lista4

C´

alculo I

Unifesp - 1o semestre de 2016 Lista de Exerc´ıcios 4

1. Calcule as integrais a seguir

(a) R₁5(2 + 3x − x2_{) dx (Resposta:} 8 3)

(b) R

√ π

0 (cosx) dx (Resposta: sen(

√ π)) (c) R2 1(− 2 x + 3e x_{− 1) dx (Resposta: −2ln2 + 3e}2_{− 3e − 1)} (d) R₀1(3 + x√x) dx (Resposta: 17₅) (e) R (1 − t)(2 + t2_{) dt (Resposta: 2t +} 1 3t 3 _{− t}2₋ 1 4t 4_{+ C)} (f) R (2x +√ 1 1−x2) dx (Resposta: x 2_{+ arcsen(x) + C)} (g) R x2_{+ 1 +} 1 x2₊₁
dx (Resposta: 1 3x 3 _{+ x + tan}−1_{(x) + C)}

(h) R (2ey _{− cossec}2_{(y))dy (Resposta: 2e}y _{+ cotan(y) + C)}

(i) R₀1 _1+x2 2, dx , com − π 2 < x < π 2(Resposta: π 2) (j) R x+1 x dx (Resposta: x + ln|x| + C)

(k) R 3tan2_{(a)da (Resposta: 3tan(a) − 3a + C)}

(l) R √ x3₊√3_x2_−2x−1 3x dx (Resposta: 2 9x 3 2 + 1 2x 2 3 +2 3x −1_{+ C)}

2. Calcule as integrais seguir, por substitui¸c˜ao (a) Ra

0(x

√

a2_{− x}2_{) dx (Resposta:} a3 3 )

(b) R₀1(xe−x2) dx (Resposta: 1−e₂−1) (c) R cos(3x) dx (Resposta: sen(3x)₃ + C) (d) R 2x3_(x4_{+ 2)}7_{dx (Resposta:} (x4₊₂₎8

16 + C)

(e) R tg(y) dy (Resposta: −ln|cos(y)| + C) (f) R _n+xdx (Resposta:ln|n + x| + C) (g) Z e4 e 1 xpln(x)dx (Resposta: 2)

(h) R₀π/2xsen(x2)dx (Resposta: 1₂ − cos(π2

4 )

(i) R_1/61/2cossec(πt)cotg(πt)dt (Resposta: 1/π) (j) R etg(x)_sec2_{(x)dx (Resposta: e}tg(x)_{+ C)}

(k) Rπ2

0 cosx.e

(l) R1 0 x3 1+x2dx (Resposta: 1₂ − ln(2) 2 )

3. Calcule as seguintes integrais de fun¸c˜oes trigonom´etricas (a) R cos3_{(x)dx (Resposta: sen(x) −} sen3_(x)

3 + C)

(b) Z π/2

−π/2

cos2(x)dx (Resposta: π/2)

(c) R cos7_(3x)sen3_{(3x)dx (Resposta: −}cos8_(3x)

24 +

cos10_(3x)

30 + C)

(d) R cos2(t)sen2(t)dt (Resposta: ₁₆1 

2t −sen(4t)₂ 

+ C)

(e) R sen4(x)dx (Resposta: ₃₂1 (12x − 8sen(2x) + sen(4x)) + C) (f) R tg3(x)sec(x)dx (Resposta: 1₃sec3(x) − sec(x) + C)

4. Calcule as integrais seguir, por partes (a) R xe2x_{dx (Resposta:} e2x 2 x − 1 2
+ C) (b) R₁3ln(2x)dx (Resposta: ln(108) − 2) (c) R 3x4_{lnx dx (Resposta:} 3x5 5 (lnx − 1 5) + C)

(d) R exsenx dx (Resposta: 1₂ex(senx − cosx) + C) (e) R₋₂−1x2_e−2x_{dx (Resposta:} 1

4e

2_(5e2_{− 1))}

(f) R x2_{sen(ax) dx (Resposta: −}x2cos(ax)

a +

2x sen(ax)

a2 +

2cos(ax)

a3 + C)

(g) R sen−1(2x) dx (Resposta: 1₂[2xsen−1(2x) +√1 − 4x2_{] + C)}

(h) R x2_ln2_{(x) dx (Resposta:} x3 3 ln 2_{|x| −} 2 3ln|x| + 2 9
+ C)

