É trabalho pioneiro.
Prestação de serviços com tradição de confiabilidade.
Construtivo, procura colaborar com as Bancas Examinadoras
em sua tarefa de não cometer injustiças.
Didático, mais do que um simples gabarito, auxilia o
estu-dante no processo de aprendizagem, graças a seu formato:
reprodução de cada questão, seguida da resolução elaborada
pelos professores do Anglo.
No final, um comentário sobre as disciplinas.
Seleciona 100 alunos para o curso de Administração de
Em-presas e 50 alunos para o curso de Economia, ambos diurnos
e com duração de 4 anos.
São duas provas em um único dia:
• A primeira, iniciada às 8h, consta de questões objetivas de
Análise Quantitativa Objetiva (20), Análise Verbal (15),
Língua Inglesa (10) e Conhecimentos Gerais — História e
Geografia (15). Cada questão vale 1 ponto.
• A segunda, iniciada às 14h, consta de 10 questões de
Aná-lise Quantitativa Discursiva, valendo 1,5 pontos cada, e de
uma Redação, que vale 15 pontos.
Pode ser utilizada um décimo da nota objetiva do ENEM.
Serão desclassificados os candidatos que não obtiverem
pon-tuação em qualquer das disciplinas ou cujo total de pontos
seja menor que 40.
o
anglo
resolve
as
provas da
Ibmec
novembro
de 2006
Considere a função f(x) = , em que p é uma constante real.
a) Desenhe, no plano cartesiano dado abaixo, o gráfico de f(x) para o caso em que p = 3.
b) Determine p de modo que o máximo valor atingido pela função f(x) seja igual a 5.
y 9 8 7 6 5 4 3 2 1 –1 0 –2 –3 – 4 –5 –6 –7 –8 –9 –1 –2 –3 – 4 –5 –6 1 2 3 4 5 6 x 9 – x2, se x p 3 – x, se x p Questão 1
▼
▼
A
A
A
III
LLL
Á
Á
Á
N
N
N
S
S
S
E
E
E
Q
Q
Q
U
U
U
A
A
A
N
N
N
T
T
T
III
A
A
A
TTTA
A
ATTT V
III
V
V
C
C
C
III
G
G
G
Ó
Ó
Ó
E
E
E
LLL
A
A
A
D
D
D
III
S
S
S
C
C
C
U
U
U
R
R
R
SSS VVV
III
A
A
A
a) O gráfico de f(x) =
9 – x2, se x 3
é: 3 – x, se x 3
b) Dos esboços das curvas y = 9 – x2, com x p, e y = 3 – x, com x p, podemos concluir que o valor máximo
de f(x) é igual a 5 se, e somente se, p = – 2.
Resposta: – 2 Resolução 9 8 7 6 5 4 3 2 1 –1 0 –2 –3 – 4 –5 –6 –7 –8 –9 –1 –2 –3 – 4 –5 –6 1 2 3 4 5 6 x y 9 8 7 6 5 4 3 2 1 –1 0 –2 –3 – 4 –5 –6 –7 –8 –9 –1 –2 –3 – 4 –5 –6 1 2 3 4 5 6 x 123
Considere um paralelepípedo reto retângulo cujo volume é dado, em termos de um parâmetro real x, por p(x) = x3– 19x2+ 104x – 140.
Suponha que as medidas dos lados da base e da altura do paralelepípedo sejam dadas por três fatores do primeiro grau de p(x), da forma
f1(x) = x – b1, f2(x) = x – b2e f3(x) = x – b3, em que b1, b2e b3são constantes positivas.
a) Sabendo que p(x) admite três raízes inteiras positivas, determine os fatores f1(x), f2(x) e f3(x). b) Determine o domínio de p(x).
c) Calcule o valor de x para o qual o volume do paralelepípedo é igual a 36, sabendo que, neste caso, f1(x), f2(x) e f3(x) serão inteiros.
a) Se a equação p(x) = 0 admite uma raiz inteira, então esta é um divisor de 140. Por tentativa, podemos concluir que 2 é uma raiz:
1 –19 104 140 2 1 –17 70 0 Portanto p(x) = (x – 2) (x2– 17x + 70).
Como as raízes de x2– 17x + 70 = 0 são os números 7 e 10, temos
p(x) = (x – 2) (x – 7) (x – 10)
Resposta: x – 2, x – 7 e x – 10
b) De x – 2 0 e x – 7 0 e x – 10 0, temos x 2 e x 7 e x 10. Logo, o domínio de p(x) é {x ∈IR: x 10}.
