UNIVERSIDADE ESTADUAL DE MARINGÁ CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM MATEMÁTICA (Mestrado)

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UNIVERSIDADE ESTADUAL DE MARING Á CENTRO DE CI ÊNCIAS EXATAS DEPARTAMENTO DE MATEM ÁTICA

PROGRAMA DE P ÓS-GRADUAÇ ÃO EM MATEM ÁTICA (Mestrado)

Curvas Planas:

F´

ormula de Noether e Resolu¸

c˜

ao de Singularidades

Priscila Costa Ferreira de Jesus Bemm

Maring´a - PR 2016

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PRISCILA COSTA FERREIRA DE JESUS BEMM

Curvas Planas: F´

ormula de Noether

e Resolu¸

c˜

ao de Singularidades

Disserta¸cão de mestrado apresentada ao Programa de Mestrado em Matemática do Departamento de Matemática, Centro de Ciências Exatas da Universidade Estadual de Maringá, como requisito parcial para obten¸cão do t´ıtulo de Mestre em Matemática.

Orientador: Prof. Dr. Rodrigo Martins

Maring´a - PR 2016

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“Talvez não tenha conseguido fazer o melhor, mas lutei para que o melhor fosse feito. Não sou o que deveria ser, mas Gra¸cas a Deus, não sou o que era antes”.

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Agradecimentos

Agrade¸co primeiramente a Deus por ter me dado f´e diante de todas as dificuldades e proporcionado a ben¸c˜ao de conhecer pessoas maravilhosas que tornaram as dificuldades mais amenas.

Aos meus pais, Edna e Celso, pela paciˆencia, confian¸ca, amor, apoio emocional e financeiro, independentemente de minhas escolhas.

Aos meus irm˜aos Fernando, Ireni, Ederson e J´essica pelo companheirismo, exemplo e por fazer minha vida mais prazerosa.

Aos meus avós, que são responsáveis pela fam´ılia maravilhosa, sem a qual eu não estaria aqui.

Aos meus amigos Tatiane, Jesus, Patr´ıcia, Mˆonica e Fernando por dividir tantas ang´ustias, inseguran¸cas e, principalmente, alegrias e momentos que valem a pena nunca serem esquecidos.

Aos meus sogros, Cacildo e Terezinha, que mesmo distantes me apoiaram e torceram pelo meu sucesso.

Ao meu marido Laerte pela amizade, companheirismo, paciência e por ser esta pessoa tão maravilhosa, a qual não consigo mais viver sem; sempre ao meu lado, acreditando em mim até quando eu mesma não acreditava.

A todos os professores que contribu´ıram para minha forma¸c˜ao acadˆemica e humana, em especial a professora Dra. Claudete pelo incentivo e apoio.

Ao professor Dr. Rodrigo Martins, por ter aceitado a solicita¸cão de orienta¸cão, pela confian¸ca, paciência e por me ajudar a lembrar o quanto é prazeroso aprender.

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Resumo

O objetivo do nosso trabalho foi demonstrar a Fórmula de Noether, que é uma fórmula que nos permite calcular o Índice de Interse¸cão entre duas curvas algébricas planas. Para isso trabalhamos com o anel das séries de potências formais e, através do Teorema de Prepara¸cão de Weierstrass, vimos que podemos associar qualquer série a um polinômio de Weierstrass. A partir deste resultado, passaremos a ver toda série como um polinômios de Weierstrass. Para o uso da Fórmula de Noether foi necessário apresentarmos vários resultados, entre eles, a técnica de desingulariza¸cão denominada Blowing-up, o Teorema de Newton-Puiseux e o Teorema da Fun¸cão Impl´ıcita de Newton.

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Abstract

The aim of this work is to demonstrate Noether’s Formula, which allows us to evaluate the intersection index between two algebraic plane curves. For that, we consider the ring of formal power series and, through Weierstrass’ Preparation Theorem, we realized it is possible to associate any series to a Weierstrass polynomial. After that, we consider every series as a Weierstrass’ polynomial. For Noether’s Formula it was necessary to present several results, among them the technique of resolution of singularities known as Blowing-up, Newton-Puiseux’s Theorem and Newton’s Implicit Function Theorem.

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Sum´

ario

Introdu¸c˜ao 1

1 Preliminares 4

1.1 Anéis das Séries de Potências Formais . . . 4

1.2 O Teorema da Prepara¸c˜ao de Weierstrass . . . 8

1.3 Fatora¸cão de Séries de Potências . . . 16

1.4 Teorema da Base de Hilbert-R¨uckert . . . 19

1.5 Elimina¸c˜ao . . . 21

2 Curvas Alg´ebricas Planas 29 2.1 Teorema de Newton-Puiseux . . . 33

2.2 Extens˜oes de Corpos das S´eries de Laurant . . . 39

2.3 Parametriza¸c˜ao de Puiseux . . . 46

3 Interse¸cão de Curvas 48 3.1 Índices de Interse¸cão . . . 57

4 Resolu¸c˜ao de Singularidades de Curvas Planas 66 4.1 F´ormula de Noether . . . 73

4.2 Transforma¸c˜oes Quadr´_{aticas em C}2 _{. . . .} ₇₆

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Introdu¸

c˜

ao

O objetivo do nosso trabalho é demonstrar a Fórmula de Noether que é usada para calcular o ´ındice de interse¸cão entre duas curvas. O ´ındice de interse¸cão entre duas curvas nos dá uma estimativa do número de interse¸cões entre estas curvas. Este é um conceito muito útil pois através dele podemos determinar se duas séries são relativamente primas, quando duas curvas são transversais e quando possuem retas tangentes em comum, além de outras aplica¸cões que não serão o foco deste trabalho. Para o uso da Fórmula de Noether será necessário o estudo de uma das técnicas de desingulariza¸cão denominada Blowing-up.

O Blowing-up é uma técnica algébrica que consiste em remover singularidades através de aplica¸cões algébricas simples. A teoria a partir do Blowing-up nos mune de resultados que são úteis em várias áreas da matemática. Através do Blowing-up conseguimos decidir se uma série f é regular com rela¸cão a alguma de suas variáveis e nos dá evidências sobre a irredutibilidade da série, por exemplo.

O Teorema de Newton-Puiseux é um dos resultados necessários para demonstrar a Fórmula de Noether, juntamente com o Teorema da Prepara¸cão de Weierstrass e o Teo-rema da Fun¸cão Impl´ıcita de Newton. Newton encontrou uma maneira de parametrizar uma série de potências dada, parametrizar é equivalente a descrever suas solu¸cões, assim podemos transformar uma série de potências em um polinômio de Weierstrass e encontrar as ra´ızes deste polinômio no fecho do Anel das Séries de Potências Formais de Laurent, denotamos este fecho por K((x)). O Teorema de Newton-Puiseux nos diz como são os elementos de K((x)).

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sobre um corpo que é um dom´ınio de fatora¸cão única. Para nós, fatorar uma série, ou seja, encontrar seus fatores irredut´ıveis é crucial. Por isso, apresentamos resultados que nos ajudam a decidir quando uma série é irredut´ıvel. Além disso, mostramos que dada uma curva definida por uma série f com coeficientes num corpo infinito, podemos encontrar uma curva equivalente g que é expressa de maneira mais “simples”. Mais precisamente, g é expressa como um polinômio cujos coeficientes são séries. O resultado que nos garante isso é chamado Teorema da Prepara¸cão de Weierstrass. Outro conceito muito importante deste cap´ıtulo que nos será muito útil na sequência do trabalho é o resultante entre dois polinômios com coeficientes em um dom´ınio de fatora¸cão única, o qual nos informa quando tais séries possuem termos em comum.

No cap´ıtulo 2, definimos Curva Algébrica Plana e algumas de suas caracter´ısticas, tais como, cone tangente, retas tangentes, curvas regulares e curvas equivalentes. Será abordado também o Teorema de Newton-Puiseux que, junto com o Teorema de Pre-para¸cão de Weierstrass e o Teorema da Fun¸cão ´ımplicita de Newton, afirma que toda série é equivalente a um polinômio de Weierstrass. Outro resultado significativo deste cap´ıtulo é o Lema Unitangente, que nos dá como é expressa a forma inicial de uma série irredut´ıvel.

No cap´ıtulo 3, definimos Anel Coordenado, Índice de Interseçcão entre duas curvas, Valora¸cão associada a uma série e Curvas Transversais. Demonstramos resultados que nos dão maneiras alternativas de calcular o Índice de Interseçcão entre duas curvas. Além disso, relacionamos o Índice de Interseçcão com Valora¸cão e a multiplicidade da Resultante de duas curvas.

No cap´ıtulo 4, apresentamos as Transforma¸cões Quadráticas e o Blowing-up que con-siste em uma técnica de desingulariza¸cão de curvas. Definimos Transforma¸cão Total e a Transforma¸cão Estrita da Transforma¸cão Quadrática, além de encontrarmos rela¸cões entre as caracter´ısticas das curvas e as caracter´ısticas da transforma¸cão estrita da curva. Demonstramos que, após um número finito de Transforma¸cões Quadráticas, podemos transformar qualquer curva plana irredut´ıvel em uma curva plana regular. Enfim, de-monstramos a Fórmula de Noether a partir dos resultados mostrados ao longo do traba-lho.

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O cap´ıtulo 5 será voltado para a defini¸cão da generaliza¸cão do Blowing-up de uma variedade e exemplos. Além disso, enunciamos o Teorema de Hironaka que mostra a existência de sequência de Blowing-ups que resolvem singularidades.

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Cap´ıtulo 1

Preliminares

O objetivo deste cap´ıtulo é apresentar os pré-requisitos para o desenvolvimento do tra-balho, tais como defini¸cão do anel das séries de potências formais, multiplicidade de uma série, defini¸cão de série regular, propriedades do Anel das Séries de Potências Formais, defini¸cão de Pseudo-polinômio e de Polinômio de Weierstrass, Teorema da Prepara¸cão de Weierstrass e a defini¸cão e propriedades de Resultante entre dois polinômios.

Para tanto, definimos inicialmente o anel das séries de potências formais o qual é objeto base do nosso trabalho.

1.1 An´

eis das S´

eries de Potˆ

encias Formais

Sejam K um corpo e x1, ..., xr indeterminadas sobre K. O conjunto R = K[[x1, ..., xr]]

formado por todas as somas formais do tipo f =

∞

X

i=0

Fi, onde Fi é polinômio homogêneo,

com as seguintes opera¸c˜oes:

f + g = ∞ X i=0 (Fi+ Gi), f g = ∞ X i=0 X j+k=i (FjGk), ´

e um anel comutativo com unidade. Tal anel é denominado Anel das Séries de Potências Formais .

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Tamb´em podemos denotar os elementos de R = K[[x1, ..., xr]] por f = ∞ X i=0 X i1+...+ir=i ai1...airx1 i1_...x rir. Defini¸c˜ao 1.1 Dada f = ∞ X i=0 X i1+···+ir=i ai1· · · airx1 i1_{· · · x} rir ∈ C[[x1, · · · , xr]], se existe ρ ∈ R∗+ tal que ∞ X i=0 X i1+···+ir=i |ai1· · · air|ρ i

converge absolutamente, dizemos que f é uma série absolutamente convergente. Exemplo 1.2 Qualquer polinômio é absolutamente convergente.