(i) R eaxsen(bx) dx (Resposta: _a2b_+b2 2

h −eax_cos(bx) b + aeax_sen(bx) b2 i + C) (j) R 3x2_ex_{dx (Resposta: 3e}x_(x2_{+ x − 1) + C)}

5. Calcule as integrais a seguir, usando fra¸c˜oes parciais (a) Z _{x − 9} x2_{+ 3x − 10}dx (Resposta: 2 ln |x + 5| − ln |x − 2| + C) (b) Z 3 2 1 x2_{− 1}dx (Resposta: 1 2ln 3 2) (c) Z _{3x + 5} (x + 1)(x − 1)2dx (Resposta: 1 2ln | x+1 x−1| − 4 x−1 + C) (d) Z _x2_{+ x − 3} x3_{− 2x}2_{− x + 2}dx (Resposta: − ln |x+1| 2 + ln |x−1| 2 + ln |x − 2| + C)

6. Calcule as integrais a seguir usando o m´etodo da substitui¸c˜ao trigonom´etrica (a) Z _dx √ x2_{+ a}2 (Resposta: ln      √ a2_{+ x}2_{+ x} a      + C) (b) Z p 4 − (x − 1)2_{dx (Resposta:} 1 2(x − 1) √ −x2_{+ 2x + 3 + 2sen}−1₍x−1 2 ) + C)

(c) Z 1 x2√_{16 − x}2 dx (Resposta: − √ 16 − x2 16x + C) (d) Z 4 2 √ 16 − x2_{dx (Resposta:} 8π 3 − 2 √ 3) (e) Z dx x3√_x2_{− 16} (Resposta: 1 128  4√x2₋₁₆ x2 + cos −1₍4 x)  + C) 7. Calcule as integrais abaixo utilizando o m´etodo mais adequado

(a) Z 1 −1 (x7+ 3 + 1/x2)dx (Resposta: 4) (b) Z 0 −1 e2xdx (Resposta: 1₂(1 − e−2)) (c) R ₇ x−2dx (Resposta: 7ln|x − 2| + C) (d) Z _sen3_(x)

pcos(x)dx (Resposta: 2pcos(x)  cos2_(x) 5 − 1  + C) (e) Z e 1 dx xp1 + ln(x) (Resposta: 2 √ 2 − 2) (f) Z dx

sen−1_(x)√_{1 − x}2 (Resposta: ln|sen

−1_{(x)| + C)}

(g) Z

x sen(x)cos(x)dx (Resposta: −x₄cos(2x) + 1₈sen(2x) + C) (h) Z (ln(x))2dx (Resposta: x ln2_{(x) − 2(xln(x) − x) + C)} (i) Z dx √ x2_{+ 5} (Resposta: ln      √ 5x2_{+ 25 +}√_5x 5      + C) (j) Z _x exdx (Resposta: −(x + 1)e −x_{+ C)} (k) Z xr_{ln(x)dx, r ∈ R Resposta:} ( _xr+1 r+1ln(x) − xr+1 (r+1)2 + C se r 6= −1 ln2(x) 2 + C se r = −1

(l) R sen−1(x)dx (Resposta: x sen−1(x) +√1 − x2_{+ C)}

(m) Z 1 0 1 √ 4 − x2 dx (Resposta: π 6) (n) R sec3_{(x)dx (Resposta:} 1 2sec(x)tg(x) + 1 2ln|sec(x) + tg(x)| + C)

(o) R sen(ln(x))dx (Resposta: x

2[sen(ln(x)) − cos(ln(x))] + C) (p) R sen3 x 2
cos 5 x 2
dx (Resposta: cos8(x₂) 4 − cos6(x₂) 3 + C)

(q) R cos6(3x)dx (Resposta: 5x₁₆ +sen(6x)₁₂ +sen(12x)₆₄ − sen₁₄₄3(6x) + C) (r) R xcos(x2)dx ((Resposta: 1₂sen(x2) + C)

(s) R _x3 √ 4−x2dx ((Resposta: −x 2√_{4 − x}2 ₋2 3p(4 − x 2₎3_{+ C)} (t) R dx x2√_x2₊₁ ((Resposta: − √ x2₊₁ x + C)

