JULIANO SIMÃO IRALA REORIENTAÇÃO DE SATÉLITES ATRAVÉS DO USO DE GIROSCÓPIOS DE CONTROLE DE MOMENTO

JULIANO SIMÃO IRALA

REORIENTAÇÃO DE SATÉLITES ATRAVÉS DO USO DE GIROSCÓPIOS DE CONTROLE DE MOMENTO

Monografia apresentada ao Departamento de Engenharia Mecânica da Escola de Engenharia da Universidade Federal do Rio Grande do Sul, como parte dos requisitos para obtenção do diploma de Engenheiro Mecânico.

Orientador: Dr. Giulio Avanzini

Co-orientador: Dr. Eduardo Perondi

Porto Alegre 2004

Universidade Federal do Rio Grande do Sul

Escola de Engenharia

Departamento de Engenharia Mecânica

REORIENTAÇÃO DE SATÉLITES ATRAVÉS DO USO DE GIROSCÓPIOS DE CONTROLE DE MOMENTO

JULIANO SIMÃO IRALA

ESTA MONOGRAFIA FOI JULGADA ADEQUADA COMO PARTE DOS REQUISITOS PARA A OBTENÇÃO DO DIPLOMA DE

ENGENHEIRO MECÂNICO

APROVADA EM SUA FORMA FINAL PELA BANCA EXAMINADORA DO DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA

Prof. Flavio José Lorini

Coordenador do Curso de Engenharia Mecânica BANCA EXAMINADORA:

Prof. Flavio José Lorini UFRGS / DEMEC

Prof. Ivan Guerra Machado UFRGS / DEMEC

Prof. Juan Carlos Ortiz UFRGS / DEMEC

Porto Alegre 2004

AGRADECIMENTOS

Em primeiro lugar agradeço a minha família que me apoiou e orientou durante toda a minha vida. Agradeço aos meus orientadores, Prof. Dr. Giulio Avanzini e Prof. Dr. Eduardo Perondi, que me assistiram durante o desenvolvimento deste trabalho.

IRALA, J. S. Reorientação de Satélites através do uso de Giroscópios de Controle de Momento. 2004. 23f. Monografia (Trabalho de Conclusão do Curso de Engenharia Mecânica) – Departamento de Engenharia Mecânica, Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, 2004.

RESUMO

Nas ultimas décadas o posicionamento e reorientação de astronaves vem sido extensamente estudado com o objetivo de desenvolver sistemas de controle da dinâmica das astronaves capazes de gerar um controle estável e eficiente de manobras. O uso de um equipamento de orientação, conhecido como Giroscópio de Controle de Momento, vem sendo muito difundido ultimamente devido às vantagens apresentadas pelo aparelho como valores altos de torque gerado, baixo consumo energético, longa durabilidade e capacidade de reorientar uma astronave em poucos segundos. Porém este também apresenta suas desvantagens que são principalmente uma complexidade maior dos algoritmos de controle e o problema da singularidade, inerente a todos sistemas de reorientação que utilizam giroscópios. A singularidade ocorre em certas configurações onde os giroscópios estão posicionados de tal maneira que não são capazes de gerar torque em uma dada direção, impossibilitando o sistema físico de efetuar certas manobras comandadas pelo sistema de controle da astronave. O presente trabalho apresenta um modelo computacional de controle de reorientação de um satélite equipado com um grupamento de Giroscópios de Controle de Momento que demonstrou ser eficiente e capaz de manobrar o satélite de maneira estável na presença de singularidades, porém tem como limitações o fato de não ser aplicável em tempo-real devido ao tempo consumido pelo sistema de controle para iniciar a manobra e ser um modelo utilizável apenas em satélites robustos sem longos painéis, visto que o modelo foi desenvolvido sob a hipótese de corpo rígido.

PALAVRAS-CHAVE: Giroscópio de Controle de Momento, singularidades, tempo-real, sistemas de reorientação, algoritmos de controle, modelo computacional, corpo rígido.

IRALA, J. S. Application of Control Moment Gyroscopes as Satellite Attitude Control. 2004. 23f. Monografia (Trabalho de Conclusão do Curso de Engenharia Mecânica) – Departamento de Engenharia Mecânica, Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, 2004.

