Capítulo 5 - Exercícios de pórticos planos
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Capítulo 5 - Exercícios de pórticos planos ... 75
5.1 Exercícios resolvidos de problemas de pórticos ... 76
Exemplo 1 - Pórtico com uma viga e uma coluna ... 76
Exemplo 2 - Pórtico simples ... 78
5.2 Exercícios propostos ... 81
Exercício proposto 1 ... 81
5.1 Exercícios resolvidos de problemas de pórticos
Nesta seção são apresentados dois exemplos numéricos de pórticos, em que são realizadas análises estáticas lineares (material no regime elástico linear e hipótese de deformações infinitesimais) por meio do programa de Elementos Finitos desenvolvido no programa Scilab versão 6.1.0 (ver seção 4.7).
Exemplo 1 - Pórtico com uma viga e uma coluna
A Figura 5.1 mostra um pórtico cujas barras têm módulo de elasticidade E = 205 106 kN/m2. A seção transversal da coluna e da viga tem área A = 16500 mm2 e momento de inércia I = 308 106 mm4. O pórtico está sujeito às cargas mostradas. A malha de Elementos Finitos consiste de 161 nós e 160 elementos de viga-coluna (80 elementos para a coluna e 80 elementos para a viga). Foi utilizada na simulação a teoria de viga de Euler-Bernoulli.
Figura 5. 1 Modelo estrutural do pórtico com uma viga e uma coluna. Dados de entrada (função entrada_dados.sci):
Dados da malha Coordenadas dos nós
Incidência dos
elementos Tipo do elemento
Propriedades geométrica e material das barras NTNOS=161; NTEL=160; NNOSCC=4; coord =[zeros(1,81) 0.015:0.015:1.2; 0:0.015:1.2 1.2*ones(1,80)]'; inci=[1:NTEL; 1:160; 2:161]' ; for i=1:NTEL itipo(i,1)= i; itipo(i,2)=2; itipo(i,3)=1; //material 1 end for m=1:NTEL E(m)=205*10^6; A(m)=16500*(10 ^-3)^2; I(m)=308*10^6*(10 ^-3)^4; G(m)=2.05*10^9; fator(m)=5/6; end
Vetor força externa Graus de liberdade restringidos Fext(97*3-1,1)=-100000;
q0=2000;
Solução:
A configuração deformada do pórtico é mostrada na Figura 5.2. Na Tabela 5.1 são apresentados os deslocamentos (u, v) e as rotações () nodais obtidos com o programa desenvolvido e pelo Ftool. As reações nos apoios aparecem na Tabela 5.2.
Tabela 5. 1 Deslocamentos e rotações nodais obtidos com o programa desenvolvido e Ftool.
Programa Ftool
Nó u (m) v (m) (rad) Nó u (m) v (m) (rad)
1 0 0 0.016838128 1 0 0 1.683757e-02
81 0.00239646 -0.030352118 -0.041947352 81 2.396481e-03 -3.035214e-02 -4.194700e-02 97 0.00191717 0.040338127 -0.028261338 97 1.917185e-03 -4.033808e-02 -2.826117e-02
161 0 0 0.077158994 161 0 0 7.715884e-02
Tabela 5. 2 Reações nos apoios obtidas com o programa desenvolvido e pelo Ftool. Grau de
liberdade
Reação (programa) Reação (Ftool)
Valor Unidade Valor Unidade
1 4355.0350956582 kN 4355.080 kN
2 85555.035096492 kN 85555.081 kN
481 -6755.0350970518 kN -6755.080 kN
482 14444.96490182 kN 14444.919 kN
Convenção de sinal (sentidos positivos):
Forças: Momento:
Figura 5. 2 Configuração deformada do pórtico.
