Departamento de Engenharia Eletrônica. Universidade Federal de Minas Gerais

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C ÁLCULO MENOS CONSERVADOR DO NÍVEL DE ATENUA ¸C ÃO DE DIST ÚRBIOS H∞ DE SISTEMAS INCERTOS SUJEITOS A RETARDO NO TEMPO

Eduardo N. Gon¸calves∗_{, Cl´}_{audio D. Campos}†_{, Petr Ya. Ekel}‡_{, Reinaldo M. Palhares}§_,

Ricardo H. C. Takahashi¶, Renato C. Mesquitak

∗_{Departamento de Engenharia El´}_etrica

Centro Federal de Educa¸c˜ao Tecnol´ogica de Minas Gerais Av. Amazonas 7675, 31510-470, Belo Horizonte - MG - Brasil

†_{Departamento de Engenharia Eletrˆ}_{onica e de Telecomunica¸c˜}_ao

Pontif´ıcia Universidade Cat´olica de Minas Gerias

Av. Dom Jos´e Gaspar, 500 – 30535-610, Belo Horizonte - MG - Brasil

‡_{Programa de P´}_{os-Gradua¸c˜}_{ao em Engenharia El´}_etrica

Pontif´ıcia Universidade Cat´olica de Minas Gerias

Av. Dom Jos´e Gaspar, 500 – 30535-610, Belo Horizonte - MG - Brasil

§_{Departamento de Engenharia Eletrˆ}_onica

Universidade Federal de Minas Gerais

Av. Antˆonio Carlos 6627 - 31270-010, Belo Horizonte - MG - Brasil

¶_{Departamento de Matem´}_atica

k_{Departamento de Engenharia El´}_etrica

Emails: eduardong@des.cefetmg.br, campos@pucminas.br, ekel@pucminas.br, palhares@cpdee.ufmg.br, rtakahashi@ufmg.br, renato@cpdee.ufmg.br

Abstract— This paper presents a less conservative approach, based on a branch-and-bound algorithm, for the determination of the H∞disturbance attenuation level of linear systems subjected to polytopic uncertainties

and time-delay. The lower bound function is defined as the worst case of H∞ norm calculated in the vertices

of the polytope which describes the uncertainties of the system and the upper bound function is defined as the guaranteed H∞ disturbance attenuation level computed for all the uncertain polytope. The difference between

the upper and lower functions converges to zero as the initial polytope is split in smaller polytopes resulting in the exact H∞cost for the whole initial polytope. Its is also presented an algorithm to implement d−dimensional

simplex subdivision to be used in the branch-and-bound algorithm.

Keywords— H∞costs, polytopic model, time-delay branch-and-bound algorithm, simplex subdivision.

Resumo— Este artigo apresenta um método de cálculo menos conservador, baseado em um algoritmo branch-and-bound, para o n´ıvel de atenua¸cão de distúrbios H∞ de sistemas lineares sujeitos a incertezas politópicas

e retardo no tempo. A fun¸cão limite inferior é definida como o pior caso do n´ıvel assegurado de atenua¸cão de distúrbios H∞calculado nos vértices do politopo que descreve as incertezas do sistema e a fun¸cão limite superior

´

e definida como o n´ıvel assegurado de atenua¸c˜ao de dist´urbios H∞calculado para todo o dom´ınio de incertezas

do politopo. A diferen¸ca entre as fun¸cões limites inferior e superior converge para zero a medida que o politopo inicial é subdivido em politopos menores, resultando no valor exato para o n´ıvel de atenua¸cão de distúrbios H∞para todo o politopo inicial. Também é apresentado um algoritmo para implementar subdivisão de simplex

d−dimensional que ser´a usado no algoritmo branch-and-bound.

Keywords— custos H2e H∞, modelo polit´opico, algoritmo branch-and-bound, subdivis˜ao de simplex.

1 Introdu¸c˜ao e Motiva¸c˜ao

O problema de análise de estabilidade e desem-penho de sistemas lineares sujeitos a incertezas paramétricas e retardo no tempo tem sido tema de grande interesse na comunidade de controle, tanto no meio acadêmico, quanto no meio indus-trial. Diversas abordagens foram propostas para tratar este problema e estão dispon´ıveis na liter-atura. No geral, as abordagens mais recentes e que se mostram mais eficientes, têm sido

formu-ladas como problemas de otimiza¸c˜ao ou factibili-dade descritos em termos de desigualfactibili-dades matri-ciais lineares LMIs (Linear Matrix Inequalities).