Resposta: {x ∈IR: x 10}
c) Temos que (x – 2) (x – 7) (x – 10) = 36, em que x é um inteiro maior que 10. Nessas condições, x – 2 8 e x – 2 é um divisor de 36.
x – 2 x – 7 Observação 9 4
12 7 7 não é divisor de 36. 18 13 13 não é divisor de 36. 36 31 31 não é divisor de 36.
Portanto devemos ter x – 2 = 9, x – 7 = 4 e x – 10 = 1. Logo, x = 11
Resposta: 11
No plano cartesiano, a reta r passa pelos pontos A = (0, k) e , sendo k um número real positivo. A reta s passa pelo ponto A e é perpendicular à reta r.
a) Escreva, em função de k, as equações das retas r e s.
b) Seja C o ponto onde a reta s intercepta o eixo das abscissas. Determine o valor de k para que a área do triângulo ABC seja igual a 5.
B k = 1 0 , Questão 3
▼
▼
Resolução▼
a) Sejam:
mr… coeficiente angular da reta r; ms… coeficiente angular da reta s.
Como a reta r passa pelos pontos A = (0, k) e B = sendo k real e positivo, temos:
Como s ⊥r, temos: ms⋅mr= –1 ( II )
De (I) e (II), resulta que ms⋅(– k2) = –1, ou seja, m s=
Portanto, uma equação da reta r é y – k = –k2(x – 0), ou seja, k2x + y – k = 0, e uma equação da reta s é
y – k = ⋅(x – 0), ou seja, x – y + k = 0.
Resposta: uma equação da reta r é k2x + y – k = 0, e uma equação da reta s é x – y + k = 0.
b) Do item anterior, uma equação da reta s é x – y + k = 0. Fazendo y = 0, temos:
x – 0 + k = 0 ∴ x = – k3 ∴ C(– k3, 0)
Logo, temos a figura:
Do enunciado, devemos ter:
ou (não convém) Resposta: 3 k =–49 =– 3 1 2 1 5 9 3 4 ⋅ + ⋅ ∴ = = k k k k k =49= 3 y x B A C – k3 1 k k k3 1 k + 1 2 k 1 2 k 1 2 k 1 2 k 1 2 k 1 2 k . m k k k I r = = – – – ( ) 0 0 1 2 1 0 k, ,
As equações abaixo devem ser resolvidas em ; i representa a unidade imaginária, isto é, i2= – 1.
a) Resolva a equação z2– 9iz – 8 = 0.
b) Resolva a equação w6– 9iw3– 8 = 0.
a) De z2– 9iz – 8 = 0, temos z2– 9i + 8i2= 0.
A soma das raízes é 9i, e o produto delas é 8i2. Logo, as raízes são i e 8i.
Resposta: {i, 8i}
b) De w6– 9iw3– 8 = 0 e w3= z, resulta a equação z2– 9iz – 8 = 0, resolvida no item anterior.
De w3= i, temos: w3– i = 0 w3+ i3= 0 (w + i) (w2– iw + i2) = 0 De w + i = 0, temos w = – i. (1) O discriminante de w2– iw + i2é ∆= (– i)2– 4i2= – 3i2= 3. Logo, . (2) De w3= 8i, temos: w3– 8i = 0 w3+ (2i)3= 0 (w + 2i)(w2– 2iw + 4i2) = 0 De w + 2i = 0, temos w = – 2i. (3) O discriminante de w2– 2iw + 4i2é
∆= (– 2i)2– 4(4i2) = – 12i2= 12.
Logo, (4)
De (1), (2), (3) e (4), temos as 6 raízes da equação w6– 9iw3– 8 = 0.
Resposta:
Uma caçamba para recolher entulho, sem tampa, tem a forma de um prisma reto, conforme mostra a figura, em que o quadrilátero ABCD é um trapézio isósceles.
As dimensões da caçamba, dadas em metros, são AB = 2, CD = 3,2, BC = 1 e CG = 1,5. a) Calcule a capacidade dessa caçamba, em metros cúbicos.
b) As chapas de aço que compõem a caçamba devem ser protegidas com tinta anti-corrosiva, tanto na parte interna quanto na parte externa. Calcule a área a ser pintada, em metros quadrados.
