5 8 -C A P Í T U L O V I I A NÁ L I S E D E M A L H A E A N Á L I SE N O D A L O s m é t o d o s d e A n á l i s e d e M a l h a o u A n á l i s e N o d a l , s ã o p a r t i c u l a r m e n t e r e c o m e n d a d o s p a r a c i r c u i t o s q u e p o s s u a m m a i s d e u m g e r a d o r , q u e a p r e s e n t e m c e r t a d i f i c u l d a d e n a s i m p l i f i c a ç ã o p o r m e i o a s s o c i a ç õ e s , e m b o r a t a m b é m p o s s a m s e r u t i l i z a d o s d e f o r m a d i r e t a e e f i c a z n a r e s o l u ç ã o c i r c u i t o s m a i s s i m p l e s . A n á l i s e d e M a l h a e A n á l i s e N o d a l s ã o m é t o d o s o r g a n i z a d o s d e r e s o l u ç ã o , ( A t r a v é s d a s E q u a ç õ e s d e M a x w e l l ) , b a s e a d o s n a s l e i s d e K i r c h o f f , e s ã o m é t o d o s d u a i s , o u s e j a :
Na Análise de Malha, os parâmetros são Resistências, as incógnitas são C o r r e n t e s , e a s s o l u ç õ e s d a s e q u a ç õ e s o b t i d a s s e r e s u m e m e m T e n s õ e s ;
Na Análise Nodal, os parâmetros são Condutâncias, as incógnitas são tensões, e a s s o l u ç õ e s d a s e q u a ç õ e s o b t i d a s s e r e s u m e m e m C o r r e n t e s ; A N Á L I S E D E M A L H A S ( S e e x i s t i r e m g e r a d o r e s d e c o r r e n t e , o s m e s m o s d e v e r ã o s e r t r a n s f o r m a d o s e m g e r a d o r e s d e t e n s ã o ) : a ) I m a g i n a r e m o s i n i c i a l m e n t e q u e c a d a g e r a d o r d e t e n s ã o é u m b i p o l o a t i v o , p o r t a n t o q u e s u a c o r r e n t e é c o n c o r d a n t e c o m a s u a t e n s ã o ( t a l p r e m i s s a s e r á o u n ã o c o n f i r m a d a p o s t e r i o r m e n t e ) ; b ) P a r a c a d a m a l h a i n d e p e n d e n t e , a d m i t i r e m o s a e x i s t ê n c i a d e u m a c o r r e n t e f u n d a m e n t a l d e m a l h a i n d e p e n d e n t e q u e a d o t a r e m o s p o s s u i n d o “ s e n t i d o h o r á r i o ” : c ) P a r a c a d a c o r r e n t e d e m a l h a i n d e p e n d e n t e , d e f i n i r e m o s u m a e q u a ç ã o d e s t a c o r r e n t e n a s s e g u i n t e s c o n d i ç õ e s : IM A L H A x
R M A L H A - IA D J A C E N T E x
RA D J A C E N T E =
G E R . A T I V O S -
G E R . P A S S I V O S P a r a u m a m e l h o r c o m p r e e n s ã o d a u t i l i z a ç ã o d e s t e p r o c e s s o , v a m o s r e s o l v e r d o i s e x e r c í c i o s : 10) - N o c i r c u i t o a s e g u i r p e d e - s e d e t e r m i n a r t o d a s a s t e n s õ e s e c o r r e n t e s d o m e s m o . O b s e r v e i n i c i a l m e n t e q u e o c i r c u i t o p r o p o s t o é c o m p o s t o d e t r ê s m a l h a s i n d e p e n d e n t e s ( o p r o c e s s o e m s i a p l i c a - s e a “ n ” m a l h a s i n d e p e n d e n t e s ) ;5 9 -P a r a o e x e m p l o f o r n e c i d o : E S Q U E L E T O B Á S I C O D A S E Q U A Ç Õ E S D E M A X W E L L de I I I I de I I I I de I I I I 1 1 2 3 2 1 2 3 3 1 2 3 5 3 2 2 0 14 2 2 4 3 4 4 78 0 4 4 5 1 2 14 78 120 : ( ) ( ) ( ) : ( ) ( ) ( ) : ( ) ( ) ( ) O u a i n d a : 10 2 14 2 13 4 78 4 12 28 1 2 1 2 3 2 3 . . . . . . . I I I I I I I ; s i m p l i f i c a n d o : 5 7 2 13 4 78 3 7 1 2 1 2 3 2 3 . . . . . I I I I I I I P o d e - s e r e s o l v e r o s i s t e m a a c i m a p o r s u b s t i t u i ç ã o , o b s e r v a n d o q u e a i n c ó g n i t a c o m u m à s t r ê s e q u a ç õ e s é I2 ; ( n e m s e m p r e a s o l u ç ã o p e l o s i s t e m a d e K r a m e r ( D e t e r m i n a n t e s ) é a m a i s i n d i c a d a ) ; t e m o s d a p r i m e i r a e q u a ç ã o : I1 I2 7 5 ; e d a t e r c e i r a e q u a ç ã o : I3 I2 7 7 ; s u b s t i t u i n d o e s t e s v a l o r e s n a s e g u n d a e q u a ç ã o i r e m o s o b t e r : 2 7 5 13 4 7 3 78 2 2 2 I I I ; d o n d e : - 6 . I2 + 4 2 + 1 9 5 . I2 - 2 0 . I2 + 1 4 0 = - 1 1 7 0 I2 = - 8 A
