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3 [[] dos SROLQyPLRVGHFRHILFLHQWHVUHDLVHGHJUDXDWp.

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Texto

(1)

x

x

Mostremos que o conjunto {

[[



 [



}

é uma

EDVH

do espaço vectorial

3



[

[

]

dos

SROLQyPLRVGHFRHILFLHQWHVUHDLVHGHJUDXDWp





.

3



[

[

]

{

S [  D



 D



[ D



[



 D



[



 D

L

 ¸

}

Representamos por



3[[]

o

SROLQyPLRQXOR

, o

YHFWRUQXOR

deste espaço,



3[[]

[[



 [



L

Mostremos que os vectores

[[



 [



são

OLQHDUPHQWHLQGHSHQGHQWHV

.

Procuremos escalares

DEFG

± ¸

tais que,

D E[F[



 G[





3[[]

sendo



3[[]

o polinómio

LGHQWLFDPHQWHQXOR

,

é evidente que esta igualdade só pode verificar-se

para

WRGRRYDORU

de

[ ± ¸

, se

D E F G 

.

Os vectores

[[



 [



são portanto

OLQHDUPHQWHLQGHSHQGHQWHV

.

LL

Mostremos que os vectores

[[



 [



são

JHUDGRUHVGH



3



[

[

].

Como qualquer vector (polinómio) deste espaço tem a forma,

S [  D



 D



[ D



[



 D



[



obviamente

H[LVWHPRVHVFDODUHV

D



 D



 D



 D



 ¸

que permitem escrever

S [

como

FRPELQDomROLQHDU

de

[[



 [



.

(2)

x

x 3URSRVLomR

: Seja

(

um espaço vectorial sobre

£

e

Y



 Y



 Y

N

(

um conjunto de vectores tal que, para

DOJXP

L ±

{

N

}

,

Y

L

é uma

FRPELQDomROLQHDUGRVUHVWDQWHV

.

Então,

VmRLJXDLVRVVXEHVSDoRV

,

ÄY



 Y



 Y

L

,

Y

L

,

Y

L

, ...,

Y

N

Ô

=

ÄY



 Y



 Y

L

,

Y

L

, ...,

Y

N

Ô

x

x

Este resultado é útil para a

FRQVWUXomRGHXPDEDVH

de um espaço vectorial

finitamente gerado.

x

x

Por exemplo, se soubermos que,

¸

2

=

Ä      Ô

YHULILTXH 

como

XP GRVYHFWRUHVpDVRPDGRVUHVWDQWHV

,

     

pela

SURSRVLomRDQWHULRU

, ficamos também a saber que,

¸

2

=

Ä    Ô

ou seja, os vectores

 

e

 

JHUDP

¸

2

.

YHULILTXHWDPEpP

Por outro lado, como os vectores

 

e

 

são também

OLQHDUPHQWHLQGHSHQGHQWHV

, ficamos ainda a saber que,

(3)

x

x 3URSRVLomR

:

Todo o espaço vectorial

ILQLWDPHQWHJHUDGRWHPEDVH

.

'HPRQVWUDomR

: Seja

(

um espaço vectorial finitamente gerado.

No caso particular de

( 

{



(

}

a base é o

FRQMXQWRYD]LR

.

Analisemos o caso geral:

Se

( z

{



(

}

é um espaço vectorial

ILQLWDPHQWHJHUDGR

,

então existe um

FRQMXQWRILQLWR

X



 X



 X

Q

(

de vectores, tais que,

(

ÄX



 X



 X

Q

Ô

e como

( z

{



(

}, algum desses vectores deverá ser

diferente do vector nulo.

Se os vectores

X



 X



 X

Q

forem

OLQHDUPHQWH

LQGHSHQGHQWHV

, então formam uma

EDVH

de

(

.

Caso contrário são

OLQHDUPHQWHGHSHQGHQWHV

e, pela

proposição da página 26, pelo menos

XPGHOHVpFRPELQDomR

OLQHDUGRVUHVWDQWHV

.

Seja

X

L

esse vector. Então, pela propriedade da página 43, os

UHVWDQWHVYHFWRUHVJHUDPRPHVPRHVSDoR

, ou seja,



(

Ä X



 X



 X

L

 X

L

 X

Q

Ô

Ora se os vectores

X



 X



 X

L

 X

L

 X

Q

forem

OLQHDUPHQWHLQGHSHQGHQWHV

, então formam uma

EDVH

de

(

.

Caso contrário repete-se o procedimento anterior.

Então, como o

Q~PHURGHJHUDGRUHVp

ILQLWR

(e pelo menos

um deles não é nulo) este processo acabará por encontrar um

VXEFRQMXQWR

de {

X



 X



 X

Q

}

formado por vectores que

são

OLQHDUPHQWHLQGHSHQGHQWHV

e que

JHUDP

(

, ou seja, uma

(4)

x

x 3RUWDQWR

:

Seja

(

um espaço vectorial sobre

£

. Qualquer conjunto

finito de geradores

WHPFRPRVXEFRQMXQWRXPDEDVH

de

(

.

x

x

O exemplo seguinte mostra

FRPR FRQVWUXLUXPDEDVH

de um espaço vectorial

finitamente gerado, a partir de um

FRQMXQWRILQLWRGHJHUDGRUHV

.

x

x

Por exemplo, sabendo que,

¸

3

=

Ä   



±    ± Ô

YHULILTXH

pretendemos descobrir uma

EDVHFRQWLGDQRFRQMXQWR

,

6

{

  



±    ±

}

Comecemos por verificar se os vectores são

OLQHDUPHQWHLQGHSHQGHQWHV

.

