Teoria Matemática das Eleições

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Teoria Matemática das Eleições

Ficha de Trabalho nº 1

1. Numa Associação Recreativa com 710 associados realizaram-se eleições para a Presidência. Apresentaram-se três candidatos e os resultados foram os seguintes:

1.1. Quantas pessoas votaram para a Presidência da Associação?

1.2. Houve abstenção? Qual a percentagem?

1.3. Calcula a percentagem de votos atribuída a cada candidato.

1.4. Sabendo que o sistema utilizado para encontrar o vencedor foi o sistema maioritário de uma volta, quem venceu as eleições? Com que tipo de maioria? Justifica a resposta.

1.5. A que distância percentual ficou o segundo candidato mais votado?

2. Nas eleições para a assembleia de uma freguesia, obtiveram-se os seguintes resultados: Não houve votos brancos.

O número de votos nulos foi 160.

A percentagem de abstenção foi de 35%

2.1. Qual o número de cidadãos inscritos para estas eleições?

2.2. Quantas pessoas votaram na eleição?

2.3. Calcule a percentagem de votos de cada um dos partidos. 2.4. Quem é o vencedor por maioria simples?

2.5. Algum dos partidos foi eleito por maioria absoluta? Justifique.

Partidos Número de votos

A 10236 B 7860 C 850 Nº de votos António 185 Bernardo 165 Carlos 305 Votos em branco 22 Votos nulos 30 1. 2. 180 3. Carlos 4. 325 5. Votos em branco 6. 22 7. Votos nulos 8. 35

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Consultados todos os alunos da escola, obtiveram-se os seguintes resultados: û 298 estudantes votaram golfe e danças de salão;

û 140 estudantes votaram patinagem e badmington; û 255 estudantes votaram patinagem e danças de salão; û 110 estudantes votaram golfe e badmington;

û 213 estudantes votaram golfe, patinagem e danças de salão. 3.1. Qual a modalidade vencedora pelo sistema de aprovação?

3.2. Sabendo que todos os alunos votaram, quantos alunos tem a escola? 3.3. Que percentagem de alunos votou na modalidade golfe?

4. Utilizando o sistema de aprovação, sabe-se que numa votação entre 20 indivíduos 10 votaram apenas na opção A, 2 votaram nas opções A e B e 3 não votaram em nenhuma. 4.1. Quantos votaram apenas na opção A?

4.2. Quantos votaram apenas na opção B? 4.3. Qual saiu vencedora?

5. Um grupo de alunos vai escolher o delegado de turma pelo método de aprovação. Os resultados obtidos foram os seguintes:

- 8 alunos escolheram o João e o Francisco.

- 6 alunos escolheram o Manuel, a Joana e a Cátia. - 7 alunos escolheram a Maria, a Isabel e a Joana.

- 9 alunos escolheram o João, a Maria, a Joana, a Isabel, a Cátia e o Francisco. 5.1. Quantos votos obteve cada um dos concorrentes?

5.2. Quem foi eleito delegado de turma? Justifique.

6. Na turma do Carlos, com 26 alunos, fez-se um inquérito, onde todos participaram, para saber qual o desporto preferido.

Sabemos que as respostas foram:

- 16 votaram ginástica - 10 votaram ténis - 11 votaram natação

- 5 votaram ginástica e ténis - 5 praticam ténis e natação - 2 praticam as três modalidades

a) Quantos alunos votaram apenas em natação?

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BOLETIM

1ª preferência __________ 2ª preferência __________ 3ª preferência __________ 7. Uma Associação Recreativa pretende pintar as paredes exteriores do edifício da sua sede. Depois de alguma discussão concluíram que a escolha da cor da tinta não é consensual e por isso os elementos da organização deveriam proceder à eleição de uma de entre as cores azul, verde e laranja.

Supõe que és um dos elementos dessa associação. Vais votar através de um boletim de preferência onde indicas a tua 1ª, 2ª e 3ª preferência (neste boletim não são permitidos empates nem omissões).

[Procede-se sucessivamente: distribuição dos boletins; nomeação de três elementos para a mesa de voto; votação secreta e individual; separação e contagem dos boletins com os diferentes tipos de voto.]

Regista na tabela seguinte a contagem dos boletins de votação.