Exemplo 1.3 Seja f (x, y) = ∞ X i=1 X j=i−1 −1 2 j+1 xjy = ∞ X i=1 −1 2 i xiy. Neste caso, para cada i ∈ N∗, |ai,1| =

1

2i e ent˜ao, tomando ρ = 1, temos ∞ X i=1 |ai,1|ρi = ∞ X i=1 1 2i1 i _{= 1.}

Deste modo, f (x, y) ´e absolutamente convergente.

Observe que i = 0 ocorre apenas quando a série possui o termo constante e, por isso, na série acima não há termo constante.

Alguns elementos no anel das séries de potências são invert´ıveis. Na próxima pro-posi¸cão apresentamos condi¸cões necessárias e suficientes para que uma série seja in-vert´ıvel.

Proposi¸c˜ao 1.4 Um elemento f =

∞

X

i=0

Pi ∈ R, com Pi homogˆeneo de grau i, ´e invert´ıvel

se, e somente se, P0 ´e invert´ıvel em K.

Demonstra¸c˜ao: De fato, suponha que f =

∞ X i=0 Pi ´e invert´ıvel e seja g = ∞ X i=0 Qi tal que f g = 1, isto ´e, f g = ∞ X i=0 X k+j=i PkQj = P0Q0+ (P0Q1+ P1Q0) + · · · = 1. Neste caso, o

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sistema          P0Q0 = 1 P0Q1 + P1Q0 = 0 .. . tem solu¸c˜ao dada por

                           Q0 = P0−1 Q1 = P0−1(P1Q0) Q2 = P0−1(P2Q0+ P1Q1) .. . Qn = P0−1(PnQ0+ Pn−1Q1+ · · · P1Qn−1) .. .

Reciprocamente, se P0 ´e invert´ıvel, ent˜ao o sistema

         P0Q0 = 1 P0Q1 + P1Q0 = 0 .. .

tem solu¸c˜ao. Assim, dada f =

∞ X i=0 Pi, existe g = ∞ X i=0

Qi tal que f g = 1 e, portanto, f ´e

invert´ıvel. 2

Exemplo 1.5 Dada a série f = x + 2, resolvendo o sistema constru´ıdo na demonstra¸cão da Proposi¸cão 1.4 temos que

f−1 = ∞ X i=0 xi 2i+1.

Defini¸c˜ao 1.6 Seja f = Pn + Pn+1 + ... ∈ R\{0}, com cada Pi sendo um polinˆomio

homogˆeneo de grau i e Pn 6= 0. Chamamos Pn de forma inicial de f e n de multiplicidade

de f .

A multiplicidade de f é denotada por mult(f ) e, por conven¸cão, assumimos que se f ≡ 0 então mult(f ) = ∞.

Exemplo 1.7 Dada a s´erie f = P∞

i=0x

(15)

Proposi¸c˜ao 1.8 Se f, g ∈ R, ent˜ao: (i) mult(f g) = mult(f ) + mult(g);

(ii) mult(f + g) ≥ min{mult(f ), mult(g)}. A igualdade ocorre quando mult(f ) 6= mult(g).

Demonstra¸c˜ao: Sejam f = Pn+ Pn+1+ · · · e g = Qm+ Qm+1+ · · · elementos de R.

(i) Ent˜ao,

f g = (Pn+ Pn+1+ · · · )(Qm+ Qm+1+ · · · ) = PnQm+ PnQm−1+ · · · + Pn+1Qm−1 + · · ·

assim, mult(f g) = gr(PnQm) = nm = mult(f ).mult(g).

(ii) Temos tamb´em que f + g = Pn+ Pn+1+ ... + Qm+ Qm+1+ ....

Se n < m, ent˜ao mult(f + g) = n = mult(f ). Se n > m, ent˜ao mult(f + g) = m = mult(g).

Se n = m, ent˜ao pode ocorrer Pn+ Qm = 0 e, neste caso, mult(f + g) ≥ n = m =

mult(f ) = mult(g) = min{mult(f ), mult(g)}. De qualquer maneira, mult(f + g) ≥

min{mult(f ), mult(g)}. 2

Proposi¸c˜ao 1.9 O anel R ´e um dom´ınio de integridade.

Demonstra¸cão: De fato, sejam f, g ∈ R\{0} então mult(f ) < ∞ e mult(g) < ∞ assim, mult(f g) = mult(f ) + mult(g) < ∞. Logo f g 6= 0. 2 Nota¸cão: Dado R = K[[x1, · · · , xr]], denotamos: MR o ideal gerado por x1, ..., xr;

R0 _{= K[[x}

1, · · · , xr−1]]; a i-´esima potˆencia de MR por MiR e M0R= R.

Observa¸c˜ao 1.10 Note que f = P0+ P1+ · · · ∈ MR se, e somente se, P0 = 0; f ∈ M2R

se, e somente se, P0 = P1 = 0. De modo geral, f ∈ MnR se, e somente se, P0 = P1 =

· · · = Pn−1 = 0.

Proposi¸cão 1.11 O ideal MR é o único ideal maximal de R e

\

i∈N

Mi

(16)

Demonstra¸c˜ao: Suponha que exista um ideal I ∈ R tal que MR ⊂ I ⊂ R com

I 6= MR.

Então existe p ∈ I tal que p /∈ MR, isto é, p = P0+ P1+ ... com P0 6= 0 e, portanto p é

invert´ıvel, assim, I = R e MR ´e ideal maximal de R.

Para mostrar que MR ´e o ´unico ideal maximal de R suponha que exista um outro

ideal maximal J de R. Suponha que existe um elemento p = P0+ P1+ · · · ∈ J tal que

p /∈ MR, ou seja, P0 6= 0. Desta forma p ´e invert´ıvel e, como J ´e ideal, segue que 1 ∈ J

e assim J = R, contradizendo o fato de J ser maximal. Finalmente, dado f =P

j∈NPj ∈

\

i∈N

Mi

R, pela Observa¸c˜ao 1.10 segue que

f = P0+ P1+ · · · ∈ \ i∈N Mi R ⇔ P0 = P1 = · · · = 0, e portanto f ≡ 0. 2

1.2 O Teorema da Prepara¸

c˜

ao de Weierstrass

Defini¸cão 1.12 Um polinômio de Weierstrass em xr é uma série de potências da

se-guinte forma:

f (x1, x2, · · · , xr) = xrn+ a1xn−1r + · · · + an,

com ai ∈ K[[x1, · · · , xr−1]], com mult(ai) ≥ i para cada i ∈ {1, · · · , n}.

Nesta se¸cão vamos ver que dada uma série f ∈ MR, que satisfaz certas condi¸cões,

´

e poss´ıvel reescrevê-la como um polinômio de Weierstrass. Estabelecemos critérios de redutibilidade em K[[x, y]], onde K é corpo e x e y são indeterminadas. Por conveniência vamos considerar o grau do polinômio nulo como −∞.

Lema 1.13 Sejam p, q ∈ K[y] polinômios relativamente primos, não-constantes, com gr(p) = r e gr(q) = s. Dado um polinômio f ∈ K[y], com gr(f ) < r + s, existem g, h ∈ K[y] unicamente determinados, tais que

(17)

com gr(h) < r e gr(g) < s.

Demonstra¸cão: Como mdc(p, q) = 1, existem a, b ∈ K[y] tais que ap + bq = 1 e assim f ap + f bq = f . Além disso, pelo algoritmo da divisão existem ρ e h ∈ K[y] tais que f b = ρp + h, onde gr(h) < gr(p) = r. Contudo,

f = f ap + f bq = f ap + (ρp + h)q = f ap + ρpq + hq = (f a + ρq)p + hq = gp + hq, onde g = f a + ρq. Al´em disso, gr(g) + gr(p) = gr(gp) = gr(f − hq) = max{gr(f ), gr(hq)} < r + s, visto que gr(p) = r, ent˜ao gr(g) < s.

Para mostrar a unicidade de h, q ∈ K[y] que satisfazem a tese, suponha que existam g0, h0 ∈ K[y] tais que f = g0_{p + h}0_{q com gr(h}0_{) < r, gr(g}0_{) < s e gr(f ) < r + s. Da´ı,}

gp + hq = g0p + h0q e portanto (g − g0)p = (h − h0)q.

J´a que mdc(p, q) = 1, ent˜ao q|(g − g0) e isto implica que s = gr(q) ≤ gr(g − g0) ou g − g0 = 0. Como gr(g − g0) < s, segue que g = g0.

Analogamente, h = h0. 2

Lema 1.14 (Lema de Hensel) Seja f ∈ K[[x]][y] mônico tal que f (0, y) = p(y)q(y), onde p(y), q(y) ∈ K[y] são relativamente primos, gr(p(y)) = r e gr(q(y)) = s. Então existem dois polinômios unicamente determinados g, h ∈ K[[x]][y] tais que f = gh com gr(g) = r, gr(h) = s, g(0, y) = p(y) e h(0, y) = q(y).

Demonstra¸c˜ao: Seja f ∈ K[[x]][y] mˆonico tal que n = gry(f ) = gr(f (0, y)) =

gr(p(y)) + gr(q(y)) = r + s. Note que f pode ser escrito como f = f0(y) + xf1(y) +

x2_f

(18)

Determinamos g(x, y) = p(y) + xg1(y) + · · · ∈ K[[x]][y], com gr(gi(y)) < r e h(x, y) =

q(y) + xh1(y) + · · · ∈ K[[x]][y], com gr(hi(y)) < s tais que f (x, y) = g(x, y)h(x, y). Isto

ocorre se, e somente se,                f0(y) = p(y)q(y)

f1(y) = p(y)h1(y) + g1(y)q(y)

..

. ... ...

fi(y) = p(y)hi(y) + gi(y)q(y) + · · ·

tem solu¸c˜ao ou, equivalentemente,

p(y)hi(y) + gi(y)q(y) = fi(y) −

X

k+l=i k,l6=0

gk(y)hl(y).

Como f é mônico, temos que gr(fi(y)) < n = r + s. Pelo Lema 1.13 a equa¸cão pode

ser resolvida de maneira ´unica em gi(y) e hi(y) e portanto g, h ∈ K[[x]][y] s˜ao unicamente

determinados com gr(g) = r e gr(h) = s. 2

Nota¸c˜ao: Denotamos K((x)) o corpo das fra¸c˜oes sobre K[[x]]. Observe que dado h = f

g ∈ K((x)) \ {0}, visto que f = x

n_{u e g = x}m_{v, com m, n ∈ N,}

u e v unidades em K[[x]], temos que h = f g = xn_u xm_v = x n−m_uv−1 = xrw, onde r ∈ Z e w ´e unidade em K[[x]].

