GERAÇÃO DE COLUNAS NA SOLUÇÃO DE PROBLEMAS DE
DESENHO DE REDES MULTIMODAIS DE TRANSPORTES
Carlos Felipe Grangeiro Loureiro, Ph.D.
Universidade Federal do Ceará - Departamento de Engenharia de Transportes - DET/CT/UFC Campus do Pici - Bloco 703 - CP 12144 - Fortaleza, CE - CEP 60455-760 - cfelipe@ufc.br
Abstract
This paper presents a solution algorithm for a multicommodity multimodal network design problem, formulated in a nonlinear bilevel structure which selects capital investments for a multimodal regional transportation network, given a limited investment budget. The objective function minimizes the transportation costs incurred by users and the environmental impacts caused by the use of less efficient modes of transportation. Investment options to be considered by the problem involve the addition of new physical links to the network, the improvement of existing links, and the location of intermodal transfer facilities at specified nodes of the network.
The proposed solution algorithm consists of a heuristic decomposition procedure based on a column generating technique, which allows the solution of large scale problems in a reasonable time. The network design problem is called the master problem, with its subproblem being defined as a bi-criteria path finding problem. A new path-based stochastic user equilibrium assignment algorithm is proposed to distribute trips over the multimodal network according to a logit-type model. This solution procedure was tested for a small network and it was found to satisfactorily approximate the optimal solution to the test problem. It was also tested in a pilot aplication considering the multimodal network of the Tietê-Paraná Valley to assess its efficiency when dealing with large real networks.
Keywords: network design, column generation, optimization models.
1. MODELOS DE DESENHO DE REDES
Para superar as dificuldades inerentes à utilização de modelos analíticos de simulação do fluxo de carga sobre redes multimodais de transporte (Loureiro, 1995), uma nova classe de modelos denominados de Modelos Sintéticos de Redes tem sido pesquisada e desenvolvida nos últimos anos. Estes modelos procuram identificar uma configuração ótima da rede de modo a satisfazer certos requisitos. A configuração ótima é obtida através da melhoria do desempenho da rede, medido por uma função objetivo que envolva indicadores sistêmicos, de forma a se atingir seu valor máximo (ou mínimo). Os requisitos podem ser satisfeitos, por exemplo, aumentando-se a capacidade de alguns arcos da rede, incluindo-se novos arcos ou implantando-se novos terminais e outras facilidades fixas.
Nesta categoria de modelos sintéticos, destacam-se os Modelos de Desenho de Redes (“Network Design Models”). Estes são utilizados na seleção dos nós e arcos, e suas respectivas capacidades, que deverão ser incluídos na malha de transportes, levando-se em consideração os efeitos das decisões de investimento sobre as características operacionais do sistema em questão. Portanto, tais modelos são formulados de modo a comparar as
alternativas de investimento, balanceando os custos de capital incorridos e a respectiva melhoria de desempenho operacional do sistema.
Numa revisão de diferentes aplicações de modelos de desenho de redes no planejamento de transportes, Magnanti e Wong (1984) destacaram a importância deste tipo de modelo, não apenas por sua utilidade prática como uma ferramenta de planejamento e projeto, mas também pela gama de problemas que ele pode representar. No referido artigo, os autores apresentam uma lista dos principais problemas de otimização de redes - tais como, caminho mínimo, caixeiro-viajante, roteamento de veículos, localização de facilidades, equilíbrio de tráfego, dentre outros - como versões especiais do problema de projeto de redes. Além disso, eles incluíram um resumo das experiências relatadas de utilização de algoritmos exatos e heurísticos na solução destes problemas, destacando a eficácia das técnicas exatas de decomposição de Benders e “branch-and-bound” para redes de pequeno porte, assim como algoritmos heurísticos do tipo “rank-add-delete-swap” para aquelas de maior porte (entre 50 e 100 nós). Porém, Magnanti e Wong deixaram claro que, devido ao caráter altamente combinatório do problema de desenho de redes, mesmo algoritmos heurísticos podem exigir tempos excessivamente longos de processamento computacional para resolver problemas de grande escala (acima de 100 nós).
