Descontinuidades e Regimes de Volatilidade no Apreçamento de Derivativos
Jorge Constantin Kapotas
Dissertação apresentada ao Instituto de Matemática e Estatística e à Faculdade de Economia, Administração e Contabilidade da
Universidade de São Paulo.
Sumário
1. Introdução ...3
1.1 Objetivos e Relevância do Tema...3
1.2 O Processo Difusivo com Saltos na Literatura Financeira...4
2. Descontinuidades e a Preci…cação de Derivativos...5
2.1 O Processo Contínuo dos Retornos dos Ativos...5
2.2 O Processo de Descontinuidades nos Retornos...6
2.3 O Processo Difusivo com Saltos...7
2.4 Preci…cação de Ativos Derivados...9
2.5 Ilustração Numérica...15
3. Apreçamento de Derivativos com Descontinuidades e Transições no Regime de Volatilidade ...18
3.1 O Processo Dinâmico da Volatilidade ...18
3.2 A Dinâmica dos Ativos ...19
3.3 Prêmios de Risco e a Derivada de Radon-Nykodym...21
3.4 Apreçamento de Derivativos com Transições no Regime de Volatilidade...23
3.4.1 Ilustração Numérica...26 3.5 Preci…cando o Risco de Troca
de Regime de Volatilidade...27
3.6 Apreçamento de Derivativos com Saltos Idiossincráticos e Mudanças Assistemáticas no Regime de Volatilidade...29
3.7 Apreçamento de Derivativos com Saltos Idiossincráticos e Mudanças Sistemáticas no Regime de Volatilidade...30
3.8 Apreçamento de Derivativos com Saltos nas Mudanças do Regime de Volatilidade...31
3.8.1 Ilustração Numérica...32
4. Conclusões...35
5. Apêndice...36
6. Referências...45
1. Introdução
1.1 Objetivos e Relevância do Tema
Pretendemos neste trabalho estudar algumas das formas com que podemos incorporar um processo estocástico que produz descontinuidades espaciais nas trajetórias dos preços dos ativos …nanceiros e suas repercussões no apreça-mento de seus derivativos. Estas descontinuidades, ou saltos como são mais comumente conhecidos na literatura …nanceira, podem ser trazidos à análise por caminhos diversos, implicando em pressupostos e hipóteses de modelagem diferentes, como demonstraremos mais adiante.
Escolhemos o tópico, uma vez constatada a sua importancia nos mercados ilíquidos e de pouca ”profundidade” 1. Nestes mercados, nossa experiência
fornece indícios de que as descontinuidades são mais evidentes e frequentes. Percebemos que baixa liquidez nos mercados, é normalmente traduzida por um número maior de descontinuidades espaciais - e frequentemente tempo-rais - nos preços dos ativos. Vários fatores econômicos e institucionais con-tribuem para tanto. Mercados em desenvolvimento, ou emergentes, pode-riam ser tomados como exemplos de mercados de capitais onde os níveis de liquidez sofrem grandes oscilações, obviamente incluindo-se os mercados latino-americanos e em especial o brasileiro.
Em nossa primeira parte, obteremos o modelo de Merton [1976] a par-tir de alguns simples pressupostos sobre o comportamento dos preços dos ativos …nanceiros e argumentos de não arbitragem, aí incluindo as provas e ajustes que se …zerem necessários. Na segunda parte, conjugaremos de formas diferentes volatilidade estocástica com saltos, e desenvolveremos al-gumas extensões originais. Ilustrações numéricas para alguns modelos serão apresentadas. Provas demasiadamente longas, ou não essenciais ao encadea-mento lógico da nossa exposição são apresentadas no apêndice, e numeradas com a inicial ”A”, sequida do número da secção correspondente.
1Traduzimos aqui livremente a expressão americana ”shallow markets”, usada para
1.2 O Processo Difusivo com Saltos na Literatura Financeira Vários importantes trabalhos acadêmicos e pro…ssionais trataram deste tópico, não sendo nosso objetivo aqui apresentar uma extensiva lista. Em Merton [1976], trabalho seminal que seguiremos de perto na primeira parte de nosso estudo, o modelo difusivo com saltos é apresentado como o processo dos preços das ações e a solução para os ativos derivados é obtida. Cox e Ross [1976] exploram a preci…cação de opções sob um processo puramente pontual. Beckers [1981] e Ball e Touros [1983] apresentam alternativas ao modelo de Merton, assumindo certas premissas que simpli…cam a especi…cação do processo bem como a sua estimação. Jorion [1988] investiga a existência de descontinuidades nos mercados de câmbio e em índices de ações, mediante o uso de estimadores de máxima verossimilhança. Bates [1988] e Ahn [1990], preci…cam o risco dos saltos sistêmicos a partir de modelos de preci…cação de ativos no equilíbrio geral.
Naik [1993] conjuga saltos com volatilidade estocástica utilizando-se de argumentos de não arbitragem, de forma bastante original, como veremos na segunda parte de nosso estudo. Kou [1999] apresenta um modelo de difusão com saltos para o apreçamento de opções que incorpora as características leptokúrticas das distribuições dos retornos bem como volatilidade não con-stante. Andersen e Andreasen [2000] além de extenderem seu modelo para incorporar o ”smile” da volatilidade, tratam das questões numéricas relati-vas às equações integro-diferenciais parciais 2 que apresentaremos em nossa secção 2.4.
2.
Descontinuidades e a Preci…cação de
Deriv-ativos
As descontinuidades, ou saltos, representam uma característica marcante nas trajetórias dos retornos dos ativos …nanceiros dos países emergentes . Notícias inesperadas de alto impacto nos preços dos ativos, combinadas com um ambiente de liquidez limitada, podem desencadear uma descontinuidade na trajetória temporal dos ativos.
Neste capítulo inicial desenvolveremos os conceitos e pressupostos para a modelagem das trajetórias descontínuas destes ativos, tendo em vista os efeitos dos saltos na preci…cação de ativos contingentes.
2.1 O Processo Contínuo dos Retornos dos Ativos
Os acréscimos das trajetórias dos preços dos ativos …nanceiros no tempo, quando puramente contínuas, são comumente modelados3 na literatura,
uti-lizando a clássica equação diferencial estocástica (EDE): dSt St = ¹ dt + ¾d wt , que implica, St = S0e(¹¡ 1 2¾ 2 t)t + ¾dwt: (1) Prova: A.2.1
Sabemos também que a ausência de arbitragem num mercado completo
4 implica a existência de uma única medida de probabilidade Q tal que:
EtQ
£ Sue¡
Ru
t rsds j zt¤= St ; para u > t: 3Ver Black e Scholes [1973]
Isto faz do processo descontado Dt , dada a …ltração zt, um martingale.
De forma equivalente podemos dizer que existe uma dinâmica Q-martingale onde:
dSt
St
= rtdt + ¾tdwt
Prova: A.2.2
2.2 O Processo de Descontinuidades nos Retornos
Comumente na literatura a dinâmica contínua, como vimos acima, é rep-resentada por um processo de Wiener. No caso descontínuo podemos 5
uti-lizar o processo de Poisson 6. Assim podemos a…rmar que, para ¢t = h, Pfsalto em hg = ¸h + o (h) ;
Pfnão ocorrência de salto em hg = 1 ¡ (¸h + o(h));
Se St for o preço de um ativo em t ,de processo puramente descontínuo,
teríamos para o intervalo h pequeno, a seguinte situação:
St+h = StY , com probabilidade ¸h (ocorrência de um salto) ;
St+h = St , com probabilidade 1 ¡ ¸h (não ocorrência de saltos) .
Com ~Yi = e~xi onde ~x» N (°; ±) () E [Y ] = e°+
±2
2 = 1 + k
() ° +±2
2 = log (1 + k).
Fica portanto claro que no caso puramente descontínuo , com vários saltos possíveis em h, podemos denotar a sua trajetória temporal por:
St = N (t)Q i=1 exi = N (t)Q i=1 Yi ,e seu diferencial ,
5Ver Merton [1976] como claro exemplo de utilização do processo de Poisson.
6Se um evento segue uma distribuição de Poisson, a probabilidade de n eventos
ocor-rerem durante o intervalo t de tempo é dada por:
P [N (t) = n] = e¡¸t(¸t)
n
n! ; onde ¸ > 0 é a intensidade do processo e E [N (t)] = ¸t = V ar [N (t)] .
¢St St = e PN (t+h) i=1 xi eP N (t) i=1 xi ¡ 1 = e PN (t+h) i=N (t)+1xi ¡ 1 = N (t+h)P i=N (t)+1 ki+ o(h) (2)
2.3 O Processo Difusivo com Saltos
Uma vez expostos os componentes do nosso processo composto, podemos agora representa-lo ,na medida Q-neutra ao risco:
St = S0e(r¡ 1 2¾ 2)t + ¾ ~w tY t onde , Yt= N (t)Q i=1 Yi . (3)
Os choques Yi tem a propriedade de serem, em nossa modelagem,
to-talmente idiossincráticos e assistemáticos. Correspondem a notícias ou in-formações especí…cas de um ativo em particular, não comandando portanto nenhum prêmio de risco. Sendo ½s
ij = 0 (correlação nula entre os saltos do
ativo i e j), o risco de salto individual de cada ativo pode ser diversi…cado numa grande carteira de ativos.
Tendo combinado os processos de Sw
t (difusivo) com S p
t (Poisson) num
difusivo com saltos (”jump-di¤usion process”), desenvolvemos abaixo uma condição de não arbitragem (que se utiliza dos pressupostos econômicos usuais), dado que:
dSt
St
= ®dt + ¾ dwt+ ktdNt onde, ktdNt= dqt . (4)
A condição de não arbitragem implica em: EQ[Stw] = EQ[S pw t ]() EQ[® dt + ¾ dwt] + E · dStp Stp ¸ = EQ · dSw t Sw t ¸ = EQ[r dt + ¾ dw¼ t].
Mas como E [N (t)] = ¸dt e E[Y ¡ 1] = k as esperanças acima resultam respectivamente em: ® dt + ¸k dt = r dt portanto, ® = r ¡ ¸k.