Corol´ario 1.15 Seja T um K-automorfismo de K((x)), ent˜ao existe uma unidade u ∈ K[[x]] tal que T (x) = xu(x).

Demonstra¸c˜ao: Seja T (x) = xru(x), onde u(x) ´_{e unidade em K[[x]] e r ∈ Z.} Se r < 0, como T ´e um homomorfismo, ter´ıamos

T (x + x2+ x3+ · · · ) = T (x) + T (x2) + T (x3) + · · · = xru(x) + x2ru2(x) + · · · , desta forma a série teria infinitos expoentes negativos e isto é um absurdo, pois T é um endomorfismo. Assim, devemos ter r ≥ 0.

(19)

Como T ´e um K-automorfismo existe T−1 definido por T−1(x) = xsv(x), com v(x) unidade de K[[x]] e s ∈ Z+. Da´ı,

x = T (T−1(x)) = T (xsv(x)) = xrsT (v(x))us(x) = xrsw(x), com w(x) = T (v(x))ur(x) unidade de K[[x]].

Assim w(x) = 1 e xrs _{= x, ou seja, r = s = 1 e, portanto, T (x) = xu(x), onde u(x) ´}_e

unidade em K[[x]]. 2

Defini¸cão 1.16 Uma série f ∈ M é regular de ordem m com respeito à indeterminada xrse m = max{n | xnr divide f (0, · · · 0, xr)} . Quando n = mult(f ) = mult(f (0, . . . 0, xr))

dizemos que f ´e regular em xr.

Exemplo 1.17 Seja f (x, y) = x4+y5−3x4_y+7x2_y4_{. Como f (0, y) = y}5 _ent˜_{ao f ´}_{e regular}

em y de ordem 5. Por outro lado, f (x, 0) = x4_{, ent˜}_{ao mult(f (x, 0)) = 4 = mult(f ), isto}

´

e, f ´e regular em x.

Lema 1.18 Dadas f, g ∈ R, se f e g s˜ao regulares com rela¸c˜ao a xr, com ordens n1 e n2

respectivamente, então f g é regular em xr de ordem n1 ou n2. Reciprocamente, se f g é

regular em xr de ordem m, ent˜ao f e g s˜ao regulares de ordens n1 e n2, respectivamente,

em xr onde n1+ n2 ≥ m.

Demonstra¸cão: Suponha que f é regular em xr de ordem n1 e g é regular em xr de

ordem n2, isto ´e, xnr1 | f (0, . . . , xr) e xrn2|g(0, . . . , xr). Ent˜ao xnr1+n2 | f g(0, . . . , xr), visto

que xn1

r |xnr1+n2 e xnr2|xrn1+n2, segue que xnr1 | f g(0, . . . , xr) ou xnr2 | f g(0, . . . , xr). Logo,

f g ´e regular de ordem n1 ou n2 em xr.

Reciprocamente suponha que xm

r | f g(0, . . . , xr), ent˜ao f g(0, . . . , xr) = xmr p(0, . . . , xr),

ou seja, f (0, . . . , xr) = xnr1f1(0, . . . , xr) e g(0, . . . , xr) = xnr2g1(0, . . . , xr), onde

n1 + n2 ≥ m.

Assim, f e g são regulares com rela¸cão à xr para algumas ordens. 2

Teorema 1.19 Seja f ∈ MR, regular de ordem m com respeito `a xs. Dado g ∈ R

existem q ∈ R e r ∈ R0[xs] unicamente determinados tais que

(20)

com r = 0 ou grxs(r) < m.

Demonstra¸c˜ao: Seja f = fn+ · · · + fm+ fm+1+ · · · ∈ MR regular em xs de ordem

m. Dado g = ∞ X i=0 aixis ∈ R 0 [[xs]] considere r−1 = m−1 X i=0 aixis.

Vamos construir qi, ri ∈ K[x1, · · · , xs] tais que 0 ≤ grxs(ri) < m, mult(qi) > i e mult(ri) > i + 1 de modo que

g = f q + r.

Tome p = fn+ · · · + fm. Como xs divide f (0, · · · , xs) ent˜ao p = cxms + p1(xs) com

c ∈ K \ {0} e grxs(p1) < m.

Note que 1 ≤ n = mult(p) ≤ m e considere

h = g − r−1 = hm+ hm+1+ · · · = ∞ X i=m aixis ∈ R 0 [[xs]], (1.1)

em que hi0_s são polinômios homogêneos de grau i.

Como hm e p são polinômios, pelo Algoritmo da Divisão para polinômios, existem q0

e r0 ∈ R[x1, · · · , xs−1][xs] tais que r0 = hm− q0p com grxs(hm− q0p) < m.

Observe que hm(0. · · · , xs) = 0 se, e somente se, q0 = 0. Se q0 = 0 ent˜ao mult(r0) =

m ≥ n, assim, mult(q0) ≥ 0 e mult(r0) ≥ 1.

Como o coeficiente l´ıder de p é invert´ıvel podemos considerar p como um polinômio em K[x1, · · · , xs−1][xs] e usar o algoritmo da divisão para polinômios, isto é, dados p e

hm − q0fm+1 ∈ K[x1,··· ,xs−1][xs], ent˜ao r1 = hm+1 − q0fm+1 − q1p com grxs(r1) < m e mult(q1) ≥ 1 e, consequentemente, mult(r1) ≥ 2.

Com racioc´ınio an´alogo existe um ´unico q2 ∈ K[x1, x2, · · · , xs−1][xs] tal que

grxs(hm+2− q1fm+1 − q0fm+2− q2p) < m e mult(q2) ≥ 2, desta maneira, mult(r2) ≥ 3. Assim, constru´ımos sequˆencias q0, q1, q2· · · e r0, r1, r2· · · tais que

(21)

Contudo temos que r0+ r1+ · · · = (hm− q0p) + (hm+1− q0fm+1− q1p) + (hm+2 − q0fm+2− q1fm+1− q2p) + · · · = (hm+ hm+1+ · · · ) − q0(p + fm+1+ fm+2+ · · · ) − · · · = (hm+ hm+1+ · · · ) − (q0+ q1· · · )(p + fm+1+ · · · ) = h − qf =(1.1) _{qf + r} −1+ r0+ · · · .

Tomando r = r−1+ r0+ r1+ · · · e q = q0+ q1 + · · · demonstramos o teorema.

Observe que a unicidade de q e r seguem da unicidade de qi, ri assegurado pelo

algoritmo da divis˜ao para polinˆomios. 2

Teorema 1.20 (Teorema da prepara¸cão de Weierstrass) Dada uma série regu-lar f ∈ R, de ordem m > 0 com respeito à xs, então existe u ∈ R, com u(0) 6= 0

e a1, · · · , am∈ MR0 unicamente determinados por f tais que f u = xm_s + a1xm−1s + · · · + am

e mais, se f ´e regular em xs, ent˜ao para cada i ∈ {1, · · · , m} temos mult(ai) ≥ i.

Demonstra¸c˜ao: De fato, como xm_s |f (0, · · · , xs) ent˜ao f ∈ MR e, pelo algoritmo da

divis˜ao (Teorema 1.19), existem q ∈ R e r ∈ R0[xs] tais que xms = f q+r, com grxs(r) < m ou r = 0.

Como xm

s |f (0, · · · , xs), ent˜ao xms divide xms − (f q)(0, · · · , xs) = r(0, · · · , xs). Visto

que grxs(r) < m, segue que r(0, · · · , 0, xs) = 0 e, implica que, q(0, · · · , 0, xs) ∈ K\{0} e q(0, · · · , 0) ∈ K\{0}, portanto, q ´e invert´ıvel. Assim tomando q = u e considerando r = −(a1xm−1s + a2xm−2s + · · · + am) ∈ R0[xs] teremos

f u = xm_s + a1xm−1+ · · · + am.

Por outro lado f (0, · · · , xs)u(0, · · · , 0, xs) = xms + a1(0)xm−1 + · · · + am(0) e como

xm

s |f (0, · · · , xs) ent˜ao a1(0) = a2(0) = · · · = am(0) = 0 e assim ai ∈ MR0 para cada i ∈ {1, · · · , m}.

(22)

Se f ´e regular em xsent˜ao m = mult(f ) = mult(f u) = mult(xms +a1xm−1+· · ·+am) e,

para que isso ocorra devemos ter mult(aixm−is ) ≥ m para cada i = 1, · · · , m e, portanto,

mult(ai) ≥ i. 2

Observe que nos teoremas anteriores é relevante f ser regular, mas nem sempre isso ocorre. Vamos ver a seguir que uma série não regular, com coeficientes num corpo infinito, pode se tornar regular através de um automorfismo em R.

Lema 1.21 Seja K um corpo infinito e F uma fam´ılia finita de polinômios homogêneos não nulos em K[y1, · · · , yr]. Então existe uma transforma¸cão linear T : K[x1, · · · , xr] −→

K[y1, · · · , yr] tal que para todo f ∈ F com grau m existe cf 6= 0 tal que,

f (T (x1, · · · , xr)) = cfxmr + p(xr),

onde p(xr) ∈ K[x1, · · · , xr−1][xr] s˜ao termos de grau menor que m em xr .

Demonstra¸c˜ao: Considere a transforma¸c˜ao T : K[x1, · · · , xr] −→ K[y1, · · · , yr]

defi-nida por T (xj) = xj+ αjxr, se j ∈ {1, · · · , r − 1} e T (xj) = αrxr, se j = r. Assim, dado

fn(x1, · · · , xr) = X l1+···+lr=n al1,··· ,lrx l1 1.x l2 2 · · · x lr

r ∈ F , um polinˆomio homogˆeneo de grau n,

temos: fn(T (x1, · · · , xr))) = X l1+···+lr=n al1,··· ,lr(x1+ α1xr) l1_(x 2+ α2xr)l2· · · (αrxr)lr

= (α1xr)l1· · · (αrxr)lr + (termos de grau menor que n em xr).

= αl1

1 · · · α lr

r · x l1+···+lr

r + (termos de grau menor que n em xr).

= fn(α1, · · · , αr) · xnr + (termos de grau menor que n em xr)..

Tomando cfn = fn(α1, · · · , αr) segue que fn(T (x1, · · · , xr)) = cfn· x

n

r + (termos de grau menor que n em xr.

Observe que cada polinômio de F possui um número finito de ra´ızes em Kr. Já que F é finito e K é infinito, é poss´ıvel tomar (α1, · · · , αr) ∈ Kr tal que f (α1, · · · , αr) 6= 0

(23)

Corolário 1.22 Seja K um corpo infinito. Dada uma fam´ılia finita F de elementos não nulos em R existe um automorfismo linear T de R tal que todos os elementos de T (F ) são regulares na última indeterminada.

Demonstra¸cão: Considere f1, f2, · · · , fn os polinômios homogêneos que definem as

multiplicidades dos elementos de F .

Pelo lema anterior existe uma transforma¸c˜ao T tal que, para todo i ∈ {1, · · · , r}, existe cfi 6= 0 satisfazendo fi(T (x1, · · · , xr)) = cfix

mi

r + pi(xr).

