ANÁLISE DINÂMICA DE SISTEMAS MECÂNICOS ATRAVÉS DE MODELOS REDUZIDOS

ANÁLISE DINÂMICA DE SISTEMAS MECÂNICOS ATRAVÉS DE MODELOS REDUZIDOS Nilson Barbieri1

Oswaldo Honorato de Souza Júnior2 Renato Barbieri3

1, 2, 3 Pontifícia Universidade Católica do Paraná – PUCPR CCET – Curso de Engenharia Mecânica

Rua Imaculada Conceição, 1155 – Prado Velho – CEP: 80215901 – Curitiba – PR

1, 2 Centro Federal de Educação Tecnológica do Paraná - CEFET/PR

2 Instituto de Tecnologia para o Desenvolvimento - LACTEC

Resumo. A maioria dos sistemas matemáticos para simulação do comportamento dinâmico de

sistemas mecânicos envolvem um grande número de graus de liberdade. Para validação de tais modelos existe a necessidade de coleta de informações através de um grande número de sensores colocados em posições adequadas. Normalmente as medições são restritas a poucos pontos devido limitações físicas e do sistema de medição. Neste trabalho, os autores apresentam uma modelagem matemática de um sistema mecânico utilizando-se o Método dos Elementos Finitos. Para validação do modelo são coletados sinais experimentais através de poucos acelerômetros. Aplica-se a técnica de análise modal e ajuste de curvas para levantamento das propriedades físicas do sistema. Aplica-se também algumas técnicas para redução do sistema conforme o número de pontos de dados coletados. Ajusta-se uma matriz de amortecimento para o sistema através do sistema reduzido.

Palavras-chave: cabo, modelo reduzido, elementos finitos, amortecimento estrutural.

ON COMPUTATIONAL METHODS IN ENGINEERING

2nd Brazilian Congress on Computational Mechanics NOVEMBER 7-9, 2001

1. INTRODUÇÃO

A correlação entre dados analíticos e resultados experimentais apresenta dificuldades inerentes na obtenção dos mesmos. Quando testes de vibração são conduzidos, várias fontes de erros podem estar presentes: calibração incorreta dos equipamentos, ruído excessivo, equipamentos danificados, interpretação incorreta dos dados, localização incorreta do transdutor, etc. Modelos analíticos de elementos finitos podem também conter erros: conceitos incorretos de modelagem, incertezas nas propriedades dos materiais, detalhes insuficientes de modelagem, condições de contorno incorretas, etc. Quando os resultados analíticos são diferentes dos dados experimentais, o modelo de elemento finito deve ser corrigido ou realimentado de tal forma que haja uma concordância entre os valores analíticos e experimentais. Desta forma, a realimentação de modelos pode ser considerada como a melhor representação dinâmica de uma estrutura. Mottershead & Friswell (1993), apresentam uma revisão bem consistente a respeito de realimentação de modelos matemáticos obtidos através do Método dos Elementos Finitos (FEM) e dados experimentais obtidos através da colocação de sensores no sistema em análise. As correções dos modelos matemáticos são feitas através do processamento de dados de testes estruturais e comparação com os valores obtidos computacionalmente. Na opinião dos autores, as técnicas mais promissoras ainda necessitam serem testadas em meio industrial.

Friswell et. al. (1995, 1998) , utilizaram um método de realimentação para sistemas reduzidos (IRS- Improved Reduced System) que permite estimar com maior precisão parâmetros modais de um sistema completo. A redução do modelo é feita através de procedimentos dinâmicos. Um processo iterativo permite a convergência para um modelo reduzido que reproduz um conjunto modal do sistema completo.

Na aplicação de modelos reduzidos , um fator limitante, é o procedimento adequado para descrever a matriz de amortecimento do sistema. Neste sentido, Pilkey (1998) descreve um procedimento iterativo para computação da matriz de amortecimento de um sistema qualquer. Existem duas formas de abordagem: conhecendo-se a matriz de inércia, autovalores e autovetores e, conhecendo-se a matriz de inércia, rigidez, autovalores e autovetores. O ajuste é feito através de matrizes reduzidas, obtidas pelo método IRS (Friswell et al. 1995, 1998) e uma matriz modal contendo os graus de liberdade onde são obtidos valores experimentais.