A solução de problemas de desenho, ou projeto, de redes fica ainda mais complexa quando uma representação mais apropriada do sistema de transporte em estudo exige a consideração do fenômeno de congestionamento em trechos da malha. Encontram-se na literatura (ver, por exemplo, LeBlanc e Boyce, 1986), diferentes formulações e algoritmos de solução para problemas de desenho de redes nos quais os custos de viagem são dependentes dos fluxos de tráfego. Estes modelos são particularmente úteis na modelagem de fluxos em vias urbanas, assim como em linhas e pátios ferroviários. Eles também podem ser aplicados para o caso de hidrovias, já que congestionamentos podem ocorrer devido a um número limitado de balsas em algumas linhas de serviço e/ou devido à capacidade limitada de operação em portos, terminais ou eclusas. Quando custos variáveis têm que ser considerados, o problema de projeto exige uma formulação não-linear, aumentando consideravelmente seu grau de dificuldade e tornando a solução de redes de grande porte impossível num tempo razoável, mesmo que heuristicamente.
2. O MODELO MCMND
Na tentativa de desenvolver um modelo sintético de desenho de redes, aplicável para malhas multimodais transportando diferentes produtos e capaz de resolver problemas envolvendo sistemas de transporte de carga regionais e nacionais de grande porte, Loureiro (1994) propôs o MCMND - “Multicommodity Multimodal Network Design Model”. Este modelo foi desenvolvido para ser utilizado como uma ferramenta de análise no processo de planejamento estratégico, selecionando e priorizando investimentos na infraestrutura de redes multimodais de transporte de carga que apresentassem fenômenos de congestionamento em alguns nós, arcos e/ou modos. O conjunto de opções de investimento a ser considerado poderia consistir da inclusão de novos arcos na rede, do aumento de capacidade de alguns arcos já existentes e da implantação de terminais intermodais de transferência de carga.
O modelo MCMND está formulado como um problema de programação inteira mista, em dois níveis, com uma das restrições sendo não-linear (alocação de tráfego segundo um critério de equilíbrio estocástico dos usuários). A função objetivo do MCMND busca
minimizar a soma dos custos de transporte incorridos pelos usuários, mais uma medida dos impactos sobre o sistema (consumo de combustíveis, emissão de poluentes, ocorrência de acidentes, dentre outros impactos ambientais e sociais) resultantes da utilização de modos de transporte menos eficientes no deslocamento da carga. A função objetivo está sujeita a um conjunto de restrições de conservação de fluxo, de limitação orçamentária e de não-negatividade das variáveis de decisão.
A região do Vale do Tietê-Paraná foi escolhida para o desenvolvimento de uma aplicação-piloto do modelo MCMND (Loureiro, 1995), com o objetivo de comprovar sua aplicabilidade na solução de um problema real de seleção de investimentos em redes multimodais de grande porte. Além de mostrar a eficiência do modelo proposto, esta aplicação-piloto também serviu para ilustrar o esforço de coleta de dados necessário à execução do modelo e calibração de seus parâmetros; assim como, para destacar as vantagens de se utilizar um sistema SIG na montagem e edição da rede, e na análise e apresentação dos resultados obtidos.
3. FORMULAÇÃO MATEMÁTICA DO MODELO MCMND
Defina G ={ , }N A como um grafo consistindo de n∈N nós e a∈ A arcos diretos
representando ligações físicas e lógicas na rede. Considere T como um subconjunto de A
consistindo dos arcos t ∈T representando as alternativas de investimento em análise.
Considere P como o conjunto de mercadorias ou classes de produtos p a serem transportadas sobre a rede. Considere R e S como subconjuntos de N contendo os nós de origem e destino da carga a ser transportada sobre a rede. Cada par de nós r ∈R s, ∈S é denominado de canal. Considere K como o conjunto composto por todas as rotas “eficientes”
em G , de acordo com Dial (1971). Defina, também, G* N A*
{ , }
= como o grafo base (rede
antes dos investimentos) onde A* = A T\ . Considere, ainda:
xa fluxo de carga no arco a∈ A, em tons.
t xa( a) impedância no arco a como função do fluxo xa , em R$ por ton.
Krs subconjunto de K para o canal rs.
Kt subconjunto de K no qual cada rota k ∈Kt utiliza o arco lógico t.
q
prs demanda do produto p no canal rs, em tons.q
rs demanda total no canal rs, em tons, ondeq
rsq
rspp P
=
∈
∑
.f
p krs, fluxo do produto p na rota k do canal rs(
k
∈
K
rs)
, em tons.f
krs fluxo total na rota k do canal rs, em tons, ondef
krsf
p krsp P
=
∈
∑
, .c
krs impedância na rota k do canal rs(
k
∈
K
rs)
, em R$/ton. hkrs
distância percorrida em rodovias na rota k do canal rs, em kms.