6 0 -d e p o s s e -d o v a l o r -d e I2 o b t e m o s f a c i l m e n t e : I1 I2 7 I1 A 5 8 7 5 3 e a i n d a : I3 I2 7 I3 A 3 8 7 3 5 C o m o c o n h e c i m e n t o d o s v a l o r e s d a s c o r r e n t e s f u n d a m e n t a i s d e m a l h a , v o l t e m o s a o c i r c u i t o c o l o c a n d o - a s n o s r a m o s i n d e p e n d e n t e s ( r a m o s e x t e r n o s p o r e x e m p l o ) , p r e f e r e n c i a l m e n t e p r ó x i m a s a o s n ó s , c o n s i d e r a n d o o s s e u s s i n a i s e m r e l a ç ã o a o s e n t i d o a d o t a d o p a r a a s e q u a ç õ e s d e M a x w e l l , e e m s e g u i d a d e t e r m i n a n d o a s c o r r e n t e s s e c u n d á r i a s . P e l a a p l i c a ç ã o d a l e i d e O h m , e m c a d a r e s i s t o r d e t e r m i n a m o s : V E R I F I C A Ç Õ E S P O S S I V E I S : a ) C i r c u i t a ç ã o d a s M a l h a s : M a l h a : H C D E H : + 1 0 + 3 2 + 2 4 - 7 8 + 1 2 = 0 M a l h a : A B C H A : + 1 5 + 9 - 1 0 - 1 4 = 0 M a l h a : A H E F G A : + 1 4 - 1 2 + 7 8 + 2 5 - 1 2 0 + 5 + 1 0 = 0 M a l h a A B C D E F G A ( E x t e r n a ) : + 1 5 + 9 + 3 2 + 2 4 + 2 5 - 1 2 0 + 5 + 1 0 = 0 b ) B a l a n ç o E n e r g é t i c o : S a b e m o s s e m a m í n i m a s o m b r a d e d ú v i d a , q u e t o d o s o s r e s i s t o r e s s ã o b i p o l o s p a s s i v o s ; e n t r e t a n t o , s o m e n t e a p ó s a d e t e r m i n a ç ã o d e
6 1 -t o d a s a s c o r r e n -t e s d o c i r c u i -t o , é q u e s e r e m o s c a p a z e s d e i d e n -t i f i c a r q u a i s s ã o o s g e r a d o r e s d e t e n s ã o q u e f o r n e c e m e n e r g i a a o c i r c u i t o , e q u a i s s ã o o s g e r a d o r e s d e t e n s ã o q u e r e c e b e m e n e r g i a ; t e r e m o s : - P o t ê n c i a F o r n e c i d a a o C i r c u i t o : PF = 7 8 V x 3 A + 1 2 0 V x 5 A PF = 8 3 4 W - P o t ê n c i a R e c e b i d a p e l o C i r c u i t o : a ) R e s i s t o r e s : PR R = 1 5 V x 3 A + 9 V x 3 A + 1 0 V x 5 A + 3 2 V x 8 A + 2 4 V x 8 A + 1 2 V x 3 A + 1 0 V x 5 A + 5 V x 5 A + 2 5 V x 5 A = 8 0 6 W ; b ) P e l o G e r a d o r d e T e n s ã o F u n c i o n a n d o c o m o B i p o l o P a s s i v o : PR G = 1 4 V x 2 A = 2 8 W ; P o r t a n t o a P o t ê n c i a r e c e b i d a t o t a l s e r á : PR = 8 0 6 + 2 8 = 8 3 4 W C o n c l u s ã o : c o m p r o v a m o s q u e : PF = PR 20) - P a r a o c i r c u i t o a b a i x o , d e t e r m i n e t o d a s a s c o r r e n t e s e t e n s õ e s d o m e s m o , b e m c o m o , e x e c u t e t o d a s a s v e r i f i c a ç õ e s p o s s í v e i s .
6 2
-A p r i m e i r a i m p r e s s ã o q u e s e t e m é q u e e s t e c i r c u i t o p o s s u i 5 m a l h a s ; e n t r e t a n t o s e o b s e r v a r m o s n o t a r e m o s q u e t e m - s e d u a s a s s o c i a ç õ e s e m p a r a l e l o t r i v i a i s , s i t u a d a s n o s e x t r e m o s d o c i r c u i t o : 4 em paralelo com 12 resultando em 3 (À e s q u e r d a d o c i r c u i t o ) , e a i n d a 6 em paralelo com 3 resultando em 2 (À direita d o c i r c u i t o ) ; N e s t a s c o n d i ç õ e s , o c i r c u i t o f i c a r e d u z i d o a 3 m a l h a s , e p o d e m o s a g o r a a p l i c a r d i r e t a m e n t e o m é t o d o d e M a x w e l l . V i a d e r e g r a r e c o m e n d a - s e s e m p r e v e r i f i c a r s e é p o s s í v e l a l g u m a s i m p l i f i c a ç ã o , a n t e s d e c o m e ç a r o p r o c e s s o p r o p r i a m e n t e d i t o . T e r e m o s e n t ã o : D o n d e , p a s s e m o s à s o l u ç ã o d o c i r c u i t o ; o u s e j a : E Q U A Ç Õ E S D E M A X W E L L : de I I I I de I I I I de I I I I 1 1 2 3 2 1 2 3 3 1 2 3 3 2 3 1 3 1 40 15 20 3 3 4 2 2 15 24 1 2 1 2 2 4 20 36 : ( ) ( ) ( ) : ( ) ( ) ( ) : ( ) ( ) ( ) ; o u a i n d a : 9 3 45 3 9 2 9 2 9 56 1 2 3 1 2 3 1 2 3 I I I I I I I I I ; E n c a m i n h a n d o a s o l u ç ã o p o r m e i o d e d e t e r m i n a n t e s i r e m o s t e r ( O B S . : R e s o l u ç ã o d o s d e t e r m i n a n t e s p e l a r e g r a d e L a p l a c e ) :
6 3 -P 9 3 1 3 9 2 1 2 9 9 (81 4) 3 ( 27 2) 1 (6 9) 591 ; I1 45 3 1 9 9 2 56 2 9 45 81 4 3 81 112 1 18 504 2364 ( ) ( ) ( ) I2 9 45 1 3 9 2 1 56 9 9 81 112 45 27 2 1 168 9 591 ( ) ( ) ( ) ; I3 9 3 45 3 9 9 1 2 56 9 504 18 3 168 9 45 6 9 3546 ( ) ( ) ( ) ; I I P A 1 1 2364 591 4 ; I I P A 2 2 591 591 1 ; I I P A 3 3 3546 591 6 V o l t a n d o a o c i r c u i t o s i m p l i f i c a d o , p o s i c i o n a n d o a s c o r r e n t e s f u n d a m e n t a i s n o s r a m o s i n d e p e n d e n t e s , e e m c o n s e q ü ê n c i a d e t e r m i n a n d o a s c o r r e n t e s d e r i v a d a s d o s o u t r o s r a m o s , e e m s e g u i d a d e t e r m i n a n d o t o d a s a s t e n s õ e s p e l a a p l i c a ç ã o i n d i v i d u a l d a L e i d e O h m e m c a d a r e s i s t o r t e r e m o s :
