DETERMINAÇÃO DO DESVIO DA VERTICAL INTEGRANDO OBSERVAÇÕES DE POSICIONAMENTO POR SATÉLITES E TOPOGRAFIA

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UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DO RIO DE JANEIRO INSTITUTO DE TECNOLOGIA

CURSO DE GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA DE AGRIMENSURA

PROJETO FINAL DE CURSO

DETERMINAÇÃO DO DESVIO DA VERTICAL INTEGRANDO

OBSERVAÇÕES DE POSICIONAMENTO POR SATÉLITES E

TOPOGRAFIA

JÉSSICA CAROLINE DOS SANTOS SIQUEIRA

SEROPÉDICA 2013

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UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DO RIO DE JANEIRO INSTITUTO DE TECNOLOGIA

CURSO DE GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA DE AGRIMENSURA

DETERMINAÇÃO DO DESVIO DA VERTICAL INTEGRANDO

OBSERVAÇÕES DE POSICIONAMENTO POR SATÉLITES E

TOPOGRAFIA

JÉSSICA CAROLINE DOS SANTOS SIQUEIRA

Sob Orientação do Professor Luiz Guimarães Barbosa

SEROPÉDICA 2013

Monografia apresentada à disciplina IT 195-Projeto de Agrimensura como requisito parcial a conclusão do Curso de Engenharia de Agrimensura da Universidade Federal Rural do Rio de Janeiro.

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DEDICATÓRIA

À Deus, minha mãe Jane Roseny, minha irmã Janaina, ao meu namorado Rodrigo Navega, ao meu afilhado Luiz Felipe, ao meu cunhado José Sérgio, e aos professores João Gonçalves Bahia e Luiz Guimarães Barbosa por sempre me darem força, me incentivar e vibrar com minhas conquistas e me apoiar nas dificuldades. A todos vocês o meu muito obrigado.

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AGRADECIMENTOS

Primeiramente a Deus pelas vitórias alcançadas até hoje e pelas que virão, por me dar força em todas as dificuldades e angustias vividas. Por ser meu tudo e nunca me deixar em nenhum momento. O meu muito obrigada pela vida e por mais esse sonho realizado.

À minha mãe por ser minha mãe, mulher forte guerreira e que sempre me ensinou que por mais que as coisas pareçam difíceis, temos que acreditar e nunca deixar de lutar. Se hoje cheguei até aqui foi porque você sempre esteve ao meu lado me incentivando da melhor maneira.

À Janaina por ser mais que uma irmã, ser um exemplo a se seguir. Obrigada por sempre acreditar em mim, mesmo quando eu mesma já tinha deixado e a me incentivar em todos os momentos difíceis. E pelo presente mais lindo recebido até hoje, meu sobrinho e afilhado Luiz Felipe, a este agradeço por me fazer esquecer o mundo ao redor quando estou ao seu lado.

A Rodrigo Navega, mais que um namorado, um amigo, irmão, companheiro. Você sempre me apoiou incondicionalmente e nunca me deixou esquecer a simplicidade e ingenuidade que podemos viver a vida. Agradeço pelos sorrisos em momentos difíceis, pelas palavras e pela felicidade que me proporciona sempre.

Ao meu professor de matemática do ensino fundamental Jorge, mesmo sem nada em troca foi uma das peças fundamentais para eu ter chegado hoje aqui, obrigada onde quer que o senhor esteja. Ao professor Renato Aquino da UFRRJ pela paciência e apoio sempre.

No mundo Deus sempre coloca pessoas especiais para nos ajudar, incentivar, apoiar, ensinar, ouvir, dar conselhos e dar broncas quando necessário. Fui privilegiada em ter conhecido e convivido com vocês professores Luiz Guimarães e João Gonçalves Bahia. Vocês são mais que professores, são exemplos a seguir, amigos que pretendo levar para toda a vida, o meu muito obrigada de coração. Ao professor Bahia, obrigada também por me mostrar verdadeiramente a importância de um amigo e pela total disposição em me ajudar.

Ao meu orientador, Luiz Guimarães Barbosa pelo incentivo, dedicação, paciência e ideias desafiadoras.

A empresa SOLUGEO por me emprestar os equipamentos utilizados nesta pesquisa. Aos meus amigos e todos aqueles que se fizeram presentes em minha vida durante toda a graduação me estimulando a sempre buscar mais.

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RESUMO

Os levantamentos geodésicos oriundos de observações de satélites são referenciados a um sistema global e estão vinculados a normal ao elipsóide, entretanto os mesmos são realizados sob a superfície física, sendo esta relacionada com a vertical ao geóide. Adicionalmente se tornou rotineira a utilização de técnicas de posicionamento por satélites para apoiar levantamentos topográficos. Diante do exposto surge a necessidade de compatibilização entre os sistemas, uma vez que as superfícies envolvidas nos dois casos denominadas de elipsóide e geóide respectivamente, normalmente não são coincidentes e nem paralelas. A relação geométrica entre esses dois sistemas é obtida através do conhecimento do valor do desvio da vertical e da ondulação geoidal, sendo a determinação do desvio da vertical a parcela que apresenta maior dificuldade em sua mensuração, pois os métodos convencionais para tal utilizam laboriosas e caras observações astronômicas. O objetivo desta pesquisa é apresentar metodologias alternativas na determinação do valor do desvio da vertical empregando observáveis da topografia clássicas e do sistema de posicionamento por satélites. A solução parcial de Procrustes através de uma matriz rotação relaciona o sistema global com o local, tendo como parâmetros a latitude e a longitude astronômica, assim como uma orientação horizontal desconhecida. Outra metodologia possui como incógnitas as componentes do desvio da vertical, componente meridiana e primeiro vertical e uma orientação horizontal desconhecida e é solucionada considerando a relação entre pontos pertencentes tanto ao sistema geodésico local como no astronômico local através do MMQ empregando o modelo paramétrico. A última metodologia, denominada de Helmert considera que o desvio da vertical poderá ser obtido a partir do conhecimento das altitudes geométricas e ortométricas dos pontos, assim como a distancia espacial entre os mesmos. Sua solução também é baseada pelo MMQ empregando o modelo paramétrico. Para a rede de teste localizada no Campus da UFRRJ, foi obtido um desvio da vertical de 6,48” no ponto origem com a metodologia de Helmert e de 9,82” com o método que utiliza o MMQ. Estas metodologias foram validadas considerando o valor da ondulação geoidal obtida com dados fornecidos pelo IBGE e o calculado com o valor do desvio encontrado, posteriormente seus resultados foram comparados com as tolerâncias estabelecidas na NBR-13133. A metodologia de Helmert apresentou melhores resultados para as componentes do desvio da vertical. Os dois métodos se apresentaram como promissoras alternativas na determinação do desvio da vertical empregando técnicas usualmente utilizadas no cotidiano para mensuração.

Palavras-chave: Desvio da Vertical, Problema parcial de Procrustes, Método de

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ABSTRACT

The geodetics surveys arising from satellites observations are referenced to a system global and are attached to normal to the ellipsoid, however they are performed beneath physical surface, being this referenced with the vertical to the geoid. Additionally became routine the use of techniques positioning for satellites to support surveys topographic. Given the above emerge the need of compatibility among the systems, once the surfaces involved at the two cases called of ellipsoid and geoid, respectively, normally aren't coincident nor parallels. The geometric nexus among those two systems is obtained through of knowing of value deviation of the vertical and of the geoid undulation, being determining the deviation of the vertical the portion that exhibit the bigger dificulty in their mensuration, because the conventional methods use laborious and expensive astronomical observations. The object this research is introduce methodologies alternatives in the determination of the value deviation of the vertical, using observables of classical topography and of the satellites positioning system. The Partial Procrustes solution through an rotation matrix relates the global system with the local, having as parameters the astronomical latitude and longitude, even as an orientation horizontal unknown. Another methodology has as unknowns the components of deviation of the vertical, component meridian and first vertical and a horizontal orientation unknown and is resolved considering the relationship between points belonging both to local geodetic system as in astronomical local, through the MMQ employing the parametric model. The last methodology, named of Helmert consider that the deviation of the vertical can be obtained from of the knowledge of the heights geometric and orthometric of the points, even as the space distance between are the same. Your solution also is based at MMQ employing the parametric model. To test network located in the campus of the UFRRJ, was obtained a deviation of the vertical of 6,48" at point of origin with the methodology of Helmert and of 9,82" with the method that uses the MMQ. These methodology were validate considering the value of the geoid undulation obtained with data provided by IBGE and the calculated on the value of deviation of the vertical found, after their results were compared with the established tolerances in NBR-13133. The methodology of Helmert exhibit better results to components deviation of the vertical. The two methods if presented as promising alternatives in determination of the deviation of the vertical employing techniques commonly used in everyday life to mensuration.

