Mônadas k-lineares sobre hipersuperfícies quádricas

Instituto de Matemática, Estatística e

Computação Cientí�ca

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CAMPINAS

2017

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Tese apresentada ao Instituto de Matemática, Estatística e Computação Cientí�ca da Univer-sidade Estadual de Campinas como parte dos requisitos exigidos para a obtenção do título de Doutora em Matemática.

Orientador: Simone Marchesi

Este exemplar corresponde à versão

�-nal da Tese defendida pela aluna Aydee

Lopez Santana e orientada pelo Prof. Dr.

Simone Marchesi.

CAMPINAS

2017

Ficha catalográfica

Universidade Estadual de Campinas

Biblioteca do Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica Ana Regina Machado - CRB 8/5467

Lopez Santana, Aydee,

L881m LopMônadas k-lineares sobre hipersuperfícies quádricas / Aydee Lopez Santana. – Campinas, SP : [s.n.], 2017.

LopOrientador: Simone Marchesi.

LopTese (doutorado) – Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica.

Lop1. Fibrados vetoriais. 2. Quádricas. 3. Sequências espectrais (Matemática). 4. Espaços analíticos. 5. Categorias derivadas (Matemática). I. Marchesi, Simone, 1984-. II. Universidade Estadual de Campinas. Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica. III. Título.

Informações para Biblioteca Digital

Título em outro idioma: k-Linear monads on quadric hypersurfaces Palavras-chave em inglês:

Vector bundles Quadrics

Spectral sequences (Mathematics) Analytic spaces

Derived categories (Mathematics)

Área de concentração: Matemática Titulação: Doutora em Matemática Banca examinadora:

Simone Marchesi [Orientador] Marcos Benevenuto Jardim Maurício Barros Corrêa Júnior Renato Vidal da Silva Martins Valeriano Lanza

Data de defesa: 28-08-2017

pela banca examinadora composta pelos Profs. Drs.

Prof(a). Dr(a). SIMONE MARCHESI

Prof(a). Dr(a). MARCOS BENEVENUTO JARDIM

Prof(a). Dr(a). MAURÍCIO BARROS CORRÊA JÚNIOR

Prof(a). Dr(a). RENATO VIDAL DA SILVA MARTINS

Prof(a). Dr(a). VALERIANO LANZA

Agradeço primeiramente ao professor Simone Marchesi, meu orientador, pelo empenho e compromisso com este trabalho e os muitos aprendizados acadêmicos e pessoais. Também agradeço ao professor Marcos Jardim pela ajuda e seus comentários durante o desenvolvimento do trabalho. A ambos pela indicação do problema e o encorajamento no estudo da geometria algébrica.

Aos demais professores membros da banca Henrique Sá Earp, Kostyantin Iusenko, Maurício Corrêa, Rafael Leão, Renato Vidal da Silva Martins e Valeriano Lanza, muito obrigada pela leitura e revisão.

Agradeço à minha família, a quem dedico este trabalho, pelo suporte e o carinho in�nito e desinteressado. Aos meus pais Margarita e Pablo, e os meus irmãos, Diana, Elizabeth e Eduyn que mesmo estando distantes se sentem sempre por perto. Um especial agradecimento para Luís pelo apoio nesta jornada, as interessantes conversas e carinho.

Aos amigos que �zeram a estada em Campinas mais amena, um especial agradecimento para Adriana, Cristyan, Deimer, Eduardo, Felipe, Jhonny, Juliana, Kamila, Stephanie, Thais, Vladimir e Wanderson. Agradeço também ao grupo de GTAG por compartilhar os seus estudos, em particular à Aline, ao Charles e ao Victor pelo contagiante entusiasmo e pelas valiosas discussões. Entre outros amigos mais que com pena estou omitindo aqui.

Por último agradeço a todos os professores e funcionários do Imecc, pelo árduo trabalho facilitando a vida acadêmica, e pelo apoio �nanceiro às agencias de fomento CAPES e CNPq.

“Siento que la conozco menos cuanto más la conozco” Del amor y otros demonios, Gabriel García Márquez.

O objetivo deste trabalho é o estudo das propriedades de �brados vetoriais de posto baixo sobre

Q2l`1Ă P2l`2, a hipersuperfície quádrica suave de dimensão ímpar. Estes �brados são dados

pela cohomologia associada a uma mônada da forma M “ Oc

Q2l`1p´kq Ñ O2l`2cQ2l`1 Ñ O

c

Q2l`1pkq,

onde k ě 1 e c ě 1, e serão denominados pk, cq-�brados.

Mostra-se a simplicidade e semi-estabilidade de pk, cq-�brados. A estabilidade é provada sobre

Q3, Q5 e no caso simplético especial. Analisa-se a regularidade de pk, cq-�brados, de acordo

com a generalização de regularidade de Castelnuovo–Mumford, dada por Costa e Miró-Roig. Em seguida, são apresentadas varias caracterizações de tipo cohomológico. A primeira ca-racterização cohomológica para �brados lineares, isto é, quando k “ 1, foi considerada por Costa e Miró-Roig, em 2009. Tal caracterização é estendida a pk, cq-�brados quando 1 ď k ď l, utilizando o Teorema da sequência espectral de Beilinson para variedades projetivas com uma coleção geométrica. Posteriormente, Jardim e Martins, em 2010, exibem outra caracterização cohomológica de �brados lineares, que é estendida para pk, cq-�brados quando l ą 1, utilizando propriedades das mônadas Horrocks sobre variedades ACM. Mais recentemente, Macias e Soares, em 2014, mostraram mais uma caracterização dos �brados lineares; utiliza-se hélices para estender esta a pk, cq-�brados quando 1 ď k ď l.

Por último, considera-se o espaço de módulos MQ2l`1rk, cs dentro do esquema de Maruyama

parametrizando pk, cq-�brados, com o objetivo de estimar a dimensão do espaço tangente, sobre um ponto que parametriza um pk, cq-�brado especial simplético, e mostrar a singularidade do espaço de módulos se k ě 1, l ą 1 e c ą 1.

Palavras-chave: mônada; �brado vetorial; hipersuperfície quádrica; caracterização cohomo-lógica; espaço de módulos; sequência espectral tipo Beilinson; teoria de hélices; categoria derivada.

The goal of this work is to study properties of low rank vector bundles on Q2l`1Ă P2l`2, an

odd dimensional smooth quadric hypersurface. These bundles are realized as the cohomology of a monad

M “ Oc

Q2l`1p´kq Ñ O2l`2cQ2l`1 Ñ O

c

Q2l`1pkq,

where k ě 1 and c ě 1 and will be called pk, cq-bundles.

First, we will show that pk, cq-bundles are simples and semi-stables. Stability is proved on Q3,

Q5and in the special symplectic case. We will analyze regularity of pk, cq-bundles, according

to a generalization of Castelnuovo–Mumford regularity, given by Costa and Miró-Roig. Then, various cohomological characterizations will be exposed. The �rst cohomological char-acterization of linear bundles, that is, when k “ 1, was introduzed by Costa and Miró-Roig, in 2009. We will extend this result for pk, cq-bundles when 1 ď k ď l, using Beilinson spectral se-quence Theorem for projective varieties with a geometric collection. Later Jardim and Martins, in 2010, showed an alternative cohomological characterization of linear bundles, and we extend this characterization for pk, cq-bundles when l ą 1, using a generalization of Horrocks monads on varieties ACM. Finally, Macias and Soares, in 2004, showed another characterization of linear bundles. Using helixes we extend this characterization for pk, cq-bundles when 1 ď k ď l. Finally, we will consider the locus MQ2l`1rk, cs, in the Maruyama scheme, parameterizing

pk, cq-bundles on Q2l`1. Our goal is to study the dimension of its tangent space, at a point

parameterizing a special symplectic pk, cq-bundle, and to show that for any k ě 1, l ą 1 and

cą 1 the moduli space is singular.

Keywords: monad; vector bundle; quadric hypersurface; cohomological characterizations; moduli space; Beilinson spectral sequence; helix theory; derived category.

El objetivo de este trabajo es el estudio de las propiedades de �brados vectoriales de rango pequeño sobre Q2l`1Ă P2l`2, una hipersuper�cie cuádrica suave de dimensión impar. Estos

�brados vectoriales son cohomología de una mónada de la forma M “ Oc

Q2l`1p´kq Ñ O2l`2cQ2l`1 Ñ O

c

Q2l`1pkq,

donde k ě 1 y c ě 1, que serán llamados pk, cq-�brados.

Se muestra la simplicidad y semi-estabilidad de pk, cq-�brados. Estabilidad es probada sobre

Q3, Q5y en el caso especial simpléctico. Se analiza la regularidad de pk, cq-�brados, de acuerdo

con la generalización de regularidad de Castelnuovo-Mumford, dada por Costa y Miró-Roig. En seguida, son expuestas varias caracterizaciones de tipo cohomológico. La primera carac-terización cohomológica para �brados lineales, esto es, cuando k “ 1, fue considerada por Costa y Miró-Roig, en 2009. Tal caracterización es extendida a pk, cq-�brados cuando 1 ď k ď l, utilizando o Teorema de la sucesión espectral de Beilinson para variedades proyectivas con una colección geométrica. Posteriormente, Jardim y Martins, en 2010, exhiben otra caracterización cohomológica de �brados lineales, que es extendida para pk, cq-�brados cuando l ą 1, utilizan-do propiedades de mónadas Horrocks sobre variedades ACM. Más recientemente, Macias y Soares, en 2014, mostraron una caracterización más de �brados lineales; utilizaremos hélices para extender esta a pk, cq-�brados cuando 1 ď k ď l.