A identificação do amortecimento estrutural tem sido alvo de vários pesquisadores: Norris et al. (1993), Adhikari & Woodhouse (2001a, 2001b), Prells & Friswell (2000), Dalenbring (1999), Huang(2001).

Para validação dos modelos existe a necessidade do ajuste de parâmetros modais. Uma boa revisão das técnicas utilizadas para esta finalidade podem ser obtidas em Maia (1988). Técnicas mais sofisticadas são utilizadas em Bosse et al. (1998).

Normalmente na realimentação de modelos são usados conjuntos incompletos de modos experimentais (Cha & Gu, 2000; Pilkey, 1998; Friswell et al. 1995, 1998). Devido a uma limitação física relativa a quantidade de sensores e posição de fixação, os dados experimentais são limitados a poucos pontos. Esta limitação, acaba por inserir erros aos sistemas (Baruch, 1998). Estes erros podem ser de ordem numérica podendo inclusive modificar as características do sistema. Para tentar reduzir os efeitos de uma medição ruim, a escolha dos pontos de colocação dos sensores é de fundamental importância (Reynier & Abou-Kandil, 1999).

Neste trabalho, os autores apresentam uma modelagem matemática de um sistema de cabos de linhas de transmissão utilizando-se o Método dos Elementos Finitos. Para validação do modelo são coletados sinais experimentais através acelerômetros colocados na metade da amostra. Dois comprimentos de amostras são utilizadas, 13 e 65 metros. Aplica-se a técnica

de análise modal e ajuste de curvas para levantamento das propriedades físicas do sistema (autovalores e autovetores).

Aplica-se também algumas técnicas para redução do sistema conforme o número de pontos de dados coletados. Ajusta-se uma matriz de amortecimento para o sistema através do sistema reduzido.

2. DESCRIÇÃO DA BANCADA DE TESTES

A Fig. 1 mostra esquematicamente os componentes básicos da bancada de cabos condutores. O microcomputador (1) controla o desempenho do teste através do uso de um CLP – Controlador Lógico Programável (2) e monitoramento contínuo dos sinais de dois sensores indutivos de deslocamento, sete sensores de temperatura (13) e um sensor de força (7).

Figura 1 – Esquema da bancada para ensaios automatizados de cabos condutores

Um sistema de pretensionamento mecânico (3-5) serve para aplicar uma tensão mecânica da ordem de 5% da carga de ruptura do material, para colocação dos sensores. A capacidade de tracionamento mecânico deste sistema é da ordem de 10 kN.

O sistema (7-11) serve para controlar automaticamente a carga mecânica no cabo, usando um sistema de servomecanismo (15). O sinal de elétrico de controle é proporcional à diferença entre a carga mecânica programada e a carga medida pela célula de carga (7). A capacidade de tracionamento mecânico deste sistema é 200 kN. Em caso de falta de energia somente o computador e alguns instrumentos permanecem operando através de um “no break”.

Para economizar energia, um sistema automático de peso-morto (11) é usado para manter a tensão mecânica na amostra. Este sistema permite uma grande economia de energia elétrica.

A célula de carga de 200 kN tem uma resolução de 96 N e outra célula de carga de 50 kN tem uma resolução de 25 N.

Os sensores de vibração (acelerômetros) são colocados ao longo da amostra e a excitação é feita diretamente na mesma através de um martelo de impacto.

