MÓDULO 2 3ª aula. Estatística - Conceitos básicos

QUÍMICA ANALÍTICA AVANÇADA – 1S 2015

MÓDULO 2

3ª aula

Estatística

- Conceitos básicos

Prof. Rafael Arromba de Sousa

Departamento de Química - ICE

rafael.arromba@ufjf.edu.br

Estatística Aplicada à Química Analítica

Aula 2:

- Conceitos e definições básicos

Não

existe

um

valor

absoluto

para

um

resultado analítico

Forma correta de expressar os resultados

Definição de exatidão e precisão

Importância de rejeitar resultados anômalos

Aula 3:

- Conceitos básicos (continuação)

- Noções de Quimiometria

RELAÇÃO ENTRE EXATIDÃO E PRECISÃO

A Exatidão e a Precisão se relacionam de 3 formas principais: Método de análise

C

B

A

preciso e exato !

preciso mas inexato

impreciso e inexato

Conc. do analito

Algumas formalidades... TERMINOLOGIAS

Codex Committee on Methods of Analysis and Sampling. Guidelines on Analytical Terminology (CAC/GL72 – 2009)

1)

Boa

precisão

= Boa

repetibilidade

≠

reprodutibilidade

TERMINOLOGIAS

1. Definição do problema analítico

2. Escolha do método de análise

3. Amostragem

4. Tratamento da amostra (e separação da espécie de interesse)

5. Calibração

6. Medida analítica RESULTADO (MÉDIA ± INCERTEZA)

7. Avaliação dos resultados : RESULTADO _OBTIDO x RESULTADO _ESPERADO 8. Ação

A ESTATÍSTICA NA ANÁLISE QUÍMICA

Comparação de Resultados:

6

Comparação

Precisões (Teste F)

Teste F (ou Teste de Snedecor)

F =

S

_A2

S

_B2

SE

F

_calculado

≥

F

_tabelado

para a confiabilidade desejada

SE

F

_calculado

< F

_crítico

para a confiabilidade desejada

Não existe diferença significativa entre os conjuntos

de dados

Comparar

precisões

(ou variâncias)

de duas médias (A

e B)

Ex:

Valores críticos para F ao nível de 5%*

* A tabela indica as probabilidades dos valores serem diferentes

(confiabilidade de 95% para não haver diferença significativa entre os resultados)

3 4 5 6 12 20

Numer.

3

9,28 9,12 9,01 8,94 8,74 8,64

4

6,59 6,39 6,26 6,16 5,91 5,80

5

5,41 5,19 5,05 4,95 4,68 4,56

6

4,76 4,53 4,39 4,28 4,00 3,87

12

3,49 3,26 3,11 3,00 2,69 2,54

20

3,10 2,87 2,71 2,60 2,28 2,12

Denom.

Graus

lib.

8

Tabelas para os valores críticos de F

EXERCÍCIO

Exerc

3-Comente sobre a diferença na precisão obtida nos laboratórios

A e B para a determinação de Mg em uma mesma amostra de

leite considerando um nível de confiança de 95%.

Dados:

Lab. A : 34,97; 34,85; 34,94 e 34,88 mg L

-1

_e

Após “entender” os conceitos de precisão e

exatidão, que erros afetam esses parâmetros ?

TIPOS ERROS:

- SISTEMÁTICOS (rastreados e evitados)

- ALEATÓRIOS (sempre presentes)

Erros de Método : surgem do comportamento

químico ou físico não ideal de sistemas analíticos

Erros Pessoais : resultam da falta de cuidado,

falta de atenção ou limitações pessoais do analista

Erros Instrumentais: causados pelo

comportamento não ideal de um instrumento, por calibrações falhas ou pelo uso de condições

1) Erros Sistemáticos ou Determinados

(Podem ser conhecidos e rastreados)

afetam a

exatidão

Como detectar um erro sistemático?