Por último, se considera el espacio de módulos MQ2l`1rk, cs dentro del esquema de Maruyama

parametrizando pk, cq-�brados, con el objetivo de estimar la dimensión del espacio tangente, sobre un punto que parametriza un pk, cq-�brado especial simpléctico, y probar que si k ě 1,

l _{ą 1 y c ą 1 el espacio de módulos es singular.}

Palabras clave: mónada; �brado vectorial; hipersuper�cie cuadrica; caracterización cohomo-lógica; espacio de moduli; sucesión espectral de Beilinson; teoria de hélices; categoria derivada.

Introdução . . . 13

1 PRELIMINARES . . . 16

1.1 Hipersuperfícies quádricas . . . 16

1.1.1 Fibrados vetoriais canônicos . . . 16

1.2 Classes de Chern . . . 21

1.2.1 Anel de Chow de hipersuperfícies quádricas suaves . . . 21

1.3 Mônadas . . . 23

1.4 Coleções de m-blocos e a Sequência espectral de Beilinson . . . 27

1.4.1 Coleções de m-blocos . . . 27

1.4.2 Mutações e Coleção dual de m-blocos . . . 28

1.4.3 Hélices . . . 32

1.4.4 Hélice sobre quádricas . . . 33

1.4.5 Teorema da Sequência Espectral de Beilinson . . . 34

1.5 Mônadas e caracterizações cohomológicas . . . 35

1.6 Regularidade de feixes coerentes sobre variedades projetivas . . . . 36

1.6.0.1 Regularidade e mônadas quase lineares sobre hipersuperfícies quádricas . . . 37

1.7 Estabilidade . . . 37

2 (K,C)-FIBRADOS VETORIAIS SOBREQ2l`1 . . . 39

2.1 Construção . . . 39

2.2 _{Generalidades sobre pk, cq-fibrados}. . . 42

2.2.1 Estabilidade em dimensão pequena . . . 47

2.2.2 Estabilidade depk, cq-fibrados simpléticos especiais . . . 48

2.2.3 Regularidade . . . 49

3 _{CARACTERIZAÇÕES COHOMOLÓGICAS DE pk, cq-FIBRADOS} SO-BREQ2l`1 . . . 52

3.1 _{Caracterizações Cohomológicas se k ď l} . . . 52

3.1.1 Primeira caracterização . . . 52

3.1.2 Segunda caracterização . . . 54

3.2 _{Caracterização Cohomológica quando l ą 1} . . . 65

4 ESPAÇO DE MÓDULOS . . . 71

4.1 Espaço tangente ao espaço de módulos . . . 71

Introdução

Um clássico problema dentro da geometria algébrica é mostrar a existência de �brados vetoriais sobre variedades projetivas. Na atualidade, o problema torna-se particularmente mais interessante se queremos fornecer exemplos de �brados vetoriais de dimensão pequena, isto é, de posto menor que a dimensão da variedade; em geral são poucos os exemplos com esta característica. Em relação a esta discussão, existe uma conjetura, devida a Hartshorne, que a�rma que não existem �brados vetoriais de posto 2 sobre PN_{para N ě 7. Neste trabalho temos} particular interesse nas hipersuperfícies mais básicas depois dos hiperplanos, as quádricas. Construímos exemplos de �brados vetoriais sobre a hipersuperfície quádrica suave de dimensão 2l ` 1, com posto 2l, e focamos no estudo de suas propriedades.

Mônadas foram introduzidas por Horrocks, na década dos sessenta e utilizadas para mostrar que todo feixe localmente livre sobre P3 _{é a cohomologia de uma mônada quase linear,}

ver [26_{]. Mais tarde, os �brados instanton sobre P}2l`1_{, de grande importância na física pela}

sua correspondência com soluções autoduais das equações de Yang-Mills sobre S4_{, foram}

estudados por Okonek e Splinder provando que todo �brado instanton é a cohomologia de uma mônada linear, ver [43]. A existência e exemplos de mônadas lineares sobre o espaço projetivo é discutida em [17]. Desde então, mônadas têm demonstrado ser úteis em variadas aplicações e por este motivo foram objeto de estudo nas últimas décadas. Por exemplo, em [13] e [14] estuda-se mônadas lineares sobre hipersuperfícies quádricas, em [29] estuda-se mônadas Horrocks sobre variedades ACM e em [35] estuda-se generalizações do resultado de Fløystad sobre outras variedades projetivas.

Exemplos de �brados vetoriais podem ser obtidos via cohomologia de mônadas. Neste grupo estão os �brados lineares, de�nidos por mônadas lineares. Em [14] é mostrada a estabili-dade de �brados lineares especiais simpléticos sobre Q2l`1 Ă P2l`2, que da passo ao estudo do

subespaço MLQ<sub>2l`1</sub>pkq dentro do esquema de Maruyama, que parametriza �brados lineares de posto2l sobre Q2l`1com segunda classe de Chern k. As autoras ainda provam que o espaço de

módulos MLQ2l`1p1q é suave, irredutível de dimensão 2l2` 5l ` 2 e que para qualquer l ě 2 e

k _{ě 2 o espaço de módulos ML}Q2l`1pkq é singular.

�brado que é cohomologia de uma mônada M sobre Qnda forma M :“ Oa Qnp´kq Ñ O b Qn Ñ O c Qnpkq.

Se E é um �brado vetorial de posto menor que n, pelo Teorema 5.1 em [35_{], temos que n “ 2l`1,}

rkpEq “ 2l e a mônada M tem a forma

OcQ2l`1p´kq Ñ OQ2l`2c2l`1 Ñ O

c

Q2l`1pkq.

Este tipo de mônada chamaremos de k-linear. Fibrados vetoriais sobre Q2l`1 Ă P2l`2,

proce-dentes da cohomologia de uma mônada k-linear, serão chamados pk, cq-�brados sobre Q2l`1.

Dedicamos o trabalho ao estudo deles.

Agora damos uma descrição da estrutura deste trabalho. No primeiro capítulo, �xamos as notações e noções necessárias para os seguintes capítulos, enfatizando alguns exemplos e lembrando resultados que utilizaremos. Este capítulo contém um preâmbulo para os �brados vetoriais mais relevantes sobre quádricas: os �brados de linha, os �brados Spinor e os �brados denotados por ψi com i ě 0, muito importantes pelo seu papel dentro da categoria derivada D “ DbpCohpQnqq, ressaltando suas propriedades cohomológicas. Descrevemos o anel de Chow sobre quádricas, nos permitindo de�nir as classes de Chern. De�nimos mônadas, com especial atenção às mônadas Horrocks, e suas propriedades. Brevemente, introduzimos os conceitos de m-blocos, mutações e base dual de m-blocos, conceitos base para o importante Teorema da sequência espectral tipo Beilinson e para a Teoria de hélices. No �nal, é descrita uma generalização do conceito de regularidade de Castelnuovo-Mumford, para outras variedades projetivas, feita por Costa e Miró-Roig, ver [12]. Fechamos o capítulo com critérios clássicos de estabilidade.

No Capítulo 2 construímos exemplos de mônadas k-lineares sobre Q2l`1, utilizando

matrizes com entradas potências das variáveis; pk, cq-�brados associados a estas mônadas serão chamados especiais. Mostramos generalidades, entre outras, simplicidade e semi-estabilidade de pk, cq-�brados e a estabilidade de pk, cq-�brados é provada sobre Q3, Q5e no caso simplético

especial. Finalizamos o capítulo estimando uma cota para a regularidade de pk, cq-�brados, com respeito à coleção σ “ pOQ2l`1,OQ2l`1p1q, . . . , OQ2l`1p2lq, Σp2lqq, onde Σ é o único �brado

Spinor.

No Capítulo 3 são estudadas diversas caracterizações cohomológicas para pk, cq-�brados sobre Q2l`1, isto é, dado um �brado vetorial, com posto e polinômio de Chern �xos, temos

condições de caráter cohomológico que determinam completamente a mônada para o �brado, salvo isomor�smos.

Obtemos caracterizações cohomológicas para pk, cq-�brados sobre Q2l`1, sempre que

1 ď k ď l, no Teorema3.1.1. Entre elas esta inclusa a caracterização cohomológica de �brados lineares sobre quádricas encontrado em [36]. A essência desta primeira parte se resume em

utilizar hélices para encontrar uma coleção excepcional apropriada, isto é, de comprimento a dimensão da quádrica mais um, que gere a categoria derivada, e que dentre seus objetos se encontrem as componentes da mônada.

