3 [[] dos SROLQyPLRVGHFRHILFLHQWHVUHDLVHGHJUDXDWp.

x

x

Mostremos que o conjunto {

[[

 [

}

é uma

EDVH

do espaço vectorial

3



[

[

]

dos

SROLQyPLRVGHFRHILFLHQWHVUHDLVHGHJUDXDWp





.

3

[

[

]

{

S[ D

 D

[ D

[

 D

[

 D

 ¸

}

Representamos por



o

SROLQyPLRQXOR

, o

YHFWRUQXOR

deste espaço,



[[

 [

L

Mostremos que os vectores

[[

 [

são

OLQHDUPHQWHLQGHSHQGHQWHV

.

Procuremos escalares

DEFG

± ¸

tais que,

D E[F[

_{ G[}

_

sendo



o polinómio

LGHQWLFDPHQWHQXOR

,

é evidente que esta igualdade só pode verificar-se

para

WRGRRYDORU

de

[ ± ¸

, se

D E F G 

.

Os vectores

[[

 [

são portanto

OLQHDUPHQWHLQGHSHQGHQWHV

.

LL

Mostremos que os vectores

[[

 [

são

JHUDGRUHVGH



3

[

[

].

Como qualquer vector (polinómio) deste espaço tem a forma,

S[ D

 D

[ D

[

 D

[

obviamente

H[LVWHPRVHVFDODUHV

D

 D

 D

 D

 ¸

que permitem escrever

S[

como

FRPELQDomROLQHDU

de

[[

 [

.

x

x 3URSRVLomR

: Seja

(

um espaço vectorial sobre

£

e

Y

 Y

 Y

∈

(

um conjunto de vectores tal que, para

DOJXP

L ±

{

N

}

,

Y

é uma

FRPELQDomROLQHDUGRVUHVWDQWHV

.

Então,

VmRLJXDLVRVVXEHVSDoRV

,

ÄY

 Y

 Y

,

Y

,

Y

, ...,

Y

Ô

=

ÄY

 Y

 Y

,

Y

, ...,

Y

Ô

x

x

Este resultado é útil para a

FRQVWUXomRGHXPDEDVH

de um espaço vectorial

finitamente gerado.

x

x

Por exemplo, se soubermos que,

¸

=

Ä Ô

 YHULILTXH

como

XP GRVYHFWRUHVpDVRPDGRVUHVWDQWHV

,

 

pela

SURSRVLomRDQWHULRU

, ficamos também a saber que,

¸

=

Ä Ô

ou seja, os vectores



e



JHUDP

¸

.

 YHULILTXHWDPEpP

Por outro lado, como os vectores



e



são também

OLQHDUPHQWHLQGHSHQGHQWHV

, ficamos ainda a saber que,

x

x 3URSRVLomR

:

Todo o espaço vectorial

ILQLWDPHQWHJHUDGRWHPEDVH

.

'HPRQVWUDomR

: Seja

(

um espaço vectorial finitamente gerado.

No caso particular de

( 

{



}

a base é o

FRQMXQWRYD]LR

.

Analisemos o caso geral:

Se

( z

{



}

é um espaço vectorial

ILQLWDPHQWHJHUDGR

,

então existe um

FRQMXQWRILQLWR

X

 X

 X

∈

(

de vectores, tais que,

(

ÄX

 X

 X

Ô

e como

( z

{



}, algum desses vectores deverá ser

diferente do vector nulo.

Se os vectores

X

 X

 X

forem

OLQHDUPHQWH

LQGHSHQGHQWHV

, então formam uma

EDVH

de

(

.

Caso contrário são

OLQHDUPHQWHGHSHQGHQWHV

e, pela

proposição da página 26, pelo menos

XPGHOHVpFRPELQDomR

OLQHDUGRVUHVWDQWHV

.

Seja

X

esse vector. Então, pela propriedade da página 43, os

UHVWDQWHVYHFWRUHVJHUDPRPHVPRHVSDoR

, ou seja,



(

Ä X

 X

 X

 X

 X

Ô

Ora se os vectores

X

 X

 X

 X

 X

forem

OLQHDUPHQWHLQGHSHQGHQWHV

, então formam uma

EDVH

de

(

.

Caso contrário repete-se o procedimento anterior.

Então, como o

Q~PHURGHJHUDGRUHVp

ILQLWR

(e pelo menos

um deles não é nulo) este processo acabará por encontrar um

VXEFRQMXQWR

de {

X

 X

 X

}

formado por vectores que

são

OLQHDUPHQWHLQGHSHQGHQWHV

e que

JHUDP

(

, ou seja, uma

x

x 3RUWDQWR

:

Seja

(

um espaço vectorial sobre

£

. Qualquer conjunto

finito de geradores

WHPFRPRVXEFRQMXQWRXPDEDVH

de

(

.

x

x

O exemplo seguinte mostra

FRPR FRQVWUXLUXPDEDVH

de um espaço vectorial

finitamente gerado, a partir de um

FRQMXQWRILQLWRGHJHUDGRUHV

.

x

x

Por exemplo, sabendo que,

¸

=

Ä 



±±Ô

 YHULILTXH

pretendemos descobrir uma

EDVHFRQWLGDQRFRQMXQWR

,

6

{





±±

}

Comecemos por verificar se os vectores são

OLQHDUPHQWHLQGHSHQGHQWHV

.