• Material certificado (CRM)

• Método de adição e recuperação

• Método comparativo

• Testes interlaboratoriais

Erros Sistemáticos ou Determinados

(

Podem ser conhecidos e rastreados

)

afetam a precisão

Variam de acordo com

uma

distribuição normal

Medidas flutuam

aleatoriamente

ao redor da média

2) Erros Indeterminados

(aleatórios ou randômicos)

Não podem ser localizados…

Ex de uma

Distribuição Normal

(Calibração de uma pipeta)

50 9.969 9.971 9.981 9.983 9.993 9.995 9.987 9989 9.975 9.977

%

d

as

m

ed

id

as

30 10 Curva de Gauss (Perfil da distribuição)

OBS: Transparência preparada a partir de material do Prof Célio Pasquini (IQ-Unicamp)

volume (mL)

Histograma mostrando a

distribuição de 50 medidas do volume escoado por uma pipeta de 10 mL

Característica de uma Distribuição Normal

Os resultados são alterados ora para menos, ora para mais,

por erros que parecem se dar ao acaso (aleatórios), que é um comportamento esperado e, por isso, “normal”

Y =

1

σ √

2

π

exp - 1

2

(X

_i

-

µ

)

2

σ

2

Probabilidade de ocorrência de um resultado (Y)

Distribuição Normal de Gauss

µ corresponde a média da população

(situação de várias medidas)

OBS: Transparência preparada a partir de material do Prof Célio Pasquini (IQ-Unicamp)

Assim, pode-se calcular uma faixa para um resultado R supondo que os desvios observados seguem uma distribuição normal

Distribuição Normal e a Estatística Clássica

Para a estatística clássica os desvios da normalidade não afetam os resultados do ponto de vista estatístico (métodos robustos) e ista idéia é apresentada no “Teorema do Limite Central”:

“Se a flutuação total numa certa variável aleatória for o resultado da soma das flutuações de muitas variáveis independentes e de

importância mais ou menos igual, a sua distribuição tenderá para a normalidade, não importa qual seja a natureza das distribuições das

variáveis individuais”

0

0

0,1

0,2

0,3

0,4

+

_

+1

σ

+2

σ

-2

σ

-1

σ

µ

µ

= x

±

z

σ

√

N

F

re

quê

nc

ia

r

el

at

iva

Limites de confiança para a media de um resultado

Níveis de Confiança para Z % 50 0,67 68 1,00 80 1,28 90 1,64 95 1,96 95,4 2,00 99 2,58 99,7 3,00 99,9 3,29

Distribuição Normal de Gauss

OBS: Transparência preparada a partir de material do Prof Célio Pasquini (IQ-Unicamp) 18

µ

= x

±

t

S

√

N

Limites de confiança da média quando não se tem µ

µ

= x

±

z

σ

√

N

Graus de liberdade 95% 99% 1 12,71 63,66 2 4,30 9,93 3 3,18 5,84 4 2,78 4,60 5 2,57 4,03 6 2,45 3,71 7 2,36 3,50 8 2,31 3,36 9 2,26 3,25 10 2,23 3,17 . . .

Exemplo 4

(aplicação do conceito na expressão de um resultado)

:

Um indivíduo fez

quatro

determinações de ferro em uma

liga metálica, encontrando um valor médio de 31,40% m/m

e uma estimativa do desvio padrão de

0,11% m/m. Qual o

intervalo em que deve estar a média da população

, com um

grau de confiança de 95%?

µ = ?

µ = 31,40 ± (

3,18

x

0,11

) / 4

µ = 31,40 ± 0,17

C

_Fe

= (31,23 – 31,57)% m/m

µ

= x

±

t

S

√

N

√

20

Exemplo de aplicação deste conceito (Aula 4: Experimento de amostragem)

Ex: Comparação da

distribuição de cores

de confeitos M&M

com a especificação do fabricante

Amostragem dos analistas diferentes

média (X) e estimativa do desvio (S) para cada cor Média do fabricante (µ)

Calcula-se

t

com a confiança desejada e compara-se com o valor

tabelado:

_µ

- x

S

√

N

Outra aplicação para o Limite de confiança da média

Comparação de uma

média

com um

valor de referência

quando

não se tem o desvio do valor de referência e não

se pode calcular Sp

µ

= x

±

t

S

√

N

22 IC para o resultado “R” Valor referência Ex de situação em que o resultado obtido concorda com o valor de referência

ν

_{t tabelado}

= N-1

Principalmente

quando as precisões são comparáveis,

pode-se também comparar as médias:

Teste t, de

Student

Avaliar métodos diferentes

(n

₁

-1) S

₁2

_{+ (n}

2

-1) S

22

n

₁

+ n

₂

- 2

S

_p

=

n é o número das medidas para cada média

S_p corresponde a S “agrupado”

x

₁

- x

₂

S

_p

t

=

n

₁

+ n

₂

n

₁

. n

₂

ν

_{t tabelado}

= n

₁

+n

₂

-2

Graus de liberdade 95% 99% 1 12,71 63,66 2 4,30 9,93 3 3,18 5,84 4 2,78 4,60 5 2,57 4,03 6 2,45 3,71 7 2,37 3,50 8 2,31 3,36 9 2,26 3,25 10 2,23 3,17 . . . . . . ∞ 1,96 2,58

Valores críticos para t nos níveis de 95 e 99%

(P= 0,025 e P= 0,005)

Testes estatísticos são válidos quando os erros envolvidos são aleatórios Mais confiáveis serão os testes quanto maior o ν (graus de liberdade)

Outras formas de utilizar o teste-t

Comparação de dados em pares (teste-t pareado)

d

S

_d

_√

_N

t

=

Amostras diferentes (do mesmo tipo ou de lotes diferentes) analisadas por métodos diferentes ou analistas diferentes

Procedimento:

1) Organizar os dados em pares

2) Calcular o “desvio padrão” entre as diferenças das médias (dos pares)

3) Calcular o valor de t:

EXERCÍCIO

Exerc

4-No seu trabalho de pós-graduação você fará comparação de resultados? Em caso afirmativo, qual teste será usado? Por quê?

Testes estatísticos para

comparação de resultados

-Precisão

-Exatidão

Testes de hipóteses

-Hipótese nula (H

₀

)

H

₀

: µ = µ

₀

Propagação de erros para um resultado R: alguns exemplos

(Erros em cada etapa do processo)

R = A + B – C

(soma e sub.)

S

_R

=

_√

_S

A2

+ S

B2

+ S

C2

R =

AB

C

S

_R

R

=

±

S

_A

A

2

S

_B

B

2

S

_C

C

2

Erros

indeterminados

+

+

(multiplicação e divisão) 28

±

Propagação de Erros

Para “casa”

Exerc. 5:

Considerando que o S de uma balança seja de 0,0001 g,

calcule a estimativa do desvio-padrão de uma pesagem

feita nesta balança.

CASO DE

MÉTODOS INSTRUMENTAIS

DE ANÁLISE

O TRATAMENTO ESTATÍSTICO INCLUE TAMBÉM:

Regressão linear

Curva de calibração (ou analítica)

Tipos: -

univariada (“convencional”)

-

multivariada (métodos quimiométricos)

Estimativa dos Limites de detecção e quantificação

Cálculos baseados na Estimativa do desvio padrão do

branco para prever a detectabilidade do método

REGRESSÃO LINEAR

É a reta que melhor representa a relação entre a

propriedade medida (Abs, p. ex) e a concentração dos

padrões

Concentração (mg L

-1

₎

0 1

A

b

so

rb

ân

ci

a

Padrões Branco

Concentração (mg L

-1

₎

0 1

A

b

so

rb

ân

ci

a

Padrões Branco Abs= 48,3x + 0,24 r= 0,9987

REGRESSÃO LINEAR

Uma Curva analítica linear nem sempre é possível e uma Regressão não-linear pode ser usada desde que apresente “boa correlação”

As Regressões lineares são as mais usuais e podem ser obtidas por meio de softwares, que usam o Método dos mínimos quadrados:

n= no _{de pontos (x}

1;y1) da calibração

Para

y= ax + b

, com coef. correlação “

r

”:

a

= ______________

n Σx

i

y

i

– Σx

i

Σy

i

n Σx

_i2

_{– (Σx}

i

)

2

b

= y - x

r

= _______________________________

n Σx

i

y

i

– Σx

i

Σy

i

{ [nΣx

_i2

_{– (Σx}

i2

)] [nΣy

i2

– (Σy

i

)

2

] }

1/2 32

REGRESSÃO LINEAR

“Para casa”:

Vide ex. 4.9 e 4.10 do “Vogel – Análise Química Quantitativa”, 6ª Ed:

Para determinar quitina por fluorescência molecular utilizou-se padrões de quitina nas seguintes concentrações: 0,10; 0,20; 0,30 e 0,40 µg mL-1 _{e que resultaram nos seguintes valores de emissão,}

respectivamente: 5,20; 9,90; 15,30 e 19,10, Cps sendo que o branco gerou leitura de 0,00 Cps. Considerando-se que um coeficiente de correlação linear superior a 0,99 é satisfatório, calcule a concentração de quitina de uma amostra cujo sinal analítico foi de 16,10 Cps.