Com ajuda da caracterização já obtida e utilizando o Teorema da sequência espectral de Beilinson, aplicada a uma coleção obtida por �os de hélices e por apropriadas mutações, obtemos uma segunda caracterização cohomológica para pk, cq-�brados sobre Q2l`1, quando

1 ď k ď l, compilada no Teorema3.1.3. Quando se trata de �brados lineares, comparamos com a caracterização obtida em [13], e mostramos a equivalência entre as duas caracterizações.

No Teorema3.2.1_{, mostramos uma outra caracterização de pk, cq-�brados sobre Q2l`1}, para l ą 1, utilizando a generalização de mônadas Horrocks sobre variedades ACM. No caso de �brados lineares coincide com a caracterização de [29].

No último capítulo, consideramos MQ2l`1rk, cs, o subespaço aberto dentro do esquema

de Maruyama, parametrizando pk, cq-�brados sobre Q2l`1, com o objetivo de estimar a dimensão

do espaço tangente sobre um ponto que parametriza um pk, cq-�brado especial simplético e mostramos a singularidade do espaço de módulos se k ě 1, l ą 1 e c ą 1.

Capítulo 1

Preliminares

Neste primeiro capítulo introduziremos a terminologia utilizada ao longo do nosso trabalho. Primeiramente, de�niremos as hipersuperfícies quádricas suaves e compilaremos as propriedades mais relevantes dos principais �brados vetoriais sobre estas hipersuperfícies: os �brados de linha, os �brados Spinor e os �brados ψi. Introduziremos mônadas, de nosso particular interesse, e apresentaremos uma generalização do conceito de regularidade de Castelnuovo-Mumford, para outras variedades projetivas. Finalmente, descrevemos ferramentas, que utilizaremos mais adiante, tais como o Teorema da sequência espectral tipo Beilinson, hélices sobre quádricas e critérios de estabilidade.

1.1 Hipersuperfícies quádricas

Sejam K um corpo algebricamente fechado de característica zero, V um espaço vetorial pn`2q-dimensional sobre K e Pn`1_{“ PpV q o espaço projetivo , espaço das retas que atravessam}

a origem em V . Uma hipersuperfície quádrica Qk Ă Pn`1é o lugar de zeros de um polinômio quadrático homogêneo Q P Krx0, . . . , xns. Escolhendo apropriadamente novas variáveis, podemos rescrever este polinômio com a forma

Q“ x2₀` ¨ ¨ ¨ ` x2_k,

onde k ` 1 é conhecido como o posto da quádrica. Fixada esta notação a variedade algébrica base dos nossos objetos de estudo é uma hipersuperfície quádrica de posto máximo, ou seja

n` 1. Esta variedade é suave e para uma descrição fundamental ver por exemplo [23] ou [22].

1.1.1 Fibrados vetoriais canônicos

Seja X uma variedade projetiva arbitrária, junto com um feixe invertível muito amplo OXp1q. Para qualquer feixe coerente E sobre X utilizaremos as notações Epkq :“ E b OXpkq e Ea_“àa

i“1

E. Ao longo deste trabalho tratamos indistintamente �brados vetoriais e seu feixe

Restringimos nossa atenção a �brados vetoriais sobre Qn Ă Pn`1. Os mais básicos entre os �brados vetoriais são os �brados de linha e as propriedades cohomológicas destes �brados podem ser obtidas por meio das já conhecidas sobre o espaço projetivo.

Por exemplo, calculemos as dimensões dos espaços de cohomologia Hi_pO

Qnpλqq, onde n _{ą 1, λ P Z e 0 ď i ď n. A partir da sequência exata curta}

0 Ñ OPn`1pλ ´ 2q Ñ O<sub>P</sub>n`1pλq Ñ O_Qnpλq Ñ 0, (1.1)

utilizamos a sequência exata em cohomologia associada 0 Ñ H0_pO Pn`1pλ ´ 2qq Ñ H0pO<sub>P</sub>n`1pλqq Ñ H0pO_Qnpλqq Ñ H1pO_Pn`1pλ ´ 2qq “ 0. Se λ “ 1, h0<sub>pO</sub>Qnp1qq “ h 0<sub>pO</sub> Pn`1p1qq ´ h0pO_Pn`1p´1qq “ n ` 2. Se λ “ 0, h0pOQnq “ h 0_pO Pn`1q ´ h0pO<sub>P</sub>n`1p´2qq “ 1. Se λ ă 0, h0pOQnpλqq “ h 0_pO Pn`1pλqq ´ h0pO<sub>P</sub>n`1pλ ´ 2qq “ 0. Se λ ą 1, h0pOQnpλqq “ h 0_pO Pn`1pλqq ´ h0pO<sub>P</sub>n`1pλ ´ 2qq “ ˜ λ` n ` 1 λ ¸ ´ ˜ λ´ 2 ` n ` 1 λ´ 2 ¸ “ pλ ` n ´ 1q! pλ ´ 2q!pn ` 1q! ˆ pλ ` nqpλ ` n ` 1q pλ ´ 1qλ ´ 1 ˙ “ <sub>pλ ´ 2q!pn ` 1q!</sub>pλ ` n ´ 1q! pn ` 1qp2λ ` nq_{pλ ´ 1qλ} .

Utilizando a sequência exata longa em cohomologia, associada à sequência exata (1.1), e o fato de que OPn`1 é um �brado sem cohomologia intermediária, segue que O_Qn é sem

cohomologia intermediária também, isto é, Hi_pO

Qnpλqq “ 0 para todo λ P Z e todo 0 ă i ă n

.

Lembrando que pelo Teorema da dualidade de Serre, ver por exemplo [40], e sendo

ωQn “ OQnp´nq o �brado canônico (ou dualizante) sobre a quádrica, hn_pO

Qnpλqq “ h 0_pO

Portanto, se 0 ď i ď n e λ P Z hipOQnpλqq “ $ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ & ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ % 1 se i “ 0 e λ “ 0, ˜ λ` n ´ 1 n ¸ 2λ ` n λ se i “ 0 e λ ą 0, 1 se i “ n e λ “ ´n, ˜ ´λ n ¸ 2λ ` n λ se i “ n e λ ă ´n, 0 caso contrário. (1.2)

Utilizando a sequência exata curta (1.1) encontramos também a característica de Euler

χpOQnpλqq, com λ P Z, de um �brado de linha, χ_pOQnpλqq “ χpOPn`1pλqq ´ χpOPn`1pλ ´ 2qq “ pλ ` 1qpλ ` 2q ¨ ¨ ¨ pλ ` n ` 1q<sub>pn ` 1q!</sub> ´ pλ ´ 1qλ ¨ ¨ ¨ pλ ` n ´ 1q_{pn ` 1q!</sub> “ pλ ` 1qpλ ` 2q ¨ ¨ ¨ pλ ` n ´ 1qppλ ` nqpλ ` n ` 1q ´ pλ ´ 1qλq<sub>pn ` 1q!} . Assim, χpOQnpλqq “ pλ ` 1qpλ ` 2q ¨ ¨ ¨ pλ ` n ´ 1qp2λ ` nq n! . (1.3)

Os próximos �brados vetoriais canônicos sobre Qn Ă Pn`1, que apresentamos aqui, são os �brados Spinor. Quando n “ 2l ` 1 existe um �brado Spinor de posto 2l_{sobre Q}

2l`1,

que denotamos por Σ, e quando n “ 2l existem dois �brados Spinor de posto 2l´1 _{sobre Q} 2l,

denotados por Σ1 e Σ2. Para uma introdução geométrica e as propriedades destes �brados ver

[41_{], com a precaução que em nossa notação Σ “ Sp1q, Σ}1 “ S1p1q e Σ2 “ S2p1q, onde S, S1 e S2 denotam os �brados Spinor no artigo citado.

Compilamos as principais propriedades cohomológicas dos �brados Spinor na seguinte proposição.

Proposição 1.1.1. Sejam QnĂ Pn`1e j um inteiro tal que 1ď j ď n. Então 1. Para qualquer i tal que 0ă i ă n e para todo t P Z,

HipQ2l`1,Σptqq “ HipQ2l,Σ1ptqq “ HipQ2l,Σ2ptqq “ 0.

2. Para qualquer tă 0

H0pQ2l`1,Σptqq “ H0pQ2l,Σ1ptqq “ H0pQ2l,Σ2ptqq “ 0

e

3. Exti_{pΣpjq, Σq “} 0 se i ‰ j, K se i “ j. 4. Exti_pΣ 2pjq, Σ1q “ ExtipΣ1pjq, Σ2q “ # 0 se i ‰ j ou j ” 0 (mod 2), K se i “ j e j ” 1 (mod 2). 5. Exti_pΣ 1pjq, Σ1q “ ExtipΣ2pjq, Σ2q “ # 0 se i ‰ j ou j ” 1 (mod 2), K se i “ j e j _{” 0 (mod 2).}

Demonstração. Ver [41] Teorema 2.3 e [12] Lema 4.1.