Keywords: Deviation of the vertical, Partial Procrustes solution, Method of the Helmert,

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LISTA DE FIGURAS

Figura 1 - Sistema de Coordenadas Cartesianas Associado ao Sistema Global. ... 16

Figura 2 - Sistema de Coordenadas Cartesianas e Esféricas ... 17

Figura 3 - Sistema de Coordenadas Geodésicas. ... 19

Figura 4 - Coordenadas cartesianas tridimensionais. ... 20

Figura 5 - Sistema Topocêntrico ... 23

Figura 6 - Sistema de Coordenadas Astronômicas ... 25

Figura 7 - Observações terrestres A, Z e s ̅ no sistema astronômico local x, y, z. .... 27

Figura 8 - Ondulação geoidal ... 28

Figura 9 - Desvio da Vertical ... 29

Figura 10 - Relacionamento entre sistema global e sistema astronômico local ... 34

Figura 11 - Sistemas SGL e SAL, com seus respectivos vetores posição, tendo como origem o ponto O ... 40

Figura 12 - Relação geométrica entre o SAL e o SGL. ... 41

Figura 13 – Rotação _{1 ... 42}

Figura 14 - Figura 14 – Rotação _{2 ... 42}

Figura 15 – Rotação _{3 ... 43}

Figura 16 - Determinação do desvio da vertical pelo método de Helmert. ... 46

Figura 17 - Nivelamento Trigonométrico ... 49

Figura 18 - localização da rede com a distribuição geométrica dos pilares utilizados. ... 51

Figura 19 - Ilustração gráfica da primeira etapa do levantamento. ... 54

Figura 20 - Ilustração gráfica da segunda etapa do levantamento. ... 54

Figura 21 - Cálculo das coordenadas relativas ... 56

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LISTA DE TABELAS

Tabela 1 - Distâncias a partir do pilar 91775 ... 51

Tabela 2 - Coordenadas relativas e incertezas das direções da rede de teste. ... 66

Tabela 3 - Coordenadas cartesianas tridimensionais dos pontos da rede. ... 67

Tabela 4 - Coordenadas geodésicas, altitudes geométricas e respectivas incertezas dos pontos da rede. ... 67

Tabela 5 - Azimute geodésico das direções dos pontos da rede. ... 68

Tabela 6 - Ângulos verticais e distâncias inclinadas com suas respectivas incertezas. ... 68

Tabela 7 - Somatório dos resíduos com diferentes matrizes peso no ajustamento .. 69

Tabela 8 - Teste qui-quadrado do ajustamento do modelo de Helmert para obtenção do desvio da vertical. ... 69

Tabela 9 - Desvio da vertical e suas componentes ... 70

Tabela 10 - Validação do resultado obtido com o modelo de Helmert. ... 70

Tabela 11 - Coordenadas topocêntricas ... 71

Tabela 12 - Teste qui-quadrado do ajustamento do modelo para obtenção do desvio da vertical. ... 72

Tabela 13 - Desvio da vertical e suas componentes ... 72

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LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS

ARP Antenna Reference Point CCD Charge Couple Device

GNSS Global Navigation Satellite System GPS Global Positioning System

IBGE Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística LPS Local Positioning System

MMQ Método dos Mínimos Quadrados SAL Sistema Astronômico Local SGB Sistema Geodésico Brasileiro SGL Sistema Geodésico Local

SVD Decomposição em Valores Singulares

UFRRJ Universidade Federal Rural do Rio de Janeiro WGS84 World Geodetic System1984

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Sumário 1. INTRODUÇÃO ... 12 1.1. JUSTIFICATIVA ... 14 1.2. OBJETIVO ... 14 1.3. OBJETIVO ESPECÍFICO ... 15 2. REVISÃO BIBLIOGRÁFICA ... 15

2.1. SISTEMA DE REFERÊNCIA GLOBAL ... 15

2.2. SISTEMAS DE COORDENADAS ESFÉRICAS ... 17

2.3. MODELOS TERRESTRES ... 18

2.4. COORDENADAS GEODÉSICAS E CARTESIANAS TRIDIMENSIONAIS .. 18

2.5. TRANSFORMAÇÃO DE COORDENADAS GEODÉSICAS PARA COORDENADAS CARTESIANAS TRIDIMENSIONAIS E VICE-VERSA ... 20

2.6. SISTEMA GEODÉSICO LOCAL (SGL) OU TOPOCÊNTRICO ... 22

2.7. TRANSFORMAÇÃO DE COORDENADAS ENTRE O SISTEMA GEOCÊNTRICO E O SISTEMA GEODÉSICO LOCAL ... 23

2.8. SISTEMA DE COORDENADAS ASTRONÔMICAS... 25

2.9. SISTEMA ASTRONÔMICO LOCAL OU SISTEMA TOPOGRÁFICO ... 26

2.10. ONDULAÇÃO GEOIDAL ... 27

2.11. REDUÇÕES A SEREM APLICADAS NAS MEDIDAS DE ÂNGULOS ... 28

2.11.1. DESVIO DA VERTICAL ... 29

2.11.1.1. MÉTODO ASTRO-GEODÉSICO DE DETERMINAÇÃO DO DESVIO DA VERTICAL ... 31

2.11.1.2. DETERMINAÇÃO DO DESVIO DA VERTICAL ATRAVÉS DE MEDIDAS GPS/LPS UTILIZANDO OS FUNDAMENTOS DO PROBLEMA PROCRUSTES SIMPLES ... 32

2.11.1.3. DETERMINAÇÃO DO DESVIO DA VERTICAL EMPREGANDO OBSERVÁVEIS DA TOPOGRAFIA CLÁSSICA E DO POSICIONAMENTO POR SATÉLITES ATRAVÉS DO MODELO PARAMÉTRICO. ... 39

2.11.1.4. DETERMINAÇÃO DO DESVIO DA VERTICAL EMPREGANDO O MÉTODO DE HELMERT ... 45

2.12. AJUSTAMENTO PELO MÉTODO DE MÍNIMOS QUADRADOS – MMQ ATRAVÉS DO MODELO PARAMÉTRICO ... 47

2.13. NIVELAMENTO TRIGONOMÉTRICO ... 49

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3.1. REDE DE PONTOS ... 50

3.2. EQUIPAMENTOS UTILIZADOS ... 52

3.3. SOFTWARES UTILIZADOS ... 52

3.4. METODOLOGIA ... 53

3.4.1. LEVANTAMENTO TOPOGRÁFICO E PROCESSAMENTO ... 53

3.4.2. DETERMINAÇÃO DAS COORDENADAS ATRAVÉS DE POSICIONAMENTO POR SATÉLITES ... 57

3.4.3. APLICAÇÃO DO MÉTODO DE HELMERT ... 58

3.4.4. DETERMINAÇÃO DO DESVIO DA VERTICAL APLICANDO O MMQ EM PONTOS NO SGL E SAL ... 59

3.4.5. ANÁLISE DO AJUSTAMENTO ... 62

3.4.6. APLICAÇÃO DO MODELO DO MÉTODO DE PROCRUSTES ... 63

3.4.7. VALIDAÇÃO DOS MÉTODOS ... 64

4. RESULTADOS E DISCUSSÕES ... 66

4.1. COORDENADAS TOPOGRÁFICAS ... 66

4.2. COORDENADAS ORIUNDA DO POSICIONAMENTO POR SATÉLITES ... 67

4.3. DESVIO DA VERTICAL PELO MÉTODO DE HELMERT ... 67

4.4. DESVIO DA VERTICAL PELO MMQ COM PONTOS NO SGL E SAL ... 71

4.5. DESVIO DA VERTICAL PELO MÉTODO DE PROCRUSTES ... 73

5. CONCLUSÕES E RECOMENDAÇÕES ... 73

6. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ... 75

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1. INTRODUÇÃO

A Geodésia e a Topografia têm como uma das tarefas a determinação da posição de um ou mais pontos sobre a superfície da Terra (ANDRADE, 2008). Sendo que a topografia trabalha com um sistema local e a geodésia com um sistema global. No posicionamento por satélites as coordenadas obtidas são as cartesianas tridimensionais geocêntricas, podendo estas ser transformadas para latitude (Φ), longitude (λ) e altitude geométrica (h) quando referenciadas a um elipsóide de revolução. Adicionalmente as coordenadas obtidas em um sistema local são as coordenadas cartesianas retangulares que traduz a posição de um ponto em relação a um ponto de referência sobre a superfície física terrestre (ANDRADE, 2008), podendo este também ser representado por coordenadas esféricas (ângulo horizontal, ângulo vertical e distância ou raio).