3. MODELO MATEMÁTICO

Para a análise do efeito de vibrações em cabos condutores, o modelo físico considerado é semelhante a uma viga sob a ação de uma carga axial . O modelo normalmente utilizado para avaliar o comportamento do cabo submetido à ação de um esforço externo (como por exemplo, a excitação devido ao vento) e a um esforço axial (carga para manter o cabo sob a tensão mecânica de projeto), é mostrado na Fig. 2. Considera-se assim, o efeito da carga axial e a flexão que é são os principais fatores que fazem que os cabos falhem por fadiga

Figura 2 - Elemento de viga submetido a um esforço axial.

A equação diferencial que representa o movimento do cabo é dada pela Eq. (1) e pode ser escrita como:

) t , x ( f x ) t , x ( w P t ) t , x ( w A x ) t , x ( w EI + − ₂ = 2 2 2 4 4 ∂ ∂ ∂ ∂ ρ ∂ ∂ (1)

Para resolução numérica utiliza-se o Método dos Elementos Finitos. O elemento finito utilizado é o lagrangeano cúbico.

w1 w2 w3 w4 1 2 3 4 1 2 3 4

onde 1, 2, 3 e 4 representam os pontos modais do elemento e w1,w2,w3 e w4 representam os deslocamentos modais do cabo. Os deslocamentos modais podem ser encontrados, aproximando-se: i i(x)w ) t , x ( w~ ) t , x ( w ≅ =φ (2)

onde wi representa os deslocamentos modais e φi(x) representa as funções de interpolação de

elementos finitos. Substituindo (2) em (1) e fazendo a excitação externa f(x,t) nula, obtêm-se:

) t , x ( x ) t , x ( w~ P t ) t , x ( w~ A x ) t , x ( w~ EI ε ∂ ∂ ∂ ∂ ρ ∂ ∂ _{+ − =} 2 2 2 2 4 4 (3) onde ε(x,t) é um erro cometido devido à aproximação dada em (2). Usando-se o método Galerkin-FEM (Zienkiewicz , 1987), tem-se:

0 2 1 0 =

∫∫

(x,t) j(x)dxdt t t l φ ε (4)

onde l é o comprimento físico do elemento do cabo. Usando (4) em (3), encontra-se a equação do movimento, ou seja:

[ ] [ ]

Mji wi + Kji wi = fj(x,t) (5) onde: ) t , x ( f ) x ( x ) t , x ( w~ P x ) x ( x ) t , x ( w~ EI ) x ( x ) t , x ( w~ EI j l j j j =−         φ ∂ ∂ + ∂ ∂φ ∂ ∂ − φ ∂ ∂ 0 2 2 2 2 3 3 (6) ji l j i j i K dx x ) x ( x ) x ( P x ) x ( x ) x ( EI _ =       +

∫

0 2 2 2 2 ∂ ∂φ ∂ ∂φ ∂ φ ∂ ∂ φ ∂ (7) ij l j i(x) (x)dx M A =

∫

0 φ φ ρ (8)

Para resolução matemática usa-se o elemento lagrangeano cúbico: 1 1 16 / ) 1 9 9 ( ) ( 3 2 1 ξ = − ξ + ξ +ξ− ≤ξ≤ φ (9) 1 1 16 / ) 9 27 9 27 ( ) ( 3 2 2 ξ = ξ − ξ − ξ+ ≤ξ≤ φ (10) 1 1 16 / ) 9 27 9 27 ( ) ( 3 2 3 ξ = − ξ − ξ + ξ+ ≤ξ≤ φ (11)

1 1 16 / ) 1 9 9 ( ) ( 3 2 4 ξ = ξ + ξ −ξ− ≤ξ≤ φ (12)

Para encontrar os parâmetros modais utilizou-se um método simples de identificação modal (SDOF- Single Degree-Of-Freedom) visto que o sistema é levemente amortecido e bem comportado (Maia,1988 ). Este método é baseado na Função Resposta em Freqüência (FRF) entre um sinal de excitação e a grandeza medida. As freqüências naturais são obtidas nos pontos de pico e os demais parâmetros modais através do valor médio da potência.