A seguinte proposição é um critério de decomposição de �brados vetoriais sobre quádri-cas suaves, em soma de �brados de linha, usando o anulamento de certos grupos de cohomologia que inclui os �brados Spinor. Generaliza o critério de Horrocks em espaços projetivos. Porém, este critério não é o único conhecido com efeito, é possível encontrar outros em [9] Corolário 4.3, em [3] Corolário 4.3 e em [34] Observação 3

Proposição 1.1.2. Seja E um �brado vetorial sobre Qn, ně 3. Então E é isomorfo a uma soma direta de �brados de linha se, e somente se,

1. Hi_{pEptqq “ 0 para todo t P Z e todo 1 ă i ă n.}

2. Se n é ímpar Hi_{pE b Σptqq “ 0 e se n é par H}i_{pE b Σ}

1ptqq “ HipE b Σ2ptqq “ 0 para

todo t P Z e todo 0 ă i ă n ´ 1. Demonstração. Ver em [42] Teorema 3.4.

Agora, introduzimos uma sequência exata de �brados vetoriais que necessitaremos ao longo deste trabalho.

Proposição 1.1.3. 1. Seja Σ o �brado Spinor sobre Q2l`1. Então existe uma sequência exata

canônica

0 Ñ Σp´1q Ñ O2l`1

Q2l`1 Ñ Σ Ñ 0

e um isomor�smo Σ_ – Σp´1q.

2. Sejam Σ1,Σ2 os �brados Spinor sobre Q2l. Então existem duas sequências exatas canônicas

0 Ñ Σ1p´1q Ñ OQ2l2l Ñ Σ2 Ñ 0,

0 Ñ Σ2p´1q Ñ OQ2l2l Ñ Σ1 Ñ 0.

Além disso, se n” 0 pmod 4q, temos dois isomor�smos Σ_

1 – Σ1p´1q e Σ_2 – Σ2p´1q, e

Demonstração. Ver em [41] Teorema 2.8.

Os �brados vetoriais que introduzimos agora são denotados por ψi e foram primeira-mente de�nidos por Kapranov, para construir uma resolução da diagonal em Qnˆ Qntendo como objetivo dar uma caracterização da categoria derivada Db_pCohpQ

nqq; detalhes em [31]. A seguir exibimos uma descrição elementar dos feixes localmente livres ψi, feita por [42], e algumas propriedades básicas.

Denotamos por Ωj :“ Ωj

Pn`1, a j-ésima potência exterior do �brado cotangente sobre o

espaço projetivo, e de�nimos indutivamente a família de �brados ψj. Sejam

ψ0 :“ OQn, ψ1 :“ Ω1p1q|Qn

e, para cada j ě 2, de�nimos o feixe localmente livre ψj como a única extensão que não cinde 0 ÝÑ Ωj_pjq

|Qn ÝÑ ψj ÝÑ ψj´2 ÝÑ 0. Observando que Ext1_pψ

j´2,Ωjpjq|Qnq – K.

Os �brados ψi são simples, isto é, h0pψib ψi_q “ 1. Portanto indecomponíveis. Apresentamos as principais propriedades na seguinte proposição.

Proposição 1.1.4. Sejam Qn Ă Pn`1 uma hipersuperfície quádrica suave e os �brados ψi de�nidos como antes. Então

1. Se 1ď i ď n ´ 1, i ă p ď n ´ 1 e para qualquer l P Z, Hppψiplqq “ 0. 2. Se 1ď i ď n ´ 1, i ” 1 pmod 2q e 1 ď p ď i, Hp_pψiplqq “ # 0 se l ‰ ´p e p ” 1 (mod 2), 0 se l ‰ ´p ` 1 e p ” 0 (mod 2). 3. Se 1ď i ď n ´ 1, i ” 0 pmod 2q e 1 ď p ď i, Hp<sub>pψ</sub>iplqq “ # 0 se l ‰ ´p e p ” 0 (mod 2), 0 se l ‰ ´p ` 1 e p ” 1 (mod 2). 4. Se 1ď i ď n ´ 1, H0pψiplqq “ 0 para qualquer l ă 0. 5. Se 1ď i ď n ´ 1, Hn_pψ iplqq “ 0 para qualquer l ą ´n. 6. Se iě 1, H0pψiq “ 0.

7. h0pψip1qq “ i_ÿ`1 j“0 n` 1 j . 8. rkpψiq “ i ÿ j“0 ˜ n j ¸ , em particular rkpψiq “ 2nse iě n. 9. Se iě n, ψi – ψn “ # Σp´1q2pn`1q{2 _{se n é ímpar,} Σ1p´1q2n{2‘ Σ2p´1q2n{2 se n é par.

Demonstração. Ver [12] Lema 4.2 e [1] Teorema 5.4 e Teorema 6.9.

1.2 Classes de Chern

De�nimos o grupo de ciclos sobre uma variedade projetiva X, denotado por ZpXq, como o grupo abeliano livre gerado pelo conjunto de subvariedades de X. O grupo ZpXq é graduado pela dimensão: escrevemos ZkpXq para o grupo de ciclos que são combinações lineares formais de subvariedades de dimensão k, chamados k-ciclos. Assim, ZpXq “ ‘kZkpXq.

O grupo de Chow ApXq é o grupo de ciclos módulo equivalência racional. A grosso modo, dizemos que dois ciclos A0, A1 P ZpXq são racionalmente equivalentes se existe uma

família parametrizada de ciclos interpolando entre eles, isto é, um ciclo sobre P1 _{ˆ X cujas}

restrições a duas �bras tt0u ˆ X e tt1u ˆ X são A0 e A1, respectivamente. Para uma de�nição

formal veja [16].

No caso de uma variedade projetiva suave os grupos de Chow formam um anel gra-duado pela codimensão ApXq “ ‘kAkpXq: o anel de Chow. AkpXq é o grupo de classes de equivalência de pdimpXq ´ kq- ciclos, onde o produto é de�nido utilizando a interseção.

1.2.1 Anel de Chow de hipersuperfícies quádricas suaves

Seja QnĂ Pn`1a hipersuperfície quádrica suave, com grupo de Picard PicpQnq “

#

Z ‘ Z se n “ 2,

Z caso contrário.

O anel de Chow de Qnchamado também anel de cohomologia de Qn, é dado por: 1. Se n “ 2l ` 1

ApQnq “ Ze1` Ze2` ¨ ¨ ¨ ` Zen, com ei P H2ipQn; Zq e com as relações seguintes

ei¨ en´i “ enpara todo i,

er₁ “

#

er se r ď l, 2er se r ą l.

2. Se n “ 2l

ApQnq “ Ze1` Ze2` ¨ ¨ ¨ ` Zel´1` pZe1l` Ze2lq ` Zel`1¨ ¨ ¨ ` Zen

onde ei P H2ipQn; Zq para todo i ‰ l, el1, e2l P H2lpQn; Zq e com as relações seguintes

ei¨ en´i “ enpara todo i ă l,

e1_l¨ e1_l“ e2_l ¨ e2_l “ # 0 se l ímpar, en se l par. e1_{l¨ e}2_{l “} # en se l ímpar, 0 se lpar. er₁ “ $ ’ & ’ % er se r ă l, e1l` e2l se r “ l, 2er se r ą l. Ver [18] para mais detalhes.

Brevemente introduziremos as classes de Chern, consideradas o centro da Teoria de Interseção moderna. Existem varias formas expositivas destas classes, por exemplo podem ser de�nidas no estilo clássico como elementos no anel de Chow que correspondem ao lugar de zeros de coleções de seções; esta interpretação é a mais básica e intuitiva, ver [16]. Alternativamente, podem ser de�nidas como inversas das classes de Segre, ver [19]. Uma outra de�nição segundo Grothendieck pode ser encontrada em [24].

Seja E um �brado vetorial sobre uma variedade projetiva X. As classes de Chern são denotadas por cipEq P AipXq, i ě 0 e de�nimos o polinômio de Chern como

ctpEq “ 1 ` c1pEqt ` c2pEqt2` ¨ ¨ ¨ .

Proposição 1.2.1. Seja E é um �brado vetorial de posto r. As classes de Chern satisfazem as propriedades:

1. cipEq “ 0 para todo i ą r.

2. (Fórmula de Projeção) Seja f : X1 _{Ñ X um mor�smo próprio. Então} cipEq X pf˚pαqq “ f˚pcipf˚Eq X αq

para todo ciclo αP X1, onde f˚e f˚ são o pushforward e o pullback através de f

respecti-vamente.

3. (Pullback) Seja f : X1 _{Ñ X um mor�smo. Então}

cipf˚pEqq X f˚pαq “ f˚pcipEq X αq para todo ciclo α P X, sendo f˚o pullback de f.

4. (Soma de Whitney) Para qualquer sequência exata 0 Ñ E Ñ F Ñ G Ñ 0, de �brados vetoriais sobre X, temos

ctpF q “ ctpEq ¨ ctpGq, isto é, ckpF q “ ÿ i`j“k cipEq ¨ cjpGq.

5. (Normalização) Seja E “ OXpDq, o �brado de linha associado a um divisor D. Então

c1pEq “ 1 ` Dt.

Unicidade. As Propriedades 3,4,5 junto com c0pEq “ 1 determinam univocamente as

Classes de Chern. Ver [24] Apêndice A.

1.3 Mônadas

Nesta seção de�nimos e resumimos fatos básicos sobre mônadas. Se X é uma variedade projetiva denotamos por ωX o �brado canônico ou dualizante de X. Se E é um �brado vetorial sobre X, denotamos por Hp

˚pEq :“

à lPZ

HppEplqq.