Sejam então

D

,

E

,

J

,

G

∈

¸

tais que,

D

E 



±

J



G

± 

e desta igualdade obtemos o

VLVWHPD

,

D



J

±

G





E 

J

 

G





D

± E 

J

 

G



e que escalonando,

donde obtemos,

D



G

E 

G

J

±

G

Então este sistema admite

VROXo}HVQmRQXODV

,

como por exemplo,

D



E 



J

±



G



A partir da

VROXomRQmRQXOD

considerada:

 



±±± 

podemos escrever um deles como combinação linear dos restantes,

como

por

exemplo,

± ±±



±

E pela proposição na página 43,

se

¸

=

Ä 



±±Ô

então

¸

=

Ä 



±Ô

Vejamos então se estes três vectores são

OLQHDUPHQWHLQGHSHQGHQWHV

.

Sejam

D

,

E

,

J

∈

¸

tais que,

D

E 



±

J

 

e desta igualdade obtemos o

VLVWHPD

,

D



J



E 

J





D

± E 

J



que tem como

VROXomR~QLFD

,

D

E

J



Portanto os vectores são

OLQHDUPHQWHLQGHSHQGHQWHV

e,

)

{

±

}

x

x

Um espaço vectorial pode ter

YiULDVEDVHV

. Por exemplo em

¸

,

O conjunto de vectores {



}

é

XPDEDVH

porque são linearmente independentes e geram o espaço,

pois todo o vector

[\

pode ser escrito como,

[\ \±[[±\

Mas também os vectores

H





H



formam

XPDEDVH

,

pois são linearmente independentes

e todo o vector

[\

pode obviamente ser escrito como,

[\ [\

Esta é chamada a

EDVHFDQyQLFD

de

¸

.

x

x

Para cada base, a cada vector

[\

corresponde uma

FRPELQDomROLQHDU

~QLFD

, ou

UHSUHVHQWDomR



nessa base.

Por exemplo o vector



,

na base {



}

escreve-se

 









na

base

{



}

escreve-se

 









x

x

Aos escalares dessas combinações lineares chamam-se

FRRUGHQDGDVGR

x

x

Para todo o

Q ± ´

, a

EDVHFDQyQLFD

ou

EDVHSDGUmR

do espaço vectorial

¸

é

formada pelos

Q

vectores,

H





H









H

 



H



É simples verificar que são

OLQHDUPHQWHLQGHSHQGHQWHV

e que

JHUDPRHVSDoR

vectorial

¸

.

A

EDVHFDQyQLFD

de

¸

é uma

EDVHRUGHQDGD

e escreve-se,

)

¸

n

H

 H

 H

x

x

O termo

EDVHRUGHQDGD

significa que a

RUGHPGDVFRRUGHQDGDV

é importante.

Por exemplo em

¸

, o vector



tem as coordenadas



e



na base

canónica, enquanto que na base



seria o vector



.

x

x

Outras bases podem ser consideradas para o espaço vectorial

¸

,

Por exemplo verifique que para,

Y





Y









Y

 



Y



x

x 3URSRVLomR

:

Todas as bases de um espaço vectorial têm

R PHVPR

Q~PHURGHHOHPHQWRV

.

x

x

Ao

Q~PHURGHYHFWRUHVGHTXDOTXHUEDVH

de um espaço vectorial

(

chama-se

GLPHQVmRGH

(

e representa-se por

GLP

(

.

x

x

Naturalmente que

GLP

¸



,

GLP

¸



, ... ,

GLP

¸

Q

.

x

x

Por exemplo em

¸

, consideremos uma recta que passa pela origem

\ P[

ou seja, o

VXEHVSDoRYHFWRULDO

definido por,

)

{

[\

± ¸

:

\ P[

}

{

[P[

± ¸

}

Qual a

GLPHQVmR

de

)

?

Visto que

[P[ [P

para qualquer

[ ± ¸

,

então o vector

P

JHUD

)

, ou seja,

)

=

Ä PÔ

.

Por outro lado como

Pz 

, então é

OLQHDUPHQWHLQGHSHQGHQWH

.

Portanto

)

P

é uma base de

)

e então

GLP

) 

.

x

x

Para o espaço vectorial

3

[

[

]

dos polinómios de grau até

Q

,

a

EDVHFDQyQLFD

é formada por (

[[

 [

).

x

x

Consideremos por exemplo o

VXEHVSDoR

de

¸

definido por,

$

{

[\]

± ¸

:

[ 

}

Qual será a

GLPHQVmR

de

$

?

Como todo o vector

Y ± $

tem a forma,

Y \]

então podemos escrever,

Y \]

ou seja, todo o vector de

$

se escreve como

FRPELQDomROLQHDU

de



e



.

Também é simples verificar que são

OLQHDUPHQWHLQGHSHQGHQWHV

.

Formam então uma

EDVH

de

$

e portanto

GLP

$ 

,

o que seria de esperar, visto

$

ser um

SODQR

no espaço

¸

.

x

x

No espaço vectorial

3

[

[

]

dos polinómios de grau até

Q

, com

Q t 

,

consideremos o conjunto dos polinómios com

WHUPRLQGHSHQGHQWHQXOR

,

ou seja,

*

{

S[

± 3

[

[

] :

S 

}

Mostremos

que

* d 3

[

[

], ou seja, que

p VXEHVSDoR

e determinemos a sua

GLPHQVmR

.

*

é subespaço de

3

[

[

]

pois,

LL



S[

,

T[

∈

*

Á

ST[

∈

*

pois se

S 

e

T 

então

ST ST  

LLL

 D

∈

_¸

,



S[

∈

*

Á

D

S[

∈

*

pois se

S 

então

D

S 

D

S 

D

 

E assim mostrámos que

* d 3

[

[

].