φ
h penalidade pelo uso da rodovia, em R$/ton-km.b
krs distância percorrida em ferrovias na rota k do canal rs, em kms.φ
b penalidade pelo uso da ferrovia, em R$/ton-km.δa k rs
A função objetivo do problema de minimização dos custos sobre a rede é definida por:
z
GMin
f
krsc
krsh
krs hb
krs b k K s S r R rs 1=
⋅
+
⋅
+
⋅
∈ ∈ ∈∑
∑
∑
(
φ
φ
)
(1)sujeita às seguintes restrições:
Y
tIC
tB
t T⋅
≤
∈∑
(2)X
kM Y
t
T
k K t t ∈∑
−
⋅
≤
0
∀ ∈
(3)f
krs satisfaz o equilíbrio estocástico dos usuários. (4)X
k∈
{ , }
0 1
∀ ∈
k
K
(5)Y
t∈
{ , }
0 1
∀ ∈
t
T
(6)onde:
X
k igual a 1 se a rota k for selecionada, 0 caso contrário.Y
t igual a 1 se o arco t integra uma rota selecionada, 0 contrário.IC
t custo capital do investimento do arco t, em R$.M número arbitrariamente grande.
B orçamento disponível, em R$. e
c
krs a krst
ax
ak
K
rs
a A rs=
⋅
∀ ∈
∀
∈∑
δ
,(
)
,
(7)Conforme demonstrado por Fisk (1980), o conjunto de fluxos nas rotas fk rs *
que garante um equilíbrio estocástico dos usuários é dado por uma função Logit do tipo:
f q c c k rs rs k rs l rs l * . exp ( ) exp ( ) = −θ
∑
−θ (8)4. ALGORITMO DE SOLUÇÃO DO MODELO MCMND
O modelo MCMND, embora formulado como um problema de programação inteira mista, não pode ser resolvido diretamente por algoritmos do tipo “branch-and-bound” ou métodos enumerativos, devido à sua estrutura em dois níveis. Mesmo que o fosse possível, o emprego destas técnicas exigiria a identificação de todas as rotas no grafo integrantes dos conjuntos
K K, rs, e Kt. Ray (1990) demonstrou que, se considerarmos um grafo inteiramente
conectado contendo n vértices, o número de rotas para cada canal r ,s é dado por:
|P | (n )( )! (n )( )! ... (n )( )! ( )( )! n n n n n rs = − + − + + − − − + − − − + 2 1 1 2 2 2 2 3 3 2 2 2 1 (9)
Portanto, se temos q canais na rede, o número total de rotas será | |P= ×q P| rs| , o que torna inviável a enumeração mesmo para grafos bastante pequenos com poucos canais.
Como consequência do exposto, optou-se por desenvolver um procedimento heurístico baseado na técnica de geração de colunas para resolver o modelo MCMND. A escolha deste tipo de algoritmo de solução foi inspirada no trabalho de Ray (1990) que desenvolveu um procedimento similar para resolver um problema de localização de facilidades fluxo-recurso (FRFLP). A heurística de geração de colunas segue o procedimento de decomposição
comumente aplicado na solução de problemas grandes de programação linear, assim como numa variedade de modelos discretos, tais como problemas de roteamento e programação de frotas. Para resolver problemas discretos deste tipo, o algoritmo original de geração de colunas tem sido adaptado a um procedimento heurístico para utilização em problemas de programação inteira (Cullen et al., 1981). Entretanto, este algoritmo adaptado não pode garantir a obtenção de uma solução ótima para modelos discretos devido à dificuldade na identificação dos verdadeiros preços-sombra desta solução.
