Agnaldo Monteiro Farias
Novas formulações de elementos finitos e
simulações multifísicas
CAMPINAS 2014
Ficha catalográfica
Universidade Estadual de Campinas
Biblioteca do Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica Ana Regina Machado - CRB 8/5467
Farias, Agnaldo Monteiro,
F225n FarNovas formulações de elementos finitos e simulações multifísicas / Agnaldo Monteiro Farias. – Campinas, SP : [s.n.], 2014.
FarOrientador: Philippe Remy Bernard Devloo.
FarTese (doutorado) – Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica.
Far1. Simulação multifísica. 2. Método dos elementos finitos. 3. Galerkin, Métodos de. 4. Análise numérica. I. Devloo, Philippe Remy Bernard,1958-. II. Universidade Estadual de Campinas. Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica. III. Título.
Informações para Biblioteca Digital
Título em outro idioma: New formulations of finite element and multiphysics simulation Palavras-chave em inglês:
Multiphysics simulation Finite element method Galerkin methods Numerical analysis
Área de concentração: Matemática Aplicada Titulação: Doutor em Matemática Aplicada Banca examinadora:
Philippe Remy Bernard Devloo [Orientador] Eduardo Cardoso de Abreu
Cristiane Oliveira de Faria Lucia Catabriga
Marcio Arab Murad
Data de defesa: 05-12-2014
Programa de Pós-Graduação: Matemática Aplicada
Abstract
The issues of interest in this thesis are related to non classical formulations of the finite element method (FEM). In this sense, the main focus is on developing computational tools for the FEM targeting the simulation of multiphysics problems. This type of pro-blem often occurs in engineering applications modeled by coupling several physical phe-nomena, which can be resolved in a single numerical simulation. This kind of modeling is called multiphysics simulation. In this context, to obtain an optimized simulation, it is convenient to give a different treatment for each physical phenomenon involved. For instance, in the FEM context, such multiphysics approach can be accomplished by cho-osing different approximation subspaces in accordance with the phenomena considered. For the verification of the developed code, a problem of fluid-structure interaction in linear poroelasticity and a problem of flow in porous media with tracer injection are solved in the context of multiphysics simulation. H1-conforming approximation is used
for the displacement of the porous matrix, Hdiv-conforming for the fluid flow and dis-continuous functions for the approximation of fluid pressure and saturation. In another development, the discontinuos-continuous Galerkin formulation is considered for pro-blems of linear elasticity. In such formulation, the spaces finite elements are formed by continuous or discontinuous functions in different regions of the domain. Another study refers to the Petrov-Galerkin scheme with test functions optimized by symmetri-zation. A new approach to the method by means of two approximations by continuous Galerkin method is proposed. The implementation and verification of all considered formulations are made on the object-oriented programming environment called NeoPZ. Keywords: finite element, discontinuous-continuous Galerkin, multiphysics simula-tion, Petrov-Galerkin.
Resumo
Os assuntos de interesse nesta tese dizem respeito a formulações não clássicas do método dos elementos finitos (MEF). Neste sentido, o foco principal está no desenvolvimento de ferramentas computacionais para o MEF visando simulações de problemas multi-físicos. Este tipo de problema ocorre, frequentemente, nas aplicações de Engenharia modeladas pelo acoplamento de diversos fenômenos físicos, os quais podem ser resol-vidos numa única simulação numérica. A esta modelagem dá-se o nome de simulação multifísica. Neste contexto, para se obter uma simulação otimizada, é conveniente dar
um tratamento diferenciado para cada fenômeno físico envolvido. No MEF, por exem-plo, tal abordagem multifísica pode ser realizada pela escolha de diferentes subespaços de aproximação, em conformidade com os fenômenos considerados. Para efeito de ve-rificação do código desenvolvido, resolvem-se dois problemas no contexto de simulação multifísica. Um problema de acoplamento fluido-estrutura em poroelasticidade linear e um problema de escoamento em meios porosos com injeção de traçador. Utilizam-se subespaços de aproximação H1-conformes para o deslocamento da matriz porosa,
Hdiv-conformes para o fluxo de fluido e funções descontínuas para a aproximação da pressão do fluido e da saturação. Outro desenvolvimento diz respeito a formulações combinadas de Galerkin contínuo-descontínuo para problemas de elasticidade linear. Na abordagem proposta, os espaços de elementos finitos são formados por funções con-tínuas ou desconcon-tínuas, em diferentes regiões do domínio. Estuda-se também o esquema de Petrov-Galerkin com funções teste otimizadas via simetrização. Aplica-se uma nova abordagem para este método através de duas aproximações pelo método de Galerkin contínuo. A implementação e avaliação do desempenho de todas as formulações pro-postas são feitas no ambiente de programação orientada a objetos chamado NeoPZ. Palavras-chave: elementos finitos, Galerkin contínuo-descontínuo, simulação multifí-sica, Petrov-Galerkin.
Sumário
1 Introdução 1
1.1 Motivação . . . 1
1.2 Objetivos . . . 2
1.3 Principais tópicos e contribuições da tese . . . 3
1.4 Organização do trabalho . . . 6 2 Conceitos básicos 9 2.1 Introdução . . . 9 2.2 Notações . . . 9 2.3 Espaços funcionais . . . 10 2.3.1 Espaços Hm(Ω) e Hdiv(Ω) . . . . 11
2.4 Método de Galerkin (ou Bubnov-Galerkin) . . . 15
2.5 Método de Petrov-Galerkin . . . 18
2.6 Formulação variacional mista . . . 20
3 Formulações de elementos finitos 23 3.1 Introdução . . . 23
3.2 Problema modelo . . . 24
3.2.1 Formulação clássica H1-conforme . . . 24
3.2.2 Formulação de Galerkin descontínuo . . . 24
3.2.3 Formulação mista . . . 28
3.3 Subespaços de elementos finitos . . . 29
3.3.1 Subespaços de aproximação H1-conformes . . . . 29
3.3.2 Subespaços de aproximação descontínuos . . . 32
3.3.3 Subespaços de aproximação Hdiv-conformes . . . 32
3.5 Aplicação numérica . . . 37
4 Método da dupla projeção 41 4.1 Introdução . . . 41
4.2 Métodos de Petrov-Galerkin . . . 42
4.2.1 Método de Petrov-Galerkin ótimo via simetrização . . . 42
4.2.2 Método de Petrov-Galerkin descontínuo ótimo . . . 45
4.3 Método da dupla projeção (MDP) . . . 47
4.4 Experimento numérico . . . 49
5 MEF contínuo-descontínuo 53 5.1 Introdução . . . 53
5.2 MEF CD para elasticidade linear . . . 54
5.2.1 Formulação MEF contínuo . . . 55
5.2.2 Formulação MEF descontínuo . . . 55
5.2.3 Formulação MEF CD . . . 56
5.3 Problema de Girkmann . . . 58
5.3.1 Descrição do problema . . . 59
5.3.2 Resultados numéricos . . . 60
5.3.3 Comparação com outros resultados da literatura . . . 66
6 Simulação multifísica no NeoPZ 69 6.1 Introdução . . . 69
6.2 NeoPZ . . . 70
6.2.1 Procedimento de cálculo . . . 71
6.2.2 Descrição dos principais módulos . . . 72
6.3 Implementação multifísica . . . 76
6.3.1 Descrição detalhada . . . 77
6.3.2 Classes implementadas . . . 80
6.3.3 Etapas para simulação multifísica . . . 84
6.4 Verificação numérica . . . 90
7 Simulação multifísica do problema poroelástico linear 95 7.1 Introdução . . . 95
7.2 Descrição do problema . . . 95
7.3 Formulação variacional mista . . . 98
7.4 Aplicações . . . 101
7.4.1 Problema de Terzaghi . . . 101
8 Simulação multifísica do problema de injeção de traçador em meios porosos 113 8.1 Introdução . . . 113
8.2 Modelo matemático . . . 114
8.3 Formulações variacionais e discretas . . . 115
8.3.1 Problema elíptico . . . 116
8.3.2 Problema de transporte . . . 117
8.4 Esquema de segunda ordem para o problema de transporte . . . 118
8.4.1 Reconstrução linear por partes . . . 119
8.4.2 Reconstrução explícita do gradiente . . . 120
8.4.3 Limitador do gradiente . . . 122
8.4.4 Integração temporal de Runge-Kutta . . . 123
8.4.5 Testes de verificação para o problema de transporte . . . 125
8.5 Experimentos numéricos para o problema de injeção de traçador . . . . 133
8.5.1 Problema adimensional . . . 134
8.5.2 Testes de Verificação . . . 134
8.5.3 Escoamento com barreiras . . . 147
8.5.4 Meio heterogêneo com permeabilidade aleatória . . . 150
9 Conclusões e trabalhos futuros 153 9.1 Conclusões . . . 153
A minha pequena Lavínia,
para quem dedico com muito amor e carinho. . . .
Agradecimentos
Em primeiro lugar, agradeço aos meus familiares e minha esposa pelo apoio e incentivo durante toda essa jornada.
Aos meus orientadores, Prof. Dr. Philippe R. B. Devloo e Sônia Maria Gomes, os quais me deram elementos necessários para avançar na direção certa da pesquisa e, com muita qualidade profissional e humana, contribuiram na formação de novos recursos humanos em nível do ensino e pesquisa. Agradeço pela atenção, compreensão e ami-zade no desenvolvimento do trabalho.
