1 MATERIAL DIDÁTICO
Professora Sílvia Victer CÁLCULO 2
SÉRIES DE POTÊNCIAS
Definição: Séries de Potências é uma série infinita de termos variáveis.
Elas podem ser usadas em várias aplicações, como por exemplo, encontrar aproximações de números irracionais como e também para encontrar valores de integrais que não podem ser integrados na forma analítica (ex: e são importantes para auxiliarem na resolução de equações diferenciais. Um série de potências em : onde:
- as constantes , são os coeficientes da série. - a constante é o centro da série.
Para temos : que é a ideia de um polinômio.
A série pode convergir para alguns valores de mas pode divergir para outros valores de .
Quando , a série converge com soma .
O teste da razão é usado para se determinar os valores de para os quais a série de potências converge.
Exemplos: Encontre os valores de para os quais a série de potências converge.
para , a série converge para 0. E para ? Usar o teste da razão:
De acordo com o teste da razão, a série converge se :
Assim, a série converge para .
2
Para , que equivale a , o teste da razão é inconclusivo.
A série é divergente de acordo com a propriedade:
A série também é divergente de acordo com a propriedade:
Portanto, a série converge apenas para valores de no intervalo aberto .
Teste da razão:
3
Exercícios: Encontre os valores de para os quais a série de potências converge.
1-
2-
Resposta: a) Converge para todos os valores de . b) Converge apenas para .
Intervalo de convergência:
O conjunto de todos os números para os quais uma série de potências converge.
do Exemplo 1) do Exemplo 2)
do Exemplo 3) é o "intervalo" contendo unicamente o número 0.
Para qualquer série de potências, assume uma das três formas:
Caso 1: é um intervalo limitado com centro e pontos extremos e , onde é um
número real positivo. é chamado de Raio de convergência da série de potências.
Caso 2: é infinito.
Caso 3: consiste apenas em um único número . .
Caso 1: A série diverge para
?
?
Converge Absolutamente para
Nota: os pontos extremos e do intervalo de convergência podem ou não pertencer a
. No exemplo 1, é um intervalo aberto.
Em geral, a série pode divergir, convergir absolutamente ou convergir condicionalmente num ponto extremo de .
Assim, o intervalo de convergência pode assumir uma das formas: ,
, ,
) (neste caso, a série de potência sempre converge absolutamente).
Teorema 1: Raio de convergência de uma série de potências
4 Suponha que
, onde L é um número real não negativo ou . Verificar uma das três condições para se encontrar o raio :
(i) Se é um número real positivo, então . (ii) Se , então .
(iii) Se , então . Observações:
1- A razão é a razão entre os coeficientes e não entre os termos da série de potência.
2- O Teorema 1 não se aplica a séries de potência da forma , para . Nesse caso, o raio de convergência pode ser encontrado aplicando-se o teste da razão.
3- O Teorema 1 é válido para , para .
Exercícios: Encontre o Centro a, o raio de convergência e o intervalo de convergência da série de potências. Confira também a divergência, convergência absoluta ou convergência condicional da série de potências nos pontos extremos de
1-
Solução: Centro ; Teorema 1: e . Assim,
Logo, .
Portanto, a série converge Absolutamente para valores de no intervalo aberto e diverge para valores de fora do intervalo fechado .
E para os valores (pontos extremos) ?
Para na série, obtém-se a série harmônica que diverge.
Para na série, obtém-se a série harmônica alternada que converge pelo teste das séries alternadas (vistas em séries infinitas) e diverge pela soma do módulo (convergência
condicional).
Conclusão: Divergência no ponto extremo 1 e convergência condicional no ponto extremo -1.
-1 0 1
2-
Solução: Centro ; Teorema 1: e . Assim,
Logo, . (Teorema 1 (i)).
Portanto, a série converge Absolutamente para valores de no intervalo aberto e diverge para valores de fora do intervalo fechado .
E para os valores (pontos extremos) ?
Para na série, obtém-se a série alternada que diverge (o termo geral não tende a zero).
Para na série, obtém-se a série que também diverge. Conclusão: Divergência nos dois pontos extremos: -6 e 0.
5
-6 -3 0
3-
Solução: Centro ; Teorema 1:
e . Assim, Logo, (Teorema 1 (ii)).
Portanto, 4-
Solução: Centro ; Teorema 1: e . Assim, Assim (Teorema 1 (iii)).
consiste no único número 0. 5-
Solução: Centro ;
Podemos usar o teorema 1? NÃO!! (Conforme visto na observação (2) do Teorema 1).
Pois não é o coeficiente da n-ésima potência de .
Neste caso, aplica-se o teste da razão original (usa-se o n-ésimo) termo, e NÃO o coeficiente da série. . Logo,
A série converge Absolutamente quando , ou seja, quando E diverge para Logo, E para os valores (pontos extremos) ? Para os dois valores
e a série fica: que é a série-p convergente.
6
Assim, a série converge absolutamente em todo o seu intervalo de convergência:
Os exercícios abaixo foram extraídos do Munem, página 658.
6-
7-
8-
9-
10-
11-
12-
13-
14-
15-
16-
Respostas: 6) 7) 8) 9) 10) 11) 12) 13) 14) 15) 16) .
Integração e Diferenciação de Séries de Potências
Seja onde é a série de potências dada.
Domínio de : intervalo de convergência da série de potências.
+...
Derivada da (Diferenciação termo a termo):
+ + +
Integração de (Integração termo a termo):
Apenas para , onde R é o raio de convergência da série de potências.
Propriedades de e
1) A função é contínua no intervalo aberto .