Para encontrar

XPDEDVH

de

*

,

basta verificar que todo o

S[

∈

*

tem a forma,

S[ D

 D

[ D

[

 D

[

, com

D



e

D

 ¸

D

[ D

[

 D

[

ou seja, uma

FRPELQDomROLQHDU

dos vectores

[[

[

.

Portanto o conjunto de vectores {

[[

[

}

JHUD

*

.

Por outro lado, o conjunto de vectores {

[[

[

}, sendo um

VXEFRQMXQWR

GDEDVHFDQyQLFD

de

3

[

[

], é também um conjunto de

YHFWRUHVOLQHDUPHQWH

LQGHSHQGHQWHV

.

E assim mostrámos que (

[[

[

)

_{p XPDEDVH}

de

*

x

x

No espaço vectorial

0

_l

(

¸

)

a

EDVH FDQyQLFD

é formada por,

Verifique que (

(

 (

 (

 (



)

é efectivamente uma base de

0

(

¸

)

e portanto que

GLP

0

(

¸

)



.

x

x

No espaço vectorial

0

_l

(

¸

)

a

EDVH FDQyQLFD

é formada por,

e portanto

GLP

0

(

¸

)



.

x

x

Generalizando, no espaço vectorial

0

_PlQ

(

¸

)

a

EDVHFDQyQLFD

é formada

pelo conjunto ordenado de matrizes,

(

%



L PM Q

)

onde

%

é a matriz do tipo

PlQ

cujo único elemento não nulo é

E



.

x

x 3URSRVLomR

:

Seja

(

um espaço vectorial sobre

£

tal que

GLP

( Q

.

Então:

L

Quaisquer

Q

vectores de

(

linearmente independentes

formam uma base de

(

LL

Qualquer conjunto de geradores de

(

com

Q

elementos

forma uma base de

(

LLL

Qualquer conjunto de vectores de

(

com mais de

Q

elementos é linearmente dependente.

x

x

Assim, num espaço vectorial de

GLPHQVmR

Q

,

Q

é o número

Pi[LPR

de vectores

OLQHDUPHQWHLQGHSHQGHQWHV

Q

é o número

PtQLPR

de

JHUDGRUHVGRHVSDoR

.

Portanto,

SDUDGHWHUPLQDUVH

um dado conjunto de

Q

vectores

p XPDEDVH

,

basta

YHULILFDUDSHQDVXPD

das duas condições:

se são linearmente independentes

ou se geram o espaço

x

x

Por exemplo, mostremos que o conjunto,

 



p XPDEDVH

do espaço vectorial



¸

3

,

Como se trata de um conjunto de



vectores e

GLP

¸



,

Consideremos então os escalares

D

,

E

,

J

∈

¸

tais que,

D



E 



J





igualdade que conduz à resolução do sistema,

D

 E 



E 

J





D



J



que tem por solução única,

D





E 



J



Então os três vectores são

OLQHDUPHQWHLQGHSHQGHQWHV

e portanto

IRUPDP

XPDEDVH

de

¸

.

x

x

No espaço vectorial



¸

3

, considere o subconjunto,

6

{

[\]

± ¸

:

[ ±\] 

}

D

Verifique que

6 d ¸

E

Determine um

FRQMXQWRGHJHUDGRUHV

de

6

e verifique se esse conjunto é

formado

por

vectores

OLQHDUPHQWHLQGHSHQGHQWHV

F

Calcule

a

GLPHQVmR

de

6

D

6

é um

VXEHVSDoR

de

¸

pois,

L

 6

LL

a soma de dois vectores de

6

pertence a

6

E

Para determinar um

FRQMXQWRGHJHUDGRUHV

de

6

notemos que,

6 

{

[\]

± ¸

:

[ ±\] 

}

{

\±]\]

,

\]± ¸

}

{

\ ]±

\]± ¸

}

Ä ±Ô

ou seja, os vectores



e

 ±

JHUDP

6

.

Verifiquemos se são

OLQHDUPHQWHLQGHSHQGHQWHV

.

Para os escalares

D

,

E

∈

¸

tais que,

D



E ±



donde obtemos o sistema,

D

± E 



D





E 

cuja solução única é

D

E 

e assim mostrámos que os dois vectores são

OLQHDUPHQWHLQGHSHQGHQWHV

.

F

Portanto,

se

 ±

p XPDEDVH

de

6

,

x

x 3UREOHPD

:

Determine a

GLPHQVmRGRVXEHVSDoR

:

de

¸

JHUDGRSRU

,

{

±±±

}

ou seja, calcule

GLP

:

tal que,

:

Ä ±±±Ô

Comecemos por chamar,

Y

±



Y

±



Y

±

Para saber a

GLPHQVmR

do subespaço, precisamos identificar

XPD

EDVH

.

Como sabemos que os vectores

Y

,

Y

e

Y

JHUDP

:

, resta

verificar se são

OLQHDUPHQWHLQGHSHQGHQWHV

.

Mas analisando as componentes, notamos que,

Y

Y

± Y

ou seja,

Y

é uma

FRPELQDomROLQHDUGRVUHVWDQWHV

.

Então, pela propriedade na página 43, os

UHVWDQWHVYHFWRUHV

ainda

JHUDPRPHVPRVXEHVSDoR

:

.

Resta verificar se

Y

e

Y

são

OLQHDUPHQWHLQGHSHQGHQWHV

.

Construindo a combinação linear nula,

D Y

 EY



ou



obtemos o sistema,

± DE 

 D 



DE 



±E 

que só tem a

VROXomRQXOD

D E 

.

