ANÁLISE DA GARANTIA PARA
EQUIPAMENTOS COMPLEXOS
SUJEITOS AO REPARO IMPERFEITO:
UMA ABORDAGEM VIA JOGO DE
STACKELBERG E PROCESSO DE
RENOVAÇÃO GENERALIZADO
Rafael Luiz Velozo Santiago (UFPE ) rafa.velozo@hotmail.com henrique pinto dos santos zaidan (UFPE ) zaian.1@hotmail.com Marcio Jose das Chagas Moura (UFPE ) marciocmoura@gmail.com Isis Didier Lins (UFPE ) isis.lins@gmail.com Enrique Lopez Droguett (UFPE ) ealopez@ufpe.br
Devido a necessidade de buscar novas soluções estratégicas para elevar o seu nível de competitividade, empresas tradicionalmente “manufatureiras” passaram a prover serviços pós-venda cada vez melhores para os clientes. Por conta disso a queestão da garantia de fábrica, especialmente para equipamentos de custo elevado, intensos em tecnologia e com longo ciclo de vida tem papel de destaque graças ao grande montante envolvido. Tal tema é bastante recorrente na literatura acadêmica de confiabilidade somada a teoria dos jogos, que vem para solucionar os objetivos dicotômicos das organizações, já que o cliente necessita de uma alta disponibilidade dos seus equipamentos, enquanto que o fabricante quer minimizar o custo do provisionamento do seu serviço. Sendo assim, o presente artigo busca propor um modelo matemático que trate o problema da garantia de equipamentos complexos à luz do jogo de Stackelberg em que o líder é o fabricante do equipamento, e o cliente (proprietário do equipamento), é o seguidor. Devido à complexidade inerente de equipamento complexos, as ações de manutenção normalmente recuperam o equipamento a uma condição intermediária entre o reparo perfeito e o reparo mínimo, caracterizando o reparo imperfeito. Então, para modelar essa questão do comportamento de falhas, é utilizado o Processo de Renovação Generalizado (PRG). Finalmente, será ilustrada a aplicabilidade do modelo desenvolvido para os dados reais de falha de um angiógrafo - aparelho hospitalar usado para diagnóstico e tratamento das doenças do coração.
XXXVI ENCONTRO NACIONAL DE ENGENHARIA DE PRODUCÃO
Contribuições da Engenharia de Produção paraMelhores Práticas de Gestão e Modernização do Brasil
XXXVI ENCONTRO NACIONAL DE ENGENHARIA DE PRODUCÃO
Contribuições da Engenharia de Produção paraMelhores Práticas de Gestão e Modernização do Brasil
João_Pessoa/PB, Brasil, de 03 a 06 de outubro de 2016. .
2
Palavras-chave: Jogo de Stackelberg; Processo de Renovação Generalizado; Garantia; Equipamentos Complexos.
XXXVI ENCONTRO NACIONAL DE ENGENHARIA DE PRODUCÃO
Contribuições da Engenharia de Produção paraMelhores Práticas de Gestão e Modernização do Brasil
João_Pessoa/PB, Brasil, de 03 a 06 de outubro de 2016. .
3
1. Introdução
Como parte integrante e fundamental no processo produtivo de qualquer indústria, a atividade de manutenção não ficou imune às mudanças decorrentes dos avanços tecnológicos das últimas décadas. Esse aumento de sofisticação dos dispositivos industriais acarretou na necessidade de especialização da manutenção. Desta forma, as organizações passaram a terceirizar tal atividade a fim de elevar a sua competitividade.
Na atual conjuntura, a provisão de serviços pós-venda cada vez melhores para os clientes passou a ser uma estratégia importante para empresas tradicionalmente “manufatureiras”. Assim, a questão da garantia dos seus produtos, especialmente os de custo elevado, intensos em tecnologia e com longo ciclo de vida tem papel de destaque graças ao grande montante envolvido. Segundo Bollapragada et al. (2007), contratos de garantia existem para dar a confiança de que o equipamento ficará funcionando perfeitamente durante o seu ciclo de vida ou duração do período da garantia. Normalmente, para equipamentos complexos, a manutenção destes sistemas é executada pelo próprio fabricante (Original Equipment Manufacturer – OEM), porém essa também pode ser provida por um agente externo.