Nº de boletins

1ª preferência Azul Azul Verde Verde Laranja Laranja

2ª preferência Verde Laranja Azul Laranja Azul Verde

3ª preferência Laranja Verde Laranja Azul Verde Azul

7.1. Apliquem o método da pluralidade de modo a determinar a cor preferida.

7.2. Apliquem o método de contagem de Borda de modo a determinar a cor preferida. 7.3. Comente comparativamente os resultados obtidos através dos dois métodos.

8. André (A), Bernardo (B), Cândido (C) e Damião (D) concorrem aos lugares de Presidente e Vice – Presidente da Associação de Comerciantes de Bombim. Cada um dos votantes exprimiu a sua preferência relativamente a cada um dos candidatos:

Preferências Número de votos

5 10 20 25 30

1ª escolha A A A C B

2ª escolha D B C D D

3ª escolha C D B B C

4ª escolha B C D A A

O vencedor fica com o lugar de Presidente e quem ficar em segundo lugar será o Vice – Presidente.

8.1. Quantos associados votaram?

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percentagem de votos?

8.4. Algum dos candidatos obteve Maioria Absoluta? Quantos votos teria de ter um candidato para ter Maioria Absoluta?

8.5. Explique o procedimento a seguir se os estatutos da associação exigissem maioria absoluta para a eleição do seu presidente.

8.6. Usando o Sistema de Borda, Runoff e Runoff sequencial atribua os cargos de Presidente e Vice-Presidente.

9. Considere uma eleição, com três candidatos (A, B e C), por ordem de preferência. 9.1. Desenhe os seis diagramas de ordenação possíveis.

9.2. Suponha que existiam 50 eleitores. Faça uma distribuição de votos de tal modo que o A seja vencedor pelo método de contagem de Borda sem que seja vencedor pelo método de pluralidade. Coloque pelo menos um voto em cada um dos diagramas.

10. Numa dada região quer-se proceder à eleição do Presidente e do Vice – Presidente da

Associação Desportiva. Para esta eleição concorrem 5 candidatos A, B, C, D e E. O vencedor fica com o lugar de Presidente e quem ficar em segundo lugar será o Vice – Presidente.

Cada um dos votantes exprimiu a sua preferência relativamente a cada um dos candidatos:

10.1. Determine quem ocuparia os cargos de Presidente e Vice-Presidente, se o método seguido fosse:

a) Pluralidade b)Contagem de Borda c) Runoff

10.2. Considere a seguinte afirmação:

“Considerando a posição obtida pelo candidato A nas três listas ordenadas, se o método aplicado para apurar o vencedor fosse o de Runoff sequencial, este nunca iria ocupar o cargo de Presidente, independentemente da ordenação dos restantes candidatos.”

Sem proceder à aplicação do referido método, justifique a afirmação anterior. 10.3. Considere-se agora que o candidato E é excluído das eleições e que a

ordenação dos restantes candidatos se mantém inalterada. Determine, neste caso, quem ocuparia os cargos de Presidente e Vice-Presidente, através do método de Condorcet.

10.4. Comente os métodos utilizados, referindo-se à sua robustez.

Preferências Número de votos

12 9 4 1ª A D E 2ª B B D 3ª C C C 4ª D E B 5ª E A A

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Diretoria de Finanças de À-dos-Impostos.

Determina o vencedor, caso exista, usando:

a) O método da pluralidade; b) O método de Borda; c) O método de Runoff; d) O método de Runoff sequencial; e) O método de Condorcet.

12. Numa dada localidade quer-se proceder à eleição do Presidente e do Vice – Presidente da Associação Desportiva. Para esta eleição concorrem 4 candidatos A, B, C e D. O vencedor fica com o lugar de Presidente e quem ficar em segundo lugar será o Vice – Presidente.

Cada um dos sócios votantes exprimiu a sua preferência relativamente a cada um dos candidatos:

Preferências Número de votos

15 10 18 20 30

1ª A B A C B

2ª D A C D D

3ª C C B B C

4ª B D D A A

12.1. Sabendo que a Associação Desportiva tem 270 sócios. Qual foi a percentagem de votantes nesta eleição? Apresente o resultado arredondado às décimas.

12.2. Considere apenas as linhas correspondentes às três primeiras preferências. Quem será eleito Presidente se as eleições forem por aprovação?

