CA DE RN O DE CON SULTA

1. OBJETIVO

Colocar à disposição dos candidatos, às provas teóricas em controle dimensional; um conjunto de formulas matemáticas, relações trigonométricas, desenhos, convenções de representações, e unidades de medidas; para consulta.

2. TERMINOLOGIA

- VIM – Vocabulário Internacional de Metrologia (Portaria INMETRO 029 De 10/03/1995).

3. ESTRUTURAS OCEÂNICAS

São estruturas tubulares de aço utilizados para a produção de petróleo e gás.

Possuem diversos componentes que, após montagem, formam subconjuntos conforme mostrados nas figuras 1, 2 e 3.

Componentes Tubulares de uma Estrutura Oceânica (Junta Tubular Típica)

Figura 1

Componentes Tubulares de Estrutura Oceânica

9 3 7 7 6 8 1 1 1 1 3 e 5 1 1 4 2 5

Figura 2

Tipos de Juntas Soldadas

1 2 3 4 Figura 3 4. DESENHOS ISOMÉTRICOS

Os isométricos são desenhos feitos em perspectiva isométrica, para representar uma tubulação individual ou para duas ou três tubulações próximas que sejam interligadas.

É por meio dos desenhos isométricos que se faz o levantamento de materiais necessários para a construção de tubulações. Por essa razão, todo componente de tubulação deve ser mostrado individualmente.

S e g u r a n ç a V á lv u la d e V á lv u la S o le n o id e V á lv u la d e 3 V ia s V á lv u la c o m v o la n t e p a r a c o r r e n t e s E je t o r P u r g a d o r F ilt r o " Y " B o c a l d e v a s o o u e q u ip a m e n t o L ig a ç ã o c o m s o ld a d e t o p o L ig a ç ã o c o m r o s c a o u s o ld a d e e n c a ix e Figura 4

Tubulações com rosca ou com solda de encaixe

Tubulações com solda de topo

1

2

3

4

21

18

19

8

9

10

6

7

5

11

12

13

16

15

₁₄

26

17

20 23 22 24 25 Figura 6

4.2 Isométrico 3212 280 68 40 35 40 78 18₀ 30 22 300 28₀ 40 55 80 15 77 77 25 ₅₅ 40 95 190 90 18 95 125 125 250 30 32 19 75 3" 0 3 06 B P 3 4 L S CA BO UP . 20 20

LI

N

H

A

S

:

3"

0

3

04

B

3"

0

3

31

B

3"

0

3

06

B

3"

0

3

33

B

3"

0

3

34

B

IS

O

M

É

T

R

IC

O

3

21

2

C B A E D Figura 7

4.3 Isométrico 3216 C A D B 2 7 0 20 25 6 5 2 0 25 20 70 2 4 5 6 5 2 0 IS O M É T R IC O 3 12 6 3" E 3 02 A 2" V 3 02 B v LI N H A S : 90 92 Figura 8

5. PLANTAS DE TUBULAÇÃO

As plantas de tubulação são desenhos feitos em escala, contendo todas as tubulações de uma determinada área. A figura 13 é um exemplo de Planta de Tubulação.

Em todas as tubulações devem ser indicadas as suas identificações completas e o seu sentido de fluxo. As válvulas e acessórios de tubulação são representados por convenções especiais, figura 4, e devem ser, tanto quanto possível, desenhados em escala. Devem ser mostradas também as posições das hastes das válvulas, para cima ou para os lados.

Nas plantas de tubulação devem figurar as elevações de todas as tubulações, elevações de linhas de centro dos equipamentos, bem como de pisos, plataformas etc. e também as distâncias entre tubos paralelos e todas as cotas importantes da tubulação; localização de mudanças de direção de tubulações, derivações, curvas de expansão, suportes etc.