Partindo desse contexto, o framework da terceirização da manutenção pode ser entendido pela interligação de 5 elementos: o cliente (proprietário do equipamento); o fabricante ou o agente externo (responsável pela manutenção); o equipamento passível de reparo; o tipo de reparo executado e a especificação do contrato de serviço.
Esse envolvimento empresarial entre diferentes organizações com objetivos distintos gera um conflito de interesses, já que o cliente necessita de uma alta disponibilidade dos seus equipamentos, enquanto que o fabricante quer minimizar o custo do provisionamento do seu serviço. Além disso, a análise da garantia é uma questão operacional de ampla importância para as duas partes, pois a ação de uma interfere no resultado da outra e vice-versa. Sendo assim, a teoria dos jogos surge como meio mais popular para modelar e solucionar essa dicotomia de objetivos (FORGÓ, F. SZÉP, J. & SZIDAROVSZKY, 1999).
A utilização da teoria dos jogos em problemas de garantia e contratos de manutenção já foi esmiuçada por vários autores como Murthy & Yeung (1995), Murthy & Asgharizadeh (1998), Asgharizadeh & Murthy (2000), Jackson & Pascual (2008), Esmaeili, Gamchi &
XXXVI ENCONTRO NACIONAL DE ENGENHARIA DE PRODUCÃO
Contribuições da Engenharia de Produção paraMelhores Práticas de Gestão e Modernização do Brasil
João_Pessoa/PB, Brasil, de 03 a 06 de outubro de 2016. .
4
Asgharizadeh (2014). Entretanto, esses trabalhos apresentam hipóteses restritivas e específicas ao estado do sistema após a ação de reparo. Isto é, ou considera-se que o sistema retorna à condição de novo (reparo perfeito), ou retorna a uma condição tão ruim quanto se apresentava antes da falha (reparo mínimo). Tais suposições são difíceis de se reproduzir na prática, principalmente para equipamentos mais complexos. Sendo assim, as ações de manutenção normalmente recuperam o equipamento a uma condição intermediária entre o reparo perfeito e o reparo mínimo, caracterizando o reparo imperfeito.
Portanto, a fim de fomentar a pesquisa sobre a manutenção de equipamentos complexos, o presente artigo se propõe a desenvolver um modelo matemático baseado no jogo de Stackelberg, no qual o OEM, no ato da venda do equipamento, oferece a opção da aquisição de garantia estendida por um preço fixo e a opção de executar os serviços de reparo sob demanda. Será considerado que o equipamento está sujeito a reparos imperfeitos e seu comportamento de falhas será modelado pelo Processo de Renovação Generalizado (PRG). Esta metodologia já foi aplicada por Pinto et al. (2015) ao abordar a negociação contratual usando o jogo de Stackelberg aplicado ao contexto hospitalar. O presente artigo vem diferenciar-se para generalizá-lo a um campo de pesquisa ainda mais amplo, o dos equipamentos intensivos em tecnologia como motores de locomotivas, motores de aeronaves e turbinas eólicas. Adicionalmente, um exemplo numérico será realizado, comparando-se as estratégias das organizações para as três diferentes alternativas de reparo – perfeito, imperfeito e mínimo.
O restante do artigo é estruturado da seguinte forma. A segunda seção apresentará o modelo proposto, as estratégias dos jogadores envolvidos e o equilíbrio do jogo. Na terceira seção, será exposto o PRG e como esse pode ser utilizado para calcular o número esperado de falhas do equipamento. Para contextualizar a problemática exposta, a análise dos dados de um equipamento complexo é feita na seção 4 para posterior aplicação no exemplo numérico da seção 5. Finalmente, na última seção serão apontadas as principais conclusões do trabalho.
2. Modelo proposto 2.1. Notação
Ak – Variável de decisão do cliente;
Cb – Preço de compra do equipamento;
Cr – Custo unitário do fabricante realizar o
reparo;
Cs – Preço unitário pago por manutenção;
Csmax – Disposição máxima de pagamento
do cliente por reparo;
L – Duração do contrato de garantia; N(L) – Número esperado de falhas do
equipamento ao longo do período [0, L);
P – Preço da garantia;
Pmax – Disposição máxima de pagamento do cliente pela garantia;
R – Receita por unidade de tempo; Uc – Utilidade esperada do cliente;
W – Lucro esperado do cliente derivado do
uso do equipamento;
Yi – Tempo em que o fabricante leva para a
execução do i–ésimo reparo após a falha;
τ – Tempo máximo estipulado para
retornar o equipamento ao estado operacional;
– Custo da penalidade associada a demora na conclusão da manutenção;
2.2. Descrição do problema
O fabricante pretende vender um equipamento ao cliente ao preço Cb. Se este for adquirido, o
proprietário recebe uma receita R por unidade de tempo enquanto o item estiver operando, e zero se estiver em estado de falha.