Sejam então

D

,

E

,

J

,

G

¸

tais que,

D

 E 



± 

J

 

G

±   

e desta igualdade obtemos o

VLVWHPD

,

D



J

±

G





E 

J

 

G





D

± E 

J

 

G



(5)

e que escalonando,

donde obtemos,

D



G

E 

G

J

±

G

Então este sistema admite

VROXo}HVQmRQXODV

,

como por exemplo,

D



E 



J

±



G



(6)

A partir da

VROXomRQmRQXOD

considerada:

   



± ±   ±    

podemos escrever um deles como combinação linear dos restantes,

como

por

exemplo,

±    ±  ± 



± 

E pela proposição na página 43,

se

¸

3

=

Ä   



±    ± Ô

então

¸

3

=

Ä   



±   Ô

Vejamos então se estes três vectores são

OLQHDUPHQWHLQGHSHQGHQWHV

.

Sejam

D

,

E

,

J

¸

tais que,

D

 E 



± 

J

   

e desta igualdade obtemos o

VLVWHPD

,

D



J



E 

J





D

± E 

J



que tem como

VROXomR~QLFD

,

D

E

J



Portanto os vectores são

OLQHDUPHQWHLQGHSHQGHQWHV

e,

)

{

  ±   

}

(7)

x

x

Um espaço vectorial pode ter

YiULDVEDVHV

. Por exemplo em

¸

2

,

O conjunto de vectores {

   

}

é

XPDEDVH

porque são linearmente independentes e geram o espaço,

pois todo o vector

[\

pode ser escrito como,

[\   \±[     [±\    

Mas também os vectores

H



 



H





formam

XPDEDVH

,

pois são linearmente independentes

e todo o vector

[\

pode obviamente ser escrito como,

[\  [  \  

Esta é chamada a

EDVHFDQyQLFD

de

¸

2

.

x

x

Para cada base, a cada vector

[\ 

corresponde uma

FRPELQDomROLQHDU

~QLFD

, ou

UHSUHVHQWDomR



nessa base.

Por exemplo o vector



,

na base {

   

}

escreve-se

  



 



 

na

base

{

   

}

escreve-se

  



 





x

x

Aos escalares dessas combinações lineares chamam-se

FRRUGHQDGDVGR

(8)

x

x

Para todo o

Q ± ´

, a

EDVHFDQyQLFD

ou

EDVHSDGUmR

do espaço vectorial

¸

n

é

formada pelos

Q

vectores,

H



 



H



 







H

Q

   



H

Q

 

É simples verificar que são

OLQHDUPHQWHLQGHSHQGHQWHV

e que

JHUDPRHVSDoR

vectorial

¸

n

.

A

EDVHFDQyQLFD

de

¸

n

é uma

EDVHRUGHQDGD

e escreve-se,

)

¸

n

H



 H



 H

Q

x

x

O termo

EDVHRUGHQDGD

significa que a

RUGHPGDVFRRUGHQDGDV

é importante.

Por exemplo em

¸

2

, o vector



tem as coordenadas



e



na base

canónica, enquanto que na base

  

seria o vector



.

x

x

Outras bases podem ser consideradas para o espaço vectorial

¸

n

,

Por exemplo verifique que para,

Y



 



Y



 







Y

Q

   



Y

Q

 

(9)

x

x 3URSRVLomR

:

Todas as bases de um espaço vectorial têm

R PHVPR

Q~PHURGHHOHPHQWRV

.

x

x

Ao

Q~PHURGHYHFWRUHVGHTXDOTXHUEDVH

de um espaço vectorial

(

chama-se

GLPHQVmRGH

(

e representa-se por

GLP

(

.

x

x

Naturalmente que

GLP

¸

2



,

GLP

¸

3



, ... ,

GLP

¸

n

Q

.

x

x

Por exemplo em

¸

2

, consideremos uma recta que passa pela origem

\ P[

ou seja, o

VXEHVSDoRYHFWRULDO

definido por,

)

{

[\

± ¸

2

:

\ P[

}

{

[P[

± ¸

2

}

Qual a

GLPHQVmR

de

)

?

Visto que

[P[  [ P

para qualquer

[ ± ¸

,

então o vector

P

JHUD

)

, ou seja,

)

=

Ä P Ô

.

Por outro lado como

P z 

, então é

OLQHDUPHQWHLQGHSHQGHQWH

.

Portanto

)

 P 

é uma base de

)

e então

GLP

) 

.

x

x

Para o espaço vectorial

3

Q

[

[

]

dos polinómios de grau até

Q

,

a

EDVHFDQyQLFD

é formada por (

[[



 [

Q

).

(10)

x

x

Consideremos por exemplo o

VXEHVSDoR

de

¸

3

definido por,

$

{

[\]

± ¸

3

:

[ 

}

Qual será a

GLPHQVmR

de

$

?

Como todo o vector

Y ± $

tem a forma,

Y  \] 

então podemos escrever,

Y \  ]  

ou seja, todo o vector de

$

se escreve como

FRPELQDomROLQHDU

de

 

e



.

Também é simples verificar que são

OLQHDUPHQWHLQGHSHQGHQWHV

.

Formam então uma

EDVH

de

$

e portanto

GLP

$ 

,

o que seria de esperar, visto

$

ser um

SODQR

no espaço

¸

3

.

x

x

No espaço vectorial

3

Q

[

[

]

dos polinómios de grau até

Q

, com

Q t 

,

consideremos o conjunto dos polinómios com

WHUPRLQGHSHQGHQWHQXOR

,

ou seja,

*

{

S [

± 3

Q

[

[

] :

S   

}

Mostremos

que

* d 3

Q

[

[

], ou seja, que

p VXEHVSDoR

e determinemos a sua

GLPHQVmR

.

*

é subespaço de

3

Q

[

[

]

pois,

(11)

LL



S [

,

T [ 

*

Á

ST [ 

*

pois se

S   

e

T   

então

ST   S  T    

LLL

 D

¸

,



S [ 

*

Á

D

S  [ 

*

pois se

S   

então

D

S   

D

S   

D

 

E assim mostrámos que

* d 3

Q

[

[

].