Devido às irregularidades da superfície física da Terra e a sua descontinuidade a modelagem precisa da mesma matematicamente se torna difícil, logo se utiliza um elipsóide achatado nos pólos como figura matemática que mais se aproxima da superfície terrestre (ANDRADE, 2008).

Sob a força da gravidade encontram-se todos os corpos vinculados a Terra, esta é a resultante da força de atração gravitacional e da força centrífuga decorrente do movimento de rotação (ANDRADE, 2008). O modelo matemático que melhor representaria a Terra se fosse possível ser modelada seria o geóide, este é uma superfície equipotencial do campo gravitacional que mais se aproxima do nível médio dos mares não perturbado (ELOI e SILVA, 2010).

As observações nos levantamentos geodésicos são efetuadas na superfície física da Terra, entretanto para realização de cálculos e avaliação de medições é adotado o modelo elipsoidal definido pelo elipsóide de revolução e o geoide estabelecido pela superfície equipotencial do campo da gravidade da Terra (SOUZA e GARNÉS, 2012). Contudo tais superfícies, geralmente, não são coincidentes e nem paralelas ocasionando uma separação entre si denominada ondulação geoidal e uma inclinação conhecida como desvio da vertical (SOUZA e GARNÉS, 2012). A vertical de um ponto é a reta tangente à linha de força nesse ponto que representa a direção do vetor gravidade e a normal é a linha perpendicular à superfície geodésica.

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Tanto o desvio da vertical, ângulo formado entre a normal e a vertical em um ponto e a ondulação geoidal estabelece a relação geométrica entre um sistema de referencia global, onde o elipsoide é o modelo de superfície adotado e um sistema de referencia local, estando este relacionado com a direção da vertical (ANDRADE, 2008).

A determinação do desvio da vertical em um ponto qualquer tradicionalmente é obtida através da integração de observações astronômicas de estrelas e geodésicas advindas da utilização da técnica GPS. A obtenção das coordenadas astronômicas pelo método tradicional segundo Awange (2003) é cansativa e dispendiosa, logo uma alternativa para a determinação dessas coordenadas é a utilização integrada das técnicas GPS (Sistema de Posicionamento Global) e LPS (Sistema de Posicionamento Local). Segundo Awange (2003), Granfarend através da associação destas duas técnicas resolve o problema de orientação tridimensional de forma única.

No problema de orientação tridimensional a determinação das coordenadas astronômicas, sendo estas referenciadas a vertical do ponto é obtida através de observações do tipo ângulo horizontal, ângulo vertical e distancias espaciais referenciadas ao Sistema de Posicionamento Local. E as coordenadas cartesianas tridimensionais são conseguidas via observações de satélites (AWANGE, 2003).

Conforme Awange (2003), procedimentos anteriores para resolver o problema de orientação tridimensional estavam em princípio baseados na interação e posteriormente atualizados para procedimentos que parametriza os dados desconhecidos sem linearização.

Além da solução do desvio da vertical pelo problema parcial de Procrustes, existem outras metodologias aplicadas para tal finalidade e que também utilizam dados provenientes do sistema de posicionamento por satélites e topografia clássica, como o caso similar ao de Procustes apresentado por Andrade (2008), onde são realizados os cálculos relacionando observações no sistema topocêntrico e topográfico, e o método de Helmert que tem como princípio que o desvio da vertical pode ser determinado a partir da diferença entre os ângulos zenitais geodésicos e astronômicos em uma dada direção, estando ambos localizados na superfície terrestre (SOUZA e GARNÉS, 2012).

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1.1. JUSTIFICATIVA

Segundo Medeiros1 et al (1998) apud Andrade (2008), “relacionar coordenadas entre os sistemas de referência físicos e geométricos é uma necessidade prática atual. As metodologias atuais que não consideram o desvio da vertical como parâmetro de transformação causam prejuízo na ordem do milímetro ou superior nas coordenadas transformadas, não aproveitando todo o potencial tecnológico hoje disponível e piorando a qualidade das coordenadas originais.”

Os métodos convencionais de determinação de desvio da vertical são trabalhosos ou caros, pois envolvem observações astronômicas, geodésicas ou a partir de câmeras digitais zenitais. A utilização de uma metodologia em que fosse possível o relacionamento entre o sistema global e o topográfico de forma direta e sem a necessidade das laboriosas observações astronômicas se torna uma alternativa promissora a um aumento na utilização das correções a serem aplicadas às medidas dos ângulos, fato este tão importante quando se integra técnicas de posicionamento por satélites e topográficas simultaneamente.

Atualmente os profissionais utilizam-se de técnicas de posicionamento por satélites para apoiar seus levantamentos topográficos, entretanto na maioria das vezes o devido cuidado na compatibilização entre os diferentes sistemas adotados não é considerado, ocasionando um aumento de erros sistemáticos nos valores das coordenadas finais de seus trabalhos. Neste contexto, este estudo propõe uma alternativa para determinação do desvio da vertical a partir do emprego de técnicas posicionamento por satélites e topográficas usualmente utilizadas.

1.2. OBJETIVO

O objetivo desta pesquisa é estabelecer os procedimentos necessários para determinar os elementos fundamentais no cálculo do desvio da vertical. Neste estudo serão apresentadas e aplicadas na prática três técnicas para determinação do mesmo.

1_{MEDEIROS, Z. F.; FREITAS, S. R. C.; MORAES, C. V. Discussão do Projeto de Normatização da}

Rede Cadastral Municipal. Anais Congresso Brasileiro de Cadastro Técnico Multifinalitário

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1.3. OBJETIVO ESPECÍFICO

Com base no objetivo geral proposto apresentam-se como objetivos específicos deste trabalho:

• Quantificar a correção devida ao desvio da vertical a ser aplicada às medidas de ângulos;

• Aplicar metodologias para determinação do desvio da vertical empregando observações advindas de topografia clássica, ângulos, distancias e desníveis em vez de observações astronômicas, assim como a utilização de observações realizadas através de satélites, empregando a técnica GPS.

2. REVISÃO BIBLIOGRÁFICA

2.1. SISTEMA DE REFERÊNCIA GLOBAL

Os sistemas de referência possuem importância quando se deseja determinar espacialmente a posição de pontos. Um referencial ideal é aquele cuja origem esteja em repouso ou em movimento retilíneo uniforme, conforme a mecânica clássica de Newton. A aceleração sobre o movimento de translação ao redor do sol é o motivo pelo qual os sistemas terrestres cuja origem sejam no geocentro se apresente como sistemas quase-inerciais, contudo estes sistemas ainda são os mais adequados para descrever a trajetória de satélites próximos a Terra (ANDRADE, 2008).

Um sistema de referência global é aquele cuja origem seja definida como geocêntrica, caso contrário, se a origem não é geocêntrica e o mesmo for obtido por orientação topocêntrica em um ponto DATUM o sistema será regional ou local (COSTA2_{, 1999 apud ZANETTI, 2006).}

2_{COSTA, S.M.A. Integração da Rede Geodésica Brasileira aos Sistemas de Referência}

Terrestres. Curitiba. 156 p. Tese (Doutorado em Ciências Geodésicas). Curso de Pós-Graduação em

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Um sistema de coordenadas espaciais X, Y, Z, geocêntrico e fixo a Terra é um sistema de coordenadas cartesianas associado a um sistema global qualquer, podendo ser caracterizado por (ZANETTI, 2006):

• Origem no geocentro (O), centro de massa da Terra, incluindo hidrosfera e atmosfera;

• Eixo Z direcionado para o Pólo Norte terrestre médio;

• Plano equatorial médio perpendicular ao eixo Z e que contém os eixos X e Y;

• Plano XZ gerado pelo plano que contém o meridiano médio de Greenwich (Gr), obtido pelo eixo de rotação médio e pelo meridiano origem de Greenwich (referência do Tempo Universal);

• Eixo Y que torna o sistema dextrógiro.

Segundo Zanetti (2006), este sistema utiliza o eixo de rotação médio e o plano equatorial médio, devido às alterações no movimento de rotação da Terra. A Figura 1 ilustra um sistema de coordenadas cartesianas associado ao sistema global.