A todos os alunos e ex-alunos do LabMeC-FEC, os quais de forma direta e indireta contribuiram no desenvolvimento deste trabalho. Em particular agradeço ao Cesar, Pira, Caju, Gustavo, João, Alaor, Denise, Diogo, Omar e Nathan.
Agradeço a todos os meus professores, desde a graduação ao doutorado, pela dissemi-nação de conhecimento na interação professor-aluno e por despertar em mim o interesse pela pesquisa.
A todos os funcionários do IMECC e da Unicamp pelo bom trabalho prestado. Agra-deço a Unicamp por todo o apoio estrutural e administrativo.
Agradeço a Petrobras e ANP pelo apoio financeiro concedido através de bolsa de estudo. Agradeço a Deus pelo sonho realizado.
Lista de símbolos
Letras Romanas:
h : Parâmetro relacionado ao diâmetro do elemento
Hdiv(·) : Espaços de funções vetoriais v ∈ L2(·)d tal que div(v) ∈ L2(·)
Hm(·) : Espaço de Sobolev k : Grau do polinômio K : Elemento geométrico
L2 : Espaço de funções de quadrado integráveis n : Normal externa ao contorno de uma região p : Pressão
PkPk−1: Bases de funções polinomiais de grau máximo k dos espaços Hdiv
e L2, respectivamente
Q+
k: Base de funções polinomiais de grau k do espaço Hdiv acrescentado
de funções internas de ordem k + 1 Q+
kQk: Bases de funções polinomiais de grau k dos espaços Hdiv e L2,
respectivamente T : Partição Letras Gregas:
δij : Delta de Kronecker
∆ : Operador laplaciano
ΓD : Parte do contorno com condições de Dirichlet
κ : Tensor das permeabilidades µ : Viscosidade do fluido
∇ : Operador gradiente
∇· (ou div) : Operador divergente
Ω ⊂ Rd : Aberto limitado com contorno ∂Ω Lipschitz.
Índices d : Dimensão do domínio D : Adimensionalização D : Contorno de Dirichlet f : Referência ao fluido k : Grau do polinômio N : Contorno de Neumann s : Referência ao meio sólido
Termos e unidades:
b : Força de campo, P a/m ou kg/(m2s2)
ε = (εij): Tensor de deformação, com εij = (ui,j+ uj,i)/2, adimensional
I = (δij) : Tensor identidade na forma matricial, adimensional
ks : Permeabilidade do meio poroso, mD ou m2
p : Pressão de fluido no meio poroso, P a ou kg/(m s2) pD : Pressão adimensional
pD : Valor da pressão no contorno de Dirichlet, P a ou kg/(m s2)
qf : Termo fonte externo, P a s/m2 ou kg/(m3s)
Sε : Coeficiente de armazenamento a volume constante, P a−1 ou m s2/kg
sf = qf/ρf : Termo fonte externo com ρf constante, 1/s
s : Saturação, adimensional : Tempo, s
tD : Tempo adimensional
u : Deslocamento, m
uD : Deslocamento adimensional
uD : Valor de u no contorno de Dirichlet, m
q : Velocidade de escoamento do fluido, m/s
qD : Velocidade de escoamento do fluido adimensional
qN : Valor de q no contorno de Neumann, m/s
α : Parâmetro poroelástico de Biot-Willis, adimensional λ e µ : Constantes elásticas de Lamé, P a ou kg/(m s2)
µf : Viscosidade dinâmica do fluido, P a s ou kg/(m s)
φ : Porosidade da rocha, adimensional ρf : Densidade do fluido kg/m3
ρs : Densidade aparente da rocha kg/m3
σs = [σsij] : Tensor das tensões da fase sólida, P a ou kg/(m s2)
Capítulo 1
Introdução
O estudo desta tese se enquadra na área de Análise Numérica, especificamente, em métodos de elementos finitos (MEF) para a resolução de equações diferenciais parciais (EDP). Consideram-se formulações não clássicas envolvendo a combinação de diferen-tes tipos de espaços de aproximação, dando origem a simulações que atualmente são chamadas de multifísicas.
1.1
Motivação
Na base da tecnologia de elementos finitos encontram-se o que chamamos de espaços de aproximação, cuja construção envolve o particionamento do domínio em um número finito de elementos, sobre os quais são definidas as funções básicas, por partes. Em problemas acoplados, envolvendo diferentes fenômenos físicos, a escolha desses espaços pode variar conforme a necessidade de precisão e/ou necessidade de satisfação da conser-vação de quantidades de interesse a nível local. Se um único espaço de aproximação for utilizado para todas as variáveis de estado na mesma simulação, podem ocorrer instabi-lidades nos algoritmos ou resultados com baixa precisão. Um dos principais focos desta tese está na combinação de diferentes espaços de aproximação, chamados de espaços multifísicas, que contribuem no sentido de permitir a simulação de problemas com dife-rentes fenômenos físicos acoplados. Por exemplo, o problema de poroelasticidade linear é resolvido no contexto da simulação multifísica utilizando espaços de funções contínuas para o deslocamento do sólido, espaços vetoriais com componentes normais contínuas nas interfaces dos elementos para o fluxo de fluido e espaços de funções descontínuas para a pressão do fluido.
O MEF é explorado há mais de 60 anos, tendo suas técnicas, desenvolvidas com diferentes enfoques, se tornado clássicas e entre as mais populares nas simulações de problemas de Engenharia. O MEF baseia-se no uso de conceitos variacionais e na aplicação do método de Galerkin (ou Petrov-Galerkin). Tradicionalmente, o MEF está associado a subespaços H1-conformes. Tipicamente, estes subespaços são utilizados
na simulação de problemas regulares elípticos com operador linear auto-adjunto, que ocorrem, por exemplo, em problemas de elasticidade linear, em que as propriedades ideais de aproximação podem ser alcançadas.
No entanto, em algumas situações, a utilização de formulações clássicas do MEF, usando subespaços H1-conformes, não é apropriada:
• No contexto de problemas de convecção-difusão, com convecção dominante, po-dem ocorrer regiões com fortes gradientes na solução. Nessas circunstâncias, fortes oscilações ocorrem nas soluções aproximadas do MEF clássico, tornando o método instável. Uma alternativa adotada para contornar este problema é a utilização de métodos do tipo Petrov-Galerkin otimizados.
• Uma outra abordagem para tratar problemas que possuem regiões com singulari-dade ou fortes gradientes na solução é através do uso de espaços de aproximação de funções descontínuas (método de Galerkin descontínuo), em que a continui-dade é imposta de forma fraca, através de termos integrais, sobre o contorno dos elementos.
• Para problemas de escoamentos de fluidos, o MEF clássico, formulado em termos da pressão, a conservação de massa não é garantida a nível local (no elemento), apenas globalmente. Neste sentido, formulações mistas, em que os campos de pressão e velocidade do fluido são calculados simultaneamente, são apropriadas, garantindo a conservação local de massa.
1.2
Objetivos
Os principais objetivos do presente trabalho são:
• Desenvolver simulações multifísicas aplicando vários espaços de aproximação para abordar diferentes fenômenos em uma mesma simulação.
• Desenvolver esquemas combinados MEF contínuo-descontínuo, com partição do domínio computacional e o emprego de formulações diferenciadas em cada uma das sub-regiões.
• Avaliar esquemas de Petrov-Galerkin com funções teste otimizadas e propor uma abordagem diferente para o método de Petrov-Galerkin otimizado via simetriza-ção, em que utilizam-se duas aproximações pelo MEF contínuo.
• Implementar e avaliar o desempenho das formulações propostas na biblioteca NeoPZ (https://code.google.com/p/neopz), que é um ambiente de programação orientada a objetos de código fonte livre.
Proposta da tese
Sendo assim, as metas principais deste trabalho são:
• Proposta de uma abordagem diferente para o método de Petrov-Galerkin oti-mizado via simetrização, em termos de duas aproximações pelo MEF contínuo, chamado de método da dupla projeção de Galerkin (MDP). Aplicação numérica do MDP em um problema unidimensional.
• Formulação e implementação do método MEF contínuo-descontínuo para proble-mas de eslasticidade linear, com aplicação ao Problema de Girkmann.
• Estudo e desenvolvimento de uma estrutura de classes que contemple simulações multifíscas no ambiente NeoPZ.
• Resolução do problema de poroelasticidade linear no contexto da simulação mul-tifísica.
• Resolução do problema de injeção de traçador passivo em meio poroso no contexto da simulação multifísica.
1.3
Principais tópicos e contribuições da tese
A seguir, descrevem-se, brevemente, os principais tópicos tratados nesta tese e os resul-tados obtidos.
Métodos de Petrov-Galerkin otimizados
No contexto de problemas de convecção-difusão, com convecção dominante, a utilização de MEF clássicos, baseados em formulações de Galerkin H1-conformes, pode não ser
apropriada pois fortes oscilações podem ocorrer nas soluções aproximadas, tornando as simulações instáveis. Uma das soluções adotadas para contornar este tipo de problema é a utilização dos métodos do tipo Petrov-Galerkin. O método de Petrov-Galerkin é utilizado com referência a uma modificação do método de Galerkin, em que os espaços de funções admissíveis e de funções teste são diferentes entre si [1]. A liberdade de escolher diferentes espaços de funções teste abre várias possibilidades de novas ferra-mentas para otimizar o desempenho dos métodos com base em um determinado espaço de funções admissíveis. Nesse sentido, novos métodos de Petrov-Galerkin otimizados foram desenvolvidos, relacionados à escolha de funções teste ótimas.