Assim, para cada f ∈ F temos que f ◦ T é regular na última indeterminada. 2 Observe que para construir o automorfismo do corolário anterior, deve-se considerar a transforma¸cão T : R −→ R definida por T (xj) = xj + αjxr, se j ∈ {1, · · · , r − 1}

e T (xj) = αrxr, se j = r, de modo que, fi(α1, · · · , αr) 6= 0, onde fi s˜ao os polinˆomios

homogˆeneos que definem as multiplicidades dos elementos de F .

Corolário 1.23 Se f ∈ R \ {0} é uma série de multiplicidade n, então existe T : R −→ R um K-automorfismo, uma unidade u ∈ R e ai ∈ R0, para i ∈ {1, · · · , r}, tais que

mult(ai) > i e f (T ) · u = xnr + a1· xn−1r + · · · + an.

Demonstra¸cão: Pelo corolário anterior existe um automorfismo T de R tal que f (T (x1, · · · , xr)) = cf · xnr+ (termos de grau menor que n em xr), ou seja, f ◦ T é

regular em xr de ordem n.

Pelo Teorema de prepara¸c˜ao de Weierstrass existe u ∈ R invert´ıvel e ai ∈ MR0 ⊂ R tal que T (f ) · u = xn

r + a1· xn−1r + · · · + an. 2

Exemplo 1.24 Note que o polinômio f = x2y3+ 2xy2+ xy2 não é regular com rela¸cão a x ou y. Se consideramos o automorfismo

φ : C[[x, y]] −→ C[[x, y]] x 7−→ x + y

y 7−→ y

(24)

O estudo de um polinômio é mais simples do que o estudo de uma série de potências. Agora, dado f ∈ R\{0} não invert´ıvel em R, podemos fazer uma mudan¸ca de coordena-das para que possamos preparar f em um polinômio de Weierstrass.

1.3 Fatora¸

c˜

ao de S´

eries de Potˆ

encias

Defini¸cão 1.25 Um Pseudo-polinômio em xr é uma série de potências em R da forma

p(x1, · · · , xr) = xmr + a1xm−11 + · · · + am ∈ R0[xr]

tal que n > 1 e mult(ai) > 1.

Observe que todo polinômio de Weierstrass é Pseudo-polinômio.

Defini¸cão 1.26 Seja A um dom´ınio. Dizemos que um elemento a ∈ A\{0}, não in-vert´ıvel, é irredut´ıvel se existem b, c ∈ A tal que a = b · c então, b ou c é unidade.

Lema 1.27 Se f1, f2· · · , fssão polinômios mônicos em R0[xr] , então f1f2· · · fsé

Pseudo-polinômio (respectivamente polinômio de Weierstrass) se, e somente se, para cada i = 1, · · · , s, fi é Pseudo-polinômio (respectivamente polinômio de Weierstrass).

Demonstra¸c˜ao: Sejam f1 = xmr + a1· xm−1r + · · · + am e f2 = xnr + b1· xn−1r + · · · + bn

elementos de R0[xr], ent˜ao f1f2 = xrm+n+ c1· xm+n−1r + · · · + cm+n, onde ci =

X

j+k=i

aj· bk

com a0 = b0 = 1.

Se f1 e f2 são Pseudo-polinômios, isto é, para cada i = 1, · · · , s temos mult(ai) > 1

e mult(bi) > 1 ent˜ao,

mult(ci) = mult(ai+ ai−1b1+ · · · + a1bi−1+ bi)

> min{mult(ai), mult(ai−1b1), · · · , mult(bi)} > 1.

Logo, f1f2 ´e Pseudo-polinˆomio.

Da mesma forma, se f1 e f2 são polinômios de Weierstrass então f1f2 também é.

(25)

mult(f1) + mult(f2) = mult(f1f2) = m + n.

Como mult(f1) ≤ m e mult(f2) ≤ n, segue que ai(0) = 0 e bj(0) = 0 para todo

i = 1, · · · , m e j = 1, · · · , n.

Portanto, mult(ai) > 1 e mult(bj) > 1 para todo i = 1, · · · , m e j = 1, · · · , n. Logo,

f1 e f2 s˜ao Pseudo-polinˆomios.

Resta mostrar que se f1f2 é polinômios de Weierstrass, então f1 e f2 são polinômio

de Weierstrass.

Se f1f2 é polinômio de Weierstrass, então f1f2 é Pseudo-polinômio e, assim, f1 e f2

s˜ao Pseudo-polinˆomios o que implica que ai(0) = bj(0) = 0 para cada i = 1, · · · , m e

j = 1, · · · , n. Da´ı,

mult(f1) + mult(f2) = mult(f1f2) = mult(f1f2(0, · · · , xr)) = m + n.

Visto que mult(f1) 6 m e mult(f2) 6 n segue que mult(f1) = m e mult(f2) = n.

Da´ı, m = mult(f1) = mult(xmr + a1xrm−1+ · · · + am) implica que mult(aixm−ir ) > m

e mult(ai) > i.

Com racioc´ınio análogo segue que mult(bi) > i. Logo f1 e f2 são polinômios de

Weierstrass. 2

Lema 1.28 Seja f ∈ R0[xr] um Pseudo-polinômio. Então f é redut´ıvel em R se, e

somente se, f ´e redut´ıvel em R0[xr].

Demonstra¸c˜ao: Seja f = xm

r + a1xm−1r + · · · + am ∈ R0[xr] tal que mult(ai) > 1.

Suponha que f é redut´ıvel em R, isto é, f = f1f2 com f1, f2 ∈ R\{0} não invert´ıveis.

Como f é Pseudo-polinômio, então f é regular de ordem m em xr e, pelo resultado

anterior, f1 e f2 são regulares de ordens m1 e m2, respectivamente, com rela¸cão à xr.

Pelo Teorema de Weierstrass, existem u1 e u2 ∈ R invert´ıveis tais que f1u1 = h1 e

f2u2 = h2 ∈ R0[xr].

Assim,

(26)

Como f1 e f2 são Pseudo-polinômios em xr, então h1 e h2 são Pseudo polinômios.

Da´ı, f = h1(h2u−12 u −1

1 ), onde h1 e h2u−12 u −1

1 não são invert´ıveis. Logo, f é redut´ıvel em

R0_[x r].

Como R0[xr] ⊂ R0, ent˜ao a redutibilidade em R0[xr] implica na redutibilidade em R0.

Logo, f redut´ıvel em R0[xr] implica que f ´e redut´ıvel em R0.

2

Teorema 1.29 R é um dom´ınio de fatora¸cão única.

Demonstra¸c˜ao: Sejam R = K[[x1, x2, · · · , xr]] e f = amxmr + am+1xm+1r + · · · ∈ R,

n˜_{ao invert´ıvel, com mult(f ) = m ∈ N.}

Se r = 1 podemos reescrever f = xm_r · u onde u = am + am+1xr+ · · · ´e invert´ıvel.

Portanto, f = xm

r · u ´e uma decomposi¸c˜ao para f .

Suponha que R0 = K[[x1, x2, · · · , xr−1]] é dom´ınio de fatora¸cão única e vamos mostrar

que K[[x1, x2, · · · , xr]] tamb´em ´e.

Sejam f, g, h ∈ R0 com f irredut´ıvel tal que f divide gh.

Se g é invert´ıvel então f |h, isto é, h = f v para algum v ∈ R0. Analogamente se h é invert´ıvel então g = f v0 para algum v0 ∈ R0_.

Podemos supor que h e g são regulares com rela¸cão à xr, caso contrário faremos uma

mudan¸ca de coordenada.

Se h e g não são invert´ıveis, pelo Teorema da Prepara¸cão de Weierstrass temos que hu1 = xmr−1+ a1xm−1r−1 + · · · e gu2 = xnr−1+ b1xn−1r−1 + · · · .

Como f é irredut´ıvel em R0 temos por um resultado anterior que f é irredut´ıvel em R0[xr]. Além disso, pelo Lema de Gauss, R0[xr] é dom´ınio de fatora¸cão única e desta

forma todo elemento irredut´ıvel é primo; Contudo f |gh implica que f |g ou f |h, isto é, g = f v0 ou h = f v e, portanto, R é dom´ınio de fatora¸cão única. 2 Corolário 1.30 Seja f ∈ R0[xr] um Pseudo-polinômio (resp. polinômio de

Weiers-trass) com respeito à xr. Se a decomposi¸cão em fatores de irredut´ıveis em R é dada por

f = f1· · · fn, então podemos escolher uma decomposi¸cão onde fi é um Pseudo-polinômio

(27)

Demonstra¸cão: Seja f ∈ R0[xr] um Pseudo-polinômio. Como R0[xr] é dom´ınio de

fatora¸c˜ao ´unica, podemos decompor f = f1· · · fncomo produto de irredut´ıveis em R0[xr].

Pelo Lema 1.28 , segue que fi ´e irredut´ıvel em R para todo i ∈ {1, · · · , n}.

Além disso, como f é Pseudo-polinômio segue do Lema 1.27 que fié Pseudo-polinômio

para cada i ∈ {1, · · · , n}. 2

1.4 Teorema da Base de Hilbert-R¨

uckert

Defini¸cão 1.31 Um anel A é Noetheriano se todo ideal de A é finitamente gerado. Teorema 1.32 (Teorema da Base de Hilbert) Se A é Noetheriano, então A[x] é Noethe-riano.

Demonstra¸cão: Seja I um ideal de A[x]. Se I = 0 ou I = A acabou. Caso contrário, considere J o conjunto formado pelos coeficientes l´ıder dos elementos de I. É claro que J é um ideal de A e, como A é Noetheriano então J é finitamente gerado. Considere J =< a1, · · · , ar >.

Vamos denotar por ni e ai o grau do coeficiente l´ıder de fi, respectivamente.

Seja n = max{n1, · · · , nr} e considere Jm ⊆ A, m = 1, · · · , n, o ideal formado por

todos os coeficientes l´ıderes dos polinˆomios de I de grau menor ou igual a m.

Como Jm é ideal de A, então Jm=< am1, am2, · · · , amrm >, pois A é Noetheriano. Considere < f1, · · · , fr, f01, · · · , f0r0, · · · , fn1, · · · , fnrn >= I

0 _{e vamos mostrar que}

I = I0.

Temos que I0 ⊆ I. Suponha que existe, um polinômio de menor grau poss´ıvel, g ∈ I\I0, da seguinte forma, g = axd+ · · · ∈ I. Como c é o coeficiente l´ıder de g, então c ∈ J =< c1· · · , cr >. Da´ı c = b1c1 + · · · + brcr, com b0is ∈ A. Se d > n, então b1xd−n1f1+ · · · brxd−nrfr = b1xd−n1(a1xn1 + · · · ) + · · · + brxd−nr(arxnr + · · · ) = b1a1xd+ · · · + brarxd = (b1a1+ · · · + brar)xd+ · · · = axd_{+ · · ·}

(28)

Assim,

h = g − (b1xd−n1f1+ · · · brxd−nrfr) ∈ I,

com grau menor que d.

