A Persistência da Memória Salvador Dali

(1)

(2)

FÍSICA PARA ENGENHARIA ELÉTRICA

José Fernando Fragalli

Departamento de Física – Udesc – Joinville

CONCEITOS

DE

(3)

1. Introdução

3. A Relatividade Restrita

b. Os Postulados da Relatividade Restrita c. A Transformação de Lorentz

d. Efeitos Cinemáticos da Relatividade Restrita e. Efeitos Dinâmicos da Relatividade Restrita 2. O que é Relatividade

4. A Relatividade Geral

CONCEITOS DE RELATIVIDADE

(4)

Existem situações cotidianas nas quais os conceitos da

Teoria (?!) da Relatividade são utilizadas.

Uma delas é o uso do GPS – Global Positioning System

(Sistema de Posicionamento Global).

Para o seu funcionamento, o GPS usa conceitos da

Relatividade Restrita e da Relatividade Geral.

CONCEITOS DE RELATIVIDADE

1. INTRODUÇÃO

Importância da Teoria(?) da Relatividade para a Engenharia

Concepção artística da constelação de satélites GPS

Animação mostrando o funcionamento do GPS

(5)

O GPS foi proposto e desenvolvido na década de 1970

pelo Departamento de Defesa dos USA, inicialmente para fins unicamente militares.

“A missão deste programa é acertar com 5 bombas no mesmo buraco e construir um dispositivo de guiamento barato (menos do que US$10.000).”

Coronel Bradford Parkinson – Primeiro Diretor do Programa GPS

Uma brevíssima introdução histórica sobre o GPS

CONCEITOS DE RELATIVIDADE

(6)

Como já afirmado antes, o GPS foi criado para o uso em bombardeios.

O GPS, antes de tudo uma aplicação militar

Outro uso militar do GPS é para o posicionamento de

tropas para ataque ao inimigo.

CONCEITOS DE RELATIVIDADE

1. INTRODUÇÃO GPS no apoio a um bombardeio aéreo GPS no apoio ao posicionamento de tropas

(7)

Mais tarde, interesses civis e comerciais trouxeram ao

GPS um uso mais geral.

a) Localização, mapeamento e navegação.

Aplicações civis do GPS

CONCEITOS DE RELATIVIDADE

1. INTRODUÇÃO

Nos dias de hoje existe um vasto conjunto de aplicações civis para o GPS.

GPS no apoio a localização de pessoas

GPS no apoio ao

mapeamento de uma região

GPS no apoio a navegação

(8)

b) Aviação e emergências

Mais aplicações civis do GPS

CONCEITOS DE RELATIVIDADE

1. INTRODUÇÃO

Seguimos mostrando outras aplicações correlatas do GPS.

GPS no apoio a aviação civil

GPS no apoio a um resgate

(9)

A principal finalidade do GPS é a de proporcionar os meios necessários de determinar a posição tridimensional

(3D) de qualquer ponto localizado no globo terrestre (ou

perto dele) a qualquer instante de tempo.

A finalidade do GPS

CONCEITOS DE RELATIVIDADE

1. INTRODUÇÃO Informações fornecidas pelo GPS Posição do objeto calculada em tempo real

(10)

O GPS utiliza um sistema de triangulação para determinar a posição de um objeto.

A distância calculada do objeto ao

Satélite 1 permite calcular uma posição

colocada sobre uma esfera.

O raio desta esfera é a distância

calculada do usuário ao primeiro

satélite.

Para isto são necessários 4 satélites para identificar três coordenadas espaciais e o tempo.

CONCEITOS DE RELATIVIDADE

1. INTRODUÇÃO

Triangulação usando três satélites

(11)

O recurso ao Satélite 2 permite reduzir a incerteza da posição do objto a uma elipse.

Desta forma, reduz-se a incerteza na determinação da posição para qualquer ponto pertencente a esta intersecção.

CONCEITOS DE RELATIVIDADE

1. INTRODUÇÃO

Intersecção entre duas esferas

Isto é feito através da determinação da intersecção de duas esferas.

A função do Satélite 2: diminuir a incerteza da posição para a elipse resultante da intersecção das esferas 1 e 2 Como vemos, a figura resultante desta intersecção é uma elipse.

(12)

A determinação do raio do Satélite 3 intercepta a elipse anterior em dois pontos.

CONCEITOS DE RELATIVIDADE

1. INTRODUÇÃO

Intersecção entre três esferas

Como normalmente um

destes pontos se encontra

muito distante da Terra, a

posição fica automaticamente

calculada por exclusão de

partes.

A função do Satélite 3: reduzir ainda mais a incerteza da posição para a dois pontos, resultantes da intersecção das três esferas

(13)

O Satélite 4 envia ao receptor um quarto sinal que o auxilia a determinar o tempo preciso em que ocorrem as emissões.

Isto torna desnecessário que o receptor use um relógio atômico* para determinação do tempo.

CONCEITOS DE RELATIVIDADE

1. INTRODUÇÃO

Determinação da posição com acurácia

O quarto satélite é também utilizado como auxiliar, para corrigir os erros de sincronização temporal dos outros satélites.