Paralelamente à venda do equipamento, o fabricante proporciona duas possibilidades para a execução da manutenção. Uma delas corresponde à adesão da garantia e a outra é por serviços sob demanda. Na primeira opção (A1), o fabricante efetuará todas as manutenções a um preço
fixo P, ao longo do período da garantia, e existirá uma penalidade associada ao tempo de reparo (Yi), caso esse venha a ser superior ao tempo τ predeterminado. A estrutura da
penalidade é a seguinte: (Yi ), sob a condição de Yi .
Já a segunda opção (A2) implica que o fabricante realizará o reparo a um preço unitário por
falha Cs e não existe penalidade associada ao tempo de serviço. A alternativa A0 implica que o
cliente não pretende adquirir o equipamento; essa situação ocorre quando os custos esperados se tornam superiores que as receitas previstas. Sendo assim, diante de tal trade off o cliente precisa decidir qual opção deve escolher para garantir a maximização do seu lucro.
2.2.1. Problema de decisão do cliente
A escolha do cliente, em relação às opções apresentadas, é fortemente influenciada pelo seu grau de aversão ao risco ( ), uma vez que as falhas ao longo da vida útil do equipamento são eventos aleatórios. Desse modo, o risco é captado por meio de uma função utilidade U(w), onde w é a riqueza associada.
A função utilidade empregada neste trabalho apresenta a seguinte configuração:
w e w U( ) 1 (1)
Quando o parâmetro tende a 0, o cliente é neutro ao risco, U(w)w. Já o nível de aversão ao risco aumenta conforme cresce (MURTHY & JACK, 2014). Sob as três opções apresentadas pelo fabricante (A0, A1, A2), o retorno esperado do cliente, denotado por W (Ak),
onde K varia entre 0 a 2, corresponde:
0 ) (A0 W (2) b N i i X E MULTA P C X R A W
] [ ~ ) ( 1 1 (3)XXXVI ENCONTRO NACIONAL DE ENGENHARIA DE PRODUCÃO
Contribuições da Engenharia de Produção paraMelhores Práticas de Gestão e Modernização do Brasil
João_Pessoa/PB, Brasil, de 03 a 06 de outubro de 2016. . 7 s b N i i X C N L C X R A W( ) ~ ( ) 1 2
, (4) onde b N i i P C Y MULTA E
1 } , 0 max{ ][ , a qual representa o valor esperado da
compensação financeira que retorna ao cliente devido a atrasos na execução do reparo. Esse montante é decorrente do delay em retornar o equipamento ao seu estado operacional. Note que X1 corresponde ao tempo da primeira falha, Xi+1 (i >1) denota o intervalo de tempo até a
falha subsequente do reparo i e X~ indica o tempo que o equipamento se encontra em estado de funcionamento no fim do período da garantia subsequente ao último reparo.
A maximização da utilidade esperada do cliente (Uc) está relacionada a 3 fatores: a
confiabilidade do equipamento, a opção ótima Ak escolhida pelo próprio cliente; e as
variáveis de decisão do fabricante, P e Cs. Logo, a utilidade esperada do cliente é expressa da
seguinte forma: Uc (Ak, P, Cs).