(u) R _1+e1xdx (Dica: multiplique e divida por e

−x _{(( Resposta: ln} ex ex₊₁
+ C) (v) R ln(x) x5 dx (( Resposta: − ln(x) 4x4 − 1 16x4 + C)

8. Calcule a ´area da regi˜ao compreendida entre as curvas f (x) = 1 − x2 _{e g(x) = 1 − x.}

(Resposta: 1 6)

9. Calcule a ´area da regi˜ao delimitada pelas curvas y = 2x2_{e y = −x}2_{−2x. (Resposta:}

4 27)

10. Calcule a ´area da regi˜ao delimitada pelas curvas y =√x + 1 e y = (x − 1)2_{, e pelas}

retas x = 2 e x = 0. (Resposta: 2√3 −4 3)

11. Qual ´e a ´area entre as curvas y = cos(x) e y = cos2_{(x) entre 0 e 2π?(Reposta: 2)}

12. Calcule a ´area da regi˜ao compreendidada entre os gr´aficos f (x) = x3 _{− 2x + 1 e}

g(x) = −x + 1 com −1 ≤ x ≤ 1. Resposta: 1₂

13. Determine m > 0 para que a ´area delimitada por y = x2, y = x₂2 e a reta y = mx seja igual 4. Resposta: m = 2

14. Encontre a rea da regi˜ao limitada entre as curvas x = y3− y e x = 1 − y4_{. Resposta:} 8

5

15. Calcule a rea entre as curvas y = 2x2 _{e y = −x}2_{− 2x Resposta: 4/27 u.a.}

16. Calcule ´area da regi˜ao entre o gr´afico da fun¸c˜ao y = x2 _{+ 1 e as linha y = 10 e}

x = 0, no primeiro quadrante do eixo xy, ´e: (Resposta: 18 ) 17. Resolva as integrais abaixo:

(a) R₀1(3x − 2)2_{dx = (Resposta: 1 )} (b) R √ dx 25−x2 (Resposta: sen −1 x 5
+ C ) (c) R √ x 3x2₊₅dx (Resposta: 1 3(3x 2_{+ 5)}1_{2 + C )} (d) R _dx x2_−2x+2 (Resposta: tan −1_{(x − 1) + C )} (e) R _x21_+xdx (Resposta: ln  _x+1x  + C ) (f) R₀4x√16 − x2_{dx (Resposta:} 64 3 ) (g) R₀4x3√_{16 − x}2_{dx (Resposta:} 2048 15 ) (h) R₀4√16 − x2_{dx (Resposta: 4π )} (i) R₁∞ _(1+xx2₎2dx (Resposta: 1 4 ) (j) R₂∞ dx_x2 (Resposta: 1 2 )

(k) R∞ 4 −2xdx 3 √ 9−x2 (Resposta: N˜ao converge. )

18. Resolva as integrais abaixo. Cheque o resultado das integrais indefinidas derivando sua resposta e comparando com o integrando.

(a) R e

√

x_{dx (Dica: use a substitui¸c˜ao u =} √_{x e fa¸ca depois por partes, Resposta:}

2[√xe

√

x_{− e}√x_{] + C )}

(b) R _x2_+5x+6x−4 dx (Dica: Use fra¸c˜oes parciais, Resposta: ln

_|x+3|7 |x+2|6  + C ) (c) R π 4

0 p1 + cos(4x)dx (Dica: Use o fato que cos

2_{(θ) =} 1+cos(2θ)

2 para simplificar

o integrando (ou multiplique e divida o mesmo porp1 − cos(4x) e depois fa¸ca por substitui¸c˜ao), Resposta:

√ 2

2 )

(d) R₀1 ln(x2_x+1+2x+1)dx (Dica: fa¸ca a fatora¸c˜ao do argumento do logaritmo e use a substitui¸c˜ao com u = ln(x + 1), Resposta: ln2(2) )

(e) R _x2_−6x−16x−3 dx (Dica: Use fra¸c˜oes parciais, Resposta:

1 2ln (|x

2_{− 6x + 16|) + C )}

(f) R xex2

sen(x2_{)dx (Dica: Use a substitui¸c˜ao u = x}2 _{e depois fa¸ca por partes ,}

Resposta: 1₄ex2(sen(x2) − cos(x2)) + C )