Se h /∈ I0_{, ent˜}_{ao temos um absurdo, pois ter´ıamos um polinˆ}_{omio de grau menor que}

o grau de g.

Se h ∈ I, então g ∈ I, e isto é uma contradi¸cão.

Por outro lado, se d < n então a ∈ Jd, isto é, c = b1ad1 + · · · + brdadrd e temos que b1xd−bd1fd1+ · · · + brdx d−b_drd_f drd = (b1cd1+ · · · + arcdrd)x d_{+ · · · ∈ I}0 . Considere h = g − b1xd−bd1fd1+ · · · + brdx d−b_drd_f drd ∈ I Se h ∈ I0 então temos uma contradi¸cão, pois

g = h + b1xd−bd1fd1+ · · · + brdx

d−b_drd

fdrd ∈ I. Se h /∈ I0 _{temos a contradi¸c˜}_{ao da minimalidade do grau d de g.}

Logo, I = I0.

Portanto A[x] ´e noetheriano. 2

Teorema 1.33 (Teorema da Base de R¨uckert) O anel R ´e Noetheriano.

Demonstra¸cão: Seja R = K[[x1, · · · , xs]]. Mostraremos por indu¸cão sobre s que R é

Noetheriano.

Como K[[x1]] ´e um dom´ınio de ideais principais segue que R ´e Noetheriano quando

s = 1.

Vamos supor que R0 = K[[x1, · · · , xs−1]] ´e Noetheriano e mostrar que R ´e

Noetheri-ano.

Seja I um ideal não nulo de R e tome f ∈ I\{0}. Podemos supor que f é regular com respeito à xr, caso contrário podemos fazer uma mudan¸ca de coordenadas visto que

(29)

Como R0 é Noetheriano por hipótese, então R0[xs] é Noetheriano e, assim,

IT R0_[x

s] =< g1, · · · , gm >, onde gi ∈ R para i = 1, · · · , m. Dado h ∈ I, pelo

Teo-rema da Divis˜ao existem q ∈ R e r ∈ R0[xs] tais que h = f q + r. Da´ı, r = h − f q ∈ I e,

consequentemente, r ∈ IT R0_[x s].

Assim, r = a1g1+ · · · + amgm, com ai ∈ R0[xr], para i = 1, · · · , m e h = f q + a1g1+

· · · + amgm ∈< f, g1, · · · , gm >.

Logo I =< f, g1, · · · , gm > e, portanto, R ´e Noetheriano. 2

1.5 Elimina¸

c˜

ao

Defini¸cão 1.34 Seja A um dom´ınio de fatora¸cão única e considere f = a0ym+ a1ym−1+

· · · + am e g = b0yn+ b1yn−1+ · · · + bn ∈ A[y]. Ent˜ao o resultante de f e g ´e um elemento

de A definido por: Ry(f, g) = detMf,g = det                     a0 a1 a2 · · · am 0 · · · 0 0 a0 a1 · · · am−1 am · · · 0 .. . ... ... . .. ... ... ... ... ... 0 · · · a0 · · · am b0 b1 b2 · · · bn−1 bn 0 · · · 0 0 b0 b1 · · · . . . bn−1 bn · · · 0 .. . ... ... ... ... ... ... ... ... 0 · · · b0 · · · bn                     m+n .

Observe que o produto dos elementos da diagonal principal de Mf,g ´e an0bmn, al´em

disso, se considerarmos os coeficientes a0_is e b0_js como vari´aveis, o resultante Ry(f, g) ´e

um polinômio bi-homogêneo de grau n com rela¸cão aos a0_is, e de grau m com rela¸cão aos b0_js.

Lema 1.35 Os polinômios f, g ∈ A[y] possuem fator comum não constante se, e somente se, existem p, q ∈ A[y]\{0}, com gr(p) < gr(f ) e gr(q) < gr(g), tais que qf = pg. Demonstra¸cão: Suponha que existe k ∈ A[y]\{0} tal que f = kp e g = kq para algum p, q ∈ A[y]. Então qf = qkp = gp.

(30)

Reciprocamente, se qf = pg com gr(p) < gr(f ) e gr(q) < gr(g) e f e g não possuem fatores em comum, então g|q. Mas isto não pode ocorrer pois gr(q) < gr(g).

Logo, f e g possuem termos n˜ao constantes em comum. 2

Proposi¸c˜ao 1.36 Sejam f = a0yn+ a1yn−1+ · · · + an e g = b0ym + b1ym−1 + · · · + bm

elementos de A[y]\A. Ent˜ao Ry(f, g) = 0 se, e somente se, a0 = b0 = 0 ou se f e g

possuem fatores comuns n˜ao constantes em A[y].

Demonstra¸cão: Se a0 = b0 = 0 então a primeira coluna da matriz Mf,g é zero e,

portanto, Ry(f, g) = 0.

Resta mostrar que se a0 6= 0 ou b0 6= 0 ent˜ao Ry(f, g) = 0 se, e somente se, f e g

possuem fatores comuns n˜ao constantes.

Pelo lema anterior, f e g possuem fatores comuns n˜ao constantes se, e somente se, existem p e q em A[y], com gr(q) < gr(g) e gr(p) < gr(f ), tais que f q = gp, ou equivalentemente:

0 = f (q0ym−1+ · · · + qm−1) + g((−p0yn−1) + · · · + (−pn−1))

= f q0ym−1 + · · · + f qm−1+ −gp0yn−1− · · · − gpn−1. (1.2)

Segue que, B = {f ym−1, f ym−2, · · · , f, gyn−1, · · · , g} ´e linearmente dependente sobre o corpo das fra¸c˜oes F de A.

Reescrevendo os polinômios de B na base canônica de Fn+m, então o determinante da matriz obtida é exatamente Ry(f, g).

Portanto, Ry(f, g) = 0 se, e somente se, f e g possuem termos comuns n˜ao constantes.

2

Corolário 1.37 Sejam f, g ∈ R[y] Pseudo-polinômios com respeito à indeterminada y. As séries f e g admitem um fator comum não invert´ıvel em R[[y]], se, e somente se, Ry(f, g) = 0.

Demonstra¸c˜ao: Sejam f, g ∈ R[y] Pseudo-polinˆomios com respeito a indeterminada y.

(31)

Se f e g admitem um fator comum não invert´ıvel em R[[y]], então possuem fator comum em R[y]. Pela proposi¸cão anterior segue que Ry(f, g) = 0.

Reciprocamente, se Ry(f, g) = 0, como a0 6= 0 e b0 6= 0, ent˜ao pela proposi¸c˜ao anterior

f = f1h e g = g1h, onde h ∈ R[y] não é invert´ıvel. Além disso, pelo Lema 1.27, e pelo

fato de f e g serem Pseudo-polinômios, então h é Pseudo-polinômio. Visto que R[y] é dom´ınio de fatora¸cão única podemos supor que h é irredut´ıvel em R[y] e, pelo Lema 1.28, h é irredut´ıvel em R[[y]] e portanto h é não invert´ıvel em R[[y]]. 2

Corol´_{ario 1.38 Seja A = C{x}, onde C ´e o corpo dos n´umeros complexos, e} x = (x1, · · · , xn−1), f = a0(x)yn+ · · · + an(x) e g = b0(x)ym+ · · · + bm(x) elementos de

C{x}[y] e seja U uma vizinhan¸ca de O em Cn−1, onde ai e bj convergem absolutamente

em U . Ent˜ao R(α) = 0 se, e somente se, ou a0(α) = b0(α) = 0, ou f (α, y) e g(α, y)

admitem ra´ızes comum em C, onde R(x) = Ry(f, g) e α ∈ U .

Demonstra¸c˜ao: Suponha que R(α) = Ry(f (α, y), g(α, y) = 0. Pela Proposi¸c˜ao 1.36,

a0(α) = b0(α) = 0 ou f (α, y) e g(α, y) possuem fatores comuns n˜ao constantes.

Se a0(α) = b0(α) = 0 o corol´ario ´e demonstrado.

Sen˜ao, existem f1(α, y), g1(α, y) e h(α, y) ∈ C[y] tais que f (α, y) = f1(α, y)k(α, y) e

g(α, y) = g1(α, y)k(α, y). Como C ´e algebricamente fechado e f (α, y) e g(α, y) possuem

fatores comuns n˜ao constantes, existe y0 tal que f (α, y0) = g(α, y0) = 0 e, portanto,

admitem ra´ızes comuns em C.

Reciprocamente, se a0(α) = b0(α) = 0, ent˜ao pela Proposi¸c˜ao 1.36, R(α) = 0.

Por outro lado, se f (α, y) e g(α, y) admitem ra´ızes em comum em C, então possuem fatores em comum em C[y], como C é um dom´ınio de fatora¸cão única então, pela

Pro-posi¸c˜ao 1.36, R(α) = 0. 2

Proposi¸cão 1.39 Se A é um dom´ınio de fatora¸cão única e f, g ∈ A[y]\A, então existem p, q ∈ A[y], com gr(p) < gr(f ) e gr(q) < gr(g), tais que

(32)

Demonstra¸c˜ao: Sejam f = a0yn+ a1yn−1+ · · · + an e g = b0ym+ b1ym−1+ · · · + bm

elementos de A[y]\A.

Se f e g possuem fatores não constantes em comum em A[y] então, pelo Lema 1.35, existem p e q ∈ A[y] que satisfazem qf + (−p)g = 0, com gr(q) < gr(g) e gr(p) < gr(f ). Além disso, pela Proposi¸cão 1.36, Ry(f, g) = 0 e portanto Ry(f, g) = qf + (−p)g.

Se f e g n˜ao possuem fatores n˜ao constantes em comum segue que Ry(f, g) 6= 0 e,

podemos escrever,                     a0 a1 a2 · · · am 0 · · · 0 0 a0 a1 · · · am−1 am · · · 0 : : : . .. : : : : : 0 · · · a0 · · · am b0 b1 b2 · · · bn−1 bn 0 · · · 0 0 b0 b1 · · · . . . bn−1 bn · · · 0 : : : : : : : : : 0 · · · b0 · · · bn                                         yn+m−1 yn+m−2 : yn yn−1 yn−2 : 1                     =                     ym−1_f ym−2_f : f yn−1_g yn−2_g : g                     . (1.3)

Substituindo a ´ultima coluna da matriz Mf,g pela coluna dos termos independentes

(1.3) obtemos a matriz: M =                     a0 a1 a2 · · · am 0 · · · ym−1f 0 a0 a1 · · · am−1 am · · · ym−2f : : : . .. : : : : : 0 · · · a0 · · · f b0 b1 b2 · · · bn−1 bn 0 · · · yn−1g 0 b0 b1 · · · . . . bn−1 bn · · · yn−2g : : : : : : : : : 0 · · · b0 · · · g                     .

Assim, pelo M´etodo de Crammer temos, 1 = detM

detMf,g

= detM Ry(f, g)

⇒ Ry(f, g) = detM.