2.2.2. Problema de decisão do fabricante
É assumido que o fabricante seja neutro ao risco e o seu retorno está condicionado à ação ótima Ak do cliente. Portanto, o seu lucro pode ser expresso por (P,Cs;Ak), com K variando entre 0 a 2. Logo, as possibilidades de lucro são as seguintes:
0 ) ; , (P Cs A0 (5) ] [ ) ( ) ; , (PCs A1 CbPCrN L E MULTA (6) ) ( ) ( ) ; , (PCs A2 Cb Cs Cr N L (7)
Deste modo, o fabricante seleciona a combinação P e Cs que maximiza o seu lucro esperado,
considerando a ação ótima do cliente. 2.2.3. Hipóteses
I. Os tempos entre falhas são variáveis aleatórias com distribuição Weibull, conforme visto em Yañez et al. (2002);
II. As falhas do equipamento são críticas, isto é, inviabilizam a operacionalidade do equipamento e o fabricante apenas realiza a manutenção corretiva;
XXXVI ENCONTRO NACIONAL DE ENGENHARIA DE PRODUCÃO
Contribuições da Engenharia de Produção paraMelhores Práticas de Gestão e Modernização do Brasil
João_Pessoa/PB, Brasil, de 03 a 06 de outubro de 2016. .
8
IV. E(Yi)MTBF. Essa suposição implica que o tempo de reparo pode ser desprezado e
a receita gerada pelo equipamento ao longo de sua vida útil pode ser aproximada a RL;
V. O fabricante e o cliente apresentam informação completa em relação aos parâmetros do
modelo. Ou seja, o fabricante conhece o parâmetro de risco do cliente e o proprietário sabe a taxa de falha do equipamento.
2.2.4. Estrutura para Solução
Conforme mencionado anteriormente, esse problema representa uma adaptação do jogo de Stackelberg, o qual determina a quantidade máxima produzida para um mercado num duopólio, mostrando quais são as estratégias ótimas das empresas. Sua estrutura é dada de maneira sequencial (dois estágios) e as empresas apresentam distintos níveis de poder, isto é, uma organização é dominante/líder e a outra é representa a dominada/seguidora (GIBBONS, 1992).
O equilíbrio no jogo de Stackelberg é atingido quando a empresa líder previamente expande sua produção e garante lucros maiores, possui a “vantagem em se mover primeiro”. Desse modo, a empresa seguidora é forçada a reduzir a sua produção, uma vez que a dominante já produziu um grande volume. Se a seguidora optar por produzir um grande volume, assim como a líder, a quantidade produzida no mercado será elevada e implicará em prejuízo para ambas as organizações. Para resolver esse modelo é utilizado backward induction (indução reversa), isto é, determina-se primeiro a quantidade produzida pela seguidora e posteriormente a do líder Varian (2010). A figura 1 ilustra o desenvolvimento do jogo, adaptado ao contexto de contratos de garantia de equipamentos complexos, e todas possíveis decisões para o cliente e o fabricante.
Figura 1 – Árvore do jogo - Pmax eCsmax, representam o valor máximo que o cliente está disposto a pagar pelo
XXXVI ENCONTRO NACIONAL DE ENGENHARIA DE PRODUCÃO
Contribuições da Engenharia de Produção paraMelhores Práticas de Gestão e Modernização do Brasil
João_Pessoa/PB, Brasil, de 03 a 06 de outubro de 2016. .
9
Nessa conjuntura, o líder corresponde ao fabricante, pois esse geralmente apresenta uma equipe bem treinada para executar a manutenção, peças de reposição e domínio da tecnologia, o que lhe aufere um maior poder de negociação. Já o cliente, é o seguidor, dado que ele precisa do equipamento e não tem expertise na atividade da manutenção. O contratante decide inicialmente os preços P e Cs e o cliente decide posteriormente a decisão (Ak) a ser tomada.
2.2.5. Estratégia ótima para o cliente
A utilidade esperada do cliente Uc (Ak, P, Cs) é derivada a partir de duas variáveis aleatórias;
N(L) e Yi. Desse modo, para uma determinada opção Ak, a sua utilidade esperada
corresponderá a: Se Ak = A0, então: E(Uc) = 0; (8) Se Ak = A1, então: E(Uc) =
1
* [ ]
1 ( ) e E P C RL b ; (9) Se Ak =A2, então: E(Uc) =
1 ( )* [ ]
1 (RL Cb) (N(L))Cs e E e , (10) onde
} , 0 max{ ) ( 1]
[
L N i i Ye
E
E
.XXXVI ENCONTRO NACIONAL DE ENGENHARIA DE PRODUCÃO
Contribuições da Engenharia de Produção paraMelhores Práticas de Gestão e Modernização do Brasil
João_Pessoa/PB, Brasil, de 03 a 06 de outubro de 2016. .