6 4
-L e m b r a n d o q u e n u m a a s s o c i a ç ã o e m p a r a l e l o , m a n t é m - s e a t e n s ã o , e a i n d a q u e o r e s i s t o r RP 1 = 3 foi originado pela associação em paralelo de 4 com 12, e que o r e s i s t o r RP 2 , f o i o r i g i n a d o p e l a a s s o c i a ç ã o e m p a r a l e l o d e 6 com 3, voltemos a o c i r c u i t o o r i g i n a l , m a n t e n d o - s e o s v a l o r e s q u e n ã o s o f r e r a m m u d a n ç a , e c o n s i d e r a n d o a s t e n s õ e s s o b r e a s a s s o c i a ç õ e s e m p a r a l e l o ; t e r e m o s :
O v a l o r d e I4 é o b t i d o p e l a L e i d e O h m s o b r e 1 2; Idem com relação a I5, I7 e I8; o v a l o r d e I6 é o b t i d o c o n s i d e r a n d o - s e o n ó A , u m a v e z o b t i d o o v a l o r d e I4; I d e m c o m r e l a ç ã o a I9 c o n s i d e r a n d o - s e o n ó B . a ) C i r c u i t a ç ã o d a s M a l h a s : M a l h a I : - 1 2 + 4 0 - 8 - 1 5 - 1 5 + 2 0 - 1 0 = 0 M a l h a I I : + 1 5 + 1 5 + 4 - 2 4 - 1 0 = 0 M a l h a I I I : + 1 0 - 2 0 + 1 0 + 1 2 - 3 6 + 2 4 = 0 M a l h a e x t e r n a : - 1 2 + 4 0 - 8 + 4 - 2 4 + 1 2 - 3 6 + 2 4 = 0 b ) B a l a n ç o e n e r g é t i c o : C a l c u l e m o s i n i c i a l m e n t e a p o t ê n c i a r e c e b i d a p e l o s r e s i s t o r e s : PR = 1 2 V x 3 A + 1 2 V x 1 A + 8 V x 4 A + 1 0 V x 1 0 A + 1 5 V x 5 A + 4 V x 1 A + 1 0 V x 5 A +
6 5 -+ 1 2 V x 2 A -+ 1 2 V x 4 A -+ 2 4 V x 6 A = 5 2 5 W ; A l é m d o s r e s i s t o r e s , n o t a r q u e e x i s t e u m g e r a d o r d e t e n s ã o , f u n c i o n a n d o c o m o b i p o l o p a s s i v o : ( o g e r a d o r d e 1 5 V , c u j a c o r r e n t e d i s c o r d a d a t e n s ã o ) ; P o r t a n t o : PG = 1 5 x 5 A = 7 5 W N e s t a s c o n d i ç õ e s , a p o t ê n c i a t o t a l r e c e b i d a p e l o c i r c u i t o s e r á : PR T = 5 2 5 + 7 5 = 6 0 0 W C a l c u l e m o s a g o r a a p o t ê n c i a f o r n e c i d a p e l o s g e r a d o r e s d e t e n s ã o ( f u n c i o n a n d o c o m o b i p o l o s a t i v o s ) a o c i r c u i t o ; t e m o s : PF T = 4 0 V x 4 A + 2 0 V x 1 0 A + 3 6 V x 6 A + 2 4 V x 1 A = 6 0 0 W C o n c l u s ã o : PF = PR A N Á L I S E N O D A L ( S e e x i s t i r e m g e r a d o r e s d e t e n s ã o , o s m e s m o s d e v e r ã o s e r t r a n s f o r m a d o s e m g e r a d o r e s c o r r e n t e ) : V e r i f i c a r o n ú m e r o n d e n ó s i n d e p e n d e n t e s ( N ó s q u e n ã o s e j a m o m e s m o p o n t o ) e x i s t e n t e s ; A d o t a r u m d e s t e s N ó s , c o m o s e n d o o N ó d e r e f e r e n c i a ( N ó d e P o t e n c i a l Z e r o ) , o n d e t o d a s a s o u t r a s t e n s õ e s s e r ã o o b t i d a s c o m r e f e r ê n c i a a e s t e N ó P a r a c a d a N ó , c o m e x c e ç ã o d o d e r e f e r ê n c i a , e s c r e v e r a s e g u i n t e e q u a ç ã o : VN Ó x
G N Ó - VA D J A C E N T E x
G A D J A C E N T E =
I G E R . ( E N T R A M ) -
I G E R . ( S A E M ) P a r a u m a m e l h o r c o m p r e e n s ã o d a u t i l i z a ç ã o d e s t e p r o c e s s o , v a m o s r e s o l v e r d o i s e x e r c í c i o s : 10) - N o c i r c u i t o a s e g u i r p e d e - s e d e t e r m i n a r t o d a s a s t e n s õ e s e c o r r e n t e s d o m e s m o . O b s e r v e i n i c i a l m e n t e q u e o c i r c u i t o p r o p o s t o é c o m p o s t o d e Q u a t r o N ó s i n d e p e n d e n t e s ( o p r o c e s s o e m s i a p l i c a - s e a “ n - 1 ” n ó s i n d e p e n d e n t e s ) ;6 6