O viés (”drift”) de St mais as descontinuidades do seu processo (saltos),
devem, na ausência de arbitragem, produzir um deslocamento ao longo do tempo que seja igual a r dt. Isto pode ser formalmente enunciado na proposição abaixo :
Proposição 2.3.1 Num processo difusivo com saltos independentes de wt e não correlacionados entre si, onde N (t) s P (¸t), a variável aleatória
Dt´ e¡rtSt é um Q-martingale, se e somente se d St St = ® dt+¾ dwt+ktdNt , onde ® = r ¡ ¸k. Prova: EQ[D t] = e¡rtE Q 0;S0 " S0e(r¡¸k¡ ¾2 2 )t + ¾w ¼ t N (t)Q i=1 Yi # EQ[e¡rtS t] = S0e¡¸kt EQ h e¡¾22 t+¾dw ¼ t i | {z }¢ E " N (t)Q i=1 Yi # 1 = S0e¡¸ktE " E " N (t)Q i=1 Yij N(t) = n ## = S0e¡¸kt 1 P n=0 e¡¸t(¸t) n n! ¢ E " N (t)Q i=1 Yij N(t) = n # = S0e¡¸kt 1 P n=0 e¡¸t(¸t) n n! ¢ n Q i=1 (1 + k) | {z } (1 + k)n = S0 1 P n=0 e¡¸(1+k)t[¸(1 + k)t] n n! e fazendo ¸ 0 = ¸(1 + k)
= S0 1 X n=0 e¡¸0t(¸ 0 t)n n! | {z } = S0 () ® = r¡¸k 1 ¤
2.4 Preci…cação de Ativos Derivados
Lema 2.4.1 Seja a dinâmica de um ativo dada pela EDE, dSt St
= ®dt + ¾dwt+ ktdqt. Se F (St; ¿ ) 2 C2, então seu processo diferencial derivado é
dado por:
dF = 12¾2St2Fss+ (®¡ ¸kt) StFs¡ F¿ + ¸ E [F (StY; ¿ )¡ F (St; ¿ )] .
Prova: A.2.4.1
Uma vez de posse da dinâmica Q-martingale dos retornos de St,
uti-lizamos o lema 2.4.1, no sentido de obter a dinâmica Q do processo derivado, F (St; ¿ ), livre de arbitragem. Como em Q, dF = r F e ¿ = T ¡ t , e St = S
, temos:
dF = 12¾2S2F
ss+ (r¡ ¸k) S Fs¡ F¿+ ¸ E [F (SY; ¿ )¡ F (S; ¿ )],
na ausência de possibilidade de arbitragem vale:
1 2¾
2S2F
ss+ (r¡ ¸k) S Fs¡ F¿ + ¸ E [F (SY; ¿ )¡ F (S; ¿)] = rF
(5) Sendo o processo uma opção européia de compra, temos como condições de contorno :
A equação integro-diferencial parcial (EIDP) (5) acima pode ser resolvida por métodos numéricos 7. Dada a di…culdade de se obter uma solução analítica para uma EIDP, utilizaremos o Teorema de Feynman-Kac gener-alizado, para alternativamente representarmos a solução da nossa EIDP na forma de um valor esperado:
Proposição 2.4.2 Seja F a solução de uma EIDP da forma acima, com St satisfazendo
dSt
St
= ®dt + ¾dwt+ dqt . Neste caso F pode ser representada
na forma, F (S;¿ ) = Et[ª(ST)j St = S] .
Prova: A.2.4.2
Usando a proposição acima temos, Ct = e¡r¿Et;St £ (ST ¡ K)+ ¤ = e¡r¿E (" Ste ³ r¡¸k¡¾22 ´ ¿ +¾w¿ N (¿ )Q i=1 Yi¡ K #+) = e¡r¿E ( E (" Ste ³ r¡¸k¡¾22 ´ ¿ +¾w¿ N (¿ )Q i=1 Yi¡ K #+ j N (¿) )) = e¡r¿ P1 n=0 E (" Ste ³ r¡¸k¡¾22 ´ ¿ +¾w¿ N (¿ )Q i=1 Yi ¡ K #+ j N (¿) = n ) ¢ P [N (¿ ) = n] = e¡r¿ P1 n=0 e¡¸¿(¸¿ ) n n! E 8 > < > : 2 6 4Ste ³ r¡¸k¡¾22 ´ ¿ +¾w¿+ N (¿ )P i=1 xi ¡ K 3 7 5 +9 > = > ; = e¡r¿ P1 n=0 e¡¸¿(¸¿ ) n n! E 8 > < > : 2 6 4Ste ³ r¡¸k¡¾22 ´ ¿ +¾w¿+ N (¿ )P i=1 (°+"i) ¡ K 3 7 5 +9 > = > ;
7Ver Tavella, D. e Randall, C. [2000] e Andersen L. e Andreasen, J. [2000] para métodos
rn = e¡r¿ P1 n=0 e¡¸¿(¸¿ ) n n! E 8 > > > > < > > > > : 2 6 6 6 6 4Ste 0 B B @ z }| { r¡ ¸k +n° ¿ ¡ ¾2 2 1 C C A¿+¾w¿+ N (¿ )P i=1 "i ¡ K 3 7 7 7 7 5 +9 > > > > = > > > > ; como, ~" s N(0; ±2) e zi = "i p n±, onde ~z s N(0; 1) Ct = e¡r¿ 1 P n=0 e¡¸¿(¸¿ ) n n! E (· Ste ³ rn¡¾22 ´ ¿ +¾w¿+pn± zn ¡ K ¸+) (6)
Observação 2.4.3 Dado que Y = e~
³ rn¡¾22
´
¿ +¾w¿+pn± ~zn
é uma var-iável log-normal, temos que log³Y~´= ~X =³rn¡ ¾
2 2 ´ ¿ + ¾w¿+pn ± zn » Nh³rn¡ ¾ 2 2 ´ ¿ ; ¾n¿ i onde ¾2n = ¾2+ n±2
¿ uma vez que zne w¿ são inde-pendentes.
Com o acima exposto chegamos ao ponto onde de…nimos e provamos o lema 1.4.4 abaixo, que será instrumental para a solução da esperança espaço-temporal acima. Lema 2.4.4 A esperança, Et h¡ Ste¹+^¾z¡ K ¢+i , onde z » N (0; 1), pode ser representada da forma:
Et h¡ Ste¹+^¾z¡ K ¢+i = Ste¹ + ^ ¾2 2 N (d1)¡ K N(d2): (7) Prova: Et[ ¡ Ste¹+^¾z¡ K ¢+ ] = Z R ¡ Ste¹+^¾z¡ K ¢+ 1 p 2¼e ¡z22 dz e fazendo: e¹+^¾z¤ = K St () ¹ + ^¾z ¤ = log µ K St ¶ () ¡z¤ = log µ St K ¶ + ¹ ^ ¾
no que resulta em: Et[ ¡ Ste¹+^¾z¡ K ¢+ ] = Z ¡z¤ ¡1 Ste¹+^¾z e¡z22 p 2¼ dz¡ K Z ¡z¤ ¡1 e¡z22 p 2¼ dz = Ste¹ Z ¡z¤ ¡1 1 p 2¼e ^ ¾z¡z22 dz¡ K Z ¡z¤ ¡1 1 p 2¼e ¡z22 dz = Ste¹ Z ¡z¤ ¡1 1 p 2¼e ^ ¾z¡z22 + ^ ¾2 2 ¡ ^ ¾2 2 dz¡ K N(¡z¤) , mas como ¡z 2 2 + ^¾z =¡ 1 2(z 2 ¡ 2^¾z), e fazendo N (¡z¤) = N 0 B B @ log µ St K ¶ + ¹ ^ ¾ 1 C C A = N(d2) , temos = Ste¹ Z ¡z¤ ¡1 1 p 2¼e ¡12(z 2¡2^¾z+^¾2)+¾2^ 2 dz ¡ K N (d 2) = Ste¹ Z ¡z¤ ¡1 1 p 2¼e ¡1 2(z¡^¾) 2+¾2^ 2 dz¡K N (d 2) , usando y = z¤¡ ^¾ = Ste¹+ ^ ¾2 2 Z ¡z¤+^¾ ¡1 1 p 2¼e ¡y22 dy¡ K N (d 2) , e como = Ste¹+ ^ ¾2 2 N à log¡St K ¢ + ¹ + ^¾2 ^ ¾ ! ¡ K N (d2) , fazendo N à log¡St K ¢ + ¹ + ^¾2 ^ ¾ ! = N (d1) = Ste¹+ ^ ¾2 2 N (d1)¡ K N (d2)
¤
Voltando para a equação (6) que determina Ct e usando a observação
2.4.3, obtemos: Ct = e¡r¿ 1 P n=0 e¡¸¿(¸¿ ) n n! E (· Ste ³ rn¡¾22 ´ ¿ +¾np¿ z ¡ K ¸+) . Com a ajuda do lema 2.4.4 podemos escrever,
Ct= e¡r¿ 1 P n=0 e¡¸¿(¸¿ ) n n! · Ste ³ rn¡¾22 ´ ¿ +¾2n 2 ¿N (d0 1)¡ K N (d02) ¸ (8) = P1 n=0 e¡¸¿(¸¿ ) n n! e ¡r¿ern¿ · Ste¡ ¾2 2 ¿ + ¾2n 2 ¿N (d0 1)¡ Ke¡rn¿N (d02) ¸ , mas como, rn= r¡ ¸k + n° ¿ e ¾ 2 n= ¾2+ n±2 ¿ segue que, = P1 n=0 e¡¸¿(¸¿ ) n n! e ¡¸k¿ +n°hS te¡ ¾2 2 ¿ + ¾2 2 ¿ + 1 2 n±2 t tN (d0 1)¡ Ke¡rn¿N (d02) i e fazendo, ¸0 = ¸ (1 + k) obtemos, = P1 n=0 e¡¸0¿(¸¿ ) n n! e n°hS te n±2 2 N (d0 1)¡ Ke¡rn¿N (d02) i = P1 n=0 e¡¸0¿(¸¿ ) n n! e n°+n±22 · StN (d01)¡ Ke ¡³rn+n±22¿ ´ ¿ N (d0 2) ¸ mas como e°+±22 = 1 + k ()³e°+±22 ´n = (1 + k)n , ¸0 = ¸ (1 + k) e ^rn= rn+ n±2 2¿ = r¡ ¸k + n° ¿ + n±2 2¿ , temos = P1 n=0 e¡¸0¿(¸ 0¿ )n n! £ StN (d01)¡ Ke¡^rn¿N (d02) ¤ , usando d1 e d2 do lema 2.4.4:
d1 = log St K + ³ rn¡ ¾ 2 2 ´ ¿ + ¾2n¿ ¾np¿ mas como, ¾2 n = ¾2+ n±2 ¿ () ¾ 2 = ¾2 n¡ n±2 ¿ e µ rn¡ ¾2 2 ¶ ¿ = rn¿¡ 1 2 µ ¾2n¡ n±2 ¿ ¶ ¿ = µ rn+ n±2 2¿ ¶ ¿¡1 2¾ 2 n¿ = µ ^ rn¡ 1 2¾ 2 n ¶ ¿ no que resulta em , d01 = log St K + ^rn¿ ¡ ¾2 n 2 ¿ + ¾ 2 n¿ ¾np¿ = logSt K + ³ ^ rn+ ¾ 2 n 2 ´ ¿ ¾np¿ e d2 = log St K + ³ rn¡ ¾ 2 2 ´ ¿ ¾np¿ , mas usando µ rn¡ ¾2 2 ¶ ¿ = µ ^ rn¡ 1 2¾ 2 n ¶ ¿ d0 2 = log St K + ³ ^ rn¡ ¾ 2 n 2 ´ ¿ ¾np¿ ¤
Com isto demonstramos que o preço de uma opção européia de compra sobre um ativo que segue um processo de difusão com saltos tem a seguinte representação : Ct = 1 P n=0 e¡¸0¿(¸0¿ ) n n! 8 < :StN 2 4log St K + ³ ^ rn+ ¾2 n 2 ´ ¿ ¾np¿ 3 5 ¡ K e¡^rn¿N 2 4log St K + ³ ^ rn¡ ¾2 n 2 ´ ¿ ¾np¿ 3 5 9 = ;
(9) onde ¸0 = ¸ (1 + k) ¾2 n= ¾2+ n±2 ¿ ^ rn = r¡ ¸k + n° ¿ + n±2 2¿ Ainda de forma mais simpli…cada:
Ct= 1 P n=0 e¡¸0¿(¸ 0¿ )n n! BS (St; ¿ ; K; ^rn; ¾ 2 n) . (10)
BS (¢) representa a fórmula de Black-Scholes para os parâmetros ajus-tados ^rn e ¾2n . Fica claro que se trata de uma somatória in…nita de opções
ponderadas pela probabilidade de cada um dos n possíveis saltos ocorrerem durante o período ¿ .