Quatro satélites enviando sinais ao receptor

(14)

Cada satélite possui uma sequência própria baseada numa fórmula que é enviada conjuntamente ao receptor.

A distância aos satélites é calculada através do tempo de propagação do sinal de rádio que é da ordem de 60 ms.

Com a tecnologia atual é possível conseguir um erro de posição no

máximo da ordem de 5 m.

CONCEITOS DE RELATIVIDADE

1. INTRODUÇÃO

Cálculo da distância do satélite ao receptor

A acurácia (precisão) desta

medida é da ordem de 1 ns, que é

obtida apenas com relógios

atômicos.

Quatro satélites fazendo a sincronização do sinal entre satélite e receptor

(15)

A indicação temporal necessária ao funcionamento do sistema requer sincronização entre satélites e receptores, além do conhecimento sobre a localização dos satélites.

Em relação á sincronização, a

temporização a bordo de um

satélite é extremamente precisa

pois são utilizados relógios

atómicos*.

CONCEITOS DE RELATIVIDADE

1. INTRODUÇÃO

Relógios atômicos

Relógio atômico de Hg+2 _{(íon mercúrio)}

(16)

Todos os satélites estão sincronizados e enviam os seus códigos em momentos específicos.

CONCEITOS DE RELATIVIDADE

1. INTRODUÇÃO

Características de relógios atômicos

Um relógio atômico é um dispositivo que utiliza transições atômicas (decaimento de elétrons entre níveis de energia de átomos) para medir o tempo.

Cavidade onde átomos sofrem transição em um relógio atômico Relógio atômico de Cs do IFSC-USP

(17)

O sistema de coordenadas cartesianas utilizado no GPS

(USNO, 2008) é chamado Earth-Center, Earth-Fixed ou ECEF.

O ECEF utiliza coordenadas

tridimensionais XYZ para descrever

a localização do usuário ou dos satélites da constelação.

Estas coordenadas são dadas em metros.

CONCEITOS DE RELATIVIDADE

1. INTRODUÇÃO

Posicionamento em relação a um sistema de coordenadas

Para que todos possamos usar o GPS adota-se um

sistema único através de convenções internacionais.

Sistema de coordenadas adotada internacionalmente pelo GPS

(18)

Para o uso do GPS a Terra não pode ser considerada uma esfera perfeita.

Usa-se então um

elipsoide como modelo de

superfície.

Torna-se necessário adotar um modelo geométrico que

represente, simultaneamente, a superfície da Terra e que

garanta precisão na medida da posição.

CONCEITOS DE RELATIVIDADE

1. INTRODUÇÃO

O sistema de coordenadas

Elipsoide que representa a Terra no GPS, onde se destacam o plano equatorial e o meridiano de Greenwich

(19)

O uso do elipsoide permite a conversão das coordenadas

ECEF para o sistema de coordenadas geodésico mais

utilizado.

Para aplicações globais, a

referência geodésica, ou datum,

usada para aplicações GPS é o

WGS84 - World Geodetic System 1984.

Este sistema é o LLA - Latitude, Longitude e Altitude.

CONCEITOS DE RELATIVIDADE

1. INTRODUÇÃO

Posicionamento

(20)

O posicionamento em Latitude, Longitude e Altitude é calculado com base em sistemas de coordenadas de referência que permitem a sua correta identificação.

Contudo, esses valores são afetados pelo movimento da

Terra e dos satélites.

CONCEITOS DE RELATIVIDADE

1. INTRODUÇÃO

A necessidade de usar correções relativísticas

Satélite trocando dados com uma antena e emitindo sinal para o

receptor

Dois satélites do sistema GPS em órbita da Terra

(21)

Neste caso, sabemos que a Terra exerce um potencial gravitacional sobre o satélite.

CONCEITOS DE RELATIVIDADE

1. INTRODUÇÃO

O efeito do potencial gravitacional

Consideremos um satélite do sistema GPS em órbita da

Terra a uma distância r medida a partir de seu centro.

Este potencial gravitacional

afeta de forma distinta os tempos medidos pelo relógio atômico e

pelo observador na Terra, tal que

torna-se necessário fazer

correções relativísticas.

Satélite do GPS em órbita não geoestacionária

(22)

Neste caso, três são os aspectos principais deste tipo de correção relativística.

a) o potencial gravitacional

faz com que o relógio

transportado se adiante em

relação a um outro na Terra.

b) este adiantamento

depende apenas da altitude em relação à Terra;

c) este é um efeito da Relatividade Geral.

CONCEITOS DE RELATIVIDADE

1. INTRODUÇÃO

Aspectos a serem considerados

Efeito do potencial gravitacional (linha verde) sobre os tempos medidos pelo

(23)

A fórmula abaixo mostra a diferença nos tempos medidos por um observador no satélite (relógio atômico)

∆

t_S e pelo usuário na Terra

∆

t_UT. 2

2

1 c

r

M

G

t

_UT _S

⋅

−

⋅

∆

=

∆

CONCEITOS DE RELATIVIDADE

1. INTRODUÇÃO

As diferenças nos tempos medidos no satélite e na Terra

∆t_UT: intervalo de tempo medido pelo usuário na Terra

Efeito do potencial gravitacional (linha verde) sobre os tempos medidos pelo satélite e pelo observador

∆t_S: intervalo de tempo medido pelo relógio atômico no satélite

(24)

Façamos uma análise simples desta fórmula. 2 2 1 c r M G t t_UT _S ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ∆ = ∆

r é a coordenada radial do observador, que neste caso é a

distância a partir do centro do objeto que cria o campo gravitacional (a Terra), que é da ordem de 40.000 km.