12.3. Considerando apenas a primeira preferência, algum dos candidactos obteve maioria absoluta? Se não quantos votos faltou ao mais votado para a obter? 12.4. Determine quem ocuparia os cargos de Presidente e Vice-Presidente, se o método

seguido fosse:

a) Contagem de Borda b) Runoff

Em função dos vários resultados encontrados, quem deveria, na sua opinião, ocupar os cargos?

Ordem de preferência

1º João Xavier Rosa Inês

2º Rosa João Xavier Xavier

3º Xavier Inês João Rosa

4º Inês Rosa Inês João

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Aspecto

Ordem

I

II

III IV

V

1º

D

U

H

M

H

2º

N

D

E

N

E

3º

H

E

M

E

D

4º

E

M

D

D

N

5º

M

N

U

U

U

6º

U

H

N

H

M

13. Seis candidatos a administradores de uma empresa foram submetidos à uma apreciação sobre vários aspectos de importância equivalente e relevantes para o exercício do cargo. Daí resultaram classificações que permitiram seriar os candidatos em cada um dos aspectos observados, conforme a tabela anexa. Determine quem será o administrador da empresa, explicitando os critérios usados para desfazer eventuais empates, aplicando os métodos:

a) Pluralidade b) Contagem de Borda c)Runoff d) Runoff sequencial e) Condorcet

14. Nas eleições para a Assembleia de freguesia de Algés, em 1997, a distribuição dos 19 mandatos originou:

PSD – 9; PS – 7; PCP/PEV – 2 PP – 1

14.1. Calcule as percentagens de mandatos obtidos pelas forças políticas indicadas. Alguma delas obteve maioria absoluta de mandatos?

14.2. Nas resoluções que requeiram maioria absoluta dos deputados quantos são necessários, no mínimo, para aprovar uma medida? Justifique.

14.3. Indique todas as coligações que permitem aprovar uma medida por maioria absoluta, supondo que ocorre disciplina de voto. Como se designam este tipo de coligações?

14.4. Determine o índice de poder de Banzhaf de cada força política, para aprovações por maioria absoluta.

14.5. Relacione o grau de influência de cada força política com a sua representatividade na Assembleia. Há proporcionalidade naquela relação? Justifique. 15. Nas eleições para a Assembleia da Freguesia de Câmara de Lobos, em 2001, a

distribuição dos 13 mandatos foi: PSD – 9 PS – 3 PP – 1

15.1. Calcule as percentagens de mandatos obtidos pelas forças políticas indicadas. Alguma delas obteve a maioria absoluta dos mandatos? Justifique.

15.2. Determine o índice de poder de Banzhaf de cada força política para aprovações por maioria absoluta.

15.3. As forças políticas minoritárias poderão ter algum poder de decisão nesta Assembleia? Justifique.

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grupos parlamentares, correspondentes a partidos e coligações:

BE 2 deputados

PCP 17 deputados

PP 15 deputados

PSD 81 deputados

PS 115 deputados

16.1. Supondo que existe disciplina de voto em cada um dos grupos parlamentares, indique as 15 coligações com poder para aprovar uma medida por maioria absoluta. Diga como se denominam estas coligações.

16.2. Determine o índice de poder de Banzhaf de cada grupo parlamentar. Discuta a especificidade da composição da Assembleia nesta legislatura.

16.3. Para aprovar uma revisão da Constituição da República Portuguesa é necessária uma maioria qualificada de dois terços. Indique o número mínimo de deputados necessário para aprovar uma revisão constitucional.

17. Três alunos A, B e C, fizeram um trabalho sobre a Teoria das Eleições.

Quinze alunos leram os trabalhos e ordenaram-nos tendo em conta a pontuação de acordo com uma tabela de avaliação fornecida pelo professor da seguinte forma (por ordem de preferência – 1.º, 2.º e 3.º lugar)

ACB ABC ACB BCA CAB

BCA ABC BCA BAC CBA

ABC ACB ABC BCA BAC

17.1. Determine o vencedor pelo método de Borda. 17.2. Determine o vencedor pelo método de Condorcet.

17.3. Determine o vencedor pelo método de Runoff sequencial.

17.4. Em sua opinião, qual deve ser considerado o melhor trabalho. Justifique a sua