No contexto das aproximações pelo método dos elementos finitos contínuos, passos importantes foram dados em [2, 3], em que a taxa ótima de convergência para problemas de convecção dominante pode ser alcançada usando funções teste ótimas. A técnica é conhecida como método de Petrov-Galerkin via simetrização (do operador diferencial) [2, 3].
No contexto das aproximações descontínuas, o método de Petrov-Galerkin foi explorado inicialmente nos trabalhos [4, 5, 6]. Recentemente, novos métodos do tipo Petrov-Galerkin para espaços de funções descontínuas (DPG) auto-adptativos, em que o espaço de funções teste ótimas é calculado automaticamente, foram considerados nos trabalhos [7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14].
De modo geral, as funções teste ótimas são calculadas aproximadamente, em que, para cada função admissível um sistema linear é resolvido. Além disso, após o cálculo das funções teste ótimas deve-se resolver um problema de Petrov-Galerkin discreto.
Neste trabalho, propõe-se uma abordagem diferente para o método de Petrov-Galerkin otimizado via simetrização, em que utilizam-se duas aproximações pelo MEF contínuo, e mostra-se a equivalência entre as duas abordagens. Alguns resultados deste item foram publicados em [15].
Combinação MEF contínuo-descontínuo
A propriedade de localização nos elementos das bases descontínuas facilita a utilização de aproximações polinomiais de alta ordem e o emprego de estratégias hp. Uma outra
conservação local, elemento por elemento. No entanto, uma desvantagem do método de Galerkin descontínuo é a grande quantidade de graus de liberdade requeridos, quando em comparação com MEF contínuo. Desse modo, uma das soluções adotadas para fazer a melhor utilização das vantagens de cada método seria a combinação dos MEF contínuo e descontínuo aplicados ao mesmo problema. Ou seja, pode-se obter simulações mais econômicas em termos computacionais usando elementos descontínuos na proximidade de singularidades e elementos contínuos em outras partes, em regiões de solução suave. Desse modo, pode-se obter a conservação local do método de Galerkin descontínuo, com um número reduzido de graus de liberdade, e a precisão do MEF contínuo [16, 17, 18, 19]. Um exemplo de problema apropriado para a aplicação dessa metodologia é o problema de Girkmann, um modelo matemático, no contexto de elasticidade linear, para uma casca fina axissimétrica apoiada sobre um anel de reforço, igualmente axissimétrico. Na interface anel-casca, a solução apresenta comportamento singular, sendo suave no resto do domínio. Este problema foi primeiro descrito por Girkmann, em 1956 [20], e mais tarde por Timoshenko, em 1959 [21], em que as soluções, através de métodos clássicos, são apresentadas. Em janeiro de 2008, a Associação Internacional de Mecânica Computacional (IACM) convidou a comunidade científica para resolver o problema de Girkmann pelo método dos elementos finitos (MEF). Vários trabalhos foram feitos, todos usando o MEF contínuo, em resposta à chamada feita pela IACM. Esses resultados encontram-se resumidos em [22], publicado em 2009. Em um trabalho mais recente [23], fez-se uma análise do problema nas versões h e hp do MEF.
Propõe-se neste trabalho, a resolução do problema de Girkmann utilizando a metodologia combinada MEF contínuo-descontínuo, cujo resultados foram publicados em [24].
Simulação multifísica
Nas aplicações de Engenharia, é comum acontecer que os problemas sejam modelados pelo acoplamento de diversos fenômenos.
Por exemplo, o escoamento multifásico em um reservatório petrolífero é modelado pela interação do escoamento de fluido no meio poroso, dado pela equação de Darcy, com transporte de componentes. O fluido pode ser uma mistura de petróleo com água e, eventualmente, gás que estão sendo transportados no meio do reservatório, exigindo a modelagem de transporte de multicomponentes.
fluido no meio poroso, que é tratada no contexto de poroelasticidade linear. Quando se extrai petróleo, o reservatório vai se adensar porque se está retirando fluido, e isso representa uma deformação da matriz elástica onde se aloja o petróleo. Ou seja, a matriz porosa pode se deformar, fenômeno que está no contexto de poroelasticidade linear.
Aplicações envolvendo interação fluido-estrutura ocorrem também em operações de fraturamento hidráulico, em que o comportamento da matriz porosa e do escoamento de fluidos dentro da fratura estão acoplados. Este escoamento é diferente daquele que acontece em um meio poroso, e é modelado com outro tipo de equacionamento.
Todos esses fenômenos podem ser considerados numa única simulação numérica do reservatório. Cada um deles pode ser melhor aproximado com algum tipo de subes-paço. Alguns com subespaços contínuos do tipo H1-conformes, como, por exemplo, na
simulação de problemas regulares em elasticidade linear. Subespaços Hdiv-conformes são apropriados para escoamento de fluidos e espaços descontínuos são comumente em-pregados para as equações de transporte. A esse tipo de simulação, em que se aplica um tratamento adequado a cada um dos fenômenos físicos envolvidos, dá-se o nome de simulação multifísica [25]. Modelos de simulações multifísicas têm sido amplamente estudados recentemente por terem uma ampla diversidade de aplicações como mostrado na literatura [25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32].
Atualmente, no ambiente NeoPZ [33, 34, 35], já é possível trabalhar com subes-paços de funções contínuas H1-conformes, descontínuas e Hdiv-conformes. Um dos
principais focos da tese está no desenvolvimento de classes que possibilitam a combi-nação de diferentes espaços de aproximação para simulações multifísicas no NeoPZ de problemas com diferentes fenômenos físicos acoplados. Alguns resultados obtidos foram publicados em [36, 37]
1.4
Organização do trabalho
Nos Capítulos 2 e 3, abordam-se, de maneira sucinta, os principais tópicos tratados neste trabalho. Faz-se também, um resumo de alguns conceitos de Análise Funcional que são úteis na teoria do MEF.
O Capítulo 4 é dedicado ao método da dupla projeção de Galerkin, em que se mostra uma equivalência entre essa técnica e o método de Petrov-Galerkin via simetri-zação.
O Capítulo 5 é dedicado à aplicação da combinação MEF contínuo-descontínuo ao problema de Girkmann. O problema de Girkmann é resolvido em um modelo axis-simétrico utilizando a versão p do MEF contínuo-descontínuo e comparado com outros resultados da literatura.
No Capítulo 6, faz-se uma breve apresentação do ambiente NeoPZ e descreve-se como a simulação multifísica foi incorporada a este ambiente.
Nos Capítulos 7 e 8, resolvem-se, no contexto da simulação multifísica, alguns problemas poroelástico linear e o proplema de injeção de traçador em meios porosos. Utilizam-se os espaços H1-conformes para o deslocamento do sólido, espaços
Hdiv-conforme para o fluxo de fluido, espaços em L2 para a pressão do fluido e os espaços de
Galerkin descontínuo com funções constantes por partes para a saturação. No Capítulo 9, apresentam-se as conclusões da tese.
Capítulo 2
Conceitos básicos
2.1
Introdução
Neste capítulo, faz-se uma abordagem, de maneira sucinta, de alguns conceitos de Análise Funcional que são úteis na teoria de métodos dos elementos finitos. No desen-volvimento desta seção, utilizam-se como referência [38, 39, 40, 41, 42, 43, 44].
2.2
Notações
Denota-se por Ω ⊂ Rd, d = 1, 2, como sendo um conjunto aberto, limitado com contorno
∂Ω. Geralmente, ∂Ω é de classe Lipschitz e é decomposto nas partes ΓD e ΓN tal que
ΓD∪ ΓN = ∂Ω e ΓD∩ ΓN = ∅, em que são estabelecidas as condições de Dirichlet e de
Neumann, respectivamente.
A primeira etapa da construção de um espaço de elementos finitos é o estabe-lecimento de uma partição (malha de elementos finitos) T = {K} do domínio Ω, em que:
• Cada elemento K ∈ T é um aberto com interior não vazio • Ω = ∪
K∈TK
• Dados dois elementos distintos Ki, Kj ∈ T
h tem-se ∂Ki∩ ∂Kj = fij, em que ou
fij = ∅ ou fij é um vértice ou fij é formado por dois vértices e a aresta que os une.
No decorrer deste trabalho a partição T pode também ser denotada por Th, em que
h = max{hi} é um parâmetro relacionado à partição, com hi =diâmetro de Ki.
Sendo ∂K, K ∈ T , o contorno de um elemento, denota-se por F o conjunto de todas as arestas, `, unidimensionais abertas de ∂K. O conjunto F0, constituído de
todas as arestas, é definido por
F0 = {` ∈ F : ` ⊂ Ω} . (2.1)
Com isso, define-se o conjunto dos contornos internos (arestas interiores) por Γint= ∪
`∈(F0\∂Ω )
` (2.2)
Para cada aresta ` ∈ F0, existem índices i e j, únicos, com i > j, tais que ` é uma
aresta comum dos elementos Ki e Kj. Assim, define-se o salto e o valor médio de uma
função u em `, respectivamente, por
[u] = u|∂Ki∩`− u|∂Kj∩` e hui = (u|∂Ki∩`+ u|∂Kj∩`) /2. (2.3)
Para as arestas ` ⊂ ∂Ω, estendem-se as definições de salto e médias como [u] = u|` e hui = u|`.