M é a massa do objeto que

cria o campo gravitacional,

neste caso, a Terra.

CONCEITOS DE RELATIVIDADE

1. INTRODUÇÃO

Análise deste resultado

c = 2,99792458×108 _m/s_{: velocidade da luz no vácuo}

G = 6,738480×10-11 _N⋅_m2_/kg2_{: constante gravitacional}

(25)

Para um satélite numa altitude orbital geoestacionária,

com r = 42.164 km, o relógio presente nela adianta-se 18,2 µs

por dia. 2

2

1 c

r

M

G

t

_UT _S

⋅

−

⋅

∆

=

∆

S UT

t

<

∆

CONCEITOS DE RELATIVIDADE

1. INTRODUÇÃO

Exemplo da correção devido ao potencial gravitacional

Efeito do potencial gravitacional (pontos à esquerda) sobre os tempos medidos

(26)

a) a dilatação temporal faz com que o relógio transportado

pelo satélite se atrase em

relação a um outro na Terra;

b) este efeito depende

apenas da velocidade do satélite; c) este é um efeito da Relatividade Restrita.

CONCEITOS DE RELATIVIDADE

1. INTRODUÇÃO

O efeito da velocidade orbital do satélite

Neste caso, três são os aspectos principais deste tipo de correção relativística.

Efeito da velocidade orbital do satélite (linha vermelha) sobre os tempos medidos pelo satélite e pelo observador

(27)

A fórmula abaixo mostra a diferença nos tempos medidos por um observador no satélite (relógio atômico)

∆

t_S e pelo usuário na Terra

∆

t_UT.

CONCEITOS DE RELATIVIDADE

1. INTRODUÇÃO

As diferenças nos tempos medidos no satélite e na Terra

∆t_UT: intervalo de tempo medido pelo usuário na Terra

Efeito da velocidade orbital do satélite (linha vermelha) sobre os tempos medidos pelo satélite e pelo observador

∆t_S: intervalo de tempo medido pelo relógio atômico no satélite 2 2

1 c

v

t

_UT S

−

∆

=

∆

(28)

2 2

1 c

v

t

_UT S

−

∆

=

∆

v é a velocidade do satélite em

órbita da Terra, o qual carrega o

relógio atômico, da ordem de 3 km/s.

CONCEITOS DE RELATIVIDADE

1. INTRODUÇÃO

Façamos uma análise simples desta fórmula.

c = 2,99792458×108 _m/s_{: velocidade da luz no vácuo}

r

M

G

v

=

⋅

G = 6,738480×10-11 _N⋅_m2_/kg2_{: constante gravitacional} M = 5,973332×1024 _kg_{: massa da Terra}

(29)

2 2 0

1 c

v

t

f

−

∆

=

∆

Para um satélite que orbita a Terra de forma

geoestacionária (velocidade igual a v = 3,0897 km/s (11,123

×

103

km/hora) o relógio presente nela atrasa-se 7,1 µs por dia.

f

t

>

∆

₀

CONCEITOS DE RELATIVIDADE

1. INTRODUÇÃO

Exemplo da correção devido a velocidade do satélite

Efeito da velocidade orbital do satélite (pontos à direita) sobre os tempos medidos pelo satélite e pelo observador

(30)

a) Este efeito, conhecido como

Efeito Sagnac faz com que o relógio transportado se atrase ou se adiante em relação a um outro na Terra.

b) este é um efeito da

Relatividade Restrita.

CONCEITOS DE RELATIVIDADE

1. INTRODUÇÃO

O efeito da rotação do satélite em torno da Terra

Neste caso, quatro são os

aspectos principais deste tipo de correção relativística.

Situação com o satélite em repouso em relação à Terra

Situação com o satélite em girando no sentido anti-horário em relação à Terra

(31)

2

4 c

r

t

=

⋅

π

⋅

ω

∆

d) o Efeito Sagnac depende da direção escolhida para o movimento do satélite.

CONCEITOS DE RELATIVIDADE

1. INTRODUÇÃO

A de-sincronia entre os dois relógios

c) este efeito depende da trajetória escolhida para o movimento do satélite.

A fórmula abaixo mostra a de-sincronia

∆

t entre os dois relógios

∆t: de-sincronia entre os dois relógios

Situação com o satélite em girando no sentido anti-horário em relação à Terra

(32)

ω

é a velocidade angular de rotação do satélite em órbita da Terra, da ordem de 73,3

µ

rad/s.

CONCEITOS DE RELATIVIDADE

1. INTRODUÇÃO

Façamos uma análise simples desta fórmula.

c = 2,99792458×108 _m/s_:

velocidade da luz no vácuo

2

4 c

r

t

=

⋅

π

⋅

ω

∆

r é o raio do dispositivo usado na construção do anel de

(33)

2

4 c

r

t

=

⋅

π

⋅

ω

∆

Para um receptor na Terra a diferença de sincronização é de aproximadamente 0,133

µ

s.