Então

Y

e

Y

JHUDP

:

e são

OLQHDUPHQWHLQGHSHQGHQWHV

e

portanto

IRUPDPXPDEDVH

de

:

.

Consequentemente a resposta é

GLP

: 

.

E se não tivéssemos observado que,

Y

Y

± Y

"

Esta relação deveria surgir do processo habitual para verificar se

os vectores

Y

,

Y

e

Y

são

OLQHDUPHQWHLQGHSHQGHQWHV

.

Construindo a combinação linear nula,

D Y

 EY

 FY



ou



D ±

 E±

 F±



e resolvendo o sistema resultante,

GHGX]D DUHODomR

,

x

x 3URSRVLomR

:

Seja

(

um espaço vectorial sobre

£

de dimensão

Q

e seja

) H

 H

 H

uma

EDVH

de

(

.

Então, qualquer vector

[ ± (

se

HVFUHYHGHIRUPD~QLFD

como combinação linear dos vectores da base

)

,

ou seja, existem

HVFDODUHV~QLFRV

D

_

,

D

_

, ...,

D

_Q

± £

tais que,

[

D



H



D



H

 

D

Q

H

'HPRQVWUDomR

: Se

) H

 H

 H

é uma

EDVH

,

então

JHUDRHVSDoR

e qualquer vector

[ ± (

se escreve

como uma combinação linear dos seus elementos,

ou seja, existem

D

_

,

D

_

, ...,

D

_Q

± £

tais que,

[

D



H



D



H

 

D

Q

H

Para provar que esta

FRPELQDomROLQHDUp~QLFD

,

suponhamos que existiam também,

E

_

,

E

_

, ...,

E

_Q

± £

tais que,

[

E



H

 E



H

 

E

Q

H

Então nesse caso teríamos duas combinações,

[

D



H



D



H

 

D

Q

H

[

E



H

 E



H

 

E

Q

H

obtemos,

D



± E



 H

 

D



± E



 H

 

D

Q

± E

Q

 H



(

Ora sendo os

H

 H

 H

vectores da

EDVH

, isso significa que

são

OLQHDUPHQWHLQGHSHQGHQWHV

e portanto esta igualdade,

só pode ocorrer se,

D



± E



D



± E



 

D

Q

± E

Q

 

ou,

D

L

E

L

para todo o

L Q

As

GXDV

combinações lineares que considerámos são portanto

LJXDLV

.

E assim podemos concluir que

H[LVWHXPD~QLFDIRUPD

de escrever

[

como

FRPELQDomROLQHDUGRVYHFWRUHVGDEDVH

.

x

x

Portanto, num espaço vectorial

(

finitamente gerado de dimensão

Q

,

com uma

EDVH

) H

 H

 H

,

SDUDTXDOTXHUYHFWRU

[ ± (

existem

Q

escalares

XQLYRFDPHQWHGHWHUPLQDGRV

O



O

 

O

tais que,

[

O



H



O



H

 

O

Q

H

Ao n-uplo (

O



O

 

O

)

chamamos,

FRRUGHQDGDV

ou

FRPSRQHQWHV

de

[

QDEDVH

ou

UHODWLYDPHQWHjEDVH

e escrevemos,

x

x

De um modo geral, quando indicamos o vector

[

 [

 [

 ± ¸

assumimos que

[

 [

 [

são

DVFRRUGHQDGDVQDEDVHFDQyQLFD

de

¸

ou seja que,

[

 [

 [

[

 [

 [

)

_¸

n

Por exemplo, o vector

[\

± ¸

indica que,

[\ [\

x

x

Sabendo que

) ±

é uma

EDVH

de

¸

,

determinemos a

H[SUHVVmRJHUDOGDVFRRUGHQDGDV

de qualquer vector

[\

± ¸

QDEDVH

)

.

Procuremos então os valores únicos dos escalares

D

,

E

∈

¸

tais que,

D



E ±

[\

ou seja tais que,

D

 E [



D

± E \

Construindo a matriz ampliada e escalonando,

donde,

E [±\

E assim obtivemos, para

H[SUHVVmRJHUDOGDVFRRUGHQDGDV

de qualquer vector

[\

± ¸

QDEDVH

) ±

,

Note que, a partir dos valores das

FRRUGHQDGDV

[

e

\

de qualquer vector

QD

EDVHFDQyQLFD

, esta expressão permite obter os valores das

FRRUGHQDGDV

desse vector

QDQRYDEDVH

)

.

x

x

No espaço vectorial

¸

consideremos a

EDVH

,

) 

Determine

as

FRRUGHQDGDV

de

[ ±

relativamente à base

)

.

Procuremos então os escalares

D

,

E

,

F

,

G ± ¸

tais que,

± DE



FG

ou seja,

D F ±

F ±

D E 

D 



E 

E 



G 

G 

e portanto,

± ±

)

Å

Å

,

,

Q

Q

W

W

H

H

U

U

V

V

H

H

F

F

o

o

m

m

R

R

G

G

H

H

6

6

X

X

E

E

H

H

V

V

S

S

D

D

o

o

R

R

V

V

x

x

Sejam

(

um espaço vectorial sobre

£

, e

)

e

*

VXEHVSDoRVYHFWRULDLV

de

(

.

Chama-se

LQWHUVHFomRGRVVXEHVSDoRV

)

e

*

e representa-se por

) « *

,

ao

VXEFRQMXQWR

de

(

definido por,

) « * 

{

X ± (

:

X ± ) ¼ X ± *

}

x

x 3URSRVLomR

: Seja

(

um espaço vectorial sobre

£

e sejam

)

e

*

subespaços

vectoriais

de

(

.