De�nição 1.3.1. Uma mônada sobre uma variedade projetiva X é um complexo M :“ AÑ Bα Ñ Cβ

de feixes coerentes sobre X, tal que α é injetiva e β é sobrejetiva. O feixe coerente

E :“ kerpβq{ impαq

é dito (feixe) cohomologia de M. Também se diz que M é uma mônada para E.

O feixe cohomologia E de uma mônada M é sempre um feixe coerente. Em particular, E é livre de torção se, e somente se, os mapas localizados αxsão injetivos fora de um subconjunto

Y _{Ă X de codimensão 2. E é re�exivo se, e somente se, os mapas localizados α}x são injetivos fora de um subconjunto Y Ă X de codimensão 3. E é localmente livre (ou seja, um �brado vetorial) se, e somente se, os mapas localizados αxsão injetivos para todo x P X.

De�nição 1.3.2. Associado a uma mônada M “ A α

Ñ B Ñ C temos o chamado display daβ mônada, que consiste no diagrama comutativo de linhas e colunas exatas

0 �� 0 �� 0 ��_A ��_K �� �� E �� �� 0 0 ��_A ��_B �� �� Q �� �� 0 C �� C �� 0 0

onde K “ kerpβq, Q “ cokerpαq e E é o feixe cohomologia da mônada. Dada uma mônada M “ A α

Ñ B Ñ C de feixes localmente livres sobre X, de�nimos a mônadaβ dual associada a M por

M_ :“ C_ βÑ B_ _ αÑ A_ _.

Um mor�smo entre mônadas é um mor�smo de complexos. Duas mônadas são isomorfas se são isomorfas como complexos.

Com ajuda do display associado relacionamos invariantes numéricos do feixe cohomo-logia E de uma mônada A Ñ B Ñ C:

1. Posto de E

rkpEq “ rkpBq ´ rkpAq ´ rkpCq.

2. Polinômio de Chern

ctpEq “ ctpBqctpAq´1ctpCq´1. Vejamos um tipo especial de mônadas:

De�nição 1.3.3. Uma mônada sobre uma variedade projetiva X é chamada quase linear se tem a forma r à j“1L 1 j Ñ s à i“1Li Ñ t à k“1L 2 k

onde Li,L1j,L2ksão �brados de linha sobre X.

Mônadas quase lineares se encontram com frequência na literatura. Por exemplo, ver [26] ou [17].

As seguintes de�nições e os resultados após elas foram tomados de [29] e formam parte de uma generalização da Teoria de mônadas Horrocks para variedades ACM.

De�nição 1.3.4. Um complexo de feixes localmente livres

AÑ Bα Ñ Cβ

sobre uma variedade projetiva X de dimensão n é chamada mônada Horrocks se α é localmente invertível a esquerda, se β é localmente invertível a direita e se

1. A“àr i“1 ωXpkiq onde ki P Z, 2. C “às j“1O Xpljq onde lj P Z, 3. H_˚1pBq “ Hn´1 ˚ pBq “ 0.

Se, além disso, satisfaz 4.) e 5.) será chamada mônada Horrocks minimal 4. Nenhum somando direto de A é isomorfo a um somando direto de B. 5. Nenhum somando direto de C é a imagem de um sub�brado de B.

A condição sobre α implica que o feixe cohomologia de uma mônada Horrocks é sempre um feixe localmente livre.

Consideramos um tipo especial de variedades:

De�nição 1.3.5. Uma variedade projetiva X ãÑ PN _{de dimensão pura n é aritmeticamente} Cohen-Macaulay (ACM) se seu anel de coordenadas SpXq “ Krx0, . . . , xNs{IX, onde IX é o ideal saturado de X, é Cohen-Macaulay.

Equivalentemente, uma variedade projetiva X Ă PN_{é ACM se, e somente se, H}1_pPN_, IXq “ 0 e Hp

˚pOXq “ 0 para cada 0 ă p ă n. Em particular SpXq “ H_˚0pOXq.

Todo esquema de interseção completa X Ă PN e as variedades Fano não singulares com grupo de Picard cíclico são exemplos de variedades ACM. Em particular quádricas suaves são ACM.

Proposição 1.3.6. Seja X uma variedade ACM de dimensão n ě 3 e seja E um �brado vetorial sobre X. Então existe uma correspondência bijetiva entre coleções

para inteiros kie lj, e mônadas para E, salvo isomor�smo, da forma M‚ :“ r à i“1 ωXpkiq Ñ F Ñ s à j“1O Xpljq. Esta correspondência é tal que:

1. M‚é Horrocks se, e somente se,tg1, . . . , gsu gera H_˚1pEq e th1, . . . , hru gera H_˚1pE_bωXq como SpXq-módulos.

2. M‚ é minimal Horrocks se, e somente se, tg1, . . . , gsu constitui um conjunto minimal de geradores de H_˚1pEq e th1, . . . , hru constitui um conjunto minimal de geradores de

H_˚1pE_b ωXq como SpXq-módulos. Demonstração. Ver em [29] Teorema 2.3

De�nição 1.3.7. Um feixe coerente W sobre uma variedade ACM de dimensão n ě 2 é dito aritmeticamente Cohen-Macaulay se Hp

˚pW q “ 0 para 1 ď p ď n ´ 1. Se existem inteiros s

e t tais que H0pW pkqq “ 0 para k ď s e Hn_{pW pkqq “ 0 para k ě t, tomando s (resp. t) o maior} inteiro (resp. o menor inteiro) satisfazendo a propriedade dizemos que W é um feixe ACM com parâmetros s e t.

É bem conhecido que os únicos �brados vetoriais ACM sobre o espaço projetivo Pnsão �brados de linha. Sobre hipersuperfícies quádricas QnĂ Pn`1pn ě 3q, segundo [33], os únicos feixes localmente livres indecomponíveis ACM são os �brados de linha e o produto tensorial de �brados Spinor por �brados de linha. Buchweitz provou que hiperplanos e hiperquádricas são as únicas hipersuperfícies do espaço projetivo para as que existem, salvo um produto tensorial por um �brado de linha, um número �nito de �brados sem cohomologia intermediária.

A seguinte proposição detalha algumas propriedades cohomológicas do feixe cohomolo-gia de um tipo de mônada quase linear em relação a feixes ACM.

Proposição 1.3.8. Seja X uma variedade ACM de dimensão n ě 3. Se E é a cohomologia da mônada da forma

M :“ OXplqaÑ ObX Ñ OXpmqc, com l ă 0 ă m, então

1. ctpEq “ b ´ a ¨ ctpOXplqq ´ c ¨ ctpOXpmqq.

2. rkpEq “ b ´ a ´ c e se ωX “ OXpλq, então a “ hn´1pEpλ ´ 1qq “ h1pE_plqq e

c“ h1pEp´mqq.

3. H0pE b W psqq “ Hn_{pE b W ptqq “ 0.}

4. H1pE b W ps ´ mqq “ Hn´1_{pE b W pt ´ lqq “ 0.}

5. Se ně 4, Hp

˚pE b W q “ 0 onde 2 ď p ď n ´ 2.

Demonstração. Ver em [29] Proposição 3.2.

De�nição 1.3.9. Uma mônada sobre uma variedade projetiva X é chamada mônada linear se é da forma

OXp´1qa Ñ OXb Ñ OXp1qc. O feixe cohomologia de uma mônada linear é chamado feixe linear.

1.4 Coleções de m-blocos e a Sequência espectral de Beilinson

1.4.1 Coleções de m-blocos

Introduzimos o importante conceito de coleções de m-blocos de�nidos inicialmente por Karpov e Nogim em [32], ou também ver [25]. Estas têm demonstrado ser essenciais no estudo e classi�cação de �brados vetoriais.

Para qualquer par de objetos A, B P D denotamos

Hom‚_DpA, Bq “à

kPZ

Extk_DpA, Bq

e Homˆ‚

D pA, Bq o dual de Hom‚DpA, Bq.

O funtor translação (shift functor) da categoria derivada será denotado por E Ñ Erps. Quando E é um complexo este functor é de�nido por pErpsqj _{“ E}p`j_.

Identi�camos o feixe coerente F sobre X com o objeto p0 Ñ F Ñ 0q P D, o complexo concentrado no grau zero.

De�nição 1.4.1. Um objeto E de D é chamado excepcional se

Hom0_{DpE, Eq – K}

Extp_DpE, Eq “ 0, para todo p ‰ 0

Uma coleção ordenadapE0, E1, . . . , Emq de objetos de D é uma coleção excepcional se todos os

Ei são excepcionais e

Extp_DpEi, Ejq “ 0 para todo i ą j e para todo p P Z.

Uma coleção excepcionalpE0, E1, . . . , Emq de objetos de D é fortemente excepcional se

Extp_DpEi, Ejq “ 0, para todo p ‰ 0 e para todo i ď j.

Uma coleção ordenadapE0, E1, . . . , Emq de objetos de D é uma coleção (fortemente) excep-cional e total se é uma coleção (fortemente) excepexcep-cional e E0, E1, . . . , Em geram a categoria derivada D, isto é, qualquer subcategoria triangulada contendo todos os objetos da coleção é equivalente a D via a inclusão.