Figura 1 - Sistema de Coordenadas Cartesianas Associado ao Sistema Global. Fonte: ZANETTI, 2006.

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2.2. SISTEMAS DE COORDENADAS ESFÉRICAS

A determinação de forma unívoca de um ponto do espaço tridimensional através do vetor posição _{entre a origem do sistema e o ponto R considerado, é obtida por} meio do ângulo β formado entre o segmento e a projeção ortogonal deste sobre o plano xy e pelo ângulo α formado pela projeção do segmento sobre o plano xy com o semi-eixo OX (ZANETTI, 2006). A Figura 2 apresenta o sistema de coordenadas esféricas e cartesianas, e mostra como são dadas as coordenadas esféricas de um ponto R.

Figura 2 - Sistema de Coordenadas Cartesianas e Esféricas Fonte: ZANETTI, 2006.

Na Figura 2 supõe-se o sistema de coordenadas esféricas sobreposto a um sistema de coordenadas cartesianas. Com base nesta suposição temos que o ponto R determinado pelo terno cartesiano (x, y, z) poderá ser expresso pelas coordenadas esféricas (_{, α, β), sendo o relacionamento entre os dois sistemas} obtidos pela igualdade (ZANETTI, 2006):

= =

cos cos sin cos

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2.3. MODELOS TERRESTRES

Devido à descontinuidade e irregularidade da superfície física da Terra, a mesma não pode ser definida matematicamente com exatidão (COOPER3, 1987 apud ANDRADE, 2008). O elipsóide de revolução com seu eixo menor coincidente com o eixo de rotação da Terra é a aproximação matemática da superfície física da Terra. Existem dezenas de elipsóides de revolução adotados pela comunidade para as atividades de geodésia e cartografia (ANDRADE, 2008). Os parâmetros de definição do elipsóide poderão ser o raio equatorial a e o raio polar b, assim como os derivados destes como o achatamento f, a primeira excentricidade _{e a segunda} excentricidade , FILHO (2009).

Existem outras características sobre os elipsóides de revolução, como o fato de qualquer reta perpendicular ao modelo elipsoidal que passa por um ponto é denominado de “Reta Normal” ou “Normal” do ponto, e que passando por qualquer elipsóide existem duas seções principais denominadas, seção do primeiro vertical e seção meridiana, (ANDRADE, 2008). A seção meridiana é gerada pelo plano normal de um ponto e passa pelos dois pólos, assim como a seção do primeiro vertical também é gerada pelo plano normal de um ponto, contudo esta é perpendicular ao plano do meridiano (FILHO, 2009).

2.4. COORDENADAS GEODÉSICAS E CARTESIANAS TRIDIMENSIONAIS

As coordenadas geodésicas latitude (Φ), longitude (λ) e altitude geométrica (h) são definidas sobre um elipsóide de revolução, adotado como modelo matemático da Terra. As mesmas permitem descrever a posição de um ponto sobre o modelo geométrico, o elipsóide (GEMAEL4, 2004 apud ANDRADE, 2008).

A latitude geodésica ou elipsóidica Φ de um ponto P pode ser definida como o ângulo entre a normal ao elipsóide que passa por P e o plano equatorial elipsóidico, de tal modo que a longitude geodésica λ do mesmo ponto P considerado é o ângulo formado entre o eixo e a projeção sobre o plano equatorial, da normal ao elipsóide

3_{COOPER, M. A. R. Control surveys in civil engineering. 1 ed. London Collins, 1987.} 4_{GEMAEL, C.; ANDRADE, J. B. Geodésica Celeste. 1 ed. Curitiba: Ed. UFPR, 2004.}

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nesse ponto (ZANETTI, 2006). Contudo para definição de um ponto sobre a superfície física da Terra em relação ao elipsóide é necessário o conhecimento de uma terceira coordenada, a altitude geométrica (h), sendo esta a distância medida sobre a normal entre o ponto na superfície física da Terra e a superfície do elipsóide. A Figura 3 ilustra as coordenadas geodésicas ou elipsóidicas.

Figura 3 - Sistema de Coordenadas Geodésicas. Fonte: Adaptado, ZANETTI (2006).

As coordenadas cartesianas tridimensionais X, Y e Z também permitem descrever a posição de um ponto (ANDRADE, 2008). Esse sistema é definido no elipsóide de revolução e possui sua origem coincidente com o centro do mesmo, o eixo _{̅ coincide com o eixo de rotação do elipsóide, o eixo situa-se na interseção} do plano equatorial do elipsóide com o plano do meridiano de Greenwich e o eixo _! é escolhido de forma a tornar o sistema dextrógiro (ZANETTI, 2006). A Figura 4 apresenta os elementos que caracterizam este sistema e as coordenadas para um ponto P situado na superfície terrestre.

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Figura 4 - Coordenadas cartesianas tridimensionais. Fonte: ANDRADE, 2008.

2.5. TRANSFORMAÇÃO DE COORDENADAS GEODÉSICAS PARA COORDENADAS CARTESIANAS TRIDIMENSIONAIS E VICE-VERSA

Muitas das vezes existe a necessidade de transformar coordenadas geodésicas em cartesianas tridimensionais e vice-versa. Essas transformações são realizadas com diversas finalidades, tais como: transformação de coordenadas em diferentes sistemas, atualização de coordenadas entre outras aplicações na geodésia.

A equação 02 apresenta o modelo matemático extraído do IBGE (1989) utilizado para transformar coordenadas geodésicas em cartesianas.

"! # = $ + ℎ. cos( . cos) $ + ℎ. cos( . sin) *$. 1 + +_{+ ℎ,. sin(} (02) $ = _./0₁_{.234 5}- ₁_6/1 (03) + _{= 28 − 8}+ ₍₀₄₎

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Onde,

X, Y, Z – coordenadas cartesianas tridimensionais;

N - representado na equação 03 é o raio da seção primeiro vertical; +_{- representada pela equação 04 é a primeira excentricidade;} Φ – latitude geodésica do ponto

λ – longitude geodésica do ponto h – altitude geométrica

a – semi-eixo equatorial do elipsóide de revolução f – achatamento do elipsóide

A transformação inversa de coordenadas cartesianas para geodésicas possuem dois tipos de soluções, uma solução direta e uma interativa (ZANETTI, 2007). Será aqui apresentado o método direto, conforme formulário do IBGE (1989).

A equação 05 exibe o cálculo da longitude geodésica, adicionalmente com a equação 06 calcula-se a latitude geodésica em função das coordenadas cartesianas geocêntricas, da primeira e segunda excentricidade, dos semi-eixos do elipsóide de referência e da grandeza u.

) = tan/._<=

>? (05)

( = tan/._@ ABC0DE1.F.234 GH

√>1_B=1_{/ 0}1_{.-.234 G}HJ (06)

A grandeza angular u é calculada através das Equações 07, 08 e 09. Segundo Andrade (2008) a partir destas equações é possível analisar o quadrante desta grandeza.

tanK = <_√>₁A_B=₁? . <-_F? (07)

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sinK = _{L.BMN4 G}MN4G ₁ (09)

A última coordenada geodésica a ser calculada é a altitude geométrica (Equação 10), esta se encontra em função das coordenadas cartesianas geocêntricas, da latitude geodésica e do raio da seção do primeiro vertical ou também denominado de “Grande Normal”.

ℎ = √>_OP251B=1− $ (10)

2.6. SISTEMA GEODÉSICO LOCAL (SGL) OU TOPOCÊNTRICO

Segundo Rodrigues (2002), o sistema geodésico local é semelhante ao sistema topográfico e por este motivo também é denominado de sistema topocêntrico. O mesmo possui grande aplicação no desenvolvimento de modelos matemáticos que integram observações por satélites e terrestres. Este sistema de coordenadas possui origem na superfície terrestre em um ponto “O”; eixo u coincide com a normal ao elipsóide, dirigido para o zênite, eixo n na direção da tangente ao meridiano geodésico, dirigido para o norte e eixo e perpendicular a u e n, tornando o sistema dextrógiro. O horizonte geodésico é definido pelos eixos e e n (RODRIGUES, 2002). A Figura 5 mostra as coordenadas geodésicas com origem “O” do sistema (₍_Q_{, )}_Q_ℎ_Q) e a sobreposição do sistema geodésico local em um sistema geocêntrico.