Os modos de vibrar são obtidos através da equação no domínio da freqüência:

                        =             ) w ( F . . ) w ( F ) w ( h . . ) w ( h . . . . . . . . ) w ( h . . ) w ( h ) w ( X . . ) w ( X n 1 nn 1 n n 1 11 n 1 (13)

onde: w é a freqüência de interesse; Xi valor da variável no nó i; hij valor da matriz de transferência para força aplicada no nó i e variável medida no nó j; Fi força aplicada no nó i.

A rotina de busca (MATLAB - função Fmins) é baseada no procedimento de Nelder-Mead (Dennis e Woods, 1987) e é usada para ajustar as constantes de uma função temporal de acordo com os valores experimentais. Os sinais experimentais são filtrados digitalmente através de um filtro passa-faixa com frequência central em torno da frequência natural do modo de vibrar, em seguida, utilizando-se uma rotina de busca, minimiza-se a função:

) t w sen B t w cos A ( e ) t ( x i di i di t i + = −λ ₍₁₄₎

onde: λi =ξiwni sendo ξi o fator de amortecimento e w freqüência natural, Ai e Bini

constantes que dependem das condições iniciais e wdi é a freqüência amortecida.

Um procedimento iterativo descrito em Pilkey (1998) pode ser utilizado para ajuste de um sistema reduzido de equações. O procedimento é baseado em um sistema de equações particionadas conforme os sinais medidos e os sinais não medidos, ou seja:

      =             +             0 f x x K K K K x x M M M M m s m ss sm ms mm s m ss sm ms mm (15)

onde: M é a matriz de inércia, K é a matriz de rigidez, x é o vetor deslocamento, f é o vetor excitação, m são os pontos nodais medidos e s são os pontos nodais não medidos.

Vários métodos podem ser empregados para obtenção de matrizes de inércia e rigidez reduzidas.

3.1 - Redução estática

Desconsiderando o termo inercial na Eq. (15), tem-se:

[ ]

Ksm

{ }

xm +

[ ]

Kss

{ }

xs =0 (16) e

[ ]

s

{ }

m s m x T x x =       (17)

onde

[ ]

T_s é a matriz de transformação estática:

[ ]

_      − = ₋ sm 1 ss s K K I T (18)

As matrizes reduzidas são:

[ ] [ ] [ ][ ]

s T s r T M T M = (19)

[ ] [ ] [ ][ ]

s T s r T K T K = (20)

3.2 - Sistema Reduzido Melhorado (IRS-Improved Reduced System)

Este método é usado após a transformação estática (Eq. (18)). Ele é computacionalmente mais dispendioso, embora permita uma melhor aproximação do modelo pois inclui as forças inerciais. A matriz de transformação é dada por:

[ ] [ ] [ ][ ][ ][ ] [ ]

r 1 r s s IRS T S M T M K T = + − (21)

[ ]

_      = ₋₁ ss K 0 0 0 S (22)

3.3 - Sistema Reduzido Melhorado Iterativo (Iterated IRS)

A matriz de transformação para o Sistema Reduzido Melhorado Iterativo é obtida por:

[ ]

_      = + + 1 i 1 i t I T (23)

[ ] [ ] [ ] [

][ ][ ] [ ]

ri 1 ri i ss sm 1 ss s 1 i t K M M T M K t₊ = + − − (24) com

[ ] [ ] [ ] [ ]

sm 1 ss s 0 t K K t = =− − (25)

As matrizes de massa e rigidez na i-ésima iteração é definida por:

[ ] [ ] [ ][ ]

i T i ri T M T M = (26)

[ ] [ ] [ ][ ]

i T i ri T K T K = (27)

3.4 - Identificação do amortecimento estrutural

Conhecendo-se a matriz de inércia

[ ]

M , matriz diagonal principal dos autovalores

[ ]

Λ ; a matriz modal

[ ]

Φ e uma matriz de amortecimento inicial

[ ]

C é possível usar um₀ procedimento iterativo descrito por Pilkey (1998) cujos passos são:

1. Inicializa a variável contadora m=1, Normalização dos autovetores, tal que:

[ ] [

]

(

2M _i C_{m 1}

)

_i 1 T i λ + Φ = Φ ₋ (28) 2. Matriz de amortecimento

[ ]

Cm

[ ] [ ] [ ][ ] [ ]

Cm M

(

2 T

[ ][ ]

2

[ ]

)

[ ]

M ∗ Φ Λ Φ + Φ Λ Φ − = (29)

onde os símbolos (sobrescritos) T representa matriz transposta, _ representa matriz complexa conjugada e * representa matriz complexa conjugada transposta.