Considere Ai o cofator de ym−if e Bj o cofator de yn−jg. Expandindo o determinante

(33)

detM = A1ym−1f + A2ym−2f + · · · + Amf + B1yn−1g + B2yn−2g + · · · + Bng

= (A1ym−1+ A2ym−2 + · · · + Am)f + (B1yn−1+ B2yn−2+ · · · + Bn)g

Tomando q = A1ym−1+ A2ym−2+ · · · + Am e p = B1yn−1+ B2yn−2+ · · · + Bn temos

Ry(f, g) = detM = qf + pg. 2

Observe que se f = a0(y − x1) · · · (y − xn) e g = b0(y − y1) · · · (y − ym) s˜ao elementos

de R00 = A[x1, · · · , xn, y1· · · , ym][y], então Ry(f, g) é um polinômio de R00.

Lema 1.40 O polinômio Ry(f, g) é homogêneo de grau nm em R00= A[x1, · · · , xn, y1· · · , ym],

onde n = gry(f ) e m = gry(g).

Demonstra¸c˜ao: Sejam f = a0(y − x1) · · · (y − xn) e g = b0(y − y1) · · · (y − ym) ∈ R00[y].

Considere S_i0s e S_j0s fun¸cões elementares simétricas de x0_is e y0_js respectivamente então,

Ry(f, g)(x, y) = a0 a0S1 a0S2 · · · a0Sn 0 · · · 0 0 a0 a0S1 · · · a0Sn−1 a0Sn · · · 0 : : : . .. : : : : : 0 · · · a0 · · · a0Sn b0 b0S10 b0S20 · · · b0Sm−10 b0Sm0 0 · · · 0 0 b0 b0S10 · · · . . . b0Sm−10 b0Sm0 · · · 0 : : : : : : : : : 0 · · · b0 · · · b0Sm0 = am₀ bn₀ 1 S1 S2 · · · Sn 0 · · · 0 0 1 S1 · · · Sn−1 Sn · · · 0 : : : . .. : : : : : 0 · · · 1 · · · Sn 1 S₁0 S₂0 · · · S_m−10 S_m0 0 · · · 0 0 1 S₁0 · · · . . . S_m−10 S_m0 · · · 0 : : : : : : : : : 0 · · · 1 · · · S_m0 . Assim,

(34)

Ry(f, g)(T x, T y) = am0 b n 0 1 T S1 T2S2 · · · TnSn 0 · · · 0 0 1 T S1 · · · Tn−1Sn−1 TnSn · · · 0 : : : . .. : : : : : 0 · · · 1 · · · Tn_S n 1 T S₁0 T2_S0 2 · · · Tm−1S 0 m−1 TmS 0 m 0 · · · 0 0 1 T S₁0 · · · . . . Tm−1_S0 m−1 TmS 0 m · · · 0 : : : : : : : : : 0 · · · 1 · · · Tm_S0 m Se multiplicarmos a linha l da matriz que nos d´a Ry(f, g)(T x, T y) por Tl−1, para cada

l ∈ {2, · · · m}S{m − 2, · · · , m + n}, ent˜ao o novo determinante ´e dado por TM_R

y(f, g),

onde M = (1 + · · · + (m − 1)) + (1 + · · · + (n − 1)).

Por outro lado, se multiplicarmos a coluna l da matriz que nos d´a Ry(f, g)(x, y) por

Tl−1_{, para cada l ∈ {2, · · · , m + n}, obtemos T}N_R

y(f, g)(x, y), onde N = 1 + · · · + (m +

n − 1). Da´ı,

TMRy(f, g)(T x, T y) = TNRy(f, g)(x, y),

como N − M = nm > 0, esta igualdade implica que

Ry(f, g)(T x, T y) = TN −MRy(f, g)(x, y).

Portanto, Ry(f, g) ´e homogˆeneo de grau mn. 2

Proposi¸c˜ao 1.41 Sejam K um corpo, f = a0yn+a1yn−1+· · ·+an e g = b0ym+b1ym−1+

· · · + bm elementos de K[y]\K. Considere E uma extens˜ao do corpo K que cont´em as

ra´ızes α1, · · · , αn e β1, · · · , βm de f e g, respectivamente, ent˜ao,

Ry(f, g) = am0 bn0 n Y i=1 m Y j=1 (αi− βj) = am0 n Y i=1 g(αi) = (−1)nmbn0 m Y j=1 f (βj).

Demonstra¸c˜ao: Considere f = a0(y − x1) · · · (y − xn) e g = b0(y − y1) · · · (y − ym)

(35)

Pela Proposi¸c˜ao 1.36, Ry(f, g) = 0 e, assim, (xi− yj) divide Ry(f, g) para todo i e j.

Al´em disso, xi− yj e xr− ys s˜ao coprimos sempre que (xi, yj) 6= (xr, ys) e disso segue que

P divide Ry(f, g), onde P = am₀ bn₀ n Y i=1 m Y j=1 (xi− yj).

O termo de menor grau em Ry(f, g) que cont´em somente as indeterminadas (y1, · · · , ym)

´ e am 0 S 01 m. Al´em do mais, P = am₀ bn₀ n Y i=1 m Y j=1 (xi− yj) = am₀ bn₀ n Y i=1 (xi− y1)(xi− y2) · · · (xi− ym) = am₀ n Y i=1 b0(xi− y1)(xi− y2) · · · (xi− ym) = am₀ n Y i=1 g(xi).

Por outro lado,

P = am₀ bn₀ n Y i=1 m Y j=1 (xi − yj) = am₀ bn₀ m Y j=1 (x1− yj)(x2− yj) · · · (xn− yj) = am₀ bn₀ m Y j=1 (−1)n(yj − x1)(yj− x2) · · · (yj − xn) = (−1)mnbn₀ m Y j=1 a0(yj − x1)(yj − x2) · · · (yj− xn) = (−1)mnbn₀ m Y j=1 f (yj).

O termo de menor grau em P = am 0

Qn

i=1g(xi) que cont´em somente as indeterminadas

y1, · · · , ym tamb´em ´e am0 S 0n 1 . Contudo, P = am₀ bn₀ n Y i=1 m Y j=1 (xi − yj) = am0 n Y i=1 g(xi) = (−1)mnbn0 m Y j=1 f (yj).

(36)

O resultado segue se substituirmos xi por αi e yj por βj. 2

Defini¸c˜ao 1.42 Dada a s´erie f =

∞ X i=0 X i1+i2=i ai1,i2x

i1_yi2 _{∈ K[[x, y]], definimos a derivada} da série f com rela¸cão à variável y por

Dy(f ) = ∞ X i=0 X i1+i2=i i2ai1,i2x i1_yi2−1

Defini¸cão 1.43 Seja A um dom´ınio de fatora¸cão única, f ∈ A[y] e fy a derivada de f

com rela¸c˜ao `a indeterminada y. Definimos o discriminante Dy(f ) de f como

Dy(f ) = Ry(f, fy).

Observe que se f ∈ A[y] é um polinômio de Weierstrass, então Dy(f ) = Ry(f, fy) 6=

0 se, e somente se, o ´unico fator em comum entre f e fy ´e unidade. Assim, como

f = fn1

1 · · · fsns e fy = n1· · · nsf1n1−1· · · fns −1

s segue que Dy(f ) 6= 0 se, e somente se,

n1 = n2 = · · · = ns = 1.

Defini¸c˜ao 1.44 Seja f ∈ A[y]. Dizemos que f ´e reduzido quando Dy(f ) 6= 0. Se

f = fn1

1 · · · fsns definimos a redu¸c˜ao de f como red(f ) = f1f2· · · fs.

Proposi¸c˜ao 1.45 Se K ´e um corpo e f = a0yn + · · · + an ∈ K[y]\K, onde as ra´ızes

α1, · · · , αn de f est˜ao contidas em K, ent˜ao

Dy(f ) = a2n−10

Y

i6=j

(αi− αj).

Demonstra¸c˜ao: Pela Proposi¸c˜ao 1.41 temos: Dy(f ) = Ry(f, fy) = an−10

n

Y

i=1

fy(αi).

Al´em disso, fy(αi) = a0Q_i6=j(αi− αj) e da´ı

Dy(f ) = an−10 n Y i=1 a0 Y i6=j (αi− αj) = an−10 an0 n Y i=1,i6=j (αi− αj) = a2n−1₀ n Y i=1,i6=j (αi− αj). 2

(37)

Cap´ıtulo 2

Curvas Alg´

ebricas Planas

Em geral a curva algébrica plana dada por f é definida como sendo o lugar geométrico dos pontos que satisfazem f (x, y) = 0. O polinômio f não fica bem determinado pela curva pois, podemos obter a mesma curva por polinômios diferentes. Por exemplo, f = 0 e f2 _{= 0 tem a mesma solu¸c˜}_{ao. Mais ainda, xy = 0 e xy}2 _{= 0 tˆ}_{em solu¸c˜}_{oes idˆ}_enticas.

Observe que nestes exemplos, os polinômios possuem os mesmos termos irredut´ıveis. Dito isso, podemos afirmar que dois polinômios em duas variáveis com coeficientes num corpo têm as mesmas solu¸cões se, e somente se, possuem os mesmos fatores irredut´ıveis? A resposta é “sim”, como vemos no próximo resultado.

Proposi¸cão 2.1 Se f e g são elementos de K[x, y], então f(x,y) e g(x,y) possuem as mesmas solu¸cões se, e somente se, têm os mesmos fatores irredut´ıveis.

Demonstra¸cão: Vamos mostrar que todo fator irredut´ıvel de f divide g em K[x, y]. Seja p ∈ K[x, y] um fator irredut´ıvel de f e note que, se (x, y) ∈ K2 que é raiz de p então também é raiz de g. Como p é irredut´ıvel em K[x][y] e K[x][y] ⊂ K(x)[y], então p ´

e irredut´ıvel em K(x)[y]. Suponha que mdc(p, g) = 1, ent˜ao existem a, b ∈ K(x)[y] tais que,

ap + bg = 1.

(38)

a0p + b0g = c.

H´a infinitos valores para x tais que c(x) = 0, por outro lado p(x, Y ) = 0 para um n´umero finito de valores de x e consequentemente o mesmo acontece para g(x, Y ), o que ´

e um absurdo. Logo, p divide g em K[x][y] e consequentemente em K[x, y]. 2 Observe que dadas duas curvas com mesmas solu¸cões então, pela proposi¸cão anterior, elas têm os mesmos fatores irredut´ıveis e, assim, elas só se diferenciam por uma unidade. Estudamos propriedades algébricas de f (x, y) como um elemento de K[[x, y]] visto que o estudo das singularidades de uma curva algébrica plana, ou uma curva anal´ıtica em C2_{, ´}_{e representada localmente por uma equa¸c˜}_{ao do tipo f (x, y) = 0.}

Dadas duas s´eries f, g ∈ R \ {0}, dizemos que f ∼ g se existe uma unidade u ∈ R tal que f = ug.

A rela¸cão ∼ é uma rela¸cão de equivalência e a classe de f ∈ R\{0}, denotada por (f ), é chamada de Curva Algébrica Plana.