(23)

Figura 5 - Sistema Topocêntrico Fonte: Andrade, 2008

A posição do ponto P neste sistema pode ser representada pelas coordenadas cartesianas e, n e u.

2.7. TRANSFORMAÇÃO DE COORDENADAS ENTRE O SISTEMA GEOCÊNTRICO E O SISTEMA GEODÉSICO LOCAL

A expressão matemática que expressa a relação entre as coordenadas cartesianas _S_{, !}_S_S, em um sistema geocêntrico e _S_{, T}_S_K_S, num sistema topocêntrico com origem em um ponto com coordenadas geodésicas ₍_Q, ₎_Qe _ℎ_Q, referentes ao elipsóide associado aos sistemas cartesianos é (ANDRADE, 2008):

"TSS KS# = .90º − (Q. X90º + )Q. S− Q !_S− !_Q S− Q (11)

(24)

Onde

Q, !Q Q, são coordenadas cartesianas associadas ao elipsóide de revolução, do ponto de origem do sistema topocêntrico.

S, !S S, são coordenadas cartesianas associadas ao elipsóide de revolução, do ponto P.

(Q )Q, são as coordenadas geodésicas do ponto de origem do sistema topocêntrico.

. X, são as matrizes rotação em torno dois eixos X e Z respectivamente, do sistema cartesiano transladado até o ponto O.

As matrizes de rotação são transformações geométricas que permitem interligar sistemas de referencias (ANDRADE, 2008). As equações 12 e 13 apresentam respectivamente as matrizes _._X.

.90º − (Q = " 1 0 0 0 cos90º − (Q sin90º − (Q 0 − sin90º − (Q cos90º − (Q # (12) X90º + )Q = " cos90º + )_Q sin90º + )_Q 0 − sin90º + )Q cos90º + )Q 0 0 0 1# (13)

Ao se efetuar a multiplicação das matrizes _._X e desenvolvendo a equação (11) tem-se:

"TSS KS# =

− sin)Q cos)Q 0

− sin(Q cos)Q − sin(Q sin)Q cos(Q cos(Q cos)Q cos(Q sin)Q sin(Q

.

_S− _Q !S− !Q S− Q

(14)

Cuja notação pode ser simplificada para:

T K = . S− Q !S− !Q S − Q (15)

(25)

onde

= − sin(− sin)Q cos)Q Q − sin(cos)Q sin)Q Q cos(0 Q cos(Q cos)Q cos(Q sin)Q sin(Q

(16)

2.8. SISTEMA DE COORDENADAS ASTRONÔMICAS

As coordenadas astronômicas são a latitude astronômica ϕ e a longitude astronômica Λ. A latitude astronômica é o ângulo formado pela vertical do ponto com sua projeção equatorial. Por convenção a latitude é positiva no hemisfério norte e negativa no hemisfério sul.

A longitude astronômica é o ângulo diedro formado pelo meridiano astronômico do ponto com o meridiano origem de Greenwich.

Uma característica do plano do meridiano astronômico do ponto é que o mesmo contém a vertical que passa pelo ponto e uma linha paralela ao eixo de rotação, pois a vertical e o eixo de rotação não são co-planares (ZANETTI, 2006). A Figura 6 ilustra as coordenadas astronômicas de um ponto P qualquer.

Figura 6 - Sistema de Coordenadas Astronômicas Fonte: Zanetti, 2006

(26)

2.9. SISTEMA ASTRONÔMICO LOCAL OU SISTEMA TOPOGRÁFICO

As observações quando referenciadas a um sistema astronômico local estão relacionadas com a direção da vertical no ponto de observação e consequentemente ao campo da gravidade terrestre. Tais observações são do tipo azimute astronômico, distancias, ângulos e direções horizontais, ângulos verticais e diferença de altura (ZANETTI, 2006).

Segundo Andrade (2008), “o sistema cartesiano tridimensional denominado Sistema Astronômico Local é o sistema das observações terrestre, comumente tratado como Sistema Topográfico pelo fato das observações da topografia clássica serem as próprias observações terrestres.”

O sistema topográfico é um sistema levógiro, com o eixo x orientado para o norte e o eixo y para leste, possui origem em um ponto P na superfície física, seu eixo z coincide com a direção da vertical local com sentido positivo na direção do zênite, o eixo x é perpendicular ao eixo z e está contido no plano do meridiano astronômico do ponto P, e por fim seu eixo y é perpendicular aos eixos x e z e é contado positivamente para o leste astronômico (TORGE5_{, 2001 apud ZANETTI, 2006).}

A Figura 7 apresenta as coordenadas polares de um ponto P, observáveis da topografia em um sistema astronômico local.

(27)

Figura 7 - Observações terrestres A, Z e s ̅ no sistema astronômico local x, y, z. Fonte: Zanetti, 2006

A distância zenital ou ângulo zenital (Z) é o ângulo formado entre o zênite (eixo z) e a linha que une P a _Y_.. O azimute astronômico (A) é o ângulo formado no plano horizontal definido pelos eixos x e y (plano do horizonte), entre o meridiano do ponto P e a projeção da vertical do ponto _Y_. sobre o referido plano. Este é contado no sentido horário a partir do eixo X. A distância espacial _{Z̅ representa o comprimento} entre P e _Y_..

Considerando a Figura 07 o vetor posição entre P e _Y_. pode ser obtido pela equação 17 (ZANETTI, 2006): Z = = Z cos[ . sin sin[ . sin cos (17) 2.10. ONDULAÇÃO GEOIDAL

Segundo Andrade (2008) o geóide é uma superfície equipotencial do campo da gravidade, sendo o mesmo o geope que mais se aproxima do nível médio dos mares. Considerando a Figura (08), um ponto P sobre o geóide é projetado ao longo

(28)

da normal sobre o elipsóide resultando no ponto _Y. A distância _YY ao longo da normal é denominada “ondulação geoidal” ou “altura geoidal”, e é obtido pela equação (18). Observa-se que quando a altitude geométrica (h) é maior que a altitude ortométrica (H), ou seja, quando o geóide está acima do elipsóide o valor de N é positivo (ANDRADE, 2008). A Figura 8 ilustra um ponto P sobre o geóide e a respectiva ondulação geoidal no mesmo.

$ = ℎ − \ (18)

Figura 8 - Ondulação geoidal Fonte: Adaptado de Andrade, 2008

2.11. REDUÇÕES A SEREM APLICADAS NAS MEDIDAS DE ÂNGULOS

O transporte de ângulos e distâncias medidas na superfície da Terra para seus correspondentes valores na superfície de referencia, que normalmente é o elipsóide de revolução é denominado em Geodésia de redução (ZAKATOV6, 1981 apud ZANETTI, 2006). Segundo Zanetti (2006), o problema de redução será mais complexo na medida em que a superfície terrestre se afasta da superfície de referencia. Quanto mais próximas e paralelas forem às mesmas, menor será a

6_{ZAKATOV, P.S. Curso de Geodesia Superior. Tradução do original russo de 1976. Rússia:}

(29)

diferença entre os valores medidos na superfície terrestre e de referencia, tornando assim as reduções de menor valor e complexidade.

As reduções poderão ser aplicadas nas medidas de distancias e ângulos, contudo neste trabalho serão apenas abordadas as relativas às medidas angulares. As principais reduções a serem aplicadas nos ângulos mensurados sobre a superfície terrestre são as devidas à convergência meridiana e ao desvio da vertical (ZANETTI, 2006).

A convergência meridiana (ϒ) é a diferença angular existente entre o norte verdadeiro ou geográfico (NV) e o norte da quadrícula (NQ), (CORRÊA, 2012). E o desvio da vertical é o ângulo formado entre a normal ao elipsóide e a vertical local passante pelo ponto. Devido o objetivo do trabalho, somente o desvio da vertical será abordado mais detalhadamente.

2.11.1. DESVIO DA VERTICAL

A inclinação do geóide em relação ao elipsóide de referencia é mensurada através do desvio da vertical ou também conhecido por deflexão da vertical, (GEMAEL7, 2002 apud SOUZA e GARNÉS, 2012). A Figura 9 apresenta o desvio da vertical, a normal e a vertical em um ponto e as superfícies de referencia.

Figura 9 - Desvio da Vertical Fonte: Zanetti, 2006

(30)

A necessidade de determinação do desvio da vertical se dá pelo fato dos cálculos geodésicos para obtenção de coordenadas dos vértices serem sobre o elipsóide, e as observações executadas com um aparelho colocado em uma estação se referir à direção da vertical astronômica (ZANETTI, 2006).