5.1 Convenções de Representação da Direção das Tubulações em Plantas

A B C Figura 9 A B C Figura 10 C B A Figura 11

5.2 Convenções de Fluxograma VÁLVULA DE GAVETA VÁLVULA GLOBO VÁLVULA MACHO VÁLVULA ESFERA VÁLVULA AGULHA VÁLVULA BORBOLETA OU VÁLVULA DE RETENÇÃO SENTIDO DE FLUXO VÁLVULA DE SEGURANÇA OU DE ALÍVIO

VÁLVULA ACIONADA POR DIAFRAGMA DE AR

VÁLVULA ACIONADA POR ÊMBOLO

VÁLVULA ACIONADA POR MOTOR

VÁLVULA DE CONTROLE MANUAL

CRUZAMENTOS NÃO CONECTADOS

REDUÇÃO

FLANGE COM PLACA DE ORIFÍCIO

TAMPÃO FLANGE CEGO

RAQUETA FIGURA "8" OU LINHAS COM AQUECIMENTO

LINHA DE AR COM INSTRUMENTOS

FILTRO DE LINHA

PURGADOR DE VAPOR

JUNTA DE EXPANSÃO

CONEXÃO PARA MANGUEIRA

EJETOR INÍCIO FINAL DO SISTEMA PROCESSO OU DO TEMPERATURA 300°C 50 m /h VAZÃO DE GÁS 20 _PRESSÃO Kg/cm BOMBA CENTRÍFUGA BOMBA VOLUMÉTRICA COMPRESSOR FLUXO DE CASCO FLUXO NOS TUBOS TROCADOR DE CALOR

FORNO

VASO VERTICAL

VASO HORIZONTAL

TORRES DE BANDEJAS OU RECHEIOS (Numerar as bandejas de baixo para cima) 1 11 1 3 25 TANQUES ATMOSFÉRICOS Figura 12

5.3 Planta de Tubulação C C C C C C C 7 A _ 1 9 11 13 8 10 12 14 F 0 S _ 10 P V _ 8 S _ 10 S _ 10 S _ 10 P V _6 P V _7 P V _5 P V _4 G ..1 B_3 3 B EL. 1 .05 E. 5 86 .0 0 EL. 1 .05 B_3 2 A EL. 1 .05 B_3 2 B EL. 1 .05 EL. 1 .10 B_3 4 A B_3 4 B EL. 1 .10 E L. 0 .5 0 3" E 3 04 A 3" O 3 15 B .20 3 EL. ÁR EA 32 ÁR EA 34 3" O 3 15 B .20 3 EL. EL. 3 .20 4" O 3 11 B 3" O 3 27 B .20 3 EL. Á R E A 3 4 3" O 3 27 B .20 . 3 EL EL . 3 .20 4" O 3 24 B N _ 1 04 4. 50 4 0 40 1 40 75 35 45 8 0 70 50 50 EL. 3 .00 3" O 3 26 B ÁR EA 3 1 3" O 3 27 B 3" O 3 15 B 3" O 3 18 B 4" O 3 13 B EL. 3. 00 25 95 45 20 55 30 115 32 3" E 3 04 A E L . 3 .2 0 3" O 3 18 B 4" O 3 14 A 26 22 E L. 2 .8 0 E L. 3 .2 0 2. V 3 03 B v 3" O 3 15 B 4" O 3 11 B 3" O 3 16 B 25 175 127 70 93 92 3" O 3 03 A 127 2 5 1 9 4" O 3 12 B 28 22 E L. 3 .2 0 E L. 2 .8 0 E L. 3 .2 0 335 70 2. V 3 06 B v 93 92 S _ 10 28 22 120 3" O 3 21 B 4" O 3 24 B EL . 3 .00 3" O 3 28 B 4" O 3 25 B E L. 2 .8 0 3" E 3 05 A E L. 2 .8 0 150 28 22 S _ 7 S U C Ç Ã O E D E S C A R G A ( T ÍP IC O ) LI M IT E N O R T E N _ 1 05 3. 50 LIM IT E LE ST E E. 6 04 .00 1 1/ 2" A R S E R V IÇ O 4" V 30 1 B v 2" V 3 55 B 4" E 3 01 A 2" C 3 01 C 6" R 3 08 C 6" R 3 01 C 1 1/ 2" Á G U A S E R V IÇ O EL. 3. 00 .50. 3 EL EL. 3 .60 25 7 9 11 13 8 14 12 10 2" C 3 01 C 4" R 3 02 C 4" R 3 03 C 2" O 3 55 B 4" R 3 05 C 4" R 3 06 CER S AR 1" VIÇ O 1" AG UA S ER VIÇ O 3/4 " V AP OR S EV IÇ O EL . 3 .70 E L. 9 .0 0 E L. 3 .8 5 4" X 2 " R ed . 4" X 2 " R ed . E L. 9 .0 0 E L. 3 .8 5 I N S T R U M E N T O S G ..1 3" E 3 05 A G .1 G .2 3" E 3 04 A E L. 3 .8 5 2" V 3 03 B v E L. 3 .8 5 E L. 3 .8 5 3 " E 3 0 3 A 2" V 3 06 B v E L. 3 .8 5 E L. 3 .8 5 3" E 3 05 A 35 1 10 20 15 10 30 5 11 5 1 05 3 0 60 20 7 0 30 24 4 30 55 70 20 15 20 15 Á G U A P / S A LA N O R T E Figura 13