Observação 2.4.5 Merton [1976], não chega à mesma representação acima, pois o ajuste n±
2
2¿ não é incorporado a rn. Vários trabalhos subse-quentes não incorporam esta correção. Somente na literatura mais recente ^rn
vem representado da forma correta , sem que nenhuma demonstração formal da necessidade do ajuste seja apresentada .
2.5 Ilustração Numérica
Na tabela abaixo computamos os preços de opções usando os resultados da equação (10) obtidos na secção anterior8, variando ¸, °, ± e ¾ , mantendo
St= 100, K = 100, r = 0:18, e ¿ = 0:5 …xos.
8Devemos salientar contudo, que se utilizarmos a formula de Black -Scholes , a título
de comparação de resultados, precisamos calcular ¾ ·
lnST St
¸
assumindo que Stsegue um
processo de difusão com saltos: V ar · lnST St ¸ = V ar [¾w¿] + V ar £ ln Yn(¿ ) ¤ onde Yn(¿ ) =
Tabela 1. Opções de Compra
Preços computados utilizando a equação (10) da secção 1.4
¸ (°; ±) ¾ = 0:10 ¾ = 0:25 0.5 (0; 0:10) 9.31 12.19 0.5 (¡0:15; 0:30) 11.81 14.06 1 (0; 0:10) 9.69 12.47 1 (¡0:15; 0:30) 14.31 16.06 2 (0; 10) 10.41 13.03 2 (¡0:15; 0:30) 18.46 19.67 4 (0; 0:10) 11.74 14.09 4 (¡0:15; 0:30) 24.79 25.66 8 (0; 0:10) 14.08 16.02 8 (¡0:15; 0:30) 34.27 34.90 16 (0; 0:10) 17.88 19.36 16 (¡0:15; 0:30) 48.00 48.38
Um dos resultados interessantes que extraímos analisando a Tabela 1, consiste na predominância do efeito dos saltos no apreçamento das opções de compra, quando a intensidade do processo de Poisson que rege os saltos é elevada. Na presença de muitos saltos notamos que o preços das duas opções convergem, principalmente quando a volatilidade do tamanho do salto é grande, apesar da volatilidade difusiva da segunda coluna ser duas vezes e meia o da primeira coluna.
Em outras palavras num ambiente em que os preços dos ativos sofrem descontinuidades frequentes e voláteis, o efeito difusivo tende a ser dominado
n(¿ )Q i=1 Yi . Mas se n P i=1 (Yi¡ 1) » N ¡
n°; n±2¢condicionada a n(t) = n , teremos portanto, V ar£ln Yn(¿ ) ¤ = Eh¡ln Yn(¿ ) ¢2i ¡ E£ln Yn(¿ ) ¤2 V ar£ln Yn(¿ ) ¤ = Eh¡ln Yn(¿ ) ¢2 j ni¡ (¸¿ °)2 = E£n(¿ ) ±2+ n(¿ ) °2¤¡ (¸¿ °)2 = ±2¸¿ + °2¡¸¿ + ¸2¿2¢¡ (¸¿ °)2 = ¸¡°2+ ±2¢ ¿() V ar · lnST St ¸ =£¾2+ ¸¡°2+ ±2¢¤ ¿ :
pelo efeito dos saltos, sugerindo que a utilização do modelo de Black-Scholes, da forma ”tradicional”, onde os efeitos de grandes saltos históricos são ex-purgados ou ”suavizados” exponencialmente na apuração da volatilidade, não considerando os ajustes demandados pela nota acima, pode levar ao apreça-mento incorreto das opções. Esta conlusão é particularmente interessante para os mercados pouco líquidos e sujeitos a frequentes choques não anteci-pados de informações, características estas, típicas dos mercados emergentes.
3. Apreçamento de Derivativos com
Descon-tinuidades e Transições nos Regimes de
Volatil-idade
Nesta secção desenvolveremos modelos visando incorporar o impacto de transições nos regimes de volatilidade . Neste contexto originalmente pro-posto por Vasanttilak Naik 9, as trocas nos regimes de volatilidade
determi-nam saltos (ou não, como veremos mais adiante) nas trajetórias dos preços dos ativos. Os saltos por sua vez podem ser idiossincráticos ou sistemáticos, gerando assim vários cenários ou ambientes de modelagem alternativos de modelagem dos ativos e apreçamento dos seus derivativos.
3.1 O Processo Dinâmico da Volatilidade
Assumimos que o processo de f¾tg é de…nido por uma cadeia de Markov
com dois estados, ¾h e ¾l ,com a matriz in…nitesimal,
A= ·
¡¹ ¹
º ¡º ¸
, e P(t) a matriz de transição da cadeia de Markov no tempo t.
Proposição 3.1.1 Seja A , a matriz in…nitesimal de uma cadeia de Markov , então P(¢t) = eA¢t= I + ¢tA+ o(¢t).
Prova: A.3.1.1
Os parâmetros ¹ e º determinam a probabilidade de transição do regime de volatilidade num pequeno período ¢t. Se no tempo t, ¾t = ¾h temos
com probabilidade ¹¢t que ¾t+¢t = ¾l , e com probabilidade 1 ¡ ¹¢t que
¾t+¢t= ¾h, formalizando,
Prf¾t+¢t= ¾lj ¾t= ¾hg = ¹¢t Prf¾t+¢t= ¾h j ¾t= ¾hg = 1¡¹¢t
Prf¾t+¢t= ¾h j ¾t = ¾lg = º¢t Prf¾t+¢t = ¾l j ¾t = ¾lg = 1¡º¢t
Sendo N (t) um processo de contagem de saltos que ocorrem toda vez que o regime de volatilidade transita de regime, este processo pontual tem portanto sua intensidade medida por ¸(t) = ¸(¾) onde ,
· ¸(¾h) ¸(¾l) ¸ = · ¹ º ¸
Portanto concluímos que a intensidade do processo pontual N (t) , de-pende do estado em que se encontra f¾tg imediatamente antes da ocorrência
do salto.
3.2 A Dinâmica dos Ativos
No capítulo anterior vimos que a trajetória de St num processo difusivo
com saltos, agora com volatilidade estocástica, pode ser representada por: St = S0e¹t¡ 1 2 Rt 0¾ 2 sds + Rt 0¾sdws N (t)Q i=0 exi onde Y (t) =exi. (11)
Isto como vimos resulta na seguinte EDE: dSt St = ®dt + ¾tdwt+ [Y (t)¡ 1]dqt e como EQ £ e¡r(T ¡t)ST j St ¤ = St , o que equivale em Q a dSt St = rdt + ¾td ^wt+ [Y (t)¡ 1]dqt 10 10Se
f¸(t)g é a intensidade estocástica de fN(t)g , então q(t) =nN(t)¡R0t¸(s) dso é um martingale , pois Et[N (t + ¢t)] = Et[N (t) + N (¢t)] = N (t) + Et[N (¢t)] = N (t) + Rt+¢t t ¸(s) ds e se …zermos q(¢t) = N (¢t) ¡ Rt+¢t t ¸(s) ds Et[q(t + ¢t)] = q(t) +Rtt+¢t¸(s) ds¡Rtt+¢t¸(s) ds = q(t)() fq(t)g é um martingale.
dSt
St
= rdt + ¾td ^wt+ [Y (t)¡ 1][dN(t) ¡ ^¸(t)dt]. (12)
Observação 3.2.1 A variável fY (t) ¡ 1g pode por sua vez , como já in-dicamos, relacionar o tamanho do salto à transição do regime de volatilidade. Ou seja, se relacionarmos diretamente Y (t) a ¾(t), Y (t) poderá assumir dois valores, Y (t) = · Y (h) Y (l) ¸ onde eventualmente [Y (l) ¡ 1] < 0 < [Y (h) ¡ 1]
Neste caso [Y (h) ¡ 1] mede o salto percentual no preço quando o regime de volatilidade transitar do estado alto para o estado baixo, e [Y (l) ¡ 1] equivalentemente do baixo para o alto.