CONCEITOS DE RELATIVIDADE

1. INTRODUÇÃO

Exemplo da correção devido ao Efeito Sagnac

Situação com o satélite em girando no sentido anti-horário em relação à Terra, mostrando a de-sincronia entre o relógio do satélite e o do usuário

(34)

As principais fontes de erro associadas ao

funcionamento do GPS são apontadas abaixo.

b) erros de órbita do satélite, da ordem de alguns

metros;

a) imprecisão da medida de tempo pelo relógio atômico do satélite, da ordem de 1 ns;

c) atraso do sinal na troposfera e na ionosfera;

d) erros devido a recepção de mais de um sinal pela mesma fonte (multipercursos).

CONCEITOS DE RELATIVIDADE

1. INTRODUÇÃO

(35)

1. Introdução

CONCEITOS DE RELATIVIDADE

(36)

Na Mecânica Clássica as leis básicas da Mecânica assumem sua forma mais simples nos referenciais inerciais.

Dois referenciais inerciais, um em repouso, outro se movendo com velocidade constante se relacionam através da

Transformação de Galileu.

CONCEITOS DE RELATIVIDADE

2. O QUE É RELATIVIDADE

Relatividade na Mecânica Clássica

(37)

Se o referencial

Σ

’ se move em relação a

Σ

com

velocidade constante V, e as origens O e O’ dos dois

referenciais coincidem no instante t = 0, temos que:

Como vemos, na Transformação de Galileu o tempo é a grandeza absoluta!!!

( ) ( )

t t t z t z t y t y t v t x t x = = = ⋅ − = ' ' ' ' _Na _{Transformação} _de

Galileu fazemos a descrição do movimento entre dois referenciais inerciais.

CONCEITOS DE RELATIVIDADE

A Transformação de Galileu

(38)

1) Composição de velocidades

( )

'

dt

dx

t

v

=

( )

(

x

V

t

)

dt

d

t

v

'

=

−

⋅

( ) ( )

t

v

t

V

v

'

=

−

⇒

⇓

CONCEITOS DE RELATIVIDADE

Consequências cinemáticas da Transformação de Galileu

Usamos a Transformação de Galileu para determinar a

velocidade relativa entre dois referenciais inerciais.

( ) ( )

t t t z t z t y t y t v t x t x = = = ⋅ − = ' ' ' ' Movimento segundo dois referenciais inerciais

(39)

2) Composição de acelerações

( )

'

dt

dv

t

a

=

( )

(

v

V

)

dt

d

t

a

'

=

−

( ) ( )

t

a

t

a

'

=

⇒

CONCEITOS DE RELATIVIDADE

Outra consequências cinemáticas da TG

aceleração relativa entre dois referenciais inerciais.

O mesmo movimento visto em dois referenciais distintos

( ) ( )

t t t z t z t y t y t v t x t x = = = ⋅ − = ' ' ' '

_⇓

(40)

Logo, a lei básica da Dinâmica (2a _{Lei de Newton}_{) não se}

altera quando descrevemos o movimento em dois

referenciais inerciais!!!

'

m

a

F

=

⋅

( ) ( )

t

a

t

a

'

=

m

'

=

⇒

_F

_'

=

_F

CONCEITOS DE RELATIVIDADE

Consequências dinâmicas da Transformação de Galileu

força que sofre um corpo, descrita segundo dois referenciais inerciais.

Pêndulo visto por dois referenciais

(41)

Não existe sistema de referência absoluto pelo qual todos os outros movimentos possam ser medidos.

Assim, em um

referencial inercial é

impossível determinar se

um corpo está em repouso ou em movimento.

Este corpo continua

em movimento uniforme a menos que sofra ação de alguma força.

CONCEITOS DE RELATIVIDADE

Princípio da Relatividade de Galileu

Ilustração do Princípio da Relatividade de Galileu

(42)

À época de Galileu, experiências feitas sob convés de um navio com as escotilhas fechadas, mostraram que elas eram incapazes de serem distinguidas se o navio estivesse

ancorado ou em MRU – Movimento Retilíneo Uniforme).

CONCEITOS DE RELATIVIDADE

Evidências experimentais do Princípio de Galileu

(43)

Este mesmo comportamento pode ser observado hoje em dia com o movimento de um automóvel com janelas fechadas.

CONCEITOS DE RELATIVIDADE

Evidências experimentais do Princípio de Galileu

Repouso de uma bola vista tanto por um observador fora quanto por outro dentro do carro (A)

(44)

O Princípio da Relatividade de Galileu deixa de valer para referenciais não-inerciais. No referencial não-inercial

a

m

F

_IN

r

⋅

=

+

'

CONCEITOS DE RELATIVIDADE

Referenciais não inerciais

Nestes casos, devemos acrescentar uma outra força, não

presente no referencial inercial, a qual chamamos

(45)

O primeiro exemplo de força de inércia é a chamada

força centrífuga observada quando o corpo se encontra em

um referencial em movimento circular.

Uma bola colocada solta num carrossel que está girando será ejetada, se a rotação for suficiente para vencer a força de atrito da bola com a superfície.