3. Verificação da convergência, Se a convergência não for encontrada, adiciona-se um passo á variável contadora, ou seja, m=m+1.

4. RESULTADOS

O cabo utilizado é do tipo IBIS cujos parâmetros são: massa específica 0,8127 [kg/m]; rigidez flexural (EI) 11,07 Nm2 .

Para a identificação modal foram colocados cinco acelerômetros no cabo, nas posições L/2, 3L/8, L/4, L/8 e L/16. A excitação do sistema foi realizada através de um martelo de impacto. Na solução numérica foram utilizados apenas 10 elementos finitos e os autovalores/autovetores foram obtidos através da matriz de estado e com uso do software MATLAB. Dois comprimentos de amostras foram utilizadas: 13,385 e 65,378m. A tração mecânica no cabo foi mantida constante em 15860N. As Tabelas 1 e 2 mostram os valores das cinco primeiras freqüências naturais obtidas por quatro métodos diferentes. Os valores teóricos foram obtidos através da Eq. (30):

EI PL n n A EI L w ₂ 2 2 4 2 2 π + ρ π = (30)

onde: n é o número do modo; L é o comprimento do cabo; P é carga de tração e ρ é a massa específica, A é a área da seção transversal.

Nota-se que os resultados teóricos (Eq. (30)) e os resultados obtidos através do Método dos Elementos Finitos (FEM) estão próximos. Os resultados obtidos experimentalmente através do método de busca (Eq. (14)) e do Método SDOF (Maia, 1988) também apresentam valores satisfatórios. A diferença entre os valores analíticos e experimentais são justificados, uma vez que no modelo matemático não está presente o amortecimento estrutural e efeitos de não linearidade (torção dos fios) e o efeito de propagação de ondas.

Os cinco primeiros modos de vibrar para os dois comprimentos das amostras estão representados nas Figuras 3 e 4. Nota-se que existe uma grande concordância entre os resultados.

Tabela 1 - Resultados teóricos e experimentais (amostra de 13,385m) Solução ω1 [hertz] ω2 [hertz] ω3 [hertz] ω4 [hertz] ω5 [hertz] Teórica 5,2181 10,4363 15,6545 20,8727 26,0909 FEM 5,2182 10,4371 15,6572 20,8799 26,1074 Experimental busca 5,2276 10,4603 15,6638 20,9681 26,1545 Experimental SDOF 5,2500 10,4687 15,6562 20,9687 26,1250

Figura 3 - Modos de vibrar (amostra de 13,385 m) primeiro modo 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5

posição relativa na amostra

a m p lit ude segundo modo 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5

posição relativa na amostra

a m p lit ude terceiro modo -1,0 -0,8 -0,6 -0,4 -0,2 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5

posição relativa na amostra

a m p lit ude quarto modo -1,0 -0,8 -0,6 -0,4 -0,2 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5

posição relativa na amostra

a m p lit u de quinto modo -1,0 -0,8 -0,6 -0,4 -0,2 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5

posição relativa na amostra

a m p lit ude TEÓRICA 1GL FEM

Tabela 2 - Resultados teóricos e experimentais (amostra de 65,378m) Solução ω1 [hertz] ω2 [hertz] ω3 [hertz] ω4 [hertz] ω5 [hertz] Teórica 1,0687 2,1374 3,2061 4,2748 5,3435 FEM 1,0683 2,1367 3,2050 4,2734 5,3419 Experimental busca 1,1159 2,1234 3,1829 4,2509 5,3081 Experimental SDOF 1,1250 2,0938 3,1562 4,2500 5,2812