3.3 Prêmios de Risco e a Derivada de Radon-Nykodym
Se a mudança no nível de volatilidade do ativo, que determina um salto ou uma discontinuidade no processo de preços deste mesmo ativo, for correla-cionado a mudança na volatilidade do mercado como um todo e portanto não diversi…cável, um premio de risco ¼j deve ser considerado na formulação ao
processo da dinâmica Q do ativo .
Proposicão 3.3.1 Sejam fWtg e fqtg dois processos estocásticos não
correlacionados , preci…cados e presentes na dinâmica, dSt St
= ®dt + ¾tdwt+
(Yt¡ 1) dqt. A condição de não arbitragem em Q somente sera preservada
se r = ® ¡ ¾t¼d(t)¡ (Yt¡ 1) ¼j(t) . Prova: Em Q, dSt St = rdtou, EtQ · dSt St ¸ = EtQ[®dt + ¾tdwt+ (Yt¡ 1) dqt] = rdt e fazendo
d ^wt = dwt+ ¼d(t)dt e d^qt = dqt+ ¼j(t)dt EtQ · dSt St ¸ = EtQf®dt + ¾t[d ^wt¡ ¼d(t)] + (Yt¡ 1) [d^qt¡ ¼j(t)]g = EtQf[® ¡ ¼d(t)¾t¡ ¼j(t) (Yt¡ 1)]dt + ¾td ^wt+ (Yt¡ 1) d^qtg = rdt () ® ¡ ¼d(t)¾t¡ ¼j(t) (Yt¡ 1) = r sendo EtQ £ e¡r(¢t)S t+¢t ¤ = St , portanto um martingale.
Em nosso processo pontual qt =
n
N (t)¡R0t¸(s) dso o ajuste ao risco pode ser representado por,
^ qt = n N (t)¡R0t¸(s) ds +R0t¸(s)¼j(s) ds o = N (t)¡R0t¸(s)[(1 + ¼j(s)] ds = N (t)¡R0t¸(s)[(1 + ¼^ j(s)] ds onde ^¸(s) = ¸(s)[(1 + ¼j(s)].
Como no caso difusivo, »j = dP
dQ representa a derivada de Radon-Nykodym, num processo pontual onde ¸(s) = ¸ , ¼j(s) = ¼j temos,
»j = P[N (t) = n] Q[N (t) = n] = e¡¸t(¸t) n n! e¡^¸t ³ ^ ¸t ´n n! = e ¡¸t(¸t)n e¡^¸t³^¸t´n = e¡(¸¡^¸)t µ ¸ ^ ¸ ¶n = e¡(¸¡^¸)telog(¸ ^ ¸) n = e¡(¸¡^¸)ten log(¸ ^ ¸)
= e¡(¸¡^¸+¸¼j)t+n[log ¸¡log ¸+log(1+¼j)]= e¡¸¼jt+n log(1+¼j)
no que implica para ¸(s) e ¼j(s) agora como processos em,
»j(T ¡ t) = e¡RtT¸(s)¼j(s)ds+
RT
Com posse de »j(T¡t) e »d(T¡t), obtida anteriormente podemos obter a derivada de Radon-Nykodym do processo de difusão com saltos, »d j(T¡t) = »d(T ¡ t) »j(T ¡ t), resultando em, »d j(T ¡ t) = eRtT¼d(s)dw(s)¡12 RT t ¼ 2 d(s)ds¡ RT t ¸(s)¼j(s)ds+ RT t log(1+¼j(s))dN (s) (14)
O parágrafo acima nos leva ao teorema de representação de martingale enunciado na proposição que segue abaixo.
Proposição 3.3.2 Para todo martingale M (t) 2 L2 , 0 6 t · T adaptado a …ltração browniana z e a …ltração de Poisson ©, existem processos, ¼d(s) e ¼j(s) tais que:
M (T ¡ t) = M(t) +RtT ¼d(s)dw(s) +
RT
t ¼j(s)dq(s) ,
onde q(t) = N (t) ¡RtT ¸(s)ds
Prova: Ver Bremaud [1981]
Usando a Proposição 3.3.2 podemos representar a dinâmica de »(t) como uma combinação linear dos dois processos dos premios de risco, f¼d(t)g e
f¼j(t)g,
d»
» = ¼d(t) dw(t) + ¼j(t)[dN (t)¡ ¸(t)dt]: (15)
Com o desenvolvido acima temos os elementos para apreçar no tempo t, um ”pay-o¤”, g(ST), onde g 2 L1loc e ST é descrito por um processo
difusivo com saltos. Respeitando as condições de equilíbrio dadas nas secções anteriores temos, Ctg = e¡r(T ¡t)E Q t [g(ST)j St= S] = e¡r(T ¡t)Et £ »d j(T ¡ t)g(ST) ¤ . (16) Os pontos explorados até agora nos permitem proceder a especi…cação dos vários modelos que resultam de um processo com transições nos regimes de volatilidade.
3.4 Apreçamento de Derivativos com Transições no Regime de Volatilidade
Neste caso a volatilidade transita pelos dois estados de…nidos pela cadeia de Markov, sem gerar discontinuidades no momento da transição. Neste caso o processo do ativo segue sendo representado por uma EDE puramente difusiva,
dSt
St
= ®dt + ¾tdwt , onde o processo f¾tg é de…nido pela matriz
in…nitesimal, A = · ¡¹ ¹ º ¡º ¸ .
Nota-se que neste caso especí…co, Y (t) = ex(t) = 1
() x(t) = 0 , o que de…ne a continuidade do processo, e as transições de volatilidade sendo consideradas idiossincráticas, fazem com que o risco de mudança no seu regime não seja premiado, ¼¾(t) = 0. As proposições seguintes formalizam
as condições do apreçamento de não arbitragem.
Proposição 3.4.1 Seja ¿h(t) , 0· ¿h · T , a variável aleatória que
representa o tempo de ocupação do estado ¾h de um processo governado pela
matriz A . A distribuição de ¿h(T ¡ t) = ¿ é dada por:
f (¿j ¾h)= e[¡¹¿ ¡º(T ¡t¡¿)]f±0(T ¡ t ¡ ¿) + gh(¿ )I1[2h(¿ )] + ¹I0[2h(¿ )]g (17) onde, h(¿ ) = [¹º¿ (T ¡ t ¡ ¿)]12 , gh(¿ ) = · ¹º¿ (T ¡ t ¡ ¿) ¸1 2 , ±0(¿ ) = lim"!0 1 "[H(¿ )¡ H(¿ ¡ ")] e I1(¿ ) = 1 P j=0 ¡1 2¿ ¢2j+1 j!(j + 1)!
Prova: A.3.4.1
Proposição 3.4.2 Seja o processo de St contínuo com mudanças de
volatilidade idiossincráticas. O preço de uma opção de compra com preço de exercício K, e vencimento T ,localizada espaço-temporalmente em (S; ¾t; t),
pode ser denotado por: C(S; ¾h; t) = Z T ¡t 0 BS " S; K; r; T ¡ t; sµ s(¿ ) T ¡ t ¶# f (¿j ¾h) d¿ (18), onde, BS " S; K; r; T ¡ t; sµ s(¿ ) T ¡ t ¶# = SN (d1)¡ e¡r(T ¡t)KN (d2) , d1 = log S K + " r + 1 2 µ s(¿ ) T ¡ t ¶1 2 # (T ¡ t) µ s(¿ ) T ¡ t ¶1 2 p (T ¡ t) , d2 = d1¡ µ s(¿ ) T ¡ t ¶1 2 p (T ¡ t), com s(¿ ) = ¾2 h¿ + ¾2l (T ¡ t ¡ ¿ ) Prova: Seja dSt St = ®dt + ¾tdwt , ¾t2 f¾h; ¾lg e C(St; K; r; T; ¾t= ¾h; t) = EQt [C(ST; K; r; T ¡ T; ¾T)] e¡r(T ¡t) = e¡r(T ¡t)EQt ·³ Ste®(T ¡t)¡ 1 2 RT¡t 0 ¾ 2 sds + RT¡t 0 ¾sdws ¡ K ´+¸
= e¡r(T ¡t)E t ·³ Ster(T ¡t)¡ 1 2 RT¡t 0 ¾2sds + RT¡t 0 ¾sdws¡ K ´+ j ¾t = ¾h ¸ = e¡r(T ¡t)E t[²] . Como, Z T t ¾2sds = Z 0·s·T ¡t ¾2sds = Z 0·s·T ¡t ¾2s ¡ 1f¾x=¾hg+ 1f¾x=¾lg ¢ ds = = ¾2 h Z T t 1f¾x=¾hgds+¾ 2 l Z T t 1f¾x=¾lgds = ¾ 2 h Z T t ¿h(x)dx+¾2l Z T t ¿l(s)ds = ¾2 h¿h+ ¾2l ¿l , mas como ¿l = (T ¡ t ¡ ¿h) , Z T t ¾2sds = ¾2h¿h+ ¾2l(T ¡ t ¡ ¿h) = s(¿ ) .
A variável aleatória ¿h corresponde ao tempo de permanência do estado
¾h durante o intervalo T ¡ t. Como em nosso caso a v.a.
nRT t ¾ 2 sds o é uma função de f¿h(T¡ t)g , usando a sua densidade f(¿ j ¾h), para ¿h(T¡ t) = ¿
e s(¿ ) , podemos calcular a esperança Et[²] acima usando uma vez mais a
solução de Black-Scholes : C(S; t; ¾h) = e¡r(T ¡t)Et[²] = = e¡r(T ¡t) Z T ¡t 0 Z +1 ¡1 · Ste(r(T ¡t)¡ 1 2 s(¿ ) T¡t)(T ¡t) +( S(¿ ) T¡t) 1 2p T ¡t z¡ K ¸+ '(z) dz f (¿j ¾h) d¿ onde z » N(0; 1) e Á(z) = p1 2¼e ¡1 2z 2 .