Para cada aresta ` ∈ F0, ` ⊂ ∂Ki ∩ ∂Kj, associa-se o vetor unitário normal a `,
de Ki para Kj, denotado por n. Logo n = n
Ki = −nKj, em que nKi e nKj denotam
as normais exteriores a ∂Ki e ∂Kj, respectivamente. Para cada ` ∈ ∂Ω, associa-se a
normal externa n a ∂Ω.
2.3
Espaços funcionais
Espaço de Banach Seja X = (X, k . k) um espaço normado. Se X for completo ele é chamado de espaço de Banach.
Espaço de Hilbert É um espaço de Banach, em que a norma provém do produto interno.
Espaço L2 Dado um domínio Ω ⊂ Rd, o espaço L2(Ω) é o conjunto de todas funções
de quadrado integráveis definidas em Ω. Ou seja, L2(Ω) = u : Ω → R, ˆ Ω | u(x) |2 dx < ∞ .
Esse espaço é um espaço de Hilbert, em que a norma é proveniente do produto interno hu, vi =
ˆ
Ω
u(x)v(x)dx. (2.4)
Espaço dual Seja (X, k · k) um espaço vetorial normado. O conjunto de todos funcionais lineares contínuos sobre X é chamado de espaço dual de X e é denotado por X0. Além disso, X0 constitui um espaço normado, com a norma definida por
k f kX0= sup u∈X,u6=0 | f (u) | k u kX = sup u∈X,kukX=1 | f (u) | .
Teorema 2.1. (Teorema de representação de Riesz) Seja X um espaço de Hilbert. Se f : X −→ R é um funcional linear limitado, f ∈ X0, então existe um único elemento u ∈ X de modo que o funcional f é representado por:
f (v) = hv, ui, ∀v ∈ X sendo h·, ·i o produto interno em X. Além disso,
k f kX0=k u kX .
2.3.1
Espaços H
m(Ω) e Hdiv(Ω)
Nesta subseção, apresentam-se os conceitos principais dos espaços de Sobolev Hm(Ω)
e do espaço Hdiv(Ω), os quais são de grande importância na construção de espaços de aproximação no método dos elementos finitos.
Os espaços de Sobolev Hm(Ω) Sejam
com αj inteiros não negativos. Define-se o operador de derivação parcial em Rd Dα= ∂ pαp ∂xα1 1 ∂x α2 2 .
Definição 2.2. (Derivada fraca) Seja um aberto limitado Ω ⊂ Rd e u ∈ L2(Ω). Diz-se que uα(Ω) = Dαu é a derivada de ordem α de u, no sentido das distribuições, se:
ˆ Ω (uDαϕ) dx = (−1)|α| ˆ Ω (uαϕ)dx, ∀ϕ ∈ C0∞(Ω), (2.5) sendo C∞
0 (Ω) o espaço das funções infinitamente diferenciáveis e com suporte em Ω.
Exemplo 2.3. Seja u ∈ L2(Ω), em que Ω = (0, 1) ⊂ R, definida por
u(x) = (
x, 0 < x ≤ 1/2, 1 − x, 1/2 < x < 1.
Esta função não admite derivada ordinária du/dx pois não é derivável em x = 1/2. No entanto, admite derivada fraca definida por
Du = (
1, 0 < x < 1/2, −1, 1/2 < x < 1.
Definição 2.4. Dados um aberto limitado Ω ⊂ Rd e um inteiro m > 0, define-se o espaço
Hm(Ω) = {u ∈ L2(Ω) : Dαu ∈ L2(Ω), ∀ | α |≤ m}. (2.6) O espaço Hm(Ω) é um espaço de Hilbert com o produto interno definido como
hu, viHm = X |α|≤m hDαu, Dαvi = ˆ Ω X |α|≤m Dαu · Dαv dx (2.7) e a correspondente norma k u k2 Hm= ˆ Ω X |α|≤m | Dαu(x) |2 dx. (2.8)
Em Hm(Ω) pode-se ainda usar a seminorma | u |2 Hm= ˆ Ω X |α|=m | Dαu(x) |2 dx . (2.9)
O espaço Hm(Ω)pode ser visto ainda como o completamento de Cm(Ω), o espaço
vetorial das funções reais definidas em Ω, tal que Dαué contínua em Ω, para 0 ≤| α |≤
m, provido da norma (2.8).
Definição 2.5. Dados um aberto limitado Ω ⊂ Rd, um inteiro m ≥ 0 e uma partição T de Ω, define-se o espaço de Sobolev particionado
Hm(T ) =u ∈ L2(Ω) : u|K ∈ Hm(K), ∀K ∈ T . (2.10) A norma associada ao espaço Hm(Ω, T )é dada por:
k u km,T= X K∈T k u k2Hm,K !1/2 ,
em que, k u kHm,K é a norma de Sobolev de u em K.
Operador traço. Dado um aberto limitado Ω ⊂ Rdcom fronteira Lipschitz, pode-se
mostrar que existe um operador linear e contínuo, chamado de operador traço, γ0 : H1(Ω) → L2(∂Ω),
tal que γ0(u) = u |∂Ω , ∀u ∈ C1(Ω).
Definição 2.6. Define-se o espaço H1/2(∂Ω) como
H1/2(∂Ω) =u0 ∈ L2(∂Ω) : existe u ∈ H1(Ω) com γ0u = u0 em ∂Ω . (2.11)
Este é um espaço de Hilbert com a norma
O dual de H1/2(∂Ω) é o espaço H−1/2(∂Ω), com a norma k v0 kH−1/2(∂Ω)= sup u0∈H1/2(∂Ω) hv0, u0i∂Ω k u0 kH1/2(∂Ω) , (2.12) em que hv0, u0i∂Ω= ˆ ∂Ω v0u0ds, v0 ∈ H−1/2(∂Ω)e u0 ∈ H1/2(∂Ω)
denota o produto de dualidade entre H1/2(∂Ω)e H−1/2(∂Ω).
Definição 2.7. (Funções de traço nulo ) Define-se H1
0(Ω)como o subespaço das funções
de H1(Ω) com traço γ
0(u) = 0.
Teorema 2.8. (Conformidade em H1(Ω)) Uma função u : Ω → R pertence a H1(Ω)
se e somente se em uma partição T de Ω são verificadas as propriedades: i) u |K∈ H1(K), para todo K ∈ T
ii) para cada aresta comum fi,j = ∂Ki∩ ∂Kj os traços u
i = u |fi,j e uj = u |fi,j
coincidem, isto é, ui |fi,j −uj |fi,j= 0
Teorema 2.9. (Teorema de Green):
i) Para u e v ∈ H1(Ω) e para 1 ≤ i ≤ d tem-se que
ˆ Ω u ∂v ∂xi dx = − ˆ Ω ∂u ∂xi v dx + ˆ ∂Ω γ0(uv)nids,
com ni as componentes da normal externa, n, a ∂Ω.
ii) Para v ∈ H1(Ω) e u ∈ H2(Ω) tem-se ˆ Ω ∇u · ∇vdx = − ˆ Ω ∆u v dx + ˆ ∂Ω γ0 v∂u ∂n ds, sendo ∆u =Pn i=1∂ 2u/∂x2
i e ∇u = (∂u/∂x1, ..., ∂u/∂xn) os operadores Laplaciano e
Gradiente de u, respectivamente. Espaço Hdiv
Definição 2.10. Dada uma função v : Ω → Rd, define-se o espaço Hdiv(Ω) por Hdiv(Ω) = v ∈ L2(Ω)d :div(v) ∈ L2(Ω) , (2.13)
sendo div(v) = Pn
i=1∂vi/∂xi o operador divergente. Tal espaço, munido da norma
k v k2
Hdiv(Ω)=k v k 2
L2(Ω) + kdiv(v) k2L2(Ω),
é um espaço de Hilbert.
O Teorema de Green, 2.9, pode ser estendido para funções em Hdiv(Ω), conforme mostrado em [45]. Ou seja, dadas as funções u ∈ H1(Ω) e v ∈ Hdiv(Ω), tem-se
ˆ Ω ∇u · vdx + ˆ Ω udiv(v)dx = hv · n, ui∂Ω, em que h·, ·i∂Ω denota o produto de dualidade entre H
−1/2(∂Ω)e H1/2(∂Ω).
Uma das características mais importante das funções em Hdiv(Ω) é enunciada no Teorema 2.11, conforme mostrado em [46].
Teorema 2.11. Dada uma partição T = {K}, seja u ∈ (L2(Ω))d tal que u | K∈
Hdiv(K), ∀K ∈ T . Então u ∈ Hdiv(Ω) e div(u) |K= div(u) se e somente se o salto
da componente normal é nulo nas interfaces dos elementos da partição T de Ω.
2.4
Método de Galerkin (ou Bubnov-Galerkin)
Seja X um espaço de Hilbert e considere um problema variacional abstrato ( encontrar u ∈ uD+ U solução da equação
a(u, v) = l(v), para todo v ∈ U, (2.14)
em que U ⊂ X é um subespaço de X, a : X × X → R é uma forma bilinear, l : U → R é uma forma linear contínua, ou seja l ∈ U0, e u
D ∈ X é o valor assumido por u em um
contorno do tipo Dirichlet.