Para encontrar

XPDEDVH

de

*

,

basta verificar que todo o

S [

*

tem a forma,

S [  D



 D



[ D



[



 D

Q

[

Q

, com

D





e

D

L

 ¸

D



[ D



[



 D

Q

[

Q

ou seja, uma

FRPELQDomROLQHDU

dos vectores

[[



[

Q

.

Portanto o conjunto de vectores {

[[



[

Q

}

JHUD

*

.

Por outro lado, o conjunto de vectores {

[[



[

Q

}, sendo um

VXEFRQMXQWR

GDEDVHFDQyQLFD

de

3

Q

[

[

], é também um conjunto de

YHFWRUHVOLQHDUPHQWH

LQGHSHQGHQWHV

.

E assim mostrámos que (

[[



[

Q

)

p XPDEDVH

de

*

(12)

x

x

No espaço vectorial

0

l

(

¸

)

a

EDVH FDQyQLFD

é formada por,

Verifique que (

(



 (



 (



 (





)

é efectivamente uma base de

0

l

(

¸

)

e portanto que

GLP

0

l

(

¸

)



.

x

x

No espaço vectorial

0

l

(

¸

)

a

EDVH FDQyQLFD

é formada por,

e portanto

GLP

0

l

(

¸

)



.

x

x

Generalizando, no espaço vectorial

0

PlQ

(

¸

)

a

EDVHFDQyQLFD

é formada

pelo conjunto ordenado de matrizes,

(

%

LM



L PM Q

)

onde

%

LM

é a matriz do tipo

PlQ

cujo único elemento não nulo é

E

LM



.

(13)

x

x 3URSRVLomR

:

Seja

(

um espaço vectorial sobre

£

tal que

GLP

( Q

.

Então:

L

Quaisquer

Q

vectores de

(

linearmente independentes

formam uma base de

(

LL

Qualquer conjunto de geradores de

(

com

Q

elementos

forma uma base de

(

LLL

Qualquer conjunto de vectores de

(

com mais de

Q

elementos é linearmente dependente.

x

x

Assim, num espaço vectorial de

GLPHQVmR

Q

,

Q

é o número

Pi[LPR

de vectores

OLQHDUPHQWHLQGHSHQGHQWHV

Q

é o número

PtQLPR

de

JHUDGRUHVGRHVSDoR

.

Portanto,

SDUDGHWHUPLQDUVH

um dado conjunto de

Q

vectores

p XPDEDVH

,

basta

YHULILFDUDSHQDVXPD

das duas condições:

se são linearmente independentes

ou se geram o espaço

x

x

Por exemplo, mostremos que o conjunto,

     



p XPDEDVH

do espaço vectorial



¸

3

,

Como se trata de um conjunto de



vectores e

GLP

¸

3



,

(14)

Consideremos então os escalares

D

,

E

,

J

¸

tais que,

D

 

E 



J



 

igualdade que conduz à resolução do sistema,

D

 E 



E 

J





D



J



que tem por solução única,

D





E 



J



Então os três vectores são

OLQHDUPHQWHLQGHSHQGHQWHV

e portanto

IRUPDP

XPDEDVH

de

¸

3

.

x

x

No espaço vectorial



¸

3

, considere o subconjunto,

6

{

[\]

± ¸

3

:

[ ±\] 

}

D

Verifique que

6 d ¸

3

E

Determine um

FRQMXQWRGHJHUDGRUHV

de

6

e verifique se esse conjunto é

formado

por

vectores

OLQHDUPHQWHLQGHSHQGHQWHV

F

Calcule

a

GLPHQVmR

de

6

D

6

é um

VXEHVSDoR

de

¸

3

pois,

L

  6

LL

a soma de dois vectores de

6

pertence a

6

(15)

E

Para determinar um

FRQMXQWRGHJHUDGRUHV

de

6

notemos que,

6 

{

[\]

± ¸

3

:

[ ±\] 

}

{

\±]\]

,

\]± ¸

}

{

\  ] ± 

\]± ¸

}

Ä   ± Ô

ou seja, os vectores

 

e

± 

JHUDP

6

.

Verifiquemos se são

OLQHDUPHQWHLQGHSHQGHQWHV

.

Para os escalares

D

,

E

¸

tais que,

D

 

E ±

 

donde obtemos o sistema,

D

± E 



D





E 

cuja solução única é

D

E 

e assim mostrámos que os dois vectores são

OLQHDUPHQWHLQGHSHQGHQWHV

.

F

Portanto,

se

  ± 

p XPDEDVH

de

6

,

(16)

x

x 3UREOHPD

:

Determine a

GLPHQVmRGRVXEHVSDoR

:

de

¸

4

JHUDGRSRU

,

{

±  ±  ± 

}

ou seja, calcule

GLP

:

tal que,

:

Ä ±  ±  ± Ô

Comecemos por chamar,

Y



± 



Y



± 



Y



±

Para saber a

GLPHQVmR

do subespaço, precisamos identificar

XPD

EDVH

.

Como sabemos que os vectores

Y



,

Y



e

Y



JHUDP

:

, resta

verificar se são

OLQHDUPHQWHLQGHSHQGHQWHV

.

Mas analisando as componentes, notamos que,

Y



Y



± Y



ou seja,

Y



é uma

FRPELQDomROLQHDUGRVUHVWDQWHV

.

Então, pela propriedade na página 43, os

UHVWDQWHVYHFWRUHV

ainda

JHUDPRPHVPRVXEHVSDoR

:

.

Resta verificar se

Y



e

Y



são

OLQHDUPHQWHLQGHSHQGHQWHV

.

Construindo a combinação linear nula,

D Y



 EY





ou



(17)

obtemos o sistema,

± DE 

 D 



DE 



±E 

que só tem a

VROXomRQXOD

D E 

.

