero

{ }

0

= ∈

I

_{j Z}Vj

(18)

Existem muitos espaços que satisfazem as relações (16)-(18). O aspecto de multirresolução é uma conseqüência de outros requisitos adicionais, descritas a seguir. Dada uma função f

( )

t de _L2

( )

ℜ _{, tem-se que,}

1 _{Esta convenção diz que os subespaços denotados com os menores subíndices estarão dentro dos}

subespaços de maiores subíndices. Esta convenção é oposta à convenção de Mallat.

( )

t ∈Vj ⇔ f

( )

2t ∈Vj−1

f ₍₁₉₎

A relação (19) diz que numa análise multirresolução, o espaço V_j−1 é obtido de V_j escalando-se as funções aproximadas, pela razão dos respectivos níveis de resolução.

Outra característica requerida na análise multirresolução, é a invariância de

0

V sob translações inteiras.

( )

t V0 f

(

t k

)

V0

f ∈ ⇔ − ∈ ₍₂₀₎

O princípio básico da análise de multirresolução consiste que uma coleção qualquer de funções de um conjunto fechado, satisfaz às relações (16) e (20).

3.6.2.

Bases ortogonais

As wavelets são bases de funções que permitem a extração de informação disponível do sinal no domínio do tempo e escala (ou freqüência). Os diferentes tipos de famílias de wavelets quase sempre vem em pares. Assim, temos as

wavelets pai e mãe representados por φ e

( )

t ψ respectivamente. As wavelets

( )

t

do tipo pai1, φ_j,k

( )

t , capturam as partes do sinal de baixa freqüência, e as wavelets do tipo mãe2, ψ _j,k

( )

t , capturam os detalhes ou componentes de alta freqüência, em um nível de resolução dado. Utilizando as bases ortonormais φ_j,k

( )

t e ψ_j,k

( )

t

vai se poder usadas para representar uma função f

( )

t em_L2

( )

ℜ _.

Definimos o espaço Wj, chamado também espaço das wavelets para o

conjunto de wavelets do tipo mãe ψ_j,k

( )

t , e o espaço V_j chamado também espaço de escalonamento para o conjunto de wavelet do tipo pai φ_j,k

( )

t . Para cada j∈Ζ,

1 _{As wavelets da forma}

( )

_t

k j,

φ são ditos wavelets do tipo pai, devido a que foram gerados a partir de uma única função φ .

( )

t

2 _{De forma similar as wavelets da forma}

( )

_t

k j,

ψ são ditos wavelets do tipo mãe devido a que foram gerados a partir de uma única função ψ .

( )

t

definimos Wj como o complemento ortogonal de Vjem Vj−1, e assim, temos a

relação entre os espaços V e W :

j j j

V

W

V

₋₁

=

⊕

j j V W ⊥ (21)

A Figura 15 mostra como é a distribuição dos espaços W e V

1 − j W ... ... V_j V_j−1 .... W_j ....

Figura 15 − Distribuição dos espaços W e V

3.6.3.

Construção de ψ(t) e φ (t) a partir de uma escala de maior resolução

Pela propriedade (19), tem-se que funções de um espaço são simplesmente versões escaladas de elementos do próximo espaço. Se a função φ

( )

t ∈V₀, e por (16) o espaço V₀está contido no espaço V₋₁ (ver Figura 15), então, φ

( )

t ∈V₋₁. Portanto a função φ pode ser expressa em (22), como uma combinação linear

( )

t

deste último espaço V₋₁, que é um espaço escalado suportado por φ

( )

2t .

( )

t 2 l

( ) (

k 2t k

)

,

k

−

=

∑

φ

φ k∈Ζ, (22)

Por outro lado, foi mencionado na seção anterior e mostrado na Figura 15 que W₁⊂W , então a wavelet mãe ₀ ψ também pode ser expressa em (23), como

( )

t

uma combinação linear de funções escala φ

( )

2t deslocadas, similar à equação anterior.

( )

t 2 h

( ) (

k 2t k

)

,

k

−

=

∑

φ

ψ (23)

Os coeficientes l

( )

k e h

( )

k são conhecidos também como filtros “passa baixo” e “passa alto” respetivamente, e estão relacionados por:

( ) (

l k

)

h k

k = −1 1− (24)

ou também da forma, para sinais de comprimento finito e ordem N.