REGRESSÃO LINEAR E

EFEITO MATRIZ

Sendo a Regressão linear uma reta “média” pode-se calcular a incerteza dos seus coeficientes angulares e lineares

As incertezas desses coeficientes podem ser usadas para avaliar a própria regressão bem como outros parâmetros

Avaliação do efeito matriz no desenvolvimento de um método analítico (comparação dos coef. angulares, a):

0 2 4 6 8 10 -0.002 0.000 0.002 0.004 0.006 0.008 0.010 0.012 0.014 0.016 0.018 0.020 A I Concentração de Pb (ug/L) Curva de adição de padrão

Curva analítica em meio ácido _a

meio alcalino

a

meio ácido

1,60 10-3_{± 0,05 10} -3 _{1,78 10}-3_{± 0,03 10}-3

Comparação para um nível de 95% de confiança para saber se a calibração

poderia ser feita em meio ácido !

( y= ax + b )

REGRESSÃO LINEAR E EFEITO MATRIZ

Cálculo das incertezas de a e b :

S

_y/x

=

[

Σ(y

_i

–

y

^

)

2

_{/ (n-2)}

_]

1/2

Obtido usando a própria equação de regressão

S

_a

= ______________

S

y/x

[

Σ(x

_i

– x )

2

_]

1/2

S

b

=

S

y/x

[

Σx

i

2

_{/ nΣ(x}

REGRESSÃO LINEAR E OS PARÂMETROS DE MÉRITO

Estimativa dos LIMITE DE DETECÇÃO (LOD) e

LIMITE DE QUANTIFICAÇÃO (LOQ)

Representam a DETECTABILIDADE DO MÉTODO

LEMBRAR: LOD _instrumental é diferente do LOD _método

Exemplo:

Para quantificar 0,02 mg.kg-1 _{Pb em uma amostra de peixe por GF AAS}

o LOQ deve ser consideravelmente menor que 0,02 mg.kg-1 _Pb

(Análise elementar = Amostra é digerida)

Na solução final a amostra fica diluída (10x p. ex) C _{Pb sol. amostra}= 0,02 mg kg-1 _{/ 10 = 0,002 mg kg}-1

LOQ instrumental ≤ 0,002 mg.kg-1 _{Pb e não 0,02 mg kg}-1

REGRESSÃO LINEAR E OS PARÂMETROS DE MÉRITO

Estimativa dos LIMITE DE DETECÇÃO (LOD) e

LIMITE DE QUANTIFICAÇÃO (LOQ)

Definições

Limite de detecção:

É a menor concentração ou massa de analito que pode ser detectado com uma certa confiança

Depende da magnitude do sinal analítico em relação à flutuação do branco:

REGRESSÃO LINEAR E OS PARÂMETROS DE MÉRITO

CÁLCULO do LIMITE DE DETECÇÃO (LOD)

CONSIDERAÇÃO:

LOD concentração correspondente ao Menor sinal detectável

Menor sinal detectável = Sinal _branco + 3 S _branco

Para que se tenha 99% de confiança

SE Curva analítica: (1) Y= m X + b b= Sinal _branco

Na concentração limite Y = Menor sinal detectável (2)

X = LOD

Substituindo (2) em (1): Sinal_branco + 3 S_branco = m LOD+ Sinal_branco

3 S_branco = LOD

REGRESSÃO LINEAR E OS PARÂMETROS DE MÉRITO

O LIMITE DE QUANTIFICAÇÃO (LOQ)

No nível do LOD a medida é significativamente afetada pelo

ruído instrumental (baixa precisão)

As medidas quantitativas devem ser feitas num nível superior ao LOD, geralmente:

10 S

_branco

LOQ=

Outros Usos da Estatística no Laboratório

Métodos

quimiométricos

para

planejamento

e

otimização de experimentos, análise multivariada de dados e

calibração multivariada

“A quimiometria pode ser definida como sendo a aplicação de

métodos matemáticos e estatísticos no planejamento ou na

otimização de procedimentos e na obtenção de informações

químicas através da análise de resultados relevantes”

Recomendação

Literatura básica para estudos iniciais

Bruns, RE; Faigle, FG. “Quimiometria”,

Quím. Nova, 8 (1985) 84

Gemperline, PJ.