Assumem-se as seguintes hipóteses:
1. a(·, ·) é uma forma bilinear contínua, isto é, existe uma constante M > 0 tal que | a(u, v) |≤ M k u kXk v kX, ∀u, v ∈ X. (2.15)
Define-se a norma de a(·, ·) por k a k= sup u,v∈U −{0} | a(u, v) | k u kXk v kX = sup kukX=kvkX=1 | a(u, v) | .
2. a(·, ·) é uma forma bilinear U-coerciva. Ou seja, existe uma constante β > 0 tal que
a(u, u) ≥ β k u k2U, ∀u ∈ U, u 6= 0. (2.16) A constante β é denominada constante de coercividade da forma bilinear. Nota-se que a condição de coercividade implica na positividade da forma bilinear.
Norma energia. Se a forma bilinear a(·, ·) é simétrica e coerciva, então ela define um produto interno h·, ·ia : X × X → R, tal que
hu, via= a(u, v), ∀u, v ∈ X.
A norma proveniente desse produto interno, denominada norma energia, é dada por k u ka= [hu, uia]1/2.
Teorema 2.12. (Teorema de Lax-Milgram) Sejam a(·, ·) uma forma bilinear contínua sobre o espaço de Hilbert X e U -coerciva e l ∈ U0. Então, existe um único elemento u ∈ uD+ U solução da equação
a(u , v) = l(v), para todo v ∈ U. Tem-se ainda que
k u kX≤ 1 β k l kU0 + M β + 1 k uD kX,
em que β e M são, respectivamente, as constantes de coercividade e continuidade da forma bilinear a(·, ·).
Demonstração. A demonstração pode ser vista em [39], pag. 521.
Com base no problema variacional (2.14), pode-se definir o método de Galerkin, que consiste em encontrar soluções aproximadas em um subespaço Un⊂ U de dimensão
finita
Un= span {ϕi, i = 1, ..., n} ,
em que ϕi ∈ U formam uma base. Ou seja, para todo un ∈ Un tem-se sua representação
única
un= n
X
Assim, uma discretização para o problema variacional (2.14), usualmente denominada de método de Galerkin, consiste em:
( encontrar un ∈ uD+ Un tal que
a(un, ϕi) = l(ϕi) para todo ϕi ∈ Un
(2.17) O problema (2.17) define um sistema linear quadrático com n equações e n incóg-nitas α1, α2, ..., αn, que são as coordenadas de un com relação à base do subespaço Un.
Na forma matricial, esse sistema torna-se Kα = d,
em que os elementos da matriz K = (kij) são dados por
kij = a(ϕi, ϕj) para todos i, j = 1, ..., n,
e os elementos do vetor d = (dj) são dados por
dj = l(ϕi) para todos i = 1, ..., n.
De maneira análoga ao problema variacional simétrico (2.14), a existência e uni-cidade da solução do problema variacional discreto (2.17) são garantidas pelo Teorema de Lax-Milgram.
Interpretação Geométrica Supondo que a forma bilinear a(·, ·) é simétrica, apresenta-se a apresenta-seguir uma interpretação geométrica para a solução de Galerkin do problema vari-acional (2.14) com relação ao produto interno energia h·, ·ia associado à forma bilinear
a(·, ·)sobre X.
Se u ∈ uD+ U é a solução do problema variacional (2.14), então
a(u, v) = l(v), ∀v ∈ U.
Como Un ⊂ U, a igualdade acima continua valendo se escolhermos ϕi ∈ Un, ou seja
a(u, ϕi) = l(ϕi), ∀ϕi ∈ Un. (2.18)
Da mesma forma, se u∗
tem-se
a(u∗n, ϕi) = l(ϕi), ∀ϕi ∈ Un. (2.19)
Assim, subtraindo (2.19) de (2.18) e utilizando a definição do produto interno h·, ·ia =
a(·, ·), tem-se
a(u − u∗n, ϕi) = 0, ∀ϕi ∈ Un.
Portanto, pode-se dizer que o erro u − u∗
n da solução de Galerkin é ortogonal ao
subespaço de aproximação Uncom relação ao produto interno energia. Esta propriedade
é conhecida como ortogonalidade de Galerkin. Ou seja, a solução de Galerkin u∗ n é
a projeção ortogonal de u no espaço de aproximação Uncom relação ao produto interno
energia. Em outras palavras, diz que a solução de Galerkin u∗
n∈ uD+ Un ⊂ uD+ U é
a melhor aproximação de u ∈ uD+ U com relação à norma energia, isto é
k u − u∗nka≤ k u − v ka, para todo v ∈ Un. (2.20)
2.5
Método de Petrov-Galerkin
Sejam X e Y espaços de Hilbert, U ⊂ X subespaços em X e V ⊂ Y o espaço de funções teste em Y . O método de Petrov-Galerkin é uma generalização do método de Galerkin, em que usam-se subespaços de dimensão finita Un⊂ U e Vn ⊂ V diferentes entre si. A
existência e unicidade da solução é mostrada através de uma generalização do teorema de Lax-Milgram.
Considere a formulação variacional:
( encontrar u ∈ uD+ U tal que
a(u, v) = l(v) para todo v ∈ V, (2.21)
em que l : V → R é uma forma linear contínua, ou seja l ∈ V0, e u
D ∈ X é o valor
assumido por u em um contorno do tipo Dirichlet. Assume-se que:
1. a(·, ·) : X × Y → R é uma forma bilinear contínua, isto é, existe uma constante M > 0 tal que
e satisfaz a condição inf-sup inf kukX=1 sup kvkY=1 a (u, v) ≥ γ > 0, ∀u ∈ X, ∀v ∈ Y. (2.23)
2. O espaço nulo do operador adjunto A0 : V → U0, com o hA0v, ui = a(u, v), é tal
que V0 = N (A0) = {v ∈ V : a(u, v) = 0, ∀u ∈ U } = {0} , que é equivalente a sup u∈U | a(u, v) |> 0, ∀v 6= 0, v ∈ V. (2.24) Teorema 2.13. (Teorema de Lax-Milgram generalizado) Nas condições (2.22), (2.23) e (2.24), o problema variacional (2.21) possui uma única solução para todo funcional linear l ∈ V0. Ou seja, existe um único u ∈ uD+ U tal que
a(u, v) = l(v) ∀v ∈ V, ∀l ∈ V0. Além disso, u depende continuamente de l e uD
k u kX≤ 1 γ k l kV0 + M γ + 1 k uD kX,
sendo γ a constante da condição inf-sup (2.23).
Demonstração. A demonstração pode ser vista em [39], pg. 518.
Sejam o subespaço Un ⊂ U e o subespaço de funções teste Vn ⊂ V, com dim Un =
dim Vn= n. O análogo discreto do problema variacional (2.21), conhecido como método
de Petrov-Galerkin, é dado por
( encontrar un ∈ uD+ Un tal que
a(un, vn) = l(vn), ∀vn ∈ Vn.
(2.25) Desse modo, vale o seguinte resultado.
Teorema 2.14. Suponha que vale a condição inf-sup inf
kunkX=1
sup
kvnkVn=1
Então, o problema variacional discreto (2.25) possui solução única u∗n, k u∗nkX≤
M γn
k u kX,
sendo u ∈ uD+ U a solução exata do problema variacional (2.25), e tem-se a seguinte
estimativa do erro k u − u∗ n kX≤ M γn inf wn∈uD+Un k u − wnkX . (2.26)
A demonstração deste resultado pode ser vista em [47] ou [48].
2.6
Formulação variacional mista
Sejam X e W espaços de Hilbert e V ⊂ X um subespaço de X. Considere um problema variacional misto dado por: encontrar q ∈ qN + V, u ∈ W tal que
(
a(q, v) − b(v, u) = l1(v), ∀v ∈ V,
b(q, w) = l2(w), ∀w ∈ W,
(2.27) em que qN ∈ X é o valor assumido por q em um contorno do tipo Neumann, l1 e l2 são
formas lineares contínuas, l1 ∈ V0 e l2 ∈ W0.
Assume-se as condições:
1. a(·, ·) : X × X → R é uma forma bilinear contínua (ver 2.15). 2. b(·, ·) : X × W → R é uma forma bilinear contínua (ver 2.22). Define-se
V0 = {v ∈ qN + V : b(v, w) = 0, ∀w ∈ W } . (2.28)
O próximo teorema, conhecido como condição LBB ou condição Babuska-Brezzi, esta-belece as condições de existência e unicidade do problema (2.27), e é demonstrado em [49, 46, 47],.
Teorema 2.15. (LBB) Sob as condições (1) e (2) anteriores, o problema variacional (2.27) é bem posto se e somente se as seguintes condições de inf-sup forem válidas: existem constantes α e β tais que
e inf 06=w∈W06=v∈qsup N+V b (v, w) k v kVk w kW = β > 0. (2.30)
Além disso, nas condições (2.29) e (2.30), o problema (2.27) possui solução única (q, u) ∈ V × W tal que
k (q, u) kX×W≤ K(α−1, β−1, k a k) k (l1, l2) kV0×W0,
em que K(·, ·, ·) é uma função positiva.
O análogo discreto do problema variacional (2.27) é dado por: encontrar qn ∈
qN + Vn, un ∈ Wn tal que
(
a(qn, vn) − b(vn, un) = l1(vn), ∀vn∈ Vn,
b(qn, wn) = l2(wn), ∀wn ∈ Wn,
(2.31) em que Vn⊂ qN + V e Wn ⊂ W são subespaços admissíveis de dimensão finita.