-S o l uç ão : d e s t es q ua t r o nó s , e s c ol h er emo s u m c o m o s e ndo o n ó d e referência ; ( N ó d e p ot e nci al Z e ro ) ; t o da s as te n s õ es a s e re m d e te r m i na d as , o s e rã o c o m r el aç ã o a e s te n ó ; ou s e j a : C o m e s t as c on s i der a ç õ es , m o n ta m o s a s e qu aç õ e s de M a x w e l l d a A n á l i s e N o d al f o r m a c o m o an t er i o rm e n t e d es c ri t o; o u s e j a: 2 v . ) 5 1 10 1 v . 10 1 1 0 v . 10 1 v ). 10 1 10 1 3 1 3 1 2 4 v . 1 v . 3 1 1 3 1 3 2 1 3 3 2 1 2 3 2 1 1 1 ( v . : v de ( v . : v de v . ) ( : v de
Sugerimos , para melhorar a eficiência de resolução, multiplicarmos cada uma das equações pelo mmc dos denominadores envol vidos ; obtendo-se:
20 13 10 0 3 16 10 6 3 4 3 2 1 3 2 1 3 2 1 v v v v v v v v v 10 1 10 3 5 4A 2A 10 1 10 3 5 4A 2A Iv2 Iv1 Iv3
67
-Resolvendo-se o sistema acima , por qualquer método (recomendamos o dos determi nantes ),enc ontramos: v1 = 15V ; v2 = 12V ; v3 = 14V ; donde voltando ao ci rc ui to, com estas tens ões conheci das , s omos capazes de determi nar todas as outras tens ões e correntes do mesmo; de fato:
20) - N o c i r c u i t o a s e g u i r p e d e - s e d e t e r mi n a r t o d a s a s t e n s õ e s e c o r r e n t e s d o m e s m o . O b s e r v e t a m b é m q u e o c i r c u i t o p r o p o s t o é c o m p o s t o d e Q u a t r o N ó s i n d e p e n d e n t e s :
Solução: vamos inicialmente denominar os nós independentes e identifica-l os como mostrado a seguir. Notemos que adotamos um dos nós como sendo de potenc ial Zero; de fato: 10 1 10 3 5 4A 2A Iv2 Iv1 Iv3 12V 3V 15 V 14V 1V 2V 0,2A 1A 1A 1,2A 2,8A 5 333 4 8A 20A 5A 6A 1 2 6 6A
68
-De maneira anál oga, vamos montar o sistema de equações de Maxwel l:
6 6 v . ) 4 1 2 1 6 1 v . 2 1 4 1 20 5 v . 2 1 v ). 2 1 3 1 1 3 1 6 5 8 v . 4 1 v . 3 1 4 1 3 1 5 1 3 2 1 3 3 2 1 2 3 2 1 1 ( v . : v de ( v . : v de v . ) ( : v de o u a i n d a : 0 22 12 6 150 3 11 2 1140 15 20 47 3 2 1 3 2 1 3 2 1 v v v v v v v v v v1 = 20V ; v2 = -10V ; v3 = 0V Portanto: 5 333 4 8A 20A 5A 6A 1 2 6 6A Iv1 Iv1 Iv1 Iv1 Iv2 Iv2 Iv2 Iv3 Iv3 Iv3 0V 0V 0V 0V 0V 5 333 4 8A 20A 5A 6A 1 2 6 6A Iv1 Iv1 Iv1 Iv1 Iv2 Iv2 Iv2 Iv3 Iv3 Iv3 0V 0V 0V 0V 0V 10V 10V 10V 20V 30V 20V 30V 0V 0A 0A 5A 5A 24A 4A 10A 6A 15A 1A 14A 25A 9A 4A 10A 6A
69 -EXERCÍCIOS PROPOSTOS 1o) D a d o o c i r c u i t o a b a i x o , d e t e r mi n e a p o t ê n c i a f o r n e c i d a p e l o s b i p o l o s a t i v o s a o m e s m o : + + + + + + -- -3 2 2 1 1 1 2 1 2 10 50V 17V 47V 25V 10V 30V R e s p o s t a : 8 8 2 W 2o) P a r a o c i r c u i t o a b a i x o , a t r a v é s d a u t i l i z a ç ã o d e a n á l i s e d e Ma l h a p e d e - s e a d e t e r mi n a ç ã o d a T e n s ã o v i s t a e n t r e o s p o n t o s A e B , e a p o s t e r i o r d e t e r m i n a ç ã o d a c o r r e n t e d e c u r t o - c i r c u i t o e n t r e o s m e s m o s p o n t o s + + + -2 3 1 5 4 1 23V 27V 8V 15V + -B A Icc 3o) P a r a o c i r c u i t o a s e g u i r , a t r a v é s d a u t i l i z a ç ã o d e a n á l i s e N o d a l p e d e - s e a d e t e r mi n a ç ã o d a T e n s ã o v i s t a e n t r e o s p o n t o s A e B , e a p o s t e r i o r d e t e r m i n a ç ã o d a c o r r e n t e d e c u r t o - c i r c u i t o e n t r e o s m e s m o s p o n t o s
70 -2 5 4 3A 1A 3A 1 1 4 3A B Icc
4º) Para o circuito abaixo pede-se a dete rminação da tensão em vazio e a posterior determinaç ão da corrente de curto circ uito vista entre os pontos A e B
4 5 2 40V 14V 32V + + -Icc 3A + -B A
71
-CAP VIII - EQUIVALENTE THEVENÌM DE UM CIRCUITO
T E O R E M A D E T H E V E N Ì M - M Á X I MA T R A N S F E R Ê N C I A D E P O T Ê N C I A T E O R E M A D E T H E V E N Ì M : “ D o i s p o n t o s q u a i s q u e r d e u m a r e d e e l é t r i c a , p o d e m s e r s u b s t i t u í d o s p e l a a s s o c i a ç ã o e m s é r i e d e u m G e r a d o r d e t e n s ã o , c o m u m R e s i s t o r . O m o d e l o e m s é r i e G e r a d o r - R e s i s t o r d e v e a p r e s e n t a r a m e s m a t e n s ã o e m v a z i o , e a m e s m a c o r r e n t e d e c u r t o - c i r c u i t o d o s d o i s p o n t o s c o n s i d e r a d o s d a r e d e ” : P a r a q u e o m o d e l o a c i m a m o s t r a d o a p r e s e n t e a m e s m a t e n s ã o e m v a z i o d o q u e o s d o i s p o n t o s A e b d a r e d e , é n e c e s s á r i o q u e E = VA B ; o u s e j a : + + + -A A B B E = VAB R VAB VAB A i n d a , p a r a q u e o m o d e