Figura 4 - Modos de vibrar (amostra de 65,378 m) primeiro modo 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5

posição relativa na amostra

a m p lit ude segundo modo 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5

posição relativa na amostra

a m p lit ude terceiro modo -1,0 -0,8 -0,6 -0,4 -0,2 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5

posição relativa na amostra

a m p lit ude quarto modo -1,0 -0,8 -0,6 -0,4 -0,2 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5

posição relativa na amostra

a m p lit u de quinto modo -1,0 -0,8 -0,6 -0,4 -0,2 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5

posição relativa na amostra

a m p lit ude TEÓRICA 1GL FEM

A Tab. 3 contêm as cinco primeiras freqüências naturais obtidas através de oito pontos nodais: L/18, 2L/18, 3L/18, 4L/18, 5L/18, 6L/18, 7L/18, 8L/18. A Tab. 4 contêm as cinco primeiras freqüências naturais obtidas através de cinco pontos nodais: L/18, 3L/18, 5L/18, 7L/18, 9L/18. Estas posições foram escolhidas utilizando-se um modelo numérico com 6 elementos finitos. O modelo teórico na Tab. 3 é composto por matrizes de ordem 17 x 17 e os modelos reduzidos por matrizes de ordem 8 x 8. O modelo teórico na Tab. 4 é composto por matrizes de ordem 17 x 17 e os modelos reduzidos por matrizes de ordem 5 x 5. Nota-se que os resultados dos sistemas reduzidos por Redução estática e através do método IRS apresentam resultados pobres. Os resultados obtidos pelo método IRS iterativo são consistentes.

Tabela 3 - Resultados com modelos reduzidos (amostra de 13,385m)

Solução ω1 [hertz] ω2 [hertz] ω3 [hertz] ω4 [hertz] ω5 [hertz] Teórica 5,2183 10,4372 15,6583 20,8867 26,1366 Redução estática 5,5323 13,8285 24,1944 35,4332 47,6293 IRS 5,2207 10,8153 18,6029 28,8630 40,6313 IRS iterativo 5,2183 10,4373 15,6591 20,8877 26,1378

Tabela 4 - Resultados com modelos reduzidos (amostra de 13,385m)

Solução ω1 [hertz] ω2 [hertz] ω3 [hertz] ω4 [hertz] ω5 [hertz] Teórica 5,2183 10,4372 15,6583 20,8867 26,1366 Redução estática 5,4434 13,1435 23,2109 34,4802 47,3372 IRS 5,2200 10,7316 18,1510 28,2306 42,2949 IRS iterativo 5,2183 10,4373 15,6604 20,8954 26,1413

A Fig. 5 contêm o sinal ajustado (parte superior) através de uma rotina de busca e o sinal medido (parte inferior) para o acelerômetro colocado na posição L/2 da amostra. Este sinal medido foi filtrado digitalmente através de um filtro passa-faixa com frequência central em torno da frequência natural do primeiro modo de vibrar, em seguida, utilizando-se uma rotina de busca, minimizou-se a função representada na Eq. (14).

Figura 5 - Valores ajustado (superior) e medido (inferior) da resposta do sistema A Tab. 5 mostra os valores ajustados para os primeiros oito autovalores (tempo). Utilizando-se a mesma rotina de busca e usando as matrizes reduzidas obtidas pelo método IRS iterativo, procurou ajustar uma matriz de amortecimento. Os novos autovalores ajustados para o sistema estão representados na Tab. 5 (modos).