Na solução do modelo utilizando a heurística de geração de colunas, o problema de desenho da rede multimodal é classificado como o Problema Principal, com seu subproblema sendo um problema de otimização multicriterial com dois objetivos: (a) minimizar o custo de transporte no grafo e (b) minimizar o custo dos investimentos necessários para as rotas selecionadas. O Problema Principal Restrito é resolvido através de uma heurística especial baseada num algoritmo de substituição de rotas do tipo definido por Lin and Kernighan (1973). Primeiro, uma solução viável inicial, contendo um conjunto de rotas selecionadas, é gerada por um algoritmo aditivo. Em seguida, o algoritmo de substituição calcula interativamente o benefício marginal associado à troca de cada rota dentro da solução (selecionada) por cada rota fora da solução (não-selecionada). A substituição que maximizar a melhoria potencial da função objetivo é implementada, com o novo conjunto de rotas selecionadas sendo enviado para o subproblema. O processo de gerar uma solução inicial e melhorar esta solução através do algoritmo de substituição está descrito a seguir após a definição do submodelo de construção de rotas (subproblema).
4.1. Submodelo de Construção de Rotas (Geração de Colunas)
O subproblema compreende um submodelo de construção de rotas (geração de colunas) responsável por criar as rotas novas (colunas) a serem consideradas pelo Problema Principal. Este submodelo é solucionado por uma forma modificada do algoritmo de Dijkstra (1959), que procura o caminho mínimo da origem ao destino em cada canal, tentando minimizar os custos de transporte e o custo capital dos investimentos necessários às rotas selecionadas. A impedância de uma rota é definida como a soma das impedâncias dos arcos nesta rota multiplicada pela demanda total no canal, acrescida da soma dos custos ponderados (“surrogate costs”) associados aos investimentos na rota. O custo ponderado, SCt, relativo ao investimento t é designado heuristicamente levando-se em consideração a atual solução ótima, como descrito a seguir:
SCt =0 se o investimento t já foi selecionado por uma das rotas dentro da solução
ótima;
SCt = ICt se o projeto t ainda não foi selecionado (com nenhum outro projeto já definido para este arco) e a inclusão deste projeto não viola a restrição orçamentária;
SCt =γ ICt se o projeto t ainda não foi selecionado, com outro projeto já definido para o mesmo arco, ou em sendo selecionado este projeto a restrição orçamentária estaria violada.
O parâmetro γ modela o acréscimo de custo sobre o investimento ICt relativo à remoção de uma outra rota já selecionada da solução ótima. Esse parâmetro é essencial já que os verdadeiros custos duais associados à implantação de um novo investimento não são conhecidos quando a restrição orçamentária é limitante. Em geral, quando γ passa de 1 uma penalidade adicional é associada à construção de rotas que impliquem na remoção de rotas já
selecionadas da atual solução ótima. À medida que este parâmetro aumenta, o submodelo é forçado a gerar rotas alternativas sobre a rede. A impedância de uma rota k no canal rs é calculada pelo submodelo como:
ck q t x SC rs rs a k rs a a n t k rs t t T a A = − + ∈ ∈
∑
∑
.δ , ( ) δ , 1 (10)4.2. Iniciando o Algoritmo de Solução em 2-Etapas
Conforme mencionado anteriormente, o Problema Principal Restrito, devido ao seu tamanho, é solucionado através de uma heurística especial baseada num algoritmo de substituição. Este algoritmo parte de uma solução inicial viável e tenta melhorar a função objetivo através da substituição de rotas já selecionadas (dentro da solução) por outras ainda não selecionadas. Portanto, o algoritmo requer uma solução inicial antes que a etapa de
melhoramento da função objetivo (2a etapa) seja ativada. Para o modelo MCMND, foi
desenvolvido um algoritmo aditivo com a finalidade de gerar uma solução viável inicial (1a etapa), que já seja razoavelmente boa, a partir da inclusão sequencial de novas rotas geradas pelo subproblema.
Antes que o procedimento aditivo seja ativado na primeira iteração do algoritmo de solução, um conjunto de rotas básicas é definido para cada canal contendo uma rota unimodal de impedância mínima para cada modo de transporte existente. Nenhum investimento será considerado neste estágio inicial. Estas rotas básicas são inseridas no, até então vazio, conjunto de rotas dentro da solução. A carga é então alocada sobre a rede básica G* , de acordo com o algoritmo de alocação de tráfego em rotas, baseado no equilíbrio estocástico do usuário, desenvolvido por Loureiro (1996). Esta solução inicial é, então, enviada para o subproblema que irá tentar construir novas rotas de impedância mínima para cada canal em função da alocação da carga realizada. Neste estágio, o submodelo de construção de rotas está livre para selecionar rotas multimodais que exijam ou não a seleção de investimentos, de acordo com seus respectivos custos ponderados. Se o algoritmo não conseguir gerar pelo menos uma nova rota para qualquer dos canais, o procedimento chega ao seu final. Caso contrário, as novas rotas geradas são inseridas no conjunto de rotas não selecionadas (fora da solução), juntamente com todas as rotas básicas, deixando novamente vazio o conjunto de rotas dentro da solução. O procedimento aditivo é mais uma vez acionado para, de uma forma sequencial, adicionar rotas ao conjunto dentro da solução, até que uma boa solução viável seja encontrada, conforme descrição abaixo.