ABSTRACT

In the last decades the attitude control of spacecrafts has been widely studied with the objective of developing dynamic control systems of spacecrafts capable to generate a stable and efficient control of maneuvers. The use of an orientation equipment, known as Control Moment Gyroscope, has being spread lately due to the advantages presented as high values of torque generated, low consumption of energy, long durability and capacity to reorient a spacecraft in few seconds. However this also presents its disadvantages that are a larger com-plexity of the control algorithms and the problem of the singularity, inherent to all reorienta-tion systems that use gyroscopes. The singularity appears in certain configurareorienta-tions where the gyroscopes are positioned in such a way that they are not capable to generate torque in a given direction, disabling the physical system of making certain maneuvers commanded by the spacecraft control system. The present work presents a computational model of the control system of a satellite equipped with a cluster of Control Moment Gyroscopes that has demo n-strated to be efficient and capable of maneuvering the satellite in a stable way in the presence of singularities, however it has as limitations the fact of not being applicable in real-time due to the time consumed by the control system to begin the maneuver and to be model usable in robust satellites without long panels, because the model was developed under the hypothesis of rigid body.

KEYWORDS: Control Moment Gyroscopes, attitude control, singularities, real-time, control algorithms, computational model, rigid body.

SUMÁRIO ABSTRACT 5 1. INTRODUÇÃO 7 2. REVISÃO BIBLIOGRÁFICA 8 3. MODELO MATEMATICO 11 4. SISTEMA DE CONTROLE 12

4.1 Visao Geral do Sistema 12

4.2 Construçao do Modelo Conputacional 13

4.2.1 Modelo da Dinamica da Astronave 13

4.2.2 Controlador de Feedback dos Quaternions 15

4.2.3 Logica de Controle Pseudo-Inversa 17

4.2.4 Dina mica do CMG 18 5. RESULTADOS 19 6. CONCLUSÕES 21 7. BIBLIOGRAFIA CONSULTADA 23 APENDICES 24

1. INTRODUÇÃO

Até mesmo antes de Sputnik 1, o primeiro vôo de um satélite artificial em 1957, o problema de estabilidade de astronaves e reorientação era conhecido. Apesar disto, nos anos 50 e 60, muitos satélites foram perdidos por falta de suficiente controle de estabilidade. Nos anos seguintes, foram estudados e resolvidos muitos dos problemas de controle e estabilidade de astronaves. Os sistemas de controle de satélites de hoje não só podem prover estabilidade, mas também podem ser usados para reorientá- los a uma posição desejada com propósitos específicos em terra ou para posicionar células solares.

O problema de como reorientar uma astronave pode ser afrontado por dois métodos diferentes. O primeiro método envolve o uso de um tipo de dispositivo de propulsão que expele um gás de reação através de bocais apropriadamente situados. Dependendo da sucessão e intensidade dos jatos de gás, podem ser alcançados controles de posição e rotação através da força de reação gerados na astronave pelo gás expelido. Este método foi usado em várias astronaves, inclusive em muitos ônibus espaciais. Uma vantagem deste método é que a programação da lógica de controle é relativamente simples. Porém, para a maioria dos satélites, este método apresenta algumas desvantagens. A principal delas é que os propulsores podem prover apenas controle de orientação por um tempo finito, baseado na quantidade de gás disponível. Para que o satélite permaneça em órbita por um período prolongado é necessário o transporte de grandes quantias de gás propulsor o que torna o projeto muito custoso.

Uma alternativa para contornar este problema é um dispositivo baseado na troca de quantidade de movimento. O tipo de dispositivo escolhido para esta investigação é o giroscópio de controle de momento (CMG – Control Moment Gyroscope). Um CMG, como pode ser visto na Fig 1.1. Consiste em uma roda que gira a uma velocidade constante e uma junta rotacional (Gimbal) que a sustenta. Se a roda é rotacionada sobre o eixo da junta rotacional usando um atuador, um torque giroscópico será gerado perpendicularmente aos eixos de rotação da roda e da junta rotacional. Este fenômeno inerente a giroscópios é utilizado pelos CMGs para efetuar reorientação de satélites.

Porém, como a quantidade de movimento ao longo da direção do eixo de rotação da roda é fixa, o torque produzido é contido no plano da roda, não sendo um único CMG capaz de prover torque em todas as direções necessárias para controle de posição e reorientação de um satélite. Em geral três ou mais CMGs são usados em um agrupamento para prover torque em todas as três direções. A configuração de CMG usada nesta investigação é um arranjo em pirâmide de quatro CMGs como mostrado em Fig.1.2.