Então a

LQWHUVHFomR

) « *

p XPVXEHVSDoRYHFWRULDO

de

(

.

'HPRQVWUDomR

:

L

Se

)

e

*

são subespaços vectoriais de

(

,

então



± )

e



± *

.

Portanto



± ) « *

LL

Sejam

X

e

Y ± ) « *

Por definição de

LQWHUVHFomR

,

X ± ) « *

Á

X ± )

e

X ± *

Y ± ) « *

Á

Y ± )

e

Y ± *

mas como

)

e

*

são

VXEHVSDoRV

vectoriais de

(

,

então

X Y

± )

e

X Y

± *

LLL

Sejam

D

± £

e

X ± ) « *

Por definição de

LQWHUVHFomR

,

X ± ) « *

Á

X ± )

e

X ± *

mas como

)

e

*

são

VXEHVSDoRV

vectoriais de

(

,

então

D

X ± )

e

D

X ± *

pelo que

D

X ± ) « *

x

x

Por exemplo no espaço vectorial

¸

, sendo dados os

VXEHVSDoRV

vectoriais,

) 

{

[\]

± ¸

:

[ \] 

}

* 

Ä ±Ô

calculemos a sua

LQWHUVHFomR

) « *

.

Em primeiro lugar, é necessário

LGHQWLILFDU

*

,

o subespaço cujos vectores são da forma,



[\] 

D

E ±

ou seja, os

YDORUHV

de

[

,

\

e

]

para os quais é

SRVVtYHORVLVWHPD

,

D

± E [

E \

Construindo a matriz ampliada e escalonando,

concluímos que o sistema só é

SRVVtYHO

para

] ±[±\ 

.

Está assim

LGHQWLILFDGRRVXEHVSDoR

*

,

* 

{

[\]

± ¸

:

] ±[±\ 

}

Podemos agora calcular a

LQWHUVHFomR

,

) « * 

{

[\]

± ¸

:

[ \] 

¼ ] ±[±\ 

}

o que conduz à resolução do sistema,



[\] 

[ ±



\



] ±[±\ 

] 



\



Note que, em

¸

os subespaços

)

e

*

representam dois planos,



pelo que a sua

LQWHUVHFomR

) « *

representa uma recta.

x

x ([HUFtFLR

: No espaço vectorial

¸

, dados os subespaços vectoriais,

8 

{

[\]

± ¸

:

[ \]

}

9 

Ä ±±Ô

Å

Å

5

5

H

H

X

X

Q

Q

L

L

m

m

R

R

G

G

H

H

6

6

X

X

E

E

H

H

V

V

S

S

D

D

o

o

R

R

V

V

x

x

Sejam

(

um espaço vectorial sobre

£

, e

)

e

*

VXEHVSDoRVYHFWRULDLV

de

(

.

Chama-se

UHXQLmRGRVVXEHVSDoRV

)

e

*

e representa-se por

) ª *

,

ao

VXEFRQMXQWR

de

(

definido por,

) ª * 

{

X ± (

:

X ± ) ½ X ± *

}

x

x

Em geral,

D UHXQLmR

de dois subespaços vectoriais

QmR p XPVXEHVSDoR

vectorial.

x

x

Como por exemplo, dados os

GRLVVXEHVSDoRV

vectoriais de

¸

,

+ 

{

[\

± ¸

:

[ 

}

{

\

:

\ ± ¸

}

) 

{

[\

± ¸

:

\ 

}

{

[

:

[ ± ¸

}

obviamente a sua reunião,

+ ª ) 

{

[\

± ¸

:

[ ½ \ 

}

QmRpXPVXEHVSDoR

vectorial, pois

QmR pIHFKDGRSDUDDDGLomR

de vectores.

Basta verificar, por exemplo que,

± + ª )

± + ª )

 ² + ª )

x

x

É

FRQGLomRQHFHVViULDHVXILFLHQWH

para que a reunião de dois subespaços

x

x 3URSRVLomR

:

Seja

(

um espaço vectorial sobre

£

e sejam

)

e

*

subespaços vectoriais de

(

.

Então

) ª *

p XPVXEHVSDoRYHFWRULDO

de

(

VHHVyVH

) ° *

RX

* ° )

.

'HPRQVWUDomR

:

¿

Se

) ° *

então

) ª * *

que é um subespaço vectorial de

(

.

Se

* ° )

então

) ª * )

que é um subespaço vectorial de

(

.

Á

Suponhamos

SRUDEVXUGR

que,

) ª *

é um subespaço vectorial mas

) p *

e

* p )

.

Quer isto dizer que:



I ± )

:

I ² *



J ± *

:

J ² )

Ora se

) ª *

fosse um subespaço vectorial

então seria fechado para a adição, ou seja,

IJ

± ) ª *

então

I J V

± ) ª *

isto é,

V ± )

ou

V ± *

Mas nesse caso,

se

V ± )

então

J V±I± )

se

V ± *

então

I V±J± *

Sendo as duas situações impossíveis, concluímos que,

x

x 3URSRVLomR

:

Seja

(

um espaço vectorial sobre

£

de

GLPHQVmR

Q

e seja

)

um

VXEHVSDoR

vectorial de

(

.

Então

)

tem

GLPHQVmRILQLWD

e

GLP

) d Q

e além disso, se

GLP

) Q

então

) (

.

x

x

Consideremos por exemplo o subespaço vectorial

)

de

¸

,

) 

Ä Ô

Como são três vectores linearmente independentes, então

GLP

) 

e podemos portanto concluir que

)

¸

.

x

x

Por convenção, o

VXEHVSDoRWULYLDOWHPGLPHQVmRQXOD

,

GLP



{



}



e todo o subespaço vectorial

)

QmRWULYLDO

tem dimensão

GLP

)t 

.