Embora as abordagens para análise de es-tabilidade e desempenho baseadas em LMIs se mostrem bastante flex´ıveis, elas não estão livres de limita¸cões, como por exemplo, a gera¸cão de re-sultados conservadores.

Este trabalho tem como objetivo apresentar uma t´ecnica de c´alculo menos conservadora para

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o n´ıvel de atenua¸c˜ao de dist´urbios H∞ que possa

ser usada como ferramenta de análise de desem-penho de sistemas dinâmicos sujeitos a incertezas e retardo no tempo, com a representa¸cão:

˙x(t) = Ax(t) + Adx(t − τ) + Ew(t)

z(t) = Cx(t) + F w(t) (1)

onde as matrizes A, Ad, E, C e F pertencem ao

politopo: T (α) = {(A, Ad, E, C, F ) = N X i=1 αi(Ai, . . . , Fi) , α ∈ Ω ) (2) sendo Ω , nα : αi≥ 0 , P N i=1αi= 1 o , N é o número de vértices do politopo e o vetor α =

α1 . . . αN

0

parametriza o politopo. A representa¸cão por incertezas politópicas pode ser obtida de um sistema com diferentes modelos para cada ponto de opera¸cão, de sis-temas não lineares, ou de modelos de incertezas dependente de parâmetros. No caso de sis-temas dependentes de parâmetros com dependên-cia afim de um vetor de parâmetros incertos p = [p1, p2, . . . , pd] ∈ Rd, com pi ∈ [p_i, pi], o modelo

de incertezas polit´opicas pode ser obtido dos 2d

extremos da faixa de varia¸cão dos parâmetros. A estratégia proposta para o cálculo menos conservador do n´ıvel de atenua¸cão de distúrbios H∞ de sistemas lineares incertos e sujeitos a

re-tardo no tempo baseia-se no procedimento de an´alise de estabilidade e desempenho H∞

apre-sentado em (Palhares et al., 2003b) e no algoritmo and-bound. O uso do algoritmo branch-and-bound na área de controle robusto não é uma novidade, tendo sido utilizado como uma possibil-idade para reduzir o conservadorismo na análise de estabilidade robusta de sistemas lineares com parâmetros incertos reais invariantes no tempo (Balakrishnan et al., 1991). Será apresentado de forma detalhada uma implementa¸cão do algoritmo branch-and-bound onde a opera¸cão de subdivisão será baseada na triangula¸cão de Delaunay seguida de uma subdivisão orientada pelas arestas.

2 O Algoritmo Branch-and-Bound O algoritmo branch-and-bound (BnB) pode ser utilizado para encontrar o máximo global de uma fun¸cão f (p) : Rd _{→ R cujo dom´ınio é definido}

como um hiper-retˆangulo d-dimensional Pinit = [p₁, p1] × [p₂, p2] × . . . × [p_d, pd]

onde p_i e pi, i = 1, . . . , d, s˜ao os valores

ex-tremos dos elementos do vetor de parˆametros p = [p1, p2, . . . , pd], i.e., pi∈ [p_i, pi].

A seguinte descri¸c˜ao do algoritmo BnB ´e adaptada de Balakrishnan et al. (1991). Para um

hyper-retˆangulo P ⊆ Pinit, pode-se definir

Φmax(P) , max

p∈Pf (p) (3)

O algoritmo BnB calcula Φmax(Pinit) baseado

em duas fun¸c˜oes, Φlb(P) e Φub(P), definidas

so-bre {P : P ⊆ Pinit}. Estas duas fun¸c˜oes devem

satisfazer as seguintes condi¸c˜oes:

Φlb(P) ≤ Φmax(P) ≤ Φub(P) (4)

∀ > 0, ∃ δ > 0 tal que ∀ P ⊆ Pinit,

dim(P) ≤ δ ⇒ Φub(P) − Φlb(P) ≤ (5)

A condi¸c˜ao (4) estabelece que as fun¸c˜oes Φlb(P) e Φub(P) calculam os limites inferior e

su-perior de Φmax(P), respectivamente. A condi¸c˜ao

(5) estabelece que, a medida que o m´aximo com-primento das arestas de P, denotado por dim(P), tende a zero, a diferen¸ca entre os limites inferior e superior converge para zero.