Figura 1.2 – Esquema e foto do arranjo em pirâmide de 4 CMGs

CMGs provêem amplificação de torque, visto que uma pequena contribuição de torque sobre o eixo da junta gera um grande torque giroscopico sobre o satélite. Embora o uso de CMGs proveja muitos benefícios práticos, há algumas propriedades importantes e indesejáveis de controle de CMG que devem ser lembradas. Um problema, inerente a todas as configurações de CMG, é a existência de estados singulares. Estas são condições nas quais o CMG pode estar orientado de tal modo que o torque produzido por todos os CMGs é coplanar, tal condição é chamada uma singularidade ou estado singular e o sistema de controle não pode produzir um torque perpendicular aos eixos das rodas, não sendo capaz de e produzir torque em qualquer direção necessária para reorientação. Este é o principal problema de controle de CMGs. O objetivo deste trabalho é desenvolver um modelo computacional de controle de reorientação de um satélite equipado com um grupamento de CMGs capaz de gerar um controle estável e eficiente de manobras na presença destas complicações, utilizando para isso o software Simulink.

2. REVISÃO BIBLIOGRÁFICA

Durante as últimas três décadas muito trabalho de pesquisa foi efetuado com o objetivo de implementar algoritmos de controle de CMGs que fossem satisfatórios. Em particular, muitas pesquisas continuam focadas no problema de como evitar singularidades. Algoritmos de controle anteriores não resolveram o problema de singularidades e só eram capazes de soluções que não incluíssem certos estados singulares conhecidos.

Porém, documentos publicados por Cornick (1979) e ma is tarde por Bedrossian e Paradiso (1990) fizeram uso de trabalho efetuado no campo da robótica que introduz o uso de movimento nulo (null motion) para evitar singularidades e o desenvolvimento de lógica robusta de singularidade (SR- Singularity Robust). Desde então, a maioria dos métodos para lidar com singularidades foi desenvolvida a partir de um destes métodos.

Movimento nulo consiste na aplicação de um jogo de movimentos do CMG que não produz nenhum torque sobre a astronave, mas podem ser utilizados para evitar singularidades. A existência destes movimentos nulos foi discutida por Margulies e Aubrun (1978) e eles podem ser introduzidos ao sistema de controle para tentar impedir que os CMGs caiam em um estado singular. Porém o uso de movimento nulo nem sempre garante esta condição.

O desenvolvimento da lógica robusta tem uma grande importância no avanço das capacidades de controle de reorientação. Tais algoritmos buscam uma solução à relação diferencial entre os ângulos das juntas rotacionais e o vetor quantidade de movimento do CMG. Isto é alcançado por meio de uma técnica de inversão local, denominada pseudo-inversa. A princípio a pseudo- inversa deve ser definida para todas as possíveis configurações de CMG, incluindo estados singulares. Nakamura e Hanafusa (1986) foram os primeiros a propor o uso de tal lógica robusta. Mais recentemente, estudos incluem alterações à pseudo-inversa para evitar singularidades e, recentemente, Wie, Bailey e Heiberg (2001) propuseram o uso de uma matriz com elementos dependentes do tempo capaz de evitar estados singulares. Outra área de pesquisa reside na implementação de controle em tempo real. Isto significa que podem ser executados cálculos rapidamente de acordo com a demanda da situação. No passado, os cálculos de controle eram resolvidos “off- line”, antes que a astronave fosse lançada devido aos cálculos complexos requeridos. Hoje em dia, a exigência de computação em tempo real é cada vez mais requisitada e vários satélites operacionais já implementaram os controladores de tempo real. Porém, como algoritmos de controle mais complicados vão sendo desenvolvidos, a necessidade de computação pesada faz a implementação de tempo real mais difícil de ser alcançada.

3. MODELO MATEMÁTICO

Nesta seção serão brevemente recordadas as equações que descrevem a dinâmica de uma astronave rígida (aproximação bem aceitável) dotada de um grupamento de CMGs. Para tal astronave pode-se escrever

ext s T H ? H?s ? ? ? (3.1)

onde H é o vetor de quantidade de movimento angular do sistema global expresso no _s sistema de referencia do corpo da astronave, T é o vetor de torque externo aplicado sobre a _ext mesma e ? é o vetor de velocidade angular. O vetor de quantidade de movimento angular total pode ser escrito como a soma da quantidade de momento angular da astronave com a do CMG, como segue:

h J?