Tabela 5 – Autovalores ajustados. Modo busca (tempo) busca (modos) primeiro -0,80 + 31,61i -0,80 + 32,79i segundo -0,84 + 63,77i -0,84 + 65,56i terceiro -1,03 + 95,42i -1,03 + 98,39i quarto -0,89 + 128,52i -0,89 + 131,22i quinto -0,87 + 159,94i -0,87 + 164, 23i sexto -0,95 + 195,08i -0,95 + 198,17i sétimo -1,16 + 228,30i -1,16 + 231,53i oitavo -1,02 + 262,71i -1,02 + 266,58i

A matriz de amortecimento ajustada pelo método de busca é:

-0,04 -0,02 0,00 0,02 0,04 0 5 10 15 20 25 30 tempo (s) a c e le ra ç ão (g ) -0,04 -0,02 0,00 0,02 0,04 0 5 10 15 20 25 30 tempo (s) a c e le ra ç ão (g )

1,8166 -2,2625 1,2458 0,1570 -0,8952 0,8031 -0,3905 0,0962 -2,2625 3,1359 -2,3570 0,8540 0,2797 -0,5963 0,3779 -0,1074 1,2458 -2,3570 3,0736 -3,1041 2,3578 -1,2744 0,4730 -0,1022 0,1570 0,8540 -3,1041 5,2862 -5,6767 4,0945 -1,9672 0,5128 -0,8952 0,2797 2,3578 -5,6767 7,1420 -5,7410 2,9908 -0,8207 0,8031 -0,5963 -1,2744 4,0945 -5,7410 4,9525 -2,7092 0,7660 -0,3905 0,3779 0,4730 -1,9672 2,9908 -2,7092 1,5353 -0,4441 0,0962 -0,1074 -0,1022 0,5128 -0,8207 0,7660 -0,4441 0,1354

Na tentativa de ajuste de uma matriz global de amortecimento estrutural, procurou-se modelar o amortecimento da forma C=αM +βK . Procedeu-se um novo ajuste, através da rotina de busca, e os valores ajustados para os parâmetros foram: α=0,099940 e

6 10 511699 , 7 × − =

β . Estes valores estão próximos dos valores encontrados por Barbieri et al. (1999) que utilizou um procedimento de tentativa e erro para ajuste da resposta do sistema no domínio do tempo. A matriz ajustada através dos parâmetros anteriores é:

1,8177 -2,2652 1,2464 0,1566 -0,8939 0,8031 -0,3906 0,0961 -2,2652 3,1365 -2,3584 0,8541 0,2793 -0,5965 0,3776 -0,1071 1,2464 -2,3584 3,0759 -3,1061 2,3572 -1,2737 0,4732 -0,1020 0,1566 0,8541 -3,1061 5,2846 -5,6774 4,0937 -1,9658 0,5119 -0,8939 0,2793 2,3572 -5,6774 7,1446 -5,7417 2,9899 -0,8203 0,8031 -0,5965 -1,2737 4,0937 -5,7417 4,9492 -2,7084 0,7667 -0,3906 0,3776 0,4732 -1,9658 2,9899 -2,7084 1,5341 -0,4441 0,0961 -0,1071 -0,1020 0,5119 -0,8203 0,7667 -0,4441 0,1309

Nota-se que existe uma grande concordância entre as duas matrizes ajustadas.

O método de ajuste descrito no ítem (3.4) e utilizado por Pilkey(1998) apresentou bons resultados para valores teóricos com rápida convergência. Para valores experimentais os autores ainda não obtiveram valores consistentes.

5. CONCLUSÕES

Os valores ajustados para os autovalores e autovetores através de métodos analíticos e experimentais apresentaram valores consistentes.

Os modelos reduzidos obtidos através de redução estática e pelo método IRS apresentaram resultados pobres. O modelo reduzido obtido pelo método IRS iterativo apresentou resultados consistentes.

Os autovalores ajustados através de rotina de busca utilizando o domínio do tempo e através de uma matriz de amortecimento reduzida, apresentaram resultados próximos.

Os valores dos parâmetros ajustados (α e β) para descrever uma matriz de amortecimento global apresentaram valores próximos de outros valores obtidos pelos autores através de método diferente.

O ajuste de amortecimento através do ítem (3.4) apresentou bons valores somente para sistemas teóricos (rápida convergência).

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