10
Para o par (P, Cs) proposto pelo fabricante, o cliente irá comparar as três utilidades esperadas
indicará qual opção é a opção que maximiza o seu payoff. A figura 2 representa o plano P – Cs, nela a escolha ótima do consumidor é caracterizada por três regiões: 0, 1 e 2. Em
0
, Ak* = A0; em 1, Ak * = A1 e em 2, Ak * = A2. A curva , obtida por meio da
igualdade entre as utilidades Uc(A1) e Uc(A2), que separa 1 e 2 é dada por:
E e E P s C L N ln ln ( ( )) (11) 2.2.6. Estratégia ótima do fabricanteO cálculo das disposições máximas de pagamento do cliente é feito a partir das Equações 9 e 10. Para determinar o Pmax deve-se igualar a Equação 9 a zero e posteriormente isolar o P. Dessa forma, o valor máximo que o cliente está disposto a pagar pela garantia pode ser visualizado pela Equação 12.
] [ ln max RL C E P b (12)Quanto ao cálculo do Csmax, esse apresenta a mesma ideia do Pmax. É necessário igualar
(10) a zero. Entretanto, dada a impossibilidade de se isolar Cs, é empregado o método da
bisseção, descrito em Hillier & Lieberman (2006), para encontrar seu valor aproximado. A Equação 13 mostra a equação de equilíbrio do Csmax.
*
(
)
ln
E
e
CsmaxN(L)
RL
C
b(13) Portanto, o fabricante sempre colocará o preço da opção que lhe é de seu interesse como a máxima disposição de pagamento do hospital, enquanto para a opção não desejada, o preço será superior à disposição de pagamento da instituição de saúde. Caso Pmax retorne um lucro superior que Csmax o fabricante põe a seguinte estrutura: P = Pmax; Cs > Csmax e o cliente
XXXVI ENCONTRO NACIONAL DE ENGENHARIA DE PRODUCÃO
Contribuições da Engenharia de Produção paraMelhores Práticas de Gestão e Modernização do Brasil
João_Pessoa/PB, Brasil, de 03 a 06 de outubro de 2016. .
11
escolhe Ak* = A1. De maneira análoga, caso Csmax retorne um lucro maior que Pmax, o
fabricante põe a seguinte estrutura: P > Pmax; Cs = Csmax e o cliente escolhe Ak* = A2. No
caso em que: P > Pmax; Cs > Csmax, então o equipamento não é adquirido Ak* = A0.
Ao observar as estratégias do hospital e do fabricante é preciso saber o número esperado de falhas para a determinação dos seus respectivos payoffs. Caso o problema assumisse as hipóteses de reparos perfeito ou mínimo; N(L) poderia ser encontrado analiticamente, entretanto, uma vez que o problema é ambientado para dispositivos de grande complexidade, tais suposições não são factíveis. Por isso, o reparo imperfeito é empregado a fim de tornar a problemática mais realista.
Para melhor compreensão da solução desse problema é necessário descrever o processo estocástico que determina a estrutura falha - reparo do equipamento, o PRG, e como esse processo interfere nas variáveis aleatórias (N(L) e Yi), no valor da penalidade esperada, no
lucro esperado do fabricante e na utilidade esperada do cliente. 3. Processo de renovação generalizado
Tradicionalmente, os modelos mais comuns utilizados para analisar os sistemas reparáveis correspondem ao Processo de Renovação (PR) relacionado ao reparo perfeito e o Processo não Homogêneo de Poisson (PNHP) relacionado ao reparo mínimo. Tais métodos possuem hipóteses simplificadoras que podem distorcer a realidade encontrada em várias aplicações práticas.
Partindo das limitações decorrentes do PR e do PNHP, Kijima & Sumita (1986) desenvolveram um modelo probabilístico pertencente à classe de modelos baseados na idade virtual, que trata todos os tipos de ação de reparo, denominado Processo de Renovação Generalizado (PRG).
Sendo assim, é necessário definir o conceito de idade virtual para melhor entendimento do PRG. Suponha que Si, idade virtual do equipamento, é calculada após a i-ésima ação de
reparo. Antes da primeira falha, Si representava a idade real do sistema (ti), porém após a
ocorrência da falha, Si passa a representar a degradação na idade real do equipamento
derivada pela i-ésima ação de manutenção, essa redução está diretamente relacionada ao parâmetro de rejuvenescimento (q) que determina a qualidade do reparo. A figura 2 ilustra uma melhor compreensão entre a idade virtual e a idade real.