H_s ? ? (3.2)

onde J é a matriz de inércia da astronave completa incluindo os CMGs e h é o vetor quantidade de movimento dos CMGs. Introduzindo o vetor u? (u₁,u₂,u₃) que representa o torque produzido pelo s CMGs. Combinando as equações anteriores temos

ext T u J? ? ? J?? ? ? ? (3.3) sendo

h ? h

u? ??? ? (3.4)

Estas equações descrevem a troca de quantidade de movimento para uma astronave equipada com CMGs. Rearranjando para determinar a taxa de variação de quantidade de movimento do CMG necessária para uma certa manobra

h ? u

h?? ? ? ? (3.5)

A taxa de variação de quantidade de movimento do CMG h?é um parâmetro importante visto que governa a reorientação da astronave. A h? pode ser alterada para manobrar a astronave variando os ângulos da junta rotacional (d), assim h?e hsão funções dos ângulos da junta rotacional. ) (d h h? (3.6)

Esta equação estabelece que, para um valor conhecido de h?ou h_{, resolver a lógica de} controle depende dos ângulos da junta rotacional (d).Wie (2001) sugere um método que envolve a seguinte relação diferencial entre os ângulos d e o vetor quantidade de movimento do CMG h:

d A

h?? ? (3.7)

onde a matriz Jacobiana Aé definida como

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? j i h ? d h A (3.8)

O programa de controle do CMG deve ser capaz de inverter a Eq. (3.8) para determinar as taxas de variação dos ângulos da junta rotacional necessárias para gerar as variações de quantidade de movimento comand adas. Considerando o arranjo típico em pirâmide e o modelamento matemático de uma astronave rígida previamente descritos, a quantidade de movimento angular total de um CMG pode ser escrita

?

? H_i(?_i)

h (3.9)

onde Hi é o vetor quantidade de movimento angular expresso no sistema de referência da

astronave. A derivada em relação ao tempo do vetor quantidade de movimento do CMG pode ser obtida como

?

onde ? ? (?1,?2,?3,?4)é o vetor ângulos da junta rotacional e A é a matriz jacobiana que pode

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 4 3 2 1 4 3 2 1 4 3 2 1 cos cos cos cos cos sin cos sin sin cos sin cos ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? s s s s c c c c A (3.11)

onde c? ? cos? e s? sin? ? .

As taxas de variação dos ângulos das juntas comandadas podem ser definidos como

h AA A h A d?? ??? T( T)?1? (3.12)

onde A? ? AT(AAT)?1 é a chamada lógica de controle pseudo- inversa que é necessária uma vez que A não é quadrada e uma inversão numérica direta não é possível.

Deve-se ressaltar que serão utilizados para descrever a orientação do satélite o sistema de quaternions, designados pela letra q, no lugar de ângulos de Euler. Quaternions são uma forma de números hipercomplexos que foram introduzidos primeiro por William Hamilton (1805-1865) e são uma extensão dos números complexos. Quaternions têm quatro dimensões: uma é real e as outras três são dimensões imaginárias. Podem ser usados para descrever rotações de posição e eles possuem várias propriedades que os fazem mais efetivos que os ângulos de Euler. Considerando-se dois sistemas cartesianos de referencia A(a1,a2,a3)

? ? ? e B (b1,b2,b3) ? ? ?

, a orientação de um sistema em relação ao outro pode ser definida através de um vetor unitário e? e uma rotação de um ângulo ? em torno a este eixo, onde e? pode ser definido assim 1 1 2 2 3 3 3 3 2 2 1 1 b e b e b e a e a e a e e ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? (3.13)

A partir desta definição os quatro elementos do vetor de quaternions q?

?