( ) (

l k N

)

h_k = −1k 1− +2 , (25)

Estas relações são dadas pela própria ortogonalidade entre a função do tipo pai e a função wavelet do tipo mãe.

As funções l

( )

k e h

( )

k são filtros de quadratura em espelho-FQE (Quadrature Mirror Filter-QMF). (Oppenheim, 1989). Será visto mais do FQE na seção 3.6.4.2.

3.6.4.

Algoritmo piramidal

Na prática a transformada de wavelets discreta é implementada via o algoritmo piramidal, (Mallat, 1989), sendo preciso para cada iteração do algoritmo piramidal três dados; 1) o vetor de entrada, 2) o filtro wavelets do tipo mãe h

( )

k , 3) e o filtro de escala l

( )

k da wavelet do tipo pai.

Como sabemos a transformada discreta das funções wavelets do tipo pai e mãe, matematicamente ,são calculadas usando as relações de a_j,k = x

( )

t ,φ_j,k

( )

t

e d_j,k = x

( )

t ,ψ_j,k

( )

t respetivamente. O algoritmo piramidal efetua estes cálculos de outra forma, usando os filtros passa baixo e passa alto das funções wavelets usadas na análise. Para o j-ésimo passo, o algoritmo calcula esta transformada discreta a partir dos coeficientes suaves a_j−1,k, do nível j−1, dado por:

(

)

j n n k j l n k a a _, =

∑

−2 _−1, (26)

(

)

j n n k j h n k a d _, =

∑

−2 _−1, (27)

A transformada de wavelets pode ser interpretada como uma filtragem seguida de uma decimação (ou downsampling). O número de coeficientes para

k j

a _, que está no nível j , será a metade do número de coeficientes a_j−1,kdo nível 1

−

j , da mesma forma para d_j,k, de tal forma que ao final se terá a mesma quantidade de dados que ao início. Os filtros L e H são escritos como

(

l k

)

_{k Z} e H

(

h k

)

_{k Z}

L= ( ) _∈ = ( ) _∈ . De forma similar para os filtros de reconstrução

( )

l k k Z e H

(

h k

)

k Z

L' = '( ) _∈ ' = '( ) _{∈ . Estes tipos de filtros são especiais e estão} relacionados uns com os outros, com propriedades importantes para assim conseguir a perfeita reconstrução do sinal (ver 3.6.4.2.). A seleção das wavelets determinam os filtros.

Figura 16 − Decomposição do sinal com downsampling

Da Figura 16 mostra a decomposição do sinal, o símbolo 2↓ significa que cada amostra de entrada é removido (downsampling de 2) com o fim de manter constante a amostra inicial. Vamos analisar esta Figura, considerando um sinal

( )

k

X que pertença ao espaço de funções V . Tomando a transformada de wavelets₀

discreta, e aplicando em seguida downsampling de 2, resulta em coeficientes d1,k

e a_1,k que pertencem ao espaços W₁ e V₁ respectivamente, que são, por definição,

( )

3 , 3 W d k

( )

0 , 0 V a _k

( )

3 , 3 V a _k

( )

2 , 2 V a _k

( )

2 , 2 W d _k

( )

1 , 1 V a _k H _↓2 2 ↓ L H _↓2 2 ↓ L H _↓2 2 ↓ L

( )

1 , 1 W d _k

versões escaladas de elementos do espaço V . Os coeficientes de ₀ V₁ são chamados de aproximação e os coeficientes de W₂ chamados de detalhes. Novamente aplicamos a transformada aos coeficientes de aproximação de V₂, utilizando o mesmo procedimento até se conseguir a escala desejada (no caso V ). Portanto o₃

sinal original foi subdividido em outros sinais com bandas diferentes de freqüência, onde cada coeficiente da transformada possui uma banda de freqüência única, podendo ser analisada da maneira mais conveniente ao objetivo que se deseja. (Costa e Silva. M, 1999).

3.6.4.1

Reconstrução ou sínteses

Até agora vimos como a transformada discreta de wavelets pode ser usada para analisar ou decompor sinais. Resta saber como aqueles componentes podem ser novamente unidos para formar o sinal original sem perda de informação. Este processo é chamado “reconstrução ou sínteses”.