(g) R₁∞ ln(x)_x2 dx (Dica: Use a substitui¸c˜ao u = ln(x) para essa integral impr´opria ,

Resposta: 1 )

(h) R excos(ex)dx (Dica: Use a substitui¸c˜ao u = ex , Resposta: sen(ex) + C ) (i) R_√2

2 dx

x3√_x2₋₁ (Dica: Use a substitui¸c˜ao x = sec(θ) , Resposta:

π+3√3−6

24 )

(j) R dx

x2√_x2₊₁ (Dica: Use a substitui¸c˜ao x = tg(θ) , Resposta: −

√ x2₊₁

x + C )

19. Seja f e g fun¸c˜oes cont´ınuas e diferenci´aveis satisfazendo as seguintes condi¸c˜oes para um certo n´umero real b:

I. R₁3f (x + 2)dx = 3b

II. O valor m´edio de f no intervalo [1, 3] ´e 2b III. R₋₄x g(t)dt = f (x) + 3x

IV. g(x) = 4b + f0(x)

(a) Ache R₁5f (x)dx em termos de b.(Resposta: 7b ) (b) Encontre b.(Resposta: 3₄ )

20. Seja a fun¸c˜ao f (x) = _x21₋₄

(a) Fa¸ca um esbo¸co da fun¸c˜ao f (x). (b) A integral definita R1

−1f (x)dx ´e positiva ou negativa? Justifique fazendo

re-ferˆencia ao seu gr´afico. (Resposta: negativa )

(c) Fa¸ca a integral do item (b) usando fra¸c˜oes parciais. (Resposta: −1₂ln(3) ) (d) ´E poss´ıvel fazer a mesma integral usando a substitui¸c˜ao x = 2 sec(θ)? Se

21. Se para todo x > 1, se f (x) =Rx 1 dt t, determine f 0_{(x) (Resposta:} 1 x ) 22. Calcule _dxd R₁x√1 + t3_{dt (Resposta:} √_{1 + x}3 ₎ 23. Calcule _dxd Rx2 2 √ 1 + t2_{dt (Resposta: p1 + (x}2₎2_{.2x )}

24. Qual o valor de R₋₃3 (x + 5)√9 − x2_{dx? Tente n˜ao fazer as integrais e use o gr´afico}

de f (x) =√9 − x2 _{e o fato que g(x) = x}√_{9 − x}2 _{´e uma fun¸c˜ao ´ımpar.}

25. SeR₁10f (x)dx = 2 e R₁₀3 f (x)dx = 7, determineR₁3f (x)dx. (Resposta: 9 )

26. SeR_abf (x)dx = a − b, ent˜ao quanto vale 1₂R_ab(f (x) + 5)dx? (Resposta: 2b − 3a ) 27. A fun¸c˜ao densidade normal de probabilidade ´e dada por G(x) = √1

2π Rx 0 e −t2_/2 dt. Ache G0(x). (Resposta: √1 2πe −x2_/2 )

28. Determine o valor m´edio das fun¸c˜oes no intervalo dado: (a) f (x) = x2√_x3_{+ 1 no intervalo [0, 2]. (Resposta:} 26

9 )

(b) f (x) = _x1 no intervalo [1, 3]. (Resposta: ln(3)₂ )

29. Se a substitui¸c˜ao u = x₄ ´e feita, como fica a integral R₂4 1−

q (x 4) x dx? (Resposta: R1 1 2 1−√u u du )

30. A substitui¸c˜ao de x = sen(θ) na integral R 1₂

0 x2

√

1−x2dx resulta em qual integral?

(Resposta: R π₆

0 sen

2_{(θ)dθ )}

31. SeR f (x)ex_{dx = f (x)e}x_{−R 2xe}x_{dx, ache f (x). (Resposta: x}2 ₎

32. Considere a figura abaixo, onde temos um retˆangulo inscrito no gr´afico de y = 4−x2_.

Qual a ´area da figura hachurada na qual a ´area do retˆangulo inscrito ´e m´axima?