?

que representam esta mudança de orientação de um sistema para o outro podem ser definidos assim: ) 2 / cos( ) 2 / sin( ) 2 / sin( ) 2 / sin( 4 3 3 2 2 1 1 ? ? ? ? ? ? ? ? q e q e q e q (3.14)

e assim a matriz de rotação C pode ser definida em termos de quaternions

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ) ( 2 1 ) ( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) ( 2 1 ) ( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) ( 2 1 ) , ( 2 2 2 1 4 1 2 3 4 2 1 3 4 1 3 2 2 3 2 1 4 3 1 2 4 2 3 1 4 3 2 1 2 3 2 2 4 / q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q C CB A (3.15)

4. SISTEMA DE CONTROLE 4.1 Visão Geral do Sistema

O modelo de satélite, inclusive o sistema de controle de orientação criado para esta investigação é mostrado na Fig. 4.1 e é composto de quatro subsistemas principais

1. Modelo da dinâmica da astronave;

2. Controlador por realimentação dos Quaternions (QFC-Quaternion Feedback Controler); 3. Lógica de controle pseudo- inversa;

4. Dinâmica do CMG.

Figura 4.1 – Modelo do Sistema de Controle de orientação do satélite

Subsistemas 1 e 4 compõem o modelo da astronave e os subsistema s 2 e 3 forma m o sistema de controle. Nesta fase é útil definir como o modelo interage para uma solução em uma manobra de reorientação.

Primeiramente, deve ser relembrado que os quaternions são usados para calcular e expressar a orientação do satélite em qualquer instante do tempo. Assim, o seu valor inicial

0

q define a orientação inicial do satélite e um conjunto de valores finais conduz a simulação para a nova orientação desejada. As condições iniciais de orientação e velocidade angular ? ₀ são fixadas no subsistema de dinâmica da astronave (1). Estes valores são passados então adiante ao controlador por realimentação dos quaternions (QFC).

Dentro do subsistema de QFC (2), são aplicadas operações matriciais para calcular o sinal de controle. Estas deve m ser escolhidas para equilibrar a velocidade de resposta e também prover amortecimento adequado para suprimir movimentos oscilatórios quando a astronave se aproxima da orientação final. Uma relação de realimentação que inclui os valores de quaternions finais desejados é usada para determinar o torque requerido u .

Uma vez que o torque requerido é determinado, este é passado ao subsistema de lógica de controle inversa (3). Também são necessários para o cálculo da lógica pseudo-inversa os valores de velocidade angular ? e os ângulos de junta rotacional d que são extraídos do subsistema de dinâmica do CMG. Dentro do bloco 3 são calculados a

pseudo-1

2 3

inversa e a relação diferencial entre os ângulos da junta rotacional e o vetor quantidade de movimento do CMG para encontrar as taxas de variação dos ângulos da junta rotacional requeridas d?_c. Estes valores calculados no subsistema de lógica são então repassados ao agrupamento de CMGs.

A fase final no modelo de controle de orientação consiste na transferência das taxas de variação dos ângulos da junta rotacional requeridas ao subsistema de dinâmica do CMG (4). Neste bloco as características dos CMGs são modeladas e os resultados dos movimentos calculados para encontrar o torque real produzido pelos CMGs. Este resultado é então repassado para o bloco de dinâmica da astronave que gera um novo conjunto de quaternions e uma nova velocidade angular. Assim, estes valores provêem as condições iniciais para o próximo passo no algoritmo de integração numérica.

4.2 Construção do Modelo Computacional

Esta seção cobre cada detalhe dos subsistemas descritos. Especificamente, serão estudadas as equações que formam cada subsistema e será demonstrado como estas foram criadas dentro do programa computacional Simulink.

4.2.1 Modelo da dinâmica da astronave

Pode ser visto na Fig 4.1 que o subsistema de dinâmica da astronave tem uma entrada u que é o torque dos CMGs da iteração anterior e duas saídas que são os quaternions q e o vetor ? de velocidades angulares. As duas saídas representam as soluções das equações que governam a dinâmica de astronave. Estas são:

As equações dinâmicas de movimento u

J? ? ?

J?? ? ? (4.1)

e as equações cinemáticas dos quaternions

Oq q 2 1 ? ? (4.2)

onde O é uma matriz simétrica dependente das velocidades angulares.