CONCEITOS DE RELATIVIDADE

Exemplos de forças fictícias

Carrossel em movimento circular com uma bola sendo ejetada dele

(46)

Outro exemplo de força fictícia é aquela que um corpo sente quando um elevador é posto em movimento com uma dada aceleração, a chamada “força de elevador”.

Se colocarmos uma

balança dentro de um elevador

e a usarmos para medir a

massa de uma pessoa, haverá diferença, se o elevador estiver acelerado, quando ele estiver subindo ou descendo.

CONCEITOS DE RELATIVIDADE

Mais exemplos de forças fictícias

Alteração na marcação da força peso de uma pessoa em um elevador acelerado.

(47)

Por fim, temos a chamada força de Coriolis associada a um referencial em rotação.

Em um referencial

em rotação uniforme,

os corpos em

movimento, vistos por

um observador no mesmo referencial, aparecem sujeitos a uma força perpendicular à direção do seu movimento.

CONCEITOS DE RELATIVIDADE

Um último exemplo de forças fictícias

Formação de ciclones no hemisfério norte (acima) e no

(48)

Enquanto trabalhamos com corpos materiais não há

qualquer problema em utilizarmos a Transformação de

Galileu.

Problemas começam a aparecer quando analisamos o

movimento da luz.

CONCEITOS DE RELATIVIDADE

O comportamento da luz

Qual é a velocidade da luz emitida por um trem em movimento?

Como sabemos, a luz se

propaga, no vácuo, com

velocidade c.

c = 2,99792458×108 _m/s_:

(49)

Vamos aplicar a Transformação de Galileu (TG) para determinar a velocidade da luz c’ em um referencial inercial

Σ

’ em MRU com velocidade V em relação a outro

Σ

.

Isto significa que segundo a TG, a

velocidade da luz poderia variar com a direção de propagação.

V

c

'

=

−

c

'

≠

c

CONCEITOS DE RELATIVIDADE

O comportamento da luz segundo a TG

(50)

Admitindo como verdadeiro o Princípio da Relatividade de Galileu, a validade das Equações de Maxwell estaria restrita então a um referencial inercial privilegiado.

c

'

=

Porém, segundo a Eletrodinâmica Clássica a velocidade

da luz é a mesma em todas as direções.

CONCEITOS DE RELATIVIDADE

A luz e a Eletrodinâmica Clássica

Esta afirmação decorre da

obediência da luz em relação às

Equações de Maxwell, uma vez que, como sabemos a luz é uma onda eletromagnética.

(51)

Logo, parece existir uma aparente ambiguidade entre as

Leis de Newton (que obedecem a Transformação de Galileu)

e as Equações de Maxwell (que formam a base da

Eletrodinâmica).

Ambas parecem não poder ser validas simultaneamente em qualquer referencial inercial.

Uma consequência importante para a Física Teórica é que

apenas uma destas grandes teorias deve valer para qualquer tipo de referencial.

Qual delas a Física Teórica deve escolher?

CONCEITOS DE RELATIVIDADE

(52)

1. Introdução

CONCEITOS DE RELATIVIDADE

(53)

Para isto, utilizou-se o movimento da Terra em relação ao

éter* juntamente com o Princípio da

Relatividade de Galileu de

composição de velocidades.

Será possível projetar um experimento no qual esta ambiguidade possa ser levantada?

CONCEITOS DE RELATIVIDADE

Um experimento para solucionar este problema

3. A RELATIVIDADE RESTRITA

A resposta para esta pergunta é SIM! A ideia central é

usar princípios de interferência para testar a velocidade da luz em dois referenciais distintos.

Princípio básico do experimento projetado

(54)

Numa série de experiências realizadas entre 1881 e 1887,

Michelson e Morley procuraram detectar esses desvios

(muito pequenos) usando o interferômetro de Michelson.

A velocidade da luz na Terra relativa ao éter deveria ser diferente em direções diferentes.

CONCEITOS DE RELATIVIDADE

O conceito de éter 3. A RELATIVIDADE RESTRITA Montagem do interferômetro de Michelson

(55)

1. Introdução

CONCEITOS DE RELATIVIDADE

(56)

CONCEITOS DE RELATIVIDADE

O experimento de Michelson-Morley

Em 1887, Albert Michelson (1852-1931) e Edward Williams Morley (1838-1923) projetaram um experimento no qual pretendiam detectar o movimento relativo da Terra através do éter (considerado em estado estacionário).

Michelson em seu laboratório com um

interferômetro

Fotografia de Edward Morley

(57)

CONCEITOS DE RELATIVIDADE

O experimento de Michelson-Morley

O interferômetro de Michelson-Morley e seus inventores

Abaixo vemos uma montagem

parcial do interferômetro de

(58)

CONCEITOS DE RELATIVIDADE

Detalhes experimentais

Um interferômetro Michelson de “braços” intermediários

Abaixo vemos uma montagem parcial do interferômetro de Michelson original.

Nesta fotografia

vemos apenas os braços

intermediários do

interferômetro.

O comprimento dos braços do interferômetro é da ordem de 11 m!!!