Practical Guide to Chemometrics (2nd Ed),

1

- Planejamento fatorial e otimização multivariada

- Conhecer como os diferentes parâmetros experimentais afetam o resultado do experimento (ou análise).

42

Tpyr Tat tpyr Mod

1

- Planejamento fatorial e otimização multivariada

- Estabelecer condições experimentais (instrumentais) otimizadas

Seleção das condições instrumentais do ICP OES

Sousa, RA; Silva, JCJ; Teófilo, RF; Cadore, S.; Baccan, N.

“Study of Instrumental Parameters for the Analysis of Milk by ICP OES Employing Factorial Design”,

Brazilian Meeting on Chemistry of Food and Beverages, 2004. Sousa, RA; Silva, JCJ; Teófilo, RF; Cadore, S.; Baccan, N.

“Study of Instrumental Parameters for the Analysis of Milk by ICP OES Employing Factorial Design”,

Brazilian Meeting on Chemistry of Food and Beverages, 2004.

-1,2 -0,72 ₂ 4 6 8 10 12 14 16 M g I I / M g I

y= 6.74 + 1.89 P –

4.34 N – 0.59 A – 0.69

PN – 0.34 PA + 0.34 NA

2

- Análise multivariada de resultados

Um exemplo na área de Química analítica:

ACP ACN Ca (mg L-1_{) 178 - 232 107 – 237} Mg 87 - 129 50 – 88 Mn 1,8 – 2,8 1,0 – 4,8 Fe 0,08 – 0,18 0,04 – 0,18 Zn 0,20 – 0,36 não detectado Cu 0,09 – 0,19 não detectado

Dados experimentais obtidos para as diferentes amostras:

2

- Análise multivariada de resultados

Considerando as variações para cada parâmetro (analito), busca-se as possíveis similaridades entre as amostras

UTILIZAR: Recursos para Análise exploratória, como PCA

Gráfico de scores: Amostras num espaço multidimensional

Na PCA realizada compara-se o Gráfico de scores com o de

loadings para se entender as “separações” encontradas

Verificação de correlações entre dados

3

- Calibração multivariada para análise de solos, alimentos,

medicamentos e fluidos biológicos

- Utiliza-se um único método analítico para detectar e

3

- Calibração multivariada para análise de solos, alimentos

e medicamentos

48

TABLE I:

Correlation Coefficient Values for Both Calibration and Validation Models Obtained via PLSR 1 for All Inorganic Elements

Element

Correlation Coefficient

Element

Correlation Coefficient

Calibration Validation Calibration Validation

Ca 0.99992 0.84705 K 0.99751 0.99558

P 0.98802 0.96488 Mg 0.96973 0.90379

3

- Calibração multivariada para análise de solos, alimentos

e medicamentos

TABLE II: Correlation Coefficient Values for Calibration and Validation Models Obtained via PLSR 1 for the Organic Compounds

Compounds

Correlation Coefficient

BIBLIOGRAFIA

1) D. A. Skoog, D. M. West, F. J. Holler, Stanley R. Crouch

Fundamentos de Química Analítica,

8a _{Ed., CENGAGE Learning, 2009}

2) J. Mendham, R. C. Denney, J. D. Barnes, M. Thomas

Vogel - Análise Química Quantitativa,

6a _{ed., LTC, 2002}

3) D. C. Harris,

Análise Química Quantitativa,

7a _{ed., LTC, 2008}

4) B. B. Neto, I. E. Scarminio, R. E. Bruns,

Como Fazer Experimentos, Editora da Unicamp, 2001

5) J. N. Miller, J. C. Miller,

Statistics and Chemometrics for Analytical Chemistry, 5th Ed, Pearson Education Limited, 2005