Oscilador Harmônico Quântico 1D Confinado e sua Energia Variacional obtida com Auxílio da Supersimetria

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Oscilador Harmˆ

onico Quˆ

antico 1D Confinado e sua

Energia Variacional obtida com Aux´ılio da

Supersimetria

E. DRIGO FILHO1

, Departamento de F´ısica, IBILCE, UNESP, 15054-000 S˜ao Jos´e do Rio Preto, SP, Brasil.

R.M. RICOTTA2_{, Departamento de Ensino Geral, FATEC/SP CEETEPS} -UNESP, 01124-060 S˜ao Paulo, SP, Brasil.

Resumo. O estado fundamental do oscilador harmônico quântico unidimensional confinado é determinado através do Método Variacional aliado ao formalismo da Mecânica Quântica Supersimétrica. São apresentados resultados numéricos para vários valores do raio de confinamento. Observa-se que o autovalor de energia para o problema não confinado é recuperado quando este raio se torna muito grande.

1. Introdu¸

c˜

ao

Os recentes avan¸cos tecnológicos relacionados à nanotecnologia, como nanotubos, nanofios e pontos quânticos, têm renovado o interesse em sistemas quânticos confina-dos em regiões espacialmente limitadas. Nesta dire¸cão, como exemplo de aplica¸cão tecnológica, pode-se citar o uso de pontos quânticos em semicondutores, [15].

Paralelamente ao desenvolvimento e aplica¸cão tecnológica, esfor¸co tem sido des-prendido no estudo teórico de sistemas confinados; um exemplo é o tratamento do átomo de hidrogênio, [22], em situa¸cões onde há confinamento. Neste sentido, diferentes técnicas matemáticas, como a expansão 1/N, [18], o método WKB, [19], e o método perturbativo, [1], têm sido empregadas objetivando a determina¸cão dos n´ıveis de energia de tais sistemas. Particularmente, o método variacional tem sido bastante lembrado e aplicado neste tipo de problema (vide referências [14], [22] e [23] e trabalhos lá citados). A abordagem tradicional deste método consiste em encontrar uma fun¸cão de onda para ser usada como teste na obten¸cão do valor esperado da energia. Uma inova¸cão neste tratamento foi sugerida baseada no uso da supersimetria em Mecânica Quântica.

O formalismo resultante da Mecânica Quântica Supersimétrica, MQS, [4, 5, 12, 13], tem sido usado com muito sucesso na análise de problemas quânticos; vale destacar o tratamento de potenciais exatamente, [2, 20, 21], e parcialmente solúveis, [6, 7, 16]. Usando este formalismo é poss´ıvel encontrar um potencial efetivo e,

1_{elso@df.ibilce.unesp.br; apoio financeiro parcial do CNPq.} 2_{regina@fatecsp.br}

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a partir dele, a fun¸cão de onda teste a ser usada no método variacional. O elo entre potencial e fun¸cão de onda é feito através do chamado superpotencial. Esta linha de racioc´ınio foi primeiro usada no estudo de sistemas não confinados, [3, 8, 9], e, mais recentemente, para os sistemas confinados, [10, 11]. Entretanto, até o momento apenas sistemas confinados tridimensionais têm sido tratados usando o método variacional aliado à MQS.

Neste trabalho são determinados variacionalmente os autovalores de energia do estado fundamental para o oscilador harmônico unidimensional para vários valores do raio de confinamento R. Uma modifica¸cão na forma do superpotencial utilizado é sugerida em rela¸cão ao caso tridimensional. Também é mostrado que o resultado variacional coincide com o valor encontrado analiticamente para o problema sem confinamento quando R se torna muito grande.

2. MQS

No formalismo da MQS, [4, 12, 13, 5], com N = 2 têm-se dois operadores Q e Q+ que satisfazem as seguintes rela¸cões de anti-comuta¸cão:

{Q, Q} = {Q+ , Q+

} = 0 , {Q, Q+

} = Hss, (2.1)

onde Hssé o Hamiltoniano supersimétrico. A realiza¸cão usual destes operadores é feita através de matrizes 2 × 2, a saber:

Q= 0 0 A− 0 , Q+ = 0 A+ 0 0 . (2.2)

Os operadores A±_{são chamados operadores bosˆ}_{onicos. Considerando a dependência} em apenas uma variável (x), estes operadores podem ser escritos como:

A±=√1 2 ∓d dx + W (x) , (2.3)

onde W (x) ´e chamado de superpotencial.

Com a estrutura indicada acima, o Hamiltoniano supersim´etrico ´e escrito como uma matriz diagonal 2 × 2, ou seja:

HSS = A+ A− 0 0 A− A+ = H+ ₀ 0 H− . (2.4) Os operadores H±

s˜ao conhecidos como companheiros supersim´etricos e possuem a seguinte forma: H± = −h 2 2m d2 dx2 + V±(x) = −h 2 2m d2 dx2 + 1 2(W 2 (x) ∓ W′ (x)). (2.5) onde W′ =dW_dx.