XXXVI ENCONTRO NACIONAL DE ENGENHARIA DE PRODUCÃO
Contribuições da Engenharia de Produção paraMelhores Práticas de Gestão e Modernização do Brasil
João_Pessoa/PB, Brasil, de 03 a 06 de outubro de 2016. .
12 Figura 3 – Relação entre idade virtual e a idade real
Fonte: Adaptado de Jacopino (2005).
Para essa situação descrita, os valores assumidos pelo q possibilitam a caracterização dos tipos de reparo:
• Quando q = 0, trata-se do reparo perfeito;
• Quando q = 1, trata-se do reparo mínimo;
• 0 < q < 1, trata-se de do reparo imperfeito.
Além dos valores acima que q pode assumir, também é possível admitir valores superiores a 1, representando o “reparo pior”, e valores inferiores a 0, correspondendo ao “reparo melhor”. O modelo proposto neste trabalho corresponde ao Kijima tipo I, esse considera o parâmetro de rejuvenescimento constante ao longo do tempo, logo: Si = q * ti, onde Si e ti são,
respectivamente, a idade virtual do sistema após o i–ésimo reparo e o tempo real da i–ésima falha. Nessa modelagem, a ação de reparo atua apenas nos danos durante o tempo entre (i-1) e a i–ésima falha, assim a idade virtual aumenta proporcionalmente ao longo do tempo.
4. Análise dos dados
A análise dos dados foi feita como descreve o fluxograma a seguir:
XXXVI ENCONTRO NACIONAL DE ENGENHARIA DE PRODUCÃO
Contribuições da Engenharia de Produção paraMelhores Práticas de Gestão e Modernização do Brasil
João_Pessoa/PB, Brasil, de 03 a 06 de outubro de 2016. .
13
Encontrar os estimadores do PRG é uma etapa determinante para a execução do modelo. Para isso, foram analisados os dados de falha de um Angiógrafo, aparelho hospitalar que serve para diagnóstico e tratamento das doenças do coração. Do banco de dados foram extraídas 38 falhas críticas, bem como os seus respectivos tempos de reparo. Tais informações foram empregadas na obtenção dos estimadores do PRG. O método para obtenção dos estimadores foi o método da máxima verossimilhança contido em (MONTGOMERY & RUNGER, 2009). Para encontrar as soluções para os EMV’s do PRG, o procedimento descrito por Yañez et al. (2002) foi empregado. Inicialmente números aleatórios uniformemente distribuídos foram gerados tanto para o parâmetro de forma (β) como para o parâmetro de rejuvenescimento (q). No caso do β, foram gerados valores entre 0 e 5, pois na maioria dos casos é esperado encontrar um resultado nesse intervalo. Já os valores gerados para q estiveram entre 0 e 1, dado que representam o reparo imperfeito. Por fim, o valor de α (parâmetro de escala) é expresso em função de β e q. As soluções encontradas para α, β e q foram, respectivamente: 1351.8, 1.658 e 0.097.
Para validar os estimadores foi necessário fazer uma simulação dos tempos de falha do equipamento. Os 38 primeiros tempos de falha foram simulados, incorporando os estimadores encontrados, seguindo o procedimento descrito por Yañez et al. (2002). Posteriormente esses tempos foram comparados com os dados de falha reais. A figura 5 mostra essa comparação. Observa-se então um bom ajuste das ocorrências simuladas ao longo da operação do equipamento, o que valida os estimadores encontrados.
XXXVI ENCONTRO NACIONAL DE ENGENHARIA DE PRODUCÃO
Contribuições da Engenharia de Produção paraMelhores Práticas de Gestão e Modernização do Brasil
João_Pessoa/PB, Brasil, de 03 a 06 de outubro de 2016. .
14 Figura 5 – Comparação dos dados de falha reais com os dados simulados
A figura 6 representa o procedimento para a reprodução número esperado de falhas N(L). É importante ressaltar que dois processos estocásticos diferentes regem o comportamento de falha-reparo do equipamento. O PRG modela o intervalo dos tempos entre falhas e o PHP (Processo Homogêneo de Poisson) modela os tempos de reparo. Então, para encontrar N(L) é necessário reproduzir esse processo alternado.