Assim (f ) = (g) se, e somente se, existe uma unidade u ∈ R tal que f = ug.

Como a curva é uma classe de equivalência podemos representá-la por qualquer ele-mento da classe. As propriedades locais da curva algébrica (f ) e de seus representantes são as mesmas, assim, de agora em diante quando nos referimos a curva algébrica (f ) podemos nos referir como “a curva algébrica f ” ou “a curva algébrica determinada por f ”.

Defini¸cão 2.2 Uma curva algébrica plana (f ) é regular se mult(f ) = 1. Se mult(f ) > 1 a chamamos de singular.

Defini¸cão 2.3 Uma série f é redut´ıvel em R se existem fi, fj ∈ R, não associados e

com fi 6= fj, tais que f = fifj. Caso contr´ario, dizemos que f ´e irredut´ıvel.

Exemplo 2.4 A s´erie f = 2y +P∞

i=0(−i)

2_xyi+1 _´

e irredut´ıvel em C[[x, y]], pois f = y(2 +P∞

i=0(−i) 2_xyi_).

Exemplo 2.5 O polinˆomio g = −xy3 − y3 _{+ x}2 _{+ x ´}

e irredut´ıvel em C[[x, y]] mas é redut´ıvel em C[x][y], pois g = (x − y3_{)(x + 1) e (x + 1) ´}_{e unidade em C[[x, y]] mas não é}

(39)

Vamos ver a seguir que através de um K-automorfismo é poss´ıvel efetuar mudan¸cas de coordenadas em K[[x, y]] e algumas propriedades de curvas algébricas planas são preservadas.

Defini¸cão 2.6 Duas curvas algébricas planas (f ) e (g) são equivalentes, isto é, (f ) ∼ (g), se existe um K-automorfismo φ de K[[x, y]] tal que (φ(f )) = (g), isto é, existe uma unidade u ∈ K[[x, y]] tal que φ(f ) = u.g

Quando uma curva é equivalente a um polinômio de Weierstrass podemos supor que a curva é dada pelo polinômio de Weierstrass.

Curvas equivalentes preservam irredutibilidade, multiplicidade dentre outras propri-edades. Nos preocupamos com as propriedades de curvas algébricas planas irredut´ıveis que são invariantes pela a rela¸cão de equivalência.

Com rela¸cão a curvas equivalentes e regularidade segue a seguinte proposi¸cão: Proposi¸cão 2.7 Se (f ) e (g) são curvas regulares então (f ) ∼ (g).

Demonstra¸c˜ao: Sejam (f ) e (g) duas curvas regulares. Como mult(f ) = mult(g) = 1 ent˜ao f = ax + by + ... e g = cx + dy....

Assim, existem as seguintes possibilidades: a 6= 0 e c 6= 0, ou a 6= 0 e d 6= 0, ou c 6= 0 e b 6= 0, ou b 6= 0 e d 6= 0.

Se a 6= 0 considere o seguinte K-automorfismo:

φ : K[[x, y]] −→ K[[x, y]] x 7−→ f

y 7−→ y. Assim, φ(x) = f ou seja (x) ∼ (f ).

Analogamente se b 6= 0 temos (y) ∼ (f ), se c 6= 0 ent˜ao (x) ∼ (g) e, se d 6= 0 temos (y) ∼ (g). Al´em disso (x) ∼ (y).

Logo, (f ) ∼ (g).

Exemplo 2.8 Observe que verificar se duas curvas s˜ao equivalentes nem sempre ´e uma tarefa simples. Considere as curvas (f ) e (g) onde:

(40)

g = −8x3+ 16x4+ 24x2y + 9y2. ´

E dif´ıcil responder de imediato se (f ) é equivalente a (g) já que a única informa¸cão que temos é que mult(f ) = mult(g).

Mas (f ) ∼ (g) pois, se considerarmos,

φ : C[[x, y]] −→ C[[x, y]]

x 7−→ 2x

y 7−→ 4x2_{+ 3y}

teremos φ(f ) = u · g, onde u = 1.

Defini¸c˜ao 2.9 Seja (f ) uma curva alg´ebrica plana tal que f = fn+ fn+1..., chamamos

(fn) de cone tangente da curva (f ).

Observe que todo polinômio homogêneo com duas indeterminadas e coeficientes num corpo algebricamente fechado decompõe-se em fatores lineares, então podemos escrever

fn= s Y i=1 (aix + biy)ri, onde Ps

i=1ri = n e aibj− ajbi 6= 0 sempre que i 6= j.

O cone tangente de (f ) consiste nas formas lineares (aix + biy) com multiplicidade ri,

chamadas de retas tangentes de f .

Observe que se (f ) ´e regular, ent˜ao o cone tangente (f1) consiste em uma reta tangente

de multiplicidade 1.

Exemplo 2.10 Seja f (x, y) = 4y2_{− x}3_.

A forma inicial de f ´e f2 = 4y2 = (0x + 2y)2. O cone tangente da curva (f ) ´e (4y2)

com retas tangentes (2y) com multiplicidade 2. Exemplo 2.11 Considere g(x, y) = P∞

i=0(−1)

i_{(x + y)}i+3_. _{A forma inicial de}

f ´e f3 = (x + y)3, e o cone tangente ´e ((x + y)3), com retas tangentes (x + y) que

possuem multiplicidade 3.

(41)

2.1 Teorema de Newton-Puiseux

Seja K((x)) o corpo das fra¸c˜oes sobre K[[x]]. Dado h = f

g ∈ K((x)) \ {0}, visto que f = xn_{u e g = x}m_{v, com m, n ∈ N, u e v unidades em K[[x]], n´os temos que}

h = f g = xn_u xm_v = x n−m_uv−1 = xrw, onde r ∈ Z e w ´e unidade em K[[x]].

Assim, os elementos h de K((x)) s˜ao da forma:

a−mx−m+ a−m+1x−m+1+ · · · + a−1x−1+ a0+ a1x + a2x2+ · · · ,

onde m ∈ N e ai0s s˜ao elementos de K.

Os elementos de K((x)) são chamados de séries de potências formais de Laurent. Exemplo 2.12 Considere f = x3_{+ 2x + 7 ∈ C[[x]] e g = x}2_{+ 2x ∈ C[[x]]. Temos}

h = f g = x3+ 2x + 7 x2_{+ 2x} = 1(x3+ 2x + 7) x(x + 2) = x −1 (x2+ 2x + 7)(x + 2)−1. Vimos no exemplo 1.5 que

(x + 2)−1= ∞ X i=0 xi 2i+1, assim, h = x−1(x3+ 2x + 7)(1 2 + x 4 + x2 8 + · · · ). Portanto, h = 7 2x −1 + 11 4 + x + 15 16x 2 + 15 32x 3 + · · · .

De agora em diante considere char(K) = 0 e K((x)) o fecho alg´ebrico de K((x)). As ra´ızes da equa¸c˜ao yn _{− x = 0 est˜}_{ao contidos em K((x)) para todo n ∈ Z}∗

+,

consequentemente K((x)) deve conter os elementos da forma xn1, que apresentam as seguintes rela¸c˜oes:

(42)

ii) x(rnm)r = x m

n ∀m, n ∈ Z e n, r > 0.

Deste modo obtemos a extens˜ao K((x1n)) de K((x)).

Recordamos da Teoria de Galois, que se F/K é uma extensão de corpos, então o conjunto G(F/K) = {σ : F → F ; σ é K-automorfismo}, munido com a opera¸cão de composi¸cão, é um grupo, denominado grupo de Galois da extensão F/K.

Defini¸c˜ao 2.13 Seja F/K uma extens˜ao de corpos. Se o grupo de Galois G(F/K) ´

e finito e K = {a ∈ F, σ(a) = a, ∀σ ∈ G(F/K)}, então F/K é chamada extensão Galoisiana.

Denotamos Un o grupo multiplicativo das n-´esimas ra´ızes da unidade em K, isto ´e,

Un= {a ∈ F ; an= 1}.

O grupo multiplicativo (Un, ·) ´e c´ıclico gerado por < 1

1

n >. Um elemento gerador de Un é chamado raiz n-ésima primitiva da unidade. Além disso, K((x

1

n)) ´e K-isomorfo a K((x)), bastando considerar o seguinte K-automorfismo:

ϕ : K((x)) −→ K((x1n)) x 7−→ x1n.

.

Temos do Corol´ario 1.15 que, para qualquer K-automorfismo σ de K((xn1)) temos, σ(xn1) = x 1 nu(x 1 n), onde u(x 1 n) ∈ K[[x 1 n]] ´e unidade.

Lema 2.14 A extens˜ao de corpos K((xn1))/K((x)) ´e finita e galoisiana, com o grupo de Galois isomorfo ao grupo Un.

Demonstra¸c˜ao: Seja G = G(K((xn1))/K((x))) e σ : K((x 1

n)) → K((x 1

n)) um K((x))−automorfismo de G. Ent˜ao existe bσ(x

1 n) ∈ K[[x 1 n]] tal que σ(x 1 n) = b_σ(x 1 n)x 1 n e, assim, bσ(x 1 n) n x = σ(xn1)n= σ(x) = x e desta forma b_σ(x 1 n) n = 1 e bσ ∈ Un.

Para mostrar que G ´e isomorfo a Un, defina:

f : G −→ Un

σ 7−→ bσ

(43)

Dados x1n ∈ K((x 1 n)) e σ, ρ ∈ G, então x1nb_σ◦ρ(x 1 n) = σ ◦ ρ(x 1 n) = σ(ρ(x 1 n)) = σ(b_ρ(x 1 n)x 1 n) = σ(b_ρ(x 1 n))σ(x 1 n) = bρ(x 1 n)b_σ(x 1 n)x 1 n = b_ρb_σ(x 1 n)x 1 n e, portanto, f é homomorfismo. Além disso, dado P aix

i n ∈ K((x 1 n)) suponha f (σ) = f (ρ). σ(Xaix i n) = X σ(ai)σ(x i n) = X aiσ(x i n) = X aibσ(x i n)x i n = Xaibσ(x i n)x i n = X aiρ(x i n) = ρ( X aix i n).

Segue que f é injetora e, da maneira que foi definida f , segue que f é sobrejetora e, portanto, f é um isomorfismo.

Considere K((xn1))G = {a ∈ K((x 1

n)); σ(a) = a, ∀σ ∈ G} e vamos mostrar que K((x1n))G= K((x)).

Sabemos que K((x)) ⊂ K((xn1))G, resta mostrar que K((x 1

n))G ⊂ K((x)). Suponha que para todo a ∈ Un, dado

X i≥i0 bix i n ∈ K((x 1 n)), para σ ∈ G temos, X i≥i0 bix i n = σ( X i≥i0 bix i n) = X i≥i0 biσ(x i n) = X i≥i0 biaix i n. Assim, bi = biai para todo i ≥ i0.

Se n - i, como a ∈ Un, ent˜ao bi = 0, pois bi(1 − ai) = 0.