O análogo discreto ao Teorema 2.15 é enunciado a seguir.
Teorema 2.16. Seja Vn,0 = {vn∈ qN + Vn: b(vn, wn) = 0, ∀wn∈ Wn} e
assumem-se válidas as assumem-seguintes condições de Babuska-Brezzi: inf 06=qn∈Vn,0 sup 06=vn∈Vn,0 a (qn, vn) k qn kXk vn kX = αn > 0 (2.32) e inf 06=wn∈W sup 06=vn∈V b (vn, wn) k vn kXk wn kW = βn > 0, (2.33)
sendo αn e βn as constantes da condição inf-sup do caso discreto. Então, o problema
(2.31) é bem posto e são válidas as estimativas k q − qn kX≤ (k a k + k b k) K(α−1n , β −1 n , k a k) inf vn∈qN+Un k q − vn kX e k u − unkW≤ (k a k + k b k) K(α−1n , β −1 n , k a k) inf wn∈Wn k u − wn kW .
Capítulo 3
Formulações de elementos finitos
3.1
Introdução
Neste capítulo descrevem-se diferentes formulações variacionais do método de elementos finitos, a partir de um problema modelo, bem como os espaços de aproximação utilizados neste trabalho.
Simplificadamente, a metodologia do MEF consiste nos seguintes passos:
1. Formulação matemática de um problema em termos de uma equação diferencial, em geral proveniente de uma lei de conservação, e informações de contorno. 2. Obtenção da formulação variacional do problema.
3. Escolha de um espaço de funções de aproximação de dimensão finita.
4. Obtenção do problema discreto baseado no espaço de funções de aproximação adotado. Como resultado da aplicação do método, obtém-se um sistema algébrico cuja solução consiste de coeficientes da combinação linear da solução aproximada em relação à da base adotada.
5. Resolução do sistema gerado pelo problema discreto para obtenção dos coeficien-tes.
6. Análise da solução obtida.
Algumas das etapas da metodologia do MEF são tratadas no decorrer do presente capítulo.
3.2
Problema modelo
Como problema modelo, considera-se o seguinte problema de Poisson: encontrar a função escalar u solução de
−∆u = f, em Ω, (3.1)
que satisfaz as condições de contorno
u = uD, em ΓD,
∇u · n = uN, em ΓN,
(3.2) em que f, uD e uN são funções dadas.
Descrevem-se a seguir, algumas formulações variacionais, no contexto do MEF, para o problema modelo (3.1)-(3.2).
3.2.1
Formulação clássica H
1-conforme
Definem-se o espaço de funções teste
U = v ∈ H1(Ω), tal que v = 0 em ΓD
(3.3) e o conjunto de funções admissíveis uD+ U. Assim, multiplicando a equação (3.1) por
uma função teste v e integrando por partes, a formulação fraca do problema modelo (3.1) e (3.2) é dada por: encontrar u ∈ uD+ U tal que
a(u, v) = l(v), ∀v ∈ U, (3.4) com a(u, v) = ˆ Ω ∇u · ∇v dx e l(v) = ˆ Ω f v dx + ˆ ΓN uNvds.
Esta formulação se enquadra no contexto do método de Galerkin (2.14). Sendo assim, a verificação da existência e unicidade da solução, com base no Teorema 2.12, é um resultado clássico da literatura, por exemplo, ver [39] na página 522.
3.2.2
Formulação de Galerkin descontínuo
O processo de generalização do MEF para contemplar espaços de aproximação de fun-ções descontínuas é conhecido como método de Galerkin descontínuo.
K|i K|j n -n
!
Figura 3.1: Esquema do contorno interno ` entre dois elementos vizinhos. Suponha que a solução do problema modelo (3.1) tenha regularidade suficiente para pertencer a
V = H2(T ),
sendo H2(T ) o espaço de Sobolev particionado definido em (2.10), com m = 2.
Multi-plicando a equação (3.1) por uma função teste v ∈ V e integrando por partes, obtém-se:
P K∈T ˆ K ∇u · ∇v dx − P K∈T ˆ ∂K (∇u · n)v ds = X K∈T ˆ K f v dx . (3.5)
Sobre cada elemento K fazem-se algumas manipulações [50]. A primeira das manipu-lações considera a decomposição de fluxos sobre as arestas dos elementos (Figura 3.1). Escreve-se P K∈Th ˆ ∂K ∇u · n v ds = P `∈F0 ˆ ` (∇u · n)ivi+ (∇u · n)jvjds + ˆ ΓD (∇u · n)v ds + ˆ ΓN (∇u · n)v ds. (3.6) Sabendo-se que
(∇u · n)ivi+ (∇u · n)jvj = n · (∇u)ivi− n · (∇u)jvj,
e utilizando a relação
ac − bd = 1
2(a + b) (c − d) + 1
e as definições do salto [·, ·] e da média h·, ·i (2.3), reescreve-se : P `∈F0 ˆ ` (∇u · n)ivi+ (∇u · n)jvjds = P `∈F0 ˆ ` 1 2(n · (∇u)i+ n · (∇u)j) (vi− vj) + 1 2(n · (∇u)i− n · (∇u)j) (vi+ vj)ds = ˆ Γint
h∇u · ni [v] + [∇u · n] hvi ds = ˆ
Γint
h∇u · ni [v] .
(3.7) Com u ∈ H2(T ), tem-se que a componente normal do gradiente ∇u · n é contínua nas
interfaces dos elementos, de modo que ˆ
Γint
[∇u · n] hvi ds = 0. Assim, das equações (3.6) e (3.7) tem-se P K∈Th ˆ ∂K ∇u · n v ds =´Γ int∪ΓDh∇u · ni [v] + ˆ ΓN (∇u · n)v ds. (3.8) A segunda manipulação é a adição do termo
θ ˆ Γint h∇v · ni [u] ds = θ ˆ Γint∪ΓD h∇v · ni [u] ds − θ ˆ ΓD h∇v · ni uDds. (3.9)
A terceira e última manipulação é a adição do termo de penalidade interior γ ˆ Γint∪ΓD [u] [v] ds − γ ˆ ΓD uD[v] ds. (3.10)
Portanto, substituindo as equações (3.8)-(3.10) em (3.5), a solução do problema modelo (3.1)-(3.2) verifica a formulação variacional de Galerkin descontínuo
b(u, v) = f (v), v ∈ V, (3.11)
em que
e f (v) = l1(v) + θl2(v) + γl3(v), tais que a1(u, v) = X K∈T ˆ K ∇u · ∇v dx , a2(u, v) = ˆ Γint∪ΓD h∇u · ni [v] , a3(u, v) = ˆ Γint∪ΓD [u] [v] ds, l1(v) = X K∈Th ˆ K f v dx + ˆ ΓN uNv ds, l2(v) = ˆ ΓD h∇v · ni uDds e l3(v) = ˆ ΓD uDv ds.
No contexto de Galerkin descontínuo, os parâmetros γ e θ são introduzidos para fins de penalização e simetrização. O parâmetro γ é chamado de parâmetro de penaliza-ção da descontinuidade e é utilizado para reforçar a estabilidade do método descontínuo através de uma penalização interior [51].
Para θ = −1 e γ = 0, obtém-se a formulação simétrica GEM (Global Element Method) proposta por [52]. Uma vantagem deste método é que ele define um problema simétrico. Por outro lado, uma desvantagem é que a forma bilinear não garante ser semidefinida positiva [50]. Para θ = 1 e γ = 0, obtém-se a formulação não-simétrica proposta por [53], em que obtém-se uma forma bilinear semidefinida positiva.
Para γ 6= 0 e θ = −1, obtém-se a formulação simétrica com penalidade inte-rior SIPG (Symmetric Inteinte-rior Pênalti Galerkin Method) proposta por [54]. Além da perda da propriedade de conservação local do método de Galerkin descontínuo, com a utilização do parâmetro de penalidade γ, uma outra desvantagem deste método é que ele depende da escolha deste parâmetro. Para γ 6= 0 e θ = 1, obtém-se a formulação não-simétrica com penalidade interior NIPG (Non-Symmetric Interior Pênalti Galerkin
Method) apresentada por [51] e citada em [50]. A vantagem desse método NIPG é que ele não depende da escolha do parâmetro de penalidade γ. No entanto, a garantia de conservação local do método de Galerkin descontínuo é perdida com a utilização do parâmetro de penalidade γ.
O parâmetro de penalização γ é definido sobre as interfaces dos elementos. Para problemas elípticos, uma fórmula para γ [51, 55] é dada por
γ = C`
hk2i
hhi, ∀` ∈ F0, (3.12)
sendo C` > 0 uma constante positiva, chamada de constante de penalização, k o grau
da função polinomial utilizada, h o tamanho do elemento e h·, ·i é a média definida em (2.3). De acordo com [50] e [55] o valor de C` deve ser cuidadosamente escolhido para
garantir estabilidade do método. Para o método SIPG é necessário que C` > 0 seja
uma valor suficientemente grande e para o método NIPG qualquer valor C` > 0garante
a estabilidade do método.