Figura 7 - Fluxograma descrevendo o algoritmo para estimar o número esperado de falhas (à direita), adaptado de Yañez et al (2002).
XXXVI ENCONTRO NACIONAL DE ENGENHARIA DE PRODUCÃO
Contribuições da Engenharia de Produção paraMelhores Práticas de Gestão e Modernização do Brasil
João_Pessoa/PB, Brasil, de 03 a 06 de outubro de 2016. .
15
4.4. Simulação da multa incorrida ao fabricante
Após encontrar o número esperado de falhas é necessário gerar os tempos de reparo (Yi).
Caso esse tempo exceda τ, deve-se guardar a diferença entre os tempos de Yi – τ, afim de se
obter o montante de horas que o fabricante será penalizado. Esses valores serão incorporados
em (6) e também serão usados para encontrar . Uma vez determinado deve-se
substituir seu respectivo valor em (12) para achar Pmax. O seguinte fluxograma ilustra o procedimento computacional descrito acima:
Figura 7 – Algoritmo para obtenção de . Para determinar o tempo médio em que τ é excedido deve-se tirar a média do vetor "Vetor_Horas_Penalizadas".
XXXVI ENCONTRO NACIONAL DE ENGENHARIA DE PRODUCÃO
Contribuições da Engenharia de Produção paraMelhores Práticas de Gestão e Modernização do Brasil
João_Pessoa/PB, Brasil, de 03 a 06 de outubro de 2016. .
16
5. Exemplo numérico
Para ilustrar a aplicabilidade do modelo foi elaborado o exemplo numérico a seguir. O modelo foi testado para três tipos de reparo distintos – reparo imperfeito, reparo perfeito e reparo mínimo. Os resultados das ações ótimas para cada estrutura de reparo foram destacados na tabela 2. Os seguintes parâmetros foram utilizados:
XXXVI ENCONTRO NACIONAL DE ENGENHARIA DE PRODUCÃO
Contribuições da Engenharia de Produção paraMelhores Práticas de Gestão e Modernização do Brasil
João_Pessoa/PB, Brasil, de 03 a 06 de outubro de 2016. .
17
Tabela 2 – Resultados do Exemplo Numérico
Como visto na tabela 2, A estratégia ótima do fabricante num ambiente de reparo imperfeito, é dada por um P* = e Cs* > . O número de falhas simulado foi de N = 9. Para essa
configuração, o cliente a escolhe a opção (A1) e o lucro do fabricante é de $1532.46 (10³).
Caso o equipamento recebesse o reparo perfeito, os valores simulados para N, e seriam, respectivamente: 7; $167.09 (10³); $10.55 (10³). A estratégia ótima do fabricante é dada por um P* = e Cs* > . Para essa configuração, o cliente a escolhe a opção (A1) e o
lucro do fabricante é $1532.46 (10³).
6. Conclusões
O presente artigo apresentou um modelo matemático de garantia aplicado a equipamentos complexos, no qual ocorre uma interação entre dois jogadores: fabricante e cliente. Desta forma, empregou-se uma adaptação do jogo de Stackelberg como forma de estruturar o problema, tendo o fabricante o papel de líder, enquanto para o cliente é atribuído papel de seguidor. Em um primeiro momento, o OEM mostra a estrutura de preços dos serviços de manutenção ao cliente (garantia e o serviço sob demanda), enquanto que, no segundo momento, o cliente toma sua decisão (Ak). O PRG foi incorporado para modelar a estrutura
falha – reparo do item, isto torna o modelo aplicável a situações práticas. Para contextualizar a problemática descrita, foi realizado um exemplo numérico para determinar as estratégias ótimas para ambas as partes e ilustrar a aplicabilidade e relevância do modelo.
Quanto aos resultados encontrados, observa-que o cliente opta pela garantia estendida, nos casos dos reparos perfeito e imperfeito, visto que o parâmetro de rejuvenescimento é próximo a zero, enquanto que para o caso de reparo mínimo, o cliente opta pelo serviço sob demanda. Note que a escolha do proprietário do equipamento é influenciada pela estrutura de preços imposta pelo OEM. O modelo exposto pode ser expandido de várias formas, por exemplo:
XXXVI ENCONTRO NACIONAL DE ENGENHARIA DE PRODUCÃO
Contribuições da Engenharia de Produção paraMelhores Práticas de Gestão e Modernização do Brasil
João_Pessoa/PB, Brasil, de 03 a 06 de outubro de 2016. .