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A estrutura algébrica da MQS permite várias aplica¸cões no estudo de sistemas quânticos, em particular, ela pode ser usada como base para um método de solu¸cão da equa¸cão de Schrödinger. Este método inicia-se com a fatora¸cão de um dado Hamiltoniano em termos dos operadores bosônicos (2.3). Desta forma, partindo-se de um Hamiltoniano original H0, H0= − h2 2m d2 dx2 + V0(x), (2.6)

deve-se procurar por um superpotencial que permita escrever este operador como H+ _{= A}+_A−

. Isto pode ser conseguido resolvendo a seguinte equa¸cão de Ricatti para o superpotencial, ou seja, obtendo a solu¸cão para W (x) na equa¸cão:

V0(x) = 1 2(W (x) 2 −dW(x) dx ) + E0. (2.7)

Esta rela¸cão segue diretamente da defini¸cão dos Hamiltonianos companheiros su-persimétricos em (2.5). O termo constante E0 é o autovalor de energia do estado fundamental, sua adi¸cão garante a constru¸cão do Hamiltoniano como um produto dos dois operadores bosônicos. Por conveniência, optou-se por usar m = h = 1. Essa escolha particular de unidades simplifica a nota¸cão sem afetar a generalidade dos resultados apresentados.

Um aspecto fundamental do presente tratamento ´e que a super-´algebra garante que:

A−Ψ0(x) = 0, (2.8)

ou seja, usando a defini¸c˜ao (2.3):

Ψ0(x) = N exp(− Z x

0

W(y)dy). (2.9)

onde N ´e a constante de normaliza¸c˜ao.

O processo descrito acima para a solu¸cão do estado fundamental da equa¸cão de Schrödinger pode ser estendido para estados excitados através da hierarquia de Hamiltonianos, [2, 4, 5, 12, 13, 20, 21]. Entretanto, para os propósitos deste trabalho basta a descri¸cão do tratamento para o estado fundamental.

Nem todos os potenciais (V0(x)) de interesse permitem obter a solu¸cão anal´ıtica da equa¸cão de Ricatti (2.7). Quando esta solu¸cão não é poss´ıvel, a equa¸cão (2.7) permite uma busca sistemática por solu¸cões aproximadas para o superpotencial. Esta busca é feita determinando-se potenciais efetivos (Vef(x)) similares ao poten-cial original. Uma vez que o superpotenpoten-cial aproximado seja escolhido, a rela¸cão (2.9) fornece automaticamente uma fun¸cão de onda aproximada para o problema. Esta fun¸cão pode ser usada no Método Variacional.

3. M´

etodo Variacional

O Método Variacional tem sido amplamente usado como método aproximativo para determina¸cão de autovalores de energia, principalmente para o estado fundamen-tal. O formalismo e a fundamenta¸cão matemática para sua aplica¸cão podem ser

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encontrados em diversos livros textos de Mecânica Quântica (vide, por exemplo, a referência [17]). Em essência, uma fun¸cão de onda teste deve ser usada para de-terminar um valor esperado da energia; a minimiza¸cão da energia em termos dos parâmetros da fun¸cão teste fornece um limite superior para o autovalor da energia procurado. A determina¸cão da fun¸cão de onda teste é o ponto chave desta abor-dagem; quanto melhor a qualidade desta fun¸cão melhor serão os resultados obtidos.

Em termos matem´aticos, o valor esperado da energia ´e dado por: Eµ=

R Ψ∗

µH0Ψµdx R | Ψµ|2dx

, (3.1)

onde H0é o Hamiltoniano original e Ψµ(x) é a fun¸cão de onda teste que depende do conjunto de parâmetros {µ}. O valor esperado da energia Eµ deve ser minimizado em termos destes parâmetros. A integral no denominador corresponde à norma-liza¸cão de Ψµ(x). Os extremos de integra¸cão dependem do problema sob análise no caso de interesse, ou seja, no confinamento em uma dimensão esses extremos vão de −R até +R, onde R é o raio do confinamento.

A contribui¸cão da super-álgebra para o Método Variacional está na determina¸cão da fun¸cão de onda teste, como descrito no último parágrafo da se¸cão anterior. Assim, através da escolha do superpotencial e do cálculo da fun¸cão de onda, equa¸cão (2.9), o potencial efetivo, semelhante ao potencial original, é obtido, sendo dado por

Vef(x) = 1 2 W¯

2

− ¯W′ + E(¯µ), (3.2)

onde ¯W = W (¯µ) ´e o superpotencial para {µ = ¯µ}, o conjunto de parˆametros que minimiza (3.1).