3.2.3
Formulação mista
Na representação de um fenômeno físico, pode ser interessante escrevê-la em uma for-mulação mista. Por exemplo, escoamentos em meios porosos ocorrem em diversas aplicações de interesses práticos, entre elas na extração de petróleo. Os fenômenos en-volvidos são usualmente modelados por um sistema de equações diferenciais composto por uma lei de conservação de massa e uma lei constitutiva. Para isso, é considerada a conhecida lei de escoamento de Darcy, que estabelece a relação entre o fluxo e a pressão. Na resolução pelo método de elementos finitos clássico, encontra-se uma aproximação para a variável de pressão e utilizam-se técnicas de pós-processamentos para se obter uma estimativa para o fluxo. No entanto, sabe-se que, com esta técnica, a taxa de convergência assintótica do erro para o fluxo é inferior, quando comparada com a da pressão.
Uma metodologia desenvolvida para melhorar a aproximação de problemas deste tipo é conhecida como MEF misto, cujo princípio consiste na aproximação simultânea das variáveis vetorias (como o fluxo) e variáveis escalares (como a pressão). Como descrito em [46], a principal característica de funções em Hdiv(Ω) é a continuidade da componente normal nas interfaces entre elementos de uma partição T .
misto é dado por
(
q = −∇u, em Ω,
∇ · q = f, em Ω, (3.13)
com as condições de contorno
u = uD, em ΓD,
q · n = qN = −uN, em ΓN.
(3.14) Definem-se os espaços
V = {v ∈ Hdiv(Ω)tal que v · n = 0 em ΓN} , W = L2(Ω).
Assim, a formulação fraca do problema misto (3.13) é dada por: encontrar q ∈ qN+ V
e u ∈ W tal que a(q, v) − b(v, u) = l1(v), ∀v ∈ V, b(q, w) = l2(w), ∀w ∈ W, (3.15) com a(q, v) = ˆ Ω q · vdx, b(v, u) = ˆ Ω u∇ · v dx, l1(v) = − ˆ ΓD uDv · n ds e l2(w) = ˆ Ω f w dx.
Esta formulação se enquadra no contexto da formulação mista (2.27) e sua análise é feita através do Teorema 2.15.
3.3
Subespaços de elementos finitos
Nas subseções seguintes, mostram-se alguns subespaços de elementos finitos utilizados neste trabalho [33, 35], a serem usados nas discretizações das formulações variacionais anteriores, os quais estão implementados no ambiente computacional NeoPZ [56, 34].
3.3.1
Subespaços de aproximação H
1-conformes
Nesta seção, consideram-se subespaços de elementos finitos Uh ⊂ U a serem
utiliza-dos na discretização da formulação de elementos finitos clássica. As funções escalares H1-conformes utilizados no presente trabalho foram desenvolvidas em [33, 57]. Dada
uma partição do domínio computacional Th, esse processo é feito usando mapeamentos
geométricos e transformações paramétricas a partir de um elemento de referência ˆK. O mapeamento geométrico, FK : ˆK → K é tal que K = FK( ˆK), para qualquer elemento
K ∈ Th. Ou seja, Uh = n v ∈ U : FK−1( v|K) ∈ P( ˆK) o ,
em que U é o espaço definido em (3.3) e P( ˆK)é uma espaço de polinômios no elemento de referência. Em [33], o autor desenvolveu funções de base hierárquicas para P( ˆK) as-sociadas a várias geometrias dos elementos: linha para ˆK ⊂ R, triângulo e quadrilátero para ˆK ⊂ R2 e tetraedro, pirâmide, prisma e hexaedro para ˆK ⊂ R3. Nos Exemplos
3.1 e 3.2 mostram-se as bases hierárquicas para elementos triangulares e quadrilaterais, respectivamente.
Exemplo 3.1. (Elemento triangular) Seja o elemento triangular de referência ˆ
K = {(ξ, η), 0 ≤ ξ ≤ 1, 0 ≤ η ≤ 1 − ξ} ,
com vértices a0 = (0, 0), a1 = (1, 0) e a2 = (0, 1) e arestas lm, m = 0, 1, 2,
correspo-dendo aos lados que unem os vértices am e am+1(mod)3. Neste caso considera-se
P( ˆK) = Pk( ˆK) =span xiyjzr: 0 ≤ i, j, r ≤ k e i + j + r ≤ k ,
com dimensão igual a 1
2(k + 1)(k + 2). A base hierárquica para Pk( ˆK) é dada por:
• 3 funções de vértice ˆϕam ˆ ϕa0(ξ, η) = 1 − ξ − η, ˆϕa1(ξ, η) = ξ e ˆϕa2(ξ, η) = η. • 3(k − 1) funções de aresta ˆϕlm,n, k ≥ 2 ˆ ϕl0,n(ξ, η) = ˆϕa0(ξ, η) ˆϕa1(ξ, η)f n(η + 2ξ − 1), ˆ ϕl1,n(ξ, η) = ˆϕa1(ξ, η) ˆϕa2(ξ, η)f n(η − ξ), ˆ ϕl2,n(ξ, η) = ˆϕa2(ξ, η) ˆϕa0(ξ, η)f n(1 − ξ − 2η),
• 1 2(k − 2)(k − 1) funções internas ˆϕ ˆ K,n0,n1, k ≥ 3 ˆ ϕK,nˆ 0,n1(ξ, η) = ˆϕa0(ξ, η) ˆϕa1(ξ, η) ˆϕa2(ξ, η)f n0(2ξ − 1)fn1(2η − 1), com 0 ≤ n0+ n1 ≤ k − 3.
Exemplo 3.2. (Elemento quadrilateral) Seja ˆ
K = {(ξ, η), −1 ≤ ξ, η ≤ 1}
o elemento retangular de referência com vértices a0 = (−1, −1), a1 = (1, −1), a2 = (1, 1)
e a3 = (−1, 1)e arestas lm, m = 0, 1, 2, 3, correspodendo aos lados que unem os vértices
am e am+1(mod)4. Neste caso considera-se
P( ˆK) = Qk( ˆK) =span xiyjzr : 0 ≤ i, j, r ≤ k ,
com dimensão igual a (k + 1)2. A base hierárquica para Q
k( ˆK) é dada por: • 4 funções de vértice ˆϕam ˆ ϕa0(ξ, η) = (1 − ξ) 2 (1 − η) 2 , ϕˆ a1(ξ, η) = (1 + ξ) 2 (1 − η) 2 , ˆ ϕa2(ξ, η) = (1 + ξ) 2 (1 + η) 2 , ϕˆ a3(ξ, η) = (1 − ξ) 2 (1 + η) 2 . • 4(k − 1) funções de aresta ˆϕlm,n, k ≥ 2 ˆ ϕl0,n(ξ, η) = ˆϕa0(ξ, η) [ ˆϕa1(ξ, η) + ˆϕa2(ξ, η)] f n(ξ), ˆ ϕl1,n(ξ, η) = ˆϕa1(ξ, η) [ ˆϕa2(ξ, η) + ˆϕa3(ξ, η)] f n(η), ˆ ϕl2,n(ξ, η) = ˆϕa2(ξ, η) [ ˆϕa3(ξ, η) + ˆϕa0(ξ, η)] f n(−ξ), ˆ ϕl3,n(ξ, η) = ˆϕa3(ξ, η) [ ˆϕa0(ξ, η) + ˆϕa1(ξ, η)] f n(−η),
sendo fn o polinômio de Chebychev de ordem n = 0, ..., k − 2.
• (k − 1)2 funções internas ˆϕK,nˆ 0,n1, k ≥ 2
ˆ
ϕK,nˆ 0,n1(ξ, η) = ˆϕa0(ξ, η) ˆϕa2(ξ, η)f
com n0, n1 = 0, ..., k − 2.
Para um elemento triangular ou quadrilateral qualquer, K ∈ Th, transformações e
parametrizações são usadas para mapear as funções de base do elemento mestre para criar uma base
BK = {ϕam, ϕlm,n, ϕK,n0,n1}, (3.16)
formada por funções de vértice, aresta e internas em K. Para garantir que o subespaço de elementos finitos Uh gerado por essas bases seja H1-conforme, assume-se que dois
elementos vizinhos quaisquer, Ki, Kj ∈ T
h , possuem os mesmos coeficientes
multipli-cadores que ocorrem nas funções de vértice e ou de aresta.
3.3.2
Subespaços de aproximação descontínuos
Nesta subseção descrevem-se os subespaços de elementos finitos Vh a serem usados nas
formulações de Galerkin descontínuo (3.11).
Dados uma partição The mapeamentos geométricos FK : ˆK → K entre o elemento
de referência e os elementos da partição Th, define-se o subespaço de elementos finitos
particionado
Vh =
n
v ∈ L2(Ω) : FK−1( v|K) ∈ P( ˆK)o, (3.17) em que P( ˆK) denota algum espaço de funções polinomiais no elemento de referência, podendo ser Pk( ˆK) ou Qk( ˆK). Observa-se que as funções de Vh estão em H2(Th)
podendo ser descontínuas nas interfaces dos elementos.
3.3.3
Subespaços de aproximação Hdiv-conformes
A construção de subespaços de elementos finitos Vh ⊂ V do tipo Hdiv-conformes, a
serem usados na formulação mista (3.15), foi proposta inicialmente por Raviart-Thomas [58], para o caso bidimensional. A partir de mapeamentos e transformações sobre um elemento de referência, constroem-se os espaços nos elementos da partição. Posteri-ormente, Nédelec [59] estabeleceu sua generalização para elementos tridimensionais. Pode-se, ainda, citar o trabalho de Brezzi-Douglas-Marini (BDM) mostrado em [46], em que não se faz uso de elemento de referência, a construção é feita diretamente, em cada elementos K da partição.