Como já vimos, a integral interior é iqual a BS " S; K; r; T ¡ t; sµ s(¿ ) T ¡ t ¶# , tendo portanto: C(S; t; ¾h) = Z T ¡t 0 BS " S; K; r; T ¡ t; sµ s(¿ ) T ¡ t ¶# f (¿j¾h) d¿ 3.4.1 Ilustração Numérica
Com o intuito de apresentar um exemplo aplicado da equação (18), ap-resentamos na Tabela 2 abaixo os preços de opções de compra européias calculados para os parâmetros …xos, S = 100,K = 100, r = 0:19, ¾h = 0:25,
¾l = 0:10, e ¾t= ¾h. Por outro lado variamos as intensidades in…nitesimais
¹ e º, veri…cando assim a sua sensibilidade no apreçamento das opções. Tabela 2. Opções de Compra
Preços computados utilizando a equação (18) da secção 3.4
¹ = x 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 º = 2 11.77 11.59 11.43 11.29 11.17 11.06 10.96 º = y 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 ¹ = 2 11.32 11.38 11.43 11.48 11.52 11.56 11.59
Observação 3.4.1.1 No caso acima o estado inicial, ¾t = ¾h. Notamos
de imediato que @C
@¹ < 0 , pois a permanência em ¾h diminue na medida em que ¹ cresce. Por outro lado @C
@º > 0 , dado que um º maior equivale uma taxa de transição maior do regime de volatilidade para o estado alto, ¾h
3.5 Preci…cando o Risco de Troca de Regime de Volatilidade Como vimos na secção 3.2, ¸(t) deve ser corrigido neste caso pelo fator de ajuste ao risco 1 + ¼¾(t), que equivale na medida Q ,
^ ¸(t) = · ¸(¾h)[1 + ¼¾(h)] ¸(¾l)[1 + ¼¾(l)] ¸ = · ¹[1 + ¼¾(h)] º[1 + ¼¾(l)] ¸ = · ^ ¹ ^ º ¸
que resulta na matriz in…nitesimal ^A,
^ A= · ¡¹[1 + ¼¾(h)] ¹[1 + ¼¾(h)] º[1 + ¼¾(l)] ¡º[1 + ¼¾(l)] ¸ = · ¡^¹ ¹^ ^ º ¡^º ¸ (19)
Desta forma, quando o risco de mudança sistemático no regime de volatil-idade é preci…cado, usamos os elementos não diagonais da matriz de ^A, ou seja, ^¹e ^º para o cálculo da densidade ^f [¿ (T ¡ t)j¾h] , que resulta em:
^ f (¿j ¾h)= e[¡^¹¿ ¡^º(T ¡t¡¿)]f±0(T ¡ t ¡ ¿) + gh(¿ )I1[2h(¿ )] + ^¹I0[2h(¿ )]g (20) onde, h(¿ ) = [^¹^º¿ (T ¡ t ¡ ¿)]12 , gh(¿ ) = · ^ ¹^º¿ (T ¡ t ¡ ¿) ¸1 2 , ±0(¿ ) = lim"!0 1 "[H(¿ )¡ H(¿ ¡ ")] e I1(¿ ) = 1 P j=0 ¡1 2¿ ¢2j+1 j!(j + 1)!
Proposição 3.5.1 Seja o processo de St , contínuo com mudanças de
volatilidade sistêmicas. Podemos então representar o preço de uma opção de compra com o preço de exercício K, e vencimento T , em (S; ¾h; t) por:
C(S; ¾h; t) = E Q
= Z T ¡t 0 BS " S; K; r; T ¡ t; sµ s(¿ ) T ¡ t ¶# ^ f (¿j¾h) d¿ , (21) onde, dQ = dP
»d¾ , ou seja, a medida ajustada a ambos os riscos, difusivo e de regime de volatilidade.
Prova: Decorre imediatamente usando as proposições 3.3.1, 3.4.1 e 3.4.2
Podemos agora generalizar as representações anteriores para outros tipos de ”pay-o¤”.
Proposição 3.5.2 Seja o processo de St contínuo e g(St) uma função
”pay-o¤” como vimos acima, e tendo ¼¾(t) = Y (t) = 0 . O derivativo
Cg(S; ¾h; t) é dado por : Cg(S; ¾ h; t) = = Z T ¡t 0 Z +1 ¡1 g · Ste(r(T ¡t)¡ 1 2 s(¿ ) T¡t)(T ¡t) +( S(¿ ) T¡t) 1 2pT ¡t z¸ '(z) dz f (¿j ¾h) d¿ (22) onde z » N(0; 1) e Á(z) = p1 2¼e ¡1 2z 2 ; e em caso de mudanças sistemáticas no regime de volatilidade com ¼¾(t)6= 0 e Y (t) = 0, temos:
Cg(S; ¾ h; t) = = Z T ¡t 0 Z +1 ¡1 g · Ste(r(T ¡t)¡ 1 2 s(¿ ) T¡t)(T ¡t) +( S(¿ ) T¡t) 1 2p T ¡t z ¸ '(z) dz ^f (¿j ¾h) d¿ (23) Prova: Decorre imediatamente usando a equação (21) na generalização da proposição 3.5.1
3.6 Apreçamento de Derivativos com Saltos Idiossincráticos e Transições Assistemáticas no Regime de Volatilidade
Neste modelo, os saltos, apesar de estarem presentes nas trajetórias dos preços dos ativos, não estão correlacionados com as as mudanças nos níveis de volatilidade dos processos. Temos portanto que Y (t) 6= 0 e ¼¾(t) = 0
pois assume-se que as transições de volatilidade não são sistemáticas.
Combinando o que desenvolvemos nos ítens anteriores, enunciamos a seguinte proposição:
Proposição 3.6.1 Seja o processo de St discontínuo, com saltos e
mu-danças de volatilidade idiossincráticos. Podemos então representar o preço de uma opçaõ de compra , com preço de exercício K , e vencimento T , na localização espaço-tempo (S; ¾h; t) por:
C(S; ¾h; t) = 1 P n=0 e¡¸0¿(¸0¿ ) n n! Z T ¡t 0 BS " S; K; ^rn; T ¡ t; sµ sn(¿ ) T ¡ t ¶# f (¿j¾h) d¿ (24) onde ¸0 = ¸ (1 + k) sn(¿ ) = s(¿ ) + n±2 ^ rn = r¡ ¸k + n° T ¡ t + n±2 2 (T ¡ t) ,
com f (¿ j¾h) de…nida pela equação (20), e os parâmetros restantes seguindo
as de…nição anteriores .
Prova: Usando as equações (10) e (18) da secções 2.4 e 3.4.2 respecti-vamente, obtemos: C(S; ¾h; t) = E ( 1 P n=0 e¡¸0¿(¸0¿ ) n n! BS " S; K; ^rn; T ¡ t; sµ s(¿ ) T ¡ t ¶#) ,
e sendo f (¿ j¾h) a distribuição de f¿ j ¾hg, como vimos na Proposição 3.4.1, resulta que , C(S; ¾h; t) = 1 P n=0 e¡¸0¿(¸0¿ ) n n! Z T ¡t 0 BS " S; K; ^rn; T ¡ t; sµ sn(¿ ) T ¡ t ¶# f (¿j¾h) d¿
3.7 Apreçamento de Derivativos com Saltos Idiossincráticos e Mudanças Sistemáticas na Volatilidade
Este cenário difere do anterior, na medida em que, as mudanças nos níveis de volatilidade comandam um prêmio ajustado ao risco, dado que a mudança no regime de volatilidade não é diversi…cável. Aqui Y (t) 6= 0 e ¼¾(t)6= 0.
Proposição 3.7.1 Seja o processo de St descontínuo, com saltos
idioss-incráticos e mudanças de volatilidade sistemáticas. Podemos então repre-sentar o preço de uma opção de compra , com preço de exercício K , e vencimento T , na localização espaço-tempo (S; ¾h; t) por:
C(S; ¾h; t) = 1 P n=0 e¡¸0¿(¸ 0¿ )n n! Z T ¡t 0 BS " S; K; ^rn; T ¡ t; sµ s(¿ ) T ¡ t ¶# ^ f (¿j¾h) d¿ (25) onde f (¿^ j¾h) é dada pela equação (20) e os outros parâmetros pelas
de…nições anteriores.
3.8 Apreçamento de Derivativos com Saltos nas Mudanças de Regime de Volatilidade
Nestas condições, já previstas na observação 3.2.1, podemos denotar o valor de uma opção de compra utlizando a esperança representada pela equação (16) da secção 3.3, através da proposição abaixo.
Proposição 3.8.1 Sejam os saltos nos preços de um ativo determinados pelas transições nos regimes de volatilidade. Podemos então representar o preço de uma opçâo de compra , com preço de exercício K , e vencimento T , na localização espaço-tempo (S; ¾h; t) por:
C(S; ¾h; t) = = er(T ¡t)EQ t nh Ster(T ¡t)¡ 1 2 RT t ¾ 2 sds + RT t ¾sd ^ws+ RT t (log Ys) dNs¡ RT t ¸^s(Ys¡1)ds¡ K i +o (26) onde ^¸t= ¸[1 + ¼j(t)] e ¼j(t) = 0 se as mudanças do regime de
volatil-idade forem idiossincráticas e ¼j(t)6= 0 caso contrário. Prova:
Para que EtQ[C(ST)j St]seja um martingale, EtQ[C(ST)j St] = C(St); e
como vimos em (12) a dinâmica Q , dSt
St
= [r¡ ^¸t(Yt¡ 1)]dt + ¾td ^wt+ (Yt¡ 1)dNt , no que implica, como já
vimos acima em, ST = Ster(T ¡t)¡ 1 2 RT t ¾2sds + RT t ¾sd ^ws+ RT t (log Ys) dNs¡ RT t ¸^s(Ys¡1)ds . Logo, EtQ[C(ST)j St] = C(S; ¾h; t) = = er(T ¡t)EtQ nh Ster(T ¡t)¡ 1 2 RT t ¾ 2 sds + RT t ¾sd ^ws+ RT t (log Ys) dNs¡ RT t ¸^s(Ys¡1)ds¡ K i +o
3.8.1 Ilustração Numérica
A esperança EtQ[g(ST)j St] , onde g(ST) = max[ST ¡ K; 0] , é resolvida
por meio de um método númerico. Se discretizamos C(St; ¾t; t) a esperança
acima pode ser escrita recursivamente como,
C(St; ¾t; t) = er(¢t)EtQ[C(St+¢t; ¾t+¢t; t + ¢t)j St; ¾t] .