O algoritmo BnB inicia pelo c´ al-culo de Φlb(Pinit) e Φub(Pinit). Se

(Φub(Pinit) − Φlb(Pinit))/Φlb(Pinit) ≤ ,

onde é uma precisão relativa pré-especificada, então o algoritmo finaliza. Se o critério de parada não é atingido, é necessário subdividir o hyper-retângulo Pinit em hyper-retângulos menores de

forma que Pinit = P1∪ P2∪ . . . ∪ PS, e calcular

Φlb(Pi) e Φub(Pi), i = 1, . . . , S. Ent˜ao

max

1≤i≤SΦlb(Pi) ≤ Φmax(Pinit) ≤ max1≤i≤SΦub(Pi)

fornece novos limites para Φmax(Pinit). Se a

di-feren¸ca relativa entre os novos limites é menor ou igual a , o algoritmo finaliza. Caso contrário, a parti¸cão de Pinité novamente refinada e novos

li-mites s˜ao calculados. O algoritmo BnB converge uma vez que dim(Pi), i = 1, . . . , S, tende para

zero e o hyper-retˆangulo tende para um ponto, fazendo com que Φub(Pinit) − Φlb(Pinit) tenda

para zero.

A vers˜ao do algoritmo BnB utilizada, adap-tada de Balakrishnan et al. (1991), ´e apresenadap-tada a seguir:

(3)

Algoritmo k ← 0; L0← {Pinit}; L0← Φlb(Pinit); U0← Φub(Pinit); enquanto (Uk− Lk)/Lk>

selecione P ∈ Lk tal que Φub(P) = Uk;

particione P em P1, . . . , PS

Lk+1← {Lk− P} ∪ {P1, . . . , PS};

Lk+1← maxP∈Lk+1Φlb(P);

Uk+1← maxP∈Lk+1Φub(P);

elimine todo P ∈ Lk+1 tal que

Φub(P) < Lk+1;

k ← k + 1; f im enquanto f im algoritmo

3 O Algoritmo BnB Aplicado ao C´alculo Menos Conservador do N´ıvel de

Atenua¸c˜ao de Dist´urbios H∞

Para aplicar o algoritmo BnB no c´alculo menos conservador do n´ıvel assegurado γa de

atenu-a¸cão de distúrbios H∞, é necessário encontrar

as fun¸c˜oes limite inferior Φlb(P) e limite superior

Φub(P) que satisfazem as condi¸c˜oes (4) e (5).

A fun¸cão limite inferior pode ser definida como o pior caso do n´ıvel assegurado de atenua¸cão de distúrbios H∞ calculado nos vértices do

poli-topo de matrizes em (2). Já a fun¸cão limite supe-rior pode ser definida como o n´ıvel assegurado de atenua¸cão de distúrbios H∞ calculado para todo

o dom´ınio de incertezas deste politopo.

Com base nos resultados apresentados em (Palhares et al., 2003b), pode-se definir os seguintes problemas de otimiza¸cão, para a deter-mina¸cão das fun¸cões limite inferior e superior:

                                           Φlb(P) = min 1≤i≤N √_γ i γi= min λ,X,H,Q,ZeV λ suj. a:      Υi XAdi− V XEi τ A¯ Ti Z C T i ∗ −Q 0 τ A¯ T diZ 0 ∗ ∗ −λI τ E¯ T i Z FiT ∗ ∗ ∗ −¯τZ 0 ∗ ∗ ∗ ∗ −I      ≺ 0 H V ∗ Z 0 Υi, XAi+ ATiX + ¯τ H + V + VT+ Q (6)                                      Φub(P) = q min λ,X,H,Q,ZeV λ suj. a:      Υi XAdi− V XEi ¯τ ATiZ CiT ∗ −Q 0 ¯τ AT diZ 0 ∗ ∗ −λI τ E¯ T i Z FiT ∗ ∗ ∗ −¯τZ 0 ∗ ∗ ∗ ∗ −I      ≺ 0 H V ∗ Z 0, ∀i = 1, . . . , N Υi, XAi+ ATiX + ¯τ H + V + VT + Q (7) A parti¸c˜ao de Pinit no algoritmo BnB pode

ser implementada por várias técnicas diferentes. Neste trabalho será utilizado o método de trian-gula¸cão de Delaunay. A triangula¸cão de Delaunay subdivide uma região 2-dimensional em triˆ angu-los (tetraedros no caso 3-dimensional ou simplexos no caso d-dimensional). A vantagem da triangu-la¸cão de Delaunay é que ela permite que o c´ al-culo menos conservador do n´ıvel de atenua¸cão de distúrbios H∞ baseado no algoritmo BnB possa