7 3) Para , 4) Para , 5) Para , Exemplos: 1) Encontre
Solução: Pelo Teorema 1, o raio de convergência da série de potências é : Pelas propriedades 2 e 3, isto é, para 2) Encontre para Solução: Pela propriedade 4: isto é, , para .
3) Use a fórmula , que dá a soma da série geométrica para , para escrever a expressão dada como a soma de uma série infinita.
a) Solução: para . b)
8
Solução: substituindo por em , obtém-se:
para , ou seja, para .
c)
Obs: a função logarítmica natural, denotada por , é definida por: Dessa forma, a solução deve ser alcançada considerando esta definição (diferente do teorema que diz que, para ).
Solução: Usando o resultado anterior e a propriedade 5,
para .
d)
Solução: substituindo por em
, obtém-se:
para .
Obs: a convergência da série ocorre quando Mas se verifica exatamente quando .
e)
Solução: Usando o resultado anterior e a propriedade 5,
para . f) Solução: Substituindo por em obtemos: para . g)
Solução: Divide por frações parciais, depois resolve cada uma (encontra um série de potências para
cada uma) e depois efetua a soma. Divisão por frações parciais:
Analisando cada série separadamente:
(do enunciado) e (do exemplo f) Usando o resultado anterior, temos:
9 para Obs: Verificar o raio de convergência pelo Teorema 1.
4) Seja
para (Teorema 1, R=1).
Represente como uma série infinita. Solução: Para ,
Obs: Conferir se o resultado está correto (ou seja, através da resolução da derivada)
5) Seja
Represente como uma série infinita.
Solução: Como a série de potências está elevado a e não apenas a , devemos usar o teste da
razão.
Primeiro: obter o raio de convergência da série de potências: Ou seja, o raio de convergência . Assim, é definida para todos os valores de . Segundo: Representar a integral fornecida como uma série infinita.
Exercícios: Use a fórmula
, para , para escrever a expressão dada como a soma de uma
série infinita que represente cada expressão. Especifique os valores de para os quais a representação é correta.
1)
2)
3)
4)
5)
obs:
6)
7)
Respostas: 1) 2) 3) 4) 5) - 6) - 7)
Escreva uma série de potências para e encontre o raio de convergência.
1)
2)
Respostas: 1)
2)
10
Série de Taylor
A partir de uma função f, tentar encontrar uma série de potências que convirja para ela, ou seja, tentar expandir f como uma série de potências.
Função infinitamente diferenciável:
Definição: Uma função f definida em um intervalo aberto J é dita ser infinitamente diferenciável em J se ela possui derivadas de todas as ordens k.
Seja f uma função infinitamente diferenciável em um intervalo aberto J e seja 'a' um número em J. Então, a série de Taylor para f em 'a' é a série de potências:
onde
para
OBS: a série de MacLaurin é a série de Taylor para em .
Exemplos (encontrar as séries de Taylor e o intervalo de convergência de cada série): 1) Encontre a série de Taylor para .
Solução: ... ...
Coeficientes da série de Taylor:
(onde os sinais alternar em pares) Logo, a série de Taylor para é dada por:
2) Encontre a série de MacLaurin para . Solução: ... Logo,
11 A série de MacLaurin é dada por:
OBS: embora uma função infinitamente diferenciável tenha uma série de Taylor, essa série não precisa convergir para a função.
3) Encontre a série de MacLaurin para . Solução: ...
A série de MacLaurin é dada por: ,
4) Encontre a série de MacLaurin para . Solução: ...
A série de MacLaurin é dada por:
,
Esta série de potências pode ser obtida diretamente diferenciando-se a série de potências para o seno, já que
5) Encontre a série de MacLaurin para .
,
12
OBS: séries de potências adicionais podem ser obtidas através desses exemplos por várias substituições: Exemplo: , substituindo-se por na série de
potências para .
Exercícios: Encontre as séries de Taylor para as funções abaixo:
a)
b) . c) . d) . e) .
f) . (sugestão: usar o resultado da expansão de e resolver primeiro o numerador) g) h) i) j) Respostas: a) , b) c) , d) , e) , f) g) , h) , i) , j) , Série Binomial Teorema 1: Expansão de uma série binomial
Se tivermos o problema para encontrar o desenvolvimento em série de MacLaurin da função f definida por , onde p é um número real qualquer e usaremos a expansão em série binomial para encontrar um desenvolvimento em série de MacLaurin.
A série binomial é a série de potências definida da forma:
onde p uma constante qualquer positiva diferente de zero e não pode ser um inteiro positivo. n fatores
Define-se , e para cada inteiro positivo n,
13 .
e assim por diante. A série binomial tem raio de convergência . Para , Exemplos:
1) Encontre uma expansão em série de MacLaurin para ,
Solução: Do Teorema 1, . Assim, ... em geral:
E, portanto,
2) Use os primeiros três termos da expansão obtida no exemplo 1 para aproximar
Solução:
= Fazendo na expansão do exemplo 1:
Assim,
14 3) Encontre uma expansão em série de MacLaurin para
, Solução: Do Teorema 1, . Assim, ...
E, portanto,
4) Estime o valor de considerando os três primeiros termos da série.
Solução:
Pelo Exemplo 1, para , temos:
Substituindo por , obtemos: Portanto,
15
Exercícios:
1- Usar a expansão em série binomial para encontrar um desenvolvimento em série de MacLaurin.
a)
b)
c
) Resposta: a) 1+ b) 1+ c)2- Use os três primeiros termos de uma série binomial apropriada para estimar cada número.
a) ( ) b) ( ) c) ( ...) d) ( ) e) ( ...) Bibliografia:
1- Cálculo com geometria analítica. Vol.2 Swokowski. 2- Cálculo. Vol. 2. Munem - Foulis