A Eq. (4.1) deve ser rearranjada para evidenciar a aceleração angular como segue:

] [ 1 J? ? u J ??? ? ? ? (4.3)

O modo como esta equação foi modelada no Simulink pode ser visto na Fig 4.2. Para calcular a velocidade ? necessária a Eq. (4.3) foi integrada utilizando-se função bloco de integração 1/s que provê integração continua no tempo do sinal de entrada e também fornece o valor inicial de entrada ? .O valor calculado para a velocidade angular é então distribuído, ₀ e posteriormente é sujeito a um limite de saturação. O sinal é distribuído de forma que a velocidade angular possa ser (1) diretamente utilizada na próxima iteração dentro do subsistema de dinâmica da astronave e (2) seja utilizada no controle de feedback dos quaternions.

Figura 4.2- Subsistema de dinâmica da Astronave

Agora, considere a Fig. 4.3 que demonstra a parte do subsistema que lida com a cinemática. Nesta parte se busca uma solução para a Eq. (4.2). A qualquer momento durante a simulação o valor da matriz simétrica O pode ser determinado se o vetor das velocidades angulares ? ? (?1,?2,?3) for conhecido. A matriz O é gerada através de um subsistema capaz de receber os valores de entrada ? e transformá- los na matriz O, como se pode ver na parte inferior da Fig. 4.3.

J ? ? u ? ? J ? ? u ? ? J? ? J? ? ? dt

?

Figure 4.3- Subsistema de dinâmica da Astronave

4.2.2 Controlador por Realimentação dos Quaternions (QFC)

O princípio do controle por realimentação está baseado no erro entre os valores de saída medidos e aqueles requeridos e na sua amplificação com o objetivo de usar este sinal para controlar o sistema de forma que o erro seja continuamente reduzido. Porém, o controle usado neste estudo é ligeiramente mais avançado, visto que trabalha com posições e taxas de variação de posições.

A forma básica do controle linear por realimentação è C?

Kq

u? ? e ? (4.4)

onde u é o torque comandado, Ké o um ganho de posição, e C é a taxa de ganho de posição. O QFC amplia o sinal de erro q que está definido como a diferenç a entre os e quaternions de posição comandados (q1c,q2c,q3c,q4c)e os quaternions de posição atuais(q1,q2,q3,q4). O sinal de erro q pode ser calculado usando as seguintes equações e

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 4 3 2 1 4 3 2 1 3 4 1 2 2 1 4 3 1 2 3 4 4 3 2 1 q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q c c c c c c c c c c c c c c c c e e e e (4.4)

O propósito principal do controle por realimentação é prover um meio direto de influenciar a natureza da resposta de reorientação da astronave. Por exemplo, é desejável haver uma rápida e suave resposta de quaternions, mas sem movimento oscilatório. Variando os valores de K e C pode-se alcançar isto.

Os blocos de entrada C e Kpodem ser vistos na Fig. 4.4 que também mostra a estrutura utilizada para resolver a Eq. (4.4) para o vetor de torque comandado u .

Figura 4.4 – Subsistema Controlador por realimentação dos Quaternions C? ?Kq_e? C? e

Kq

4.2.3 Lógica de controle pseudo- inversa (PISL)

Este subsistema é responsável por resolver a relação diferencial entre os ângulos da junta rotacional d e o vetor quantidade de movimento do CMG h para encontrar as taxas de variação dos ângulos da junta rotacional comandadas. Estas taxas são usadas para comandar os CMGs que então geram o torque necessário para reorientar a astronave.

Essas taxas são calculadas a partir de uma inversão da Eq. (3.7)

d A h?? ? ou seja, d h A?1?? ? (4.5)

A taxa de variação da quantidade de movimento angular h? pode ser calculada a partir da expressão dada na Eq. (3.5)

h ? u

h?? ? ? ? (4.6)

onde hé determinado pela Eq. (3.6).

Os dois subsistema s "quantidade de movimento angular" e "taxa de quantidade de movimento angular " na Fig. (4.5) contém os algoritmos necessários para gerar h?.

Figura 4.5 – Lógica de controle pseudo- inversa

Com h?conhecido, ainda falta encontrar uma inversão satisfatória de A, devido aos problemas de singularidade inerentes ao controle de CMG esta não é uma tarefa trivial.Aé a matriz obtida a partir da formulação Jacobiana da Eq. (3.8).

As primeiras pesquisas para resolver o problema renderam a chamada “Moore-Penrose pseudo- inversa”, apresentada abaixo

h AA A h A d?? ??? T( T)?1? (4.7)

Porém, certas condições singulares resultam em A de ordem menor que 3, neste caso a matriz inversa de AA não pode ser definida e T A não existe. ?