(Resposta: 32(1−

√ 3 3 )

3 )

33. A figura abaixo mostra um triˆangulo OAB inscrito na regi˜ao entre a par´abola y = x2 e a linha y = a2_{. Determine o limite da raz˜ao entre a ´area do triˆangulo e a ´area da}

regi˜ao parab´olica quando a tende `a zero. (Resposta: 4₃)

x y x2 0 A a 2 B

34. Sejam as duas integrais abaixo: a) R √16 − x2_dx

b) R x√16 − x2_dx

(a) Tente adivinhar qual delas ser´a a maior `a ser computada. Explique seus mo-tivos.

(b) Calcule as integrais e veja qual ´e a maior. 35. Mostre que Z _dx a2_cos2_(x)2_{+ b}2_sen2_(x) = 1 abarctan( btg(x) a ) + C (1) 36. Mostre que Z _dx sen(x) + tg(x) = 1 2ln(tg( x 2)) + 1 4tg 2 (x 2) + C (2) 37. Mostre Z ln(x +√1 + x2_{)dx = senh}−1_{(x) −}√_{1 + x}2_{+ C (3)} 38. Mostre Z dx tg(x)pcos(2x) = −cosh −1 (√ 1 2sen(x)) + C (4)

39. Mostre que para x ≥ 0 Z ( x x + 1) 1 4dx = t 1 − t4 + 1 4ln( 1 − t 1 + t) − 1 2arctan(t) + C (5) onde _x+1x = t.

40. Mostre que para x > 1 Z dx x√x2_{− 1} = 2 arctan( r x − 1 x + 1) + C (6) 41. Mostre que Z tg(x) 1 + tg(x)dx = 1 2(x − ln(|sen(x) + cos(x))|) + C (7)

42. Mostre que para α 6= 1 Z dx x + xα = 1 1 − αln(1 + x 1−α ) + C (8) 43. Mostre que Z dx (x + 1)√x2_{+ 1} = − 1 √ 2ln | 1 − x +p2(x2_{+ 1)} 1 + x | (9) 44. Mostre que Z √ 1 − 2x − x2_{dx =} 1 + x 2 √ 1 − 2x − x2_{+ arcsin(}1 + x_√ 2 ) (10) 45. Mostre que Z _dx p(2x − 1) −p(2x − 1)4 = (1 + 4 p (2x − 1))2+ ln(p4 (2x − 1) − 1)2+ C (11) 46. Mostre que Z p3 1 +√4 _x √ x dx = 12 7 z 7_{− 3z}4_{+ C (12)} z =p3 1 +√4 _x 47. Mostre que Z dx 1 + sen(x) + cos(x) = ln |1 + tg x 2| + C (13) 48. Mostre que Z dx 1 + sen2_(x) = 1 √ 2arctan ( √ 2tgx) + C (14) 49. Mostre que Z dx

senh2(x) + cosh2(x) = arctan(tanh(x)) + C (15) 50. Mostre que Z x√x2_{+ x + 1dx =} 1 3 3 p (t)2₋ 1 4(x + 1 2) √ t − 3 16ln(x + 1 2 + √ t) + C (16) onde t = x2+ x + 1.

51. Determine o valor de R tal que [RR

1 dx

3

√

x+x = 1]. (Dica: use a substitui¸c˜ao (u =

3 √ x) (Resposta: R = (2e(23−1) 3 2 )

52. Calcule a derivada da fun¸c˜ao f , onde [f (x) =R

√ x 1 et t2₊₁dt.] (Resposta: e √ x 2√x(x+1))

53. Seja D a regi˜ao entre as cuvras y = x2 _{− x e o eixo x. Encontre a equa¸c˜ao da}

reta y = mx tal que essa divide D em duas regi˜oes com ´areas iguais. (Resposta: m = 1 − √31₂)

54. Consider a regi˜ao D delimitada pelas curvas f (x) = x−2 e g(x) = x−3, para x ≥ a. (a) Determine a ´area da regi˜ao D no caso de a = 1. (Resposta: 1₂)

(b) Determine o valor de a > 0 para que ´area de D seja o dobro da obtida no item anterior. (Resposta: 1₂)

55. Seja φ : [0, ∞) → R uma fun¸c˜ao deriv´avel e considere F (t) =R₀φ2(t) sen(x)_x dx. (a) Se φ(1) =pπ/2 e φ0(1) = 1₂, calcule F0(1). (Resposta: p2/π)