H D A E B F C G Questão 5
▼
▼
– ,i 3 i , – i, – ,i i, – i 2 2 3 2 2 2 3 3 + + + + w= 2i±2 3 = ±i 2 3. w=i± 3 2 Resolução▼
Do enunciado temos a figura, cotada em m:
a) Aplicando o teorema de Pitágoras ao triângulo retângulo AID, temos: (AI)2+ (0,6)2= 12 ∴ AI = BJ = 0,8
Logo, a área STdo trapézio ABCD, em m2, é tal que:
Portanto, a capacidade pedida Cpé tal que: CP= ST⋅BF ∴ CP= 2,08 ⋅1,5 ∴ CP= 3,12
Resposta: 3,12
b) A área pedida SPé tal que:
SP= 2 ⋅(2 ⋅1,5 + 2 ⋅1,5 ⋅1 + 2 ⋅2,08) ∴ SP= 20,32
Resposta: 20,32
Dado x ∈[–π; π], sejam g(x) = 3 + cos (4x) e h(x) = 2 – sen (x). a) Resolva a equação produto (g(x) – 4)(h(x) – 1) = 0.
b) Determine os valores de x para os quais a função assume seu valor máximo.
a) Substituindo-se (cos 4x – 1) (1 – sen x) = 0 sen x = 1 ∴ x = + h2π, h ∈ ou cos 4x = 1 ∴ 4x = h2π, h ∈ ∴ x = h , h ∈ No intervalo [–π, π] temos: x = –πou x = – ou x = 0 ou x = ou x = π Resposta: S = {–π, – , 0, , π}
b) Como g(x) e h(x) são positivos, para f(x) ser máximo, devemos encontrar x que torne g(x) máximo e h(x) mínimo.
• g(x) é máximo quando cos 4x = 1, isto é, x ∈{–π, – , 0, , π} • h(x) é mínimo quando sen x = 1, isto é, x = .
Assim, temos x = . Resposta: π 2 π 2 π 2 π 2 π 2 π 2 π 2 π 2 π 2 π 2 π 2 Resolução f(x) g(x) h(x) = Questão 6
▼
▼
ST= (CD+AB)⋅AI ∴ ST =( , + )⋅ , ∴ ST= , 2 3 2 2 0 8 2 2 08 H D A E B F C G I J 0,6 0,6 2 2 1,5 1 1A fase final de um processo de seleção de gerentes e supervisores para uma empresa é constituída de uma en-trevista individual, com duração de uma hora para os candidatos a gerente e 30 minutos para os candidatos a su-pervisor. Nessa etapa, restam 10 candidatos, sendo 5 para cada um dos cargos. Todas as entrevistas serão realizadas no mesmo dia, sendo chamado um candidato por vez, e não havendo intervalo entre duas entrevistas consecutivas. A ordem de chamada dos candidatos será definida por sorteio, e a primeira entrevista ocorrerá às 10h.
Márcia, uma das candidatas ao cargo de gerente, está preocupada, pois tem um compromisso nesse dia, precisando sair antes do término da última entrevista.
a) Calcule a probabilidade de que a entrevista de Márcia termine até às 11 h 30 min. b) Calcule a probabilidade de que a entrevista de Márcia termine até às 12 h.
a) Para que Márcia saia até 11 h 30 min, temos:
1ª- entrevista ou 1ª- entrevista e 2ª- entrevista (Márcia) (ser supervisor) (Márcia)
+ ⋅
Resposta:
b) Para sair até às 12 h, além dos casos do item a, temos:
1ª- entrevista e 2ª- entrevista ou 1ª- entrevista e 2ª- entrevista e 3ª- entrevista (ser gerente (Márcia) (ser supervisor) (ser supervisor) (Márcia) não Márcia)
⋅ + ⋅ ⋅
Assim, somando com os casos do item a, temos:
Resposta:
Se os eixos de uma elipse medem a e b, conforme a figura abaixo, então a área da elipse vale
a) Na figura abaixo, a elipse tangencia as duas circunferências. A maior circunferência tem raio 4 e a menor tem raio 2. Calcule a área da região sombreada.
a b A= πab 4 . Questão 8
▼
▼
41 180 7 45 4 90 5 180 28 8 5 180 41 180 + + = + + = 1 8 4 9 5 10 1 9 4 10 7 45 = 7 45 1 9 5 10 1 10 Resolução▼
a circunferência maior tem novamente raio 4, a segunda maior raio 2, a terceira raio 1, etc. As elipses sempre tangenciam duas circunferências consecutivas. Calcule o limite da soma das áreas das regiões sombreadas.
a) Do enunciado, temos a figura:
A área S da região sombreada é dada pela diferença entre a área do círculo de raio 4 e a área da elipse ins-crita a esse círculo, mais a área do círculo de raio 2. Logo,
∴ S = 12π
Resposta: 12π
b) O limite da soma das áreas das regiões sombreadas é a soma dos termos da P.G. infinita, na qual seus termos a1, a2, … são dados pela diferença entre as áreas de um círculo e de sua respectiva elipse inscrita. Temos:
. . .