A força distribuída está aplicada ao longo de toda a coluna (ver Figura 5.1). Na sub-rotina fdistr.sci deve-se informar quais elementos estão solicitados por essa força. Como esse membro estrutural foi discretizado por 80 elementos, e para a construção do vetor de forças
distribuídas Fdistr, considera-se m = 1:80 (está com realce amarelo). O valor da taxa de carga q0 = 2000 kN/m é informado na sub-rotina entrada_dados.sci
Sub-rotina fdistr.sci:
function [Fdistr]=fdistr(NTEL, inci, q0, NTGL, dofno, itipo)
//determina o vetor de forças distribuídas Fdistr=zeros(NTGL,1);
for m=1:80 //a força distribuída está aplicada na coluna (80 elementos) X1=coord(inci(m,2),1); X2=coord(inci(m,3),1); Y1=coord(inci(m,2),2); Y2=coord(inci(m,3),2); L0(m)=sqrt((X2-X1)^2+(Y2-Y1)^2); //comprimento indeformado L0 C=(X2-X1)/L0(m); //cosseno de teta S=(Y2-Y1)/L0(m); //seno de teta R=[C S 0000; //matriz de transformação -S C 0000; 001000; 000 C S 0; 000-S C 0; 000001]; fdistr=q0*L0(m)/12*R*[0;6;L0(m);0;6;-L0(m)]; [Fdistr]=ensamfg(m,fdistr,dofno,itipo,Fdistr);
end
endfunction
Exemplo 2 - Pórtico simples
A Figura 5.3 mostra um pórtico simples com módulo de elasticidade E = 205 106 kN/m2. A seção transversal da coluna e da viga tem área A = 16500 mm2 e momento de inércia I = 308 106 mm4. A malha de Elementos Finitos consiste de 13 nós e 12 elementos de viga-coluna (4 elementos para cada viga-coluna e 4 elementos para a viga). Foi utilizada na simulação a teoria de viga de Euler-Bernoulli.
Dados de entrada (função entrada_dados.sci): Dados da malha Coordenadas
dos nós
Incidência dos
elementos Tipo do elemento
Propriedades geométrica e material das barras NTNOS=13; NTEL=12; NNOSCC=4; coord =[00 ; 00.5 ; 01 ; 01.5 ; 02 ; 0.52 ; 12 ; 1.52 ; 22 ; 21.5 ; 21 ; 20.5 ; 20]; inci=[1:NTEL; 1:12; 2:13]' ; for i=1:NTEL itipo(i,1)= i; itipo(i,2)=2; itipo(i,3)=1; //material 1 end for m=1:NTEL E(m)=205*10^6; A(m)=16500*(10 ^-3)^2; I(m)=308*10^6*(10 ^-3)^4; G(m)=2.05*10^9; fator(m)=5/6; end
Vetor força externa Graus de liberdade restringidos Fext(5*3-2,1)=500;
Fext(5*3,1)=-1000; q0=-1000;
NOCC=[12313*3-2];
Solução:
A configuração deformada do pórtico é mostrada na Figura 5.4. Na Tabela 5.3 são apresentados os deslocamentos e rotações nodais obtidos com o programa e pelo Ftool. As reações nos apoios aparecem na Tabela 5.4.
Tabela 5. 3 Resultados numéricos (deslocamentos e rotações nos nós) obtidos com o programa e Ftool.
Programa Ftool
Nó u (m) v (m) (rad) Nó u (m) v (m) (rad)
5 0.09370331243 0.0010927864 0.08201283758 5 9.370331e-02 1.092786e-03 8.201284e-02 9 0.09406233970 -0.1519146929 -0.05985357241 9 9.406234e-02 -1.519147e-01 -5.985357e-02 13 0 -0.1518249221 -0.04061996857 13 0 -1.518249e-01 -4.061997e-02 Tabela 5. 4 Resultados numéricos (reações nos apoios) obtidos com o programa e pelo Ftool.