4. Oscilador Harmˆ

onico Unidimensional Confinado

O sistema espec´ıfico a ser estudado é o oscilador harmônico unidimensional con-finado na região −R < x < R. A fun¸cão potencial para este sistema é escrita como: V(x) = 1 2x 2 , _{−R < x < R} = +∞ , x= ±R. (4.1)

Assim, o Hamiltoniano para o oscilador harmônico dentro da região de confina-mento, em unidades atômicas, fica sendo:

H = −1₂ d 2

dx2 + x2

2 . (4.2)

O confinamento é produzido por uma barreira infinita na posi¸cão x = ±R. O limite para que o sistema possa ser considerado não confinado ocorre quando o raio R assume valores grandes. O sistema não confinado permite solu¸cão para todos os n´ıveis de energia; particularmente o estado fundamental possui autovalor de energia

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igual a 1

2, nas unidades adotadas [17]. O superpotencial sugerido para este problema ´e

W(x) = − µ1 x_{− R}−

µ2

x+ R+ µ3x, (4.3)

que depende de três parâmetros (µ1, µ2, µ3) que serão usados como parâmetros variacionais. Os primeiros dois termos do superpotencial garantem que o potencial, obtido pela equa¸cão de Ricatti (2.7), vá para infinito quando x → R. É importante notar que o potencial nesta abordagem pode ser escrito a menos de uma constante aditiva que, no caso de solu¸cão exata, corresponderia ao próprio autovalor de energia como indicado em (2.7). O último termo do superpotencial corresponde ao termo usual quando não há confinamento, [2].

Explicitamente, o potencial efetivo, dado pela equa¸c˜ao (3.2), tem a seguinte forma Vef(x) = ¯ µ2 3 2 x 2 +µ¯1(¯µ1− 1) 2(x − R)2 + ¯ µ2(¯µ2− 1) 2(x + R)2 − ¯ µ1µ¯3x x− R − ¯ µ2µ¯3x (x + R) + µ¯1µ¯2 x2_{− R}2 − ¯ µ3 2 + E(¯µ), (4.4)

que diverge quando x = ±R, como esperado no sistema confinado. Note-se que o potencial efetivo ´e calculado para valores do conjunto de parˆametros {¯µ} que minimizam a energia.

A fun¸cão dada em (4.3) difere dos superpotenciais usados para confinamento em três dimensões, [10, 11], pela inclusão de um termo a mais de barreira de potencial para quando x → −R. Esse termo é desnecessário no estudo de equa¸cões radiais em três dimensões, uma vez que a variável radial jamais poderá assumir valores negativos.

Usando a rela¸cão entre superpotencial e fun¸cão de onda (2.9) obtém-se a fun¸cão teste:

Ψµ(x) = (x − R)µ1 (x + R)µ2 e−µ3x

2

/2

. (4.5)

Essa fun¸c˜ao permite determinar variacionalmente autovalores de energia para o sistema estudado para diferentes valores do raio de confinamento.

A energia é então obtida pela minimiza¸cão do valor esperado da energia com rela¸cão a µ. Assim, a equa¸cão a ser minimizada é dada por

Eµ= RR −RΨµ(y)[− 1 2 d2 dx2 + x2 2]Ψµ(y)dy RR −RΨµ(y)2dy . (4.6)

Os resultados obtidos, usando na equa¸cão (4.6), o Hamiltoniano (4.2) e a fun¸cão (4.5) estão mostrados na Tabela 1. Observa-se que quando o valor do raio R está próximo de 6, 5 o sistema já pode ser considerado não confinado no que se refere ao estado fundamental.

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Raio de Confinamento Energia Variacional R Evariacional 1.0 1.29847 2.0 0.537913 3.0 0.500618 4.0 0.500028 4.5 0.500009 5.0 0.500004 5.5 0.500002 6.0 0.500001 6.31896 0.500000

Tabela 1: Resultados para os autovalores de energia (em Rydbergs) para o oscilador harmônico unidimensional confinado com diferentes valores do raio de confinamento R. Os autovalores foram obtidos usando Método Variacional com fun¸cões de ondas testes fornecidas pelo superpotencial.

5. Conclus˜

ao

O tratamento apresentado neste trabalho consiste no uso do M´etodo Variacional aliado ao formalismo da MQS. Observa-se que os resultados para sistemas confi-nados tridimensionais, [10, 11], podem ser adaptados para tratamento de sistemas unidimensionais.

Os resultados numéricos obtidos são consistentes com o esperado. O efeito do confinamento é significativamente mais pronunciado para valores pequenos do raio de confinamento. A medida que esse raio aumenta o sistema se aproxima do caso não confinado. Uma vez que o valor de R se torne suficientemente grande, o auto-valor de energia coincide com o caso não confinado, ou seja, E = 1

2 para o estado fundamental.

A metodologia usada no presente trabalho, apesar de simples, se mostra bastante ´

util, tendo sido aplicada em vários contextos com sucesso. Os resultados obtidos indicam que problemas envolvendo sistemas unidimensionais confinados também podem ser proveitosamente estudados através da abordagem proposta.

Agradecimentos

Os autores agradecem à Prof. Dra. Socorro Rangel pela discussão dos tópicos apresentados neste trabalho.

Abstract. The lowest energy level of the one-dimensional confined quantum har-monic oscillator is determined through the Variational Method associated to the formalism of Supersymmetric Quantum Mechanics. Numerical results for different values of the radius of confinement are presented. It is observed that the energy eigenvalue of the non-confining problem is recovered when this radius becomes large.

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