(59)

CONCEITOS DE RELATIVIDADE

Detalhes experimentais 3. A RELATIVIDADE RESTRITA Formação do padrão de interferência no interferômetro de

Michelson_{Um interferômetro Michelson de} “braços” intermediários

Foram medidos padrões de interferência em duas

(60)

CONCEITOS DE RELATIVIDADE

O experimento de Michelson-Morley O interferômetro de Michelson-Morley e seus inventores

(61)

Foram medidos padrões de interferência em duas situações distintas: a) na primavera b) no outono

CONCEITOS DE RELATIVIDADE

Detalhes experimentais 3. A RELATIVIDADE RESTRITA

Posição da Terra no outono e na primavera em relação ao

(62)

Esperava-se alterações no padrão de interferência de uma medida para outra, devido ao movimento da Terra em relação ao éter.

CONCEITOS DE RELATIVIDADE

Mais um arranjo experimental do interferômetro de Michelson

(63)

É possível calcular a variação da fase das franjas de interferência com o interferômetro posicionado em duas direções ortogonais entre si.

l₁ e l₂ ⇒ comprimento dos braços do interferômetro

λ ⇒ _{comprimento de onda da luz}

utilizada (luz de lâmpada de Na).

v ⇒ velocidade de translação da Terra em relação ao éter.

(

)

              − −       − ⋅ + ⋅ = ∆ 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 2 c v c v l l λ δ

π

δ

=

∆

⇒

Franjatoma o lugar daclara franja escura.

CONCEITOS DE RELATIVIDADE

O resultado esperado pelo Princípio de Galileu

(64)

Como a velocidade de translação da Terra é igual a 29,8 km/s, podemos usar a aproximação v << c, e assim obtemos o resultado mostrado abaixo.

l₁ = l₂ = 11 m λ = 590 nm

v/c = 10-4

À época, a precisão experimental para esta medida era

0,01.

(

)

2 2 1

_











⋅

+

=

∆

c

v

l

λ

δ

∆

δ

PG

=

0 ,

4

0 =

∆

δ

_EXP

Assim, a variação de fase das franjas, caso ocorresse, era possível de ser detectada.

CONCEITOS DE RELATIVIDADE

Resultados obtidos por Michelson e Morley

(65)

A experiência foi repetida muitas vezes, com diferentes orientações da montagem.

Assim as Equações de Maxwell são corretas e nesse caso a mecânica newtoniana e as Transformações de Galileu não podem estar corretas.

Deste experimento concluímos que a hipótese de um éter estacionário estava incorreta.

Também é possível concluir que a velocidade da luz não depende do referencial onde ela é medida.

CONCEITOS DE RELATIVIDADE

Conclusões possíveis dos resultados obtidos

(66)

1. Introdução

CONCEITOS DE RELATIVIDADE

(67)

Primeiro passo: formular princípios que estejam de acordo com os resultados experimentais.

1. As leis físicas são as mesmas em todos os referenciais inerciais.

2. A velocidade da luz no vácuo é a mesma em todos os referenciais inerciais e é independente da velocidade da fonte.

Estes princípios são os Postulados da Relatividade Restrita, descritos abaixo.

CONCEITOS DE RELATIVIDADE

O que fazer diante destas evidências experimentais

(68)

Esses dois princípios, porém, são incompatíveis com a mecânica newtoniana tornando necessário modificá-la.

As modificações necessárias, tomando os dois

postulados como pontos de partida, foram propostas por

Albert Einstein em 1905.

CONCEITOS DE RELATIVIDADE

Consequências dos Postulados da Relatividade Restrita

(69)

Um evento 1 ocorre no ponto C no instante t₁, sendo

marcado pela emissão de um sinal luminoso que parte de B

em um dado instante.

Outro evento 2 ocorre também no

ponto C no instante t₂, sendo marcado

pela emissão de um sinal luminoso

que parte de A.

Observe que na figura acima os relógios no ponto A e no

ponto B estão marcando o mesmo tempo, isto é, estão

sincronizados.

CONCEITOS DE RELATIVIDADE

O conceito de simultaneidade

(70)

Dizemos que o evento 1 e o evento 2 são simultâneos (t₁ = t₂) quanto o ponto de encontro dos dois sinais

luminosos é o ponto médio do

segmento AB.

Essa definição implica

imediatamente que a simultaneidade

de eventos distintos não tem caráter absoluto.

CONCEITOS DE RELATIVIDADE

O conceito de simultaneidade

(71)

Dois eventos simultâneos num particular referencial S

podem não ser simultâneos noutro referencial inercial S’ que se move em relação a S em Movimento Retilíneo Uniforme.

CONCEITOS DE RELATIVIDADE

A relatividade da simultaneidade

(72)

1. Introdução

CONCEITOS DE RELATIVIDADE

(73)

A transformação correta deve satisfazer as condições descritas a seguir.

a) o conceito de simultaneidade de Einstein;

b) um MRU em ralação a S também deve ser MRU em

relação a S’;

c) para V = 0, onde V é a velocidade de S’ em relação a S, a transformação deve reduzir-se à identidade;

CONCEITOS DE RELATIVIDADE

(74)

e) Ser uma transformação linear.

d) Se um sinal luminoso é enviado do ponto O = O’ no

tempo t = t’ = 0, a sua frente de onda deve propagar-se com velocidade c em ambos os referenciais, tal que o conjunto de equações abaixo seja satisfeito.