O desvio da vertical pode ser decomposto em duas componentes, a meridiana ξ e a componente do primeiro vertical η, tendo a direção vertical definida pelas coordenadas astronômicas, latitude ϕ e longitude Λ (ANDRADE, 2008).

Segundo Featherstone e Rueger8 (2000) apud Zanetti (2006), o desvio da vertical possui seis utilizações principais em levantamentos de campo, são elas:

• Transformação entre coordenadas astronômicas em geodésicas; • Transformação de azimutes astronômicos em azimutes geodésicos; • Redução de direções horizontais e ângulos medidos ao elipsóide; • Redução de ângulos zenitais medidos ao elipsóide;

• Redução de distâncias inclinadas medidas eletronicamente ao elipsóide, através de ângulos zenitais;

• Determinação de diferenças de altura a partir de ângulos zenitais e distâncias inclinadas.

São usualmente aplicados cinco métodos de determinação do desvio da vertical segundo Zanetti (2006), são eles:

• Método astro-geodésico, onde as componentes do desvio da vertical são determinadas através de coordenadas geodésicas e astronômicas em um mesmo ponto;

• Método através de câmera zenital digital, onde neste sistema é utilizado moderna tecnologia CCD para visualização de estrelas integrado com um receptor GPS, permitindo a determinação do desvio da vertical através de um processo totalmente automatizado e em tempo-real (HIRT9_{, C. e} BURKI, B., 2006 apud ZANETTI, 2006).

8_{FEATHERSTONE, W.E.; RÜEGER, J. M. The Importance of Using Deviations of the Vertical for the}

Reduction of Survey Data to a Geocentric Datum. The Australian Surveyor, vol. 45, n.2, p. 46-61. dec 2000.

9_{HIRT,C.; BÜRKI, B. Status of Geodetic Astronomy at the beginning of the 21st Century. In:}

Wissenschainftliche Arbeitende Fachrichtung Geodäsie und Geoinformatik de Universtät Hannover Nr258. Ed. C. Hirt, pp. 81- 100, 2006.

(31)

• Gravimétrico, onde o desvio da vertical é obtido em função de anomalias da gravidade, utilizando-se a fórmula de Venning-Meinesz (GEMAEL10, 2000).

• Astro-gravimétrico, que conjuga determinações astro-geodésicas com gravimétricas (GEMAEL, 2000).

• Método através de medidas GPS/LPS, neste é utilizado para o cálculo o Problema de Procrustes simples (GRAFAREND11_{e AWANGE, 2000).}

Em Andrade (2008) o mesmo apresenta outra forma de determinação do desvio da vertical, com metodologia similar ao apresentado por Procrustes. Neste caso a partir da relação geométrica entre os sistemas geodésico local e o astronômico local é obtido um modelo funcional que os interligam, tendo como incógnitas a componente meridiana, a componente do primeiro vertical e uma diferença angular horizontal plana.

A determinação do desvio da vertical também pode ser obtida através do emprego da metodologia de Helmert, neste considera-se que o desvio da vertical pode ser calculado a partir da diferença entre os ângulos zenitais geodésicos e astronômicos em uma dada direção, estando os pontos localizados na superfície terrestre (SOUZA e GARNÉS, 2012).

A diante apenas serão detalhados os métodos de determinação do desvio da vertical pelo método astro-geodésico, de Procrustes, com a metodologia de Andrade (2008) e por fim a de Helmert.

2.11.1.1. MÉTODO ASTRO-GEODÉSICO DE DETERMINAÇÃO DO DESVIO DA VERTICAL

Segundo Andrade (2008) as coordenadas astronômicas se relacionam com as coordenadas geodésicas pelas componentes sobre as seções normais principais, conforme as equações 19 e 20. A equação 21 apresenta o cálculo do desvio da vertical com base nas componentes.

10_{GEMAEL, C. Geodésia Física. 1. Ed. Curitiba: Editora UFPR. 2000}

11_{GRAFAREND, E.W.; AWANGE, J.L. Determination of vertical deflections by GPS/LPS}

(32)

] = ^ − ( (19) _ = ` − ). cos( (20) a = L_+_{+ ]}+ ₍₂₁₎ Tem-se em (19), (20) e (21) que: ξ = componente meridiana η = componente 1º vertical Φ = latitude geodésica ϕ = latitude astronômica Λ = longitude astronômica λ = longitude geodésica

2.11.1.2. DETERMINAÇÃO DO DESVIO DA VERTICAL ATRAVÉS DE MEDIDAS GPS/LPS UTILIZANDO OS FUNDAMENTOS DO PROBLEMA PROCRUSTES SIMPLES

Inicialmente consideram-se duas configurações distintas que representam o mesmo conjunto de objetos, entretanto obtidos por meio de dois diferentes métodos. Segundo Filho (2003), a análise Geral de Procrustes dilata, translada, espelha e rotaciona uma das configurações para que os pontos se ajustem, da melhor maneira possível, à outra, permitindo a comparação dos resultados. O algoritmo parcial de Procrustes ou o Problema de Procrustes simples consiste na simplificação da análise geral de Procrustes e refere-se a uma rotação ideal (AWANGE, 2003).

Segundo Zanetti (2006), o problema de orientação tridimensional é a determinação da matriz de rotação (3x3) cujas incógnitas são a longitude astronômica, a latitude astronômica e a orientação horizontal no plano horizontal. O problema de Procrustes simples é utilizado para se obter o relacionamento entre latitude e longitude astronômica e geodésica, e a partir deste determinar as componentes do desvio da vertical.

As coordenadas utilizadas na aplicação deste método encontram-se tanto no sistema astronômico local, como no sistema global geocêntrico. Estas coordenadas podem ser obtidas a partir de medidas de direções horizontais, verticais e distâncias obtidas através de teodolitos e/ou estações totais e medidas de posicionamento por

(33)

satélites respectivamente. Para solução mínima do Problema de Procrustes é necessário uma estação a qual se deseja determinar o desvio da vertical e pelo menos três alvos (ZANETTI, 2006).

As coordenadas cartesianas (X, Y e Z) da estação base e as (_b_{, !}_b_b_dos alvos quando referenciadas a um Sistema Global, fixo ao centro de massa da Terra, formam um conjunto de vetores denominados de [_c_._{, c}₊_c_X_{,, e são obtidas a partir} de levantamento GNSS. Adicionalmente, coordenadas obtidas por um levantamento realizado com estação total, proporciona a partir de coordenadas esféricas, coordenadas cartesianas que formam um conjunto de vetores [_c_.∗_{, c}_+∗_c_X∗_{, fixos à} superfície física da Terra (ZANETTI, 2006).

A equação 22 ilustra o relacionamento entre o conjunto de vetores (V) formado por coordenadas no sistema global e (_c_∗) formado por coordenadas no sistema astronômico local. As matrizes _XΛ, ₊_<f

+− ϕ? XƩ representam as rotações sofridas pelo sistema cartesiano global para se ajustar ao sistema astronômico local, as mesmas são exibidas nas equações 23, 24 e 25 respectivamente. A Figura 10 ilustra como ocorre o relacionamento entre os dois sistemas de coordenadas envolvidos.

*c.∗, c+∗ cX∗, = *c., c+ cX,. iXΛ, i+<f₊− ϕ? iXƩ (22) XΛ = j cosΛ sinΛ 0 − sinΛ cosΛ 0 0 0 1k (23) +<f₊− ϕ? = l cos <f₊− ϕ? 0 − sin <f₊− ϕ? 0 1 0 sin <f₊− ϕ? 0 cos <f₊− ϕ? m (24)

_XƩ = "− sinƩ cosƩ 0cosƩ sinƩ 0

0 0 1#

(34)

Figura 10 - Relacionamento entre sistema global e sistema astronômico local Fonte: Adaptado Zanetti (2006)

Segundo Awange (2003), a transformação de coordenadas esféricas referenciadas ao sistema astronômico local para coordenadas cartesianas poderão ser obtidas com a equação 26. As equações 27 e 28 representam respectivamente: cálculo da distância espacial entre a estação base e a estação alvo e a fórmula geral para determinação do Problema de Procrustes Parcial.

nb. cosob . cospb cosob . sinpb sinob q∗ = " bb − − b− # q∗ ∀b ∈ t1,2, … , Tv (26)

Tem-se que _o_b representa a direção vertical e _p_b a direção horizontal, tendo sido ambas mensuradas.