Uma coleção excepcionalpE0, E1, . . . , Emq de objetos de D é um bloco se

Extp_DpEi, Ejq “ 0, para todo i ‰ j e para todo p P Z.

Uma coleção de m-blocos de tipopα0, . . . , αmq de objetos de D é uma coleção excepcional B “ pF0,F1, . . . ,Fmq “ pF10, . . . , Fα00, F

1

1, . . . , Fα11, . . . , F

m

1 , . . . , Fαmmq,

onde cada subcoleção Fi “ pF1i, . . . , Fαiiq é um bloco.

Note que uma coleção excepcional é uma coleção de m-blocos de tipo p1, 1, . . . , 1q. Seja B “ pF0,F1, . . . ,Fmq, com Fi “ pF1i, . . . , Fαiiq, uma coleção de m-blocos de feixes

coerentes gerando a categoria D. Então as coleções pF_

m, . . . ,F0_q, onde Fi_ “ ppFαiiq

__{, . . . ,pF}i

1q_q,

e pF0b L, F1b L, . . . , Fmb Lq, onde Fib L “ pF1ib L, . . . , Fαiib Lq e L é qualquer �brado

de linha, são ainda coleções de m-blocos de feixes coerentes gerando a categoria D.

1.4.2 Mutações e Coleção dual de m-blocos

Nesta seção de�nimos mutações de coleções; com elas temos uma outra forma de obter novas coleções excepcionais.

De�nição 1.4.2. Sejam X uma variedade projetiva suave e σ “ pA, Bq um par excepcional de objetos de D. Denotamos por LABo objeto que completa o mor�smo canônico Hom‚_DpA, BqbA Ñ

B a um triângulo distinguível

LAB Ñ Hom‚_DpA, Bq b A Ñ B Ñ LABr1s,

e denotamos RBAo objeto que completa o mor�smo canônico A Ñ Homˆ‚_D pA, Bq b B a um triângulo distinguível

Uma mutação à esquerda do par σ “ pA, Bq é o par

LAσ “ pLAB, Aq “ pLB, Aq, e uma mutação à direita do par σ “ pA, Bq é o par

RAσ “ pB, RBAq “ pB, RAq.

Podemos achar mutações de feixes coerentes usando as sequências exatas 0 Ñ LAB Ñ HompA, Bq b A Ñ B Ñ 0,

0 Ñ A Ñ Hom__{pA, Bq b B Ñ R}

BAÑ 0. O seguinte é um Lema técnico para calcular mutações.

Lema 1.4.3. Seja X uma variedade projetiva suave de dimensão n e σ “ pE0, . . . , Enq uma coleção excepcional e total de feixes coerentes sobre X. Para qualquer i ă j e qualquer feixe invertível F temos 1. pLEiEjq _ _{“ R} E_i_Ej_. 2. pREjEiq _ _{“ L} E__jEi_. 3. pREjEiq b F – REjbFpEib F q e pLEiEjq b F – LEibFpEjb F q.

Demonstração. Ver em [10] Lema 2.3.

De�nição 1.4.4. Seja X uma variedade projetiva suave e σ “ pE0, . . . , Emq uma coleção excepcional de objetos de D.

Uma mutação à esquerda Liσ de σ, 1ď i ď m, é a coleção obtida por substituir o i-ésimo par de objetos subsequentespEi´1, Eiq pela mutação à esquerda pLEi´1Ei, Ei´1q

Liσ“ LEi´1σ“ pE0, . . . , LEi´1Ei, Ei´1, . . . , Emq.

Analogamente uma mutação à direita Riσ de σ, 1ď i ď m, é a coleção obtida por substituir o

i-ésimo par de objetos subsequentespEi´1, Eiq pela mutação à direita pEi, REiEi´1q Riσ “ REi´1σ “ pE0, . . . , Ei, REiEi´1, . . . , Emq.

Se X é uma variedade projetiva suave e σ “ pE0, . . . , Emq uma coleção excepcional de objetos de D então qualquer mutação de σ é de novo uma coleção excepcional de objetos de D, ver em [21] Proposição 2.4.2. Ainda mais quando σ é uma coleção excepcional e total (ou seja,

os objetos de σ geram a categoria derivada D) então qualquer mutação de σ é também total, ver [20].

Sejam X uma variedade projetiva suave e σ “ pE0, . . . , Emq uma coleção excepcional de objetos de D. Usaremos a seguinte notação para a composição de mutações. Para qualquer 0 ď i ď m, 1 ď j ď m e i ` j ď m,

Rp0qEi “ Ei

RpjqEi “ Rpj´1qREi “ REi`j¨ ¨ ¨ REi`2REi`1Ei “ REi`j¨¨¨Ei`2Ei`1Ei. Para qualquer 1 ď i ď m, 1 ď j ď m e i ` j ď m,

Rp0q_Ei´1σ “ σ, Rpjq_Ei´1σ “ Rpj´1q_REi´1REi´1σ.

Similarmente para a composta de mutações à esquerda. Para qualquer 0 ď i ď m, 1 ď j ď m e i ´ j ě 0, Lp0qEi “ Ei LpjqEi “ Lpj´1qLEi “ LEi´j¨ ¨ ¨ LEi´2LEi´1Ei “ LEi´j¨¨¨Ei´2Ei´1Ei. Para qualquer 1 ď i ď m, 1 ď j ď m e i ´ j ě 0, Lp0qEi´1σ “ σ, L pjq Ei´1σ“ L pj´1q LEi´1LEi´1σ.

De�nição 1.4.5. Seja X uma variedade projetiva suave e considere a coleção de 1-bloco de tipo pn, mq de objetos de D

pE, Fq “ pE1, . . . , En, F1, . . . , Fmq. Uma mutação à esquerda de Fj por E é o objeto

LEFj “ LE1LE2¨ ¨ ¨ LEnFj “ LE1E2¨¨¨EnFj.

Uma mutação à direita de Ej por F é o objeto

RFEj “ RFmRFm´1¨ ¨ ¨ RF1Ej “ RFmFm´1¨¨¨F1Ej. Uma mutação à esquerda do parpE, Fq é o par pLEF, Eq “ pLF, Eq, onde

LEF “ pLEF1, . . . , LEFmq

e uma mutação à direita do parpE, Fq é o par pF, RFEq “ pF, REq, onde RFE “ pRFE1, . . . , RFEnq.

De [32_{] dada pE, Fq uma coleção de 1-bloco de objetos de D então as coleções LEF e}

Seja B “ pF0, . . . ,Fmq uma coleção de m-blocos. Usaremos a seguinte notação para a composição de mutações de blocos. Para qualquer 0 ď i ď m, 1 ď j ď m e i ` j ď m,

Rp0qFi “ Fi

Rpjq_Fi “ Rpj´1qRFi “ RFi`j¨ ¨ ¨ RFi`2RFi`1Fi “ RFi`j¨¨¨Fi`2Fi`1Fi.

Similarmente para a composta de mutações de blocos à esquerda. Para qualquer 0 ď i ď m, 1 ď j ď m e i ´ j ě 0,

Lp0qFi “ Fi

LpjqFi “ Lpj´1qLFi “ LFi´j¨ ¨ ¨ LFi´2LFi´1Fi “ LFi´j¨¨¨Fi´2Fi´1Fi. A seguinte de�nição é central no trabalho futuro.

De�nição 1.4.6. Considere X uma variedade projetiva com uma coleção de m-blocos B “ pF0, . . . ,Fmq, com Fi “ pF1i, . . . , Fαiiq, de tipo pα0, . . . , αmq de objetos de D.

A coleção de m-blocos dual à direita de B é a coleção de m-blocos de tipo pβ0, . . . , βmq, com

βi “ αm´i,

__{B “ pR}p0q_F

m, Rp1qFm´1, . . . , RpmqF0q,

onde

RpiqFm´i “ pRFmRFm´1¨ ¨ ¨ RFm´i`1F1m´i, . . . , RFmRFm´1¨ ¨ ¨ RFm´i`1Fαmm´i´iq

“: pRpiq_Fm´i

1 , . . . , RpiqFαmm´i´iq.

Similarmente, a coleção de m-blocos dual à esquerda de B é a coleção de m-blocos de tipo pβ0, . . . , βmq, com βi “ αm´i, B_ “ pLpmqFm, Lp´m´1qFm´1, . . . , Lp0qF0q, onde LpiqFi “ pLF0LF1¨ ¨ ¨ LFi´1F1i, . . . , LF0LF1¨ ¨ ¨ LFi´1Fαiiq “: pLpiq_Fi 1, . . . , LpiqFαiiq.

Coleções de m-blocos duais à esquerda ou à direita de uma coleção de m-blocos de feixes coerentes que geram a categoria derivada são univocamente determinadas salvo isomor�smo por relações de ortogonalidade como mostra a seguinte proposição.

Proposição 1.4.7. Seja X uma variedade projetiva com uma coleção de m-blocos B “ pF0, . . . ,Fmq, com Fi “ pF₁i, . . . , Fαiiq, de tipo pα0, . . . , αmq de objetos que geram a categoria D.