A soma pedida S∞é tal que:
Resposta: 32 3 π S∞= 8 ∴ S∞= 1 1 4 32 3 π π – a3 12 2 1 4 2 =π⋅ – π⋅ ⋅ = π a2 22 4 2 4 2 =π⋅ – π⋅ ⋅ = π a1 42 8 4 4 8 =π⋅ – π⋅ ⋅ = π S =π⋅4 π⋅ ⋅8 4 +π⋅ 4 2 2 – 2 4 8 Resolução
Na figura abaixo, as semi-circunferências têm como suporte as circunferências de equações (x + 4)2+ y2= 25 e (x – 4)2+ y2= 25,
e os segmentos AC e BC estão sobre retas que tangenciam estas circunferências.
a) Determine as equações das retas que suportam os segmentos AC e BC . b) Calcule a área da região sombreada.
a) Na figura, A é o ponto de abscissa – 8 pertencente à circunferência de equação (x + 4)2+ y2= 25. Temos:
(– 8 + 4)2+ y2= 25
∴ 16 + y2= 25
y = 3 (não convém)
∴ y2= 9 ∴ A(– 8, – 3)
y = –3
D é o ponto onde a circunferência de equação (x + 4)2+ y2= 25 intercepta o eixo y. Logo, fazendo x = 0,
temos: (0 + 4)2+ y2= 25 ∴ 16 + y2= 25 y = 3 ∴ y2= 9 ∴ D(0, 3) y = –3 (não convém) Resolução y 8 6 4 2 –2 – 4 –6 – 8 –10 –12 –14 –16 –6 x –12 –10 –8 – 4 – 2 2 4 6 8 10 12 D B C A
▼
As retas AD e AC são perpendiculares. O coeficiente angular de AD é , ou seja, Logo, o coeficiente
angular de AC é ←→
Assim, uma equação deAC é dada por:←→
y – (– 3) = (x – (– 8)) ∴ 4x + 3y + 41 = 0 Analogamente, B é o ponto (8, –3)
As retas BD e ←→ BC são perpendiculares. O coeficiente angular de ←→ BD é ←→ , ou seja, – Logo, o coeficiente angular de BC é ←→
Assim, uma equação de BC é dada por:←→ y – (– 3) = (x – 8) ∴ 4x – 3y – 41 = 0.
Resposta: AC : 4x + 3y + 41 = 0←→
←→
BC : 4x – 3y – 41 = 0
b) Do enunciado e do item anterior, temos a figura:
y 8 6 4 2 –2 – 4 –6 – 8 –10 –12 –14 –16 –6 x –12 –10 –8 – 4 – 2 2 4 6 8 10 12 D B C A E 4 3 4 3. 3 4. – – – 3 3 8 0 –4 3 – .4 3 4. –8–0
4 ⋅0 – 3y – 41 = 0 ∴ ∴
S1: Área do triângulo BCD ∴
S2: Área de um semicírculo de raio 5 ∴
Da figura, a área S pedida é tal que:
Resposta:
Um artesão resolveu criar um calendário decorativo utilizando sólidos geométricos. Para representar os dias, serão utilizados dois cubos, sendo que cada face de cada cubo deverá ser marcada com um algarismo de 0 a 9. Os dois cubos serão posicionados lado a lado e o par de números que ficar virado para frente indicará o dia do mês. Dessa forma, o artesão pretende marcar as faces dos cubos de modo que se possam formar todas as possibilidades abaixo.
Observação: a fonte utilizada pelo artesão permite que o algarismo 6 seja identico ao algarismo 9 invertido. a) Quais algarismos devem ser marcados igualmente nos dois cubos? Justifique sua resposta.
b) Como devem ser marcadas as faces de cada um dos cubos de modo a formar todos os dias entre 01 e 31? Utilize a tabela abaixo para indicar sua solução.
a) Os algarismos que devem ser marcados igualmente nos dois dados são 0, 1 e 2. • Algarismo 1: para formarmos o dia 11.