l o a p r e s e n t e a m e s m a C o r r e n t e d e c u r t o c i r c u i t o , q u e a r e d e o r i g i n a l , R d e v e r á s e r t a l q u e : CC I E R ; o u s e j a : C o m e s t a s c o n s i d e r a ç õ e s f e i t a s , o M o d e l o G e r a d o r - R e s i s t o r e m s é r i e a s s i m d e t e r mi n a d o , s u b s t i t u i r á a r e d e ( E n t r e “ A ” e “ B ” ) e m q u a l q u e r c i r c u n s t â n c i a ; o b v i a me n t e , s e d e s e j a r m o s u m m o d e l o G e r a d o r d e C o r r e n t e e m p a r a l e l o c o m u m R e s i s t o r R p a r a s u b s t i t u i r a r e d e e n t r e o s d o i s p o n t o s c o n s i d e r a d o s , b a s t a r á e x e c u t a r m o s a t r a n s f o r ma ç ã o T h e v e n ì m – N o r t h o n , d o m o d e l o s é r i e e n c o n t r a d o . + + + -A A B B E R + + + -A A B B E E R = ICC ICC ICC
72
-MÁXIMA TRANSFERÊNCIA DE POTÊNCIA
Vimos que dado um circuito qualquer, é possível transformá-l o na associação de um
Gerador de Tens ão VT, em séri e com uma resistência RT . Imaginemos então o
equivalente Thevenìm de dois pontos quaisquer de um circui to, alimentando uma Resi stência de c arga RC ; teremos :
Nestas condições teremos :
C T T R R V I ; C T C T RC R R R V V ;
Fi nal mente a Potênc ia em RC será dada por P =
2 C T C 2 T ) R R ( R V ;
Se fizermos uma análise gráfica da funç ão acima, perc eberemos que o aspecto da c urva obtida s erá do ti po:
Sabemos porém que quando uma função as sume o Valor Máximo, neste ponto a sua derivada é nula; portanto :
0 ) R R ( ) R R ( R 2 ) R R ( V dR dP 4 C T C T C 2 C T 2 T C ; ou ainda: RT + RC - 2RC = 0 RC = RT Ou s ej a: “P a r a q u e e x i s t a M áx i ma t ra ns f e r en c i a de P o tê nc i a , d e u m c i r c u i t o e l é t ric o p a r a u ma R e s i s t ê nc i a a s er c o ne c t ad a e n tr e do i s po n to s q u ai s q ue r d o me s m o , é + - VT RT RC I VRC P RC PMAX R
73
-n e c e s s á r i o q u e e s ta R e s i s t ê-n c i a s ej a i g ua l á R e s i s t ê -nc i a d o M o de l o Eq ui v a l e-n te T h ev en ì m d o c i r c u i t o e m q u es tã o n os pon t os d e c on e x ã o.
Exemplo de Aplicação : Para o ci rc ui to abai xo, determi ne:
a) Qual o valor da resistência a ser conectada entre os pontos “A” e “B” do circuito, de modo a absorver a máxima potência do mesmo? Qual seri a esta Potência ?
b) Qual o valor da potência absorvida por um resistor de 1,2, quando conectado entre os pontos “A” e “B” do c irc ui to?
+ + + - - -2 4 3 1 2 4V 5A 18V 15V A B
SOLUÇÃO: Vamos determinar o equivalente Thevenìm do circ ui to, entre os pontos “A” e “B”, por técnicas de simplificação; ou seja: Se conseguirmos reduzir o circ ui to todo num gerador de tensão em série com um resi stor , es ta associ aç ão será o equivalente Thevenìm do circui to; portanto:
+ + + + + + - - - - - -2 2 4 4 3 1 3 1 2 2 4V 4V 5A 5A 5A 18V 15V 18V 15V A A B B + + + + + -- -- -2 4 3 1 2 4V 18V 15V A B 20V 10V + + + - - -3 1 6 24V 18V 15V B + -2 A 10V
74 -+ -3 1 6 15V B + -2 A 10V 4A 6A + -2 1 15V B + -2 A 10V 10A + + - -2 1 20V 15V B + -2 A 10V + + - -4 1 30V 15V B A 1 4 B A 7,5A 15A 0,8 0,8 B A 22,5A + - 18V B A
a) Note que o circui to simplificado final obtido é o circ ui to equivalente de Thevenìm entre os pontos “A” e “B” do circ ui to original ; nestas condições, o resistor mais apropri ado à ser conectado entre es tes pontos, de modo a absorver a máxima potência é um resistor de 0,8 ; Uma vez conectado teremos:
Logo: 11,25A 8 , 0 8 , 0 18 I ; V = 0,8 x 11,25 = 9V PM A X = 11,25 x 9 PM A X = 101,25W
c) Ao conectarmos um resistor de 1,2 entre os pontos “A” e “B” do circuito original , será o mesmo que conectar um resistor entre os pontos “A” e “B” do circuito equivalente de Thevenìm; portanto teremos:
0,8 0,8 + - 18V I VR
75 -Logo: 9A 2 , 1 8 , 0 18 I ; V = 1,2 x 9 = 10,8V P = 9 x 10,8 P = 97,2W
Observe como es ta transferência de Potência é menor, do que quando o resistor era de 0,8
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
1o ) a) Qual o valor da resistência a ser conectada entre os novos pontos “A” e “B” do circuito abai xo (o mesmo circ ui to anterior) , de modo a absorver a máxima potência do mesmo? Qual s eria es ta Potênci a ?