Grau de liberdade
Reação (programa) Reação (Ftool)
Valor Unidade Valor Unidade
1 -1107.2048730614 kN -1107.205 kN
2 1848.1750778431 kN 1848.175 kN
3 3696.3501556862 kNm 3696.350 kNm
37 607.20487306124 kN 607.205 kN
Convenção de sinal (sentidos positivos):
Forças: Momento:
A força distribuída está aplicada ao longo de toda da viga (ver Figura 5.3). Na sub-rotina fdistr.sci deve-se informar quais elementos estão solicitados. Como esse membro estrutural foi discretizado por 4 elementos, e para a construção do vetor de forças distribuídas Fdistr, considera-se m = 5:8 (está com realce amarelo).
Sub-rotina fdistr.sci:
function [Fdistr]=fdistr(NTEL, inci, q0, NTGL, dofno, itipo)
//determina o vetor de forças distribuídas Fdistr=zeros(NTGL,1);
for m=5:8 //a força distribuída está aplicada na viga (4 elementos) X1=coord(inci(m,2),1); X2=coord(inci(m,3),1); Y1=coord(inci(m,2),2); Y2=coord(inci(m,3),2); L0(m)=sqrt((X2-X1)^2+(Y2-Y1)^2); //comprimento indeformado L0 C=(X2-X1)/L0(m); //cosseno de teta S=(Y2-Y1)/L0(m); //seno de teta R=[C S 0000; //matriz de transformação -S C 0000; 001000; 000 C S 0; 000-S C 0; 000001]; fdistr=q0*L0(m)/12*R*[0;6;L0(m);0;6;-L0(m)]; [Fdistr]=ensamfg(m,fdistr,dofno,itipo,Fdistr);
end
endfunction
Para considerar a rigidez da mola no nó 13 na matriz de rigidez do sistema estrutural, soma-se na linha 38 e coluna 38 o valor kmola = 1000 kN/m. Assim, é acrescentada ao código as seguintes linhas:
kmola = 1000;
K(13*3-1,13*3-1)=K(13*3-1,13*3-1)+kmola; Programa principal principal.sce:
//PROCESSAMENTO
//______________________________
//Determina a matriz de rigidez global do sistema estrutural
[K]=DK(NOCC,NNOSCC,NTGL,NTEL,dofno,inci,coord,E,A,I,itipo,G)
//Deslocamentos nodais u kmola=1000; //rigidez da mola //K(38,38)=K(38,38)+kmola
K(13*3-1,13*3-1)=K(13*3-1,13*3-1)+kmola; //soma a rigidez da mola no grau de liberdade vertical do nó 13 (13*3-1=38)
u=K\Fext; //solução do sistema de equações lineares
A força na mola é Fmola = kmola x (-u(13*3-1,1)) = 151.8249221568 kN (força vertical com sentido para cima, contrário ao sentido do deslocamento vertical).
-->Fmola = 1000*0.1518249221568 Fmola =
A força da mola obtida pelo Ftool é Fmola = 151.825 kN.
Figura 5. 4 Configuração deformada do pórtico simples.
5.2 Exercícios propostos
Exercício proposto 1
Seja pórtico a seguir cujas barras são formadas por perfil W310x24 (A = 3040 mm2 e I = 42,8 106 mm4) e têm módulo de elasticidade E = 200 106 kN/m2. O pórtico está sujeito ao carregamento mostrado. Considere a teoria de viga de Euler-Bernoulli. Determinar:
a) as reações nos apoios (pino e rolete); b) os deslocamentos e a rotação no nó c; e c) os deslocamentos e a rotação no nó d.
Exercício proposto 2
Seja pórtico abaixo cujas barras são formadas por perfil W410x85 (A = 10800 mm2 e I = 315 106 mm4) e têm módulo de elasticidade E = 200 106 kN/m2. O pórtico está sujeito ao carregamento mostrado. Considere a teoria de viga de Euler-Bernoulli. Determinar:
a) as reações no engaste;
b) os deslocamentos e a rotação no nó d; c) os deslocamentos e a rotação no nó f; d) os esforços internos (N, V e M) no nó b; e) a configuração deformada da estrutura.