• Algarismo 2: para formarmos o dia 22.
• Algarismo 0: para formarmos os dias de 01 a 09.
Se marcássemos o 0 em um único cubo, os algarismos 3, 4, 5, 6, 7 e 8 não caberiam todos no outro cubo, pois este tem 6 faces sendo que duas já estão ocupadas pelo 1 e pelo 2.
Resposta: 0,1 e 2.
b) Colocando 0, 1 e 2 nos dois cubos, restam 6 faces, três em cada cubo, em que os algarismos 3, 4, 5, 6, 7 e 8 podem ser marcados.
Uma solução possível é:
Lados do cubo 1 0 1 2 3 4 5 Lados do cubo 2 0 1 2 6 7 8 Resolução Lados do cubo Lados do cubo 0 1 0 2 . . . 3 0 3 1 Questão 10
▼
▼
25 400 3 π+ S=(
S +S)
S= + S = + ∴ ∴ 2 2 200 3 25 2 25 400 3 1 2 π π S2 S 2 2 5 2 25 2 = π ∴ = π S1 CD BE S1 S1 2 41 3 3 8 2 200 3 = = + = ⋅ ∴ ⋅ ∴ C 0 41 3 , – y = –41 3Considere o trecho abaixo.
“Pertencer não vem apenas de ser fraca e precisar unir-se a algo ou a alguém mais forte. Muitas vezes a vontade intensa de pertencer vem em mim de minha própria força — eu quero pertencer para que minha força não seja inútil e fortifique uma pessoa e uma coisa.”
(Clarice Lispector. A descoberta do mundo. Rio de Janeiro: Rocco, 1999; páginas 110 e 111) Desenvolva uma dissertação em prosa sobre o tema:
“Pertencer: sinal de força ou de fraqueza?”.
Conforme indicado nas folhas de rascunho e de redação, utilize “Pertencer” como título de sua dissertação.
Análise da proposta
Com base num fragmento do conto A descoberta do mundo, de Clarice Lispector, foi proposta a elabo-ração de um texto dissertativo sobre o tema Pertencer: sinal de força ou de fraqueza? Considerando-se a abrangência semântica do termo pertencer, seriam possíveis múltiplas abordagens, tratando, por exemplo, de relacionamentos amorosos, trabalho em equipe, posicionamento político, inclinação religiosa, entre outras.
É necessário também levar em conta que a Banca direcionou explicitamente duas linhas argumentativas: per-tencer pode significar uma atitude de coragem ou de submissão. O próprio fragmento, no entanto, propõe uma relativização das duas posturas, por meio de marcadores de pressuposição, como “apenas” e “muitas vezes”: o mesmo ato de pertencer pode conter em si traços de força e de fraqueza.
Encaminhamentos possíveis
• Caso o candidato optasse pela idéia de que pertencer é se adequar a determinado padrão de conduta e/ou de pensamento proposto por um grupo ou pela sociedade, ficaria explícita a fraqueza como orientação ar-gumentativa do seu texto. Para essa abordagem, as tribos urbanas e a influência da mídia sobre o compor-tamento (como o padrão de beleza imposto) seriam exemplos válidos dessa anulação da individualidade. • Se o enunciador preferisse a associação entre o pertencer e a idéia de força, poderia lembrar que a
neces-sidade de participar e pertencer é inerente ao ser humano. É ilusório pensar que podemos viver sem estar em relação com o outro. Logicamente, o pertencer pode ser “destrutivo” (caso signifique uma imposição dos valores de quem tem mais poder), mas, como “via de mão dupla”, na qual haja efetivamente uma rela-ção de troca em benefício de uma coletividade, só pode ser compreendido como positivo. Um exemplo disso é o Terceiro Setor.
Observação: É sempre bom lembrar a importância dos contradiscursos implicados no tema, já que as ressalvas
são necessárias para conferir maior peso argumentativo à discussão.
O
O
O
R
R
R
E
E
E
D
D
D
A
A
AÇ
Ç
Ç
Ã
Ã
Ã
Prova de bom nível, porém pouco abrangente. Algumas questões foram trabalhosas e certamente to-maram muito tempo do candidato, o que pode ter comprometido a resolução das demais questões.
Matemática