Recente pesquisa levada a cabo por Wie, Bailey e Heiberg (2001) no uso de componentes de matriz variáveis no tempo, mostra que é possível criar uma matriz pseudo-inversa A que é , segundo os autores, definida para todas as configurações de CMGs. Neste # método, um termo adicional ? é acrescentado a pseudo-inversa convencional E

1 # ] [ ? ? ? A AA E A T T ? (4.8) onde, )] det( 10 exp[ 01 . 0 T AA ? ? ? (4.9) e ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 1 1 1 2 1 3 2 3 ? ? ? ? ? ? E (4.10)

Os termos fora da diagonal ? são dependentes do tempo e definidos como segue _i ) t 5 . 0 sin( 01 . 0 i i p ? ? ? ? (4.11) com ? ? ? ? ? ? ? ? 3 2 1 2 / 0 (4.12)

O escalar ? e os elementos ? são selecionados de maneira que a pseudo-inversa nunca _i resulte nula.

4.2.4 Dinâmica do CMG

A dinâmica do CMG recebe os valores das taxas de quantidade de movimento e velocidades angulares e provê o torque atual da astronave. Assim, este subsistema processa o comando ideal e gera um valor de torque de valor tal que o agrupamento de CMGs possa realmente produzir. Para isto utiliza-se as equações já apresentadas

h ? h u? ??? ? ou h ? d A u? ? ?? ?

Visto que o valor do torque que os motores podem gerar nem sempre é aquele calculado pelas equações, uma relação entre as taxas calculadas e aquelas atingíveis pelos motores se faz necessária e, neste caso, utilizaremos uma função de transferência baseada na dinâmica dos atuadores dos CMGs como segue

c d d? ₂ ? 2 2 2 _{n n} n s ?? ? ? ? ? ? (4.13)

onde o denominador representa uma equação característica com um coeficiente de amortecimento ? e uma freqüência natural ? . _n

Uma vez que tal relação é determinada, o trabalho do subsistema é calcular o torque que os CMGs realmente geram. .

A Fig 4.6 abaixo mostra como é feito o subsistema de CMG. Primeiramente deve-se notar os quatro blocos de função de transferência que processam o sinal de entrada d?_c. Também pode ser visto como a saída da função de transferência é o vetor (4x1) de taxas de variação de ângulos da junta rotacional que é multiplicada pela matriz A, resultando no primeiro termo na Eq. (3.4). Sua integração resulta em d , possibilitando o cálculo do torque de saída.

Figura 4.6 – Subsistema da Dinâmica do CMG com função de transferência

5. RESULTADOS

Tendo construído o sistema de controle é essencial testar e verificar o funcionando do sistema.Considerando que o modelo de controle de reorientação desenvolvido para esta investigação é baseado na pesquisa de Wie, Bailey e Heiberg (2001) no uso de uma lógica pseudo- inversa, os resultados publicados por eles provêem uma fonte importante de informação. Embora o modelo desenvolvido contenha algumas diferenças, comparações úteis

) (h h ? ) (? h h ?

podem ser realizadas entre os dois. Assim, a manobra de rotação de 47° apresentada nos estudos de Bailey e Heiberg foi escolhida como meio de comparação para simulação.

Um resumo dos parâmetros da simulação inclusive a função de transferência é mostrado nos apêndices deste trabalho.

Os primeiros resultados a serem analisados são os quatro componentes do vetor de quaternions (q₁,q₂,q₃,q₄). Estes nos permitem avaliar o progresso da mudança de posição ao longo da manobra de reorientação. Neste exemplo, o vetor de quaternions inicial era

) 1 , 0 , 0 , 0 ( ? 0

q e o vetor de quaternions final comandado era q? (0.4,0,0,0.9165). Fig. 5.1 demonstra como o modelo de controle pode solucionar esta reorientação em aproximadamente trinta segundos. A mudança em q representa uma rotação de 47 graus, ₁ enquanto a mudança em q surge da condição de que a soma dos quadrados tem que igualar a ₄ um. Embora esta manobra seja geometricamente simples, do ponto de vista de como evitar uma singularidade, o sistema é muito exigido devido à natureza desta reorientação pois o satélite é forçado para uma situação de singularidade. Esta singularidade acontece quando os ângulos das juntas rotacionais alcançam (90,0,?90,0). A influência da lógica robusta de singularidade pode ser vista na variação temporal de q e ₂ q . Embora a mudança de posição 3 líquida sobre os eixos cartesianos perpendiculares a dimensão principal do corpo da astronave (q e ₂ q ou pitch e yaw) seja zero, a lógica de controle pseudo- inversa gerou estas mudanças ₃ para evitar a singularidade.