A coleção de m-blocos dual à direita de B de tipo pβ0, . . . , βmq, com βi “ αm´i, __{B “ pH}

0, . . . ,Hmq “ pH10, . . . , Hβ00, . . . , H

m

é unicamente determinada pelas condições de ortogonalidade

Hom‚_DpH_ji, F_lkq “ 0

com a exceção

Extk_DpHik, Fim´kq “ K.

Similarmente a coleção de m-blocos dual à esquerda de B de tipo pβ0, . . . , βmq, com

βi “ αm´i,

B_ “ pG0, . . . ,Gmq “ pG01, . . . , G0β0, . . . , G

m

1 , . . . , Gmβmq,

é unicamente determinada pelas condições de ortogonalidade

Hom‚_DpFlk, Gi_{jq “ 0}

com a exceção

ExtkpF_im´k, Gk_iq “ K.

Demonstração. Ver em [39] Proposição 1.14.

1.4.3 Hélices

Hélices são estudadas por exemplo em [7] e [21]. Aqui as de�nimos e indicamos seu comportamento com respeito a mutações, na seguinte seção as utilizaremos para de�nir regu-laridade.

De�nição 1.4.8. Seja X uma variedade projetiva suave de dimensão n.

Uma hélice de período m` 1 é uma sequência in�nita tEiuiPZde objetos da categoria derivada de feixes coerentes D tais que pEi, . . . , Ei`mq é uma coleção excepcional e Ei`m`1 “ RpmqEi, para qualquer iP Z . Cada coleção pEi, . . . , Ei`mq é chamada �o.

Qualquer coleção excepcional σ “ pE0, . . . , Emq de objetos de D induz uma única hélice por

Em`i “ RpmqEi´1e E´i “ LpmqEm´i`1, ią 0. Neste caso dizemos que a hélice é gerada por σ

e denotamos Hσ :“ tEiuiPZ. Toda hélice é gerada por algum dos seus �os σi “ pEi, . . . , Ei`mq.

Qualquer coleção excepcional e total de feixes coerentes sobre X de comprimento n` 1 é dita uma coleção geométrica e chamamos a hélice gerada de hélice estrita.

Seja X uma variedade suave de dimensão n e seja σ “ pE0, . . . , Emq uma coleção excepcional e total de objetos de D. Então a hélice Hσ, associada a σ, tem a seguinte propriedade de periodicidade, para qualquer i P Z:

onde ωX é o �brado de linha canônico sobre X e o número entre colchetes denota a multiplici-dade do deslocamento de um objeto à esquerda, visto como um complexo graduado em D, isto é, o functor translação.

Coleções geométricas são muito bem comportadas. Por exemplo, elas e suas mutações são coleções fortemente excepcionais e os �os da hélice estrita associada são também coleções geométricas.

Proposição 1.4.9. Sejam X uma variedade suave de dimensão n e σ uma coleção geométrica com Hσ a hélice associada. Então

1. Qualquer mutação da coleção σ consiste de feixes coerentes também, isto é, complexos concentrados na componente zero do grau.

2. A coleção σ é uma coleção fortemente excepcional e total de feixes coerentes.

3. Qualquer mutação de σ é uma coleção fortemente excepcional e total de feixes coerentes. 4. Qualquer �opEi, . . . , Ei`nq da hélice é uma coleção fortemente excepcional e total de feixes

coerentes sobre X.

Demonstração. Ver em [6] a�rmação 9.2, Teorema 9.3 e Corolário 9.4. [10] Proposição 2.16 e [11] Proposição 3.8.

1.4.4 Hélice sobre quádricas

Sobre a hipersuperfície quádrica suave Qn, n ímpar, tomamos a coleção geométrica pΣp´nq, OQnp´n ` 1q, . . . , OQnp´1q, OQnq.

Dualizando e invertendo a ordem obtemos

σ _{“ pO}Qn,OQnp1q, . . . , OQnpn ´ 1q, Σpn ´ 1qq

que é também uma coleção geométrica. Na proposição exibimos a base dual à direita de cada �o desta hélice.

Proposição 1.4.10. Sejam Qn Ă Pn`1com n ímpar e Hσ a hélice associada a

σ“ pOQn,OQnp1q, . . . , OQnpn ´ 1q, Σpn ´ 1qq;

denotamos por σk“ pEk, . . . , Ek`nq cada �o da hélice. Então

1. A base dual à direita de σ0é

2. Para qualquer j, 1ď j ď n, a base dual à direita de

σj “ pOQnpjq, . . . , OQnpn ´ 1q, Σpn ´ 1q, OQnpnq, OQnpn ` 1q, . . . , OQnpn ` j ´ 1qq

é

pOQnpn ` j ´ 1q, ψ_1pn ` j ´ 1q, . . . , ψj_´1pn ` j ´ 1q, Σpn ` j ´ 1q, ψn´j´1pn ` jq, . . . , ψ0pn ` jqq.

3. Para qualquer λP Z a base dual à direita de

σλpn`1q “ pOQnpλnq, OQnpλn ` 1q, . . . , OQnpλn ` n ´ 1q, Σpλn ` n ´ 1qq

é

pΣpλn ` n ´ 1q, ψn´1ppλ ` 1qnq, ψn´2ppλ ` 1qnq, . . . , ψ1ppλ ` 1qnq, ψ0ppλ ` 1qnqq. 4. Para qualquer j, 1ď j ď n e qualquer λ P Z a base dual à direita de

σj`λpn`1q “ pOQnpj ` λnq, . . . , OQnpn ´ 1 ` λnq, Σpn ´ 1 ` λnq, OQnppλ ` 1qnq, . . . , OQnpj ´ 2 ` pλ ` 1qnq, OQnpj ´ 1 ` pλ ` 1qnqq é pOQnppλ ` 1qn ` j ´ 1q, ψ _ 1ppλ ` 1qn ` j ´ 1q, . . . , ψ_j´1ppλ ` 1qn ` j ´ 1q, Σppλ ` 1qn ` j ´ 1q, ψn´j´1ppλ ` 1qn ` jq, . . . , ψ0ppλ ` 1qn ` jqq. Demonstração. Ver [10] Proposição 4.2.

1.4.5 Teorema da Sequência Espectral de Beilinson

Em [5] foi estabelecido o Teorema da sequência espectral de Beilinson para espaços projetivos. Em [30] e [31] foi estendido o resultado por Kapranov para hiperquádricas e Grass-mannianas. Por Costa e Miró-Roig, para uma variedade projetiva suave de dimensão n, munida de uma coleção excepcional e total de n ` 1 feixes coerentes, foi feita uma nova versão deste Teorema em [8]; pelas mesmas autoras se generaliza para qualquer variedade projetiva de di-mensão n com a propriedade CM fraca, isto é, com uma coleção de n-blocos de feixes coerentes sobre X que geram D, ver [11].

Utilizaremos uma destas versões no capítulo 3 deste trabalho para encontrar caracteri-zações cohomológicas de mônadas.

Teorema 1.4.11 (Sequência Espectral tipo Beilinson). Seja X uma variedade projetiva suave de dimensão n com uma coleção de n-blocos B “ pF0, . . . ,Fnq, com Fi “ pF1i, . . . , Fαiiq, de tipo

pα0, . . . , αnq, de feixes coerentes sobre X que geram a categoria D.

Para qualquer feixe coerente E sobre X existem duas sequências espectrais situadas no quadrado ´n ď p ď 0, 0 ď q ď n com E1-termo $ ’ ’ ’ & ’ ’ ’ % IE1pq “ α_àp`n i“1 ExtqpRp´pqFip`n, Eq b Fip`n, IIE1pq “ α<sub>à</sub>p`n i“1 ExtqppEip`nq_, Eq b pRp´pqE p`n i q_, com diferenciais dp,q_r :“ E_rp,q Ñ E_rp`r,q´r`1, que convergem a IE₈i “II E₈i “ # E se i“ 0, 0 se i ‰ 0. Demonstração. Ver em [11] Teorema 3.10.

Finalizamos a seção com a observação que o teorema tem uma versão para variedades munidas de uma hélice estrita, ver [10].

1.5 Mônadas e caracterizações cohomológicas

Introduzimos o conceito de cohomologia natural com respeito a uma coleção de m-blocos de acordo com a de�nição em [13].

De�nição 1.5.1. Seja X uma variedade projetiva com uma coleção de m-blocos B “ pF0, . . . ,Fmq, com Fi “ pF1i, . . . , Fαiiq, de tipo pα0, . . . , αmq de objetos de D. Dizemos que um feixe coerente E _{tem cohomologia natural com respeito a B se para cada 0 ď p ď m e 1 ď l ď α}p existe no máximo um q ě 0 tal que Extq_ppFp

lq_, Eq é não nulo.

Caracterizações cohomológicas intrínsecas de mônadas foram abordadas em [36]. Teorema 1.5.2. Sejam a, b, c ě 1 e X uma variedade projetiva de dimensão n munida de uma coleção de n-blocos B “ pF0, . . . ,Fnq, Fi “ pF1i, . . . , Fαiiq, de feixes coerentes sobre X gerando

a sua categoria derivada D, e seja_B “ pH0, . . . ,Hnq onde Hi “ pH1i, . . . , Hβiiq a coleção de n-blocos dual à direita de tipopβ0, . . . , βnq, com βi “ αn´i. Sejam Fii0, F

j

j0 e Fkk0 elementos dos

blocos Fi, Fj e Fk, com 0ď i ă j ă k ď n, com postos ri, rj, rkě 1, respectivamente, e seja E um feixe sem torção sobre X.