ser aplicado em sistemas incertos representados tanto por modelo com dependência afim de pa-râmetros, onde os vértices do politopo são os vér-tices do hyper-retângulo, como por modelo de in-certezas politópicas, onde os vértices podem es-tar em pontos quaisquer do espa¸co de parˆ ame-tros. Existe uma rela¸cão estreita entre a triangu-la¸cão de Delaunay de um conjunto de pontos S e a casca convexa da “lifting transformation” (de Berg et al., 1998) destes pontos em uma dimensão supe-rior. Deste modo, algoritmos para cálculo da casca convexa em espa¸cos (d+1)-dimensional podem ser usados para calcular a triangula¸cão de Delaunay no espa¸co d-dimensional. Isto é utilizado, por ex-emplo, pela fun¸cão delaunayn do MATLABrque é baseada no algoritmo Quickhull (Barber, 1996). Após a triangula¸cão inicial de Pinit, os

re-finamentos posteriores serão realizados por uma técnica de subdivsão de simplex orientada pelas arestas (“edgewise subdivision”) (Edelsbrunner and Grayson, 2000). As subdivisões são obtidas pela introdu¸cão de novos pontos sobre as arestas do simplex P que atende à condi¸cão Φub(P) = Uk.

Estes novos pontos fornecem as condi¸c˜oes para subdividir P em 2d _{novos simplexos. A}

subdi-vis˜ao 2d _{orientada pelas arestas de um triˆ}_angulo

´e mostrada na Fig. 1, onde Pij , (Pi + Pj)/2.

Existem várias vantagens em se aplicar a subdi-visão orientada pelas arestas (Edelsbrunner and Grayson, 2000) onde a mais importante aqui é que os novos simplexos terão o mesmo volume d-dimensional e forma similar ao simplex original. Observe que, diferente de outras aplica¸cões em En-genharia, tais como elementos finitos, não existe a preocupa¸cão em se garantir a consistência do particionamento pela não utiliza¸cão de vértices de

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um simplex sobre a aresta de outro. O algoritmo proposto para implementar a subdivisão de um simplex orientada pelas arestas será introduzido na próxima se¸cão.

P P P P P P 1 2 3 12 13 23

Figura 1: Particionamento de um triˆangulo por meio de uma subdivis˜ao orientada pelas arestas.

Pode ser interessante normalizar o hyper-retˆangulo Pinit transformando-o em um

hyper-cubo [0, 1]d_{. O vetor de parˆ}_{ametros p ∈ P}

init, com

pi ∈ [p_i, pi], pode ser normalizado para o novo

vetor de parˆametros ρ = [ρ1, . . . , ρd], ρi ∈ [0, 1],

atrav´es das rela¸c˜oes: ρi=

pi− p_i

pi− p_i ⇐⇒ p

i = p_i+ ρi(pi− p_i) (8)

4 Subdivis˜ao de Simplex Orientada pelas Arestas

O algoritmo proposto nesta se¸c˜ao implementa uma subdivis˜ao orientada pelas arestas de um sim-plex d-dimensional em kd _{simplexos, sendo}

inspi-rado em um esquema de cores (“color scheme”) (Edelsbrunner and Grayson, 2000). A mesma nota¸cão utilizada por Edelsbrunner and Grayson (2000) será adotada aqui. Considere um d-simplex σ definido como uma seqüência de d + 1 pontos, P0, P1, . . . , Pd, que são afim-independentes em Rd.

Considere a nota¸c˜ao

Pχ1χ2...χk = (Pχ1+ Pχ2+ . . . + Pχk)/k (9)

A subdivis˜ao orientada pelas arestas de σ em kd _{simplexos ser´a obtida a partir dos}

pon-tos P0, P1, . . . , Pd e de novos pontos Pχ1χ2...χk

como definidos em (9). Os pontos que definem cada novo simplex ser˜ao obtidos a partir de uma matriz χ ∈ Nk×(d+1)_{, denominada esquema de}

cores, cujos elementos s˜ao n´umeros inteiros na faixa [0,d], denominados cores, que representam os ´ındices dos pontos P0, P1, . . . , Pd(Edelsbrunner

and Grayson, 2000). A i-´esima coluna de χ definir´a os pontos Pχ0,iχ1,i...χk−1,ido novo simplex.