nb = n. , b = Lb− ++ !b− !++ b − + (27) " bb − − b − # q∗ = w. `, ^, Ʃ. " b− !b − ! b− # q (28)

(35)

Expandindo a equação 28 para n vetores, tem-se que a matriz H das equações 29 e 30 representa os vetores de coordenadas no sistema astronômico local, R a matriz rotação em função de *`, ^, Ʃ, e B a matriz dos vetores de coordenadas no sistema global. Finalmente tem-se a relação:

Equação 29: \ ∶= " ..− − ++− … − … yy− − .− +− … y − # q∗ = . "!..− ! !− ++− ! … !− … yy− !− .− +− … y− # q ∶= . o Equação 30: \ ∶= l .− .− .− +− +− +− ⋮ y− ⋮ y− ⋮ y − m q∗ = l .− !.− ! .− +− !+ − ! + − ⋮ y− ⋮ !y− ! ⋮ y− m q . i_{∶= o. p} \ ∈ y{X_{, o ∈}y{X_,i _{= p ∈}X{X

Segundo Awange (2003) o Problema de Procrustes está preocupado com a montagem da configuração de B em H tão próximo quanto possível. E que o caso mais simples de Procrustes é aquele em que ambas as configurações têm a mesma dimensionalidade e o mesmo número de pontos e podem ser trazidos para uma correspondência um para um por considerações. Neste trabalho considera-se o problema reduzido na determinação da matriz rotação T e que H e B pertencem ao espaço y{X (Equação 31).

\ = o. p (31)

Segundo Lawson (1997), uma solução de T que resolve a equação _{\ = o. p e} minimiza a norma ‖\ − o. p‖+ é obtida pelo método dos mínimos quadrados. Ou seja, procura-se uma matriz T pertencente ao espaço R³ tal que ‖\ − o. p‖+ seja mínimo.

A transformação de T que irá minimizar a soma dos quadrados da norma ‖\ − o. p‖+_{é procurada usando o Problema Parcial de Procrustes. Para alcançar tal} objetivo considera-se a propriedade de invariância da função de rastreamento sob

(36)

permutação cíclica, utiliza-se a Norma de Frobenius e a Decomposição por valores singulares (SVD) (AWANGE, 2003).

A norma Frobenius da uma matriz * − !. p, qualquer é definida pela equação 32:

‖ − !. p‖ ∶= L}i_{− p}i_{. !}i_{− !p} ₍₃₂₎

A simplificação de _pi_{. p = ~ é alcançada através da consideração da} propriedade de invariância da função sob permutação cíclica (AWANGE, 2003).

Seguindo a sequência matemática exibida em Awange (2003), a equação 33 consiste na utilização da norma Frobenius em _{‖\ − o. p‖}+, e a equação 34 apresenta a minimização da função obtida após aplicação de Frobenius. Os termos }\i_{. \ e }o}i_{. o não são dependentes de T, logo não são considerados. No entanto} o único termo considerado _}\i_{. op na equação 34 é dependente de T, (AWANGE,} 2003).

‖\ − o. p‖+_{∶= }\}i_{− p}i_{. o}i_{\ − o. p} ₍₃₃₎ pi_{. p = ~}

min = }\i_{. \ − 2. \}i_{. o. p + p}i_{. o}i_{. o. p} ₍₃₄₎

O mínimo da função (34) considerando que apenas o termo _}\i_{. op é} dependente de T, segundo Awange (2003) terá a seguinte forma (Equação 35).

‖\ − o. p‖+ _{= min ↔ }\}i_{. o. p =} ₍₃₅₎

Minimizada a norma _{‖\ − o. p‖}+, o passo seguinte consisti em empregar a decomposição por valores singulares (SVD) na determinação da matriz T. Segundo Zuben (2013), a SVD vale tanto para matrizes quadradas quanto retangulares.

Uma definição para SVD é apresentada em Lawson (1997): “A SVD de A é uma decomposição _._{. Ʃ.}₊i, onde Q1 e Q2 são matrizes ortogonais de tamanhos m por m e n por n, respectivamente, e Ʃ é uma matriz diagonal de tamanho m por n. Os elementos diagonais não nulos de Ʃ chamam-se os valores singulares de A.”

(37)

Outra propriedade da SVD exibida em Zuben (2013) de significativa importância no calculo da matriz rotação T é que as colunas de _. são autovetores de _{[. [}i e as colunas de ₊ são os autovetores de _[i_{. [.}

Prosseguindo na sequência de cálculos apresentada em Awange (2003) para determinação da matriz T, temos que a equação 36 ilustra que _._{. Ʃ.}₊i, é a decomposição em valores singulares de _\i_{. o. Segundo Awange (2003) a} abordagem de Mathar12 (1997 p.34) é utilizada para determinar os valores da matriz T e encontra-se apresentada pelas equações 37, 38, 39, 40 e 41 a seguir:

\i_{. o =}_._{. Ʃ.}₊i_, ., +i ϵ SO(3) (36) }\i_{. o. p = }}_._{. Ʃ.}₊i_{. p = }Ʃ.}₊i_{. p.}_. ₍₃₇₎ = a1 ≤ a, ≤ = +i. Ʃ. .}T |bb| ≤ 1 (38) Então }Ʃ. +i. p. . = ∑ b. b. bb ≤ ∑ b. b (39) A partir de (38) }\i_{. \. p = max ↔ }\}i_{. \. p ≤ ∑} _b b. (40)

Finalmente, o máximo valor:

}\i_{. \. p = ∑} _b

b. ↔ p = +. .i (41)

A equação 42 ilustra a solução da matriz rotação obtida através do Problema de Procrustes parcial:

p = +. .i (42)

(38)

Existe um método diferente do exposto de se obter a solução da matriz T. Nessa metodologia o calculo de T é baseada nas derivadas parciais abordadas segundo Awange (2003) em P.H Schõnemann13 (1996), tendo como operações envolvidas:

• Solução de p∗ ₌₊_._.i

• Obtenção dos elementos de rotação a partir de = p∗i

Neste método _p∗ é a melhor matriz fora do conjunto de todas as matrizes ortogonais T, obtida através da imposição da restrição _{p. p}i _{= p}i_{. p = ~ (AWANGE,} 2003).

Finalmente determinada a matriz rotação R, sendo esta apresentada em sua forma geral pela equação 43, pode-se determinar a latitude (_{ϕ) e longitude (Λ)} astronômica, assim como a orientação horizontal no plano horizontal (Ʃ).

Equação (43):  =

− Ʃ ϕ − Ʃ − Ʃ ϕ + Ʃ Ʃ ϕ − Ʃ Ʃ ϕ + Ʃ − Ʃ ϕƩ ϕ

ϕ ϕ ϕ

Os valores da latitude, longitude e da orientação horizontal desconhecida variam nos intervalos mostrados nas equações 44, 45 e 46 respectivamente. As equações 47, 48 e 49 ilustram os cálculos para determinação dos três parâmetros de orientação a partir da matriz R (ZANETTI, 2006).

0 ≤ ` ≤ 2 (44)

−f₊ ≤ ϕ ≤f₊ (45)

0 ≤ Ʃ ≤ 2 (46)

13_{SCHONEMANN, P. H. (1996): Generalised solution of the orthogonal Procrustes problem,} Psychometrika 31 Nº 1 (1996) 1-10.

(39)

tan` =H1 H6 → ` = }T < H1 H6? (47) tanϕ = HH H61BH11 → ϕ = atan HH H61BH11 (48) tanƩ = −1H 6H → Ʃ = }T < 1H 6H? (49)

De posse dos valores da longitude astronômica Λ, da latitude astronômica _{ϕ e} da orientação desconhecida Ʃ obtidas através de Procrustes, assim como da latitude elipsóidica Φ e da longitude elipsóidica λ obtidas por meio de observações de satélites pode-se enfim determinar a componente meridiana ξ e a componente primeiro vertical η através das equações 19 e 20 respectivamente. Tendo calculadas as componentes (ξ, η), a determinação do valor final para o desvio da vertical poderá ser obtido através da equação (21).

2.11.1.3. DETERMINAÇÃO DO DESVIO DA VERTICAL EMPREGANDO

OBSERVÁVEIS DA TOPOGRAFIA CLÁSSICA E DO

POSICIONAMENTO POR SATÉLITES ATRAVÉS DO MODELO PARAMÉTRICO.

Neste método considera-se as coordenadas topocêntricas e topográficas como observações, e posteriormente realiza-se o ajustamento das observações pelo MMQ para obter os parâmetros da transformação entre os sistemas (ANDRADE, 2008).