Se n | i ent˜ao biaix i n ∈ K((x)). Logo, X i≥i0 bix i n ∈ K((x)) e, portanto, K((x1n))G= K((x)). 2 Contudo temos que que K((xn1)) ⊂ K((x)) ⊂ K((x)).

Defini¸c˜ao 2.15 Denotamos por K((x))∗ a uni˜ao de K((xn1)) para todo n ∈ N \ {0}, isto ´

e,

K((x))∗ = [

n∈N

(44)

Observe que os elementos de K((x))∗ s˜ao da forma α = b1x p1 q1 _{+ b}₂_xp2q2 _{+ · · · , onde} bi ∈ K, pi e qi ∈ Z∗ com qi > 0 e pi qi > pi+1

qi+1 com i ∈ N. Al´em disso

p_i qi, i ∈ N ∗ admite denominador comum. Se b1 6= 0, ent˜ao mult(α) = p1 q1

e, como demonstrado anteriormente, dados α e β ∈ K((x))∗, temos:

i) mult(αβ) = mult(α)mult(β);

ii) mult(α + β) ≥ min{mult(α), mult(β)} e a igualdade vale quando mult(α) 6= mult(β);

iii) mult(0) = ∞.

Defini¸c˜ao 2.16 Denotamos por K[[x]]∗ a uni˜ao de K[[x1n]] para todo n ∈ N \ {0}, isto ´

e,

K[[x]]∗ = [

n∈N

K[[xn1]].

Os elementos de K[[x]]∗ s˜ao da mesma forma que os elementos de K((x)), com mult(α) ≥ 0.

Lema 2.17 K((x))∗ ´e subcorpo de K((x)).

Demonstra¸cão: De fato, 0, 1 ∈ K((x))∗ e dados f e g elementos de K((x))∗, então f =Pn i=0aix i n ∈ K((x 1 n)) e g =Pn j=0bjx j m ∈ K((x 1 m)). Além disso K((xn1)) ⊂ K((x 1 m.n)) e K((x 1 m)) ⊂ K((x 1 m.n)), desta forma, f + g, f g e f g−1 são elementos de K((xmn1 )) ⊂ K((x))∗ e, portanto, K((x))∗ é subcorpo de K((x)). 2

Teorema 2.18 (Teorema de Newton-Puiseux) Temos que K((x)) = K((x))∗. Demonstra¸c˜ao: Se mostrarmos que K((x))∗ ´e alge1bricamente fechado teremos que K((x)) = K((x))∗.

Vamos mostrar que dado p ∈ K((x))∗[y], com grau maior ou igual a dois, ent˜ao p ´e redut´ıvel em K((x))[y].

(45)

Seja p(x, y) = yn+ a1yn−1+ · · · + an∈ K((x))∗[y] com gry(p) ≥ 2.

Tome o seguinte K((x))∗-isomorfismo:

φ : K((x))∗[y] → K((x))∗[z] y 7→ z − n−1a1(x)

. Usando o binˆomio de Newton temos,

q(x, z) = φ(p(x, y)) = (z − a1 n) n_{+ a} 1(z − a1 n) n−1_{+ · · · + a} n = n X k=0 (−1)k n! k!(n − k)!z n (a1 n) n−k + n−1 X k=0 (−1)k (n − 1)! k!(n − k − 1)!z n−1 (a1 n) n−k−1 + · · · = zn− nz n−1_a 1 n + · · · + a1(z n−1_{− (n − 1)z}n−2 a1 n − 1 = zn+ b2(x)zn−2+ · · · + bn(x).

Com esta mudan¸ca de variáveis eliminamos o termo de grau n−1 no polinômio p(x, y) e obtemos o polinômio q(x, z) ∈ K((x))∗[z].

Se bi(x) = 0, para todo i = 2, · · · , n, ent˜ao q(x, z) = zn ´e redut´ıvel em K((x))∗[z] e,

portanto, p ´e redut´ıvel em K((x))∗[y].

Por outro lado, se bi(x) 6= 0, para algum i ∈ {2, · · · , n}, faremos uma nova mudan¸ca

de vari´aveis e transformaremos os elementos de K((x))∗[z] em elementos de K((w))∗[z]. Considere mult(bi(x)) = ui e u = min{u_ii, 2 ≤ i ≤ n}.

Dado r ∈ N tal que u = ur

r , considere o seguinte isomorfismo de K-´algebras. ϕ : K((x))∗[z] → K((w))∗[z]

x 7→ wr

(46)

Temos que ϕ preserva o grau do polinˆomio em z, al´em disso, h(w, z) = w−nur_{ϕ(q(x, z)) = w}−nur_q(wr_{, zw}ur₎ = w−nur_(zn_wnur _{+ b} 2(wr)zn−2wur(n−2)+ · · · + bn(wr)) = zn+ b2(wr)zn−2w−2ur + · · · + w−nurbn(wr) = zn+ c2(w)zn−2+ · · · + cn(w) = zn+ n X i=2

ci(w)zn−i, onde ci(w) = bi(wr)w−iur.

Note que ui i ≥

ur

r , para todo i ≥ 0 e disso, segue que

mult(ci) = mult(bi(wr)) + mult(w−iur) = rui− iur ≥ 0.

Quando i = r temos mult(cr) = 0, consequentemente cr(0) 6= 0 e, desta forma,

ci(w) ∈ K[[w]]∗.

Ent˜_{ao existe k ∈ Z}∗₊ tal que

h(wk, z) = zn+

n

X

i=2

ci(wk)zn−i ∈ K[[w]][z].

Afirma¸c˜ao: h(0, z) tem pelo menos duas ra´ızes distintas.

De fato, suponha que h(0, z) tenha exatamente uma raiz α. Ent˜ao h(0, z) = (z − α)n = zn− nαzn−1_{+ · · · + α}n_.

Mas h(0, z) não possui termos de grau n − 1, ou seja, nα = 0, isto é, char(K) = n o que é um absurdo pois estamos trabalhando com char(K) = 0.

Logo h(0, z) tem pelo menos duas ra´ızes distintas, ou seja, h(0, z) = p(z)q(z), onde p(z) e q(z) ∈ K[z]

Agora, pelo Lema de Hensel (Lema 1.14), existem dois polinˆomios unicamente deter-minados h1(w, z), h2(w, z) ∈ K[[w]][z] com grz(h1) ≥ 1 e grz(h2) ≥ 1 tais que,

h(wk, z) = h1(w, z)h2(w, z).

Como h(w, z) = w−nur_{ϕ(q(x, z)) ent˜}_ao,

ϕ(q(x, z)) = wnur_{h(w, z) = w}nur_h 1(w 1 k, z)h 2(w 1 k, z).

(47)

Al´em disso, ϕ−1(w) = x1r assim, q(x, z) = ϕ−1(wnur_h 1(w 1 k, z)h 2(w 1 k, z) = ϕ−1(wnur_)ϕ−1_(h 1(w 1 k, z))ϕ−1(h 2(w 1 k, z)) = xnurr ϕ−1(h 1(w 1 k, z))ϕ−1(h 2(w 1 k, z))

Logo, q(x, z) ´e redut´ıvel em K((x))∗[z] e, portanto, K((x))∗´e algebricamente fechado. 2

2.2 Extens˜

oes de Corpos das S´

eries de Laurant

Vimos que o grupo de Galois da extensão K((xn1))/K((x)) é isomorfo a U_nentão, dados α =X i≥i0 bix i n ∈ K((x 1 n)) e ρ ∈ U

n, definimos a seguinte a¸c˜ao:

ρ ∗ α =X i≥i0 bi(ρx 1 n)i = X i≥i0 biρix i n. (2.1)

Lema 2.19 Seja α ∈ K((x))∗\ K((x)) e n = min{m; α ∈ K((xm1))}. Considerando α um elemento de K((xn1)) ent˜ao, para todo ρ, θ ∈ U_n, com ρ 6= θ, temos θ ∗ α 6= ρ ∗ α. Demonstra¸c˜ao: Suponha que existam ρ, α ∈ Un, com ρ 6= α, tal que θ ∗ α = ρ ∗ α.

Dado α = ϕ(x1n) = X i≥i0 bix i n ∈ K((x 1 n)), com n ≥ 2, temos θ ∗ α = ρ ∗ α ⇔ ϕ(θxn1) = ϕ(ρx 1 n) ⇔ θi_x_ni _{= ρ}i_x_ni_{, sempre que b} i 6= 0

⇔ θi _{= ρ}i_{, para todo i tal que b} i 6= 0.

Afirma¸c˜ao: Para cada i tal que bi 6= 0 temos que mdc(i, n) = 1.

De fato, seja di = mdc(n, i) para os quais bi 6= 0 e considere d = min{di}.

Se d 6= 1 ent˜ao d|n e d|i, da´ı bix

i n = b_ix i0 n0, onde n0 = n d. Assim, α ∈ K((x 1 n0)). Mas n0 < n_d < n = min{q; α ∈ K((x1q))}, o que ´e um absurdo.

Assim, para cada bik

0

s 6= 0 existem uk0s ∈ Z e v ∈ Z que satisfazem:

(48)

e

θ = θ1 = θnv· θu1i1_{· · · · θ}unin _{= ρ}nv_{· ρ}u1i1 _{· · · · ρ}unin _{= ρ} mas isso ´e um absurdo pois, por hip´otese, θ 6= ρ.

2 A seguir descrevemos as principais extensões algébricas de K((x)) que são obtidas pela adjun¸cão de K((x)) com um elemento algébrico α.

Pelo Lema 3.7 da referˆencia [7] temos K((x))(α) = K((x))[α] = {p(α); p ∈ K((x))[y]}. Teorema 2.20 Dado α = ϕ(xn1) ∈ K((x))∗\K((x)), onde n = min{q ∈ N; α ∈ K((x1q_{))} ent˜}_ao: i) K((x))[α] = K((x1n)); ii) g(x, y) = n Y i=1

(y − ϕ(ρix1n)) é o polinômio minimal de α sobre K((x)), onde ρ é um gerador fixado do grupo Un;

iii) g(x, y) = yn+ a1yn−1+ · · · + an(x) ∈ K((x))[y], onde

mult(ai(x) ≥ i · mult(α) = i · mult

an(x)

n

.

A igualdade é válida quando i = n. Se mult(α) ≥ 1, então g(x, y) ∈ K[[x]][y] é um polinômio de Weierstrass e, se mult(α) ≥ 0, então g(x, y) ∈ K[[x]][y] é um Pseudo-polinômio.

Demonstra¸c˜ao:

i) Para mostrar que K((x))[α] = K((x1n)) vamos mostrar que: G0 = G(K((xn1))/K((x))[α]) = (1). .

Considere G = G(K((xn1))/K((x))).

Afirma¸cão: G0 = {g ∈ G; g ∗ α = α}, onde ∗ é definida como em (2.1). De fato, seja σ ∈ G0. Então σ : K((x1n)) −→ K((x

1

n)) e ´e K((x))[α]-automorfismo, isto ´e, σ(p) = p para todo p ∈ K((x))[α]. Em particular, σ fixa os elementos de K((x)) ⊂