6. VASOS DE PRESSÃO E TROCADORES DE CALOR

Vasos de Pressão são reservatórios utilizados em refinarias, unidades petroquímicas, terminais, estações de dutos, estações de produção e outras instalações similares. Entende-se como vaso de pressão todos os reservatórios de qualquer tipo, dimensões ou finalidade, não sujeito à chama, que contenham quaisquer fluídos em pressões manométricas iguais ou superiores a 103 kPa (1,05 kgt/cm2) ou submetido à pressão externa.

Tocador de Calor Tipo AES

34 12 35 35 10 3 34 5 1 36 4 3 34 5 31 6 34 12 29 7 8 27 28 18 36 32 36 9 15 16 33 17 13 11 Figura 14

Trocador de Calor Tipo BEM 32 3 2 3 6 32 8 7 37 27 28 14 12 34 2 5 6 33 37 12 34 9 Figura 15

Vaso de Pressão – ESFERA 3 1 2 6 4 5 Figura 16

7. TOPOGRAFIA

Medida direta de distâncias – Erros. Erros Sistemáticos

Estão descritos nos quadros a seguir:

L _h S ERRO ABSOLUTO: S = - h² 2.L S PR = S ERRO RELATIVO: = - h² 2.L² h h S d ERRO RELATIVO: 2.L S = - (d - d ) ERRO ABSOLUTO: d2 1 d 1 2 2 1 S = - (d + d ) ² 2.L² d S

d = DESVIO DO ALINHAMENTO + À DIREITA: - À ESQUERDA: h = DESNIVEL VERIFICADO

8.1.1 - ERRO DE DESNÍVEL

ERRO ABSOLUTO: S = L . .(T - To) S S = ERRO RELATIVO: t t f ERRO RELATIVO: S .E S = L.(F - Fo ) ERRO ABSOLUTO: = (F - Fo ) S L S T = TEMPERATURA DA FITA EM ºC T = TEMPERATURA DE AFERIÇÃO_a = COEFICIENTE DE DILATAÇÃO: AÇO COMUM : 1,2 x 10 -5 -6 AÇO INVAR : 1,0 x 10 .(T - To) E = MÓDULO DE ELÁSTICIDADE a S = SEÇÃO DA FITA = 2,5 A 6 mm² F a = TENSÃO DE AFERIÇÃO S L S AÇO INVAR ~ 1 500 000 Kg/ cm² AÇO COMUMM 2 100 000 Kg/ cm² sf S .E S L F F

P = PESO DA FITA POR METRO F = TENSÃO APLICADA sc S ERRO ABSOLUTO: = - L . P . L ² F ERRO RELATIVO: c S 24 24 F = - 1 . P . L ²

TRENA INCLINADA: s j = s. cos.² j 6.3 - EFEITO DA TEMPERATURA 6.4 - EFEITO DA TRAÇÃO 6.5 - EFEITO DA CATENÁRIA M = m . t . t t Figura 17

4 .1 4.2 4.3 4.4 FIGURA 18 5.1 5.2 5.3 5.4 FIGURA 19 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 FIGURA 20 1.1) 1.2) 1.3) 1.4) FIGURA 21

2.1) 2.2) 2.3) 2.4) FIGURA 22 3.1) 3.2) 3.3) 3.4) FIGURA 23 Taqueometria: Distância horizontal (DH):

(

−

)

⋅

2

θ

+

(

+

)

⋅

cos

θ

⋅

=

FS

FI

sen

f

c

i

f

DH

sendo:

100

=

i

f

, a constante multiplicativa;

(

FS

−

FI

)

=

I

_{, a diferença entra as leituras superior e inferior;}

(

f

+ c

)

=

0

_{, a constante aditiva.} temos:

θ

2

100

I

sen

DH

=

⋅

⋅

Distância vertical (DV):

(

FS

FI

)

sen

θ

θ

(

f

c

)

sen

θ

i

f

DV

=

⋅

−

⋅

⋅

cos

+

+

⋅

sendo:

100

=

i

f

, a constante multiplicativa;