Isto implica que o processo discretizado de St pode ser representado por,
St+¢t = Ste[r¡ 1 2¾ 2 t¡^¸t(Yt¡1)]¢t +¾t p ¢t"t+¢t+(log Yt) ³t+¢t = Ste[r¡ 1 2¾ 2 t¡^¸t(Yt¡1)]¢t +¾tp¢t"t+¢tY t³t+¢t ,
onde "t+¢t = f+1; ¡1g com probabilidades iguais e ³t+¢t = f1; 0g com
probabilidades fº¢t; 1 ¡ º¢tg se ¾t= ¾l, ouf¹¢t; 1 ¡ ¹¢tg se ¾t= ¾h .
Utilizando uma árvore quadrinomial, uma vez que temos quatro estados possíveis para cada nó St+¢tna árvore, dados por St+¢t2
© S¾ul; S u ¾h; S d ¾l; S d ¾h ª , obtemos uma aproximação assintótica à equação (26) obtida na secção 3.8.
Com o método proposto calculamos a título ilustrativo o preço de uma opção de compra com K = 100 , ¢t = 7
365 , T ¡ t = 42
365 , r = 0:19 , ¾h = 0:25 , Y (h) = 1:075 , Y (l) = 0:925 , ¾l = 0:10, ¼j(t) = 0 . A Tabela 3
abaixo resume os resultados.
Tabela 3Preços de Opções de Compra Européias
Com saltos determinados determinados por mudanças idiossincráticas no regime de volatilidade
St ¾t Média Transitoriedade Alta Transitoriedade
f¹ = 4; º = 2g f¹ = 8; º = 4g 90 :10 .02 .04 90 :25 .59 .65 100 :10 3.04 3.64 100 :25 4.36 4.54 110 :10 11.78 11.93 110 :25 11.63 11.96
Observação 3.8.1.1 No caso de existencia de tres estados de
volatili-dade, ¾t+¢t2 f¾l; ¾m; ¾hg com seis saltos diferentes Yt2 fYlh; Ylm; Ymh; Yml; Yhm; Yhl;g
, podemos utilizar uma árvore hexanomial onde cada galho corresponde a um dos seis estados possíveis St+¢t 2
© Su ¾l; S u ¾m; S u ¾h; S d ¾l; S d ¾mS d ¾h ª . Neste caso utilizamos uma matriz in…nitesimal, A[3;3], do tipo,
A[3;3] = 2 4 ¡(a + b)c ¡(c + d)a db e f ¡(e + f) 3 5
Com a matriz A[3;3] calculamos de forma análoga o vetor de
probabili-dades dos estados na cadeia no tempo t , p(t + ¢t) , a saber,
ph(t + ¢t) = 2 4 1¡ (a + b)¢ta¢t b¢t 3 5 , pm(t + ¢t) = 2 4 1¡ (c + d)¢tc¢t d¢t 3 5 , pl(t + ¢t) = 2 4 f ¢te¢t 1¡ (e + f)¢t 3 5 .
Nota-se que a generalização é imediata para ¾t2 f¾1; ¾2; :::; ¾ng ,
pagando-se no entanto um preço computacional elevado.
Observação 3.8.1.2 Os saltos Yt não necessitam ser determinísticos.
Podemos assumir que os saltos são resultados de um sorteio de uma var-iável aleatória com distribuição 'j(Yt) , que ocorre sempre que temos uma
mudança no regime de volatilidade , por sua vez determinada pela matriz in…nitesimal A[n;n]. Neste caso um grande número · de árvores seriam
ger-adas, onde em cada delas teriamos um sorteio de 'j(Yt) , j 2 f1; :::; mg
correspondendo a Yt 2 fY1; :::Ymg, em cada galho da árvore onde um salto
ocorre.
Generalizando o que acima propusemos, representamos o preço de nossa opção usual pelo limite,
Cmc(St; ¾t; t) = lim·!1 1 · · P i=1 Ci[St; ¾t; t;fYsg; f'j(Ys)g] , (27) onde Ys2 fY1; :::Ymg e 'j(Ys) , j 2 f1; :::; mg .
4. Conclusões
Neste trabalho tivemos a oportunidade de explorar algumas das possi-bilidades que se apresentam na modelagem das discontinuidades pontuais nas trajetórias dos preços dos ativos e no apreçamento de seus derivativos. Extendemos nossa análise ao universo da volatilidade estocástica, na forma de regimes de volatilidade que transitam através de uma cadeia de Markov, apresentando ao mesmo tempo alternativas teóricas para o apreçamento dos ativos derivados.
Chegamos também a conjugar os efeitos dos saltos aos da volatilidade estocástica, permitindo a ambos fenômenos que se combinassem de formas diferentes. Tal postura se fundamenta no princípio cientifíco que postula a supremacia da realidade, ou seja, parte do pressuposto que os modelos teóricos devem se adequar à realidade, e não impor um comportamento pre-determinado ao mercado e seus agentes.
Percebemos no entanto, que a multiplicidade de modelos que resultam da forma como os saltos e a volatilidade estocástica são de…nidos, conju-gados e preci…cados, implicam em diferenças signi…cativas no apreçamento dos ativos derivados. Faz-se portanto necessário, num segundo passo, um ajuste econométrico de cada um dos modelos, para que a performance dos mesmos possa ser veri…cada e comparada. Sugerimos também que, numa etapa posterior, o desempenhos dos modelos acima quando comparados aos dos modelos mais simples, comumente utilizados pelo mercado para a avali-ação e gerenciamento de carteiras e posições de derivativos, sejam avaliados, possibilitando assim uma mensuração mais objetiva de sua e…cácia.
Finalmente salientamos nosso interesse e curiosidade nos resultados de uma análise, análoga a que ora apresentamos, aos mercados de renda …xa e seus derivativos.
5. Apêndice
A.2.1 dSt St = ¹tdt + ¾tdwt , assumindo ¹t = ¹ e ¾t= ¾ Z t 0 dSt St = ¹t + ¾wt e w0 = 0. Como Z t 0 dSt St = ln St , e usando o lema de Itô, d(ln St) = @ ln St @St dSt+ @ ln St @t + 1 2 @2ln S t @S2 t (dSt)2 = 1 St dSt¡ 1 2S2 t (dSt)2 = dSt St ¡ 1 2S2 t £ (¹Stdt)2+ 2¹StdtSt¾dwt+ (St¾dwt)2 ¤ = dSt St ¡ 1 2S2 t S2 t¾2dt = dSt St ¡ 1 2¾ 2dt () ln SSt 0 = µ ¹¡ 1 2¾ 2 ¶ t + ¾wt ; oque nos permite concluir, St = S0e(¹¡
1 2¾
2)t+¾w
t , e generalizando para ¹
te ¾tnão constantes temos,
St = S0e Rt 0¹sds¡12 Rt 0¾ 2 sds+ Rt 0¾sdws A.2.2 Asummindo ¹t = ¹ e ¾t= ¾ e rt= r dSt St = ¹dt + ¾dwt e Dt= e¡rtSt portanto, dDt = e¡rtdSt¡ re¡rtdtSt
= Dt St dSt¡ rDtdt = Dt µ dSt St ¡ rdt ¶ = Dt[(¹¡ r) dt + ¾dwt] = ¾Dt ·µ ¹¡ r ¾ ¶ dt + dwt ¸ , onde ¼ = ¹¡ r ¾ = ¾Dt(¼dt + dwt) , fazendo wt¼ = wt+ ¼t = ¾Dtdw¼t () dDt Dt = ¾dw¼ t () E Q t [Dt+¢t] = Dt . Alternativamente
utilizando o teorema de Girsanov com, dQ dP(!) = »t= e Rt 0¼sdws¡ 1 2 Rt 0¼ 2 sds , e tendo ¼ t = ¼ , = »t= e¼wt¡12¼2t() Q(!) = Z »tdP(!) = = p1 2¼t Z 1 ¡1 e¼wt¡12¼2e¡ 1 2 · (wt¡¹t)2 ¾2t ¸ dwt = 1
Assim construindo um Q-martingale para o processo descontado Dt ,
EQ
u [Dtj Su] = Su , para todo t > u, no no que resulta em EuQ[e¡rtj Su] =
Su .
Isto nos permite dizer que se St segue na dinâmica P a EDE,
dSt St = ¹dt + ¾dwt e como vimos ¼ = ¹¡ r ¾ , temos dw¼ t = dwt+ ¹¡ r ¾ dt() ¾dw ¼ t = ¾wt+ ¹dt¡ rdt () rdt + ¾dw¼
t = ¹dt + ¾wt , ou seja em Q-neutra ao risco
dSt St = rdt + ¾dw¼ t A.2.4.1 Sendo F (t; S) 2 C2, ¢F = F (t+¢t; S+¢S) e E t[¢F ] = E [¢Fj St= S]
E[dF ] = Ej [dF ] ¸dt + (1
¡ ¸dt)E [dF ] + o(dt) = E [dF ] + ¸dt (Ej [dF ]
¡ E [dF ]) + o(dt) ; e usando lema de Itô, i) E [dF ] = Ft+ ®FS+
1 2FSS¾
2; para a esperança composta,
ii) ¸dtEj[dF ] = ¸dtEj
½Z R fF [t + ¢t; S + ®¢t + ¾dw + g(a)] ¡ F (t; S)g p(a)da ¾ = ¸dt Z R fF [t; S + g(a)] ¡ F (t; S)g p(a)da ,
onde p(a) é a medida de probabilidadede a. Usando i) e ii) obtemos, dF = Ft+ FS® + 1 2FSS¾ 2+ ¸dt Z R fF [t; S + g(a)] ¡ F (t; S)g p(a)da , que equivale em nosso caso particular a:
dF = 12¾2S2Fss+ (r¡ ¸k) S Fs¡ F¿ + ¸ E [F (SY; ¿ )¡ F (S; ¿)] .