Figura 5.1 – Quaternions de Posiçao

O valor absoluto da quantidade de movimento angular gerada pelos CMGs pode ser visto no primeiro gráfico da Fig 5.2. A descontinuidade da linha é um resultado direto da singularidade. Embora a lógica de controle possa passar por este, ela não consegue gerar uma quantidade de movimento do CMG ideal requerida e uma fase de valor constante é o resultado. Usando a lógica pseudo- inversa padrãoAA para esta manobra, resulta no modelo T computacional bloqueado uma vez que encontra a singularidade. Isto também pode ser visto no segundo gráfico na Fig 5.2 o qual mostra como o determinante de AA efetivamente se T

q1 q2

torna zero depois de aproximadamente 1 segundo, significando que a pseudo-inversa não é definida. Em contraste, o determinante da lógica robusta inversa (AAT ??E) nunca atinge valor zero. Isto é impedido de acontecer pelos elementos ?? que são introduzidos pelo i

sistema de controle.

Figura 5.2- Parâmetros de singularidade e quantidade de movimento no tempo

Os resultados acima demonstram que a aproximação de função de transferência gera resultados válidos e que a lógica robusta pseudo-inversa é efetiva na ação de superar as singularidades.

6. CONCLUSÕES

Este trabalho apresentou um modelo computacional de controle para reorientação de um satélite equipado com um grupamento de giroscópios de controle de momento. Os efeitos dinâmicos destes giroscópios sobre a astronave por sua vez são os elementos atuadores responsáveis pela reorientação do satélite.

O maior problema na utilização de giroscópios é a possibilidade do sistema encontrar uma singularidade, problema comentado neste trabalho. Os resultados obtidos com o modelo de sistema de controle de posição apresentado puderam provar a validez da lógica robusta para evitar singularidades. Simulações demonstraram que uma solução não poderia ser determinada usando a lógica de controle standard para manobras envolvendo singularidades visto que o determinante da matriz pseudo- inversa atingiu valor zero durante tal simulação, o que impediria a conclusão da manobra.

O modelo demonstrou ser eficiente e capaz de manobrar o satélite de maneira estável na presença de singularidades, porem apresenta algumas limitações. A primeira limitação é o fato de não ser aplicável em tempo-real devido ao tempo consumido pelo sistema de controle para iniciar a manobra, este modelo demorou cerca de 30 segundos para que os resultados convergirem para uma solução, sendo que um valor aceitável de acordo com a literatura seria um tempo menor que 10 segundos. Uma outra limitação mais evidente do modelo é ser

Quantidade de Movimento det(AAT)

utilizável apenas em satélites robustos sem longos painéis, visto que o modelo foi desenvolvido sob a hipótese de corpo rígido. Se aplicado a satélites com longos painéis este modelo poderia obter resultados consideravelmente errôneos.

Um possível melhoramento para este modelo poderia incluir uma prova de viabilidade para implementação de CMGs de velocidade variável, o que poderia tornar mais eficiente e simples o trabalho de evitar singularidades. O tempo de resposta do modelo atual também poderia ser melhorado implementando um controlador variável do limite de saturação dos torques dos atuadores dos CMGs.

7. BIBLIOGRAFIA CONSULTADA

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APÊNDICES Parâmetros da Simulação: Parâmetro Valor Quaternion Inicial (0,0,0,1) Quaternion Final (0.4,0,0,0.9165) Ganho de posição, K 0.00018J Taxa de Ganho de posição, C J 0006 . 0 Limites de Saturação _{2rad /s}

max ? ?? , _i 10rad/s max ? ? Quantidade de Movimento CMG Nms 1000 Matriz de Inércia 2 . ) 5000 , 20100 , 21400 ( kgm diag Pseudo-Inversa # 1 ] [ ? ? ? A AA E A T T ? Função de Transferência d? d?c 50 4 . 1 50 ? ? s