(

FS

−

FI

)

=

I

_{, a diferença entra as leituras superior e inferior;}

(

f

+ c

)

=

0

_{, a constante aditiva.} temos:

θ

θ

cos

100

⋅

⋅

⋅

=

I

sen

DV

_ou

DV

=

50

⋅

I

⋅

sen

( )

2

θ

8. FORMULÁRIO PARA CÁLCULO DE DILATAÇÃO TÉRMICA DE MATERIAIS

Fórmula para Cálculo de Dilatação Térmica de Materiais

∆L = Lo·α·∆t onde: L = comprimento final do material Lo = comprimento inicial do material

α = coeficiente de dilatação linear expresso em comp./°c ∆t = t final - t inicial

A conversão entre °C, °F, e °K é dada por: °C/5 = (°F-32)/9 e °K = °C + 273

Tabela 1 - Tabela de Massa Específica de Materiais

MATERIAL MASSA ESPECÍFICA P = kg / dm3 MATERIAL MASSA ESPECÍFICA P = kg / dm3 Aço Aço Fundido Aço Rápido Alumínio Fundido Alumínio Laminado Antimônio Argila Berílio Bronze Fosforoso Cádmio Chumbo Cobalto Cobre Fundido Cobre Laminado Cobre Puro Concreto Armado Cromo Diamante Duralumínio 7,85 7,85 8,4 a 9,0 2,5 2,7 6,67 1,8 a 2,5 1,85 8,8 8,64 11,34 8,8 8,8 8,5 8,93 2,4 6,7 3,5 2,8 Estanho Fundido Estanho Laminado Ferro Fundido Latão Fundido Latão Laminado Madeira (pinho) Magnésio Magnésio em Liga Manganês Mercúrio Molibdênio Níquel Ouro Platina Prata Tungstênio Vanádio Zinco Fundido Zinco Laminado 7,2 7,4 7,25 8,5 8,55 0,65 1,74 1,8 7,3 13,6 10,2 8,8 19,33 21,4 10,5 19,1 18,7 6,86 7,15

Fórmulas para o Cálculo de Área de Figuras Planas Quadro 1 2 A = ( a . h ) + ( b . h ) + ( b . H ) A = A + A + A 1 2 3 3 2 1 A 1 A 2 3 A QUADRADO PARALELOGRAMO RETÂNGULO TRIÂNGULO RETÂNGULO TRIÂNGULOS QUAISQUER QUADRILÁTEROS QUAISQUER TRAPÉZIO POLÍGONO QUALQUER Área = A A = L² d = L . 2 - L = A = 0,7071d ~ ~ 1,414 . L A = a . b a = A b a b = A A = b . h 2 A = ( H + h ) . a + ( b . h ) + ( C . H ) 2 A = a . b A = a . d² - a² A = b . d² - b² b a = A b = A a d = a² + b² c = a² + b² 2 A = a . b a = c² - b² b = c² - a² 2 A = ( a + b ) . h Quadro 2

b B h TRAPÉZIO 2 S = b + B =_h β d r 4 S = d² = r² = C r = 0,7854 d² C = d = 2 r CIRCUNFERÊNCIA

π

π

CÍRCULO

π

π

2 h S = 1 3 = 0.433 = TRIANGULO EQUILÁTERO 4 2 2 3 = 1 h² = 0.578 h² = 1.115 h = = = 60º β h = 1 3 = 0.866 2 h ₁ 2 h d a _b c D QUADRILÁTERO 2 S = D h + h2 2 h h b b PARALELOGRAMO S = b . h S = b . h RETÂNGULO D _d D d 2 S = 2 LOSANGO = sen h R TRIÂNGULO S = a h = abc = ab sen = r = s (s-a) (s-b) (b-c) = sr s = 1 (a + b + c) 2 S = (s-a) (s-b) (s-c) (s-d) QUADRILÁTERO INSCRITO EM UMA CIRCUNFERÊNCIA 2 s = 1 (a + b + c + d) 2 4R 2 d QUADRADO S = = d² 2 ² = d = 0.707d 2 d = 1.414 a c b TRIÂNGULO RETÂNGULO S = a c² - a² = 1 c² sen 2 = 2 4 = ab = c² sen cos = 2 2 2 2 = a² ctg = b² tg D d δ CORÔA CIRCULAR = R + r 2 δ= R - r r = m R