( )

2

0

2 2 2

+

−

⋅

=

t

c

z

y

x

⇔

x

'

2

+

y

'

2

+

z

'

2

−

( )

c

⋅

t

'

2

=

0 CONCEITOS DE RELATIVIDADE

(75)

(

)













⋅

−

=

⋅

−

⋅

=

2

'

c

x

V

t

z

y

t

V

x

γ

( )

2 2

1

1 c

V

−

=

γ

O tempo não é mais absoluto,

depende do referencial!!!

c

'

=

t

'

≠

t

Após uma exaustiva manipulação matemática, Lorentz

obteve o resultado mostrado abaixo.

γ ⇒ _{fator de}

Lorentz

CONCEITOS DE RELATIVIDADE

(76)

1. Introdução

CONCEITOS DE RELATIVIDADE

(77)

Dois observadores, um em repouso e outro em um referencial em MRU medem o tempo de forma diferente!!!

c

D

t

_M

=

⋅

∆

2

M J

t

c

D

t

=

⋅

=

⋅

∆

γ

2 γ

O tempo passa mais lentamente para um observador em movimento!!!

CONCEITOS DE RELATIVIDADE

(78)

CONCEITOS DE RELATIVIDADE

(79)

M J

t

=

⋅

∆

γ

( )

1

2 2

≥

−

=

c

V

γ

M

J

t

≥

∆

CONCEITOS DE RELATIVIDADE

(80)

Dois observadores, um em repouso e outro em um

referencial em MRU medem comprimentos de forma

diferente!!!

γ

S S S

L

c

V

L

=

∆

⋅

−

=

∆

_'

1

₂2

CONCEITOS DE RELATIVIDADE

3. A RELATIVIDADE RESTRITA A contração espacial

(81)

( )

1 1 1 2 2 ≥ − = c V V

γ

S S

L

=

∆

_' S S

L

≤

∆

_'

CONCEITOS DE RELATIVIDADE

(82)

A velocidade instantânea v’(t’) do corpo em S’ tem as componentes dadas por:

'

dt

r

d

v

_S

r

=

_











⋅

−

=

2 '

1 c

V

v

V

v

x x x













⋅

−

⋅

=

2 '

1 c

V

v

x y y

γ













⋅

−

⋅

=

2 '

1 c

V

v

x z z

γ

CONCEITOS DE RELATIVIDADE

(83)

1. Introdução

CONCEITOS DE RELATIVIDADE

(84)

Após substituir a cinemática newtoniana é preciso

reformular a dinâmica newtoniana para que seja compatível

com a nova cinemática.

Na mecânica newtoniana, admitem-se forças de

interação entre partículas.

Estas forças ficam inteiramente determinadas pelas suas posições instantâneas.

Como exemplo temos a gravitação, dada pela lei de Newton da gravitação universal.

CONCEITOS DE RELATIVIDADE

(85)

Por outro lado, podemos admitir as forças eletromagnéticas cuja formulação é compatível com a relatividade.

Tais forças são inadmissíveis na mecânica relativística.

O conceito de posições simultâneas das partículas de

um sistema depende do referencial.

A velocidade limite de propagação das interações é c.

Lembremos que no vácuo a velocidade de propagação das interações eletromagnéticas é c.

CONCEITOS DE RELATIVIDADE

(86)

Um outro tipo de interação que podemos admitir são forças de contato.

Estas forças podem ser idealizadas como atuando apenas no instante e no ponto de contato, sendo portanto compatíveis com a relatividade.

Tais forças atuam apenas quanto duas partículas entram em contato numa colisão.

CONCEITOS DE RELATIVIDADE

(87)

Nesta equação m₀ é a massa de repouso do corpo,

quando sua velocidade é

nula.

CONCEITOS DE RELATIVIDADE

A massa relativística

A massa m apesar de continuar sendo um escalar, não é

mais necessariamente invariável, e depende da velocidade do corpo, como mostrado abaixo.

( )

2

0

1 c

v

m

v

m

−

=

(88)

CONCEITOS DE RELATIVIDADE

O comportamento da massa com a velocidade

Abaixo mostramos o gráfico da massa do corpo em função de sua velocidade.

É fácil ver que quanto maior a velocidade, maior é a inércia do corpo.

( )

2 2 0

1 c

v

m

v

m

−

=

(89)

Na mecânica relativística o momento linear também é proporcional a velocidade do corpo v e da sua massa m.

Mas, como vimos, a massa m apesar de continuar sendo

um escalar, não é mais invariável, e depende da velocidade do corpo.

CONCEITOS DE RELATIVIDADE

O momento linear relativístico

( ) ( )

v

m

v

(90)

No limite de baixas velocidades, devemos obter a mecânica não-relativística (newtoniana).

Logo, com m₀ sendo a massa de repouso, a expressão

relativística do momento deve é dada como mostrado abaixo.

CONCEITOS DE RELATIVIDADE

O momento linear relativístico

( )

v

m

p

=

⋅

γ

: fator de Lorentz 2 2 0

1 c

v

m

p

−

⋅

=

⇒

v

m

p

=

γ

⋅

₀

⋅

⇒

2 2 1 1 c v − =

γ

(91)

A partir do Teorema Trabalho-Energia obtemos o resultado mostrado abaixo.