A.2.4.2
Decorre do uso do lema de Itô generalizado, formalizado pelo lema 2.4.1, no processo de difusão com saltos representado pela equação (3), na obtencão do Teorema de Feyman-Kac generalizado
A.3.1
Seja x(t) o estado ocupado no tempo t e o espaço de estados f1; 2; ::; ng. De…nimos um processo de Markov de estados discretos e tempo contínuo,
quando temos um conjunto de funções pij(t)tal que, pij(t) = P [x(t + ¢t) = jj x(t) = i]
, satisfazendo: i) 0 · pij· 1 ; ii) pik(t) = n P j=1 pij(¢t)pik(t¡ ¢t) , para t > ¢t ; iii) n P j=1 pij(t) = 1 .
Em forma matricial temos ,
P(t + ¢t) = P(t)P(¢t) , para t; ¢t > 0 e P(0) = I . Sabemos também que,
1 = pii(¢t)+ n P j=1;j6=i pij(¢t) () 1 ¡ pii(¢t) = n P j=1;j6=i pij(¢t) e fazendo
¢t! 0 , dividindo por ¢t e usando os limites …nitos,
lim¢t!0 1¡ pii(¢t) ¢t = qii e lim¢t!0 pij(¢t) ¢t = qij , obtemos, qii = n P j=1;j6=i
qij , onde qij é a taxa de transição instantânea do estado i
para o
estado j, resultando em,
pij(¢t) = qij¢t + o(¢t) e pii(¢t) = 1 + qii¢t + o(¢t).
Podemos agora de…nir a matriz, A[n;n], de transição instantânea, ou
in-…nitesimal, A[n;n] = 2 6 6 4 ¡q11 q12 ::: q1n q21 ¡q22 ::: q2n ::: ::: ::: ::: qn1 qn2 ::: ¡qnn 3 7 7 5
Dado pij(t) = P [x(t) = jj x(0) = i], podemos escrever,
pik(t + ¢t) = pik(t) (1 + qkk¢t) + n P j=1;j6=k pij(t)qjk¢t + o(¢t). Logo: @pik(t) @t = n P j=1 pij(t) qjk , ou matricialmente, @P(t) @t = P(t)A = AP(t) , com a condição inicial P(0) = I .
Resolvendo a equação diferencial matricial ordinária e usando eA= P1 m=0 Am m! , obtemos, P(¢t) = eA¢t= I+ P1 m=1 Am(¢t)m m! ¼ I + ¢tA+ ¢t2A2 2 + ::: + ¢tmAm m! = I + ¢tA+ o(¢t)¼ I + ¢tA .
Em nosso caso especí…co com A = · ¡¹ ¹ º ¡º ¸ temos, P(¢t)¼ · 1 0 0 1 ¸ + · ¡¹¢t ¹¢t º¢t ¡º¢t ¸ = · 1¡ ¹¢t ¹¢t º¢t 1¡ º¢t ¸ ; e P(t + ¢t) = P(t)P(¢t) . A.3.4.1
Seja !(t) o estado ocupado no tempo t. Para calcular a distribuição de probabilidade de ¿ (t) , tempo de permanencia até t no estado i 2 , dado por = f1; 2; :::; i; :::; j; :::; ng, usamos a função geradora de ¿(t) ,
m (x; t) = E [e¡x¿t] = E£e¡x¿t1 f!t2 g ¤ = E · e¡x¿t n P i=1 1f!t= ig ¸ = n P i=1 E£e¡x¿t1 f!t= ig ¤ = n P i=1 mi(x; t).
Temos também que, mj(x; t + ¢t) = E £ e¡x¿t+¢t1 f!t+¢t=j g ¤ = E£e¡x¿t+¢t1 f!t+¢t=j g ¤ E£e¡x(¿t+¢twt)1 f!t+¢t=j g ¤ = E©E£e¡x(¿t+¢tw(t))1 f!t+¢t=j gj !t ¤ª
E©e¡x¿tE£e¡x¢twt1 f!t+¢t=j gj !t ¤ª = E©e¡x¿tE£e¡x¢tw(!t;j)1 f!t+¢t=j gj !t ¤ª E©e¡x¿te¡x¢tw(!t;j)E£1 f!t+¢t=j gj !t ¤ª ; como E£1f!t+¢t=j gj !t ¤ = P [!t+¢t= jj !t = i], mj(x; t + ¢t) = E © e¡x¿te¡x¢tw(!t;j)P [! t+¢t = jj !t = i] ª = E ½ e¡x¿t n P i=1 e¡x¢tw(i;j)¡1f!t=igP [!t+¢t= jj !t= i] ¢¾ e usando A.3.1, = E ½ e¡x¿t n P i=1 e¡x¢tw(i;j)¡1 f!t=ige A¢t¢ ¾
. Novamente com A.3.1,
eA¢t = I + ¢tA+ o(¢t) e e¡x¢tw(i;j) = e¡x(¿t+¢t¡¿t) = e¡x¿¢t ()
e¡x¿td (e¡x¿t) = = e¡x¿t(¡x¢tw ije¡x¿t) = e¡x¿t(1¡ x¢twij)temos, mj(x; t + ¢t) = n P i=1 E©e¡x¿t(1 ¡ x¢twij) [±ij+ Aij¢t + o(¢t)] 1f!t=ig ª , mas,
(1¡ x¢twij) [±ij+ Aij¢t + o(¢t)] = ±ij+ ¢tAij¡ x¢twij±ij+ o(¢t) =
= ±ij+ ¢t (Aij¡ xwij±ij) + o(¢t) Logo, mj(x; t + ¢t) = n P i=1 E©e¡x¿t1 f!t=ig[±ij+ ¢t (Aij¡ xwij±ij) + o(¢t)] ª = n P i=1 mi(x; t) [±ij+ ¢t (Aij¡ xDij) + o(¢t)] = mj(x; t) + ¢t n P i=1 mi(x; t) (Aij¡ xDij) + o(¢t). Mas como ,
@mj(x; t) @t = lim¢t!0 mj(x; t + ¢t)¡ mj(x; t) ¢t = n P i=1 (Aij¡ xDij) mi(x; t) , matricialmente, @m(x; t) @t = (A¡ xD) m e m(x; 0) = p , () m(x; t) = pTet(A¡xD) , ou seja, n P i=1 mi = m1 = £ pTet(A¡xD)¤1 () m(x; t) = E [e¡x¿t] =p; et(A¡xD)1® .
Mas com m é a transformação de Laplace no tempo de f (¿t) no tempo,
e fazendof (¿t) = ft(s), $fm(x; ¢)(u)g = Z 1 0 e¡utm(x; t)dt = Z 1 0 e¡utE£e¡x¿t¤dt = Z 1 0 e¡ut µZ 1 0 e¡xsft(s)ds ¶ dt = Z 1 0 Z 1 0 e¡(ut+xs)ft(s)ds dt.
Isto implica em nosso caso que, $fm(x; ¢)(u)g = Z 1 0 e¡ut p; et(A¡xD)1® dt = ¿ p; Z 1 0 e¡ut£et(A¡xD)I¤dt À = ¿ p; ·Z 1 0 e¡utet(A¡xD)dt ¸ 1 À = ¿ p; ·Z 1 0 e¡utIet(A¡xD)dt ¸ 1 À = ¿ p; ·Z 1 0 et(A¡xD¡uI)dt ¸ 1 À . Mas Z 1 0 et(A¡xD¡uI)dt = lim b!+1 Z b 0 et(A¡xD¡uI)dt = limb!+1(A¡ xD¡uI)¡1£eb(A¡xD¡uI)¡ I¤=
= (A¡ xD¡uI)¡1£limb!+1eb(A¡xD¡uI) ¡ I¤=
Z 1 0
Z 1 0
e¡(ut+xs)ft(s)ds dt = $fm(x; ¢)(u)g = ¡(A ¡ xD¡uI)¡1,
ou como vimos , ft(s) = Z 1 0 Z 1 0 eut+xs ·¿ p; ·Z 1 0 et(A¡xD¡uI)dt ¸ 1 À¸ dudx = Z 1 0 Z 1 0
eut+xs¡p; (A¡ xD¡uI)¡11® dudx .
Calculando (A ¡ xD¡uI)¡1 para uma cadeia de dois estados temos, A= · ¡¹ ¹ º ¡º ¸ e D = · 1 0 0 0 ¸
no que resulta em,
A¡ xD¡uI = · ¡¹ ¹ º ¡º ¸ ¡ x · 1 0 0 0 ¸ ¡ u · 1 0 0 1 ¸ = · ¡¹ ¡ x ¡ u ¹ º ¡º ¡ u ¸ () (A¡ xD¡uI)¡1 = 1 (¹ + x + u)(u + º) · ¡(u + º) ¡¹ ¡º ¡(¹ + x + u) ¸ , (A¡ xD¡uI)¡11= 1 (¹ + x + u)(u + º) · ¡(u + º) ¡¹ ¡º ¡(¹ + x + u) ¸2 4 11 1 3 5 =¡ 1 (¹ + x + u)(u + º) · º + u + ¹ ¹ + º + x + u ¸ .
Como o estado inicial de ¾(t) = ¾h temos, p =
· 1 0 ¸ , e ¡p; (A¡ xD¡uI)¡11®= º + ¹ + u
(¹ + x + u)(u + º) , no que implica em, ft(s) = Z 1 0 Z 1 0 eut+xs º + ¹ + u (¹ + x + u)(u + º)dxdu
Resolvendo a integral dupla acima obtemos a distribuição de ¿h(T ¡ t)11
,dado o estado inicial ¾h de nossa cadeia de dois estados, obtemos ,
f (¿j ¾h)= e[¡¹¿ ¡º(T ¡t¡¿)]f±0(T ¡ t ¡ ¿) + gh(¿ )I1[2h(¿ )] + ¹I0[2h(¿ )]g onde h(¿ ) = [¹º¿ (T ¡ t ¡ ¿)]12 , gh(¿ ) = · ¹º¿ (T ¡ t ¡ ¿) ¸1 2 , ±0(¿ ) = lim"!0 1 "[H(¿ )¡ H(¿ ¡ ")] e I1(¿ ) = 1 P j=0 ¡1 2¿ ¢2j+1 j!(j + 1)!