π

π

S = ( D² - d² ) = ( R² - r² ) = 4 = R² ( l - m² ) = 2

π

π

δ SETOR CIRCULAR

π

= r ____ 180 180 = r ____ =

π

α α α α S = r² = 1 r = 1 r² = 0.00872665 r² 180 α

π

α α 2 2 2 α δ _{S = R² - r² =}

ARCO DE CORÔA CIRCULAR

π

α 180 2 180α

π

= δ α W h α α α α α W = 2 r sen = SEGMENTO CIRCULAR = 2 h (2r - h) S = 1 r² ( - sen ) = r - ( r - h ) w

π

α α 2 180 2 α α Quadro 3

R r S POLÍGONOS REGULARES A = Área n = números de lados do polígono =360º_n = 180º -A = n . s . r₂ h . s 2 A = x R - s²₄ 4 s² r² + R = r = R² - s²₄ CÍRCULO r d A = . r² A = 4 . d² COROA CIRCULAR 4 A = A = . ( R² - r² ) D d . ( D² - d² ) r L . r² . º A = 360º 4 A = . d² º 360º . r S h b SEGMENTO CIRCULAR SETOR CIRCULAR . ( 3 h² + 4 ² ) S h A = 6 S 3 A = 2 . s . h Aproximadamente ELÍPSE d d D b A = 4 . D . d . a . b A =

¶

¶

¶

¶

¶

¶

¶

¶

a a a a a ί ί a a

Quadro 4 D d h x h x ( 2D² + d² ) 12 V =

π

OBS: volume aproximado

d 3 CUBO PARALELEPIPEDO OBLÍQUO PARALELEPIPEDO CILINDRO CONE PIRÂMIDE TRONCO DE CONE TRONCO DE PIRAMIDE ESFERA CASCA CILINDRICA ANEL CIRCULAR CALOTA ESFÉRICA BARRIL TRONCO DE CILINDRO a a a h D d V =

π

4 x h x ( D² - d² ) d _d x x r³ 3 V = 4

π

1

_π

V = 6 x x d³ s h x h² x ( r - ) 4 V =

π

h 3 4 3

π

V = 6 x h x ( x S² + h² ) d D

π

V = 4 x D x d² ² d h _{x d² x h} 4 V =

π

d V = a d a b C V = a x b x c V = A x h h A1 1 Onde: A = área da base h d V = x r² x h

π

π

_{x d² x h} V = 4 x r² e Onde:

π

4 x d² = área da base

π

A1 h 1 1 A x h V = 3 1 A = área da base Onde: h 4 V =

π

x d² x h 3 3

π

x r² x h V = h AB Ab 3 V = h x ( AB + Ab + AB . Ab ) h D d R r x h x ( D² + D x d + d² ) 12 V =

π

π

V = 3 x ( R² + r² + R x r ) x h

Volume do tampo semi elíptico

3

.

r

3

V

=

π

b V = 3

S = soma dos três trapézios PRISMA TRIANGULAR OBLÍQUO

S = área da secção reta S

S ( a + b + c ) s 1

TRONCO DE PIRÂMIDE COM BASES PARALELAS

h

b

B

S = soma dos três trapézios

1 b h ( S + S + S S ) V = ₃ B b B h CILINDRO ÔCO R δ r S = 2 h ( R + r )

π

= R + r

π

V = h ( R² - r² ) = h ( 2R - ) =

π

δ δ δ

π

= h ( 2r + ) = 2 h

π

δ δ h r UNHA CILíNDRICA Sc = área da superfície curva Sc = 2 r h V = r² h ₃ 2 h 3

π

V = h² ( r - ) = h ( + ) SEGMENTO ESFÉRICO r C h

π

S = 2 r h = ( + h² )

π

C² ₄ 8 C² h² 6

π

ELIPSÓIDE 2a b C 3 eixos desiguais V = a b c

π

3 4 4 3

π

V = a² c 2 eixos iguais (a = c) ANEL ELÍPTICO a b d r

π

² S = d a² + b² 2 2 a² + b² V = d²

π

² ₂ h PRISMA RETO S = P . h b b S = S + 25 t V = S . h b a c h C r SETOR ESFÉRICO St = r ( 2h + )

π

C ₂ 2 3

π

V = r² h PARABOLÓIDE h r 1 2

π

V = r² h h D d ANEL ALONGADO

π

S = D d + 2 h d 2

_π

V = d² ( D + 2h )