4.3. Gerando a Solução Inicial (Procedimento Aditivo)
Considere Kn o conjunto de todas as rotas geradas na iteração n. O conjunto Kn pode ser
dividido em um subconjunto de rotas dentro da solução, KBn , e um outro de rotas não
selecionadas, KNBn , onde KBn∪KNBn =Kn e KBn∩KNBn = ∅ . Dado um Problema Principal que reflita a formulação de desenho de redes expressa pelas equações (1)-(7), uma solução viável tem que satisfazer as seguintes condições:
• O custo total alocado em investimentos não pode ultrapassar o limite orçamentário;
• Não mais do que |Kn| rotas podem estar contidas no conjunto KBn;
• Cada rota , k ∈KBn , só pode estar na solução se, e somente se, todos os investimentos necessários já foram selecionados.
Yt r
= 1 se o projeto t é selecionado na iteração r
Br = orçamento alocado na iteração r
b k r( , ) = benefício marginal da inclusão da rota k na iteração r
Passo 0: Inicialização. Faça r=1, KNBr =Kr,KBr = ∅,Br =0, e Ytr =0 para todo t∈T.
Passo 1: Encontre, para cada canal, a rota de custo mínimo k ∈KNBr baseada nos valores de fluxo livre dos arcos. Inclua estas rotas no conjunto KBn . Atualize o vetor de investimentos
Yt r
e o orçamento já comprometido Br.
Passo 2: Aloque os fluxos nas rotas selecionadas utilizando o algoritmo de alocação
estocástica e recalcule as impedâncias das rotas com base nos novos volumes nos arcos.
Passo 3: Para cada canal, ache a rota k KNB r
∈ com o maior benefício marginal positivo
b k r( , ). Se pelo menos uma rota não for encontrada para qualquer dos canais, pare. Caso contrário, vá para o passo 4.
Passo 4: Atualize os conjuntos KB K k
r B r +1 = ∪ { } e KNB K k r NB r +1 = \ { }. Atualize o vetor de investimentos Yt r
e o orçamento comprometido Br . Faça r = r + 1. Vá para o passo 2.
A cada iteração do procedimento aditivo, uma solução viável é mantida e cada iteração subsequente calcula o benefício marginal associado a cada rota em relação à última solução viável. O benefício marginal de uma rota, b k r( , ), é definido como a redução na função objetivo, devido à inclusão desta rota, menos o custo capital exigido pela rota. Para calcular o custo total de transporte relacionado a esta nova rota, uma estimativa do fluxo nesta rota é feita com base na razão entre a exponencial da desutilidade desta rota sobre a soma da exponencial das desutilidades de todas as rotas nas solução, conforme equação (8). A consequente redução no valor da função objetivo é determinada através da comparação entre o custo total associado à nova rota versus o custo médio das rotas sendo utilizadas neste canal, de acordo com a seguinte expressão:
∆
Z
G=
f
krs'⋅
[(
c
krs+
h
krsφ
h+
b
krsφ
b)
−
(
c
krs'+
h
krs'φ
h+
b
krs'φ
b)]
O benefício marginal da rota k’ é expresso por
b k r
Z
G tr t krsIC
t t T( ' , )
=
−
⋅
(
, '⋅
)
∈∑
∆
λ δ
, ondeλ
tr t r r t t r a t r r t t r a t rif
Y
B
B
IC
and Y
t
t
L
if
Y
and B
B
IC
or Y
for any t
t
L
if
Y
=
=
≤
−
= ∀ ≠ ∈
∞
=
≥
−
=
≠ ∈
=
1
0
0
0
1
0
1
,
(
),
,
'
(
),
'
' '4.4. Melhorando a Solução Inicial (Algoritmo de Substituição)
A partir da solução inicial gerada pelo procedimento aditivo, o algoritmo de substituição começa selecionando a primeira rota na lista de rotas fora da solução e calcula a variação na função objetivo que resultaria da troca desta rota não selecionada por cada rota dentro da solução. Este cálculo é feito efetuando-se temporariamente a substituição das rotas e realocando o fluxo de carga na rede. A troca que resulta na maior redução no valor da função objetivo é efetuada. As trocas não se resumem a pares de rotas de um mesmo canal. Porém, apenas uma troca é feita de cada vez. Se nenhuma troca for realizada para a rota não selecionada, a próxima da lista é comparada novamente com todas as rotas dentro da solução.