Neste trabalho são utilizados os subespaços Hdiv-conformes, propostos por Si-queira [35, 60], relacionados a elementos bidimensionais triangulares e quadrilaterais.
O procedimento utiliza as bases hierárquicas H1-conformes, descritas na Seção 3.3.1, e
um conjunto de vetores ~v, convenientemente construído de acordo com cada geometria do elemento. As características de conformidade das funções de base escalares ϕ e a escolha apropriada do conjunto de vetores ~v garantem a condição de continuidade da componente normal [35]. A seguir, mostram-se, respectivamente, as funções de base Hdiv-conformes para elementos triangulares e quadrilaterais [35].
Elementos triangulares. Seja BK a base hierárquica (3.16) definida sobre um
ele-mento triangular K ∈ Th. Considera-se o conjunto de vetores ~v = {~νj, j = 0, ..., 13},
como mostrado na Figura 3.2, tal que
1. Para cada aresta lm, m = 0, 1, 2, tem-se que
(a) ~ν2+3m e ~νm+9 são, respectivamente, a normal externa e o vetor tangente a lm
(b) Para s = 3m, os vetores ~νs e ~νs+1 são tais que ~νs· ~νs+2 = ~νs+2· ~νs+1= 1
2. No interior do elemento, ~ν12 e ~ν13 são ortogonais
Funções de base para um subespaço de Hdiv(K) são dadas por: • 3(k + 1) funções de aresta ϕlm,am e ϕlm,n m = 0 : ϕl0,a0 = ϕa0~v 0, ϕl0,a1 = ϕa1~v1, ϕl0,n = ϕl0,n~v2 m = 1 : ϕl1,a1 = ϕa1~v 3, ϕl1,a2 = ϕa2~v4, ϕl1,n = ϕl1,n~v5 m = 2 : ϕl2,a2 = ϕa2~v 6, ϕl2,a3 = ϕa3~v7, ϕl2,n = ϕl2,n~v8 • k2− 1 funções internas ϕK,n0,n1 1 = ϕ K,n0,n1~v 12, ϕK,n2 0,n1 = ϕ K,n0,n1~v 13 e ϕl3m,n = ϕ lm,n~v m+9.
Com isso obtém-se o total de (k+1)(k+2) funções para a base de um elemento triangular BK = {ϕlm,am, ϕlm,n, ϕK,n1 0,n1, ϕ
K,n0,n1
2 , ϕ
lm,n
Figura 3.2: Conjunto de vetores no elemento triangular, [35].
Elementos quadrilaterais Seja BK a base hierárquica (3.16) definida sobre um
ele-mento quadrilateral K ∈ Th. Considera-se o conjunto de vetores ~v = {~νj, j = 0, ..., 17},
como mostrado na Figura 3.3, tal que
1. Para cada aresta lm, m = 0, 1, 2, 3, tem-se que
(a) ~ν2+3m e ~νm+12 são, respectivamente, a normal externa e o vetor tangente a
lm
(b) Para s = 3m, os vetores ~νs e ~νs+1 são tais que ~νs· ~νs+2 = ~νs+2· ~νs+1= 1
2. No interior do elemento, ~ν16 e ~ν17 são ortogonais
Funções de base para um subespaço de Hdiv(K) são dadas por: • 4(k − 1) funções de aresta ϕlm,am e ϕlm,n m = 0 : ϕl0,a0 = ϕa0~v 0, ϕl0,a1 = ϕa1~v1, ϕl0,n = ϕl0,n~v2 m = 1 : ϕl1,a1 = ϕa1~v 3, ϕl1,a2 = ϕa2~v4, ϕl1,n = ϕl1,n~v5 m = 2 : ϕl2,a2 = ϕa2~v 6, ϕl2,a3 = ϕa3~v7, ϕl2,n = ϕl2,n~v8 m = 3 : ϕl3,a3 = ϕa3~v 9, ϕl3,a0 = ϕa0~v10, ϕl3,n = ϕl3,n~v11
• 2(k2− 1)funções internas ϕK,n0,n1 1 = ϕ K,n0,n1~v 16, ϕK,n2 0,n1 = ϕ K,n0,n1~v 17 e ϕl3m,n = ϕ lm,n~v m+12, com n0, n1, n = 0, ... k − 2e k ≥ 2.
Com isso, obtém-se o total de 2(k+1)2funções para a base de um elemento quadrilateral
BK = {ϕlm,am, ϕlm,n, ϕK,n1 0,n1, ϕ K,n0,n1
2 , ϕ
lm,n
3 }.
Figura 3.3: Conjunto de vetores no elemento quadrilateral, [35]
Sendo assim, consideram-se subespaços de elementos finitos Hdiv(T )-conforme, a serem usados na formulação mista discreta, da forma
Vh = {vh ∈ Hdiv(Ω) : vh|K ∈spanBK, ∀K ∈ Th, e vh· n = 0em ΓN} . (3.18)
A condição que garante continuidade das componentes normais de uma função vh ∈ Vh,
é que a soma dos coeficientes multiplicadores correspondentes às funções de aresta, comum aos dois elementos vizinhos Ki, Kj ∈ T
h quaisquer (∂Ki∩ ∂Kj 6= ∅), seja igual
3.4
Análise de erro
O MEF fornece uma aproximação uh da função procurada u dentro de um subespaço de
aproximação de dimensão finita escolhido. Caso o subespaço de aproximação não seja adequado, a função aproximada pode não apresentar uma precisão satisfatória. Neste caso, uma análise para verificar tal precisão é necessária. Para a análise de aproximação gerada por meio de uma metodologia de elementos finitos considera-se o erro
eh = u − uh , (3.19)
em que u é a solução exata e uh é a solução aproximada.
Os estimadores de erro podem ser baseados em dois grupos: a priori e a posteriori. As estimativas de erro a priori trazem informações antecipadas sobre a grandeza do erro e sobre o modo de convergência da solução. De um modo geral, as estimativas a priori são da forma
k eh k≤ C hr, (3.20)
em que C é uma constante que depende dos dados do problema e r é um inteiro que depende da regularidade da solução e do grau dos polinômios usados na definição das funções de base utilizadas. O expoente r é uma medida da taxa de convergência assintótica do erro, com respeito a norma k · k escolhida. Além disso, se r > 0, então o erro k e k aproxima-se de zero quando h tende a zero. Um estudo mais aprofundado do assunto pode ser visto em [61, 62].
Nos casos do MEF usando subespaços H1-conformes, como mostrado em [61],
estimativas a priori são da forma
k u − uh kL2(Ω)≤ Chk+1 e k ∇u − ∇uh kL2(Ω)≤ Chk. (3.21)
Para a formulação mista, com espaços de aproximação Vh ⊂ Hdiv(Ω)-conforme e
Wh ⊂ L2(Ω) LBB consistentes, as estimativas para o problema modelo são do tipo
k u − uh kL2(Ω)≤ Chr e k q − qh kL2(Ω)≤ Chk+1, (3.22)
com r ≤ k + 1 usando espaço de Raviart-Thomas e r ≤ k usando os espaços de Brezzi-Douglas-Marini, como mostrado em [46].
Um estimador de erro a posteriori é baseado nas informações obtidas durante o processo de solução e as estimativas de erro podem ser feitas para cada elemento da
malha (erro local) ou para toda malha (erro global). Embora este assunto não fazer parte do estudo proposto, vale ressaltar que o primeiro trabalho de destaque sobre esti-madores de erro a posteriori foi desenvolvido por BABUSKA [63], em que o estimador de erro baseia-se nas aproximações da norma de energia do erro em cada elemento K da malha. Um outro trabalho similar utilizando a norma energia foi desenvolvido por [64].
3.5
Aplicação numérica
Considera-se o problema modelo (3.13)-(3.14) com condição de contorno homogênea u = 0, em ∂Ω, com Ω = [0, 1]2 e f(x, y) = 2π2sen(πx)sen(πy). Cuja solução analítica é dada por
q(x, y) = −πcos(πx)sen(πy)~i − πcos(πx)sin(πy)~j e u(x, y) = sin(πx)sin(πy). Ilustra-se a seguir a aplicação do MEF misto para este problema. Outras aplicações para o problema modelo usando as formulações do MEF H1-conforme e do Galerkin
descontínuo são apresentadas no Capítulo 6.
Na formulação variacional mista do problema modelo, os subespaços envolvidos são do tipo Hdiv-conforme para a variável de grandeza vetorial (o fluxo) e L2 para a
variável de grandeza escalar (a pressão). Para representar o fluxo consideram-se apro-ximações em Vh como definido em (3.18) enquanto que, a pressão pode ser aproximada
em subespaços Wh de funções descontínuas como indicado em (3.17).
Como descrito na subseção anterior, uma condição fundamental para estabilidade das aproximações, bem como na obtenção de taxas ótimas de aproximação, é conhecida como condição LBB (Ladyzenskaya–Babuska–Brezzi) ou condição inf-sup [46]. Esta condição estabelece um balanceamento ou compatibilidade entre os espaços Vh e Wh
utilizados na formulação mista. Condição de balanceameno
Para os espaços Vh e Wh descritos anteriormente, a condição LBB não foi provada. No
entanto, a partir de experimentos numéricos em [35], estabeleceu-se este balanceamento da seguinte forma: para elementos triangulares, toma-se um par de espaço do tipo PkPk−1 no sentido de que se as funções de Vh são definidas a partir de polinômios