π

4

π

h n = número de lados PIRÂMIDE REGULAR

S = soma nº triângulos isósceles

3 V = Sb . h 1 h a b CUNHA

S = soma dos dois trapézios e dos 2 triângulos. V = ( 2a + a ) b 6 h 1

9. FORMULÁRIO PARA ENGRENAGENS DE DENTES RETOS

Fórmulas para Engrenagens de Dentes Retos “DIAMETRAL PITCH” (“DP”)

Para achar Símbolo Conhecendo Fórmula

Diametral Pitch “DP”

O passo circular (Circular Pitch) DP= π/ _Cp O nº de dentes e o diâmetro primitivo DP= Z/dp

O nº de dentes e o diâmetro exterior DP= Z+2/ _de

Passo Circular Cp

O diametral Pitch Cp= π/ _DP O nº de dentes e o diâmetro primitivo Cp = π.dp/ _Z Espessura s O passo circular (Circular Pitch) S= Cp / ₂

Diâmetro Primitivo dp

O nº de dentes e o Diametral Pitch dp = Z/DP O nº de dentes e o passo circular (Circular

Pitch)

dp = Z Cp/ π O diâmetro externo e o nº de dentes dp = de.Z/Z+2 O diâmetro externo e o Diametral Pitch dp = de – Z/ _DP

Diâmetro Externo de

O nº de dentes e o Diametral Pitch de = Z+2 /DP O diâmetro primitivo e o Diametral Pitch de = dp+ 2/ _DP O nº de dentes e o passo circular (Circular

Pitch) de = (Z+2) Cp / π Número de dentes z

O Diametral Pitch e o diâmetro primitivo Z = dp . DP O diâmetro primitivo e o passo circular

(Circular Pitch)

Z = dp .π/ CP

Altura h O Diametral Pitch

h = 2,157/DP

O passo circular (Circular Pitch) h = 0,6866.Cp

Distância Entre os

centros C

Os diâmetros primitivos C = dp1 + dp2/ ₂ O número de dentes e o “CP” C=Z1+Z2/ 2.DP

Cabeça do dente c O diâmetro primitivo e o número de dentes

C = dp/ Z

O passo circular (Circular Pitch) C = 0,3183 Cp Fundo do dente f O diâmetro Pitch ou o passo circular _{(Circular Pitch)} f = 1,157/DP _{f = 0,3714.Cp}

Fórmulas para Engrenagens de Dentes Retos “MÓDULO” (M)

Para achar Símbolo Conhecendo Fórmula

Módulo m

O passo M = P / _π

O diâmetro primitivo e o nº de dentes M = dp / _Z

O diâmetro exterior e o nº de dentes _Z+2 M = do /

Diâmetro

Primitivo dp

O módulo e o número de dentes dp = m . z

O diâmetro exterior e o módulo dp = de – 2m

Passo p

O módulo p = m . π

A espessura p = 2 . S

Diâmetro

Externo de

O diâmetro primitivo e o módulo de = dp + 2m

O módulo e o nº de dentes de = m(z + 2)

Diâmetro da raiz dr O diâmetro primitivo e o módulo dr = dp – 2x1,166xm Número de

dentes z O diâmetro primitivo e o módulo

Z = dp /m Altura (*) h O módulo h = 2,166 . m Espessura do dente s O passo S = p / 2 O módulo S = 1,57 . m Distância entre os centros c Os diâmetros primitivos C = dp1 + dp2 / ₂ O módulo e o nº total de dentes C = m(z1 + z2) / 2 Espessura da

engrenagem b O módulo

b = de 6 a 10 m

Cabeça c O módulo c = m

10. MATEMÁTICA E GEOMETRIA

Geometria Plana

- GEOMETRIA PLANA

MATEMÁTICA

- BISSETRIZES INTERNAS

A bissetriz de um ângulo interno de um triângulo é o segmento que une o vértice desse ângulo ao lado oposto, dividindo o ângulo em outros dois congruentes. Cada bissetriz interna divide o lado oposto em dois segmentos proporcionais aos lados adjacentes ( teorema da bissetriz interna ).

M _{C R} R B M R A B C 0 m n B A C b c  2 Â2 SA m n b C ( Teorema da bissetriz interna. A altura relativa a um dos lados de um triângulo é o segmento que tem uma extre-midade no pé da perpendicular conduzida pelo vértice a reta que contém o referido lado. - Alturas  2 2  A S_C B S SA B C B 2 ^ ^_{B 2} C 2^ C 2 ^

As três bissetrizes internas encontram-se num ponto interno ao triângulo chamado incentro, que é equidistante dos três lados do triângulo.