O algoritmo termina quando uma passagem pela lista de rotas não selecionadas não resulta em nenhuma substituição.
Faça: ki⊕kj = a redução marginal na função objetivo resultante da troca da rota ki pela
kj.
s, n = respectivamente, o número de trocas e de iterações efetuadas.
Passo 0: Faça s=0.
Passo 1: Selecione a próxima rota, kn , do conjunto KNBn . Se todas as rotas em KNBn já foram processadas e s=0, pare. Se todas as rotas em KNB
n
já foram processadas e s>0 , vá para o passo 0. Caso contrário, vá para o passo 2.
Passo 2: Ache a rota kb ∈KBn tal que kb Arg Max k k
k K n B n = ⊕ ∈ { }. Se kn ⊕kb ≤0 , vá para o
passo 1. Caso contrário, vá para o passo 3.
Passo 3: Faça KBn
(
K k)
k B n b n = \ { } ∪{ } e KNBn(
K k)
k NB n b n = ∪{ } \ { }. Atualize o vetor deinvestimentos Y*. Faça s = s + 1 e vá para o passo 1.
5. COMENTÁRIOS FINAIS
A eficiência do algoritmo proposto para a solução do modelo MCMND foi avaliada em um problema de localização de terminais multimodais de carga sobre uma rede-teste contendo 7 nós, 18 arcos e 3 modos de transporte (Loureiro, 1994). Comprovou-se que a solução encontrada pelo algoritmo era ótima comparando-a com todas as combinações possíveis de investimento na rede-teste, através da utilização de um modelo analítico de simulação do fluxo de carga em redes multimodais desenvolvido pelo Banco Mundial para Bangladesh (Ralston e Liu, 1992). O algoritmo foi capaz de encontrar rapidamente a solução ótima, gerando um número bastante reduzido de rotas candidatas à seleção.
6. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
CULLEN, F.H., JARVIS, J.J. e RATLIFF, H.D. (1981) Set partitioning based heuristics for interactive routing. Networks, 11, 125-143.
DIAL, R.B. (1971) A probabilistic multipath traffic assignment model which obviates path enumeration. Transportation Research, 5, 83-111.
DIJKSTRA, E.W. (1959) A note on two problems in connection with graphs. Numerische
Mathematik, 1, 269-271.
FISK, C. (1980) Some developments in equilibrium traffic assignment. Transportation Research, 14(B), 243-255.
LEBLANC, L.J. e BOYCE, D.E. (1986) A bi-level programming algorithm for exact solution to the network design problem with user optimal flows. Transportation Research B, 20(3), 259-265.
LIN, S. e KERNIGHAN, B. (1973) An effective heuristic algorithm for the Traveling Salesman Problem. Operations Research, 21, 498-516.
LOUREIRO, C.F.G. (1994) Modeling Investment Options for Multimodal Transportation
Networks, Ph.D. Dissertation, Department of Civil Engineering, University of Tennessee,
Knoxville, Tennessee.
LOUREIRO, C.F.G. (1995) Aplicação-Piloto de um Modelo de Seleção de Investimentos para Redes Multimodais de Transporte de Carga. Anais do IX Congresso de Pesquisa e Ensino em
Transportes - ANPET, pp.455-66, São Carlos.
LOUREIRO, C.F.G. e RALSTON, B.A. (1996) Investment Selection Model for Multicommodity Multimodal Transportation Networks. Transportation Research Record 1522, 38-46.
MAGNANTI, T.L. e WONG, R.T. (1984) Network design and transportation planning models and algorithms. Transportation Science, 18(1), 1-56.
RALSTON, B.A. E LIU, C. (1992) The Bangladesh Transportation Modeling System. World Bank, Washington, D.C.
RAY, J.J. (1990) The Flow-resource Facility Location Problem, Ph.D. Dissertation, Department of Geography, University of Tennessee, Knoxville, Tennessee.