18
incorporando a manutenção preventiva, excluindo a hipótese de informação perfeita e também incorporando a teoria das filas, isto é, um fabricante atender a vários clientes.
7. Referências
ASGHARIZADEH, E. & MURTHY, D.N.P., “Service Contracts: A Stochastic Model”, Mathematical and
Computer Modelling, vol. 31, 2000.
BOLLAPRAGADA et al. “Managing a portfolio of long term service agreements”, European Journal of
Operational Research, vol 182, pp. 1399–1411, 2007.
CRUZ A.M. & RINCON A.M.R., “Medical device maintenance outsourcing: Have operation management research and management theories forgotten the medical engineering community? A mapping review”,
European Journal of Operational Research, vol. 221, 2012.
ESMAEILI, M., et al. “Three-level warranty service contract among manufacturer, agent and customer: A game-theoretical approach”, European Journal of Operational Research (2014).
FORGÓ, F. SZÉP, J. & SZIDAROVSZKY, F., Introduction to the Theory of Games: Concepts, Methods,
Applications, Kluwer Academic Publishers, NED (1999).
GIBBONS, R. A primer in Game Theory. New Jersey, Prentice Hall, 1992, pp. 58. HILLIER, F.S., LIEBERMAN, G.J. “Introdução à Pesquisa Operacional”, McGraw-Hill Interamericana do Brasil Ltda., SP, BRA (2006).
JACKSON, C., PASCUAL, R. “Optimal maintenance service contract negotiation with aging equipment”,
European Journal of Operational Research, vol 189, pp. 387–398, 2008.
JACOPINO, A.G., Generalization and Bayesian solution of general renewal process for modeling the reliability effects of imperfect inspection and maintenance based on imprecise data. 2011. 215 f. (PhD in Mechanical Engineering) – Department of Mechanical Engineering, University of Maryland, Maryland (USA). 2005. KIJIMA M. & SUMITA N., “A useful generalization of renewal theory: counting process governed by non-negative Markovian increments”, Journal of Applied Probability, vol. 23, 1986.
MOURA, M., ROCHA, S., DROGUETT, E. & JACINTO, C. “Avaliação Bayesiana da Eficácia da Manutenção via Processo de Renovação Generalizado”, Pesquisa Operacional, vol. 27, 2007.
MONTGOMERY D.C. & RUNGER, G.D., Estatística aplicada e probabilidade a engenheiros, LTC, RJ, Brasil (2009).
MURTHY, D.N.P. & ASGHARIZADEH, E., “A Stochastic Model for Service Contract”, International Journal
of Reliability, Quality and Safety Engineering, vol. 5, 1998.
MURTHY, D.N.P. & JACK, N. Extended Warranties, Maintenance Service and Lease Contracts Modeling and
Analysis for Decision-Making, Springer, NJ, USA (2014).
MURTHY, D.N.P. & YEUNG, V. “Modelling and Analysis of Maintenance Service Contracts”, Mathematical
and Computer Modelling, vol. 22, 1995.
PINTO, H. et al. “Negociação de Contratos de Manutenção de Equipamentos Hospitalares Sujeitos a Reparo Imperfeito”, In: ABRISCO PSAM, 2015, Rio de Janeiro.
TAGHIPOUR, S., Reliability and Maintenance of Medical Devices. 2011. 333 f. Thesis (PhD in Industrial Engineering) – Department of Mechanical and Industrial Engineering, University of Toronto, Toronto. 2011.
XXXVI ENCONTRO NACIONAL DE ENGENHARIA DE PRODUCÃO
Contribuições da Engenharia de Produção paraMelhores Práticas de Gestão e Modernização do Brasil
João_Pessoa/PB, Brasil, de 03 a 06 de outubro de 2016. .
19 VARIAN R.H., Intermediate Microeconomics: A Modern Approach, W.W. Norton & Company, NJ, USA (2010).
YAÑEZ, M., JOGLAR, F. & MODARRES, M., “Generalized Renewal Process for Analysis of Repairable Systems with Limited Failure Experience”, Reliability Engineering and System Safety, vol. 77, 2002.