Figura 17 − Reconstrução do sinal via coeficientes de wavelets

A Figura 17 mostra como é feita a reconstrução do sinal a partir dos coeficiente das wavelets. O símbolo 2↑ indica upsampling, que é o processo de alongamento dos componentes do sinal, por inserção (introdução) de zeros entre as amostras. O procedimento da transformada inversa discreta de wavelets resulta de aplicar upsampling seguido de filtragem. Como no caso de decomposição o procedimento se repete até obter o sinal reconstruído.

( )

3 , 3 W d _k

( )

0 , 0 V a _k

( )

3 , 3 V a _k

( )

2 , 2 V a _k

( )

2 , 2 W d _k

( )

1 , 1 V a _k

( )

1 , 1 W d _k H‘ 2 ↑ L‘ 2 ↑ H‘ 2 ↑ L‘ 2 ↑ H ‘ 2 ↑ L‘ 2 ↑

3.6.4.2.

Importância da escolha do filtro

A parte de filtragem do processo de reconstrução também traz algumas discussões, como conseqüência da escolha do filtro que será crucial para se obter uma perfeita reconstrução do sinal original. Essa perfeita reconstrução é realmente possível e significativa. É sabido que o downsampling das componentes do sinal executado durante a fase de decomposição introduz uma distorção chamada

aliasing, (Strang, 1996; Oppenheim, 1989). Se escolhermos adequadamente e

cuidadosamente os filtros para as fases de descomposição e reconstrução (que são muito parecidas, mas não idênticas), podemos cancelar os efeitos de aliasing.

Descomposição Reconstrução

Figura 18 − Processo de decomposição e reconstrução

A Figura 18 mostra a decomposição dos filtros de baixa e alta (L e H), junto com seus associados filtros de reconstruções (L’ e H’) de um sistema, e são chamados filtros de quadratura em espelho já mencionados.

De fato, a escolha dos filtros não somente determina se será possível a perfeita reconstrução (com perda o sem perda de informação)1, como também determina a forma da wavelet que será usada, para realizar a análise. Na verdade não são selecionados os filtros, e sim, as wavelets, determinando-se dessa forma os filtros a usar. Como veremos mais adiante, nosso problema basicamente estará na seleção do tipo de wavelets a usar na análise.

1 _{É dito com perda de informação quando o alguns coeficientes de alta freqüência, relativo a cada}

nível, do sinal decomposto são eliminados a partir de um parâmetro escolhido adequadamente.

3.7.

Alguns tipos de wavelets

Com respeito à escolha das wavelets, tem-se muitas alternativas. A seguir são mostrados algumas características das wavelets biortogonais, Daubechies, Symlet e Coiflet usadas na análise no capítulo 5.

3.7.1.

Wavelets tipo Biortogonais

A família de wavelets biortogonais exibe a propriedade de fase linear, a qual é necessária para a reconstrução do sinal. Usa duas wavelets, uma para a decomposição e outra para a reconstrução, em lugar de uma só. Esta wavelet tem suporte compacto e é simétrica. As wavelets biortogonais são definidas como pares de bases mutuamente ortogonais, mais nenhum desses pares é ortogonal.

Figura 19 − Wavelet ψ de tipo Biortogonais

3.7.2.

Wavelets tipo Daubechies

As wavelets ortogonais de Daubechies, “dbN”, são perfeitamente compactas no tempo, mas no domínio da freqüência, tem um alto grau de superposição espectral entre as escalas. Sua maior vantagem é serem ortogonais, o que significa que um erro no sinal de entrada não cresce com a transformação e a estabilidade

numérica computacional é assegurada. Por outro lado não possuem fase linear

Figura 20 − Wavelet ψ do tipo Daubechies

3.7.3.

Wavelets tipo Symlets

Este tipo de wavelet foi proposto por Daubechies como uma modificação à família “dbN”, com possuem propriedades similares, e tendem a ser simétricas.

Figura 21 − Wavelet ψ do tipo Symlet

3.7.4.

Wavelets tipo Coiflets

Este tipo de wavelets é mais simétrico do que o tipo Symlets. Foi construído por Daubechies como requerimento de Coifman.

Figura 22 − Wavelet ψdo tipo Coiflet

As ilustrações destes quatro tipos wavelets foram obtidas do Toolbox de wavelets do MATLAB, (Misiti M, 1996), onde também podem-se encontrar importantes informações e ilustrações de outros tipos de wavelets.