Então

Y



e

Y



JHUDP

:

e são

OLQHDUPHQWHLQGHSHQGHQWHV

e

portanto

IRUPDPXPDEDVH

de

:

.

Consequentemente a resposta é

GLP

: 

.

E se não tivéssemos observado que,

Y



Y



± Y



"

Esta relação deveria surgir do processo habitual para verificar se

os vectores

Y



,

Y



e

Y



são

OLQHDUPHQWHLQGHSHQGHQWHV

.

Construindo a combinação linear nula,

D Y



 EY



 FY





ou



D ±



 E ±



 F ±



 

e resolvendo o sistema resultante,

GHGX]D DUHODomR

,

(18)

x

x 3URSRVLomR

:

Seja

(

um espaço vectorial sobre

£

de dimensão

Q

e seja

) H



 H



 H

Q

uma

EDVH

de

(

.

Então, qualquer vector

[ ± (

se

HVFUHYHGHIRUPD~QLFD

como combinação linear dos vectores da base

)

,

ou seja, existem

HVFDODUHV~QLFRV

D



,

D



, ...,

D

Q

± £

tais que,

[

D



H





D



H



 

D

Q

H

Q

'HPRQVWUDomR

: Se

) H



 H



 H

Q

é uma

EDVH

,

então

JHUDRHVSDoR

e qualquer vector

[ ± (

se escreve

como uma combinação linear dos seus elementos,

ou seja, existem

D



,

D



, ...,

D

Q

± £

tais que,

[

D



H





D



H



 

D

Q

H

Q

Para provar que esta

FRPELQDomROLQHDUp~QLFD

,

suponhamos que existiam também,

E



,

E



, ...,

E

Q

± £

tais que,

[

E



H



 E



H



 

E

Q

H

Q

Então nesse caso teríamos duas combinações,

[

D



H





D



H



 

D

Q

H

Q

[

E



H



 E



H



 

E

Q

H

Q

(19)

obtemos,

D



± E



H





D



± E



H



 

D

Q

± E

Q

H

Q



(

Ora sendo os

H



 H



 H

Q

vectores da

EDVH

, isso significa que

são

OLQHDUPHQWHLQGHSHQGHQWHV

e portanto esta igualdade,

só pode ocorrer se,

D



± E



D



± E





D

Q

± E

Q



ou,

D

L

E

L

para todo o

L Q

As

GXDV

combinações lineares que considerámos são portanto

LJXDLV

.

E assim podemos concluir que

H[LVWHXPD~QLFDIRUPD

de escrever

[

como

FRPELQDomROLQHDUGRVYHFWRUHVGDEDVH

.

x

x

Portanto, num espaço vectorial

(

finitamente gerado de dimensão

Q

,

com uma

EDVH

) H



 H



 H

Q

,

SDUDTXDOTXHUYHFWRU

[ ± (

existem

Q

escalares

XQLYRFDPHQWHGHWHUPLQDGRV

O





O



 

O

Q

tais que,

[

O



H





O



H



 

O

Q

H

Q

Ao n-uplo (

O





O



 

O

Q

)

chamamos,

FRRUGHQDGDV

ou

FRPSRQHQWHV

de

[

QDEDVH

ou

UHODWLYDPHQWHjEDVH

e escrevemos,

(20)

x

x

De um modo geral, quando indicamos o vector

[



 [



 [

Q

± ¸

n

assumimos que

[



 [



 [

Q

são

DVFRRUGHQDGDVQDEDVHFDQyQLFD

de

¸

n

ou seja que,

[



 [



 [

Q

[



 [



 [

Q

)

¸

n

Por exemplo, o vector

[\

± ¸

2

indica que,

[\  [  \ 

x

x

Sabendo que

)    ± 

é uma

EDVH

de

¸

2

,

determinemos a

H[SUHVVmRJHUDOGDVFRRUGHQDGDV

de qualquer vector

[\

± ¸

2

QDEDVH

)

.

Procuremos então os valores únicos dos escalares

D

,

E

¸

tais que,

D

 

E ±

[\ 

ou seja tais que,

D

 E [



D

± E \

Construindo a matriz ampliada e escalonando,

donde,

E [±\ 

(21)

E assim obtivemos, para

H[SUHVVmRJHUDOGDVFRRUGHQDGDV

de qualquer vector

[\

± ¸

2

QDEDVH

)    ± 

,

Note que, a partir dos valores das

FRRUGHQDGDV

[

e

\

de qualquer vector

QD

EDVHFDQyQLFD

, esta expressão permite obter os valores das

FRRUGHQDGDV

desse vector

QDQRYDEDVH

)

.

x

x

No espaço vectorial

¸

4

consideremos a

EDVH

,

)          

Determine

as

FRRUGHQDGDV

de

[  ± 

relativamente à base

)

.

Procuremos então os escalares

D

,

E

,

F

,

G ± ¸

tais que,

±  D  E  



F  G 

ou seja,

D F ±

F ±

D E 

D 



E 

E 



G 

G 

e portanto,

±   ± 

)

(22)

Å

Å

,

,

Q

Q

W

W

H

H

U

U

V

V

H

H

F

F

o

o

m

m

R

R

G

G

H

H

6

6

X

X

E

E

H

H

V

V

S

S

D

D

o

o

R

R

V

V

x

x

Sejam

(

um espaço vectorial sobre

£

, e

)

e

*

VXEHVSDoRVYHFWRULDLV

de

(

.

Chama-se

LQWHUVHFomRGRVVXEHVSDoRV

)

e

*

e representa-se por

) « *

,

ao

VXEFRQMXQWR

de

(

definido por,

) « * 

{

X ± (

:

X ± ) ¼ X ± *

}

x

x 3URSRVLomR

: Seja

(

um espaço vectorial sobre

£

e sejam

)

e

*

subespaços

vectoriais

de

(

.