b) Qual a potência absorvida por um resistor de 2 quando conectado entre os
pontos “A” e “B” do circuito?
2o) Dado o circ ui to a seguir, pede-se determinar:
a) O circuito equivalente de Thevenìm, visto entre os pontos “A” e “B” do mesmo; b) O valor da resistência R de um resistor, que ao ser ligado entre “A” e “B”
cons uma a máxima potência do circuito
c ) A Potênc ia di ssi pada por um resi stor de 7,5 quando ligado entre “A” e “B” 0,8 1,2 + - 18V I VR + + + - - -2 4 3 1 2 4V 5A 18V 15V A B
76
-3o) Dado o circ ui to abaixo, pede-se determinar:
a)O circ ui to equi valente de Thevenìm, visto entre os pontos “A” e “B” do mesmo; b)O valor da resistência R de um resistor, que ao ser ligado entre “A” e “B” consuma a máxima potência do circuito
c ) A Potênc ia dis si pada por um resis tor de 2 quando ligado entre “A” e “B”
+ + -3 1 6 6 6 14V 9V B + -2 A 10V 4A 5A
4o) Enunc iado idêntico ao 3o Exercício, somente mudan do a disposição dos pontos “A” e “B” + + -3 1 6 6 6 14V 9V B + -2 A 10V 4A 5A + + -15 20 30 8A 10 2A + -40V 160V 100V 50 A B
77 -C O M P L E M E N T A Ç Ã O F I N A L : G E R A D O R E S V I N -C U L A D O S - M O D E L O S a ) G E R A D O R E S V I N C U L A D O S : N o e s t u d o d e v á r i o s c i r c u i t o s e l é t r i c o s c o s t u ma m o s e s t a b e l e c e r m o d e l o s d e e v e n t u a i s d i s p o s i t i v o s e l e t r ô n i c o s ( v á l v u l a s o u t r a n s i s t o r e s p o r e x e mp l o ) a t r a v ê s d o s d e n o m i n a d o s g e r a d o r e s v i n c u l a d o s , q u e c o n s i s t e m e m m o d e l o s , t a i s q u e a s r e s p e c t i v a s t e n s õ e s o u c o r r e n t e s i n t e r n a s d e p e n d a m d e u m a t e n s ã o o u d e u ma c o r r e n t e ( a t r a v ê s d e u m v í n c u l o ) d e u m o u t r o p o n t o q u a l q u e r d a r e d e o n d e o d i s p o s i t i v o s e e n c o n t r a . E x e mp l o : N o t e e n t ã o q u e n o e x e mp l o f o r n e c i d o t e m o s d o i s g e r a d o r e s a t i v o s ( i n d e p e n d e n t e s ) e d o i s g e r a d o r e s v i n c u l a d o s : u m c u j a c o r r e n t e v a l e 4 v e z e s o v a l o r d a t e n s ã o s o b r e o r e s i s t o r d e 3, e outro cuja tensão vale 5 v e z e s o v a l o r d a c o r r e n t e q u e p e r c o r r e o r e s i s t o r d e 2 O s m é t o d o s d e r e s o l u ç ã o d e s t e t i p o d e c i r c u i t o ( e n v o l v e n d o g e r a d o r e s v i n c u l a d o s ) s ã o v a r i á v e i s ; d e p e n d e n d o d a c o n v e n i ê n c i a p o d e r e mo s u t i l i z a r a n á l i s e n o d a l , a n á l i s e d e ma l h a , o u a t é m e s mo t é c n i c a s d e s i m p l i f i c a ç ã o / t r a n s f o r ma ç ã o . A t í t u l o d e m o n s t r a t i v o e d e c o m p r e e n s ã o , v a m o s a b o r d a r a l g u n s e x e r c í c i o s c o m g e r a d o r v i n c u l a d o : 1 º ) P a r a o c i r c u i t o a b a i x o , p e d e - s e d e t e r m i n a r a t e n s ã o VS i n d i c a d a : iVs Vx Vx 24V + -12 6 6 3 3
78 -S O L U Ç Ã O : T o r n a - s e m u i t o c o n v e n i e n t e e p r á t i c o , c i r c u i t o s “ c o m e s t e a s p e c t o ” s e r e m r e s o l v i d o s p o r a n á l i s e n o d a l ; p a r a t a n t o v a m o s t r a n s f o r ma r o g e r a d o r d e t e n s ã o e m g e r a d o r d e c o r r e n t e p e l a e q u i v a l ê n c i a N o r t h o n T h e v e n ì m ; t e r e mo s : A o a d o t a r mo s a a n á l i s e n o d a l , v e r i f i c a m o s q u e a l é m d o n ó d e r e f e r e n c i a t e r e m o s d o i s n ó s d i s t i n t o s e1 e e2 ; n o t e e n t r e t a n t o q u e e1 s e r á o p r ó p r i o v a l o r d e Vx, e q u e e2 s e r á a p r ó p r i a t e n s ã o V s d e s a í d a p e d i d a . D e