Portanto,

GLP

) ¾ ) 

{



}

Å

Å

6

6

R

R

P

P

D

D

G

G

H

H

6

6

X

X

E

E

H

H

V

V

S

S

D

D

o

o

R

R

V

V

x

x

Sejam

(

um espaço vectorial sobre

£

, e

)

e

*

VXEHVSDoRVYHFWRULDLV

de

(

.

Chama-se

VRPDGRVVXEHVSDoRV

)

e

*

e representa-se por

)

+

*

,

ao

VXEFRQMXQWR

de

(

definido por,

x

x 3URSRVLomR

:

Seja

(

um espaço vectorial sobre

£

e sejam

)

e

*

dois

subespaços

vectoriais

de

(

.

Então a

VRPD

) *

p XPVXEHVSDoRYHFWRULDO

de

(

.

'HPRQVWUDomR

:

L

Se

)

e

*

são subespaços vectoriais de

(

,

então



± )

e



± *

.

Portanto





 

± ) *

LL

Sejam

X

e

Y ± ) *

Por definição de

VRPDGHVXEHVSDoRV

,

X X

 X

com

X

± )

e

X

± *

Y Y

 Y

com

Y

± )

e

Y

± *

então,

X Y X

 X

 Y

 Y

X

 Y

 X

 Y

± )

± *

e portanto

X Y

± ) *

LLL

Sejam

D

± £

e

X ± ) *

Por definição de

VRPDGHVXEHVSDoRV

,

X X

 X

com

X

± )

e

X

± *

então,

D

X 

D

X

 X

D

X



D

X

± )

± *

D

x

x

Para o exemplo anterior, dos

GRLVVXEHVSDoRV

vectoriais de

¸

,

+ 

{

\

:

\ ± ¸

}

) 

{

[

:

[ ± ¸

}

O

VXEHVSDoRVRPD

+ )

é dado por,

+ ) 

{

\[

:

[

\ ± ¸

}

{

[\

:

[

\ ± ¸

}

{

[\± ¸

}

¸

Note que os subespaços

+

e

)

representam os eixos coordenados em

¸

.

Enquanto que a sua

UHXQLmR

não é um subespaço vectorial, a sua

VRPD

é o

próprio

¸

.

Por outro lado a sua

LQWHUVHFomR

é a origem, ou seja, o subespaço trivial {



}.

x

x

Ou por exemplo, dados os

GRLVVXEHVSDoRV

vectoriais de

¸

,

) 

{

]

:

] ± ¸

}

* 

{

\

:

\

± ¸

}

O

VXEHVSDoRVRPD

) *

é dado por,

) * 

{

]\

:

\

] ± ¸

}

{

\]

:

\

] ± ¸

}

{

[\]± ¸

:

[ 

}

Neste caso, os subespaços representam dois eixos coordenados de

¸

e a sua

x

x 3URSRVLomR

:

Seja

(

um espaço vectorial sobre

£

e sejam

)

e

*

dois

subespaços

vectoriais

de

(

.

Então



) *

Ä ) ª * Ô

.

'HPRQVWUDomR

: Para provar a

LJXDOGDGH

,

) *

Ä ) ª * Ô

precisamos provar que:

L

Ä ) ª * Ô ° ) *

LL

) * ° Ä) ª * Ô

L

Para

qualquer

X ± Ä ) ª * Ô

provemos que

X ± ) *

Ora se

X ± Ä ) ª * Ô

então escreve-se como uma

FRPELQDomR

OLQHDUGHYHFWRUHV

de

) ª *

,

X 

D

Y



D

Y

 

D

Y

onde cada

Y

,

Y

± )

ou

Y

± *

Pela

FRPXWDWLYLGDGHGDDGLomR

de vectores, podemos sempre

ordenar a combinação linear de modo a,

X 

D

Y



D

Y

 

D

Y



D

Y



D

Y

onde



Y

 Y

 Y

± )

Y

Y

± *

e como

)

e

*

são

VXEHVSDoRV

vectoriais,

X 

D

Y



D

Y



D

Y



D

Y



D

Y

± )

± *

LL

Para

qualquer

X ± ) *

provemos que

X ± Ä ) ª * Ô

Ora se

X ± ) *

então

X X

 X

com

X

± )

e

X

± *

e portanto

X

é uma

FRPELQDomROLQHDUGHYHFWRUHV

de

) ª *

ou seja,

X ± Ä ) ª * Ô

x

x

Para o exemplo anterior, dos

GRLVVXEHVSDoRV

vectoriais de

¸

,

+ 

{

\

:

\ ± ¸

}

) 

{

[

:

[ ± ¸

}

tal como já calculámos,

+ ª ) 

{

\

:

\ ± ¸

}

ª

{

[

:

[ ± ¸

}

{

[\

± ¸

:

[ ½ \ 

}

e

+ ) 

{

[\

:

[\

± ¸

}

¸

E efectivamente,

+ )

Ä + ª ) Ô

pois

WRGRRYHFWRU

[\

de

¸

pode ser escrito como uma

FRPELQDomR

OLQHDU

envolvendo vectores da forma

[

e da forma

\

.

x

x 3URSRVLomR

: Seja

(

um espaço vectorial sobre

£

e sejam

)

e

*

GRLV

VXEHVSDoRV

vectoriais de

(

tais que,

) ÄX

 X

 X

Ô

* ÄY

 Y

 