Então a

LQWHUVHFomR

) « *

p XPVXEHVSDoRYHFWRULDO

de

(

.

'HPRQVWUDomR

:

L

Se

)

e

*

são subespaços vectoriais de

(

,

então



(

± )

e



(

± *

.

Portanto



(

± ) « *

LL

Sejam

X

e

Y ± ) « *

Por definição de

LQWHUVHFomR

,

X ± ) « *

Á

X ± )

e

X ± *

Y ± ) « *

Á

Y ± )

e

Y ± *

mas como

)

e

*

são

VXEHVSDoRV

vectoriais de

(

,

então

X Y

± )

e

X Y

± *

(23)

LLL

Sejam

D

± £

e

X ± ) « *

Por definição de

LQWHUVHFomR

,

X ± ) « *

Á

X ± )

e

X ± *

mas como

)

e

*

são

VXEHVSDoRV

vectoriais de

(

,

então

D

X ± )

e

D

X ± *

pelo que

D

X ± ) « *

x

x

Por exemplo no espaço vectorial

¸

3

, sendo dados os

VXEHVSDoRV

vectoriais,

) 

{

[\]

± ¸

3

:

[ \] 

}

* 

Ä   ± Ô

calculemos a sua

LQWHUVHFomR

) « *

.

Em primeiro lugar, é necessário

LGHQWLILFDU

*

,

o subespaço cujos vectores são da forma,



[\]  

D

 E ±

ou seja, os

YDORUHV

de

[

,

\

e

]

para os quais é

SRVVtYHORVLVWHPD

,

D

± E [

E \

(24)

Construindo a matriz ampliada e escalonando,

concluímos que o sistema só é

SRVVtYHO

para

] ±[±\ 

.

Está assim

LGHQWLILFDGRRVXEHVSDoR

*

,

* 

{

[\]

± ¸

3

:

] ±[±\ 

}

Podemos agora calcular a

LQWHUVHFomR

,

) « * 

{

[\]

± ¸

3

:

[ \] 

¼ ] ±[±\ 

}

o que conduz à resolução do sistema,



[\] 

[ ±



\



] ±[±\ 

] 



\



(25)

Note que, em

¸

3

os subespaços

)

e

*

representam dois planos,



pelo que a sua

LQWHUVHFomR

) « *

representa uma recta.

x

x ([HUFtFLR

: No espaço vectorial

¸

3

, dados os subespaços vectoriais,

8 

{

[\]

± ¸

3

:

[ \]

}

9 

Ä ±  ±   Ô

(26)

Å

Å

5

5

H

H

X

X

Q

Q

L

L

m

m

R

R

G

G

H

H

6

6

X

X

E

E

H

H

V

V

S

S

D

D

o

o

R

R

V

V

x

x

Sejam

(

um espaço vectorial sobre

£

, e

)

e

*

VXEHVSDoRVYHFWRULDLV

de

(

.

Chama-se

UHXQLmRGRVVXEHVSDoRV

)

e

*

e representa-se por

) ª *

,

ao

VXEFRQMXQWR

de

(

definido por,

) ª * 

{

X ± (

:

X ± ) ½ X ± *

}

x

x

Em geral,

D UHXQLmR

de dois subespaços vectoriais

QmR p XPVXEHVSDoR

vectorial.

x

x

Como por exemplo, dados os

GRLVVXEHVSDoRV

vectoriais de

¸

2

,

+ 

{

[\

± ¸

2

:

[ 

}

{

\

:

\ ± ¸

}

) 

{

[\

± ¸

2

:

\ 

}

{

[

:

[ ± ¸

}

obviamente a sua reunião,

+ ª ) 

{

[\

± ¸

2

:

[ ½ \ 

}

QmRpXPVXEHVSDoR

vectorial, pois

QmR pIHFKDGRSDUDDDGLomR

de vectores.

Basta verificar, por exemplo que,

 ± + ª )

 ± + ª )

      ² + ª )

x

x

É

FRQGLomRQHFHVViULDHVXILFLHQWH

para que a reunião de dois subespaços

(27)

x

x 3URSRVLomR

:

Seja

(

um espaço vectorial sobre

£

e sejam

)

e

*

subespaços vectoriais de

(

.

Então

) ª *

p XPVXEHVSDoRYHFWRULDO

de

(

VHHVyVH

) ° *

RX

* ° )

.

'HPRQVWUDomR

:

¿

Se

) ° *

então

) ª * *

que é um subespaço vectorial de

(

.

Se

* ° )

então

) ª * )

que é um subespaço vectorial de

(

.

Á

Suponhamos

SRUDEVXUGR

que,

) ª *

é um subespaço vectorial mas

) p *

e

* p )

.

Quer isto dizer que:



I ± )

:

I ² *



J ± *

:

J ² )

Ora se

) ª *

fosse um subespaço vectorial

então seria fechado para a adição, ou seja,

IJ

± ) ª *

então

I J V

± ) ª *

isto é,

V ± )

ou

V ± *

Mas nesse caso,

se

V ± )

então

J V±I± )

se

V ± *

então

I V±J± *

Sendo as duas situações impossíveis, concluímos que,

(28)

x

x 3URSRVLomR

:

Seja

(

um espaço vectorial sobre

£

de

GLPHQVmR

Q

e seja

)

um

VXEHVSDoR

vectorial de

(

.

Então

)

tem

GLPHQVmRILQLWD

e

GLP

) d Q

e além disso, se

GLP

) Q

então

) (

.

x

x

Consideremos por exemplo o subespaço vectorial

)

de

¸

3

,

) 

Ä      Ô

Como são três vectores linearmente independentes, então

GLP

) 

e podemos portanto concluir que

)

¸

3

.

x

x

Por convenção, o

VXEHVSDoRWULYLDOWHPGLPHQVmRQXOD

,

GLP



{



(

}



e todo o subespaço vectorial

)

QmRWULYLDO

tem dimensão

GLP

)t 

.