f a t o : L o g o t e r e mo s p a r a a s e q u a ç õ e s d a a n á l i s e n o d a l : 3 e e 3 1 6 1 e 6 1 2 e 6 1 e 6 1 6 1 12 1 1 2 1 2 1 0 e 3 1 6 1 e 3 1 6 1 2 e 6 1 e 6 1 6 1 12 1 2 1 2 1 C o n v é m c a d a e q u a ç ã o p e l o m . m . c d o s d e n o m i n a d o r e s e n v o l v i d o s ; t e r e m o s : 0 e 3 e 3 24 e 2 e 5 2 1 2 1 p = 3 3 2 5 = 1 5 – 6 = 9 ; a i n d a : e1 = 3 0 2 24 = 7 2 + 0 = 7 2 ; e2 = 0 3 24 5 = 0 + 7 2 = 7 2 P o r t a n t o : e1 = 8V 9 72 ; V S = e2 = 8V 9 72 2 º ) P a r a o c i r c u i t o a s e g u i r , p e d e - s e a d e t e r mi n a ç ã o d o s e u c i r c u i t o e q u i v a l e n t e d e T h e v e n ì m v i s t o e n t r e o s p o n t o s A e B iVs Vx Vx 6 6 3 3 2A 12 iVs Vx = e1 Vx 6 6 3 3 2A 12 e1 e2 = Vs
79 -L E M B R E T E : “ O c i r c u i t o e q u i v a l e n t e d e T h e v e n ì m o b t i d o e n t r e d o i s p o n t o s d e u m c i r c u i t o q u a l q u e r , é d a d o p e l a a s s o c i a ç ã o e m s é r i e d e u m g e r a d o r d e t e n s ã o c o m u m r e s i s t o r d e t a l f o r m a q u e e s t a a s s o c i a ç ã o , a p r e s e n t e a m e s m a t e n s ã o e m v a z i o e a i n d a q u e a p r e s e n t e a m e s m a c o r r e n t e d e c u r t o c i r c u i t o d o c i r c u i t o o r i g i n a l ” O u s e j a : a ) V a m o s e n t ã o i n i c i a l m e n t e c o m o c i r c u i t o d e v i d a m e n t e t r a n s f o r ma d o , p r o c e d e r à d e t e r mi n a ç ã o d a t e n s ã o e m v a z i o ; n o t e q u e a t e n s ã o e2, s e r á a p r ó p r i a t e n s ã o d e T h e v e n ì m : T e r e m o s e n t ã o : 4 e e 3 1 1 e 1 6 e 1 e 1 6 1 3 1 1 2 1 2 1 0 e 3 1 1 e 4 1 1 6 e 1 e 1 6 1 3 1 2 1 2 1 M u l t i p l i c a n d o c a d a e q u a ç ã o p e l o m . m . c d o s d e n o m i n a d o r e s e n v o l v i d o s ; t e r e mo s : 0 e 16 e 15 36 e 6 e 9 2 1 2 1 p = 16 15 6 9 = 9x1 6 – 6x1 5 = 5 4 Vx Vx 18V + -3 6 1 3 4 A B + A A B B -VTH VTH + A A B B - VTH
E:
Icc Icc VTH RTH RTH Circuito qualquer Circuito qualquer iVTH Vx = e1 Vx 6 1 3 4 6A 3 e1 e2 = VTH A B80 -A i n d a : e2 = 0 15 36 9 = 0 + 1 5x3 6 = 5 4 0 ; p o r t a n t o : e2 = VT H = 54 540 P 2 e = 1 0 V b ) D e t e r m i n a ç ã o d a c o r r e n t e d e C u r t o - c i r c u i t o : A o c o l o c a r mo s e m c u r t o , o s p o n t o s A e B o b s e r v e - s e a c o n f i g u r a ç ã o d o c i r c u i t o : N o t e q u e e m f u n ç ã o d o c u r t o t e r e m o s : V x = 6x( 3 / / 6 / / 1 ) Vx = 4V ; E n t ã o : Ix = 1 Vx = 4 ; I g = 4 Vx = 1 Icc = Ig + Ix = 5 A ; p o r t a n t o t e r e m o s p a r a o n o s s o e q u i v a l e n t e T h e v e n ì m : D o n d e f á c i l me n t e p e r c e b e mo s q u e RT H s e r á d a d o p o r : 2 A 5 V 10 RTH ; Mo s t r a m o s p o r t a n t o a o l a d o o e q . T h e v e n ì m d o c i r c u i t o p r o p o s t o : E Q U I V . T H E V E N Ì M : 3 º ) D e t e r mi n e o e q u i v . T h e v e n ì m v i s t o e n t r e o s p o n t o s A e B d o c i r c u i t o a b a i x o : S o l u ç ã o : c o n f i g u r a n d o o c i r c u i t o p / a n á l i s e n o d a l t e r e mo s : A B Vx Vx 6 1 3 4 6A 3 Vx I g I x I cc I = 0 I cc VTH = 10V + A B -Icc = 5A RTH 10V + A B -2 Vx + - 24V 3 3 6 Vx 4 3 A B iVTH Vx = e1 - e2 Vx 6 3 4 8A 3 e1 e2 = VTH 3
81 - 4 e 4 e e 3 1 6 1 e 6 1 8 e 6 1 e 6 1 3 1 3 1 2 1 2 1 2 1 0 e 4 1 3 1 6 1 e 4 1 6 1 8 e 6 1 e 6 1 3 1 3 1 2 1 2 1 0 e 9 e 5 48 e 1 e 5 2 1 2 1 p = 9 5 1 5 = 4 5 – 1x5 = 4 0 A i n d a : e2 = 0 5 48 5 = 0 + 5x4 8 = 2 4 0 ; e2 = VT H = 240 40 6V A c o n f i g u r a ç ã o c o m a s a í d a e m c u r t o f o r n e c e : N o t e q u e e m f u n ç ã o d o c u r t o t e r e m o s : V x = 8x( 3 / / 3 / / 6 ) Vx = 5 48 V ; E n t ã o : Ix = 5 8 6 Vx ; I g = 5 12 4 Vx Icc = Ig + Ix ; Icc = 5 12 5 8 = 5 20 = 4 A ; p o r t a n t o o n o s s o e q u i v . T h e v e n ì m f i c a : 4 º ) D e t e r mi n e o e q u i v . T h e v e n ì m v i s t o e n t r e o s p o n t o s A e B d o c i r c u i t o a b a i x o : 6 8A A B Vx Vx 3 4 3 Vx I g I x I cc I = 0 I cc 3 6V