Y

Ô

então,

) * ÄX

 X

 X

 Y

 Y

 

Y

Ô

'HPRQVWUDomR

:

L

Para qualquer

[ ± ) *

provemos que

[ ± ÄX

 X

 X

 Y

 Y

 

Y

Ô

Ora se

[ ± ) *

então

[ [

 [

com

[

± )

e

[

± *

mas se

[

± ) ÄX

 X

 X

Ô

então

[

D

X



D

X

 

D

X

e se

[

± * ÄY

 Y

 

Y

Ô

então

[

E

Y

 E

Y

 E

Y

e portanto,

[ [

 [

D

X



D

X

 

D

X

 E

Y

 E

Y

 E

Y

ou seja,



[ ± ÄX

 X

 X

 Y

 Y

 

Y

Ô

LL

Para qualquer

[ ± ÄX

 X

 X

 Y

 Y

 

Y

Ô

provemos que

[ ± ) *

Ora se

[ ± ÄX

 X

 X

 Y

 Y

 

Y

Ô

então,

[ 

D

X



D

X

 

D

X

 E

Y

 E

Y

 E

Y

± ÄX

 X

 X

Ô )

± ÄY

 Y

 

Y

Ô *

e portanto,

[ ± ) *

x

x

Para o exemplo anterior em

¸

, em termos das respectivas

EDVHVFDQyQLFDV

temos,

+ Ä Ô

) Ä Ô

ou seja,

+ ª ) Ä Ô ªÄ Ô

e portanto,

+ )

Ä + ª ) Ô

Ä 

,

Ô ¸

x

x

No espaço vectorial

¸

, retomando o exemplo dos subespaços vectoriais,

) 

{

[\]

± ¸

:

[ \] 

}

* 

Ä ±Ô

Determinemos um

FRQMXQWRGHJHUDGRUHVGH

) *

.

Como já temos um conjunto de geradores para

*

, basta encontrar um conjunto

de geradores para

)

e juntar.

) 

{

[\]

± ¸

:

[ ±\±]

}

{

±\±]\]

:

\]± ¸

}

{

\ ±]±

:

\]± ¸

}

Ä ±

,

±Ô

Assim temos,

)

Ä ±

,

±Ô

* 

Ä ±Ô

e portanto,

) *

Ä ±

,

±±Ô

Resta saber

TXDQWRV

destes vectores

VmROLQHDUPHQWHLQGHSHQGHQWHV

, ou

seja,

TXDODGLPHQVmRGHVWHHVSDoR

...

x

x

No espaço vectorial

¸

, considere os subespaços vectoriais,

6 

{

[\]Z

± ¸

:

[ ±\ ¼ [ \Z

}

Å

Å

2

2

7

7

H

H

R

R

U

U

H

H

P

P

D

D

G

G

D

D

V

V

'

'

L

L

P

P

H

H

Q

Q

V

V

}

}

H

H

V

V

x

x 3URSRVLomR

: Sejam

)

e

*

dois subespaços vectoriais de um espaço

ILQLWDPHQWHJHUDGR

.

Então,

GLP

)* 

GLP

) 

GLP

* ±

GLP

)« *

$UJXPHQWDomR

:

Se

DOJXP

dos subespaços for o

VXEHVSDoRWULYLDO

, por exemplo

) 

{



}

então,

) « * 

{



}

e

) * *

Como

GLP

{



}



o resultado é óbvio pois teremos,

GLP

* 

 

GLP

* ±



Analisemos o caso geral, em que nenhum dos subespaço é o trivial.

Por hipótese

)

e

*

têm

GLPHQVmRILQLWD

e portanto o subespaço vectorial

) « *

também tem

GLPHQVmRILQLWD

.

Consideremos uma

EDVH

de

) « *

,

)

)«*

H

 H

 H

Como os

H

 H

 H

± ) « * ° )

são linearmente independentes,

para

obter

uma

EDVH

ordenada de

)

, teremos de juntar

PDLVYHFWRUHVGH

)

,

por forma a obter,

) 

Ä H

 H

 H

,

I

 I

 I

Ô

e de modo análogo para

*

,

e então, para o

VXEHVSDoRVRPD

,

) * 

Ä H

 H

 H

,

I

 I

 I

,

J

 J

 J

Ô

3URYDVH

que este conjunto de geradores

p OLQHDUPHQWHLQGHSHQGHQWH

e que portanto formam uma

EDVH

de

) *

.

Deste modo,

GLP

)« * 

Q

GLP

) 

Q S



GLP

* 

Q T



GLP

)* 

Q ST

Ou seja, o

WHRUHPDGDVGLPHQV}HV

garante-nos que,

GLP

)* 

GLP

) 

GLP

* ±

GLP

)« *

x

x

Para o exemplo anterior, dos

GRLVVXEHVSDoRV

vectoriais de

¸

,

+ 

{

\

:

\ ± ¸

}

Ä Ô

) 

{

[

:

[ ± ¸

}

Ä Ô

obviamente que,

GLP

+) 

GLP

+ 

GLP

) ±

GLP

+« )

±



 

GLP

¸

x

x

No espaço vectorial

¸

, voltemos ao exemplo dos subespaços vectoriais,

) 

{

[\]

± ¸

:

[ \] 

}

* 

Ä ±Ô

Nas

SiJLQDVH

, calculámos a sua

LQWHUVHFomR

,

) « * 

{

\ ±

:

\ ± ¸

}

{

ò \±

:

\ ± ¸

}

{

\¶±

:

\¶± ¸

}

Ä ±

Ô

Como

±

œ 

,

podemos concluir que

GLP

)«* 

e que conhecemos uma

EDVHRUGHQDGD

,

)

_)«*

±

.