Portanto,

GLP

) ¾ ) 

{



(

}

Å

Å

6

6

R

R

P

P

D

D

G

G

H

H

6

6

X

X

E

E

H

H

V

V

S

S

D

D

o

o

R

R

V

V

x

x

Sejam

(

um espaço vectorial sobre

£

, e

)

e

*

VXEHVSDoRVYHFWRULDLV

de

(

.

Chama-se

VRPDGRVVXEHVSDoRV

)

e

*

e representa-se por

)

+

*

,

ao

VXEFRQMXQWR

de

(

definido por,

(29)

x

x 3URSRVLomR

:

Seja

(

um espaço vectorial sobre

£

e sejam

)

e

*

dois

subespaços

vectoriais

de

(

.

Então a

VRPD

) *

p XPVXEHVSDoRYHFWRULDO

de

(

.

'HPRQVWUDomR

:

L

Se

)

e

*

são subespaços vectoriais de

(

,

então



(

± )

e



(

± *

.

Portanto



(



(

 

(

± ) *

LL

Sejam

X

e

Y ± ) *

Por definição de

VRPDGHVXEHVSDoRV

,

X X



 X



com

X



± )

e

X



± *

Y Y



 Y



com

Y



± )

e

Y



± *

então,

X Y  X



 X



 Y



 Y



X



 Y



 X



 Y



± )

± *

e portanto

X Y

± ) *

LLL

Sejam

D

± £

e

X ± ) *

Por definição de

VRPDGHVXEHVSDoRV

,

X X



 X



com

X



± )

e

X



± *

então,

D

X 

D

X



 X



D

X





D

X



± )

± *

D

(30)

x

x

Para o exemplo anterior, dos

GRLVVXEHVSDoRV

vectoriais de

¸

2

,

+ 

{

\

:

\ ± ¸

}

) 

{

[

:

[ ± ¸

}

O

VXEHVSDoRVRPD

+ )

é dado por,

+ ) 

{

\  [

:

[

\ ± ¸

}

{

[\ 

:

[

\ ± ¸

}

{

[\ ± ¸

2

}

¸

2

Note que os subespaços

+

e

)

representam os eixos coordenados em

¸

2

.

Enquanto que a sua

UHXQLmR

não é um subespaço vectorial, a sua

VRPD

é o

próprio

¸

2

.

Por outro lado a sua

LQWHUVHFomR

é a origem, ou seja, o subespaço trivial {



(

}.

x

x

Ou por exemplo, dados os

GRLVVXEHVSDoRV

vectoriais de

¸

3

,

) 

{

]

:

] ± ¸

}

* 

{

\

:

\

± ¸

}

O

VXEHVSDoRVRPD

) *

é dado por,

) * 

{

]  \

:

\

] ± ¸

}

{

\] 

:

\

] ± ¸

}

{

[\] ± ¸

3

:

[ 

}

Neste caso, os subespaços representam dois eixos coordenados de

¸

3

e a sua

(31)

x

x 3URSRVLomR

:

Seja

(

um espaço vectorial sobre

£

e sejam

)

e

*

dois

subespaços

vectoriais

de

(

.

Então



) *

Ä ) ª * Ô

.

'HPRQVWUDomR

: Para provar a

LJXDOGDGH

,

) *

Ä ) ª * Ô

precisamos provar que:

L

Ä ) ª * Ô ° ) *

LL

) * ° Ä) ª * Ô

L

Para

qualquer

X ± Ä ) ª * Ô

provemos que

X ± ) *

Ora se

X ± Ä ) ª * Ô

então escreve-se como uma

FRPELQDomR

OLQHDUGHYHFWRUHV

de

) ª *

,

X 

D



Y





D



Y



 

D

Q

Y

Q

onde cada

Y

L

,

Y

L

± )

ou

Y

L

± *

Pela

FRPXWDWLYLGDGHGDDGLomR

de vectores, podemos sempre

ordenar a combinação linear de modo a,

X 

D



Y





D



Y



 

D

N

Y

N



D

N

Y

N



D

Q

Y

Q

onde



Y



 Y



 Y

N

± )

Y

N

Y

Q

± *

e como

)

e

*

são

VXEHVSDoRV

vectoriais,

X 

D



Y





D



Y





D

N

Y

N



D

N

Y

N



D

Q

Y

Q

± )

± *

(32)

LL

Para

qualquer

X ± ) *

provemos que

X ± Ä ) ª * Ô

Ora se

X ± ) *

então

X X



 X



com

X



± )

e

X



± *

e portanto

X

é uma

FRPELQDomROLQHDUGHYHFWRUHV

de

) ª *

ou seja,

X ± Ä ) ª * Ô

x

x

Para o exemplo anterior, dos

GRLVVXEHVSDoRV

vectoriais de

¸

2

,

+ 

{

\

:

\ ± ¸

}

) 

{

[

:

[ ± ¸

}

tal como já calculámos,

+ ª ) 

{

\

:

\ ± ¸

}

ª

{

[

:

[ ± ¸

}

{

[\

± ¸

2

:

[ ½ \ 

}

e

+ ) 

{

[\ 

:

[\

± ¸

}

¸

2

E efectivamente,

+ )

Ä + ª ) Ô

pois

WRGRRYHFWRU

[\ 

de

¸

2

pode ser escrito como uma

FRPELQDomR

OLQHDU

envolvendo vectores da forma

[

e da forma

\

.