+
A
B
-Icc = 4A 1,5 Vx Vx 20V + -12 1 4 A B Vx 5 Vx Vx + - 5 12 4 A B Vx82 -S O L U Ç Ã O : N o t e q u e n ã o é p o s s í v e l a t r a n s f o r ma ç ã o d o g e r a d o r d e t e n s ã o p a r a g e r a d o r d e c o r r e n t e , p o r q u a n t o o m e s mo n ã o s e e n c o n t r a e m s é r i e c o m n e n h u m r e s i s t o r . U ma s o l u ç ã o m a i s a d e q u a d a , c o n s i s t e n a u t i l i z a ç ã o d o d e s l o c a me n t o d o g e r a d o r d e t e n s ã o ; o u s e j a : P o d e m o s p o i s v i s u a l i z a r o c i r c u i t o a p ó s o d e s l o c a m e n t o d o g e r a d o r d e t e n s ã o ; t e r e m o s : E q u a c i o n a n d o o c i r c u i t o , e f a z e n d o a t r a n s f o r ma ç ã o p a r a g e r a d o r d e c o r r e n t e , o b t e mo s o s r e s u l t a d o s a b a i x o : A t e n s ã o VT H p o d e s e r c a l c u l a d a p o r : VT H = (4 //12) 15V 12 20 6 20 ; F a c i l me n t e v i s u a l i z a m o s a c o r r e n t e d e c u r t o c i r c u i t o : I c c = 12 20 6 20 = 5 A ; l o g o t e r e mo s p / o e q u i v a l e n t e T h e v e n ì m : Vx Vx 20V + - 5 12 1 4 A B Vx 5 20V + -Vx Vx 20V + - 5 1 4 A B Vx 5 20V + -12 + -1 4 A B 12 20 6 A 20V 5 1006 V 20 6 A 20 12A VTH + -1 4 A B 12 20 6 A 20V 5 1006 V 20 6 A 20 12A Icc 15V
+
A
-Icc = 5A 3 B83
-5 º ) D e t e r mi n e o e q u i v . T h e v e n ì m v i s t o e n t r e o s p o n t o s A e B d o c i r c u i t o a b a i x o :
SOLUÇÃO: Note como fica a configuração do circuito, ao fazermos o deslocamento do gerador de tens ão:
Por outro lado também veri fique como fica a tensão de Thevenìm ao fazermos a transformação do gerador de 32V em séri e com o resistor de 12 ,para o equivalente gerador de corrente em paral el o com o mesmo resistor:
Ao compararmos os dois resultados obtemos:
32 - Vx = 3 ) 4 // 12 ( 5 Vx 12 32 32 - Vx = 8 + 5 Vx 3 5 Vx 8 = 24 Portanto: Vx = 15V donde : VT H = 32 - Vx VT H = 17V
D E T E R M I N A Ç Ã O D A C O R R E N T E D E C U R T O C I R C U I T O : Note como fica a configuração do circuito: Vx Vx 32V + -12 1 4 A B Vx 5 5 Vx 32V + -1 4 Vx 5 5 + -32V 12 iVTH = 32 - Vx Vx 32V + -1 4 A B Vx 5 5 iVTH = 32 12 12 32 12 + Vx Vx 5 x 12 // 4 Vx 32V + -1 4 Vx = 32V 5 5 + -32V 12 32 5 Ig = Icc I = 0 32 12
84 -Portanto: Icc = 6,13A 12 32 5 32
; portanto a noss a resis tênci a de Thevenìm fic a:
RT H = 2,77 13 , 6 17 6 º ) D e t e r mi n e o e q u i v . T h e v e n ì m v i s t o e n t r e o s p o n t o s A e B d o c i r c u i t o a b a i x o :
SOLUÇÃO: Vamos inicialmente proc eder ao desloc amento do gerador de corrente e verifiquemos como fica o circuito:
Transformando, o único gerador possível teremos:
Donde montamos o sistema:
30 ) I I ( . 15 10 I 7 I 2 10 20 I 2 I 7 1 2 2 1 2 1 20 I 22 I 17 10 I 2 I 7 2 1 2 1
Note que para determinarmos a tens ão de Thevenìm entre os pontos A e B, basta determinarmos simplesmente I1 ; teremos então:
P = 7 x 22 - (-17) x (-2) P = 120 ; I1 = 10 x 22 - (-2) x (-20) = 180 2 5 20V 10V 30V + + -I 3I + -B A 5 2 5 20V 10V 30V + + -I 3I + -B A 5 3I 3I 2 5 20V 10V 30V + + -I + -B A 5 +15.I
-I
1I
285
-Portanto teremos : 1,5A
120 180
I1 note então como obtemos a tensão de Thevenìm:
P a s s e m o s e n t ã o à a n á l i s e d a c o r r e n t e d e c u r t o ; t e r e m o s : T e n d o - s e p o r t a n t o : RT H = 0,25 30 5 , 7 2 5 10V 30V + + -I + -B A 5 +15.I -7,5V 20V 1,5A V = 12,5VAB Icc = 30A 2 5 20V 10V 30V + + -I = 5A + -B A 5 15.I = 75V+ -10V 75V 1 05V 105V 21A 20V 4A