De forma análoga calculamos ¿l(T ¡ t) , que resulta em
f (¿j ¾l)= e[¡¹¿ ¡º(T ¡t¡¿ )]f±0(¿ ) + gl(¿ )I1[2h(¿ )] + ºI0[2h(¿ )]g onde h(¿ ) = [¹º¿ (T ¡ t ¡ ¿)]12 , gl(¿ ) = · ¹º (T ¡ t ¡ ¿) ¿ ¸1 2 , ±0(¿ ) = lim"!0 1 "[H(¿ )¡ H(¿ ¡ ")] e I1(¿ ) = 1 P j=0 ¡1 2¿ ¢2j+1 j!(j + 1)!
11Ver Pedler [1971] para obtenção transformada inversa bidimensional de Laplace de
º + ¹ + u (¹ + x + u)(u + º)
6. Referências
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7. Códigos Desenvolvidos
Código em Maple 6 que implementa os cálculos da Tabela 1 restart:with(plots):with(…nance):
Warning, the name changecoords has been rede…ned >f:=blackscholes(S,K,rn,tau,sn): >BS:=unapply(f,S,K,rn,tau,sn): >k:=exp(g+delta^2/2)-1: >l:=lambda*(1+k): >lambda:=0: >g:=0:sigma2:=.01:delta:=.10:tau:=.5:lambda:=0:r:=.18:S:=100: K:=100:n:=0: >C[no_jumps]:=evalf(BS(100,100,0.18,0.5,0.10)); C[no_jumps] := 8.93274476 >sn:=sqrt(sigma2+((n*delta^2)/tau)): >rn:=r-lambda*k+(n*g/tau)+(n*(delta^2)/tau): >Prob[n]:=exp(-l*tau)*(l*tau)^n/n!: >Cad[n]:=evalf(BS(S,K,rn,tau,sn)): >C[n]:=Prob[n]*Cad[n]: >n:=0: >m:=1: >Call[n-1]:=0: >for n from 0 to m by 1 do >sn:=sqrt(sigma2+((n*delta^2)/tau));rn:=r-lambda *k+(n*g/tau)+(n*(delta^2)/tau); Prob[n]:=exp(-l*tau)*(l*tau)^n/n!;Cad[n]:=evalf(BS(S,K,rn,tau,sn)); C[n]:=Prob[n]*Cad[n];Call[n]:=C[n]+Call[n-1];od; sn := .1000000000 rn := .18 Prob[0] := 1. Cad[0] := 8.93274476 C[0] := 8.93274476 Call[0] := 8.93274476 sn := .1732050808 rn := .2000000000 Prob[1] := 0.
Cad[1] := 10.87491612 C[1] := 0.
Call[1] := 8.93274476
Código em Maple 6 que implementa os cálculos da Tabela 2 restart: >e:=exp(-mu*tau-nu*(T-tau)): >eh:=exp(-mu*T): >h:=sqrt(mu*nu*tau*(T-tau)): >g:=sqrt((mu*nu*tau)/(T-tau)): >I0:=Sum(’(0.5*(2*h))^(2*k)/(k!*k!)’,’k’=0..50): >I1:=Sum(’(0.5*(2*h))^((2*k)+1)/(k!*(k+1)!)’,’k’=0..50): >s:=sqrt((sigh^2*tau+sigl^2*(T-tau))/T): >T:=.5:r:=.19:S:=100:K:=100:sigh:=.25:sigl:=.10:mu:=2: >bsh:=evalf(S*(1/2*erf(1/2*(ln(S/K)+(r+1/2*sigh^2)*T)*sqrt(2) /(sigh*sqrt(T)))+1/2)-K*exp(-r*T)* (1/2*erf(1/2*((ln(S/K)+(r+1/2*sigh^2)*T) /(sigh*sqrt(T))-sigh*sqrt(T))*sqrt(2))+1/2)): >bseh:=bsh*eh: bstau:=evalf(S*(1/2*erf(1/2*(ln(S/K)+(r+1/2*s^2)*T) *sqrt(2)/(s*sqrt(T)))+1/2)-K*exp(-r*T)* (1/2*erf(1/2*((ln(S/K)+(r+1/2*s^2)*T) /(s*sqrt(T))-s*sqrt(T))*sqrt(2))+1/2)): >In2:=int(bstau*e*(g*I1+mu*I0),tau=0..0.5): >C:=bseh+In2: >Cvnu:=[evalf(seq(C,nu=[1,1.5,2,2.5,3,3.5,4]))]; Cvnu := [11.32413546, 11.38133218, 11.43270379, 11.47897786, 11.52077961, 11.55864748, 11.59304620]
Códigos em Visual Basic que implementam os calculos da Tabela 3 Public Sub cria_sequencia()
Dim jump(2) As String Dim vol(2) As String Dim t, rep As Integer Dim estado(4) As String Dim sequencia As String Dim linha As Integer Dim lin As Integer Dim est As Integer
Dim branching As Integer
Application.ScreenUpdating = False t_max = Range(”tempo”)
branching = Range(”branching”) For est = 1 To branching
estado(est) = Range(”lista_estados”).Cells(est) Next est Sheets(”Trajetorias”).Select Range(”trajetorias”).ClearContents t = t_max While t >= 1 linha = 2 For lin = 1 To (4 ^(t - 1)) For est = 1 To branching For rep = 1 To 4 ^(t_max - t) Cells(linha, t) = estado(est) linha = linha + 1 Next rep Next est Next lin t = t - 1 Wend Application.ScreenUpdating = True End Sub
Public Function f_preco(estado_anterior As String, preco_anterior As Double, estado_atual As String) As Double
If Right$(estado_anterior, 1) = ”l” Then ’Volatilidade ANTERIOR -LOW
If Left$(estado_atual, 1) = ”u” Then ’Estado ATUAL - UP
f_preco = preco_anterior * Exp((Range(”taxa”) - 0.5 * Range(”sigma_low”) - Range(”ene”) * (Range(”yn”) - 1)) * Range(”dt”) + Range(”sigma_low”) * Sqr(Range(”dt”)) * Range(”zu”)) * Range(”yn”)
Else ’Volatilidade ATUAL - LOW
f_preco = preco_anterior * Exp((Range(”taxa”) - 0.5 * Range(”sigma_low”) - Range(”ene”) * (Range(”yn”) - 1)) * Range(”dt”) + Range(”sigma_low”) * Sqr(Range(”dt”)) * Range(”zu”))
End If
Else ’Estado ATUAL - DOWN
If Right$(estado_atual, 1) = ”h” Then ’Volatilidade ATUAL - HIGH f_preco = preco_anterior * Exp((Range(”taxa”) - 0.5 * Range(”sigma_low”) - Range(”ene”) * (Range(”yn”) - 1)) * Range(”dt”) + Range(”sigma_low”) * Sqr(Range(”dt”)) * Range(”zd”)) * Range(”yn”)
Else ”Volatilidade ATUAL - LOW
f_preco = preco_anterior * Exp((Range(”taxa”) - 0.5 * Range(”sigma_low”) - Range(”ene”) * (Range(”yn”) - 1)) * Range(”dt”) + Range(”sigma_low”) * Sqr(Range(”dt”)) * Range(”zd”))
End If End If
Else ’Volatilidade ANTERIOR - HIGH
If Left$(estado_atual, 1) = ”u” Then ’Estado ATUAL - UP
If Right$(estado_atual, 1) = ”h” Then ’Volatilidade ATUAL - HIGH
f_preco = preco_anterior * Exp((Range(”taxa”) - 0.5 * Range(”sigma_high”) - Range(”eme”) * (Range(”yp”) - 1)) * Range(”dt”) + Range(”sigma_high”) * Sqr(Range(”dt”)) * Range(”zu”))
Else ’Volatilidade ATUAL - LOW
f_preco = preco_anterior * Exp((Range(”taxa”) - 0.5 * Range(”sigma_high”) - Range(”eme”) * (Range(”yp”) - 1)) * Range(”dt”) + Range(”sigma_high”) * Sqr(Range(”dt”)) * Range(”zu”)) * Range(”yp”)
End If
Else ’Estado ATUAL - DOWN
If Right$(estado_atual, 1) = ”h” Then ’Volatilidade ATUAL - HIGH
f_preco = preco_anterior * Exp((Range(”taxa”) - 0.5 * Range(”sigma_high”) - Range(”eme”) * (Range(”yp”) - 1)) * Range(”dt”) + Range(”sigma_high”) * Sqr(Range(”dt”)) * Range(”zd”))
Else ”Volatilidade ATUAL - LOW
f_preco = preco_anterior * Exp((Range(”taxa”) - 0.5 * Range(”sigma_high”) - Range(”eme”) * (Range(”yp”) - 1)) * Range(”dt”) + Range(”sigma_high”)
* Sqr(Range(”dt”)) * Range(”zd”)) * Range(”yp”) End If
End If End If
End Function
Public Function f_prob(estado_anterior As String, estado_atual As String) As Double
If Right$(estado_anterior, 1) = ”l” Then ’Volatilidade ANTERIOR -LOW
If Right$(estado_atual, 1) = ”h” Then ’Volatilidade ATUAL - HIGH f_prob = 0.5 * Range(”ene”) * Range(”dt”)
Else ’Volatilidade ATUAL - LOW
f_prob = 0.5 * (1 - (Range(”ene”) * Range(”dt”))) End If
Else ’Volatilidade ANTERIOR - HIGH
If Right$(estado_atual, 1) = ”h” Then ’Volatilidade ATUAL - HIGH f_prob = 0.5 * (1 - (Range(”eme”) * Range(”dt”)))
Else ’Volatilidade ATUAL - LOW
f_prob = 0.5 * (Range(”eme”) * Range(”dt”)) End If End If End Function Public Sub t() Application.ScreenUpdating = True End Sub