- Mediatrizes:

A mediatriz relativa a um dos lados de um dos lados de um triângulo é a reta perpen-dicular a esse lado passando por seu ponto médio. A B C C M MA B M M

As três alturas encontram-se num ponto chamado ortocentro do triângulo.

Relações métricas no círculo: a ) Corda - corda : A C D B PA . PB = PC . PD PA . PB = PC . PD B D C A b ) Secante - secante: P P c ) Secante - tangente: A 0 T (PT)²= PA . PB B a ) Trângulo equilátero : Poligonos Regulares Inscritos:

r 3 a1 = 2 r 3 3 b ) Quadrado: H a4 4 4 = H 2 a =4 H22 c ) Hexagono regular: H 6 a 2 H 3 a =₆ = H 6 6 As três mediatrizes encontram-se num ponto chamado circuncentro, que é equidistante dos três vértices do triângulo e centro da circunferência circunscrita ao triângulo .

a

h

A = a . h ₂

Em função dos lados :

b c a p = semiperímetro 2 a + b + c = A = p( p - a) (p - b) (p - c) b ) Paralelogramo: a b b a h A = b . h c ) Retângulo: b h h b A = b . h d ) Quadrado: b b b b A = y²

Se o triângulo for equilátero, temos: a = b = c. p = 3a e A = a² 3 4 D 2 D . d d A = e ) Lozango: f ) Trapézio: Em função dos lados e do raio da circun-

ferência inscrita: r r r A = p . r a b A = a + b 2 . h

g ) Polígono regular qualquer: Em função dos lados e do raio da circun-

ferência circunscrita: a c b H H H A = a b c _{4 H} a = apótema H = semiperímetro A = H . a

Semelhanças entre triângulos:

Dois triângulos são semelhantes se tem os ângulos ordenadamente congruentes e os lados correspondem (homólogos) propor-cionais. A C B A' B' C' A B A' B' -B' C' -B C C' A' C A

Dois triângulos são semelhantes quando: a ) Tiverem dois ângulos respectivamente con-gruentes; ou

b ) tiverem os lados proporcionais ou c ) tiverem um ângulo congruente entre dois lados proporcionais.

d ) Relações métricas nos triângulos retân-gulos: Critérios de Semelhança: h a c b m n A B C b² = a . n c² = a . m h² = m . n b . c = a . h

a² = b² + c² ( teorema de Pitágoras )

Ângulos no círculo: a ) Ângulo inscrito; 0 β α α =β2 2 β α = α β 0 b ) Ângulo de segmento;

c ) Ângulo excêntrico interior;

0

β

α =β2

β

0

d ) Ângulo excêntrico exterior;

2 β α =

α

e ) Conseqüência importante; Todo triângulo inscrito num semicirculo é retângulo. B A C 0 B C = diâmetro a ) Triângulo

Em função de um lado e da altura relativa a esse lado: Àrea Planas:

11. Calibração de trenas (conforme norma ABNT NBR 10123:2010 - Instrumento de medição e controle - Trena de fita de aço — Requisitos)

Erro máximo admissível de indicação das trenas

O erro máximo admissível, para mais ou para menos, de indicação das trenas para o comprimento

nominal e para qualquer distância compreendida entre duas referências quaisquer, não

consecutivas, é expresso pela fórmula:

(x + y.L), em milímetros

Onde:

L é o valor do comprimento considerado, arredondado para o número inteiro de metros, por

excesso;

x e y são coeficientes cujos valores estão estabelecidos, para cada classe de exatidão, na

Tabela 2.

Tabela 2 – Coeficientes x e y

Classe de exatidão

_x

Coeficientes

_y

I

0,1

0,1

12. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

• Pedro Carlos da Silva Telles, TUBULAÇÕES INDUSTRIAIS, EDITORA LTC. 10ª Edição, Rio de Janeiro, RJ, 2001

• Pedro Carlos da Silva Telles, VASOS DE PRESSÃO, EDITORA LTC. 2ª Edição, Rio de Janeiro, RJ, 2001

• SENAI, Rio de Janeiro, Departamento Nacional, ROSCAS E ENGRENAGENS – Senai – DN, Rio de Janeiro, RJ, 2001. Senai 1987. 44p (Inspetor de Controle Dimensional: Núcleo Básico).