Então E é o feixe cohomologia de uma mônada de�nida por M‚‚:“ pFii0q a_{Ñ pF}j j0q b _{Ñ pF}k k0q c (1.4)

se, e somente se, ctpEq “ ctpFjj0q

b_c

tpFii0q´actpF

k

k0q´c, o posto de E é brj ´ ari´ crke para cada

0 ď p ď n e 1 ď l ď βp existe no máximo um q ě 0 tal que ExtqpHlp, Eq é não nulo. Em outras palavras E tem cohomologia natural respeito à coleçãopH_n, . . . ,H_0q.

Demonstração. Ver em [36] Teorema 3.2.

1.6 Regularidade de feixes coerentes sobre variedades

projeti-vas

A noção de regularidade de Castelnuovo-Mumford, para feixes coerentes sobre um espaço projetivo, foi estendida a feixes coerentes sobre uma variedade projetiva de dimensão

n, com uma coleção de n-blocos de feixes coerentes que geram a categoria derivada, isto é,

variedades com uma coleção geométrica; mais detalhes em [10], [11] e [12]. Lembramos aqui esta de�nição e algumas propriedades.

De�nição 1.6.1. Seja X uma variedade projetiva suave de dimensão n com uma coleção de

n-blocos σ “ pF0, . . . ,Fnq, com Fi “ pF1i, . . . , Fαiiq, de tipo pα0, . . . , αnq de feixes coerentes

sobre X que geram a categoria D. Seja Hσ “ tFiuiPZ, a hélice de blocos associada a σ, e seja F um feixe coerente de OX-módulos. Dizemos que F é m-regular com respeito a σ se, para q ą 0,

temos _$ ’ ’ & ’ ’ % α´m`p_à s“1 ExtqpHs´p, Fq “ 0 para ´n ď p ď ´1, α_à´m s“1 ExtqpF_s´m, Fq “ 0 para p“ 0,

ondepH0, . . . ,Hnq, Hi “ pH1i, . . . , Hαi´m´iq é a coleção de n-blocos dual à direita do �o σ´m´n “

pF´m´n, . . . ,F´mq. De�nimos a regularidade de F com respeito a σ, RegσpF q, como o menor inteiro m tal que F é m-regular com respeito a σ. Denotamos RegσpF q “ ´8 se não existe tal inteiro.

O seguinte é um resultado técnico sobre a regularidade com respeito a uma coleção σ. Proposição 1.6.2. Seja X uma variedade projetiva suave de dimensão n com uma coleção de

n-blocos σ “ pF0, . . . ,Fnq, com Fi “ pF1i, . . . , Fαiiq, de feixes coerentes sobre X que geram a

categoria D. Seja Hσ “ tFiuiPZ, a hélice de blocos associada. Então,

1. Para cada iP Z e qualquer Fi

2. Se F é um feixe coerente de OX módulos m-regular com respeito a σ, então F é k-regular para todo k ě m.

Demonstração. Ver [10] Proposições 3.8, 3.5 e [11] Proposições 4.9, 4.14.

1.6.0.1 Regularidade e mônadas quase lineares sobre hipersuperfícies quádricas

Sobre hipersuperfícies quádricas temos a seguinte estimativa da regularidade de �brados cohomologia de mônadas quase lineares.

Proposição 1.6.3. Seja Qna hipersuperfície quádrica suave e seja E a cohomologia da mônada r à i“1OQnpa iq Ñ s à l“1 OQnpblq Ñ t à k“1 OQnpckq com a1 ď ¨ ¨ ¨ ď ar, b1 ď ¨ ¨ ¨ ď bs, c1 ď ¨ ¨ ¨ ď ct e γ “ c1 ` ¨ ¨ ¨ ` ct. Sejam a1 “ l1n` r1,

b1 “ u1n` s1 e c1 “ v1n` k1, para alguns inteiros 0ď r1, s1, k1 ď n ´ 1. E seja m<sub>“ ´αpn ` 1q ´ j ´ n ě maxt´pa</sub>1` l1q, ´pb1` u1q, ´pc1` v1qu

para inteiros α e 1 ď j ď n e suponha que

αn<sub>` pn ´ 2qc</sub>t´ pb1` . . . bt`nq ` γ ` j ´ 1 ` n ă 0.

Então E é m-regular com respeito à coleção de n-blocos

σ “ pOQn,OQnp1q, . . . , OQnpn ´ 1q, Enq

En“ #

Σpn ´ 1q se n é ímpar ,

pΣ1pn ´ 1q, Σ2pn ´ 1qq se n é par .

Demonstração. Ver [12] Teorema 4.5.

1.7 Estabilidade

De�nimos o importante conceito de estabilidade de feixes coerentes sobre uma variedade projetiva suave irredutível no sentido de Mumford-Takemoto. Finalizamos com alguns critérios para determinar estabilidade.

De�nição 1.7.1. Seja X uma variedade projetiva suave irredutível de dimensão d e seja H um �brado de linha amplo sobre X. Para um feixe sem torção E sobre X seja

µHpEq :“

c1pEqHd´1 rkpEq .

Dizemos que F é semi-estável (com respeito a H) se para cada subfeixe não nulo F de E temos

Se além disso para todo subfeixe coerente F de E com 0ă rkpF q ă rkpEq, temos

µHpF q ă µHpEq então E é estável (com respeito a H).

De�nimos o �brado normalizado de um �brado vetorial e com isto introduzimos um critério de estabilidade.

De�nição 1.7.2. Seja E um �brado vetorial de posto r sobre uma variedade projetiva X. Chama-se normalizado de E o �brado Enorm :“ EpkEq, onde kE é o único inteiro tal que c1pEpkEqq P t´r ` 1, . . . , 0u.

Proposição 1.7.3 (Critério de Hoppe). Seja E um �brado vetorial de posto r sobre uma variedade projetiva X com PicpXq – Z.

1 Se h0ppŹq_Eq

normq “ 0 para 1 ď q ď r ´ 1, então E é estável. 2 Se h0ppŹq_Eq

normp´1qq “ 0 para 1 ď q ď r ´ 1, então E é semi-estável. Demonstração. Ver em [37] Proposição 2.12.

Agora introduzimos os �brados simpléticos e um critério de estabilidade deles:

De�nição 1.7.4. Um �brado vetorial E sobre uma variedade projetiva X é dito simplético se existe um isomor�smo φ : E Ñ E tal que φ_ “ ´φ.

Vejamos que todo �brado simplético é autodual. Se E é simplético, então Źq_E_ _– Ź_2n´q

E_ [2] , portanto E_ – Ź2n´1E_, e utilizando a fórmula de Hirzebruch [40] , com q _{“ 1,}Ź2n´1E__{– E, concluímos que E}_ _{– E.}

Proposição 1.7.5. Se E é um �brado simplético sobre uma variedade projetiva X com PicpXq – Z tal que para cada q ímpar, 1 ď q ď rkpEq{2 temos

1 h0pŹq_{Eq “ 0,} 2 h0pŹq_{Eb Eq “ 1,} então E é estável.

Capítulo 2

(k,c)-Fibrados vetoriais sobre Q

_2l`1

Utilizando feixes cohomologia de uma família de mônadas neste capítulo construiremos exemplos de �brados vetoriais de posto baixo sobre hipersuperfícies quádricas suaves de dimensão ímpar. Provaremos simplicidade, semi-estabilidade, estabilidade em alguns casos particulares e por último estudaremos a regularidade desta família de �brados.

2.1 Construção

Sejam V um espaço vetorial de dimensão 2l ` 3, com l ě 1, sobre um corpo algebrica-mente fechado e característica zero K e a hipersuperfície quádrica suave Q2l`1Ă P2l`2“ PpV q

(nos concentraremos em quádricas de dimensão ímpar de agora em diante).

Focamos no estudo de �brados vetoriais E sobre Q2l`1que são cohomologia de uma

mônada k-linear, ou seja, do tipo

M‚ :“ OQc2l`1p´kq α Ñ O2l`2cQ2l`1 β Ñ Oc Q2l`1pkq, (2.1) onde k ě 1 e c ě 1, isto é: E “ kerpβq Im_pαq.

De�nição 2.1.1. Um �brado vetorial originário da cohomologia de uma mônada (2.1) será dito pk, cq-�brado sobre Q2l`1.

Nesta de�nição, se k “ 1, um p1, cq-�brado é um �brado linear sobre Q2l`1. Estes foram

estudados por exemplo em [13] ou [14].

Primeiramente vamos nos certi�car da existência deste tipo de mônadas. Se bem, pode-mos utilizar diretamente a extensão do Teorema de Fløystead sobre variedades projetivas que encontra-se em [35] Teorema 3.1 (item a) ou Teorema 5.1; vamos exibir um exemplo explícito onde os mor�smos serão descritos utilizando matrizes.