(33)

x

x 3URSRVLomR

: Seja

(

um espaço vectorial sobre

£

e sejam

)

e

*

GRLV

VXEHVSDoRV

vectoriais de

(

tais que,

) ÄX



 X



 X

Q

Ô

* ÄY



 Y



 

Y

N

Ô

então,

) * ÄX



 X



 X

Q

 Y



 Y



 

Y

N

Ô

'HPRQVWUDomR

:

L

Para qualquer

[ ± ) *

provemos que

[ ± ÄX



 X



 X

Q

 Y



 Y



 

Y

N

Ô

Ora se

[ ± ) *

então

[ [



 [



com

[



± )

e

[



± *

mas se

[



± ) ÄX



 X



 X

Q

Ô

então

[



D



X





D



X



 

D

Q

X

Q

e se

[



± * ÄY



 Y



 

Y

N

Ô

então

[



E



Y



 E



Y



 E

N

Y

N

e portanto,

[ [



 [



D



X





D



X



 

D

Q

X

Q

 E



Y



 E



Y



 E

N

Y

N

ou seja,



[ ± ÄX



 X



 X

Q

 Y



 Y



 

Y

N

Ô

(34)

LL

Para qualquer

[ ± ÄX



 X



 X

Q

 Y



 Y



 

Y

N

Ô

provemos que

[ ± ) *

Ora se

[ ± ÄX



 X



 X

Q

 Y



 Y



 

Y

N

Ô

então,

[ 

D



X





D



X



 

D

Q

X

Q

 E



Y



 E



Y



 E

N

Y

N

± ÄX



 X



 X

Q

Ô )

± ÄY



 Y



 

Y

N

Ô *

e portanto,

[ ± ) *

x

x

Para o exemplo anterior em

¸

2

, em termos das respectivas

EDVHVFDQyQLFDV

temos,

+ Ä  Ô

) Ä  Ô

ou seja,

+ ª ) Ä  Ô ªÄ  Ô

e portanto,

+ )

Ä + ª ) Ô

Ä 

,

 Ô ¸

2

(35)

x

x

No espaço vectorial

¸

3

, retomando o exemplo dos subespaços vectoriais,

) 

{

[\]

± ¸

3

:

[ \] 

}

* 

Ä   ± Ô

Determinemos um

FRQMXQWRGHJHUDGRUHVGH

) *

.

Como já temos um conjunto de geradores para

*

, basta encontrar um conjunto

de geradores para

)

e juntar.

) 

{

[\]

± ¸

3

:

[ ±\±]

}

{

±\±]\] 

:

\]± ¸

}

{

\ ± ] ± 

:

\]± ¸

}

Ä ±

,

± Ô

Assim temos,

)

Ä ±

,

± Ô

* 

Ä   ± Ô

e portanto,

) *

Ä ±

,

±    ± Ô

Resta saber

TXDQWRV

destes vectores

VmROLQHDUPHQWHLQGHSHQGHQWHV

, ou

seja,

TXDODGLPHQVmRGHVWHHVSDoR

...

x

x

No espaço vectorial

¸

4

, considere os subespaços vectoriais,

6 

{

[\]Z

± ¸

4

:

[ ±\ ¼ [ \Z

}

(36)

Å

Å

2

2

7

7

H

H

R

R

U

U

H

H

P

P

D

D

G

G

D

D

V

V

'

'

L

L

P

P

H

H

Q

Q

V

V

}

}

H

H

V

V

x

x 3URSRVLomR

: Sejam

)

e

*

dois subespaços vectoriais de um espaço

ILQLWDPHQWHJHUDGR

.

Então,

GLP

)*  

GLP

) 

GLP

* ±

GLP

)« *

$UJXPHQWDomR

:

Se

DOJXP

dos subespaços for o

VXEHVSDoRWULYLDO

, por exemplo

) 

{



(

}

então,

) « * 

{



(

}

e

) * *

Como

GLP

{



(

}



o resultado é óbvio pois teremos,

GLP

*  

 

GLP

* ±



Analisemos o caso geral, em que nenhum dos subespaço é o trivial.

Por hipótese

)

e

*

têm

GLPHQVmRILQLWD

e portanto o subespaço vectorial

) « *

também tem

GLPHQVmRILQLWD

.

Consideremos uma

EDVH

de

) « *

,

)

)«*

H



 H



 H

Q

Como os

H



 H



 H

Q

± ) « * ° )

são linearmente independentes,

para

obter

uma

EDVH

ordenada de

)

, teremos de juntar

PDLVYHFWRUHVGH

)

,

por forma a obter,

) 

Ä H



 H



 H

Q

,

I



 I



 I

S

Ô

e de modo análogo para

*

,

(37)

e então, para o

VXEHVSDoRVRPD

,

) * 

Ä H



 H



 H

Q

,

I



 I



 I

S

,

J



 J



 J

T

Ô

3URYDVH

que este conjunto de geradores

p OLQHDUPHQWHLQGHSHQGHQWH

e que portanto formam uma

EDVH

de

) *

.

Deste modo,

GLP

)« *  

Q

GLP

)  

Q S



GLP

*  

Q T



GLP

)*  

Q ST

Ou seja, o

WHRUHPDGDVGLPHQV}HV

garante-nos que,

GLP

)*  

GLP

) 

GLP

* ±

GLP

)« *

x

x

Para o exemplo anterior, dos

GRLVVXEHVSDoRV

vectoriais de

¸

2

,

+ 

{

\

:

\ ± ¸

}

Ä  Ô

) 

{

[

:

[ ± ¸

}

Ä  Ô

obviamente que,

GLP

+)  

GLP

+ 

GLP

) ±

GLP

+« )

±



 

GLP

2

(38)

x

x

No espaço vectorial

¸

3

, voltemos ao exemplo dos subespaços vectoriais,

) 

{

[\]

± ¸

3

:

[ \] 

}

* 

Ä   ± Ô

Nas

SiJLQDVH

, calculámos a sua

LQWHUVHFomR

,

) « * 

{

\ ± 

:

\ ± ¸

}

{

ò \ ± 

:

\ ± ¸

}

{

\¶ ± 

:

\¶± ¸

}

Ä ±

Ô

Como

±

œ 

,

podemos concluir que

GLP

)«*  

e que conhecemos uma

EDVHRUGHQDGD

,

)

)«*

 ± 

.