Para se adequar ao algoritmo que ser´a proposto,

os ´ındices das linhas de χ iniciam com 0 ao invés de 1 como definido por Edelsbrunner and Grayson (2000). As principais caracter´ısticas do esquema de cores são que os elementos aparecem em ordem não decrescente quando lidos como texto:

χ0,0≤ χ1,2 ≤ . . . ≤ χ1,d≤ χ2,0≤ . . . ≤ χk−1,d

e as colunas são organizadas de tal forma que, da coluna i − 1 para a próxima coluna i, apenas uma das cores muda por um incremento unitário. O problema tratado aqui é como obter os kd

esque-mas de cores para gerar a subdivisão completa do simplex. O algoritmo proposto a seguir irá realizar a tarefa de gerar automaticamente os esquemas de cores, tornando viável o uso do método descrito.

No algoritmo proposto, o n-´esimo esquema de cores, χn_{, n = 0, 1, . . . , k}d

− 1, ser´a criado linha por linha iniciando com χn

0,0 = 0. Para saber se

o próximo elemento da matriz será mantido ou incrementado em um, é necessário representar o ´ındice n do simplex χn _{no sistema numérico com}

base k:

n = xd−1×kd−1+xd−2×kd−2+. . .+x0×k0 (10)

Os valores dos d´ıgitos xd−i, i = 1, 2, . . . , d,

determinarão qual linha da coluna i − 1 será in-crementada em um para gerar a coluna i. Ao ter-minar uma linha, a próxima linha inicia com a ´ ul-tima cor da linha anterior, ou seja, χn

i,0 = χni−1,d.

O procedimento descrito ´e implementado pelo seguinte algoritmo:

Algoritmo

para n = 0, 1, . . . , kd_{− 1}

xd−1. . . x0← converta n para base k;

cor ← 0; para i = 0, 1, . . . , k − 1 χn i,0← cor; para j = 1, . . . , d se xd−j= i ent˜ao cor ← cor + 1; f im se χn i,j← cor; f im para f im para f im para f im algoritmo

Considere, por exemplo, a subdivis˜ao de um tetraedro em kd _{= 2}3 _{sub-tetraedros. O esquema}

de cores ´e formatado como χ =

χ0,0 χ0,1 χ0,2 χ0,3

χ1,0 χ1,1 χ1,2 χ1,3

Para calcular o sub-tetraedro com n = 6, χ6, a mudan¸ca das cores ser´a especificada escrevendo 6 na base 2, ou seja, x = 1102, o que significa que

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na linha 1, enquanto que na coluna 3 a mudan¸ca ocorrer´a na linha 0: χ = 0 0 0 1 1 2 3 3

Este esquema de cores mostra que o sub-tetraedro ´e definido pelo conjunto de pontos {P01, P02, P03, P13} como mostrado na Fig. 2,

onde o ponto Pχ0,iχ1,i ´e calculado por (9).

P P P P P P 1 2 3 12 13 23 P₀ P 03 P 02 P 01

Figura 2: Exemplo de sub-tetraedro gerado pela parti¸c˜ao de um tetraedro em 23 partes.

5 Exemplo Ilustrativo

Considere o seguinte sistema cont´ınuo, LIT, in-certo e sujeito a retardo constante no tempo no vetor de estados:

˙x(t) = Ax(t) + Adx(t − τ) + Bu(t) + Ew(t)

z(t) = Cx(t) (11) com as matrizes A = α 0 0 1 + α , Ad = −1 + β −1 0 −0.9 + β B = 0 1 , E = 1 1 , C = [ 0 1 ] |α| ≤ 0.2, |β| ≤ 0.2

Este sistema foi amplamente referenciado na literatura (de Souza and Li, 1999) (Fridman and Shaked, 2002) (Fridman and Shaked, 2003) (Gao and Wang, 2003) (Palhares et al., 2003b) (Palhares et al., 2003a).

Considerando o problema de se obter um con-trolador de realimenta¸cão de estados, K, que es-tabilize e garanta o menor n´ıvel de atenua¸cão de distúrbios H∞, para uma condi¸cão de máximo

tamanho de retardo no tempo admiss´ıvel, pode-se obter, atrav´es dos teoremas de s´ıntese de contro-ladores apresentados em (Palhares et al., 2003a) (Palhares et al., 2003b), o controlador

K = [ −17.626 −58.668 ]

que garante a estabilidade quadrática para o sis-tema (11), sujeito a retardos no tempo não su-periores a ¯τ = 1.1s e n´ıvel m´ınimo γ = 21.03 de atenua¸cão de distúrbios H∞. Além disto,

realimentando-se o sistema com o controlador sin-tetizado, pode-se assegurar, com as aplica¸cões das técnicas de análise de estabilidade e desempenho H∞, descritas nos referidos trabalhos, um n´ıvel

γa = 20.42 de atenua¸c˜ao de dist´urbios H∞.