O modelo funcional que interliga a relação geométrica entre os sistemas geodésicos locais (SGL) e o sistema astronômico local (SAL) com seus respectivos vetores posição assume que os dois sistemas possuem a mesma origem O e que ambos se relacionam pelas componentes do desvio da vertical e por uma diferença angular horizontal plana (ANDRADE, 2008). A Figura 11 ilustra o sistema geodésico local com vetor posição dado por _{= *, T, K, e o sistema astronômico local com} vetor posição dado por _{= *,
, ,.}

(40)

Figura 11 - Sistemas SGL e SAL, com seus respectivos vetores posição, tendo como origem o ponto O

Fonte: Andrade, 2008

Considerando uma esfera unitária sobre o ponto origem O, é possível identificar os ângulos que relacionam os eixos do SGL e do SAL. A Figura 12 ilustra o relacionamento entre os ângulos que os eixos dos sistemas formam entre si, a seção meridiana e a seção do primeiro vertical (ANDRADE, 2008).

(41)

Figura 12 - Relação geométrica entre o SAL e o SGL. Fonte: Andrade, 2008.

As matrizes de rotação são aplicadas nos eixos dos sistemas para realizar a transformação geométrica. A matriz _. é a rotação horária de _]_Q no eixo _(Figura 13). A matriz ₊ é a rotação anti-horária de _{_}_Q no eixo (Figura 14) e a matriz _X apresenta a rotação anti-horária de _ԑ_Q no eixo z (Figura 15) (ANDRADE, 2008).

(42)

Figura 13 – Rotação _. Fonte: Andrade, 2008

Figura 14 - Figura 14 – Rotação ₊ Fonte: Andrade, 2008

(43)

Figura 15 – Rotação _X Fonte: Andrade, 2008

As equações 50, 51 e 52 ilustram as matrizes de rotação _., ₊ e _X respectivamente, as mesmas são apresentadas desta forma simplificada, pois os ângulos _]_Q e _{_}_Q são muito pequenos (ANDRADE, 2008).

.] = " 1 0 0 0 1 −] 0 ] 1 # (50) +_ = " 1 0 −_ 0 1 0 _ 0 1 # (51) Xԑ = " cosԑ sinԑ 0 − sinԑ cosԑ 0 0 0 1# (52)

Segundo Andrade (2008), o modelo de transformação que atua sobre o SGL e o faz coincidir com o SAL, pode ser escrito por:

(44)

= _X_−ԑ.

+−_. .]. (53)

Ou desenvolvendo esta equação 53, temos:

=

cosԑ −]. _. cosԑ + sinԑ −_. cosԑ − ]. sinԑ − sinԑ ]. _. sinԑ + cosԑ _. sinԑ − ]. cosԑ

_ ] 1 .

T

K (54)

As equações 55, 56 e 57 apresentam as coordenadas topográficas a partir das coordenadas topocêntricas.

= cosԑ . + sinԑ . T − _. cosԑ + ]. sinԑ. K (55) = − sinԑ . + cosԑ . T + _. sinԑ − ]. cosԑ. K (56)

= _. + ]. T + K (57)

De forma similar o modelo inverso também poderá ser obtido. Para realização da transformação do SAL para o SGL aplicam-se as seguintes rotações (ANDRADE, 2008):

• Rotação horária de ԑ no eixo z; • Rotação horária de η no eixo y; • Rotação anti-horária de ξ no eixo x;

As equações 58 e 59 ilustram respectivamente, o modelo geral da transformação e o modelo desenvolvido a partir das multiplicações das matrizes de rotação.

= X−]. +_. Xԑ. (58)

T K = "

cos ԑ − sin ԑ _

sin ԑ − ]. _. cos ԑ cos ԑ + ]. _. sin ԑ ] −]. sin ԑ − _. cos ԑ −]. cos ԑ + _. sin ԑ 1# .

(59)

As equações 60, 61 e 62 apresentam as coordenadas topocêntricas a partir das coordenadas topográficas.

(45)

= cosԑ . − sinԑ . + _. (60)

T = sinԑ . + cosԑ . + ]. (61)

K = −]. sinԑ + _. cosԑ. + _. sinԑ − ]. cosԑ. + (62)

Segundo Andrade (2008) as equações de observações do modelo paramétrico são as apresentadas pelas equações 60, 61 e 62 e pelas coordenadas Δx, Δy e Δz dos pontos obtidos através da utilização de topografia clássica. A matriz peso das observações é formada pelas variâncias conhecidas das coordenadas topocêntricas e topográficas e o vetor dos parâmetros aproximados possui valores nulos, pois os valores procurados para a incógnita de orientação desconhecida (ԑ) e para as componentes do desvio da vertical (ξ, η) são bem pequenos e próximos de zero (ANDRADE, 2008).

2.11.1.4. DETERMINAÇÃO DO DESVIO DA VERTICAL EMPREGANDO O MÉTODO DE HELMERT

Segundo Souza e Garnés (2012), a partir da diferença entre os ângulos zenitais geodésico (Z) e astronômico (z) da direção do ponto _Q ao _y, ambos sobre a superfície terrestre é possível determinar o desvio da vertical. A equação 63 apresenta o cálculo do desvio da vertical através do método de Helmert.

a = − (63)

Contudo segundo Heiskanen e Moritz (1967), “considerando dois pontos separados por uma distância (s) finita, porém suficientemente pequena, em que se admita uma variação linear da componente do desvio da vertical num ponto _Q, este pode ser obtido como a razão diferencial entre a ondulação geoidal (N) e a distância (s), projetado no plano que contém a normal geodésica e a vertical.” A relação acima mencionada é apresentada pela equação 64. A Figura 16 ilustra o cálculo do desvio da vertical pelo método de Helmert.

(46)

Sendo:

dN – diferencial da ondulação geoidal para dois pontos _Q e _y; ds – distância infinitesimal entre os pontos _Q e _y.

Figura 16 - Determinação do desvio da vertical pelo método de Helmert. Fonte: Adaptada de Souza e Garnés (2012).

Para uma seção de azimute geodésico (θ) o desvio da vertical pode ser determinado pela equação 65 (HEISKANEN E MORITZ14 1967 apud SOUZA E GARNÉS 2012).

a = − _¡ = ]. cos£ + _. sin£ (65)

Na equação 66, os diferenciais da equação 65 foram substituídos pelas diferenças entre as ondulações geoidais e a distancia entre os pontos _Q e _y.

−¤ ¥¦¥§

14_{HEISKANEN W.A. MORITZ H, Physical Geodesy. São Francisco, EUA : W.H. Freeman and}

(47)

Equação (67):

Conforme Souza e Garnés (2012), o conhecimento do desnível entre os pontos obtidos por posicionamento por satélites e o desnível alcançado por nivelamento geométrico seria suficiente para o cálculo do valor da equação dN, sendo esta independente do conhecimento da ondulação geoidal nos pontos.

Considerando i pontos irradiados a partir do ponto central (_Q), com azimutes geodésicos (_£_._{, £}₊_{, £}_X_{, … , £}_y) conhecidos, e denominando _¬_b _{= cos£}_b, b = sin£b e b = − _¡, o sistema de equações na forma matricial resulta em i-equações a duas incógnitas (Equação 68) (SOUZA E GARNÉS, 2012).

l . + ⋮ b m = l ¬. . ¬+ + ⋮ ¬b ⋮ b m . @]_J (68)

A solução deste sistema poderá ser obtido pelo uso do método dos mínimos quadrados, tendo como parâmetros a serem encontrados a componente meridiana (ξ) e a componente do primeiro vertical (η) (SOUZA e GARNÉS, 2012). O cálculo final do desvio da vertical é obtido através da equação (21).

2.12. AJUSTAMENTO PELO MÉTODO DE MÍNIMOS QUADRADOS – MMQ ATRAVÉS DO MODELO PARAMÉTRICO

O modelo matemático básico para o ajustamento paramétrico baseia-se na formulação das equações de observação, sendo formulada para cada observação pelo menos uma equação (AMORIM, 2005). Para existência do ajustamento pelo MMQ utilizando o método paramétrico é necessário que o número de observações (n) seja maior que o número de incógnitas (u), pois se n for igual a u o sistema apresentará solução única e não será possível a realização do ajustamento pela inexistência de graus de liberdade. Segundo Andrade (2008) o objetivo do MMQ é estimar o valor e a precisão para uma grandeza a partir de observações abundantes,