2

0

1 c

v

c

m

E

−

⋅

=

CONCEITOS DE RELATIVIDADE

3. A RELATIVIDADE RESTRITA A energia relativística

T

W

=

∆

⇒

2 c

m

E

=

⋅

⇐

(92)

Por sua vez, mesmo na Relatividade Restrita, a energia cinética de um corpo deve se anular quando sua velocidade é nula.

CONCEITOS DE RELATIVIDADE

A energia cinética relativística

Ao impor esta condição,

obtemos o resultado

mostrado ao lado para a

energia cinética K de um

corpo com velocidade v.

















−

⋅

=

1

2 2 2 0

c

v

c

m

K

É fácil verificar que

(93)

Podemos escrever a energia do corpo E em termos de sua massa m e momento linear p.

No caso da luz, quando

temos m = 0, obtemos o

resultado abaixo.

CONCEITOS DE RELATIVIDADE

Relação entre energia e momento linear relativísticos

c

p

E

=

⋅

2 2 4 2

c

p

c

m

E

=

⋅

+

⋅

(94)

Momento máximo que um próton pode ser acelerado:

v/c AGS/BNL 11,6 Gev/c 0.9963 SPS / CERN 450 Gev/c 0.99999753 Tevatron / Fermilab 3000Gev/c 0.999999944

RHIC / BNL 100 Gev/c 0.99995 LHC / CERN 1,5 Gev/c 0,832

Pelletron 0,016 Gev/c 0,016

CONCEITOS DE RELATIVIDADE

Exemplos de velocidades de partículas em aceleradores

Abaixo mostramos a energia e a razão v/c para partículas de alguns aceleradores lineares do mundo.

(95)

1. Introdução

CONCEITOS DE RELATIVIDADE

(96)

Segundo Newton, a força gravitacional propaga-se instantaneamente (velocidade infinita).

Segundo a Relatividade

Restrita, a maior velocidade de propagação de qualquer sinal é a velocidade da luz c.

Logo, é necessário conciliar a Gravitação e a Relatividade Restrita.

Como consequência, em 1915 Albert Einstein

formulou a Relatividade Geral.

CONCEITOS DE RELATIVIDADE

8. A RELATIVIDADE GERAL

(97)

Apresentamos abaixo os principais pressupostos da

Relatividade Geral.

a) Não há força gravitacional.

d) A curvatura determina o

movimento da matéria e da luz.

b) A gravitação ocorre devido à curvatura do espaço.

c) A presença de matéria causa a curvatura do espaço.

CONCEITOS DE RELATIVIDADE

(98)

Lembremos que na Geometria Euclidiana a soma dos ângulos internos de um triângulo é 180

°

.

Já na Geometria Riemanniana (dos

espaços curvos) a soma pode ser maior ou menor do que 180

°

.

Se a curvatura é positiva temos a soma dos ângulos maior do que 180

°

.

CONCEITOS DE RELATIVIDADE

O espaço curvo

Já se a curvatura é negativa temos a

(99)

O espaço-tempo é um espaço de Riemann de 4 dimensões e uma métrica.

Métrica é a grandeza

utilizada para medir intervalos no espaço-tempo.

Partículas movem-se em geodésicas no espaço-tempo.

Apenas a título de

curiosidade, mostramos ao lado a Equação de Einstein para a Relatividade Geral.

ν

µ

µν

dx

g

ds

2

=

⋅

ik ik ik ik

T

c

g

R

g

R

−

⋅

−

Λ

⋅

=

₂

⋅

2

1 κ

CONCEITOS DE RELATIVIDADE

8. A RELATIVIDADE GERAL A geometria do espaço-tempo

(100)

Descreveremos alguns dos efeitos já observados no Universo, que são decorrentes da da Relatividade Geral.

A curvatura do espaço-tempo

distorce o caminho dos raios de luz.

CONCEITOS DE RELATIVIDADE

Efeitos da Relatividade Geral observados

O primeiro destes efeitos é

conhecido como lentes gravitacionais.

Como consequência, a luz pode ser focalizada a partir dos efeitos de corpos muito massivos

(101)

Outro efeito bastante conhecido são os buracos negros. A Relatividade Geral prevê que o

campo gravitacional de um buraco

negro gere curvaturas acentuadas no espaço-tempo.

CONCEITOS DE RELATIVIDADE

(102)

Um efeito associado aos buracos negros é a chamada radiação de Hawking.

Esta radiação térmica é aquela emitida pelos buracos negros devido a flutuações quânticas.

CONCEITOS DE RELATIVIDADE

(103)

As ondas gravitacionais são aquelas que transmitem energia por meio da deformação do espaço-tempo.

CONCEITOS DE RELATIVIDADE

Efeitos da Relatividade Geral observados

Outro efeito da Relatividade Geral são as ondas

(104)

Apenas a Relatividade Geral explica os resultados obtidos que indicam que o Universo está em expansão.

Uma consequência do Universo em expansão é a existência do Big-Bang.

CONCEITOS DE RELATIVIDADE