Embora as técnicas apresentadas em (Palhares et al., 2003a) e (Palhares et al., 2003b), para análise e s´ıntese, apresentem as solu¸cões de melhores desempenho para este problema, é notório que ainda exista um grau de conser-vadorismo envolvido nas solu¸cões.

Aplicando o algoritmo BnB para c´alculo menos conservador do n´ıvel assegurado γade

aten-ua¸cão de distúrbios H∞, pode-se obter após 21

itera¸cões, adotando-se como critério de parada = 0.01, a convergência das fun¸cões limite infe-rior Φlb(P) e limite superior Φub(P) para 8.6964 e

8.6900, respectivamente. Assim, pode-se concluir que γa = 8.69 ´e o n´ıvel assegurado de atenua¸c˜ao

de dist´urbios H∞ v´alido para todo o dom´ınio de

incertezas do sistema (11).

A figura Fig. 3 exibe a evolu¸cão das fun¸cões limite inferior e superior, a A Fig. 4 mostra como o espa¸co de parâmetros foi subdividido após 21 itera¸cões e a Fig. 5 exibe a superf´ıcie gerada pelos valores calculados para o n´ıvel γ de atenua¸cão de distúrbios H∞, para os parâmetros incertos dos

sistema variando entre seus limites. Observa-se que o n´ıvel de atenua¸c˜ao de dist´urbios H∞, de

fato, nunca ultrapassa o valor m´aximo γ = 8.69.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 8 10 12 14 16 18 20 22

n´umero de itera¸c˜oes

fu n ¸c ˜oe s li m it e

Figura 3: Evolu¸c˜ao de Φlb(P) e Φub(P) nas

primeiras 21 itera¸cões no cálculo exato do n´ıvel assegurado de atenua¸cão de distúrbios H∞.

6 Agradecimentos

Este trabalho tem apoio parcial do CNPq e FAPEMIG.

7 Conclus˜oes

A metodologia proposta para o cálculo menos con-servador do n´ıvel de atenua¸cão de distúrbios H∞

de sistemas lineares sujeitos a incertezas polit´ opi-cas e retardo no tempo, baseada no algoritmo

(6)

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 α β

Figura 4: Parti¸cão de Pinit após 21 itera¸cões.

−0.2 −0.1 0 0.1 0.2 −0.2 −0.1 0 0.1 0.2 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 α β γ

Figura 5: Valores do n´ıvel γ de atenua¸c˜ao de dis-t´urbios H∞, calculados para α e β variando entre

seus valores extremos.

branch-and-bound, pode ser utilizada para anal-isar o desempenho de projetos de controladores ro-bustos. Para sistemas com pequeno número de pa-râmetros incertos e com pequena faixa de varia¸cão dos mesmos, o algoritmo converge rapidamente para o valor exato do custo sendo calculado. Para um número grande de parâmetros incertos e/ou grande sensibilidade do modelo à varia¸cão dos pa-râmetros, torna-se necessário considerar o custo computacional envolvido. Mesmo considerando os casos em que a convergência é mais lenta, o al-goritmo proposto deve ser considerado uma vez que o mesmo é aplicável em situa¸cões onde as for-mula¸cões por LMIs não são fact´ıveis e quando o são, podem produzir resultados demasiadamente conservadores. Além disso, este trabalho apre-senta um algoritmo eficiente e simples para subdi-visão de um d−simplex em kd_{simplexos que pode}

ser aplicado em conjunto com a triangula¸cão de Delaunay para implementar a opera¸cão de par-ti¸cão no algoritmo branch-and-bound que é

fre-q¨uentemente utilizado na ´area de controle robusto. A metodologia proposta pode ser facilmente esten-dida para tratar sistemas discretos.

Referˆencias

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Palhares, R. M., Campos, C. D., Leles, M. C. R., Ekel, P. Y. and D’Angelo, M. F. S. V. (2003a). Delay-dependent H∞control

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Palhares, R. M., Campos, C. D., Leles, M. C. R., Ekel, P. Y. and D’Angelo, M. F. S. V. (2003b). On Delay-dependent robust H∞

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