Na

SiJLQD

encontrámos um conjunto de

JHUDGRUHV

para

)

,

) 

{

±\±]\] 

:

\]± ¸

}

{

\ ± ] ± 

:

\]± ¸

}

Ä ±

,

± Ô

Depois de verificar que estes dois vectores são

OLQHDUPHQWHLQGHSHQGHQWHV

,

podemos concluir que

GLP

) 

e que conhecemos

XPDEDVHRUGHQDGD

de

)

,

(39)

Contudo, a partir de

)

)«*

 ± 

é possível obter

RXWUDVEDVHV

de

)

.

Basta juntar a

±

,

um vector de

)

que lhe seja

LQGHSHQGHQWH

.

Por exemplo

±

± )

não é da forma

D

±

.

Deste modo obtivemos

RXWUDEDVHRUGHQDGD

de

)

,

)

)

 ±

,

± 

.

Por outro lado, para o espaço vectorial

*

,

* 

Ä   ± Ô

como

*

está definido por

GRLVJHUDGRUHV

(e porque

D GLPHQVmRpRQ~PHUR

PtQLPRGHJHUDGRUHV

) então

GLP

* d 

.

Também neste caso, a partir de

)

)«*

 ± 

é possível obter

EDVHV

de

*

.

Basta juntar a

±

, um vector de

*

que lhe seja

LQGHSHQGHQWH

.

Por exemplo



± *

,

XP GRVJHUDGRUHVGDGRV

, não é combinação

linear

de

±

, por não ser da forma

D

±

.

Sendo



e

±

, dois vectores de

*

linearmente

independentes,



(e porque

D GLPHQVmRpRQ~PHURPi[LPRGHYHFWRUHV

(40)

Temos assim as

EDVHVRUGHQDGDV

,

)

)

 ±

,

± 

)

*

 

,

± 

.

donde podemos obter uma

EDVHRUGHQDGD

para

) *

,

)

)*

   ±

,

±   

e naturalmente que,



GLP

)*  

GLP

) 

GLP

* ±

GLP

)« *

±





Å

Å

6

6

R

R

P

P

D

D

'

'

L

L

U

U

H

H

F

F

W

W

D

D

x

x

Sejam

(

um espaço vectorial sobre

£

, e

)

e

*

VXEHVSDoRVYHFWRULDLV

de

(

.

Diz-se que

)

e

*

HVWmRHPVRPDGLUHFWD

ou que

D VRPD

)

+

*

p GLUHFWD

se, para todo o

X ± ) *

, existem

XP HXPVy

[ ± )

e

XP HXPVy

\ ± *

tais que,

X [\

(41)

x

x

Por exemplo, para os dois subespaços vectoriais de

¸

3

,

) 

{

]

:

] ± ¸

}

* 

{

\

:

\

± ¸

}

cujo

VXEHVSDoRVRPD

) *

é dado por,

) * 

{

]  \

:

\

] ± ¸

}

{

\] 

:

\

] ± ¸

}

{

[\] ± ¸

3

:

[ 

}

vemos que,

TXDOTXHU

vector do

HVSDoRVRPD

,

X  DEF

± ) *

tem a forma

X  EF

pelo que só pode ser escrito

GH XP~QLFRPRGR

como a soma de um elemento

de

)

com um elemento de

*

,

X  E  F

Então

)

HVWiHPVRPDGLUHFWD

com

*

.

x

x

Consideremos agora os dois subespaços vectoriais de

¸

3

,

) 

{

[\]

± ¸

3

:

[ 

}

* 

{

[\]

± ¸

3

:

\ [

}

(42)

2EVHUYDomR

: Note que,

) 

{

[\]

± ¸

3

:

[ 

}

{

\] 

:

\]± ¸

}

e que,

* 

{

[\]

± ¸

3

:

\ [

}

{

\\] 

:

\]± ¸

}

ou seja, no cálculo dos vectores geradores do

VXEHVSDoRVRPD

,

é necessário

GLVWLQJXLU FRPSRQHQWHVFRPRPHVPRQRPH

,

mas de vectores de subespaços diferentes.

Por essa razão explicitamos,

) * 

{

\]  \¶\¶]¶ 

:

\]\¶]¶± ¸

}

{

\¶\\¶]]¶ 

:

\]\¶]¶± ¸

}

{

DEF 

:

DEF± ¸

}

¸

3

e portanto, o

VXEHVSDoRVRPD

é todo o espaço vectorial

¸

3

.

Nesse caso é óbvio que podemos obter, por exemplo,

      

± )

± *

mas

WDPEpP

,

   ±   

± )

± *

(43)

2EVHUYDomR

: Como,

) 

{

[\]

± ¸

3

:

[ 

}

e

* 

{

[\]

± ¸

3

:

\ [

}

o

VXEHVSDoRLQWHUVHFomR

) « *

é dado por,

) « * 

{

[\]

± ¸

3

:

[ \ 

}

{

] 

:

] ± ¸

}

Ä  Ô

e porque

 œ  

então

GLP

)« *  

.

Assim, pelo Teorema das Dimensões,



GLP

)*  

GLP

) 

GLP

* ±

GLP

)« *

±  

GLP

3

podemos concluir que

) * ¸

3

.

x

x 3URSRVLomR

: Seja

(

um espaço vectorial sobre

£

e sejam

)

e

*

dois

subespaços vectoriais de

(

.

São

HTXLYDOHQWHV

as três condições:

L

A soma

) *

é directa

LL

O vector nulo escreve-se de modo único como a soma de

um

vector

de

)

com um vector de

*

LLL

) « *

{



(

}

'HPRQVWUDomR

: Basta mostrar que,

L

Á

LL

Á

LLL

Á

L

Referências

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