Na

SiJLQD

encontrámos um conjunto de

JHUDGRUHV

para

)

,

) 

{

±\±]\]

:

\]± ¸

}

{

\ ±]±

:

\]± ¸

}

Ä ±

,

±Ô

Depois de verificar que estes dois vectores são

OLQHDUPHQWHLQGHSHQGHQWHV

,

podemos concluir que

GLP

) 

e que conhecemos

XPDEDVHRUGHQDGD

de

)

,

Contudo, a partir de

)

_)«*

±

é possível obter

RXWUDVEDVHV

de

)

.

Basta juntar a

±

,

um vector de

)

que lhe seja

LQGHSHQGHQWH

.

Por exemplo

±

± )

não é da forma

D

±

.

Deste modo obtivemos

RXWUDEDVHRUGHQDGD

de

)

,

)

)

±

,

±

.

Por outro lado, para o espaço vectorial

*

,

* 

Ä ±Ô

como

*

está definido por

GRLVJHUDGRUHV

(e porque

D GLPHQVmRpRQ~PHUR

PtQLPRGHJHUDGRUHV

) então

GLP

* d 

.

Também neste caso, a partir de

)

_)«*

±

é possível obter

EDVHV

de

*

.

Basta juntar a

±

, um vector de

*

que lhe seja

LQGHSHQGHQWH

.

Por exemplo



± *

,

XP GRVJHUDGRUHVGDGRV

, não é combinação

linear

de

±

, por não ser da forma

D

±

.

Sendo



e

±

, dois vectores de

*

linearmente

independentes,



(e porque

D GLPHQVmRpRQ~PHURPi[LPRGHYHFWRUHV

Temos assim as

EDVHVRUGHQDGDV

,

)

)

±

,

±

)

*



,

±

.

donde podemos obter uma

EDVHRUGHQDGD

para

) *

,

)

)*

 ±

,

±

e naturalmente que,



GLP

)* 

GLP

) 

GLP

* ±

GLP

)« *

±





Å

Å

6

6

R

R

P

P

D

D

'

'

L

L

U

U

H

H

F

F

W

W

D

D

x

x

Sejam

(

um espaço vectorial sobre

£

, e

)

e

*

VXEHVSDoRVYHFWRULDLV

de

(

.

Diz-se que

)

e

*

HVWmRHPVRPDGLUHFWD

ou que

D VRPD

)

+

*

p GLUHFWD

se, para todo o

X ± ) *

, existem

XP HXPVy

[ ± )

e

XP HXPVy

\ ± *

tais que,

X [\

x

x

Por exemplo, para os dois subespaços vectoriais de

¸

,

) 

{

]

:

] ± ¸

}

* 

{

\

:

\

± ¸

}

cujo

VXEHVSDoRVRPD

) *

é dado por,

) * 

{

]\

:

\

] ± ¸

}

{

\]

:

\

] ± ¸

}

{

[\]± ¸

:

[ 

}

vemos que,

TXDOTXHU

vector do

HVSDoRVRPD

,

X DEF

± ) *

tem a forma

X EF

pelo que só pode ser escrito

GH XP~QLFRPRGR

como a soma de um elemento

de

)

com um elemento de

*

,

X EF

Então

)

HVWiHPVRPDGLUHFWD

com

*

.

x

x

Consideremos agora os dois subespaços vectoriais de

¸

,

) 

{

[\]

± ¸

:

[ 

}

* 

{

[\]

± ¸

:

\ [

}

2EVHUYDomR

: Note que,

) 

{

[\]

± ¸

:

[ 

}

{

\]

:

\]± ¸

}

e que,

* 

{

[\]

± ¸

:

\ [

}

{

\\]

:

\]± ¸

}

ou seja, no cálculo dos vectores geradores do

VXEHVSDoRVRPD

,

é necessário

GLVWLQJXLU FRPSRQHQWHVFRPRPHVPRQRPH

,

mas de vectores de subespaços diferentes.

Por essa razão explicitamos,

) * 

{

\]\¶\¶]¶

:

\]\¶]¶± ¸

}

{

\¶\\¶]]¶

:

\]\¶]¶± ¸

}

{

DEF

:

DEF± ¸

}

¸

e portanto, o

VXEHVSDoRVRPD

é todo o espaço vectorial

¸

.

Nesse caso é óbvio que podemos obter, por exemplo,

 

± )

± *

mas

WDPEpP

,

 ±

± )

± *

2EVHUYDomR

: Como,

) 

{

[\]

± ¸

:

[ 

}

e

* 

{

[\]

± ¸

:

\ [

}

o

VXEHVSDoRLQWHUVHFomR

) « *

é dado por,

) « * 

{

[\]

± ¸

:

[ \ 

}

{

]

:

] ± ¸

}

Ä Ô

e porque

œ 

então

GLP

)« * 

.

Assim, pelo Teorema das Dimensões,



GLP

)* 

GLP

) 

GLP

* ±

GLP

)« *

±  

GLP

¸

podemos concluir que

) * ¸

.

x

x 3URSRVLomR

: Seja

(

um espaço vectorial sobre

£

e sejam

)

e

*

dois

subespaços vectoriais de

(

.

São

HTXLYDOHQWHV

as três condições:

L

A soma

) *

é directa

LL

O vector nulo escreve-se de modo único como a soma de

um

vector

de

)

com um vector de

*

LLL

) « *

{



}

'HPRQVWUDomR

: Basta mostrar que,

L

Á

LL

Á

LLL

Á

L